b 4i j k ovat yhdensuuntaiset.

Koko: px

Aloita esitys sivulta:

Download "b 4i j k ovat yhdensuuntaiset."

Petteri Sala
9 vuotta sitten
Katselukertoja:

1 MAA5. 1 Koe Jussi Tyni Valitse 6 tehtävää! Muista tehdä pisteytysruuduo ensimmäisen onseptin yläreunaan! Perustele vastausesi välivaiheilla! 1. Oloon vetorit a 2i 6 j 3 ja b i 4 j 3 a) Määritä vetori c 2a 4b ja lase c. b) Määritä vetorien a ja b välinen ulma. 2. a) Osoita, että vetorit a 3i j 2 ja Ovato a ja b tällöin samansuuntaiset vai vastaaissuuntaiset? b) Määritä vetorin a 3i j 2 suuntainen ysiövetori. 4 8 b 4i j ovat yhdensuuntaiset Kolmion ABC ärjestä A alavat sivuvetorit ovat AB 2i 6j ja AC i 4 j. Määritä olmion sivujen pituudet. 4. a) Ono piste P = ( 0,-1,2) pisteiden A = ( 2,1,0) ja B = ( 3,2,1) autta ulevalla suoralla? b) Missä pisteessä a) ohdan suora leiaa xz-tason? 5. Piste P jaaa olmion ABC sivun AB suhteessa 1: 3 ja piste Q jaaa sivun AC suhteessa 1: 2. Missä suhteessa janojen CP ja BQ leiauspiste R jaaa janat CP ja BQ? 6. Suora s 1 ulee pisteiden A = (2,3,-1) ja B = (3,8,-2) autta. Suora s 2 ulee pisteiden C = (-1,0,6) ja D = (-2,1,9) autta. Määritä suorien leiauspiste. 7. dsf Pienone ilmestyy lennonjohdon tutaan ja etenee tutassa ensin vetorin suuntaisesti 2000 metriä. Sen jäleen one vaihtaa suuntaa ja etenee vetorin suuntaisesti 4000 metriä. (ysi asel oordinaatistossa vastaa yhtä metriä ) Jos one ilmestyi tutaan pisteessä P = (300, 520, 1905), missä se on liieidensä jäleen? Kuvaile oneen tilaa. 8. Taso T ulee pisteen A = (-8,1,1) autta ja tasolla on suuntavetorit u 2i j ja v i j 3. Määritä pisteen P = (1,2,3) etäisyys tasosta T. Ota tämä paperi mataasi ja meraa siihen lyhyesti omat vastausesi. Voit tarastaa oieat vastauset netistä oeen jäleen osoitteesta:

2 Rataisut: 1. a) a 2i 6 j 3 ja b i 4 j 3, joten Seä c 2(2i 6 j 3 ) 4( i 4 j 3 ) 8i 28 j 6 c 8 ( 28) b) Vetorien väliseen ulmaan tarvitaan vetorien pistetulo ja vetorien pituudet: a 2 ( 6) ( 3) 7 ja b ( 1) ab 2 ( 1) Nyt ab 35 1 cos( a, b) cos( a, b) cos ( a, b) 168,7 a b 7 26 Vetorien välinen ulma on siis 11,3 astetta! ja 2. a) Jos vetorit a ja b ovat yhdensuuntaiset, niin on olemassa reaaliluu u, niin että a ub. Kosa a 3i j 2 4i j b, niin vetorit a ja b ovat yhdensuuntaiset. Kosa 3 0, niin vetorit a ja b ovat samansuuntaiset. 4 b)ysiövetorin pituus on 1, un taas a:n pituus on a 3 ( 1) 2 14, joten samansuuntaisen ysiövetorin täytyy olla 3. Rataisu: 2 2 AB a (3 i j 2 ) AC ( 1) 4 17 BC BA AC 2i 6 j i 4 j 3i 2 j ja 2 2 BC ( 3) ( 2) 13. Vastaus: AB 2 10, AC 17 ja BC a) Rataisu: Jos piste P on pisteiden A ja B autta ulevalla suoralla, niin on olemassa reaaliluu t siten, että AP t AB. 2i 2 j 2 t( i j ) ti t j t t 2 t 2 t 2 Reaaliluua t ei ole olemassa, joten piste P ei ole pisteiden A ja B autta ulevalla suoralla.

3 b) Pisteiden A ja B autta ulevalla suoralla on suuntavetori v (3 2) i (21) j (1 0) i j Nyt suoran ja xz-tason leiauspisteen X oordinaatit ovat X=(x,0,z). Emme voi tietää mitä x ja z oordinaatit ovat, joten ne on nimettävä muuttujilla. y-oordinaatin on pao olla 0, osa ollaan vain x- ja z-aseleilla. Nyt leiauspiste on tietenin samalla suoralla joa ulee pisteiden AB autta, joten täytyy olla: tv AX t( i j ) ( x 2) i (0 1) j ( z 0) ti tj t ( x 2) i (0 1) j ( z 0) t x 2 1 x 2 x 1 t 1 t z z 1 Joten leiauspiste X=(1,0,-1) 5. Rataisu: Meritään AB a ja AC b. Tällöin 1 1 CR scp s( b a) sa sb ja CR CB tbq ( b a) t( a b) (1 t) a 1 t b s 1 t t 1 s s 1 t 3 Sijoitetaan t alempaan yhtälöön, jolloin s 1 1 s s 1 s s s ja t Täten 8 CR CP, joten CR : RP 8: 3 ja 11 9 BR BQ, joten BR : RQ 9 : Vastaus: CR : RP 8: 3 ja BR : RQ 9 : 2.

4 6. Rataisu: Suorat s 1 ja s 2 leiaavat toisensa, jos avaruudessa on piste P, joa on molemmilla suorilla. Tällöin OP OA sab. OP OC tcd OP 2i 3 j s( i 5 j ) (2 s) i (3 5 s) j ( 1 s) OP i 6 t( i j 3 ) ( 1 t) i t j (6 3 t) 2 s 1 t s t 3 (1) 3 5s t 5s t 3 (2) 1 s 6 3t s 3t 7 (3) Lasetaan yhtälöt (1) ja (3) yhteen, jolloin -2t = 4 eli t = -2. Sijoitetaan t yhtälöön (1), jolloin s 2 3 s 1. Sijoitetaan s ja t yhtälöön (2). Nyt 5 ( 1) ( 2) 3 tosi Nyt OP (2 s) i (3 5 s) j ( 1 s) (2 1) i (3 5 ( 1)) j ( 1 ( 1)) i 2 j Leiauspiste on täten P = (1,-2,0). 7. Malliuva:

5 Lasetaan vetorien a ja b pituudet ja pidennetään niitä sopivasti, jotta saadaan uljettua vetorit AP ja PB: a 3 ( 6) ( 2) AP a 3 i ( 6) j ( 2) i j b 4 ( 4) ( 2) PB b b 4 i ( 4) j ( 2) i j Nyt AB AP PB i j i j i j 3524i 4381 j Rataisu: Lentoone siis liiuu vetori AB:n verran lennonjohdon tutassa ja on noin pisteessä: (3824, -3861, 0). X- ja Y-oordinaattien liieellä ei ole niin väliä, mutta oordinaatti Z osoittaa, että one on tällä hetellä maassa. Toivottavasti laseutuminen on onnistunut ja lentoenttä on oordinaateissa (3824, -3861). Oloon piste Q se piste, joa on lähinnä pistettä P tasossa T. Jos piste P on tasossa T, niin PQ PA AQ PA su tv. Nyt PQ 9i j 2 s(2 i j ) t( i j 3 ) ( 9 2 s t) i ( 1 s t) j ( 2 s 3 t) Toisaalta jana PQ ohtisuorassa tasoa T vastaan, joten suuntavetorit ovat ohtisuorassa janaa PQ vastaan. Tällöin u PQ 0 ja v PQ 0.

6 u PQ 0 : 2 ( 9 2 s t) 1 ( 1 s t) 1 (3 s 3 t) s 2t 1 s t 3 s 3t 0 6s4t 14 v PQ 0 : 1 ( 9 2 s t) 1 ( 1 s t) 3 (3 s 3 t) 0 9 2s t 1 s t 9 3s 9t 0 4s11t 1 6s4t 14 4s11t 1 Kerrotaan ylempi yhtälö -2:llä ja alempi 3:lla ja lasetaan yhtälöt yhteen. Tällöin saadaan 25t= -25 eli t = -1. Sijoitetaan t ylempään yhtälöön: 6s s 18 s 3 Tällöin PQ ( 9 231) i ( 1 31) j (3 33 ( 1)) 4i 5 j 3 PQ Vastaus: Pisteen P etäisyys tasosta T on 5 2.

Samankaltaiset tiedostot

Ota tämä paperi mukaan, merkkaa siihen omat vastauksesi ja tarkista oikeat vastaukset klo 11:30 jälkeen osoitteesta

Ota tämä paperi mukaan, merkkaa siihen omat vastauksesi ja tarkista oikeat vastaukset klo 11:30 jälkeen osoitteesta MAA5.2 Loppukoe 26.9.2012 Jussi Tyni Valitse 6 tehtävää Muista merkitä vastauspaperiin oma nimesi ja tee etusivulle pisteytysruudukko Kaikkiin tehtävien ratkaisuihin välivaiheet näkyviin! 1. Olkoon vektorit