Materiaalien murtuminen

Koko: px
Aloita esitys sivulta:

Download "Materiaalien murtuminen"

Transkriptio

1 Määritelmä: Materiaalien murtuminen r Fracture i the eparation, or fragmentation, of a olid body into two or more part under the action of tre Murtumiproei voidaan jakaa kahteen oaan 4 Särön ydintyminen 4 Särön kavu Murtumat voidaan jakaa kahteen päätyyppiin 4 Hauramurtuma r Särö etenee nopeati ja iihen liittyy vain pientä mikrodeformaatiota r Samanlainen kuin lohkomurtuma ionikiteiä 4 Sitkeä murtuma r Tapahtuu platita deformaatiota ekä ennen ärön etenemitä että en aikana 4 Alttiu hauramurtumaan korotuu matalia lämpötiloia, nopeia muodonmuutokia ja kolmiakiaaliea jännitytilaa (lovivaikutu)

2 Murtumatyypit

3 Materiaalien murtumityypit ja teoreettinen lujuu Materiaaleia voi ii eiintyä ueita murtumityyppejä riippuen 4 Materiaalita (kootumuketa ja mikrorakenteeta) 4 Lämpötilata 4 Muodonmuutonopeudeta 4 Jännitytilata Monikiteiiä materiaaleia murtumat etenevät: 4 Kiteiden läpi (trangranular) tai 4 Kiderajoja pitkin (intergranular) Kiteiten materiaalien teoreettinen lujuu: E 4 < 1 æ Eg ö teor. = ç > a 0 è ø E 15 Käytännöä: Miki! < max teor. 1000

4 4 Tämä johtuu materiaalia olevita virheitä: dilokaatioita, lovita, äröitä, huokoita, jne. à platinen deformaatio ja lovivaikutu 4 Elliptien loven kärjeä oleva makimijännity 4 Eli paikallieti ärön kärjeä jännity on huomattavati nimellijännitytä uurempi 4 Näin ollen murtumieen tarvittava nimellinen jännity materiaalille, joa on äröja (eli atomaarien teräviä lovia) on Materiaalien murtuminen 1 1 max 1 ø ö ç ç è æ» ú ú û ù ê ê ë é ø ö ç ç è æ + = t t c c r r t f 4c E c 4a E ø ö ç è æ g» ø ö ç ç è æ r g» kun r t = a 0 (atomirivien välinen etäiyy) Þ terävin mahdollinen ärö (Inglih) ] ) c ( ) a E ( [ t f o max r = g = 1 0. ø ö ç ç è æ = a E teor g

5 Murtumimekaniikka Griffithin teoria (laimaien hauraille aineille): 4 Hauraaa, äröjä iältävää materiaalia jännity voi paikallieti nouta yli teoreettien lujuuden, vaikka nimellijännity on huomattavati tätä pienempi. 4 Särö etenee, jo kuormitukea materiaaliin varatoituneen elatien energian pienentyminen on vähintään yhtä uuri kuin energia, joka tarvitaan uuden pinnan muodotamieen. 4 Tarkatellaan ärön kavua nimellijännityken alaiea lovelliea kappaleea 4 Elatinen jännityenergia on U E pc = - E 4 Murtopintoihin itoutuva energia: U 4 Kokonaienergia S = 4cg S DU = U + tot E U S

6 joten liääntyvä pintaenergia on kompenoiduttava elatien energian lakulla 4 Verrattaea Griffitin yhtälöä murtumieen johtavaan jännitykeen kun r t = 3a 0 eli r t = 3a 0 on elatien ärön kaarevuuäteen alaraja (vähintään näin terävä ärö). Vaikka Griffitin teoriaa ei ole kaarevuuädettä oletetaan että ärö on terävä ) ( ø ö ç è æ = ø ö ç ç è æ - = = D c E E c c dc d dc U d S G f S p g p g, 3 eli G f t Ing f t Ing f a c E a c E r p g p pr g = ø ö ç ç è æ» ø ö ç ç è æ» Murtumimekaniikka

7 Murtumimekaniikka 4 Kokeellieti tiedetään, että vaikka metalli murtuiikin makrokooppieti täyin hauraati, ennen murtumaa tapahtuu paikallita ärön platioitumita. à platinen deformaatio ärön kärjeä pyöritää itä ja näin ollen kavattaa r t :tä, jolloin murtolujuu kavaa 4 Orovan korjai Griffithin tarkatelua iällyttämällä murtolujuuden yhtälöön platita työtä ärön kavua kuvaavan termin g P (= murtopintoihin varatoitunut platinen energia) ée ë * S f = ê c ( g + g ) p 4 Tiedetään että g P on käytännöä luokkaa J/m ja vataavati g S on tyypillieti 1- J/m. 1 * éeg ù f» ê ë cp ú û P ù ú û 1

8 Murtumimekaniikka Griffith-Orovanin mukaan materiaalin murtoluujuu on f éeg» ë ê a 4 Koka ärön kavua tarvittava platinen työ g P on vaikeati kokeellieti mitattavia, Irwin modifioi yhtälöä termillä, joka on uoraan mitattavia U G c = a f éeg» ê ë pa C ù ú û 1 joa G c kriittien muodonmuutoenergian vapautuminopeu tai elatien energian vapautuminopeu tai murtumiitkey [J/m ]. 4 Elatien energian vapautuminopeu G voidaan mitata kokeellieti! Þ P ù û ú 1 f pa c» EG pa G = G = ( g + g p ) E c = K c

9 Murtumiitkey K IC [MPaÖm] on materiaalivakio ja murtuminen tapahtuu, kun K = K C ( = f ) K Murtumimekaniikka (LEMM) c = f pa K c on ii ärön kärjen kriittien jännityken uuruu, joka voidaan karakterioida mitattavien uureiden n ja a avulla. c K C = n pa Materiaalin valinta Suunnittelujännity Havaittu/ allittu ärökoko Huom! Käyttöolouhteiden vaikutuketa K voi kavaa kriittieen arvoona!

10 Murtumimekaniikka 4 Loven (tai ärön) kärjeä oleva platinen alue pienenee nopeati myötölujuuden kavaea, eli pehmeiä metalleia on uuri platinen alue ja lujia materiaaleia platinen alue on hyvin pieni. 4 Pehmeiä metalleia ärön kärjen platioituminen aiheuttaa kärjen "pyöritymitä" ja kuluttaa paljon energiaa eli murtumiitkey K c on uuri y = r P = K pr K P p o = 0

11 Murtumimekaniikka Hauraia materiaaleia platinen alue jää pieneki (ei ärön kärjen pyöritymitä) ja jännity kohoaa helpoti materiaalin teoreettien lujuuden yli

12

13 Materiaalien itkeä murtuma 4 Metalleilla itkeä murtuma tapahtuu hitaati repeytymällä ja iihen liittyy huomattava energian kulutu. 4 1-akiaaliea vetojännitykeä itkeä murtuma tapahtuu poikkipintaalan paikallien pienenemien kautta eli kuroutumalla 4 Kuroutuminen alkaa, kun muokkaulujittuminen ei pyty kompenoimaan poikkipinta-alan pienenemietä johtuvaa jännityken kavua.

14 Materiaalien itkeä murtuma 4 Kuroutuminen aiheuttaa kolmiakiaalien jännitytilan muodotumien kurouman pohjaan 4 Kurouma-alueen kekellä vaikuttaa näytteen pituuakelin uuntaien vetojännityken ynnyttämä hydrotaattinen komponentti r Tähän alueeeen yntyy mikrokoloja eli voideja r Jännityken liääntyeä nämä kavavat ja yhdityvät muodotaen iäiiä lovia tai äröjä r Särö kavaa kohtiuoraan vetoakelia vataan, kunne e aavuttaa näytteen pinnan r Lopuki ärö etenee paikalliia liukutaoja pitkin noin 45 0 kulmaa vetoakeliin nähden 4 Mikrokooppieti tarkateltuna deformaatio kekittyy ärön kärjeä ohuiiin liukunauhoin, joia vaikuttaa uurin leikkaujännity 4 Särö etenee ikakkia muodotaen yhtenäiempiä repeämiä 4 Sitkeä murtuma etenee huokoten väliten kannaten repeilemienä 4 Tätä johtuu, että itkeä murtopinta kootuu pitkänomaiita urita

15 Lovivaikutu 4 Tärkeimmät tekijät, jotka vaikuttavat itkeä- hauramurtuma taipumukeen ovat: r Jännitytila r Lämpötila r Muodonmuutotila 4 Kuvata nähdään hauramurtuman ja itkeän murtuman uhde eri lämpötiloia 4 Loveamaton näyte murtuu hauraati tranitiolämpötilan (T tr ) alapuolella 4 Loven vaikutu (platic contraint factor) aiheuttaa tranitiolämpötilan voimakkaan nouun T tr => T tr 4 Samanlainen vaikutu havaitaan myö muodonmuutonopeuden kavaea T tr T tr 4 Lovetun ja loveamattoman muodonmuutolujuuden (flow tre) uhdetta kuvataan platic-contraint - tekijällä (q) Loven vaikutu

16 3-akiaalinen puritujännity (hydrotaattinen paine) vatutaa murtumita ja iten liää itkeyttä. 4 Koka hydrotaattien paineen alla ei ole leikkaujännitytä, eivät myökään dilokaatiot liiku ja monitu à ei platita deformaatiota. 4 Liäki hydrotaattinen paine ulkee huokoia ja avautuneita kiderajoja, joten murtuman eteneminen vaikeutuu 4 Sitkeiden metallien (1), hauraiden metallien () ja erittäin hauraiden materiaalien (3) käyttäytyminen hydrotaattien paineen alaiena Hydrotaattien paineen vaikutu

17 Väyminen-Fatigue Murtuminen tapahtui nopeati ilman minkäänlaita varoituta Mikäli K < K c, ärö ei kykene kavamaan ja aiheuttamaan äkillitä murtumita. Mutta ärö voi kavaa myö em. kuormitutaon alapuolella joko 4 Vaihtelevan kuormituken (väyminen) ja/tai 4 Syövyttävän ympäritön (korrooioväyminen) vaikutuketa. Toituvan kuormituken alainen komponenttiliito voi pettää jännitykellä, joka on alle murtolujuuden ja uein jopa alle myötölujuuden

18 Väyminen Väyminen jaetaan uein kahteen päätyyppiin 1. Jännityken kontrolloima väyminen (äröttömän materiaalin väymieen). Venymän kontrolloima väyminen (kuormitu ylittää yleieti tai paikallieti materiaalin myötölujuuden) Säröttömän kompon. väyminen - Ei alkuäröjä - Säröjen ydintyminen ratkaievaa Säröllien komponentin väyminen - Rakenteea alkuäröjä /vikoja - Säröjen kärjen platioituminen à venymän konrolloima tilanne ärön kärjeä, vaikka yleinen myötäminen on elatita à eteneminen ratkaievaa "High cycle fatigue" - < o -N f > Eim. mekaaniet värähtelyt "Low cycle fatigue" - (tai L ) > o -N f < Eim. lämpöjännityket

19 Särön ydintyminen väymieä

20 Juoteliitoten luotettavuu Juoteliitoken ominaiuudet (termo)mekaaniea raitukea 4 Vanheneminen eli lujuuden pieneneminen yklien raituken ja/tai korkealämpötila-altituken johdota (age- and cyclic- oftening) 4 Rakeenkavu 4 Muodonmuutonopeuden vaikutu mekaaniiin ominaiuukiin (trainrate hardening) 4 Superplatiuu Vaurion yy juoteliitokea tavallieti väymien ja virumien yhteivaikutu 4 Lukuunottamatta vaurioita hokkikuormitukea

21 Jännityken kontrolloima väyminen (eli high cycle) 4 High cycle - väyminen tarkoittaa materiaalin väymitä yklaavan kuormituken alaiena, kun jännityket pyyvät myötörajan alapuolella, jolloin yklien lukumäärä on uuri ( >10000). 4 Kun kekijännity m = 0, kokeellinen data voidaan ovittaa yhtälöön a f D N = C 4 joka on n. Baquin laki, joa poteni a (ueimmille materiaaleille välillä 1/8...1/15) ja C 1 ovat vakioita. 1

22 Venymän kontrolloima väyminen (low-cycle) 4 Säröttömän komponentin low-cycle väymieä ykliet jännityket ovat myötörajaa uurempia (yleieti tai paikallieti), ja iki murtumaan johtava yklien lukumäärä on yleenä pieni. 4 Eittämällä platinen myötymä (e P ) log/log-ateikolla N f :n funktiona aadaan lineaarinen riippuvuu DeP c = ef (N) jota kututaan Coffin-Manonin laiki, joa De p / on venymäamplitudi (plat.), e f on n. väymiitkeykerroin, joka aadaan venymäakelin leikkaupiteetä (N = 1), ja e on» e f ueille metalleilla (tod. murtovenymä). N on jännityvaihtojen lukumäärä vaurioon (1 ykli = N) c väymiitkeyekponentti, uein välillä -0.5 <=> -0.7

23 Alkuärön iältävän komponentin väymiketävyy Uein materiaalit iältävät äröjä. Tällöin on tärkeä tietää, kuinka kauan ketää eli kuinka monta kuormitukertaa tarvitaan, ennen kuin rakenteea oleva ärö on kavanut kriittieen kokooon ja yhtäkkinen murtuminen tapahtuu. DK = K max - K min = r pa;k m = K max + K min ;K a = K max -K min

24 Alkuärön iältävän komponentin väymiketävyy 4 Jännityinteniteetti DK (=DÖpa) kavaa ärön kavaea (vakio jännityamplitudilla). 4 Jo DK on tiettyä kynnyarvoa, K th, pienempi, ärö ei kava ollenkaan (alue I), mutta kun DK ³ K C, murtuma tapahtuu välittömäti (alue III). 4 Näiden välieä n. vakautuneea vaiheea ärö kavaa jokaiella kuormanvaihdolla ja en euraukena DK (jännityinteniteetti) kavaa nopeudella da p = ADK dn miä A ja p ovat materiaalivakioita. 4 Jo alkuärön pituu on a 0 ja murtumaan johtavan ärön pituu a f on tunnettu, voidaan murtumaan johtavien yklien lukumäärä (N f ) lakea: N 4 Tämä on n. Pariin laki. f = Nf ò 0 dn = af ò a0 da A DK p

25 Materiaalin rakenteen vaikutu väymieen 4 Materiaalin väymienketävyy on hyvin riippuvainen en mikrorakenteeta: homogeeninen rakenne on edullinen. 4 Väymienketoa voidaan parantaa uunnittelemalla rakenne niin, ettei iinä ole jännitykekittymiä ja että jännityket ovat luonteeltaan puritujännitykiä (eim. alutäyte kääntöirutekniikaa). 4 Koka leikkaujännityket vaikuttavat uureti väymieen, voidaan materiaalin leikkaulujuutta notamalla myö parantaa väymiketävyyttä r Vältettävä kakifaaita rakennetta, joa toinen faai on pehmeämpi kuin toinen r Dilokaatioiden liukumien vaikeuttaminen (pieni raekoko, hienojakoiet erkaumat ja liuolujitu). r Mahdolliimman taaien liukuminen (homogeeninen faairakenne).

26 Särön etenemimekanimi 4 Vaemmanpuoleinen oa kuvaa kuvaa ärön etenemitä puhtaaa metallia tai polymeeria, oikeanpuoleinen metallieokia 4 Jännityykli ynnyttää ärön eteen platien alueen, joka avaa ärön kärkeä määrällä d ja ynnyttää uutta pintaa. Puritujännity painaa itten äröä kaaan, jolloin uui pinta iirtyy eteenpäin ja ärö kavaa noin d:n verran. 4 Seuraavalla yklillä ama toituu ja näin ärö kavaa da dn» d 4 Seokia yntyy pieniä huokoia ärön kärkeen, jotka yhtyvät toiiina. Näiden huokoten avutamana ärö etenee hiukan nopeammin kuin puhtaan aineen tapaukea

27 Korrooioväyminen 4 Syklien jännityken ja korrooion yhteivaikututa kututaan korrooioväymieki 4 Uein korrooio ynnyttää materiaalin pintaan yöpymirakoja, jotka aikaanaavat lovivaikutuken à väymimurtuman ydintyminen 4 Toiaalta korrooio voi toimia paikallieti ärön kärkialueea (anodinen liukeneminen ja/tai katodinen vety) yhdeä väytyraituken kana, jolloin elinikä lyhenee merkittäväti r Agreiiviiä ympäritöiä vaurio voi tapahtua jännitytiloia, joia normaalia väymimurtumaa ei tapahtuii (fatigue limit) 4 Vaurio voi ydintyä myö toiin päin, eli väyttävä raitu rikkoo materiaalia uojaavan okidikuoren (pureet), jolloin korrooio pääee etenemään

28 Lämpötilan vaikutu Materiaalien lujuu pienenee lämpötilan noutea Vakanien määrä nouee ja atomien liikkuvuu liääntyy nopeati lämpötilan kavaea à diffuuion kontrolloimat proeit vaikuttavat uureti materiaalin mekaaniiin ominaiuukiin korotetuia lämpötiloia Myö dilokaatioiden liikemahdolliuudet liääntyvät (liukumien (F = tb) liäki kiipeäminen (F = xx b) on mahdollita) à uudet deformaatiomekanimit tulevat virumiea ja kuumamuokkaukea. Pitkäaikainen altitu korkealle lämpötilalle à erityieti metallien ja eoten rakenne muuttuu Rakenteen karkeutuminen (rakeiden, erkaumien jne. kavu) Rekritalliaatio Okidoituminen

29 Muokkaulujittuminen q Platien muodonmuutoken tapahtuea muuttuvat ueimmat metallin ominaiuukita. q Ennen kaikkea havaitaan lujittumita n. muokkaulujittumita ja muodonmuutokyvyn heikkenemitä. q Metallia muokattaea itoutuu iihen platiea deformaatioa energiaa yntyviin dilokaatioihin ja pitevirheiiin. q Kokeellieti on havaittu, että noin 1 15 % platieta energiata varatoituu muokattuun rakenteeeen ja loput poituu lämpönä.

30 Elpyminen q Niitä muutokia, joita metallin rakenteea tapahtuu hehkutuken aikana, anotaan elpymieki. q Elpyminen voi tapahtua kahdella tavalla: 1) toipumalla ja ) uudelleenkiteytymällä (rekritalliaatio).

31 Toipuminen q q q Notettaea muokattu materiaali toipumilämpötilaan, joka on yleenä hiukan rekritalliaatiolämpötilan alapuolella, alkavat materiaalia olevat jännityket laueta dilokaatioiden uudelleenjärjetymiellä (è ei uuia rakeita). Tää n. polygoniaatioa uein lujuu vähenee vain hiukan, mutta itkey paranee merkittäväti. Toipuminen vaatii dilokaatioiden kiipeämietä ja toipumien voimakkuuteen vaikuttaakin iten eimerkiki materiaalin pinouvian pintaenergia

32 Lämpötila Matala Lievä Korkea Toipumimekanimi 1. Pitevirheiden iirtyminen raerajoille ja dilokaatioihin. Pitevirheiden yhteenliittyminen 1. Dilokaatioiden uudelleen järjetäytyminen. Dilokaatioiden annihilaatio 3. Alirakeiden kavu 1. Dilokaatioiden kiipeäminen. Alirakeiden yhdityminen 3. Polygoniaatio Toipumien eri vaiheet platieti muokatua metallia. a) dilokaatioiden epäjärjety, b) ellien muodotuminen, c) dilokaatioiden annihiloituminen ellien iällä, d) alirakeen muodotuminen, f) alirakeen kavaminen

33 Primäärinen rekritalliaatio q Lämpötilan noutea rekritalliaatiolämpötilaan, ydintyy materiaaliin uuia jännitykettömiä rakeita ja ne alkavat kavaa muodotaen rekritallioituneen rakenteen. q Rekritalliaatioa materiaalin lujuu pienenee ja itkey kavaa elväti. q Rekritalliaatioon vaikuttavia tekijöitä ovat: Materiaalin muokkauate Lämpötila Aika Alkuperäinen raekoko Metallin tai metallieoken kootumu

34 Toipuminen ja rekritalliaatio Rekritalliaatioon vaikuttavia tekijöitä ovat: Muokkauate, lämpötila, aika, alkuperäinen raekoko ja metallin/metallieoken kootumu.

35 Primäärinen rekritalliaatio q Seuraavaa on eitetty muutamia yleitykiä liittyen rekritallioitumieen: 1) Rekritalliaation tapahtuminen edellyttää tiettyä minimimuokkauatetta ) Mitä pienempi on muokkauate itä korkeampi on rekritalliaatiolämpötila 3) Lämpötilan noto lyhentää yleenä rekritalliaatioon tarvittavaa aikaa: 1 = t Ae Q - RT joa t on aika ja Q on rekritalliaation aktivaatioenergia. On huomattava, että Q:lla ei ole ykittäitä arvoa vaan e riippuu mm. muokkauateeta ja epäpuhtaukien määrätä.

36 Primäärinen rekritalliaatio 4) Syntyvä raekoko riippuu pääaiaa muokkauateeta o. mitä uurempi on muokkauate itä pienempi on yntyvä raekoko. 5) Mitä uurempi on perinnäinen raekoko itä uurempi muokkau tarvitaan, jotta rekritalliaatiolämpötila on ekvivalentti. 6) Rekritalliaatiolämpötila lakee metallin puhtauden liääntyeä eli eotu notaa aina rekritalliaatiolämpötilaa. Oheiea kuvaa on eitetty kahden amalla tavalla muokatun eri puhtauateen Cu rekritalliaatiokäyttäytyminen. Kokonaienergian vapautuminen on molemmia tapaukia ama, mutta e tapahtuu eri tavoin. Puhtaammalla Cu:lla (B) rekritalliaatiopiikki on kapeampi ja korkeampi, kun taa epäpuhtaampi Cu (A) vapauttaa uuren oan energiataan jo ennen varinaita rekritalliaatiota. Liäki epäpuhtaudet ovat notaneet rekritalliaatiolämpötilaa.

37 Rakeenkavu q Hehkututa jatkettaea primäärien rekritalliaation jälkeen rakeenkavu jatkuu uein taaieti q Ilmiötä kututaan jatkuvaki rakeenkavuki. q Ajavana voimana on pintaenergian minimoituminen q Raekoon riippuvuu hehkutuajata voidaan ilmaita euraavati: D = kt n. q Rakeenkavu ei kuitenkaan jatku ikuieti vaan pyähtyy johtuen ennen kaikkea kahdeta eikata: vapaan pinnan vaikutuketa ja epäpuhtaukita.

38 Sekundäärinen rekritalliaatio q Sekundäärieä rekritalliaatioa eli epäjatkuvaa rakeenkavua kavavat ykittäiet primääriet rakeet muiden kutannukella mahdollieti hyvinkin uuriki. q Tällöin raerakenne voi muodotua hyvinkin epätaaieki. q Epäjatkuva rakeenkavu johtuu pääaiaa kahdeta yytä: epäpuhtaukita ja tektuurita. Epäpuhtaudet pyäyttävät jatkuvan rakeenkavun ja rakenne jää kauttaaltaan pienirakeieki johtaa epäjatkuvaan kavuun Toiaalta jo metalliin on muodotunut voimakkaan muokkauken johdota uuntautuneiuutta voi tämä johtaa epätaaieen rakeenkavuun

39 Sekundäärinen rekritalliaatio Alunperin nanokiteien ( d < 00 nm) Cu rakenne 00 C:a uoritetun 3 minuutin hehkutuken jälkeen. Kuvata näkyy miten ekundäärinen rekritalliaation on johtanut hyvin epätaaieen raekokoon. Rakenne on muokattu alunperin valaamalla. Lähde: Y. Wang et.al., Nature 419, , 00.

40 Magnification After 3000 Cycle After 1000 Cycle After Reflow Solder Interconnection Figure 6. Evolution of microtructure in older interconnection during thermal cycling Elektroniikan integrointi ja luotettavuu PL3340, Otakaari 7 B

41 Elpymiproein vaiheet ja niiden raerakenteet. a) muokattu, b) toipunut, c) oittain uudelleenkiteytynyt, d) kokonaan uudelleenkiteytynyt, e) jatkuva rakeenkavu, f) epäjatkuva rakeenkavu

42 Yhteenveto/Muitettavaa Murtumatyypit materiaaleia Murtumiitkey ja kriittien ärön pituu K C = n p a Materiaalin Suunnittelujännity valinta Havaittu/ allittu ärökoko Väyminen yleiellä taolla Elpyminen toipumalla ja/tai uudelleenkiteytymällä

POSITIIVISEN LINSSIN POLTTOVÄLI

POSITIIVISEN LINSSIN POLTTOVÄLI S-108110 OPTIIKKA 1/6 POSITIIVISEN LINSSIN POLTTOVÄLI Laboratoriotyö S-108110 OPTIIKKA /6 SISÄLLYSLUETTELO 1 Poitiivien linin polttoväli 3 11 Teoria 3 1 Mittauken uoritu 5 LIITE 1 6 Mittaupöytäkirja 6

Lisätiedot

RATKAISUT: 3. Voimakuvio ja liikeyhtälö

RATKAISUT: 3. Voimakuvio ja liikeyhtälö Phyica 9. paino (8) 3. Voiakuvio ja liikeyhtälö : 3. Voiakuvio ja liikeyhtälö 3. a) Newtonin I laki on nieltään jatkavuuden laki. Kappale jatkaa liikettään uoraviivaieti uuttuattoalla nopeudella tai pyyy

Lisätiedot

Fy07 Koe Kuopion Lyseon lukio (KK) 1 / 5

Fy07 Koe Kuopion Lyseon lukio (KK) 1 / 5 y07 Koe 8.9.05 Kuopion yeon lukio (KK) / 5 Vataa kolmeen tehtävään. Vatuken reitani on 60, käämin induktani on 0,60 H ja reitani 8 ja kondenaattorin kapaitani on 80. Komponentit ovat arjaan kytkettyinä

Lisätiedot

Kertausosa. 2. Kuvaan merkityt kulmat ovat samankohtaisia kulmia. Koska suorat s ja t ovat yhdensuuntaisia, kulmat ovat yhtä suuria.

Kertausosa. 2. Kuvaan merkityt kulmat ovat samankohtaisia kulmia. Koska suorat s ja t ovat yhdensuuntaisia, kulmat ovat yhtä suuria. 5. Veitoken tilavuu on V,00 m 1,00 m,00 m 6,00 m. Pienoimallin tilavuu on 1 V malli 6,00 m 0,06m. 100 Mittakaava k aadaan tälötä. 0,06 1 k 6,00 100 1 k 0,1544... 100 Mitat ovat. 1,00m 0,408...m 100 0,41

Lisätiedot

X 2 = k 21X 1 + U 2 s + k 02 + k 12. (s + k 02 + k 12 )U 1 + k 12 U 2. s 2 + (k 01 + k 21 + k 02 + k 12 ) s + k

X 2 = k 21X 1 + U 2 s + k 02 + k 12. (s + k 02 + k 12 )U 1 + k 12 U 2. s 2 + (k 01 + k 21 + k 02 + k 12 ) s + k Aalto-yliopiton Perutieteiden korkeakoulu Matematiikan ja yteemianalyyin laito Mat-49 Syteemien Identifiointi 0 harjoituken ratkaiut äytetään enin iirtofunktiomalli Tehdään Laplace-muunno: ẋ k 0 k x +

Lisätiedot

Vauriomekanismi: Väsyminen

Vauriomekanismi: Väsyminen Vauriomekanismi: Väsyminen Väsyminen Väsyminen on vaihtelevan kuormituksen aiheuttamaa vähittäistä vaurioitumista. Erään arvion mukaan 90% vaurioista on väsymisen aiheuttamaa. Väsymisikää voidaan kuvata

Lisätiedot

Mat-2.091 Sovellettu todennäköisyyslasku. Tilastolliset testit. Avainsanat:

Mat-2.091 Sovellettu todennäköisyyslasku. Tilastolliset testit. Avainsanat: Mat-.090 Sovellettu todeäköiyylaku A 0. harjoituket Mat-.09 Sovellettu todeäköiyylaku 0. harjoituket / Ratkaiut Aiheet: Avaiaat: Tilatolliet tetit Aritmeettie kekiarvo, Beroulli-jakauma, F-jakauma, F-teti,

Lisätiedot

SYNKRONIKONEET RELUKTANS- SIKONEET RM RM RM + >>L q. L d >>L q. Harjalliset -pyörivä PMSM upotetu magneetit

SYNKRONIKONEET RELUKTANS- SIKONEET RM RM RM + >>L q. L d >>L q. Harjalliset -pyörivä PMSM upotetu magneetit 7.48 TY Juha Pyrhönen 7. Tahtikone Tahtikoneet muootavat kokonaien ähkökoneperheen. Päätyyppejä ovat vieramagnetoiut tahtikoneet, ynkroniet reluktanikoneet ja ketomagneettitahtikoneet. Vieramagnetoiut

Lisätiedot

DIGITAALISET PULSSIMODULAATIOT M JA PCM A Tietoliikennetekniikka I Osa 21 Kari Kärkkäinen Kevät 2015

DIGITAALISET PULSSIMODULAATIOT M JA PCM A Tietoliikennetekniikka I Osa 21 Kari Kärkkäinen Kevät 2015 1 DIGITAALISET PULSSIMODULAATIOT M JA PCM 521357A Tietoliikennetekniikka I Oa 21 Kari Kärkkäinen DELTAMODULAATIO M 2 M koodaa näytteen ± polariteetin omaavaki binääripuliki. Idea perutuu ignaalin m(t muutoken

Lisätiedot

Y56 Laskuharjoitukset 3 palautus ma klo 16 mennessä

Y56 Laskuharjoitukset 3 palautus ma klo 16 mennessä 1 Y6 Lakuharjoituket 3 alautu ma 3.. klo 16 menneä Harjoitu 1. Lue enin Vihmo, Jouni (006) Alkoholijuomien hintajoutot uomea vuoina 199 00, Yhteikuntaolitiikka 71, 006/1 ivut 9 ja vataa itten kyymykiin.

Lisätiedot

Dislokaatiot - pikauusinta

Dislokaatiot - pikauusinta Dislokaatiot - pikauusinta Ilman dislokaatioita Kiteen teoreettinen lujuus ~ E/8 Dislokaatiot mahdollistavat deformaation Kaikkien atomisidosten ei tarvitse murtua kerralla Dislokaatio etenee rakeen läpi

Lisätiedot

Jakso 4: Dynamiikan perusteet jatkuu, työ ja energia Näiden tehtävien viimeinen palautus- tai näyttöpäivä on maanantaina

Jakso 4: Dynamiikan perusteet jatkuu, työ ja energia Näiden tehtävien viimeinen palautus- tai näyttöpäivä on maanantaina Jako 4: Dynamiikan peruteet jatkuu, työ ja energia Näiden tehtävien viimeinen palautu- tai näyttöpäivä on maanantaina 8.8.2016. Kolmea enimmäieä lakua ovelletaan Newtonin 2. ja 3. lakia. T 4.1 (pakollinen):

Lisätiedot

Pinta-alan variaatio. Rakenteiden Mekaniikka Vol. 44, Nro 1, 2011, s Eero-Matti Salonen ja Mika Reivinen

Pinta-alan variaatio. Rakenteiden Mekaniikka Vol. 44, Nro 1, 2011, s Eero-Matti Salonen ja Mika Reivinen Rakenteien Mekaniikka Vol. 44, Nro, 0,. 93-97 Pinta-alan variaatio Eero-Matti Salonen ja Mika Reivinen Tiivitelmä. Artikkelia tarkatellaan taoalueen pinta-alan variaation eittämitä vektorilakennan avulla.

Lisätiedot

Teknologiakehitystä ei voi pysäyttääj. Hankintaprosessi sähköistynyt laajalti. Oston teknologiakehityksen alkuvaiheita. Luento 11 e-hankinnat

Teknologiakehitystä ei voi pysäyttääj. Hankintaprosessi sähköistynyt laajalti. Oston teknologiakehityksen alkuvaiheita. Luento 11 e-hankinnat Tieto- ja palvelutalouden laito / logitiikka Teknologiakehitytä ei voi pyäyttääj Luento 11 e-hankinnat Tietotekniikka otamien apuvälineenä Erilaita teknologiaa Miten ähköitämieä tulii edetä Cae etapharm

Lisätiedot

Viikkotehtävät IV, ratkaisut

Viikkotehtävät IV, ratkaisut Viikkotehtävät IV, ratkaiut. 7,40 V (pariton napajännite) I 7 ma (lampun A ähkövirta rinnankytkennää) I 5 ma (lampun B ähkövirta rinnankytkennää) a) eitani on, joten lamppujen reitanit voidaan lakea tehtävää

Lisätiedot

S Fysiikka III (Est) Tentti

S Fysiikka III (Est) Tentti S-114137 Fyiikka III (Et) Tentti 9008 1 Vetyatomin elektronin kulmaliikemäärää kuvaa kvanttiluku l =3 Lake miä kaikia kulmia kulmaliikemäärävektori voi olla uhteea kulmaliikemäärän z-komponenttiin ( )

Lisätiedot

Luottamusmiehen / -valtuutetun valinta, asema ja oikeudet

Luottamusmiehen / -valtuutetun valinta, asema ja oikeudet YLEMMÄT TOIMIHENKILÖT YTN RY OHJE YRY+K -ryhmä / Mko 19.8.2009 1 (13) Luottamumiehen / -valtuutetun valinta, aema ja oikeudet Siällyluettelo: Yleitä... 2 Oikeu luottamumiehen valintaan... 2 Luottamumiehen

Lisätiedot

Kuva lämmönsiirtoprosessista Käytössä ristivirtalämmönvaihdin (molemmat puolet sekoittumattomat)

Kuva lämmönsiirtoprosessista Käytössä ristivirtalämmönvaihdin (molemmat puolet sekoittumattomat) Kemian laitetekniikka Kotilaku 3..008 Jarmo Vetola Kuva lämmöniirtoproeita Käytöä ritivirtalämmönvaihdin (molemmat puolet ekoittumattomat) kuuma maitovirta, eli ravaton maito patöroinnita virtau vaippapuolella

Lisätiedot

Murtumismekanismit: Väsyminen

Murtumismekanismit: Väsyminen KJR-C2004 Materiaalitekniikka Murtumismekanismit: Väsyminen 11.2.2016 Väsyminen Väsyminen on dynaamisen eli ajan suhteen aiheuttamaa vähittäistä vaurioitumista. Väsymisvaurio ilmenee särön, joka johtaa

Lisätiedot

Tilastotieteen jatkokurssi 8. laskuharjoitusten ratkaisuehdotukset (viikot 13 ja 14)

Tilastotieteen jatkokurssi 8. laskuharjoitusten ratkaisuehdotukset (viikot 13 ja 14) Tilatotietee jatkokuri 8. lakuharjoitute ratkaiuehdotuket (viikot 13 ja 14) 1) Perujoukko o aluee A aukkaat ja tutkittavaa omiaiuutea ovat tulot, Tiedämme, että perujouko tulot oudattaa ormaalijakaumaa,

Lisätiedot

Diplomi-insinöörien ja arkkitehtien yhteisvalinta - dia-valinta 2012 Insinöörivalinnan fysiikan koe 30.5.2012, malliratkaisut

Diplomi-insinöörien ja arkkitehtien yhteisvalinta - dia-valinta 2012 Insinöörivalinnan fysiikan koe 30.5.2012, malliratkaisut A1 Kappale, jonka massa m = 2,1 kg, lähtee liikkeelle levosta paikasta x = 0,0 m pitkin vaakasuoraa alustaa. Kappaleeseen vaikuttaa vaakasuora vetävä voima F, jonka suuruus riippuu paikasta oheisen kuvan

Lisätiedot

Mat-2.090 Sovellettu todennäköisyyslasku A

Mat-2.090 Sovellettu todennäköisyyslasku A Mat-.090 Sovellettu todeäköiyylaku A Mat-.090 Sovellettu todeäköiyylaku A / Ratkaiut Aiheet: Avaiaat: Tilatollite aieito keräämie ja mittaamie Tilatollite aieitoje kuvaamie Oto ja otojakaumat Aritmeettie

Lisätiedot

Viivakuormituksen potentiaalienergia saadaan summaamalla viivan pituuden yli

Viivakuormituksen potentiaalienergia saadaan summaamalla viivan pituuden yli hum.9. oiman potentiaalienergia Potentiaalienergiata puhutaan, kun kappaleeeen vaikuttaa jokin konervatiivinen voima. oima on konervatiivinen, jo en tekemä tö vaikutupieen iirteä tiettä paikata toieen

Lisätiedot

Valuma-aluetason kuormituksen hallintataulukon vaatimusmäärittely

Valuma-aluetason kuormituksen hallintataulukon vaatimusmäärittely Valuma-aluetaon kuormituken hallintataulukon vaatimumäärittely Verio 4.11.2011 1. Tavoitteet Veienhoidon äädöten toteutu edellyttää veitöihin kohdituvan kuormituken vähentämitä n, että veden laatu paranee

Lisätiedot

KJR-C2002 Kontinuumimekaniikan perusteet

KJR-C2002 Kontinuumimekaniikan perusteet KJR-C2002 Kontinuumimekaniikan perusteet Luento 23.11.2015 Susanna Hurme, Yliopistonlehtori, TkT Luennon sisältö Hooken laki lineaaris-elastiselle materiaalille (Reddy, kpl 6.2.3) Lujuusoppia: sauva (Reddy,

Lisätiedot

Murtumismekaniikka II. Transitiokäyttäytyminen ja haurasmurtuma

Murtumismekaniikka II. Transitiokäyttäytyminen ja haurasmurtuma Murtumismekaniikka II Transitiokäyttäytyminen ja haurasmurtuma Kertauskysymyksiä: Miksi säröt ovat vaarallisia? Miksi säröllinen kappale ei murru pienellä jännityksellä? Mikä on G? Yksikkö? Mikä on K?

Lisätiedot

S-55.1220/142 Piirianalyysi 2 1. Välikoe 10.3.2006

S-55.1220/142 Piirianalyysi 2 1. Välikoe 10.3.2006 S-55.0/4 Piirianalyyi. Välioe 0.3.006 ae tehtävät 3 eri paperille in tehtävät 4 5. Mita irjoittaa joaieen paperiin elväti nimi, opielijanmero, rin nimi ja oodi. Tehtävät laetaan oaton oepaperille. Mita

Lisätiedot

YDINSPEKTROMETRIA TENTTI mallivastaukset ja arvostelu max 30 p, pisterajat 15p 1, 18p 2, 21p 3, 24p 4, 27p - 5

YDINSPEKTROMETRIA TENTTI mallivastaukset ja arvostelu max 30 p, pisterajat 15p 1, 18p 2, 21p 3, 24p 4, 27p - 5 5573-5 YDISPEKTROMETRIA TETTI 9.5.05 mallivatauket ja arvotelu max 30 p, piterajat 5p, 8p, p 3, 4p 4, 7p - 5. Mittautehokkuu ja iihen vaikuttavat aiat/ilmiöt gammapektrometriaa (yht. 6 p) Vatau: ilmaiimea

Lisätiedot

vetyteknologia Polttokennon tyhjäkäyntijännite 1 DEE-54020 Risto Mikkonen

vetyteknologia Polttokennon tyhjäkäyntijännite 1 DEE-54020 Risto Mikkonen DEE-5400 olttokennot ja vetyteknologia olttokennon tyhjäkäyntijännite 1 DEE-5400 Risto Mikkonen 1.1.014 g:n määrittäminen olttokennon toiminta perustuu Gibbsin vapaan energian muutokseen. ( G = TS) Ideaalitapauksessa

Lisätiedot

METSÄNTUTKIMUSLAITOS. tutkimusosasto. Metsäteknologian WÄRTSILA. Kenttäkoe. Tutkimusselostus

METSÄNTUTKIMUSLAITOS. tutkimusosasto. Metsäteknologian WÄRTSILA. Kenttäkoe. Tutkimusselostus METSÄNTUTKIMUSLAITOS Metäteknologian Uniinkatu WÄRTSILA 40 A tutkimuoato Helinki TELESKOOPPIKUORMAIN AUTOKUORMAUKSESSA Kenttäkoe Tutkimuelotu Juhani Helinki Lukkari 97 7 Ainto Tutkimuken kenttäkoe Ruokolahdella.

Lisätiedot

TEKNIIKKA JA LIIKENNE. Sähkötekniikka. Sähkövoimatekniikka INSINÖÖRITYÖ

TEKNIIKKA JA LIIKENNE. Sähkötekniikka. Sähkövoimatekniikka INSINÖÖRITYÖ TEKNIIKKA JA LIIKENNE Sähkötekniikka Sähkövoimatekniikka INSINÖÖRITYÖ KOSKETUSSUOJAN POIKKIPINNAN VAIKUTUS 60-400 kv SUURJÄNNITEKAAPELIN KUORMITETTAVUUTEEN Työn tekijä: Mika Suomi Työn valvoja: Jarno Varteva

Lisätiedot

Juuri 4 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty Kertaus. b) B = (3, 0, 5) K2. 8 ( 1)

Juuri 4 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty Kertaus. b) B = (3, 0, 5) K2. 8 ( 1) Kertaus K1. a) OA i k b) B = (, 0, 5) K. K. a) AB (6 ( )) i () ( ( 7)) k 8i 4k AB 8 ( 1) 4 64116 819 b) 1 1 AB( ( 1)) i 1 i 4 AB ( ) ( 4) 416 0 45 5 K4. a) AB AO OB OA OB ( i ) i i i 5i b) Pisteen A paikkavektori

Lisätiedot

Jakso 6: Värähdysliikkeet Tämän jakson tehtävät on näytettävä viimeistään torstaina

Jakso 6: Värähdysliikkeet Tämän jakson tehtävät on näytettävä viimeistään torstaina Jakso 6: Värähdysliikkeet Tämän jakson tehtävät on näytettävä viimeistään torstaina 31.5.2012. T 6.1 (pakollinen): Massa on kiinnitetty pystysuoran jouseen. Massaa poikkeutetaan niin, että se alkaa värähdellä.

Lisätiedot

Ajoketjusta seisontahaukkuun miten pysäyttävien koirien käytöstä tuli hirvenmetsästyksen valtavirtaa?

Ajoketjusta seisontahaukkuun miten pysäyttävien koirien käytöstä tuli hirvenmetsästyksen valtavirtaa? Suomen Riita : 79 (14) Ajoketjuta eiontahaukkuun miten pyäyttävien koirien käytötä tuli hirvenmetätyken valtavirtaa? Milla Niemi, Jani Pellikka ja Juha Hiedanpää Photo: Milla Niemi Vielä muutama vuoikymmen

Lisätiedot

Integrointialgoritmit molekyylidynamiikassa

Integrointialgoritmit molekyylidynamiikassa Integrointialgoritmit molekyylidynamiikassa Markus Ovaska 28.11.2008 Esitelmän kulku MD-simulaatiot yleisesti Integrointialgoritmit: mitä integroidaan ja miten? Esimerkkejä eri algoritmeista Hyvän algoritmin

Lisätiedot

Ohjeita fysiikan ylioppilaskirjoituksiin

Ohjeita fysiikan ylioppilaskirjoituksiin Ohjeita fysiikan ylioppilaskirjoituksiin Kari Eloranta 2016 Jyväskylän Lyseon lukio 11. tammikuuta 2016 Kokeen rakenne Fysiikan kokeessa on 13 tehtävää, joista vastataan kahdeksaan. Tehtävät 12 ja 13 ovat

Lisätiedot

Metallikuulan vieriminen kaltevalla tasolla

Metallikuulan vieriminen kaltevalla tasolla 1 Metallikuulan vieriinen kaltevalla taolla Mikko Vetola Koulun nii Fyiikka luonnontieteenä FY1-Projektityö 4.6.2002 Arvoana: K+ (10) 2 1. Työn tarkoitu Tehtävänä oli tutkia illaiia liikeiliöitä eiintyy

Lisätiedot

Ympäristövaikutteinen murtuminen EAC

Ympäristövaikutteinen murtuminen EAC Ympäristövaikutteinen murtuminen EAC Ympäristövaikutteinen murtuminen Yleisnimitys vaurioille, joissa ympäristö altistaa ennenaikaiselle vauriolle Lukuisia eri mekanismeja ja tyyppejä Tässä: Jännistyskorroosio

Lisätiedot

Koska posahtaa? Osaatko ennakoida komponentin jäljellä olevan eliniän oikein?

Koska posahtaa? Osaatko ennakoida komponentin jäljellä olevan eliniän oikein? Koska posahtaa? Osaatko ennakoida komponentin jäljellä olevan eliniän oikein? Johanna Tuiremo, Johtava asiantuntija, Materiaalitekniikka, Tietopäivä Roadshow Oulu 30.11.2016 1 2 150 vuotta sitten Höyrykattilan

Lisätiedot

Molaariset ominaislämpökapasiteetit

Molaariset ominaislämpökapasiteetit Molaariset ominaislämpökapasiteetit Yleensä, kun systeemiin tuodaan lämpöä, sen lämpötila nousee. (Ei kuitenkaan aina, kannattaa muistaa, että työllä voi olla osuutta asiaan.) Lämmön ja lämpötilan muutoksen

Lisätiedot

Luento 8 6.3.2015. Entrooppiset voimat Vapaan energian muunoksen hyötysuhde Kahden tilan systeemit

Luento 8 6.3.2015. Entrooppiset voimat Vapaan energian muunoksen hyötysuhde Kahden tilan systeemit Luento 8 6.3.2015 1 Entrooppiset voimat Vapaan energian muunoksen hyötysuhde Kahden tilan systeemit Entrooppiset voimat 3 2 0 0 S k N ln VE S, S f ( N, m) 2 Makroskooppisia voimia, jotka syntyvät pyrkimyksestä

Lisätiedot

LIITTEET. asiakirjaan

LIITTEET. asiakirjaan ROOPAN KOMISSIO Bryssel 2.11.201 COM(201) 906 final ANNEXES 1 to LIITTEET asiakirjaan LUONNOS KOMISSION JA NVOSTON YHTEISEKSI TYÖLLISYYSRAPORTIKSI - oheisasiakirja komission tiedonantoon vuotuisesta kasvuselvityksestä

Lisätiedot

Tasapainotilaan vaikuttavia tekijöitä

Tasapainotilaan vaikuttavia tekijöitä REAKTIOT JA TASAPAINO, KE5 Tasapainotilaan vaikuttavia tekijöitä Fritz Haber huomasi ammoniakkisynteesiä kehitellessään, että olosuhteet vaikuttavat ammoniakin määrään tasapainoseoksessa. Hän huomasi,

Lisätiedot

Termodynamiikan suureita ja vähän muutakin mikko rahikka

Termodynamiikan suureita ja vähän muutakin mikko rahikka Termodynamiikan suureita ja vähän muutakin mikko rahikka 2006 m@hyl.fi 1 Lämpötila Suure lämpötila kuvaa kappaleen/systeemin lämpimyyttä (huono ilmaisu). Ihmisen aisteilla on hankala tuntea lämpötilaa,

Lisätiedot

Luento 1 Rauta-hiili tasapainopiirros Austeniitin hajaantuminen perliittimekanismilla

Luento 1 Rauta-hiili tasapainopiirros Austeniitin hajaantuminen perliittimekanismilla Luento 1 Rauta-hiili tasapainopiirros Austeniitin hajaantuminen perliittimekanismilla Vapaa energia ja tasapainopiirros Allotropia - Metalli omaksuu eri lämpötiloissa eri kidemuotoja. - Faasien vapaat

Lisätiedot

P = kv. (a) Kaasun lämpötila saadaan ideaalikaasun tilanyhtälön avulla, PV = nrt

P = kv. (a) Kaasun lämpötila saadaan ideaalikaasun tilanyhtälön avulla, PV = nrt 766328A Termofysiikka Harjoitus no. 2, ratkaisut (syyslukukausi 204). Kun sylinterissä oleva n moolia ideaalikaasua laajenee reversiibelissä prosessissa kolminkertaiseen tilavuuteen 3,lämpötilamuuttuuprosessinaikanasiten,ettäyhtälö

Lisätiedot

FYSA210/2 PYÖRIVÄ KOORDINAATISTO

FYSA210/2 PYÖRIVÄ KOORDINAATISTO FYSA210/2 PYÖRIVÄ KOORDINAATISTO Johdanto Inertiaalikoordinaatisto on koordinaatisto, jossa Newtonin mekaniikan lait pätevät. Tällaista koordinaatistoa ei reaalimaailmassa kuitenkaan ole. Epäinertiaalikoordinaatisto

Lisätiedot

ANALOGISET PULSSIMODULAATIOT PAM, PWM JA PPM

ANALOGISET PULSSIMODULAATIOT PAM, PWM JA PPM ANALOGISET PULSSIMODULAATIOT PAM, PWM JA PPM 1 16) Puliodulaatioenetelien luokittelu Modulaatioenetelät Analogiet Digitaaliet Kantoaaltoodulaatiot DSB, AM, SSB, VSB, QDSB, FM, PM Puliodulaatiot PAM, PWM,

Lisätiedot

Harjoitustehtävät. Moduuli 1 ja 2. Tehtävät (Sisältää vastaukset)

Harjoitustehtävät. Moduuli 1 ja 2. Tehtävät (Sisältää vastaukset) Harjoitutehtävät Mouuli 1 ja Tehtävät 1-5 10.09.014 (Siältää vatauket) HARJOITUSTEHTÄVIEN OHJE Harjoitutehtävien piteyty on euraavanlainen: 6 uoritettua harjoitutehtävää = 0,5 opintopitettä 4 uoritettua

Lisätiedot

Ideaalikaasulaki. Ideaalikaasulaki on esimerkki tilanyhtälöstä, systeemi on nyt tietty määrä (kuvitteellista) kaasua

Ideaalikaasulaki. Ideaalikaasulaki on esimerkki tilanyhtälöstä, systeemi on nyt tietty määrä (kuvitteellista) kaasua Ideaalikaasulaki Ideaalikaasulaki on esimerkki tilanyhtälöstä, systeemi on nyt tietty määrä (kuvitteellista) kaasua ja tilanmuuttujat (yhä) paine, tilavuus ja lämpötila Isobaari, kun paine on vakio Kaksi

Lisätiedot

Luento 10: Työ, energia ja teho. Johdanto Työ ja kineettinen energia Teho

Luento 10: Työ, energia ja teho. Johdanto Työ ja kineettinen energia Teho Luento 10: Työ, energia ja teho Johdanto Työ ja kineettinen energia Teho 1 / 23 Luennon sisältö Johdanto Työ ja kineettinen energia Teho 2 / 23 Johdanto Energia suure, joka voidaan muuttaa muodosta toiseen,

Lisätiedot

HAIHDUNTA. Haihdunnan määrällä on suuri merkitys biologisten prosessien lisäksi mm. vesistöjen kunnostustöissä sekä turvetuotannossa

HAIHDUNTA. Haihdunnan määrällä on suuri merkitys biologisten prosessien lisäksi mm. vesistöjen kunnostustöissä sekä turvetuotannossa HAIHDUNTA Haihtuminen on tapahtuma, missä nestemäinen tai kiinteä vesi muuttuu kaasumaiseen olotilaan vesihöyryksi. Haihtumisen määrä ilmaistaan suureen haihdunta (mm/aika) avulla Haihtumista voi luonnossa

Lisätiedot

Esimerkkilaskelma. Jäykistävä CLT-seinä

Esimerkkilaskelma. Jäykistävä CLT-seinä Eimerilaelma Jäyitävä CLT-einä 30.5.014 Siällyluettelo 1 LÄHTÖTIEDOT... - 3 - LEVYJÄYKISTEEN TIEDOT... - 3-3 ATERIAALI... - 4-4 PANEELILEIKKAUSKESTÄVYYS... - 4-5 LAELLIN LEIKKAUSKESTÄVYYS... - 5-6 LAELLIEN

Lisätiedot

DEE Sähkömagneettisten järjestelmien lämmönsiirto Ehdotukset harjoituksen 2 ratkaisuiksi

DEE Sähkömagneettisten järjestelmien lämmönsiirto Ehdotukset harjoituksen 2 ratkaisuiksi DEE-4000 Sähkömagneettisten järjestelmien lämmönsiirto Ehdotukset harjoituksen ratkaisuiksi Yleistä asiaa lämmönjohtumisen yleiseen osittaisdifferentiaaliyhtälöön liittyen Lämmönjohtumisen yleinen osittaisdifferentiaaliyhtälön

Lisätiedot

a) Oletetaan, että happi on ideaalikaasu. Säiliön seinämiin osuvien hiukkasten lukumäärä saadaan molekyylivuon lausekkeesta = kaava (1p) dta n =

a) Oletetaan, että happi on ideaalikaasu. Säiliön seinämiin osuvien hiukkasten lukumäärä saadaan molekyylivuon lausekkeesta = kaava (1p) dta n = S-, ysiikka III (S) välikoe 7000 Laske nopeuden itseisarvon keskiarvo v ja nopeuden neliöllinen keskiarvo v rs seuraaville 6 olekyylien nopeusjakauille: a) kaikkien vauhti 0 / s, b) kolen vauhti / s ja

Lisätiedot

Koska posahtaa? Osaatko ennakoida komponentin jäljellä olevan eliniän oikein?

Koska posahtaa? Osaatko ennakoida komponentin jäljellä olevan eliniän oikein? Koska posahtaa? Osaatko ennakoida komponentin jäljellä olevan eliniän oikein? Jukka Verho, kaupallinen johtaja, Inspecta, Tietopäivä Roadshow Vantaa 1.2.2017 1 2 150 vuotta sitten Höyrykattilan räjähdys

Lisätiedot

Jos olet käynyt kurssin aikaisemmin, merkitse vuosi jolloin kävit kurssin nimen alle.

Jos olet käynyt kurssin aikaisemmin, merkitse vuosi jolloin kävit kurssin nimen alle. 1(4) Lappeenrannan teknillinen yliopisto School of Energy Systems LUT Energia Nimi, op.nro: BH20A0450 LÄMMÖNSIIRTO Tentti 13.9.2016 Osa 1 (4 tehtävää, maksimi 40 pistettä) Vastaa seuraaviin kysymyksiin

Lisätiedot

vetyteknologia Polttokennon termodynamiikkaa 1 DEE Risto Mikkonen

vetyteknologia Polttokennon termodynamiikkaa 1 DEE Risto Mikkonen DEE-5400 olttokennot ja vetyteknologia olttokennon termodynamiikkaa 1 DEE-5400 Risto Mikkonen ermodynamiikan ensimmäinen pääsääntö aseraja Ympäristö asetila Q W Suljettuun systeemiin tuotu lämpö + systeemiin

Lisätiedot

3. SUUNNITTELUPERUSTEET

3. SUUNNITTELUPERUSTEET 3. SUUNNITTELUPERUSTEET 3.1 MATERIAALIT Myötölujuuden ja vetomurtolujuuden arvot f R ja f R y eh u m tuotestandardista tai taulukosta 3.1 Sitkeysvaatimukset: - vetomurtolujuuden ja myötörajan f y minimiarvojen

Lisätiedot

Vastaa kaikkiin kysymyksiin. Oheisista kaavoista ja lukuarvoista saattaa olla apua laskutehtäviin vastatessa.

Vastaa kaikkiin kysymyksiin. Oheisista kaavoista ja lukuarvoista saattaa olla apua laskutehtäviin vastatessa. Valintakoe 2016/FYSIIKKA Vastaa kaikkiin kysymyksiin. Oheisista kaavoista ja lukuarvoista saattaa olla apua laskutehtäviin vastatessa. Boltzmannin vakio 1.3805 x 10-23 J/K Yleinen kaasuvakio 8.315 JK/mol

Lisätiedot

Fysiikka 8. Aine ja säteily

Fysiikka 8. Aine ja säteily Fysiikka 8 Aine ja säteily Sähkömagneettinen säteily James Clerk Maxwell esitti v. 1864 sähkövarauksen ja sähkövirran sekä sähkö- ja magneettikentän välisiä riippuvuuksia kuvaavan teorian. Maxwellin teorian

Lisätiedot

Luento 11: Potentiaalienergia. Potentiaalienergia Konservatiiviset voimat Voima potentiaalienergiasta gradientti Esimerkkejä ja harjoituksia

Luento 11: Potentiaalienergia. Potentiaalienergia Konservatiiviset voimat Voima potentiaalienergiasta gradientti Esimerkkejä ja harjoituksia Luento 11: Potentiaalienergia Potentiaalienergia Konservatiiviset voimat Voima potentiaalienergiasta gradientti Esimerkkejä ja harjoituksia 1 / 22 Luennon sisältö Potentiaalienergia Konservatiiviset voimat

Lisätiedot

Koesuunnitelma. Tuntemattoman kappaleen materiaalin määritys. Kon c3004 Kone ja rakennustekniikan laboratoriotyöt. Janne Mattila.

Koesuunnitelma. Tuntemattoman kappaleen materiaalin määritys. Kon c3004 Kone ja rakennustekniikan laboratoriotyöt. Janne Mattila. Kon c3004 Kone ja rakennustekniikan laboratoriotyöt Koesuunnitelma Tuntemattoman kappaleen materiaalin määritys Janne Mattila Teemu Koitto Lari Pelanne Sisällysluettelo 1. Tutkimusongelma ja tutkimuksen

Lisätiedot

Suomen Akatemian tutkimusohjelma VALTA 2007 2010. Valta Suomessa

Suomen Akatemian tutkimusohjelma VALTA 2007 2010. Valta Suomessa Suomen Akatemian tutkimuohjelma VALTA 2007 2010 Valta Suomea Valta Suomea 2007 2010 VALTA lyhyeti Suomalaien yhteikunnan valtajärjetelmä on ollut muutopaineiden kohteena viime vuoikymmeninä. Suomi on liittynyt

Lisätiedot

KJR-C2004 materiaalitekniikka. Harjoituskierros 2

KJR-C2004 materiaalitekniikka. Harjoituskierros 2 KJR-C2004 materiaalitekniikka Harjoituskierros 2 Pienryhmäharjoitusten aiheet 1. Materiaaliominaisuudet ja tutkimusmenetelmät 2. Metallien deformaatio ja lujittamismekanismit 3. Faasimuutokset 4. Luonnos:

Lisätiedot

Matematiikan tukikurssi

Matematiikan tukikurssi Matematiikan tukikurssi Kurssikerta 4 Jatkuvuus Jatkuvan funktion määritelmä Tarkastellaan funktiota f x) jossakin tietyssä pisteessä x 0. Tämä funktio on tässä pisteessä joko jatkuva tai epäjatkuva. Jatkuvuuden

Lisätiedot

V A R K A U S HÄYRILÄN ETELÄOSA

V A R K A U S HÄYRILÄN ETELÄOSA V A R K A U S HÄYRILÄN ETELÄOSA RAKENTAMISTAPHJE 9-kaupunginoan, Häyrilän, korttelit 9, 9 ja 0 0 ja 0 Varkauden kaupunki Tekninen virato Maankäyttö / Kaavoitu YLEISTÄ Yleiuunnitteluohje täydentää Varkauden

Lisätiedot

Takasin sisällysluetteloon

Takasin sisällysluetteloon Tässä esitteessä on taulukot eri materiaalien ominaisuuksista. Taulukoiden arvot ovat suunta-antavia. Tiedot on kerätty monista eri lähteistä, joissa on käytetty eri testausmenetelmiä, joten arvot eivät

Lisätiedot

1 Johdanto. FIR-suodattimien vaste voidaan hallita IIR:iä tiukemmin

1 Johdanto. FIR-suodattimien vaste voidaan hallita IIR:iä tiukemmin FIR uodinpankit * Lähteet: Zölzer. Digital audio ignal proceing. Wiley & Son. Saramäki. Multirate ignal proceing. TTKK:n kuri 80558. * ) Aihealue on erittäin laaja. Eity tää on tarkoitukellieti uppea,

Lisätiedot

Ominaisvektoreiden lineaarinen riippumattomuus

Ominaisvektoreiden lineaarinen riippumattomuus Ominaisvektoreiden lineaarinen riippumattomuus Lause 17 Oletetaan, että A on n n -matriisi. Oletetaan, että λ 1,..., λ m ovat matriisin A eri ominaisarvoja, ja oletetaan, että v 1,..., v m ovat jotkin

Lisätiedot

Mat Koesuunnittelu ja tilastolliset mallit

Mat Koesuunnittelu ja tilastolliset mallit Mat-.03 Koeuuittelu ja tilatolliet mallit Mat-.03 Koeuuittelu ja tilatolliet mallit / Ratkaiut Aiheet: Avaiaat: Tilatolliet tetit Tetit uhdeateikolliille muuttujille Tetit laatueroateikolliille muuttujille

Lisätiedot

S if b then S else S S s. (b) Muodosta (a)-kohdan kieliopin kanssa ekvivalentti, so. saman kielen tuottava yksiselitteinen.

S if b then S else S S s. (b) Muodosta (a)-kohdan kieliopin kanssa ekvivalentti, so. saman kielen tuottava yksiselitteinen. T-79.148 yky 2003 Tietojenkäittelyteorian peruteet Harjoitu 7 Demontraatiotehtävien ratkaiut 4. Tehtävä: Ooita, että yhteydettömien kielten luokka on uljettu yhdite-, katenaatioja ulkeumaoperaatioiden

Lisätiedot

1. a. Ratkaise yhtälö 8 x 5 4 x + 2 x+2 = 0 b. Määrää joku toisen asteen epäyhtälö, jonka ratkaisu on 2 x 1.

1. a. Ratkaise yhtälö 8 x 5 4 x + 2 x+2 = 0 b. Määrää joku toisen asteen epäyhtälö, jonka ratkaisu on 2 x 1. ABIKertaus.. a. Ratkaise yhtälö 8 5 4 + + 0 b. Määrää joku toisen asteen epäyhtälö, jonka ratkaisu on. 4. Jaa polynomi 8 0 5 ensimmäisen asteen tekijöihin ja ratkaise tämän avulla 4 epäyhtälö 8 0 5 0.

Lisätiedot

Eksponentti- ja logaritmifunktiot

Eksponentti- ja logaritmifunktiot Eksponentti- ja logaritmifunktiot Eksponentti- ja logaritmifunktiot liittyvät läheisesti toisiinsa. Eksponenttifunktio tulee vastaan ilmiöissä, joissa tarkasteltava suure kasvaa tai vähenee suhteessa senhetkiseen

Lisätiedot

Parametrisen EQ:n siirtofunktio. Analysoitava kytkentä. restart. Perinteinen parametrinen EQ voidaan toteuttaa vaikkapa seuraavasti:

Parametrisen EQ:n siirtofunktio. Analysoitava kytkentä. restart. Perinteinen parametrinen EQ voidaan toteuttaa vaikkapa seuraavasti: retart Parametrien E:n iirtofunktio Analyoitava kytkentä Perinteinen parametrinen E voidaan toteuttaa vaikkapa euraavati: R3 ja R4 korvataan yleenä potikalla, iten että pite G tulee potikan liukuun. Taajuuominaiuudet

Lisätiedot

Mustan kappaleen säteily

Mustan kappaleen säteily Mustan kappaleen säteily Musta kappale on ideaalisen säteilijän malli, joka absorboi (imee itseensä) kaiken siihen osuvan säteilyn. Se ei lainkaan heijasta eikä sirota siihen osuvaa säteilyä, vaan emittoi

Lisätiedot

Leptonit. - elektroni - myoni - tauhiukkanen - kolme erilaista neutriinoa. - neutriinojen varaus on 0 ja muiden leptonien varaus on -1

Leptonit. - elektroni - myoni - tauhiukkanen - kolme erilaista neutriinoa. - neutriinojen varaus on 0 ja muiden leptonien varaus on -1 Mistä aine koostuu? - kaikki aine koostuu atomeista - atomit koostuvat elektroneista, protoneista ja neutroneista - neutronit ja protonit koostuvat pienistä hiukkasista, kvarkeista Alkeishiukkaset - hiukkasten

Lisätiedot

Hervannan raitiovaunuvarikon viheralueiden yleissuunnitelma

Hervannan raitiovaunuvarikon viheralueiden yleissuunnitelma S U U E U J EK K K MPEREE KUPUK Hervannan raitiovaunuvarikon viheralueiden yleiuunnitelma Selotu FCG SUUEU J EKKK OY 9.. P9 Selotu (8) Eeva Eiti 9.. Siällyluettelo autaa.... yön iältö ja tavoitteet...

Lisätiedot

FOR TYÖRYHMÄLLESI YOUR WORKGROUP. www.brother.eu. www.brother.fi

FOR TYÖRYHMÄLLESI YOUR WORKGROUP. www.brother.eu. www.brother.fi INTERGRATED INTEGROITUJA BUSINESS TULOSTUSRATKAISUJA PRINT SOLUTIONS FOR TYÖRYHMÄLLESI YOUR WORKGROUP www.brother.eu www.brother.fi UUSI BROTHER VÄRILASERMALLISTO AMMATTIKÄYTTÖÖN - INTEGROITUJA TULOSTUSRATKAISUJA

Lisätiedot

Lasku- ja huolimattomuusvirheet ½ p. Loppupisteiden puolia pisteitä ei korotettu ylöspäin, esim. 2½ p. = 2 p.

Lasku- ja huolimattomuusvirheet ½ p. Loppupisteiden puolia pisteitä ei korotettu ylöspäin, esim. 2½ p. = 2 p. Diplomi-insinöörien ja arkkitehtien yhteisvalinta dia-valinta 2015 Insinöörivalinnan kemian koe 27.5.2015 MALLIRATKAISUT JA PISTEET Lasku- ja huolimattomuusvirheet ½ p. Loppupisteiden puolia pisteitä ei

Lisätiedot

Kantavektorien kuvavektorit määräävät lineaarikuvauksen

Kantavektorien kuvavektorit määräävät lineaarikuvauksen Kantavektorien kuvavektorit määräävät lineaarikuvauksen Lause 18 Oletetaan, että V ja W ovat vektoriavaruuksia. Oletetaan lisäksi, että ( v 1,..., v n ) on avaruuden V kanta ja w 1,..., w n W. Tällöin

Lisätiedot

MS-C1340 Lineaarialgebra ja differentiaaliyhtälöt

MS-C1340 Lineaarialgebra ja differentiaaliyhtälöt MS-C1340 Lineaarialgebra ja differentiaaliyhtälöt Matriisinormi, häiriöalttius Riikka Kangaslampi Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Aalto-yliopisto 2015 1 / 14 R. Kangaslampi matriisiteoriaa Matriisinormi

Lisätiedot

SIUNTIO MARSEUDDENIN OSAYLEISKAAVA OSAYLEISKAAVAN SELOSTUS LUONNOS 21.02.2011

SIUNTIO MARSEUDDENIN OSAYLEISKAAVA OSAYLEISKAAVAN SELOSTUS LUONNOS 21.02.2011 SIUNTIO MARSEUDDENIN OSAYLEISKAAVA OSAYLEISKAAVAN SELOSTUS LUONNOS 21.02.2011 SISÄLLYSLUETTELO 1. PERUSTIEDOT JA TVISTELMÄ...3 1.1. SUUNNITTELUALUE...3 1.2. KAAVAN TARKOITUS...3 1.3. KAAVAN PÄÄSISÄLTÖ...3

Lisätiedot

Suunniteltu toimivaksi... rakennettu kestämään

Suunniteltu toimivaksi... rakennettu kestämään - ja netekaaukäyttöiet vatapainotrukit Suunniteltu toimivaki... rakennettu ketämään 4 ja 5 tonnin polttomoottoritrukkien tehokkuu ja legendaarinen luotettavuu vaikeimmiakin olouhteia on jo vuoia ollut

Lisätiedot

Mekaniikan jatkokurssi Fys102

Mekaniikan jatkokurssi Fys102 Mekaniikan jatkokurssi Fys10 Kevät 010 Jukka Maalampi LUENTO 8 Vaimennettu värähtely Elävässä elämässä heilureiden ja muiden värähtelijöiden liike sammuu ennemmin tai myöhemmin. Vastusvoimien takia värähtelijän

Lisätiedot

Laskun vaiheet ja matemaattiset mallit

Laskun vaiheet ja matemaattiset mallit Laskun vaiheet ja matemaattiset mallit Jukka Sorjonen sorjonen.jukka@gmail.com 28. syyskuuta 2016 Jukka Sorjonen (Jyväskylän Normaalikoulu) Mallit ja laskun vaiheet 28. syyskuuta 2016 1 / 22 Hieman kertausta

Lisätiedot

Kuparikapselin pitkäaikaiskestävyys

Kuparikapselin pitkäaikaiskestävyys KYT2010 Kuparikapselin pitkäaikaiskestävyys Pertti Auerkari, Stefan Holmström & Jorma Salonen VTT, Espoo Tapio Saukkonen TKK Materiaalitekniikan laboratorio, Espoo Sisällys Johdanto: tausta ja tavoitteet

Lisätiedot

1 Määrittele lyhyesti seuraavat käsitteet. a) Kvantisointivirhe. b) Näytetaajuuden interpolointi. c) Adaptiivinen suodatus.

1 Määrittele lyhyesti seuraavat käsitteet. a) Kvantisointivirhe. b) Näytetaajuuden interpolointi. c) Adaptiivinen suodatus. TL536DSK-algoritmit (J. Laitinen) 6.4.5 Määrittele lyyeti euraavat käitteet a) Kvantiointivire. b) äytetaajuuden interpolointi. ) Adaptiivinen uodatu. a) Kvantiointivire yntyy, kun ignaalin ykittäinen

Lisätiedot

Ville Turunen: Mat Matematiikan peruskurssi P1 1. välikokeen alueen teoriatiivistelmä 2007

Ville Turunen: Mat Matematiikan peruskurssi P1 1. välikokeen alueen teoriatiivistelmä 2007 Ville Turunen: Mat-1.1410 Matematiikan peruskurssi P1 1. välikokeen alueen teoriatiivistelmä 2007 Materiaali: kirjat [Adams R. A. Adams: Calculus, a complete course (6th edition), [Lay D. C. Lay: Linear

Lisätiedot

NIKKILÄN SYDÄMEN LAAJENTAMINEN VAIHE 2 MAANTASOKERROS 1/ / ARK - house

NIKKILÄN SYDÄMEN LAAJENTAMINEN VAIHE 2 MAANTASOKERROS 1/ / ARK - house tk, J e, hu p rr, Ä, 9,,, Ä Ä Ä 9,, 9 h vut tk k D uk, C lut, kpk C tr, rv tr C9, y e yv tt t rv lkr tl lut e pll t-k-hu kek u v pt + C C tr C9 tr lut C, C C, yp + phu te kt kpl bet uur rv gr ttpe t +

Lisätiedot

Luento 8. Lämpökapasiteettimallit Dulong-Petit -laki Einsteinin hilalämpömalli Debyen ääniaaltomalli. Sähkönjohtavuus Druden malli

Luento 8. Lämpökapasiteettimallit Dulong-Petit -laki Einsteinin hilalämpömalli Debyen ääniaaltomalli. Sähkönjohtavuus Druden malli Luento 8 Lämpökapasiteettimallit Dulong-Petit -laki Einsteinin hilalämpömalli Debyen ääniaaltomalli Sähkönjohtavuus Druden malli Klassiset C V -mallit Termodynamiikka kun Ei ennustetta arvosta! Klassinen

Lisätiedot

1. Kuinka paljon Maan kiertoaika Auringon ympäri muuttuu vuodessa, jos massa kasvaa meteoroidien vaikutuksesta 10 5 kg vuorokaudessa.

1. Kuinka paljon Maan kiertoaika Auringon ympäri muuttuu vuodessa, jos massa kasvaa meteoroidien vaikutuksesta 10 5 kg vuorokaudessa. 1. Kuinka paljon Maan kiertoaika Auringon ympäri muuttuu vuodessa, jos massa kasvaa meteoroidien vaikutuksesta 10 5 kg vuorokaudessa. Vuodessa Maahan satava massa on 3.7 10 7 kg. Maan massoina tämä on

Lisätiedot

Luvun 5 laskuesimerkit

Luvun 5 laskuesimerkit Luvun 5 laskuesimerkit Esimerkki 5.1 Moottori roikkuu oheisen kuvan mukaisessa ripustuksessa. a) Mitkä ovat kahleiden jännitykset? b) Mikä kahleista uhkaa katketa ensimmäisenä? Piirretäänpä parit vapaakappalekuvat.

Lisätiedot

PHYS-A0120 Termodynamiikka syksy 2016

PHYS-A0120 Termodynamiikka syksy 2016 PHYS-A0120 Termodynamiikka syksy 2016 Emppu Salonen Prof. Peter Liljeroth Viikko 5: Termodynaamiset potentiaalit Maanantai 28.11. ja tiistai 29.11. Kotitentti Julkaistaan to 8.12., palautus viim. to 22.12.

Lisätiedot

DI matematiikan opettajaksi: Täydennyskurssi, kevät 2010 Luentorunkoa ja harjoituksia viikolle 11: ti klo 13:00-15:30

DI matematiikan opettajaksi: Täydennyskurssi, kevät 2010 Luentorunkoa ja harjoituksia viikolle 11: ti klo 13:00-15:30 DI matematiikan opettajaksi: Tädennskurssi, kevät Luentorunkoa ja harjoituksia viikolle : ti 6 klo :-5: Kädään läpi: funktioita f : D f R n R m ja integrointia R n :ssä Oletetaan, että, R n ovat mielivaltaisia

Lisätiedot

MATEMATIIKKAKILPAILU

MATEMATIIKKAKILPAILU Tekniikan Opettajat TOP ry Teknologiateolliuuden Kutannuoakeyhtiö Opetuhallitu 00-uotiäätiö Otaa AMMATIKKA top..05 MALLIRATKAISUT Toien ateen ammatillien koulutuken kaikkien alojen yhteinen MATEMATIIKKAKILPAILU

Lisätiedot

T F = T C ( 24,6) F = 12,28 F 12,3 F T K = (273,15 24,6) K = 248,55 K T F = 87,8 F T K = 4,15 K T F = 452,2 F. P = α T α = P T = P 3 T 3

T F = T C ( 24,6) F = 12,28 F 12,3 F T K = (273,15 24,6) K = 248,55 K T F = 87,8 F T K = 4,15 K T F = 452,2 F. P = α T α = P T = P 3 T 3 76628A Termofysiikka Harjoitus no. 1, ratkaisut (syyslukukausi 2014) 1. Muunnokset Fahrenheit- (T F ), Celsius- (T C ) ja Kelvin-asteikkojen (T K ) välillä: T F = 2 + 9 5 T C T C = 5 9 (T F 2) T K = 27,15

Lisätiedot

Sähköstatiikka ja magnetismi Kondensaattorit ja kapasitanssi

Sähköstatiikka ja magnetismi Kondensaattorit ja kapasitanssi Sähköstatiikka ja magnetismi Konensaattorit ja kapasitanssi ntti Haarto 1.5.13 Yleistä Konensaattori toimii virtapiirissä sähköisen potentiaalin varastona Kapasitanssi on konensaattorin varauksen Q ja

Lisätiedot

Johdatus diskreettiin matematiikkaan Harjoitus 5, Ratkaise rekursioyhtälö

Johdatus diskreettiin matematiikkaan Harjoitus 5, Ratkaise rekursioyhtälö Johdatus diskreettiin matematiikkaan Harjoitus 5, 14.10.2015 1. Ratkaise rekursioyhtälö x n+4 2x n+2 + x n 16( 1) n, n N, alkuarvoilla x 1 2, x 2 14, x 3 18 ja x 4 42. Ratkaisu. Vastaavan homogeenisen

Lisätiedot