VÄRÄHTELYMEKANIIKKA SESSIO 19: Usean vapausasteen systeemin liikeyhtälöiden johto Newtonin lakia käyttäen

Transkriptio

1 9/ VÄRÄHTELYMEKANIIKKA SESSIO 9: Usean vapausasteen systeemin liieyhtälöiden johto Newtonin laia äyttäen JOHDANTO Usean vapausasteen systeemillä taroitetaan meaanista systeemiä, jona liietilan uvaamiseen tarvitaan asi tai useampia oordinaatteja. Koordinaatteina voidaan äyttää seä translaatioita että rotaatioita. Vapausasteiden luumäärä taroittaa niiden toisistaan riippumattomien oordinaattien luumäärää, jota tarvitaan systeemin liietilan uvaamiseen mielivaltaisella ajan hetellä. Usean vapausasteen dynaamisen systeemin äyttäytymisen analysointi edellyttää sen liieyhtälöiden tuntemista. Liieyhtälöihin sisältyvät systeemin massa-, vaimennus- ja jäyyysominaisuudet seä uloiset uormituset. Jos liieyhtälöissä ei ole uormitustermejä, yseessä ovat ominaisvärähtelyn liieyhtälöt. Ominaisvärähtely on systeemin vapaata värähtelyä ilman uloisten uormitusten vaiutusta ja se riippuu vain systeemin massa-, vaimennus- ja jäyyysominaisuusista seä aluehdoista. Ominaisvärähtelyn liieyhtälöistä selviävät systeemin ominaisulmataajuudet ja ominaismuodot. Jos vapausasteiden luumäärä on n, on ominaisulmataajuusia n pl. Kutain niistä vastaa systeemin värähtelytapa, jota utsutaan ominaismuodosi. Kun usean vapausasteen systeemiin vaiuttaa uloisia uormitusia, sanotaan sillä olevan paotettu liietila. Ysinertaisin uormitus on tietyllä taajuudella vaihteleva harmoninen uormitus, jolloin syntyvä pysyvä liie on harmonista paovärähtelyä ja tapahtuu herätteen taajuudella. Tavallinen uormitustapaus sovellusissa on myös jasollinen eli säännöllisin väliajoin samanlaisena toistuva uormitus. Lyhytestoisista tai äillistä uormitusista eli transienttiuormitusista taas aiheutuu systeemiin lyhytestoisia värähtelyitä masimiamplitudin ollessa vastaavaa staattista siirtymää suurempi. Erityyppiset itavaiutuset aiheuttavat systeemiin vaimennusta, joa pienentää värähtelyjen amplitudia ja transienttiuormitusien aiheuttamia masimi siirtymiä. Vaimennusen analyyttinen äsittely on usean vapausasteen systeemeissä hanalaa johtuen vaimennusilmiön mutiaasta luonteesta. Vaimennusen äsittelyssä tyydytäänin useimmiten melo ysinertaisten vaimennusmallien äyttöön. Liieyhtälöiden johtamiseen äytetään pääasiassa ahta menetelmää, joista toisessa turvaudutaan suoraan Newtonin liieyhtälöihin ja toinen perustuu energiaperiaatteen äyttöön. Tässä sessiossa tarastellaan näistä ensimmäistä menetelmää.

2 9/ NEWTONIN LAKIEN KÄYTTÖ Usean vapausasteen systeemin liieyhtälöt voidaan aina johtaa äyttämällä suoraan Newtonin laeja niiden perusmuodossa. Tämä meritsee sitä, että tarasteltavan systeemin osista laaditaan sopiva määrä vapaaappaleuvia, joista sitten irjoitetaan tarpeellinen määrä voima- ja momenttiliieyhtälöitä ja lopusi yhtälöt sievennetään ja järjestetään valittujen oordinaattien muaisesti yhtälöryhmäsi. Liieyhtälöryhmässä tulee olla systeemin vapausasteiden luumäärän osoittama määrä yhtälöitä. Lineaarisen systeemin liieyhtälöryhmässä on vain oordinaattien ja niiden aiaderivaattojen (nopeudet ja iihtyvyydet) ensimmäisen asteen lauseeita. Epälineaarisen systeemin liieyhtälöt sisältävät oordinaattien ja/tai niiden aiaderivaattojen epälineaarisia termejä, jolloin liieyhtälöryhmän rataiseminen on oleellisesti hanalampaa. Tässä tarastellaan vain lineaarisia systeemejä. Seuraavassa esitetään esimerejä usean vapausasteen systeemin liieyhtälöiden irjoittamisesta Newtonin laeja äyttäen, un vapausasteita on vain muutamia. ESIMERKKI VMS9E Tarastellaan alusi uvan (a) muaista olmen vapausasteen jousi-massa systeemiä, jona massoihin vaiuttavat voimat F (t), F (t) ja F (t). Systeemin tilaa uvaavisi oordinaateisi on valittu massojen (a) asemat, ja, jota on mitattu systeemin staattisesta tasa- F F F painoasemasta lähtien. Kuvassa m m m (b) on massojen vapaaappaleuvat, joista voidaan irjoittaa ullein massalle vaaasuunnassa Newtonin lain muainen liieyhtälö. Tulosesi saadaan seuraava f F f f F f f F (b) liieyhtälöryhmä m m Jousivoimien lauseeet ovat f = ( ) f = ( ) f = ( ) F + f Sijoittamalla jousivoimat liieyhtälöihin ja järjestelemällä termejä seuraa m & & & & Kuva. Kolmen vapausasteen systeemi ilman vaimennusta. & & F F + f f f = m && f = m && = m && m m m && && && + ( + ) + ( + + ) = F (t) = F (t) = F (t)

3 9/ jota ovat systeemin liieyhtälöt. Tarasteltavana on olmen vapausasteen systeemi, jolloin liieyhtälöisi tuli olmen tavallisen differentiaaliyhtälön muodostama yhtälöryhmä. Siinä esiintyy tuntemattomien siirtymien, ja ertaluvun nolla ja asi aiaderivaattoja ensimmäisessä potenssissa, joten yseessä on toisen ertaluvun lineaarinen differentiaaliyhtälöryhmä. Kirjoittamalla liieyhtälöryhmä matriisimuotoon saadaan m m && && m && F (t) = F (t) F (t) () tai lyhyemmin irjoitettuna [ M ]{ & } + [ K]{ } = { F(t) } & () Matriisi [ M ] on systeemin massamatriisi, [ K ] sen jäyyysmatriisi, { & } { } siirtymävetori ja { (t)} & iihtyvyysvetori F uormitusvetori. Saaduista liieyhtälöistä nähdään, että tarasteltavan systeemin massamatriisi on lävistäjämatriisi, mutta jäyyysmatriisin lävistäjän ulopuoliset aliot eivät aii ole nollia. Tästä seuraa, että ryhmän () yhtälöt ovat ytettyjä ja rataistavana on siis differentiaaliyhtälöryhmä. ESIMERKKI VMS9E Toisena esimerinä tarastellaan uvan (a) muaista ahden vapausasteen systeemiä, jossa uormitusena on alustan vaaasuuntainen liie tunnetun funtion u(t) muaisesti. u(t) Koordinaatit ja ilmaisevat massojen absoluuttiset asemat vaaasuunnassa. Määritellään suhteelliset oordinaatit z ja (a) z yhtälöillä m m (b) f f f d m d d m & & & & Kuva. Kahden vapausasteen vaimennettu systeemi z = u ja z = jolloin ne ilmaisevat massojen asemat alustaan nähden. Vapaaappaleuvista (b) saadaan liieyhtälöt f f d d + f + d = m && = m = m u && = m (&& z (&& z + u) && + u) && Jousi- ja vaimennusvoimille voidaan irjoittaa seuraavat lauseeet f = ( u) = z f = ( ) = ( z z ) = ( & u) & = z& d = ( & & ) = ( z& z ) d &

4 9/4 Edellä olevista tulosista seuraa liieyhtälöt m m && z + z& + z && z + ( z& z& ) + jota voidaan laittaa matriisimuotoon ( z& z& ) ( z z ( z z ) = m ) = m m m && z && z + + z& z& + + z z m = m () eli tiiviimmin irjoitettuna [ M]{ z& } + [ C]{ z& } + [ K] { z} = { F (t)} & (4) & ovat suhteellinen iihtyvyys-, nopeus- ja siirtymävetori seä C vaimennusmatriisi. Suhteellisten oordinaattien äytön taia alustan liieestä aiheu- F a esiintyy vain iihtyvyys u& &, miä on helpompi mitata Yhtälössä (4) { z &}, { z& } ja { z} [ ] tuvassa uormitusvetorissa { (t)} a uin asema u tai nopeus u&. g B a θ M I u(t) / B K / / m / (a) (t) f (b) MA N A y A & & f mg d d () M A & θ θ & y& A y A Mg & Kuva. Raennusen lasentamalli. ESIMERKKI VMS9E Tarastellaan olmantena esimerinä uvan (a) muaista lasentamallia, jolla voidaan tutia esimerisi alustan tunnetusta liieestä u(t) johtuvaa raennusen värähtelyä. Lasentamallissa raennusta on uvattu jäyällä appaleella B ja sen perustusta partielilla B. Koordinaateisi valitaan perustusen absoluuttinen asema ja raennusen ulmaasema θ, jolloin siis yseessä on ahden vapausasteen lasentamalli. Rajoitutaan lisäsi

5 9/5 pieniin värähtelyihin. Perustusen vapaaappaleuvasta (b) saadaan seuraava vaaasuuntainen liieyhtälö = m& f d + A Perustusen pystysuuntaista liieyhtälöä ei jatossa tarvita. Raennusen vapaaappaleuvasta () saadaan seuraavat olme liieyhtälöä A = M& A Mg = M& y! : M + A asinθ + A aosθ = I & θ y A y Jousi- ja vaimennusvoimille voidaan irjoittaa lauseeet f = ( u) d = ( & u) MA = K θ & Kosa ulma θ on pieni, voidaan äyttää approsimaatioita sinθ θ ja osθ. Massaesiön asemaoordinaatit ja y voidaan lausua oordinaattien ja θ avulla = + a sinθ + aθ y = a osθ a & = && + a&& θ & y = Ottamalla edellä esitetyt tuloset huomioon perustusen liieyhtälössä ja raennusen momenttiliieyhtälössä saadaan liieyhtälöpari ( u) ( & u) & M( && + a&& θ ) = m&& Kθ + Mgaθ M( && + a&& θ )a = I && θ eli matriisimuodossa M + m Ma I Ma + Ma && && θ + & θ& + u& + u = K Mga θ (5) tai lyhyemmin irjoitettuna [ M]{ y& } + [ C]{ y& } + [ K] { y} = { F (t) } & (6) a Alustan liie näyy liieyhtälössä (5) oiealla puolella olevana uormitusvetorina.

6 9/6 HARJOITUS VMS9H 5 F F m m F m Johda uvan muaisen olmen vapausasteen systeemin liieyhtälöt Newtonin laia äyttäen ja esitä tulos matriisimuodossa. Koordinaateisi valitaan massojen asemat, ja, jota mitataan systeemin staattisesta tasapainoasemasta, jolloin jousissa ei ole pituudenmuutosia. m Vast. [ M ] = m [ K] = { F} Vihjeet: m F = F F HARJOITUS VMS9H L L/ 5L/ m θ F F 5m F Johda uvan muaisen olmen vapausasteen systeemin liieyhtälöt Newtonin laia äyttäen ja esitä tulos matriisimuodossa. Koordinaateisi valitaan palin massaesiön asema pystysuunnassa ja rotaatioulma θ seä pistemassan 5 m asema pystysuunnassa. Koordinaatit mitataan systeemin staattisesta tasapainoasemasta, jolloin jousien staattisia muodonmuutosia vastaavat voimat umoavat liieyhtälöissä painovoimien vaiutuset. Pali on tasapasu ja homogeeninen. Vast. [ ] M = m 5L / 6 [ C] L / [ ] K = L / 7L / L / { F} L / 5 = L / L / L / 4 L / F + F = 5L(F F F L / )/ Vihjeet: