MS-A0402 Diskreetin matematiikan perusteet Esimerkkejä ym., osa I

Koko: px
Aloita esitys sivulta:

Download "MS-A0402 Diskreetin matematiikan perusteet Esimerkkejä ym., osa I"

Transkriptio

1 MS-A00 Disreetin matematiian perusteet Esimerejä ym., osa I G. Gripenberg Jouo-oppi ja logiia Todistuset logiiassa Indutioperiaate Relaatiot ja funtiot Funtiot Aalto-yliopisto. maalisuuta 0 Kombinatoriia ym. Summa-, tulo ja loeroperiaate G. Gripenberg (Aalto-yliopisto) MS-A00 Disreetin matematiian perusteet Esimerejä. ym., maalisuuta osa I 0 / 7 G. Gripenberg (Aalto-yliopisto) MS-A00 Disreetin matematiian perusteet Esimerejä. ym., maalisuuta osa I 0 / 7 Misi jouo-oppi ei ole niin ysinertaista uin miltä näyttää? Niin auan un tarasteltavissa jouoissa on vain äärellisen monta aliota, uten jouossa {,,, 7}, ongelmia ei juuri esiinny mutta lassinen vastaesimeri on ns. Russellin paradosi: Määritellään A = { x : x / x }. Jos A A niin x / x ei päde un x on A ja A:n määritelmän muaan A / A ja olemme saaneet aiaan ristiriidan. Jos sen sijaan A / A niin ehto x / x on voimassa un x on A joten A A ja taas tulosena on ristiriita. Vastaavanlaisia ongelmia syntyy jos sanomme Tämä on valhe tai jos puhumme parturista, joa leiaa hiuset aiilta niiltä, jota eivät itse leiaa hiusiaan. Jouot ja impliaatiot Oloon A = {,,, }, B = { 0,, } ja C = { x : x on oonaisluu }. Mitä seuraavista väitteistä ovat tosia? (a) x A C x B aiilla x? (b) A B C A? (c) On olemassa y C siten, ettei päde y B y A? (d) y / B y / A aiilla y C? Vastaus: (a) Kosa A C = {,, } niin pätee A C mutta osa / B niin tämä väite ei päde (ja väite sanoo, että A C B). (b) Kosa A mutta / B niin ei päde A B ja näin ollen impliaatio A B C A on tosi. (c) Väite y B y A ei päde jos ja vain jos y B ja y / A eli y B \ A = {0} ja 0 / C joten väite on epätosi. (d) Tämä väite on epätosi osa esim. C ja / B mutta A joten / A on epätosi. Toisella G. Gripenberg (Aalto-yliopisto) MS-A00 Disreetin matematiian perusteet Esimerejä. ym., maalisuuta osa I 0 / 7 G. Gripenberg (Aalto-yliopisto) MS-A00 Disreetin matematiian perusteet Esimerejä. ym., maalisuuta osa I 0 / 7

2 Päättelysäännöt ja todistuset logiiassa Todistus on lista lauseista joissa joainen lause on joo asiomi (eli oletetaan olevan tosi) tai johdettu aiaisemmistä lauseista päättelysääntöjen avulla. Esimerisi ns. modus ponens eli x x y y on täreä päättelysääntö ja perustuu siihen, että (x AND (x y)) y on tautologia, eli aina tosi riippumatta x:n ja y:n totuusarvoista. Tämä (uten muutin päättelysäännöt) äytetään siten, että jos todistuslistassa on jo lauseet a ja a b niin listaan lisätään lause b. Päättelysäännöt ja todistuset logiiassa Oloot p ja q asi lausetta. Nyt todistamme, että q on tosi jos p AND (NOT p) on tosi, eli jos oletetaan ristiriitainen väite voidaan todistaa mitä vaan. Päättelysääntöinä äytämme tässä (a) x OR y NOT x y (b) x AND y x (c) x x OR y (d) x AND y y AND x G. Gripenberg (Aalto-yliopisto) MS-A00 Disreetin matematiian perusteet Esimerejä. ym., maalisuuta osa I 0 / 7 G. Gripenberg (Aalto-yliopisto) MS-A00 Disreetin matematiian perusteet Esimerejä. ym., maalisuuta osa I 0 6 / 7 Päättelysäännöt ja todistuset logiiassa, jat. Todistus näyttää nyt seuraavanlaiselta: () p AND (NOT p): Oletus () p: () ja (b) missä x = p ja y = NOT p () p OR q: () ja (c) missä x = p ja y = q () (NOT p) AND p: () ja (d) missä x = p ja y = NOT p () NOT p: () ja (b) missä x = NOT p ja y = p (6) q: (), () ja (a) missä x = p ja y = q. Näin lause q on tullut todistetusi. Esimeri: Potenssijouo Oloon P(X ) jouon X osajouojen jouo, eli A P(X ) jos ja vain jos A X. Jos nyt X ja Y ovat asi jouoa niin ono toinen jouoista P(X ) \ P(Y ) ja P(X \ Y ) toisen osajouo? Kosa tyhjä jouo on joaisen jouon osajouo niin P(X \ Y ). Samoin P(Y ) joten / P(X ) \ P(Y ). Tästä seuraa, että aina pätee P(X \ Y ) P(X ) \ P(Y ). Jos X = Y niin P(X ) = P(Y ) joten P(X ) \ P(Y ) = P(X \ Y ) = { } osa tyhjä jouo on joaisen jouon osajouo. Mutta jos esimerisi X = {0, } ja Y = {0} niin P(X ) \ P(Y ) = {{0, }, {}} mutta X / P(X \ Y ) = {{}, } joten tässä tapausessa P(X ) \ P(Y ) P(X \ Y ) Lopputulos on siis että aina pätee P(X \ Y ) P(X ) \ P(Y ) mutta riippuu jouoista X ja Y päteeö P(X ) \ P(Y ) P(X \ Y ) vai ei. G. Gripenberg (Aalto-yliopisto) MS-A00 Disreetin matematiian perusteet Esimerejä. ym., maalisuuta osa I 0 7 / 7 G. Gripenberg (Aalto-yliopisto) MS-A00 Disreetin matematiian perusteet Esimerejä. ym., maalisuuta osa I 0 8 / 7

3 Järjestetyn parin oordinaatit Parin [x, y] (tai (x, y)) ensimmäinen oordinaatti on (tietenin) x ja toinen on y. Jos parin määritelmäsi otetaan {{a}, {a, b}} niin voidaan määritellä prediaatit E(p, x) ja T (p, y) jota sanovat, että x on p:n ensimmäinen oordinaatti ja y on p:n toinen oordinaatti seuraavalla tavalla: (tai lyhyemmin z p (x z)) ja E(p, x) = z((z p) (x z)) T (p, y) = z((z p) AND (y z)) AND u v ((u p) AND (v p) AND NOT (u == v) NOT (y u) OR NOT (y v)), missä u == v on prediaatti, joa sanoo, että u on sama jouo uin v. Lyhyemmin tämän voi esittää muodossa T (p, y) = z p (y z) AND u p v p (NOT (u == v) (y / u) OR (y / v)). G. Gripenberg (Aalto-yliopisto) MS-A00 Disreetin matematiian perusteet Esimerejä. ym., maalisuuta osa I 0 9 / 7 Indutio Osoitamme indution avulla, että i = n = i= n(n + ), n. Väite P(n) on siis n i= i = n(n+) ja n 0 =. Näin ollen väite P(n 0 ) on sama uin = (+) miä pitää paiansa. Oletamme seuraavasi, että P() on tosi ja. Kosa P() pätee, niin i= i = (+) mistä seuraa, että + i = i= ( + ) i + ( + ) = + ( + ) i= ( ) = ( + ) + ( + )( + ) = = ( + )(( + ) + ), joa taas meritsee sitä, että P( + ) on tosi. Indutioperiaatteen nojalla toteamme, että P(n) pätee aiilla n. G. Gripenberg (Aalto-yliopisto) MS-A00 Disreetin matematiian perusteet Esimerejä. maalisuuta ym., osa I 0 0 / 7 Esimeri: Osittaisjärjestys Oloon X join (ei-tyhjä) jouo ja P(X ) sen aiien osajouojen muodostama jouo (eli ns. potenssijouo). Jouossa P(X ) meillä on relaatio : A B jos ja vain jos A on B:n osajouo. Tämä relaatio on osittaisjärjestys osa se on reflesiivinen: A A, antisymmetrinen: Jos A B ja A B niin on olemassa x B siten että x / A jolloin B A, transitiivinen: Jos A B ja B C niin joainen A:n alio on B:n alio ja osa joainen B:n alio on C:n alio niin joainen A:n alio on C:n alio, eli A C. Lisäsi tällä relaatiolla on muitain ominaisuusia uten, että jos A, B P(X ) niin jouoille A ja B löytyy pienin yläraja, eli jouo C siten, että A C, B C (eli C on yläraja) ja jos A D ja B D niin C D (eli C on pienin yläraja). Selvästiin C = A B. Vastaavasti löytyy myös suurin ala-raja, joa (tietenin) on A B. Esimeri: Evivalenssiluoat Jouossa X = { [m, n] : m, n Z, n 0 } voimme määritellä evivalenssirelaation siten, että [m, n ] [m, n ] jos ja vain jos n = m n. Nämä evivalenssiluoat ovat rationaaliluvut osa m = m täsmälleen silloin un m n = m n. n n G. Gripenberg (Aalto-yliopisto) MS-A00 Disreetin matematiian perusteet Esimerejä. maalisuuta ym., osa I 0 / 7 G. Gripenberg (Aalto-yliopisto) MS-A00 Disreetin matematiian perusteet Esimerejä. maalisuuta ym., osa I 0 / 7

4 Injetiot ja surjetiot X f a b c d e Y X g a b c d Y Listat, luujonot ja arteesiset tulot funtioina Lista [a, b, c, d] on funtio f, jona määrittelyjouo on {,,, } (tai {0,,, }) siten, että f () = a, f () = b, f () = c ja f () = d. Luujono (a n ) n=0 = (a 0, a, a, ) on funtio f, jona määrittelyjouo on N 0 siten, että f (n) = a n aiilla n N 0. Jos X j on jouo joaisella j J missä J on (toinen) jouo niin arteesinen tulo j J X j on jouo, johon uuluu täsmälleen aii funtiot f : J j J X j siten, että f (j) X j. Funtio f : X Y on injetio ( joaiseen Y :n alioon tulee oreintaan ysi suunnattu aari ) mutta se ei ole surjetio osa X :stä ei löydy yhtään aliota x, siten, että f (x) = d. Funtio g : X Y on surjetio ( joaiseen Y :n alioon tulee vähintään ysi suunnattu aari ) mutta se ei ole injetio osa g() = g() ja. G. Gripenberg (Aalto-yliopisto) MS-A00 Disreetin matematiian perusteet Esimerejä. maalisuuta ym., osa I 0 / 7 G. Gripenberg (Aalto-yliopisto) MS-A00 Disreetin matematiian perusteet Esimerejä. maalisuuta ym., osa I 0 / 7 Esimeri: Funtio, aluuva, ym. Oloon f funtio: {,,,, } {,,,, } siten, että f () =, f () =, f () =, f () = ja f () =. Matlab/Octavessa voimme esittää tämän funtion vetorina f=[,,,,]. Jos A = {,, } niin voimme lasea f (A) = f (A) = { y : y = f (x), x A } omennolla f([,,]) joa antaa tulosesi [,,] joa on tulittava jouona {, }. Jos B = {,, } niin B:n aluuva f (B) = { x : f (x) B } = {, } ja voimme lasea tämän omennolla find(f== f== f==) tai omennolla find(sum(ff==[,,],)). Huomaa, että riippumatta siitä miten valitsemme jouon B niin aina pätee esimerisi f (B) {} (eli tässä tapausessa f ei ole surjetio) osa jos / B niin / f (B) ja jos B niin {, } f (B). Esimeri: Aluuva ja injetiivisyys Jos f : X Y on surjetio niin f : P(Y ) P(X ) on injetio missä f (B) = { x X : f (x) B }. Misi? Jos B B niin on olemassa y B siten, että y / B tai on olemassa y B siten, että y / B. Oletamme nyt, että y B mutta y / B. Kosa f on surjetio niin on olemassa x X siten, että f (x) = y. Tästä seuraa, että x f (B ) mutta x / f (B ) joten olemme osoittaneet, että jos B B niin f (B ) f (B ) eli f on injetio. G. Gripenberg (Aalto-yliopisto) MS-A00 Disreetin matematiian perusteet Esimerejä. maalisuuta ym., osa I 0 / 7 G. Gripenberg (Aalto-yliopisto) MS-A00 Disreetin matematiian perusteet Esimerejä. maalisuuta ym., osa I 0 6 / 7

5 Esimeri: Iso-O Jos f O(n ) ja g O(n ) niin f g O(n ) osa f (n) C f n un n N f ja g(n) C g n un n N g joten f (n)g(n) C f C g n + un n max(n f, N g ). Jos f (n) = n ja g(n) = n niin f O(n ), g O(n ) ja on (tietenin?) pienin luu p siten, että f g O(n p ). Mutta jos on pienin luu p f siten, että f O(n p f ) ja on pienin luu p g siten, että g O(n pg ) niin siitä ei välttämättä seuraa, että olisi pienin luu p siten, että f g O(n p ) osa voimme esimerisi valita f (n) = { n, n on pariton 0, n on parillinen, ja g(n) = { 0, n on pariton n, n on parillinen jolloin f (n)g(n) = 0 aiilla n ja f g O(n p ) aiilla p Z. G. Gripenberg (Aalto-yliopisto) MS-A00 Disreetin matematiian perusteet Esimerejä. maalisuuta ym., osa I 0 7 / 7 Montao vertailua tarvitaan, jotta löytäisimme luvun, jona suuruusjärjestysnumero on p jos jouossa on n luua? Jos p = (pienin luu) tai p = n (suurin luu) niin n vertailua riittää mutta miä on tilanne yleisessä tapausessa? Seuraavasi osoitamme, että jos p n niin tarvittavien vertailujen luumäärä uuluu jouoon O(n), eli on olemassa vaio C siten, että vertailujen luumäärä on oreintaan Cn emmeä välitä ovinaan paljon siitä miä tämä vaio on: Oletamme että tarvitaan oreintaan C vertailua un jouossa on < n luua. Jaamme luvut osajouoihin joissa on luua: Ei vertailuja. Määritämme näiden osajouojen mediaanit: O(n) vertailua. Määritämme mediaanien mediaani: C( n + ) vertailua. Jaamme luvut ahteen jouoon, riippuen siitä ovato ne suurempia tai pienempiä uin mediaanien mediaani: O(n) vertailua. Kumpiin näistä jouoista sisältää oreintaan ( 7 )n + O() = n + O() luua! 0 G. Gripenberg (Aalto-yliopisto) MS-A00 Disreetin matematiian perusteet Esimerejä. maalisuuta ym., osa I 0 8 / 7 Montao vertailua tarvitaan, jotta löytäisimme luvun, jona suuruusjärjestysnumero on p jos jouossa on n luua?, jat. Jouojen alioiden luumäärien perusteella tiedämme missä jouossa haemamme luu on ellei se ole mediaanien mediaani ja miä sen järjestysnumero siinä on joten haemme sen osajouosta: C 7 0n + CO() vertailua. Olemme äyttäneet O(n) + Cn + C + O(n) Cn + CO() = 9 Cn + CO() + O(n) 0 = 9 0 Cn + (C + n)c 0, vertailua missä c 0 on vaio. Jos n 0c 0 voimme järjestää luvut äyttäen n log (n) n log (0c 0 ) (0c 0 )n vertailua ja siten löytää haemamme luu joten jos valitsemme C 0c 0 jolloin c 0 niin un n > 0c 0 eli c 0 < 0n toteamme että 9 0 Cn + (C + n)c Cn + 0 Cn + Cn = Cn 0 ja indutiopäättely toimii. G. Gripenberg (Aalto-yliopisto) MS-A00 Disreetin matematiian perusteet Esimerejä. maalisuuta ym., osa I 0 9 / 7 0 C Z ja Q N 0 = Z osa f : N 0 Z missä f (0) = 0, f ( ) = ja f () = un on bijetio. N 0 = Q osa voimme onstruoida bijetion seuraavalla tavalla: 0 Jos hyppäämme niiden luujen yli, jota jo ovat listalla, niin saamme seuraavan bijetion: f (0) = 0, f () =, f () =, f () =, f () =, f () =, f (6) =, f (7) =, f (8) =, f (9) = (eiä = ), f (0) =, f () = (eiä = ), f () =, jne. G. Gripenberg (Aalto-yliopisto) MS-A00 Disreetin matematiian perusteet Esimerejä. maalisuuta ym., osa I 0 0 / 7

6 Esimeri: Laatioperiaate Oloon S jouon {,,, n, n} osajouo siten, että S = n +. Silloin jouoon S uuluu asi luua eri a ja b siten, että a jaaa b:n tai päinvastoin, (eli a b tai b a). Misi? Voimme esittää S:n luvut muodossa j q j missä j 0. q j < n ja q j on pariton, j =,,, n + ja lisäsi [ i, q i ] [ j, q j ] un i j. Jouossa {,,, n, n} on ainoastaan n paritonta luua. Laatioperiaatteen muaan on olemassa luvut i j siten, että q i = q j jolloin i j. Jos nyt i < j niin luu i q i jaaa luvun j q j. Pari epäyhtälöä Oloot A, B ja C olme jouoa. Kosa A B C A B niin A B C A B. Samoin pätee A B C B C ja A B C A C. Kosa (A B) (A C) = A (B C) A niin A (A B) (A C) = A B + A C A B A C, josta seuraa, että A B C A B + A C A. Vaihtamalla A, B ja C esenään saadaan myös epäyhtälöt A B C A B + B C B ja A B C A C + B C C. G. Gripenberg (Aalto-yliopisto) MS-A00 Disreetin matematiian perusteet Esimerejä. maalisuuta ym., osa I 0 / 7 G. Gripenberg (Aalto-yliopisto) MS-A00 Disreetin matematiian perusteet Esimerejä. maalisuuta ym., osa I 0 / 7 Esimeri: Otoset Tentissä valvojat jaavat 0 tehtäväpaperia 60:lle tenttijälle. Monellao tavalla tämä on mahdollista? Tässä oletetaan, että tehtäväpaperit ovat identtiset mutta tenttijät eivät ole. Ensimmäinen, järevä, vaihtoehto on että joaiselle tenttijälle annetaan oreintaan ysi paperi. Silloin on ysymys siitä monellao tavalla voimme 60 henilön jouosta valita ne 0, jota saavat paperin. Tässä on yse valinnasta palauttamatta ( ) un ( järjestysellä ) ei ole meritystä, joten vaihtoehtoja on = 0 0 Toinen, vähemmän järevä, vaihtoehto on, ettei aseteta mitään rajoitusia sille montao paperia sama henilö voi saada. Silloin valvojat valitsevat 0 ertaa tenttijän, jolle paperi annetaan, jouosta, jossa on 60 aliota, palauttaen eiä valintajärjestysellä ( ole ) meritystä. Vaihtoehtojen ! luumääräsi tulee silloin = 60 9! 0!. G. Gripenberg (Aalto-yliopisto) MS-A00 Disreetin matematiian perusteet Esimerejä. maalisuuta ym., osa I 0 / 7 Surjetioiden A B luumäärä un A = m ja B = n Oloon B = {b, b,, b n }, F = B A aiien funtioiden A B jouo ja F j = (B \ {b j }) A F aiien funtioiden A : B \ {b j } jouo eli niiden F :n alioiden f jouo joille pätee, että f (x) b j aiilla x A. Surjetioiden jouo on siten F \ n j= F j. Nyt F j F j F jr on jouo (B \ {b j, b j, b jr }) A johon uuluvat aii funtiot A B jota eivät saa arvoja b j,, b jr. Jos j < < j r n niin F j F j F jr = (n r) m. Kosa on ( n r) eri tapaa valita indesit j < < j r n niin seulaperiaatteesta seuraa, että surjetioiden A B luumäärä on ( ( ) n n m ( ) )(n r+ r) m = r r= ( n ( ) r = r=0 ) (n r) m =0 Huomaa, että un m < n ei ole surjetioita A B joten silloin n r=0 ( )n r ( n r) r m = 0, miä ehä ei ole aivan ilmeistä. ( ) n ( ) n m. G. Gripenberg (Aalto-yliopisto) MS-A00 Disreetin matematiian perusteet Esimerejä. maalisuuta ym., osa I 0 / 7

7 Misi n ( n =0 ) ( ) n m = 0 un m < n? Binomiaavan nojalla pätee ( e t ) ( ) n n = e t ( ) n, joten jos f (t) = ( e t ) n niin f (m) (t) = =0 =0 ( ) n e t ( ) n m ja f (m) (0) = =0 ( ) n ( ) n m. Seuraavasi osoitamme, että f () (t) = (e t ) n p (e t ) un 0 n missä p on polynomi. Tämä pätee selvästiin un = 0 jolloin p 0 (x) = ja jos f () (t) = (e t ) n p (e t ) ja < n niin f (+) (t) = (n )(e t ) n e t p (e t ) + (e t ) n p (et )e t = (e t ) n p + (e t ), missä p + (x) = (n )xp (x) + (x )xp (x) on myös polynomi. Nyt voimme todeta, että jos m < n niin f (m) (0) = (e 0 ) n m p m (0) = 0 ja väite seuraa. G. Gripenberg (Aalto-yliopisto) MS-A00 Disreetin matematiian perusteet Esimerejä. maalisuuta ym., osa I 0 / 7 Esimeri Montao erilaista sellaista viiden peliortin riviä (normaalista ortin paasta) on olemassa, jossa esiintyy täsmälleen asi uningatarta? Valitsemme ensin( ne) asi paiaa, joihin uningattaret tulevat. Vaihtoehtoja on = 0. Sitten valitsemme uningattaret näihin paioihin ja nyt vaihtoehtojen luumäärä on = osa on otettava huomioon missä järjestysessä ne tulevat. Lopusi valitsemme muut olme orttia 8:n ortin jouosta jolloin vaihtoehtojen luumääräsi tulee = 0776 Tuloperiaatteen nojalla erilaisten rivien luumääräsi tulee = 0. G. Gripenberg (Aalto-yliopisto) MS-A00 Disreetin matematiian perusteet Esimerejä. maalisuuta ym., osa I 0 6 / 7 Monellao tavalla voidaan sijoittaa identtistä palloa n:ään identtiseen laatioon? Oloon A(, n) tämä luumäärä. Kosa voimme sijoittaa 0 palloa :een laatioon vain yhdellä tavalla niin A(, ) = un 0. Jos = 0 niin aii laatiot ovat tyhjiä ja meillä on vain ysi vaihtoehto eli A(0, n) = aiilla n. Oleta nyt, että ja n. Oloon j (j 0) pallojen luumäärä siinä laatiossa missä on vähiten palloja. Eri j:n arvoilla saadaan varmasti erilaisia vaihtoehtoja. Nyt sijoitamme ensin j palloa joaiseen laatioon ja sen jäleen jäljellä olevat n j palloa niihin n :een laatioon joissa voi olla enemmän un j palloa ja tämä on mahdollista A( n j, n ):llä eri tavalla. Jos j > n niin n j < 0, joten reursioyhtälösi tulee n A(, n) = A( n j, n ). j=0 G. Gripenberg (Aalto-yliopisto) MS-A00 Disreetin matematiian perusteet Esimerejä. maalisuuta ym., osa I 0 7 / 7

MS-A0402 Diskreetin matematiikan perusteet Esimerkkejä ym., osa I

MS-A0402 Diskreetin matematiikan perusteet Esimerkkejä ym., osa I MS-A040 Diskreetin matematiikan perusteet Esimerkkejä ym., osa I G. Gripenberg Aalto-yliopisto. maaliskuuta 05 G. Gripenberg (Aalto-yliopisto) MS-A040 Diskreetin matematiikan perusteet Esimerkkejä. ym.,

Lisätiedot

MS-A0402 Diskreetin matematiikan perusteet Esimerkkejä ym., osa I

MS-A0402 Diskreetin matematiikan perusteet Esimerkkejä ym., osa I MS-A040 Diskreetin matematiikan perusteet Esimerkkejä ym., osa I G. Gripenberg Aalto-yliopisto. maaliskuuta 05 G. Gripenberg (Aalto-yliopisto) MS-A040 Diskreetin matematiikan perusteet Esimerkkejä. ym.,

Lisätiedot

MS-A0402 Diskreetin matematiikan perusteet Esimerkkejä, todistuksia ym., osa I

MS-A0402 Diskreetin matematiikan perusteet Esimerkkejä, todistuksia ym., osa I MS-A0402 Diskreetin matematiikan perusteet Esimerkkejä, todistuksia ym., osa I G. Gripenberg Aalto-yliopisto 3. huhtikuuta 2014 G. Gripenberg (Aalto-yliopisto) MS-A0402 Diskreetin matematiikan perusteetesimerkkejä,

Lisätiedot

MS-A0402 Diskreetin matematiikan perusteet Esimerkkejä, todistuksia ym., osa I

MS-A0402 Diskreetin matematiikan perusteet Esimerkkejä, todistuksia ym., osa I MS-A040 Diskreetin matematiikan perusteet Esimerkkejä, todistuksia ym., osa I G. Gripenberg Aalto-yliopisto 3. huhtikuuta 014 G. Gripenberg (Aalto-yliopisto) MS-A040 Diskreetin matematiikan perusteetesimerkkejä,

Lisätiedot

MS-A0401 Diskreetin matematiikan perusteet Esimerkkejä ym., osa I

MS-A0401 Diskreetin matematiikan perusteet Esimerkkejä ym., osa I MS-A0401 Diskreetin matematiikan perusteet Esimerkkejä ym., osa I G. Gripenberg Aalto-yliopisto 30. syyskuuta 015 G. Gripenberg (Aalto-yliopisto) MS-A0401 Diskreetin matematiikan perusteet Esimerkkejä30.

Lisätiedot

MS-A0401 Diskreetin matematiikan perusteet Esimerkkejä ym., osa I

MS-A0401 Diskreetin matematiikan perusteet Esimerkkejä ym., osa I MS-A00 Diskreetin matematiikan perusteet Esimerkkejä ym., osa I G. Gripenberg Aalto-yliopisto 0. syyskuuta 0 Joukko-oppi ja logiikka Todistukset logiikassa Predikaattilogiikka Induktioperiaate Relaatiot

Lisätiedot

MS-A0401 Diskreetin matematiikan perusteet Esimerkkejä ym., osa I

MS-A0401 Diskreetin matematiikan perusteet Esimerkkejä ym., osa I MS-A040 Diskreetin matematiikan perusteet Esimerkkejä ym., osa I G. Gripenberg Aalto-yliopisto 0. syyskuuta 05 G. Gripenberg (Aalto-yliopisto) MS-A040 Diskreetin matematiikan perusteet Esimerkkejä0. ym.,

Lisätiedot

MS-A0402 Diskreetin matematiikan perusteet

MS-A0402 Diskreetin matematiikan perusteet MS-A0402 Disreetin matematiian perusteet Osa 3: Kombinatoriia Riia Kangaslampi 2017 Matematiian ja systeemianalyysin laitos Aalto-yliopisto Kombinatoriia Summaperiaate Esimeri 1 Opetusohjelmaomiteaan valitaan

Lisätiedot

MS-A0401 Diskreetin matematiikan perusteet Yhteenveto ja esimerkkejä ym., osa I

MS-A0401 Diskreetin matematiikan perusteet Yhteenveto ja esimerkkejä ym., osa I MS-A040 Disreeti matematiia perusteet Yhteeveto ja esimerejä ym., osa I G. Gripeberg Aalto-yliopisto 0. syysuuta 05 Jouo-oppi ja logiia Todistuset logiiassa Prediaattilogiia Idutioperiaate Relaatiot ja

Lisätiedot

Tehtävä 3. Määrää seuraavien jonojen raja-arvot 1.

Tehtävä 3. Määrää seuraavien jonojen raja-arvot 1. Jonotehtävät, 0/9/005, sivu / 5 Perustehtävät Tehtävä. Muotoile matemaattiset vastineet seuraavien väitteiden negaatioille (ts. vastaohdat).. Jono (a n ) suppenee ohti luua a.. Jono (a n ) on asvava. 3.

Lisätiedot

JOHDATUS LUKUTEORIAAN (syksy 2017) HARJOITUS 1, MALLIRATKAISUT

JOHDATUS LUKUTEORIAAN (syksy 2017) HARJOITUS 1, MALLIRATKAISUT JOHDATUS LUKUTEORIAAN (sysy 2017) HARJOITUS 1, MALLIRATKAISUT Tehtävä 1. (i) Etsi luvun 111312 aii teijät. (ii) Oloot a ja b positiivisia oonaisluuja joilla a b ja b a. Osoita, että silloin a = b. Rataisu

Lisätiedot

Tehtävä 2 Todista luennoilla annettu kaava: jos lukujen n ja m alkulukuesitykset. ja m = k=1

Tehtävä 2 Todista luennoilla annettu kaava: jos lukujen n ja m alkulukuesitykset. ja m = k=1 Luuteoria Harjoitus 1 evät 2011 Alesis Kosi 1 Tehtävä 1 Näytä: jos a ja b ovat positiivisia oonaisluuja joille (a, b) = 1 ja a c, seä lisäsi b c, niin silloin ab c. Vastaus Kosa a c, niin jaollisuuden

Lisätiedot

TAMPEREEN YLIOPISTO Pro gradu -tutkielma. Hannu Pajula. Stirlingin luvuista

TAMPEREEN YLIOPISTO Pro gradu -tutkielma. Hannu Pajula. Stirlingin luvuista TAMPEREEN YLIOPISTO Pro gradu -tutielma Hannu Pajula Stirlingin luvuista Informaatiotieteiden ysiö Matematiia Maalisuu 2014 Tampereen yliopisto Informaatiotieteiden ysiö PAJULA, HANNU: Stirlingin luvuista

Lisätiedot

MS-A0402 Diskreetin matematiikan perusteet Yhteenveto, osa I

MS-A0402 Diskreetin matematiikan perusteet Yhteenveto, osa I MS-0402 Disreeti matematiia perusteet Yhteeveto, osa I G. Gripeberg 1 Jouo-oppi ja logiia Idutioperiaate 2 Relaatiot ja futiot Futiot Iso-O alto-yliopisto 12. maalisuuta 2015 3 Kombiatoriia ym. Summa-,

Lisätiedot

Joulukuun vaativammat valmennustehtävät ratkaisut

Joulukuun vaativammat valmennustehtävät ratkaisut Jouluuun vaativammat valmennustehtävät rataisut. Tapa. Pätee z = x + y, joten z = (x + y = x + y, josta sieventämällä seuraa xy 4x 4y + 4 = 0. Siispä (x (y =. Tästä yhtälöstä saadaan suoraan x =, y = 4

Lisätiedot

MS-A0401 Diskreetin matematiikan perusteet Yhteenveto, osa I

MS-A0401 Diskreetin matematiikan perusteet Yhteenveto, osa I MS-0401 Disreeti matematiia perusteet Yhteeveto, osa I G. Gripeberg alto-yliopisto 30. syysuuta 2015 1 Jouo-oppi ja logiia Prediaattilogiia Idutioperiaate 2 Relaatiot ja futiot Futiot Iso-O 3 Kombiatoriia

Lisätiedot

MS-A0401 Diskreetin matematiikan perusteet Yhteenveto ja esimerkkejä ym., osa I

MS-A0401 Diskreetin matematiikan perusteet Yhteenveto ja esimerkkejä ym., osa I MS-A0401 Diskreetin matematiikan perusteet Yhteenveto ja esimerkkejä ym., osa I G. Gripenberg Aalto-yliopisto 30. syyskuuta 2015 G. Gripenberg (Aalto-yliopisto) MS-A0401 Diskreetin matematiikan perusteet

Lisätiedot

Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Ratkaisut 1. viikolle /

Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Ratkaisut 1. viikolle / MS-A8 Differentiaali- ja integraalilasenta, V/27 Differentiaali- ja integraalilasenta Rataisut. viiolle /. 3.4. Luujonot Tehtävä : Mitä ovat luujonon viisi ensimmäistä termiä, un luujono on a) (a n ) n=,

Lisätiedot

MS-A0401 Diskreetin matematiikan perusteet Yhteenveto ja esimerkkejä ym., osa I

MS-A0401 Diskreetin matematiikan perusteet Yhteenveto ja esimerkkejä ym., osa I MS-A0401 Diskreetin matematiikan perusteet Yhteenveto ja esimerkkejä ym., osa I G. Gripenberg Aalto-yliopisto 8. syyskuuta 016 G. Gripenberg (Aalto-yliopisto) MS-A0401 Diskreetin matematiikan perusteet

Lisätiedot

funktiojono. Funktiosarja f k a k (x x 0 ) k

funktiojono. Funktiosarja f k a k (x x 0 ) k SARJAT JA DIFFERENTIAALIYHTÄLÖT 2003 3 4. Funtiosarjat Tässä luvussa esitettävissä funtiosarjojen tulosissa yhdistämme luujen 3 teoriaa. Esimeri 4.. Geometrinen sarja x suppenee aiilla x ], [ ja hajaantuu

Lisätiedot

Johdatus lukuteoriaan Harjoitus 1 syksy 2008 Eemeli Blåsten. Ratkaisuehdotelma

Johdatus lukuteoriaan Harjoitus 1 syksy 2008 Eemeli Blåsten. Ratkaisuehdotelma Johdatus luuteoriaan Harjoitus 1 ss 008 Eemeli Blåsten Rataisuehdotelma Tehtävä 1 Oloot a ja b positiivisia oonaisluuja. Osoita, että on olemassa siäsitteinen luu h ('luujen a ja b pienin hteinen jaettava',

Lisätiedot

Luku kahden alkuluvun summana

Luku kahden alkuluvun summana Luu ahden aluluvun summana Juho Salmensuu Lahden Lyseon luio Matematiia 008 Tiivistelmä Tutielmassa tarastellaan ysymystä; uina monella eri tavalla annettu parillinen oonaisluu voidaan esittää ahden aluluvun

Lisätiedot

4.3 Erillisten joukkojen yhdisteet

4.3 Erillisten joukkojen yhdisteet 4.3 Erillisten jouojen yhdisteet Ongelmana on pitää yllä ooelmaa S 1,..., S perusjouon X osajouoja, jota voivat muuttua ajan myötä. Rajoitusena on, että miään alio x ei saa uulua useampaan uin yhteen jouoon.

Lisätiedot

Perustehtäviä. Sarjateorian tehtävät 10. syyskuuta 2005 sivu 1 / 24

Perustehtäviä. Sarjateorian tehtävät 10. syyskuuta 2005 sivu 1 / 24 Sarjateorian tehtävät 0. syysuuta 2005 sivu / 24 Perustehtäviä. Muunna sarja telesooppimuotoon ja osoita, että se suppenee. Lase myös sarjan summa. ( + ) = 2 + 6 + 2 +... 2. Osoita suoraan määritelmään

Lisätiedot

Sattuman matematiikkaa III

Sattuman matematiikkaa III Sattuman matematiiaa III Kolmogorovin asioomat ja frevenssitulinta Tommi Sottinen Tutija Matematiian ja tilastotieteen laitos, Helsingin yliopisto Laboratoire de Probabilités et Modèles Aléatoires, Université

Lisätiedot

III. SARJATEORIAN ALKEITA. III.1. Sarjan suppeneminen. x k = x 1 + x 2 + x ,

III. SARJATEORIAN ALKEITA. III.1. Sarjan suppeneminen. x k = x 1 + x 2 + x , III. SARJATEORIAN ALKEITA Sarja on formaali summa III.. Sarjan suppeneminen = x + x 2 + x 3 +..., missä R aiilla N (merintä ei välttämättä taroita mitään reaaliluua). Luvut x, x 2,... ovat sarjan yhteenlasettavat

Lisätiedot

C (4) 1 x + C (4) 2 x 2 + C (4)

C (4) 1 x + C (4) 2 x 2 + C (4) http://matematiialehtisolmu.fi/ Kombiaatio-oppia Kuia mota erilaista lottoriviä ja poeriättä o olemassa? Lotossa arvotaa 7 palloa 39 pallo jouosta. Poeriäsi o viide orti osajouo 52 orttia äsittävästä paasta.

Lisätiedot

Hanoin tornit. Merkitään a n :llä pienintä tarvittavaa määrää siirtoja n:lle kiekolle. Tietysti a 1 = 1. Helposti nähdään myös, että a 2 = 3:

Hanoin tornit. Merkitään a n :llä pienintä tarvittavaa määrää siirtoja n:lle kiekolle. Tietysti a 1 = 1. Helposti nähdään myös, että a 2 = 3: Hanoin tornit Oloot n ieoa asetettu olmeen tanoon uvan osoittamalla tavalla (uvassa n = 7). Siirtämällä yhtä ieoa errallaan, ieot on asetettava toiseen tanoon samaan järjestyseen. Isompaa ieoa ei missään

Lisätiedot

2 Taylor-polynomit ja -sarjat

2 Taylor-polynomit ja -sarjat 2 Taylor-polynomit ja -sarjat 2. Taylor-polynomi Taylor-polynomi P n (x; x 0 ) funtion paras n-asteinen polynomiapprosimaatio (derivoinnin annalta) pisteen x 0 lähellä. Maclaurin-polynomi: tapaus x 0 0.

Lisätiedot

Matematiikan tukikurssi

Matematiikan tukikurssi Matematiian tuiurssi Kurssierta 5 Sarjojen suppeneminen Kiinnostusen ohteena on edelleen sarja a n = a + a 2 + a 3 + a 4 + n= Tämä summa on mahdollisesti äärellisenä olemassa, jolloin sanotaan että sarja

Lisätiedot

2.8 Mallintaminen ensimmäisen asteen polynomifunktion avulla

2.8 Mallintaminen ensimmäisen asteen polynomifunktion avulla MAB Matemaattisia malleja I.8. Mallintaminen ensimmäisen asteen.8 Mallintaminen ensimmäisen asteen polynomifuntion avulla Tutustutaan mallintamiseen esimerien autta. Esimeri.8. Määritä suoran yhtälö, un

Lisätiedot

9 Lukumäärien laskemisesta

9 Lukumäärien laskemisesta 9 Luumäärie lasemisesta 9 Biomiertoimet ja osajouoje luumäärä Määritelmä 9 Oletetaa, että, N Biomierroi ilmaisee, uia mota -alioista osajouoa o sellaisella jouolla, jossa o aliota Meritä luetaa yli Lasimesta

Lisätiedot

STOKASTISET DIFFERENTIAALIYHTÄLÖT 7

STOKASTISET DIFFERENTIAALIYHTÄLÖT 7 STOKASTISET DIFFERENTIAALIYHTÄLÖT 7 1. Todennäöisyyslasennasta ja merinnöistä Palautamme seuraavassa lyhyesti mieleen todennäöisyyslasennan äsitteitä ja esittelemme myös muutamia urssilla äytettäviä merintätapoja.

Lisätiedot

OHJ-2300 Johdatus tietojenkäsittelyteoriaan Syksy 2008

OHJ-2300 Johdatus tietojenkäsittelyteoriaan Syksy 2008 OHJ-2300 Johdatus tietojenäsittelyteoriaan Sysy 2008 1 2 Organisaatio & aiataulu Luennot: prof. Tapio Elomaa P1: Ti 14-16 TC 103 ja to 14 16 TC 133 P2: Ti 14-16 TB 219 ja to 12 14 TB 224 26.8. 20.11. Jussi

Lisätiedot

M 2 M = sup E M 2 t. E X t = lim. niin martingaalikonvergenssilauseen oletukset ovat voimassa, eli löydämme satunnaismuuttujan M, joka toteuttaa ehdon

M 2 M = sup E M 2 t. E X t = lim. niin martingaalikonvergenssilauseen oletukset ovat voimassa, eli löydämme satunnaismuuttujan M, joka toteuttaa ehdon Matematiian ja tilastotieteen laitos Stoastiset differentiaaliyhtälöt Rataisuehdotelma Harjoituseen 7 1. Näytä, että uvaus M M M 2, un M 2 M = sup E M 2 t 2 t 0 on normi jouossa M 2 = { M : M on martingaali

Lisätiedot

Ylioppilastutkintolautakunta S tudentexamensnämnden

Ylioppilastutkintolautakunta S tudentexamensnämnden Ylioppilastutintolautaunta S tudenteamensnämnden MATEMATIIKAN KOE, PITKÄ OPPIMÄÄRÄ 0..0 HYVÄN VASTAUKSEN PIIRTEITÄ Alla oleva vastausten piirteiden ja sisältöjen luonnehdinta ei sido ylioppilastutintolautaunnan

Lisätiedot

MS-A0401 Diskreetin matematiikan perusteet Yhteenveto, osa I

MS-A0401 Diskreetin matematiikan perusteet Yhteenveto, osa I MS-A0401 Diskreetin matematiikan perusteet Yhteenveto, osa I G. Gripenberg Aalto-yliopisto 30. syyskuuta 2015 G. Gripenberg (Aalto-yliopisto) MS-A0401 Diskreetin matematiikan perusteet Yhteenveto, 30.

Lisätiedot

Diskreetin matematiikan perusteet Laskuharjoitus 2 / vko 9

Diskreetin matematiikan perusteet Laskuharjoitus 2 / vko 9 Diskreetin matematiikan perusteet Laskuharjoitus 2 / vko 9 Tuntitehtävät 9-10 lasketaan alkuviikon harjoituksissa ja tuntitehtävät 13-14 loppuviikon harjoituksissa. Kotitehtävät 11-12 tarkastetaan loppuviikon

Lisätiedot

[ ] [ 2 [ ] [ ] ( ) [ ] Tehtävä 1. ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2( ) = 1. E v k 1( ) R E[ v k v k ] E e k e k e k e k. e k e k e k e k.

[ ] [ 2 [ ] [ ] ( ) [ ] Tehtävä 1. ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2( ) = 1. E v k 1( ) R E[ v k v k ] E e k e k e k e k. e k e k e k e k. ehtävä. x( + ) x( y x( + e ( y x( + e ( E v E e ( ) e ( R E[ v v ] E e e e e e e e e 6 estimointivirhe: ~ x( x( x$( x( - b y ( - b y ( estimointivirheen odotusarvo: x( - b x( - b e ( - b x( - b e ( ( -

Lisätiedot

Eulerin φ-funktion ominaisuuksia

Eulerin φ-funktion ominaisuuksia TAMPEREEN YLIOPISTO Pro gradu -tutielma Jua Peltola Eulerin φ-funtion ominaisuusia Informaatiotieteiden ysiö Matematiia Marrasuu 2013 Tampereen yliopisto Informaatiotieteiden ysiö PELTOLA, JUKKA: Eulerin

Lisätiedot

Todennäköisyysjakaumat 1/5 Sisältö ESITIEDOT: todennäköisyyslaskenta, määrätty integraali

Todennäköisyysjakaumat 1/5 Sisältö ESITIEDOT: todennäköisyyslaskenta, määrätty integraali Todennäöissjaaumat /5 Sisältö ESITIEDOT: lasenta, määrätt Haemisto KATSO MYÖS: tilastomatematiia P (X = )=p. Nämä ovat 0 ja niiden summa on p =. Pistetodennäöisdet voidaan graafisesti esittää pstsuorien

Lisätiedot

802328A LUKUTEORIAN PERUSTEET OSA II BASICS OF NUMBER THEORY PART II. Tapani Matala-aho MATEMATIIKKA/LUTK/OULUN YLIOPISTO

802328A LUKUTEORIAN PERUSTEET OSA II BASICS OF NUMBER THEORY PART II. Tapani Matala-aho MATEMATIIKKA/LUTK/OULUN YLIOPISTO 802328A LUKUTEORIAN PERUSTEET OSA II BASICS OF NUMBER THEORY PART II Tapani Matala-aho MATEMATIIKKA/LUTK/OULUN YLIOPISTO SYKSY 2016 Sisältö 1 KERTOMAT, BINOMIKERTOIMET 2 1.0.1 Kertoma/Factorial......................

Lisätiedot

termit on luontevaa kirjoittaa summamuodossa. Tällöin päädymme lukusarjojen teoriaan: a k = s.

termit on luontevaa kirjoittaa summamuodossa. Tällöin päädymme lukusarjojen teoriaan: a k = s. SARJAT JA DIFFERENTIAALIYHTÄLÖT 2003 7 3. Luusarjat Josus luujonon (b ) termit on luontevairjoittaa summamuodossa. Tällöin päädymme luusarjojen teoriaan: Määritelmä 3.. Oloon ( ), R luujono. Symboli (3.)

Lisätiedot

2.1. Bijektio. Funktion kasvaminen ja väheneminen ********************************************************

2.1. Bijektio. Funktion kasvaminen ja väheneminen ******************************************************** .. Funtion asvainen ja väheneinen.. Bijetio. Funtion asvainen ja väheneinen Palautetaan ieleen funtion äsite. ******************************************************** MÄÄRITELMÄ Oloot ja B asi ei-tyhjää

Lisätiedot

Pyramidi 3 Analyyttinen geometria tehtävien ratkaisut sivu 139 Päivitetty a) 402 Suplementtikulmille on voimassa

Pyramidi 3 Analyyttinen geometria tehtävien ratkaisut sivu 139 Päivitetty a) 402 Suplementtikulmille on voimassa Pyramidi Analyyttinen geometria tehtävien rataisut sivu 9 Päivitetty 9..6 4 a) 4 Suplementtiulmille on voimassa b) a) α + β 8 α + β 8 β 6 c) b) c) α 6 6 + β 8 β 8 6 β 45 β 6 9 α 9 9 + β 8 β 8 + 9 β 7 Pyramidi

Lisätiedot

VALIKOITUJA KOHTIA LUKUTEORIASTA

VALIKOITUJA KOHTIA LUKUTEORIASTA VALIKOITUJA KOHTIA LUKUTEORIASTA ARI LEHTONEN 1. Laajennettu Euleideen algoritmi 1.1. Jaoyhtälö. Oloot r 0, r 1 Z, r 0 r 1 > 0. Tällöin on olemassa ysiäsitteiset luvut q 1 ja r 2 Z siten, että r 0 = q

Lisätiedot

1. YKSISUUNTAINEN VARIANSSIANALYYSI: AINEISTON ESITYSMUODOT

1. YKSISUUNTAINEN VARIANSSIANALYYSI: AINEISTON ESITYSMUODOT imat-2.104 Tilastollisen analyysin perusteet / Tehtävät Aiheet: Avainsanat: Ysisuuntainen varianssianalyysi Bartlettin testi, Bonferronin menetelmä, F-testi, Jäännösneliösumma, χ 2 -testi, Koonaisesiarvo,

Lisätiedot

MS-A0402 Diskreetin matematiikan perusteet

MS-A0402 Diskreetin matematiikan perusteet MS-A0402 Diskreetin matematiikan perusteet Osa 1: Joukko-oppi ja logiikka Riikka Kangaslampi 2017 Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Aalto-yliopisto Kiitokset Nämä luentokalvot perustuvat Gustaf

Lisätiedot

MS-A0402 Diskreetin matematiikan perusteet Yhteenveto, osa I

MS-A0402 Diskreetin matematiikan perusteet Yhteenveto, osa I MS-A0402 Diskreetin matematiikan perusteet Yhteenveto, osa I G. Gripenberg Aalto-yliopisto 3. huhtikuuta 2014 G. Gripenberg (Aalto-yliopisto) MS-A0402 Diskreetin matematiikan perusteetyhteenveto, 3. osahuhtikuuta

Lisätiedot

Laskennallisen kombinatoriikan perusongelmia

Laskennallisen kombinatoriikan perusongelmia Laseallise obiatoriia perusogelia Varsi oissa tehtävissä, joissa etsitää tietylaiste järjestelyje, jouoje ts luuääriä, o taustalla joi uutaista peruslasetatavoista tai lasetaogelista Tässä esitelläälyhyesti

Lisätiedot

Ennen kuin mennään varsinaisesti tämän harjoituksen asioihin, otetaan aluksi yksi merkintätekninen juttu. Tarkastellaan differenssiyhtälöä

Ennen kuin mennään varsinaisesti tämän harjoituksen asioihin, otetaan aluksi yksi merkintätekninen juttu. Tarkastellaan differenssiyhtälöä DEE-00 Lineaariset järjestelmät Harjoitus, rataisuehdotuset Ennen uin mennään varsinaisesti tämän harjoitusen asioihin, otetaan alusi ysi merintäteninen juttu Tarastellaan differenssiyhtälöä y y y 0 Vaihtoehtoinen

Lisätiedot

J1 (II.6.9) J2 (X.5.5) MATRIISILASKENTA(TFM) MALLIT AV 6

J1 (II.6.9) J2 (X.5.5) MATRIISILASKENTA(TFM) MALLIT AV 6 MATRIISILASKENTA(TFM) MALLIT AV 6 J (II.6.9) Päättele, että avaruusvetorit a, b ja c ovat lineaarisesti riippuvat täsmälleen un vetoreiden virittämän suuntaissärmiön tilavuus =. Tuti tällä riteerillä ovato

Lisätiedot

3. Markovin prosessit ja vahva Markovin ominaisuus

3. Markovin prosessit ja vahva Markovin ominaisuus 30 STOKASTISET DIFFERENTIAALIYHTÄLÖT 3. Marovin prosessit ja vahva Marovin ominaisuus Aloitamme nyt edellisen appaleen päättäneen esimerin yleistämisen Brownin liieelle. Käymme ysitellen läpi esimerin

Lisätiedot

Johdatus matemaattiseen päättelyyn

Johdatus matemaattiseen päättelyyn Johdatus matemaattiseen päättelyyn Maarit Järvenpää Oulun yliopisto Matemaattisten tieteiden laitos Syyslukukausi 2015 1 Merkintöjä Luonnollisten lukujen joukko N on joukko N = {1, 2, 3,...} ja kokonaislukujen

Lisätiedot

Approbatur 3, demo 1, ratkaisut A sanoo: Vähintään yksi meistä on retku. Tehtävänä on päätellä, mitä tyyppiä A ja B ovat.

Approbatur 3, demo 1, ratkaisut A sanoo: Vähintään yksi meistä on retku. Tehtävänä on päätellä, mitä tyyppiä A ja B ovat. Approbatur 3, demo 1, ratkaisut 1.1. A sanoo: Vähintään yksi meistä on retku. Tehtävänä on päätellä, mitä tyyppiä A ja B ovat. Käydään kaikki vaihtoehdot läpi. Jos A on rehti, niin B on retku, koska muuten

Lisätiedot

b 4i j k ovat yhdensuuntaiset.

b 4i j k ovat yhdensuuntaiset. MAA5. 1 Koe 29.9.2012 Jussi Tyni Valitse 6 tehtävää! Muista tehdä pisteytysruuduo ensimmäisen onseptin yläreunaan! Perustele vastausesi välivaiheilla! 1. Oloon vetorit a 2i 6 j 3 ja b i 4 j 3 a) Määritä

Lisätiedot

Tehtävä 11 : 1. Tehtävä 11 : 2

Tehtävä 11 : 1. Tehtävä 11 : 2 Tehtävä : Käytetää irjaita M luvu ( ) meritsemisee. Satuaisverossa G, p() o yhteesä solmua, jote satuaismuuttuja X mahdollisia arvoja ovat täsmällee jouo0,..., M} aii aliot. Joaie satuaisvero mahdollisista

Lisätiedot

Vakuutusmatematiikan sovellukset 20.11.2008 klo 9-15

Vakuutusmatematiikan sovellukset 20.11.2008 klo 9-15 SHV-tutinto Vauutusmatematiian sovelluset 20.11.2008 lo 9-15 1(7) Y1. Seuraava tauluo ertoo vauutusyhtiön masamat orvauset vahinovuoden ja orvausen masuvuoden muaan ryhmiteltynä (tuhansina euroina): Vahinovuosi

Lisätiedot

Diskreetin matematiikan perusteet Laskuharjoitus 1 / vko 8

Diskreetin matematiikan perusteet Laskuharjoitus 1 / vko 8 Diskreetin matematiikan perusteet Laskuharjoitus 1 / vko 8 Tuntitehtävät 1-2 lasketaan alkuviikon harjoituksissa ja tuntitehtävät 5- loppuviikon harjoituksissa. Kotitehtävät 3-4 tarkastetaan loppuviikon

Lisätiedot

MS-A0402 Diskreetin matematiikan perusteet

MS-A0402 Diskreetin matematiikan perusteet MS-A040 Diskreetin matematiikan perusteet Osa : Relaatiot ja funktiot Riikka Kangaslampi 017 Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Aalto-yliopisto Relaatiot Relaatio Määritelmä 1 Relaatio joukosta A

Lisätiedot

Diskreetin Matematiikan Paja Ratkaisuja viikolle 5. ( ) Jeremias Berg

Diskreetin Matematiikan Paja Ratkaisuja viikolle 5. ( ) Jeremias Berg Disreeti Matematiia Paja Rataisuja viiolle 5. (28.4-29.4 Jeremias Berg Yleisiä ommeteja: Näissä tehtävissä aia usei rataisua oli ysittäie lasu. Kuitei vastausee olisi hyvä lisätä ommeteja siitä misi jou

Lisätiedot

(2n 1) = n 2

(2n 1) = n 2 3.5 Induktiotodistus Induktiota käyttäen voidaan todistaa luonnollisia lukuja koskevia väitteitä, jotka ovat muotoa väite P (n) on totta kaikille n =0, 1, 2,... Tässä väite P (n) riippuu n:n arvosta. Todistuksessa

Lisätiedot

Ensimmäinen induktioperiaate

Ensimmäinen induktioperiaate Ensimmäinen induktioperiaate Olkoon P(n) luonnollisilla luvuilla määritelty predikaatti. (P(n) voidaan lukea luvulla n on ominaisuus P.) Todistettava, että P(n) on tosi jokaisella n N. ( Kaikilla luonnollisilla

Lisätiedot

Diskreetin matematiikan perusteet Malliratkaisut 2 / vko 38

Diskreetin matematiikan perusteet Malliratkaisut 2 / vko 38 Diskreetin matematiikan perusteet Malliratkaisut 2 / vko 38 Tuntitehtävät 11-12 lasketaan alkuviikon harjoituksissa ja tuntitehtävät 15-16 loppuviikon harjoituksissa. Kotitehtävät 13-14 tarkastetaan loppuviikon

Lisätiedot

Predikaattilogiikan malli-teoreettinen semantiikka

Predikaattilogiikan malli-teoreettinen semantiikka Predikaattilogiikan malli-teoreettinen semantiikka February 4, 2013 Muistamme, että predikaattilogiikassa aakkosto L koostuu yksilövakioista c 0, c 1, c 2,... ja predikaattisymboleista P, R,... jne. Ekstensionaalisia

Lisätiedot

Talousmatematiikan verkkokurssi. Koronkorkolaskut

Talousmatematiikan verkkokurssi. Koronkorkolaskut Sivu 1/7 oronorolasuja sovelletaan tapausiin, joissa aia on pidempi uin ysi oonainen orojaso, eli aia, jolle oroanta ilmoittaa oron määrän. orolasu: enintään yhden orojason pituisille oroajoille; oronorolasu:

Lisätiedot

Ensimmäinen induktioperiaate

Ensimmäinen induktioperiaate 1 Ensimmäinen induktioperiaate Olkoon P(n) luonnollisilla luvuilla määritelty predikaatti. (P(n) voidaan lukea luvulla n on ominaisuus P.) Todistettava, että P(n) on tosi jokaisella n N. ( Kaikilla luonnollisilla

Lisätiedot

Kirjoita käyttäen propositiosymboleita, konnektiiveja ja sulkeita propositiologiikan lauseiksi:

Kirjoita käyttäen propositiosymboleita, konnektiiveja ja sulkeita propositiologiikan lauseiksi: 1 Logiikan paja, kevät 2011 Ratkaisut viikolle I Thomas Vikberg Merkitään propopositiosymboleilla p i seuraavia atomilauseita: p 0 : vettä sataa p 1 : tänään on perjantai p 2 : olen myöhässä Valitaan konnektiiveiksi,

Lisätiedot

Matematiikan tukikurssi, kurssikerta 2

Matematiikan tukikurssi, kurssikerta 2 Matematiikan tukikurssi kurssikerta 1 Relaatioista Oletetaan kaksi alkiota a ja b. Näistä kumpikin kuuluu johonkin tiettyyn joukkoon mahdollisesti ne kuuluvat eri joukkoihin; merkitään a A ja b B. Voidaan

Lisätiedot

Eksponentti- ja logaritmiyhtälö

Eksponentti- ja logaritmiyhtälö Esponentti- ja logaritmiyhtälö Esponenttifuntio Oloon a 1 positiivinen reaaliluu. Reaalifuntiota f() = a nimitetään esponenttifuntiosi ja luua a sen antaluvusi. Jos a > 1, niin esponenttifuntio f : R R,

Lisätiedot

Johdatus matemaattiseen päättelyyn

Johdatus matemaattiseen päättelyyn Johdatus matemaattiseen päättelyyn Maarit Järvenpää Oulun yliopisto Matemaattisten tieteiden laitos Syyslukukausi 2015 1 Merkintöjä 2 Todistamisesta 2 3 Joukko-oppia Tässä luvussa tarkastellaan joukko-opin

Lisätiedot

missä on myös käytetty monisteen kaavaa 12. Pistä perustelut kohdilleen!

missä on myös käytetty monisteen kaavaa 12. Pistä perustelut kohdilleen! Matematiikan johdantokurssi Kertausharjoitustehtävien ratkaisuja/vastauksia/vihjeitä. Osoita todeksi logiikan lauseille seuraava: P Q (P Q). Ratkaisuohje. Väite tarkoittaa, että johdetut lauseet P Q ja

Lisätiedot

Modus Ponens. JosAjaA B ovat tosia, niin välttämättä myösb on tosi 1 / 15. Modus Ponens. Ketjusääntö. Päättelyketju.

Modus Ponens. JosAjaA B ovat tosia, niin välttämättä myösb on tosi 1 / 15. Modus Ponens. Ketjusääntö. Päättelyketju. JosAjaA B ovat tosia, niin välttämättä myösb on tosi 1 / 15 JosAjaA B ovat tosia, niin välttämättä myösb on tosi (A (A B)) B on tautologia eli (A (A B)) B. 1 / 15 JosAjaA B ovat tosia, niin välttämättä

Lisätiedot

Johdatus matematiikkaan

Johdatus matematiikkaan Johdatus matematiikkaan Luento 4 Mikko Salo 4.9.2017 Sisältö 1. Rationaali ja irrationaaliluvut 2. Induktiotodistus Rationaaliluvut Määritelmä Reaaliluku x on rationaaliluku, jos x = m n kokonaisluvuille

Lisätiedot

Vastaus 1. Lasketaan joukkojen alkiot, ja todetaan, että niitä on 3 molemmissa.

Vastaus 1. Lasketaan joukkojen alkiot, ja todetaan, että niitä on 3 molemmissa. Miten perustella, että joukossa A = {a, b, c} on yhtä monta alkiota kuin joukossa B = {d, e, f }? Vastaus 1. Lasketaan joukkojen alkiot, ja todetaan, että niitä on 3 molemmissa. Vastaus 2. Vertaillaan

Lisätiedot

Reaalifunktioista 1 / 17. Reaalifunktioista

Reaalifunktioista 1 / 17. Reaalifunktioista säilyy 1 / 17 säilyy Jos A, B R, niin funktiota f : A B sanotaan (yhden muuttujan) reaalifunktioksi. Tällöin karteesinen tulo A B on (aiempia esimerkkejä luonnollisemmalla tavalla) xy-tason osajoukko,

Lisätiedot

-Matematiikka on aksiomaattinen järjestelmä. -uusi tieto voidaan perustella edellisten tietojen avulla, tätä kutsutaan todistamiseksi

-Matematiikka on aksiomaattinen järjestelmä. -uusi tieto voidaan perustella edellisten tietojen avulla, tätä kutsutaan todistamiseksi -Matematiikka on aksiomaattinen järjestelmä -uusi tieto voidaan perustella edellisten tietojen avulla, tätä kutsutaan todistamiseksi -mustavalkoinen: asia joko on tai ei (vrt. humanistiset tieteet, ei

Lisätiedot

Matematiikan tukikurssi

Matematiikan tukikurssi Matematiikan tukikurssi Kurssikerta 1 Määrittelyjoukoista Tarkastellaan funktiota, jonka määrittelevä yhtälö on f(x) = x. Jos funktion lähtöjoukoksi määrittelee vaikkapa suljetun välin [0, 1], on funktio

Lisätiedot

Kertausosa. Kertausosa. 4. Sijoitetaan x = 2 ja y = 3 suoran yhtälöön. 1. a) Tosi Piste (2,3) on suoralla. Epätosi Piste (2, 3) ei ole suoralla. 5.

Kertausosa. Kertausosa. 4. Sijoitetaan x = 2 ja y = 3 suoran yhtälöön. 1. a) Tosi Piste (2,3) on suoralla. Epätosi Piste (2, 3) ei ole suoralla. 5. Kertausosa. Sijoitetaan ja y suoran yhtälöön.. a) d, ( ) ( ),0... d, ( 0 ( ) ) ( ) 0,9.... Kodin oordinaatit ovat (-,0;,0). Kodin ja oulun etäisyys d, (,0 0) (,0 0),0,...,0 (m) a) Tosi Piste (,) on suoralla.

Lisätiedot

DEE Lineaariset järjestelmät Harjoitus 2, ratkaisuehdotukset. Johdanto differenssiyhtälöiden ratkaisemiseen

DEE Lineaariset järjestelmät Harjoitus 2, ratkaisuehdotukset. Johdanto differenssiyhtälöiden ratkaisemiseen D-00 Lineaariset järjestelmät Harjoitus, rataisuehdotuset Johdanto differenssiyhtälöiden rataisemiseen Differenssiyhtälöillä uvataan disreettiaiaisten järjestelmien toimintaa. Disreettiaiainen taroittaa

Lisätiedot

Matematiikan tukikurssi, kurssikerta 5

Matematiikan tukikurssi, kurssikerta 5 Matematiikan tukikurssi, kurssikerta 5 1 Jonoista Matematiikassa jono (x n ) on yksinkertaisesti järjestetty, päättymätön sarja numeroita Esimerkiksi (1,, 3, 4, 5 ) on jono Jonon i:ttä jäsentä merkitään

Lisätiedot

j(j 1) = n(n2 1) 3 + (k + 1)k = (k + 1)(k2 k + 3k) 3 = (k + 1)(k2 + 2k + 1 1)

j(j 1) = n(n2 1) 3 + (k + 1)k = (k + 1)(k2 k + 3k) 3 = (k + 1)(k2 + 2k + 1 1) MS-A0401 Diskreetin matematiikan perusteet Tentti ja välikokeiden uusinta 10.11.015 Kirjoita jokaiseen koepaperiin nimesi, opiskelijanumerosi ym. tiedot! Laskimia tai taulukoita ei saa käyttää tässä kokeessa!

Lisätiedot

Matemaattinen Analyysi

Matemaattinen Analyysi Vaasan yliopisto, evät 05 / ORMS00 Matemaattinen Analyysi 6. harjoitus. Approsimoi toisen asteen polynomilla P(x) = b 0 +b x+b x oheisen tauluon muaisia havaintoja. (Teorian löydät opetusmonisteen sivuilta

Lisätiedot

Toinen muotoilu. {A 1,A 2,...,A n,b } 0, Edellinen sääntö toisin: Lause 2.5.{A 1,A 2,...,A n } B täsmälleen silloin kun 1 / 13

Toinen muotoilu. {A 1,A 2,...,A n,b } 0, Edellinen sääntö toisin: Lause 2.5.{A 1,A 2,...,A n } B täsmälleen silloin kun 1 / 13 2 3 Edellinen sääntö toisin: Lause 2.5.{A 1,A 2,...,A n } B täsmälleen silloin kun {A 1,A 2,...,A n,b } 0, jatkoa jatkoa 1 / 13 2 3 Edellinen sääntö toisin: Lause 2.5.{A 1,A 2,...,A n } B täsmälleen silloin

Lisätiedot

DEE Lineaariset järjestelmät Harjoitus 5, harjoitustenpitäjille tarkoitetut ratkaisuehdotukset

DEE Lineaariset järjestelmät Harjoitus 5, harjoitustenpitäjille tarkoitetut ratkaisuehdotukset DEE- Lineaariset järjestelmät Harjoitus 5, harjoitustenpitäjille taroitetut rataisuehdotuset Tämän harjoitusen ideana on opetella -muunnosen äyttöä differenssiyhtälöiden rataisemisessa Lisäsi äytetään

Lisätiedot

Valitse kuusi tehtävää! Kaikki tehtävät ovat 6 pisteen arvoisia.

Valitse kuusi tehtävää! Kaikki tehtävät ovat 6 pisteen arvoisia. MAA11 Koe 8.4.013 5 5 1. Luvut 6 38 ja 43 4 jaetaan luvulla 17. Osoita, että tällöin jakojäännökset ovat yhtäsuuret. Paljonko tämä jakojäännös on?. a) Tutki onko 101 alkuluku. Esitä tutkimuksesi tueksi

Lisätiedot

3. Täydellisyys ja Banachin avaruus. ominaisuutta sanotaan täydellisyydeksi. Toisena esimerkkinä mainitaan avaruus

3. Täydellisyys ja Banachin avaruus. ominaisuutta sanotaan täydellisyydeksi. Toisena esimerkkinä mainitaan avaruus FUNKTIONAALIANALYYSIN PERUSKURSSI 25 3. Täydellisyys ja Banachin avaruus Reaaliluujen jouo R (varustettuna normilla x y ) eroaa rataisevasti rationaaliluujen jouosta Q seuraavan ominaisuutensa perusteella:

Lisätiedot

(c) Määrää/Determine välillä/in the interval [1000, 10000] olevien 7. jaollisten kokonaislukujen lukumäärä/ number of integers divisible by 7.

(c) Määrää/Determine välillä/in the interval [1000, 10000] olevien 7. jaollisten kokonaislukujen lukumäärä/ number of integers divisible by 7. Luuteorian perusteet Exercises/Harjoitusia 2016 1. Show by induction/osoita indutiolla, that/että Osoita, että a n 1 = (a 1)(a n 1 + a n 2 + + a + 1). a n + 1 = (a + 1)(a n 1 a n 2 + a + 1) jos 2 n. (c)

Lisätiedot

TIEA241 Automaatit ja kieliopit, kevät 2011 (IV) Antti-Juhani Kaijanaho. 16. maaliskuuta 2011

TIEA241 Automaatit ja kieliopit, kevät 2011 (IV) Antti-Juhani Kaijanaho. 16. maaliskuuta 2011 TIEA241 Automaatit ja kieliopit, kevät 2011 (IV) Antti-Juhani Kaijanaho TIETOTEKNIIKAN LAITOS 16. maaliskuuta 2011 Sisällys Sisällys Väitelauseet lause (tai virke), joka sanoo jonkin asian pitävän paikkaansa

Lisätiedot

Diskreetin Matematiikan Paja Ratkaisuhahmotelmia viikko 1. ( ) Jeremias Berg

Diskreetin Matematiikan Paja Ratkaisuhahmotelmia viikko 1. ( ) Jeremias Berg Diskreetin Matematiikan Paja Ratkaisuhahmotelmia viikko 1. (14.3-18.3) Jeremias Berg 1. Luettele kaikki seuraavien joukkojen alkiot: (a) {x Z : x 3} (b) {x N : x > 12 x < 7} (c) {x N : 1 x 7} Ratkaisu:

Lisätiedot

5. Potenssisarjat 5.1. Määritelmä ja suppeneminen 84. 85. 86. 87. 88. 89.

5. Potenssisarjat 5.1. Määritelmä ja suppeneminen 84. 85. 86. 87. 88. 89. 5. Potenssisarjat 5.1. Määritelmä ja suppeneminen 84. Määritä seuraavien potenssisarjojen suppenemisympyrät: a) ( ) z + 3, b) 2 [ z 2 + ( 1) ], c) a) Koo omplesitaso; b) z =, R = 1; c) z = i, R = 4. 85.

Lisätiedot

4 Matemaattinen induktio

4 Matemaattinen induktio 4 Matemaattinen induktio Joidenkin väitteiden todistamiseksi pitää näyttää, että kaikilla luonnollisilla luvuilla on jokin ominaisuus P. Esimerkkejä tällaisista väitteistä ovat vaikkapa seuraavat: kaikilla

Lisätiedot

4.3. Matemaattinen induktio

4.3. Matemaattinen induktio 4.3. Matemaattinen induktio Matemaattinen induktio: Deduktion laji Soveltuu, kun ominaisuus on osoitettava olevan voimassa luonnollisilla luvuilla. Suppea muoto P(n) : Ominaisuus, joka joka riippuu luvusta

Lisätiedot

Olkoot X ja Y riippumattomia satunnaismuuttujia, joiden odotusarvot, varianssit ja kovarianssi ovat

Olkoot X ja Y riippumattomia satunnaismuuttujia, joiden odotusarvot, varianssit ja kovarianssi ovat Mat-.3 Koesuunnittelu ja tilastolliset mallit. harjoituset Mat-.3 Koesuunnittelu ja tilastolliset mallit. harjoituset / Rataisut Aiheet: Avainsanat: Satunnaismuuttujat ja todennäöisyysjaaumat Kertymäfuntio

Lisätiedot

Kaikki kurssin laskuharjoitukset pidetään Exactumin salissa C123. Malliratkaisut tulevat nettiin kurssisivulle.

Kaikki kurssin laskuharjoitukset pidetään Exactumin salissa C123. Malliratkaisut tulevat nettiin kurssisivulle. Kombinatoriikka, kesä 2010 Harjoitus 1 Ratkaisuehdotuksia (RT (5 sivua Kaikki kurssin laskuharjoitukset pidetään Exactumin salissa C123. Malliratkaisut tulevat nettiin kurssisivulle. 1. Osoita, että vuoden

Lisätiedot

Jokaisen parittoman kokonaisluvun toinen potenssi on pariton.

Jokaisen parittoman kokonaisluvun toinen potenssi on pariton. 3 Todistustekniikkaa 3.1 Väitteen kumoaminen vastaesimerkillä Monissa tilanteissa kohdataan väitteitä, jotka koskevat esimerkiksi kaikkia kokonaislukuja, kaikkia reaalilukuja tai kaikkia joukkoja. Esimerkkejä

Lisätiedot

VÄRÄHTELYMEKANIIKKA SESSIO 19: Usean vapausasteen systeemin liikeyhtälöiden johto Newtonin lakia käyttäen

VÄRÄHTELYMEKANIIKKA SESSIO 19: Usean vapausasteen systeemin liikeyhtälöiden johto Newtonin lakia käyttäen 9/ VÄRÄHTELYMEKANIIKKA SESSIO 9: Usean vapausasteen systeemin liieyhtälöiden johto Newtonin laia äyttäen JOHDANTO Usean vapausasteen systeemillä taroitetaan meaanista systeemiä, jona liietilan uvaamiseen

Lisätiedot

Luku 11. Jatkuvuus ja kompaktisuus

Luku 11. Jatkuvuus ja kompaktisuus 1 MAT-13440 LAAJA MATEMATIIKKA 4 Taperee teillie yliopisto Risto Silveoie Kevät 2008 Luu 11. Jatuvuus ja opatisuus 11.1 Jatuvat futiot ja uvauset Tässä luvussa tarastellaa yleisiillää vetoriuuttuja vetoriarvoisia

Lisätiedot

2.1. Tehtävänä on osoittaa induktiolla, että kaikille n N pätee n = 1 n(n + 1). (1)

2.1. Tehtävänä on osoittaa induktiolla, että kaikille n N pätee n = 1 n(n + 1). (1) Approbatur 3, demo, ratkaisut Sovitaan, että 0 ei ole luonnollinen luku. Tällöin oletusta n 0 ei tarvitse toistaa alla olevissa ratkaisuissa. Se, pidetäänkö nollaa luonnollisena lukuna vai ei, vaihtelee

Lisätiedot

1. Harjoituskoe. Harjoituskokeet. 1. a) Valitaan suorilta kaksi pistettä ja määritetään yhtälöt. Suora s: (x 1, y 1 ) = (0, 2) (x 2, y 2 ) = (1, 2)

1. Harjoituskoe. Harjoituskokeet. 1. a) Valitaan suorilta kaksi pistettä ja määritetään yhtälöt. Suora s: (x 1, y 1 ) = (0, 2) (x 2, y 2 ) = (1, 2) . Harjoitusoe. a) Valitaan suorilta asi pistettä ja määritetään yhtälöt. Suora s: (, y ) = (0, ) (, y ) = (, ) 0 0 0 Suoran yhtälö on y. Suora t: (, y ) = (0, ) (, y ) = (, ) ( ) 0 Suoran yhtälö on y.

Lisätiedot