Sattuman matematiikkaa III
|
|
- Ilmari Koskinen
- 8 vuotta sitten
- Katselukertoja:
Transkriptio
1 Sattuman matematiiaa III Kolmogorovin asioomat ja frevenssitulinta Tommi Sottinen Tutija Matematiian ja tilastotieteen laitos, Helsingin yliopisto Laboratoire de Probabilités et Modèles Aléatoires, Université de Paris VI Solmun numerossa 2/2002 aloitettiin todennäöisyyslasentaa äsittelevä irjoitussarja. Osassa I äsiteltiin todennäöisyyslasennan historiaa ja muutamia todennäöisyyden tulintoja: lassista, freventististä ja geometrista. Osassa II (Solmu /2003 esitettiin modernin todennäöisyyslasennan perusta: Kolmogorovin [2] asioomat. Tässä irjoitussarjan olmannessa osassa emme mene tarinassa eteenpäin vaan syvemmälle. Osoitamme, että Kolmogovin asioomat ovat siinä mielessä sopiva matemaattinen malli todennäöisyyslasennalle, että frevenssitulinta voidaan johtaa niistä. (On itsestään selvää, että lassinen ja geometrinen tulinta seuraavat Kolmogorovin asioomista. Kolmogorovin asioomat Kertaamme lyhyesti irjoitussarjan osassa II esitetyt asioomat, eli olmion (Ω, F, P. Ω on perusjouo, josta ohtalon jumalatar, Lady Fortuna, valitsee satunnaisoeen tulosen ω. F on ooelma Ω:n osajouoja, joa on suljettu numeroituvan monien jouo-operaatioiden suhteen (siis F on σ-algebra, s. osa II. Kutsumme F:n jäseniä tapahtumisi. Välttämättä aii Ω:n osajouot eivät siis ole tapahtumia. Syy tähän valitettavaan seiaan löytyy mittateorian syvistä vesistä. Emme äsittele tätä aihetta enempää. Luija voi lohduttautua sillä, että äytännössä on vaieaa esiä osajouoa, joa ei ole tapahtuma. P on todennäöisyys, siis uvaus tapahtumajouolta F reaaliluujouolle R, joa toteuttaa ehdot (TN P(A 0 aiilla tapahtumilla A, (TN 2 P(Ω, (TN 3 jos A, A 2,... ovat tapahtumia, joista oreintaan ysi voi sattua errallaan, niin ( P i A i P(A i. i Kohdat (TN ja (TN 2 ovat luonnollisia. Kohta (TN 3, täysadditiivisuus, on vähemmän viaton. Siitä seuraa esimerisi, ettemme voi valita luonnollista luua umpimähään (siis siten, että joaisella luvulla
2 on yhtä suuri todennäöisyys tulla valitusi. Joainen varmasti hyväsyy, että todennäöisyys on additiivinen: (TN 3 jos tapahtumat A ja A 2 eivät voi molemmat sattua samalla ertaa, niin P ( A A 2 P ( A + P ( A2. Jos lisäsi hyväsymme, että todennäöisyys on jatuva: (TN 3 jos tapahtumien jono A, A 2,... on laseva, toisin sanoen A A 2, niin ( P A n lim P( A n, niin joudumme hyväsymään täysadditiivisuuden. Nimittäin (TN 3 yhdessä (TN 3:n anssa on yhtäpitävä (TN 3 :n anssa. Emme perustele tätä tässä, vaiaaan perustelu ei ole erityisen hanala. Joa tapausessa additiivisuus täydessä muodossaan on välttämätön frevenssitulinnan annalta. Huomautamme lopusi, että täysadditiivisuudesta seuraa, että olivatpa jouot A, A 2,... erillisiä tai eivät, niin joa tapausessa ( ( P i A i P(A i. i Epäyhtälön ( oiealla puolella on liiaa jouojen A, A 2,... mahdolliset päälleäisyydet. Kahden jouon tapausessa tämä päälleäisyys on helppo nähdä: P(A A 2 P(A + P(A 2 P(A A 2 P(A + P(A 2. Toistooe: riippumattomien toistojen satunnaisoe Frevenssitulinnassa on yse toistooeesta, eli yhdestä ja samasta satunnaisoeesta, jota toistetaan loputtomasti. Tällöin Ω:n aliot ovat jonoja ω (ω, ω 2,.... Tässä ω i on se alio, jona Lady Fortuna valitsee toistossa i. Lisäsi toistot ovat riippumatomia: jos A ja B ovat tapahtumia, jota määräytyvät erillisten toistoertojen perusteella, niin P ( A B P ( A P ( B. Toistooeella ei siis ole muistia: aiaisemmat tapahtumat eivät vaiuta tulevien tapahtumien todennäöisyysiin. Tyypillinen esimeri toistooeesta on olion heitto. Jos olio on joa heitolla samanlainen, se ei siis esimerisi ulu heitossa, niin toistot ovat riippumattomia. Oloon nyt A join ysittäiseen satunnaisoeeseen liittyvä tapahtuma. Esimerisi olion heitossa se voisi olla olio laseutuu laavapuoli ylöspäin. Kosa yse on toistooeesta, meritsemme A i {A sattuu toistossa i. Tapahtuma A i riippuu ω:sta vain oordinaatin ω i autta. Siten A i :t ovat riippumattomia. Frevenssitulinta ja binomimuuttuja Oloon n luonnollinen luu. Tapahtuman A frevenssi F n [A] # { i : A i, i n { niiden i n luumäärä, joilla A i { niiden toistojen i n luumäärä, joilla A i sattuu ja sen suhteellinen frevenssi f n [A] F n[a] n. Jos f n [A] suppenee jossain mielessä ohti jotain luua p, niin tällöin tulitsemme, että p P(A. Kosa tapahtuma A on jatossa aina sama, niin irjoitamme lyhyesti F n F n [A] ja f n f n [A]. Käsittelemme nyt hieman suppenemista (2 f n p. Ongelma tämän suppenemisen ymmärtämisessä on se, että f n ei ole miään iinteä luu. Se on satunnaismuuttuja, eli funtio perusjouolta Ω reaaliluvuille R. Kiinnittämällä ω Ω voimme tarastella tavallista reaaliluujonojen suppenemista ja yrittää osoittaa esimerisi, että f n (ω p aiilla ω Ω. Tämä siis vastaa funtioiden pisteittäistä suppenemista. Emme uitenaan voi toivoa mitään näin hienoa tulosta. Tämän näemme tarastelemalla olion heittoa. Oloon A i tapahtuma i:nnellä heitolla tulee laava. Jos ω (laava, laava,..., niin f n (ω. Toisaalta jos ω (ruuna, ruuna,..., niin f n (ω 0.
3 Määrittelemme suppenemisen (2 seuraavassa osiossa ahdella eri tavalla. Sitä ennen äsittelemme satunnaismuuttujia F n ja f n. Oletamme nyt, että tapahtumilla A i on todennäöisyys Kolmogorovin asiomaattisessa mielessä. Meritsemme p P(A i. Tässä P on todennäöisyys jonoavaruudessa Ω, vaiain itse tapahtuma liittyy vain ysittäiseen toistoon i. Tällöin F n siis lasee onnistuneiden tapahtumien luumäärän n:n toiston sarjassa, un ysittäisen onnistumisen todennäöisyys on p. Satunnaismuuttuja F n saa siis jonin arvon jouosta {0,,..., n. Etsimme nyt satunnaismuuttujan F n jaauman, toisin sanoen uvausen P ( F n. Tarastelaamme tapahtumaa {F n. Tällöin siis A on sattunut ertaa ja jäänyt sattumatta n ertaa. Näin voi äydä mm. silloin, un A sattuu alusi ertaa puteen, eli tapahtumat A, A 2,..., A sattuvat, ja tämän jäleen ei A enää satu, eli tapahtumat A c +, Ac +2,..., Ac n sattuvat. Kosa P(A i p, niin P(A c i p. Siten juuri uvatun tapahtuman todennäöisyys on riippumattomuuden nojalla (3 p ( p n. Yleisesti ottaen onnistumisien A i ei tarvitse tapahtua alusi puteen, vaan ne voivat tapahtua missä tahansa ohtaa n:ssä toistossa. Kuitenin joaisen ysittäisen n toiston tapahtuman, jossa on appaletta onnistumisia, todennäöisyys on (3. Näitä ysittäisiä tapahtumia on, uten irjoitussarjan osassa I todettiin, ( n n!!(n! eri appaletta. Siten, asiooman (TN 3 nojalla, ( n P(F n p ( p n. Sanomme, että F n on binomijaautunut parametrein n ja p, ja äytämme merintää F n Bin(n, p Kuva. Satunnaismuuttujan f n F n /n jaauma, un p 0,2 ja n, 0, 50, 00. Suurten luujen lait Tarastelemme, missä mielessä raja-arvo (2, ja siten frevenssitulinta, voidaan ymmärtää. Jo aiaisemmin huomasimme, että funtioiden pisteittäinen suppeneminen on liian vahva äsite tässä yhteydessä. Heion suurten luujen lain tapausessa ymmärrämme suppenemisen f n p niin, että (4 P ( fn p ε 0 millä tahansa luvulla ε > 0. Suppeneminen aavassa (4 taroittaa tietysti tavallista reaaliluujonon suppenemista. Heio suurten luujen lai taroittaa siis sitä, että todennäöisyys sille, että f n poieaa luvusta p menee ohti nollaa, un n asvaa. Sanomme myös, että f n suppenee ohti luua p stoastisesti. Vahva suurten luujen lai on lähellä funtioiden pisteittäistä suppenemista: ymmärrämme suppenemisen f n p niin, että (5 P(f n p P ({ ω Ω : f n (ω p. Kyse on siis siitä, että funtiot f n suppenevat pisteittäin ohti luua p paitsi ehä jossain poieusellisessa pistejouossa, jona todennäöisyys on nolla. Tällöin sanomme myös, että f n suppenee ohti luua p melein varmasti. Ensimmäisen version suurten luujen laeista todisti Jaob Bernoulli []. Hänen unniaseen satunnaisoetta, jossa on asi tulosmahdolisuutta, utsutaan Bernoulli-oeesi ja siten Bin(, p-jaautuneesta satunnaismuuttujasta äytetään myös nimitystä Bernoulli-muuttuja. Mainittooon vielä, että irjoittajan mielestä nimitys suurten luujen lai ei ole erityisen onnistunut. Parempi nimitys olisi loputtomien toistojen lai. Onneton nimitys lienee Siméon Poisson n peruja. Suurten luujen laien perustelu Tämä on irjoitusen teninen osio, sen matemaattinen pihvi. Todennäöisyyslasennan teoriasta vähemmän iinnostunut luija halunnee siirtyä suoraan osioon Varoitusen sanoja. Heio tapaus
4 Tehtävänämme on löytää sellainen yläraja (6 r(n, ε P ( f n p ε, että r(n, ε 0 aiilla positiivisilla ε. Tämä ei itse asiassa ole erityisen vaieaa. Ennaoimme uitenin vahvan tapausen ja etsimme sellaisen ylärajan, joa suppenee riittävän nopeasti. Tämä on jo hieman hanalaa. Käytämme luennoissa [3] esitettyä teniiaa. Tarastelemme alusi tapahtumassa { f n p ε { F n np nε itseisarvon positiivista puolta. Oloon r ja a (p, ε+p] sellainen luu, että an N (tällainen luu löytyy, unhan n on riittävän iso. Kosa F n on Bin(n, p- jaautunut, niin P ( F n (ε+pn P ( F n an ( n p ( p n an an an 0 r m p ( p n (rp ( p n (rp ( p n. Binomiteoreeman, siis sen joa ertoo miten sulut avataan, nojalla Siten 0 ( n (rp ( p n ( rp + ( p n. (7 P ( F n an ( rp ( p n. Epäyhtälön (7 vasen puoli ei riipu parametrin r valinnasta. Etsimme siten optimaalisen arvon r:lle. Optimiohta löytyy tavalliseen tapaan derivoimalla. Jätämme nämä työläät, mutta suoraviivaiset ysityisohdat luijalle. Toteamme vain, että minimiohta on r min p p a a >. Sijoittamalla r min :n aavaan (7 saamme ylärajan P ( f n p ε C a,p (r min an g + (n, ε. Tässä on täreää, että yläraja g + (n, ε suppenee ohti nollaa esponentiaalista vauhtia. Tarastelemme nyt itseisarvon negatiivista puolta. Vaihtamalla onnistumiset epäonnistumisisi huomaamme, että satunnaismuuttuja n F n on binomijaautunut parametrein n ja p. Kosa { F n na {n F n ( an, niin voimme päätellä, uten edellä, että P ( f n p ε g (n, ε, missä g (n, ε suppenee nollaan esponentiaalista vauhtia. Yhdistämällä saadut ylärajat olemme todistaneet heion suurten luujen lain. Voimme nimittäin valita ylärajasi (6 Vahva tapaus g(r, ε g + (r, ε + g (r, ε. Käytämme esponentiaalista ylärajaa (6 ja seuraavaa tulosta. Borel Cantellin lemma. Oloot A, A 2,... sellaisia tapahtumia, että sarja P(A n suppenee. Tällöin A n sattuu, melein varmasti, vain äärellisen monella indesillä n. Toisin sanoen P ( A n äärettömän usein 0. Tässä {A n äärettömän usein on niiden ω Ω jouo, joilla ω A n äärettömän usealla idesillä n. Perustelemme nyt Borel Cantellin lemman. Meritsemme alusi B n A i. in Toisin sanoen B n {A i jollain i n. Siten { An äärettömän usein B n. Jouot B n ovat lasevia: B n+ B n. Siten todennäöisyyden jatuvuudesta (asiooma (TN 3 seuraa, että ( P B n lim P(B n. Toisaalta epäyhtälöstä ( seuraa, että P(B n P(A i. in
5 Lemman väite seuraa ooamalla yllä luettelemamme (epäyhtälöt: P ( A n äärettömän usein ( P B n lim P(B n lim P(A i 0. in Vahva suurten luujen lai seuraa nyt suoraan Borel Cantellin lemmasta. Nimittäin, jos A n, { f n p, niin f n p taroittaa, että A n, sattuu jollain N äärettömän usein. Siis { {f n p A n, äärettömän usein. Toisaalta ylärajan (6 nojalla P(A n, g ( n,, missä ( g(n, / suppenee sarjana. Siten, Borel Cantellin lemman nojalla, P(A n, äärettömän usein 0. Lopulta väite seuraa epäyhtälöstä (: ( { P(f n p P An, äärettömän usein P(A n, äärettömän usein 0 0. Vahva suurten luujen lai seurasi siis siitä, että aiilla ε > 0 (8 P ( fn p ε <. Satunnaismuuttujajono, joa toteuttaa ehdon (8, suppenee ohti luua p nopeasti. Esitettyjen olmen suppenemisen välinen suhde on: nopea melein varma stoastinen. Nämä impliaatiot ovat siinä mielessä aitoja, ettei niitä voida ääntää. Varoitusen sanoja Frevensitulinnan muaan suhteellinen erotus f n p F n np n suppenee ohti nollaa, un n asvaa. Absoluuttisen erotusen tapausessa uitenin Fn np, vieläpä niin että F n np saa mielivaltaisen suuria ja pieniä arvoja. Todennäöisyys ei siis ole miään uminauha, jona ohtalo paottaa ohti esiarvoa. Se ei vastaa näemystä osmisesta oieudenmuaisuudesta, jona muaan onnistumisien jäleen on seurattava epäonnistumisia ja että joainen on esimäärin yhtä hyvä. Kohtalo voi toi muistaa aiaisemmat epäonnistumiset, mutta satunnainen riippumaton toistooe ei niitä muista Kuva 2. Simuloidut polut F n np ja f n p, un p 0,2 ja n,..., 000. Jos siis pelaat rulettia ja olet havainnut 9 punaista ja mustan, niin ei annata ruveta pelaamaan mustaa sen taia, että pitäähän niitä mustiain tulla, un on tullut niin paljon punaisia. Itse asiassa nyt annattaa pelata punaista! Syyn tähän erromme seuraavissa irjoitusissa. Viitteet [] Bernoulli, Jaob: Ars Conjectandi, Basel, 73. [2] Kolmogorov, Andrei Niolaevitš: Grundbegriffe der Wahrscheinlicheitsrechnung, Berlin, 933. [3] Nummelin, Esa: Todennäöisyysteoria, Luennot, Helsingin yliopisto, Matematiian laitos, 2003.
M 2 M = sup E M 2 t. E X t = lim. niin martingaalikonvergenssilauseen oletukset ovat voimassa, eli löydämme satunnaismuuttujan M, joka toteuttaa ehdon
Matematiian ja tilastotieteen laitos Stoastiset differentiaaliyhtälöt Rataisuehdotelma Harjoituseen 7 1. Näytä, että uvaus M M M 2, un M 2 M = sup E M 2 t 2 t 0 on normi jouossa M 2 = { M : M on martingaali
Lisätiedotfunktiojono. Funktiosarja f k a k (x x 0 ) k
SARJAT JA DIFFERENTIAALIYHTÄLÖT 2003 3 4. Funtiosarjat Tässä luvussa esitettävissä funtiosarjojen tulosissa yhdistämme luujen 3 teoriaa. Esimeri 4.. Geometrinen sarja x suppenee aiilla x ], [ ja hajaantuu
LisätiedotMatematiikan tukikurssi
Matematiian tuiurssi Kurssierta 5 Sarjojen suppeneminen Kiinnostusen ohteena on edelleen sarja a n = a + a 2 + a 3 + a 4 + n= Tämä summa on mahdollisesti äärellisenä olemassa, jolloin sanotaan että sarja
LisätiedotDifferentiaali- ja integraalilaskenta 1 Ratkaisut 1. viikolle /
MS-A8 Differentiaali- ja integraalilasenta, V/27 Differentiaali- ja integraalilasenta Rataisut. viiolle /. 3.4. Luujonot Tehtävä : Mitä ovat luujonon viisi ensimmäistä termiä, un luujono on a) (a n ) n=,
LisätiedotMS-A0402 Diskreetin matematiikan perusteet Esimerkkejä ym., osa I
MS-A00 Disreetin matematiian perusteet Esimerejä ym., osa I G. Gripenberg Jouo-oppi ja logiia Todistuset logiiassa Indutioperiaate Relaatiot ja funtiot Funtiot Aalto-yliopisto. maalisuuta 0 Kombinatoriia
LisätiedotJOHDATUS LUKUTEORIAAN (syksy 2017) HARJOITUS 1, MALLIRATKAISUT
JOHDATUS LUKUTEORIAAN (sysy 2017) HARJOITUS 1, MALLIRATKAISUT Tehtävä 1. (i) Etsi luvun 111312 aii teijät. (ii) Oloot a ja b positiivisia oonaisluuja joilla a b ja b a. Osoita, että silloin a = b. Rataisu
LisätiedotV. POTENSSISARJAT. V.1. Abelin lause ja potenssisarjan suppenemisväli. a k (x x 0 ) k M
V. POTENSSISARJAT Funtioterminen sarja V.. Abelin lause ja potenssisarjan suppenemisväli P a x x, missä a, a, a 2,... R ja x R ovat vaioita, on potenssisarja, jona ertoimet ovat luvut a, a,... ja ehitysesus
LisätiedotMS-A0402 Diskreetin matematiikan perusteet
MS-A0402 Disreetin matematiian perusteet Osa 3: Kombinatoriia Riia Kangaslampi 2017 Matematiian ja systeemianalyysin laitos Aalto-yliopisto Kombinatoriia Summaperiaate Esimeri 1 Opetusohjelmaomiteaan valitaan
Lisätiedot4.7 Todennäköisyysjakaumia
MAB5: Todeäöisyyde lähtöohdat.7 Todeäöisyysjaaumia Luvussa 3 Tuusluvut perehdyimme jo jaauma äsitteesee yleesä ja ormaalijaaumaa vähä taremmi. Lähdetää yt tutustumaa biomijaaumaa ja otetaa se jälee ormaalijaauma
LisätiedotTehtävä 2 Todista luennoilla annettu kaava: jos lukujen n ja m alkulukuesitykset. ja m = k=1
Luuteoria Harjoitus 1 evät 2011 Alesis Kosi 1 Tehtävä 1 Näytä: jos a ja b ovat positiivisia oonaisluuja joille (a, b) = 1 ja a c, seä lisäsi b c, niin silloin ab c. Vastaus Kosa a c, niin jaollisuuden
LisätiedotTehtävä 3. Määrää seuraavien jonojen raja-arvot 1.
Jonotehtävät, 0/9/005, sivu / 5 Perustehtävät Tehtävä. Muotoile matemaattiset vastineet seuraavien väitteiden negaatioille (ts. vastaohdat).. Jono (a n ) suppenee ohti luua a.. Jono (a n ) on asvava. 3.
Lisätiedot2 Taylor-polynomit ja -sarjat
2 Taylor-polynomit ja -sarjat 2. Taylor-polynomi Taylor-polynomi P n (x; x 0 ) funtion paras n-asteinen polynomiapprosimaatio (derivoinnin annalta) pisteen x 0 lähellä. Maclaurin-polynomi: tapaus x 0 0.
LisätiedotIII. SARJATEORIAN ALKEITA. III.1. Sarjan suppeneminen. x k = x 1 + x 2 + x ,
III. SARJATEORIAN ALKEITA Sarja on formaali summa III.. Sarjan suppeneminen = x + x 2 + x 3 +..., missä R aiilla N (merintä ei välttämättä taroita mitään reaaliluua). Luvut x, x 2,... ovat sarjan yhteenlasettavat
LisätiedotOlkoot X ja Y riippumattomia satunnaismuuttujia, joiden odotusarvot, varianssit ja kovarianssi ovat
Mat-.3 Koesuunnittelu ja tilastolliset mallit. harjoituset Mat-.3 Koesuunnittelu ja tilastolliset mallit. harjoituset / Rataisut Aiheet: Avainsanat: Satunnaismuuttujat ja todennäöisyysjaaumat Kertymäfuntio
LisätiedotJoulukuun vaativammat valmennustehtävät ratkaisut
Jouluuun vaativammat valmennustehtävät rataisut. Tapa. Pätee z = x + y, joten z = (x + y = x + y, josta sieventämällä seuraa xy 4x 4y + 4 = 0. Siispä (x (y =. Tästä yhtälöstä saadaan suoraan x =, y = 4
LisätiedotSTOKASTISET DIFFERENTIAALIYHTÄLÖT 7
STOKASTISET DIFFERENTIAALIYHTÄLÖT 7 1. Todennäöisyyslasennasta ja merinnöistä Palautamme seuraavassa lyhyesti mieleen todennäöisyyslasennan äsitteitä ja esittelemme myös muutamia urssilla äytettäviä merintätapoja.
LisätiedotYlioppilastutkintolautakunta S tudentexamensnämnden
Ylioppilastutintolautaunta S tudenteamensnämnden MATEMATIIKAN KOE, PITKÄ OPPIMÄÄRÄ 0..0 HYVÄN VASTAUKSEN PIIRTEITÄ Alla oleva vastausten piirteiden ja sisältöjen luonnehdinta ei sido ylioppilastutintolautaunnan
LisätiedotC (4) 1 x + C (4) 2 x 2 + C (4)
http://matematiialehtisolmu.fi/ Kombiaatio-oppia Kuia mota erilaista lottoriviä ja poeriättä o olemassa? Lotossa arvotaa 7 palloa 39 pallo jouosta. Poeriäsi o viide orti osajouo 52 orttia äsittävästä paasta.
Lisätiedottermit on luontevaa kirjoittaa summamuodossa. Tällöin päädymme lukusarjojen teoriaan: a k = s.
SARJAT JA DIFFERENTIAALIYHTÄLÖT 2003 7 3. Luusarjat Josus luujonon (b ) termit on luontevairjoittaa summamuodossa. Tällöin päädymme luusarjojen teoriaan: Määritelmä 3.. Oloon ( ), R luujono. Symboli (3.)
LisätiedotTAMPEREEN YLIOPISTO Pro gradu -tutkielma. Hannu Pajula. Stirlingin luvuista
TAMPEREEN YLIOPISTO Pro gradu -tutielma Hannu Pajula Stirlingin luvuista Informaatiotieteiden ysiö Matematiia Maalisuu 2014 Tampereen yliopisto Informaatiotieteiden ysiö PAJULA, HANNU: Stirlingin luvuista
Lisätiedot2.8 Mallintaminen ensimmäisen asteen polynomifunktion avulla
MAB Matemaattisia malleja I.8. Mallintaminen ensimmäisen asteen.8 Mallintaminen ensimmäisen asteen polynomifuntion avulla Tutustutaan mallintamiseen esimerien autta. Esimeri.8. Määritä suoran yhtälö, un
Lisätiedot3. Markovin prosessit ja vahva Markovin ominaisuus
30 STOKASTISET DIFFERENTIAALIYHTÄLÖT 3. Marovin prosessit ja vahva Marovin ominaisuus Aloitamme nyt edellisen appaleen päättäneen esimerin yleistämisen Brownin liieelle. Käymme ysitellen läpi esimerin
LisätiedotRiemannin sarjateoreema
Riemannin sarjateoreema LuK-tutielma Sami Määttä 2368326 Matemaattisten tieteiden laitos Oulun yliopisto Sysy 206 Sisältö Johdanto 2 Luujonot 3 2 Sarjat 4 2. Vuorottelevat sarjat........................
Lisätiedot(1 + i) + JA. t=1. t=1. (1 + i) n (1 + i) n. = H + k (1 + i)n 1 i(1 + i) n + JA
Investoinnin annattavuuden mittareita Opetusmonisteessa on asi sivua, joilla on hyvin lyhyesti uvattu jouo mittareita. Seuraavassa on muutama lisäommentti ja aavan-johto. Tarastelemme projetia, jona perusinvestointi
LisätiedotEksponentti- ja logaritmiyhtälö
Esponentti- ja logaritmiyhtälö Esponenttifuntio Oloon a 1 positiivinen reaaliluu. Reaalifuntiota f() = a nimitetään esponenttifuntiosi ja luua a sen antaluvusi. Jos a > 1, niin esponenttifuntio f : R R,
LisätiedotPerustehtäviä. Sarjateorian tehtävät 10. syyskuuta 2005 sivu 1 / 24
Sarjateorian tehtävät 0. syysuuta 2005 sivu / 24 Perustehtäviä. Muunna sarja telesooppimuotoon ja osoita, että se suppenee. Lase myös sarjan summa. ( + ) = 2 + 6 + 2 +... 2. Osoita suoraan määritelmään
LisätiedotTodennäköisyyslaskenta IIa, syys lokakuu 2019 / Hytönen 1. laskuharjoitus, ratkaisuehdotukset
Todennäöisyyslasenta IIa, syys loauu 019 / Hytönen 1. lasuharjoitus, rataisuehdotuset 1. ( Klassio ) Oloot A ja B tapahtumia. Todista lasuaavat (a) P(A B) P(A) + P(B \ A), (b) P(B) P(A B) + P(B \ A), (c)
Lisätiedot9 Lukumäärien laskemisesta
9 Luumäärie lasemisesta 9 Biomiertoimet ja osajouoje luumäärä Määritelmä 9 Oletetaa, että, N Biomierroi ilmaisee, uia mota -alioista osajouoa o sellaisella jouolla, jossa o aliota Meritä luetaa yli Lasimesta
LisätiedotTodennäköisyysjakaumat 1/5 Sisältö ESITIEDOT: todennäköisyyslaskenta, määrätty integraali
Todennäöissjaaumat /5 Sisältö ESITIEDOT: lasenta, määrätt Haemisto KATSO MYÖS: tilastomatematiia P (X = )=p. Nämä ovat 0 ja niiden summa on p =. Pistetodennäöisdet voidaan graafisesti esittää pstsuorien
LisätiedotHanoin tornit. Merkitään a n :llä pienintä tarvittavaa määrää siirtoja n:lle kiekolle. Tietysti a 1 = 1. Helposti nähdään myös, että a 2 = 3:
Hanoin tornit Oloot n ieoa asetettu olmeen tanoon uvan osoittamalla tavalla (uvassa n = 7). Siirtämällä yhtä ieoa errallaan, ieot on asetettava toiseen tanoon samaan järjestyseen. Isompaa ieoa ei missään
LisätiedotMiehitysluvuille voidaan kirjoittaa Maxwell Boltzmann jakauman mukaan. saamme miehityslukujen summan muodossa
S-4.7 Fysiia III (EST) Tetti..6. Tarastellaa systeemiä, jossa ullai hiuasella o olme mahdollista eergiatasoa, ε ja ε, missä ε o eräs vaio. Oletetaa, että systeemi oudattaa Maxwell-Boltzma jaaumaa ja, että
LisätiedotJohdatus lukuteoriaan Harjoitus 1 syksy 2008 Eemeli Blåsten. Ratkaisuehdotelma
Johdatus luuteoriaan Harjoitus 1 ss 008 Eemeli Blåsten Rataisuehdotelma Tehtävä 1 Oloot a ja b positiivisia oonaisluuja. Osoita, että on olemassa siäsitteinen luu h ('luujen a ja b pienin hteinen jaettava',
Lisätiedot4.3 Erillisten joukkojen yhdisteet
4.3 Erillisten jouojen yhdisteet Ongelmana on pitää yllä ooelmaa S 1,..., S perusjouon X osajouoja, jota voivat muuttua ajan myötä. Rajoitusena on, että miään alio x ei saa uulua useampaan uin yhteen jouoon.
LisätiedotMatematiikan tukikurssi
Matematiikan tukikurssi Kurssikerta 6 Sarjojen suppeneminen Kiinnostuksen kohteena on edelleen sarja a k = a + a 2 + a 3 + a 4 +... k= Tämä summa on mahdollisesti äärellisenä olemassa, jolloin sanotaan
LisätiedotPyramidi 3 Analyyttinen geometria tehtävien ratkaisut sivu 139 Päivitetty a) 402 Suplementtikulmille on voimassa
Pyramidi Analyyttinen geometria tehtävien rataisut sivu 9 Päivitetty 9..6 4 a) 4 Suplementtiulmille on voimassa b) a) α + β 8 α + β 8 β 6 c) b) c) α 6 6 + β 8 β 8 6 β 45 β 6 9 α 9 9 + β 8 β 8 + 9 β 7 Pyramidi
LisätiedotVakuutusmatematiikan sovellukset 20.11.2008 klo 9-15
SHV-tutinto Vauutusmatematiian sovelluset 20.11.2008 lo 9-15 1(7) Y1. Seuraava tauluo ertoo vauutusyhtiön masamat orvauset vahinovuoden ja orvausen masuvuoden muaan ryhmiteltynä (tuhansina euroina): Vahinovuosi
LisätiedotEksponenttifunktio. Johdanto. Määritelmä. Pekka Alestalo Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Aalto-yliopisto
Solmu 3/08 3 Esponenttifuntio Pea Alestalo Matematiian ja systeemianalyysin laitos Aalto-yliopisto Jodanto Esponenttifuntio e x on eräs täreimmistä matematiiassa ja varsinin sen sovellusissa esiintyvistä
LisätiedotVÄRÄHTELYMEKANIIKKA SESSIO 19: Usean vapausasteen systeemin liikeyhtälöiden johto Newtonin lakia käyttäen
9/ VÄRÄHTELYMEKANIIKKA SESSIO 9: Usean vapausasteen systeemin liieyhtälöiden johto Newtonin laia äyttäen JOHDANTO Usean vapausasteen systeemillä taroitetaan meaanista systeemiä, jona liietilan uvaamiseen
LisätiedotLuku kahden alkuluvun summana
Luu ahden aluluvun summana Juho Salmensuu Lahden Lyseon luio Matematiia 008 Tiivistelmä Tutielmassa tarastellaan ysymystä; uina monella eri tavalla annettu parillinen oonaisluu voidaan esittää ahden aluluvun
LisätiedotMatemaattinen Analyysi
Vaasan yliopisto, evät 05 / ORMS00 Matemaattinen Analyysi 6. harjoitus. Approsimoi toisen asteen polynomilla P(x) = b 0 +b x+b x oheisen tauluon muaisia havaintoja. (Teorian löydät opetusmonisteen sivuilta
LisätiedotTuomo Mäki-Marttunen Stokastiset ja tavalliset differentiaaliyhtälöt inertiapaikannuksessa
TAMPEREEN TEKNILLINEN YLIOPISTO Luonnontieteiden ja ympäristöteniian tiedeunta Tuomo Mäi-Marttunen Stoastiset ja tavalliset differentiaaliyhtälöt inertiapaiannusessa Diplomityö Aihe hyväsytty tiedeuntaneuvostossa
Lisätiedot5. Potenssisarjat 5.1. Määritelmä ja suppeneminen 84. 85. 86. 87. 88. 89.
5. Potenssisarjat 5.1. Määritelmä ja suppeneminen 84. Määritä seuraavien potenssisarjojen suppenemisympyrät: a) ( ) z + 3, b) 2 [ z 2 + ( 1) ], c) a) Koo omplesitaso; b) z =, R = 1; c) z = i, R = 4. 85.
LisätiedotModaalilogiikan harjoitusteht vi Aatu Koskensilta 1 Harjoitusteht v t Teht v 100 a) Osoitamme, ett Th(F 1 F 2 ) Th(F 1 ) [ Th(F 2 ) vastaesim
Modaalilogiian harjoitusteht vi Aatu Kosensilta 1 Harjoitusteht v t 16.4 1.1 Teht v 100 a) Osoitamme, ett Th(F 1 F 2 ) Th(F 1 ) [ Th(F 2 ) vastaesimerin avulla. Otamme ehysisi F 1 = hz? ;?i ja F 1 = hz
LisätiedotTehtävä 11 : 1. Tehtävä 11 : 2
Tehtävä : Käytetää irjaita M luvu ( ) meritsemisee. Satuaisverossa G, p() o yhteesä solmua, jote satuaismuuttuja X mahdollisia arvoja ovat täsmällee jouo0,..., M} aii aliot. Joaie satuaisvero mahdollisista
LisätiedotLuku 11. Jatkuvuus ja kompaktisuus
1 MAT-13440 LAAJA MATEMATIIKKA 4 Taperee teillie yliopisto Risto Silveoie Kevät 2008 Luu 11. Jatuvuus ja opatisuus 11.1 Jatuvat futiot ja uvauset Tässä luvussa tarastellaa yleisiillää vetoriuuttuja vetoriarvoisia
LisätiedotLuku 2. Jatkuvuus ja kompaktisuus
1 MAT-13440 LAAJA MATEMATIIKKA 4 Taperee teillie yliopisto Risto Silveoie Kevät 2010 Luu 2. Jatuvuus ja opatisuus 1. Jatuvat futiot ja uvauset Tässä luvussa tarastellaa yleisiillää vetoriuuttuja vetoriarvoisia
LisätiedotKertausosa. Kertausosa. 4. Sijoitetaan x = 2 ja y = 3 suoran yhtälöön. 1. a) Tosi Piste (2,3) on suoralla. Epätosi Piste (2, 3) ei ole suoralla. 5.
Kertausosa. Sijoitetaan ja y suoran yhtälöön.. a) d, ( ) ( ),0... d, ( 0 ( ) ) ( ) 0,9.... Kodin oordinaatit ovat (-,0;,0). Kodin ja oulun etäisyys d, (,0 0) (,0 0),0,...,0 (m) a) Tosi Piste (,) on suoralla.
Lisätiedot(c) Määrää/Determine välillä/in the interval [1000, 10000] olevien 7. jaollisten kokonaislukujen lukumäärä/ number of integers divisible by 7.
Luuteorian perusteet Exercises/Harjoitusia 2016 1. Show by induction/osoita indutiolla, that/että Osoita, että a n 1 = (a 1)(a n 1 + a n 2 + + a + 1). a n + 1 = (a + 1)(a n 1 a n 2 + a + 1) jos 2 n. (c)
LisätiedotEnnen kuin mennään varsinaisesti tämän harjoituksen asioihin, otetaan aluksi yksi merkintätekninen juttu. Tarkastellaan differenssiyhtälöä
DEE-00 Lineaariset järjestelmät Harjoitus, rataisuehdotuset Ennen uin mennään varsinaisesti tämän harjoitusen asioihin, otetaan alusi ysi merintäteninen juttu Tarastellaan differenssiyhtälöä y y y 0 Vaihtoehtoinen
Lisätiedotz z 0 (m 1)! g(m 1) (z0) k=0 Siksi kun funktioon f(z) sovelletaan Cauchyn integraalilausetta, on voimassa: sin(z 2 dz = (z i) n+1 k=0
TKK, Matematiian laitos v.pfaler/pursiainen Mat-.33 Matematiian perusurssi KP3-i sysy 2007 Lasuharjoitus 4 viio 40 Tehtäväsarja A viittaa aluviion ja L loppuviion tehtäviin. Valmistauu esittämään nämä
Lisätiedotnyky-ymmärryksemme mukaan hajaantuvaan sarjaan luvun 1 2 kun n > N Huom! Määritelmä on aivan sama C:ssä ja R:ssä. (Kuva vain on erilainen.
Sarjaoppia Käsitellään kompleksi- ja reaalisarjat yhdessä. Reaalilukujen ominaisuuksista (kuten järjestys) riippuvat asiat tulevat lisämausteena mukaan. Kirjallisuutta: 1. [KRE] Kreyszig: Advanced Engineering
LisätiedotFUNKTIONAALIANALYYSIN PERUSKURSSI 1. 0. Johdanto
FUNKTIONAALIANALYYSIN PERUSKURSSI 1. Johdanto Funktionaalianalyysissa tutkitaan muun muassa ääretönulotteisten vektoriavaruuksien, ja erityisesti täydellisten normiavaruuksien eli Banach avaruuksien ominaisuuksia.
LisätiedotJ1 (II.6.9) J2 (X.5.5) MATRIISILASKENTA(TFM) MALLIT AV 6
MATRIISILASKENTA(TFM) MALLIT AV 6 J (II.6.9) Päättele, että avaruusvetorit a, b ja c ovat lineaarisesti riippuvat täsmälleen un vetoreiden virittämän suuntaissärmiön tilavuus =. Tuti tällä riteerillä ovato
LisätiedotDiskreetin Matematiikan Paja Ratkaisuja viikolle 5. ( ) Jeremias Berg
Disreeti Matematiia Paja Rataisuja viiolle 5. (28.4-29.4 Jeremias Berg Yleisiä ommeteja: Näissä tehtävissä aia usei rataisua oli ysittäie lasu. Kuitei vastausee olisi hyvä lisätä ommeteja siitä misi jou
LisätiedotTKK, TTY, LTY, OY, ÅA, VY, TY / Insinööriosastot Valintakuulustelujen matematiikan koe 30.5.2006. sarja A
TKK, TTY, LTY, OY, ÅA, VY, TY / Insinööriosastot Valintauulustelujen matematiian oe 30.5.006 sarja A Ohjeita. Sijoita joainen tehtävä omalle sivulleen. Laadi rataisut seleästi v älivaiheineen, tarvittaessa
Lisätiedot3. Täydellisyys ja Banachin avaruus. ominaisuutta sanotaan täydellisyydeksi. Toisena esimerkkinä mainitaan avaruus
FUNKTIONAALIANALYYSIN PERUSKURSSI 25 3. Täydellisyys ja Banachin avaruus Reaaliluujen jouo R (varustettuna normilla x y ) eroaa rataisevasti rationaaliluujen jouosta Q seuraavan ominaisuutensa perusteella:
LisätiedotEulerin φ-funktion ominaisuuksia
TAMPEREEN YLIOPISTO Pro gradu -tutielma Jua Peltola Eulerin φ-funtion ominaisuusia Informaatiotieteiden ysiö Matematiia Marrasuu 2013 Tampereen yliopisto Informaatiotieteiden ysiö PELTOLA, JUKKA: Eulerin
Lisätiedotx k x j < ε Seuraavat kolme lausetta kertovat Cauchy jonojen perusominaisuudet. kaikilla n m ε. x k y + y x j < ε 2 + ε 2 = ε.
28 FUNKTIONAALIANALYYSIN PERUSKURSSI 3. Täydellisyys ja Banachin avaruus Reaaliluujen jouo R (varustettuna normilla x y ) eroaa rataisevasti rationaaliluujen jouosta Q seuraavan ominaisuutensa perusteella:
LisätiedotMatematiikan tukikurssi, kurssikerta 5
Matematiikan tukikurssi, kurssikerta 5 1 Jonoista Matematiikassa jono (x n ) on yksinkertaisesti järjestetty, päättymätön sarja numeroita Esimerkiksi (1,, 3, 4, 5 ) on jono Jonon i:ttä jäsentä merkitään
LisätiedotVALIKOITUJA KOHTIA LUKUTEORIASTA
VALIKOITUJA KOHTIA LUKUTEORIASTA ARI LEHTONEN 1. Laajennettu Euleideen algoritmi 1.1. Jaoyhtälö. Oloot r 0, r 1 Z, r 0 r 1 > 0. Tällöin on olemassa ysiäsitteiset luvut q 1 ja r 2 Z siten, että r 0 = q
LisätiedotMatematiikan ja tilastotieteen laitos Johdatus diskreettiin matematiikkaan (Syksy 2008) 4. harjoitus Ratkaisuja (Jussi Martin)
Matematan ja tlastoteteen latos Johdatus dsreettn matemataan (Sysy 28 4. harjotus Ratasuja (Juss Martn 1. Kertomus Hotell Kosmosesta jatuu: Hotellyhtymän johdolta tul määräys laata luettelo asta mahdollssta
Lisätiedotb 4i j k ovat yhdensuuntaiset.
MAA5. 1 Koe 29.9.2012 Jussi Tyni Valitse 6 tehtävää! Muista tehdä pisteytysruuduo ensimmäisen onseptin yläreunaan! Perustele vastausesi välivaiheilla! 1. Oloon vetorit a 2i 6 j 3 ja b i 4 j 3 a) Määritä
LisätiedotLaskennallisen kombinatoriikan perusongelmia
Laseallise obiatoriia perusogelia Varsi oissa tehtävissä, joissa etsitää tietylaiste järjestelyje, jouoje ts luuääriä, o taustalla joi uutaista peruslasetatavoista tai lasetaogelista Tässä esitelläälyhyesti
LisätiedotOHJ-2300 Johdatus tietojenkäsittelyteoriaan Syksy 2008
OHJ-2300 Johdatus tietojenäsittelyteoriaan Sysy 2008 1 2 Organisaatio & aiataulu Luennot: prof. Tapio Elomaa P1: Ti 14-16 TC 103 ja to 14 16 TC 133 P2: Ti 14-16 TB 219 ja to 12 14 TB 224 26.8. 20.11. Jussi
LisätiedotVÄRÄHTELYMEKANIIKKA SESSIO 21: Usean vapausasteen systeemin liikeyhtälöiden johto Lagrangen
/ ÄRÄHELYMEKANIIKKA SESSIO : Usean vapausasteen systeein liieyhtälöien johto Lagrangen yhtälöillä JOHDANO Kirjoitettaessa liieyhtälöitä suoraan Newtonin laeista äytetään systeeistä irrotettujen osien tai
LisätiedotProjekti 5 Systeemifunktiot ja kaksiportit. Kukin ryhmistä tarkastelee piiriä eri taajuuksilla. Ryhmäni taajuus on
EPOP Kevät 2012 Projeti 5 Systeemifuntiot ja asiportit Tämä projeti tehdään 3 hengen ryhmissä. Ryhmääni uuluvat Kuin ryhmistä tarastelee piiriä eri taajuusilla. Ryhmäni taajuus on Seuraavan projetin aiana
Lisätiedot2.1. Bijektio. Funktion kasvaminen ja väheneminen ********************************************************
.. Funtion asvainen ja väheneinen.. Bijetio. Funtion asvainen ja väheneinen Palautetaan ieleen funtion äsite. ******************************************************** MÄÄRITELMÄ Oloot ja B asi ei-tyhjää
LisätiedotOutoja funktioita. 0 < x x 0 < δ ε f(x) a < ε.
Outoja funktioita Differentiaalilaskentaa harjoitettiin miltei 200 vuotta ennen kuin sen perustana olevat reaaliluvut sekä funktio ja sen raja-arvo määriteltiin täsmällisesti turvautumatta geometriseen
LisätiedotTopologia Syksy 2010 Harjoitus 9
Topologia Syksy 2010 Harjoitus 9 (1) Avaruuden X osajoukko A on G δ -joukko, jos se on numeroituva leikkaus avoimista joukoista ja F σ -joukko, jos se on numeroituva yhdiste suljetuista joukoista. Osoita,
LisätiedotS-114.240 Hahmontunnistus ihmisläheisissä käyttöliittymissä Kasvojen tunnistus ja identiteetin tarkistus: ZN-Face
S-114.240 Hahmontunnistus ihmisläheisissä äyttöliittymissä Kasvojen tunnistus ja identiteetin taristus: ZN-Face Kalle Korhonen sorhon@cc.hut.fi 13.4.2000 Tiivistelmä: Raportissa tutustutaan aupalliseen
LisätiedotVakuutusteknisistä riskeistä johtuvien suureiden laskemista varten käytettävä vakuutuslajiryhmittely.
1144/2011 7 Liite 1 Vauutustenisistä riseistä johtuvien suureiden lasemista varten äytettävä vauutuslajiryhmittely. Vauutuslajiryhmä Vauutusluoat Ensivauutus 1 Laisääteinen tapaturma 1 (laisääteinen) 2
LisätiedotMAB7 Talousmatematiikka. Otavan Opisto / Kati Jordan
3.3 Laiat MAB7 Talousmatematiia Otava Opisto / Kati Jorda Laia ottamie Suuri osa ihmisistä ottaa laiaa jossai elämävaiheessa. Pailaiaa tarvitaa yleesä vauusia ja/tai taausia. Laiatulle pääomalle masetaa
Lisätiedot1 Reaaliset lukujonot
Jonot 10. syyskuuta 2005 sivu 1 / 5 1 Reaaliset lukujonot Reaaliset lukujonot ovat funktioita f : Z + R. Lukujonosta käytetään merkintää (a k ) k=1 tai lyhyemmin vain (a k). missä a k = f(k). Täten lukujonot
LisätiedotK-KS vakuutussumma on kiinteä euromäärä
Kesinäinen Henivauutusyhtiö IIIELLA TEKNIIKALLA LAKUPERUTE H-TUTKINTOA ARTEN HENKIAKUUTU REKURIIIELLA TEKNIIKALLA OIMAAOLO 2 AIKALAKU JA AKUUTUIKÄ Tätä lasuperustetta sovelletaan..25 alaen myönnettäviin
LisätiedotLAPPEENRANNAN TEKNILLINEN YLIOPISTO
LAPPEENRANNAN TEKNILLINEN YLIOPITO TYÖOHJE 2009 Keianteniian osasto Tenillisen eian laboratorio BJ90A0900 Tenillisen eian ja tenillisen polyeerieian laboratoriotyöt Ohje: Irina Turu, Katriina Liiatainen,
LisätiedotTalousmatematiikan verkkokurssi. Koronkorkolaskut
Sivu 1/7 oronorolasuja sovelletaan tapausiin, joissa aia on pidempi uin ysi oonainen orojaso, eli aia, jolle oroanta ilmoittaa oron määrän. orolasu: enintään yhden orojason pituisille oroajoille; oronorolasu:
LisätiedotSovellettu todennäköisyyslaskenta B
Sovellettu todennäköisyyslaskenta B Antti Rasila 21. syyskuuta 2007 Antti Rasila () TodB 21. syyskuuta 2007 1 / 19 1 Satunnaismuuttujien riippumattomuus 2 Jakauman tunnusluvut Odotusarvo Odotusarvon ominaisuuksia
LisätiedotSarja. Lukujonosta (a k ) k N voi muodostaa sen osasummien jonon (s n ): s 1 = a 1, s 2 = a 1 + a 2, s 3 = a 1 + a 2 + a 3,...,
Sarja Lukujonosta (a k ) k N voi muodostaa sen osasummien jonon (s n ): Määritelmä 1 s 1 = a 1, s 2 = a 1 + a 2, s 3 = a 1 + a 2 + a 3,..., n s n = a k. Jos osasummien jonolla (s n ) on raja-arvo s R,
LisätiedotIV. TASAINEN SUPPENEMINEN. f(x) = lim. jokaista ε > 0 ja x A kohti n ε,x N s.e. n n
IV. TASAINEN SUPPENEMINEN IV.. Funktiojonon tasainen suppeneminen Olkoon A R joukko ja f n : A R funktio, n =, 2, 3,..., jolloin jokaisella x A muodostuu lukujono f x, f 2 x,.... Jos tämä jono suppenee
LisätiedotMS-A0402 Diskreetin matematiikan perusteet Yhteenveto, osa I
MS-0402 Disreeti matematiia perusteet Yhteeveto, osa I G. Gripeberg 1 Jouo-oppi ja logiia Idutioperiaate 2 Relaatiot ja futiot Futiot Iso-O alto-yliopisto 12. maalisuuta 2015 3 Kombiatoriia ym. Summa-,
LisätiedotTenttiin valmentavia harjoituksia
Tenttiin valmentavia harjoituksia Alla olevissa harjoituksissa suluissa oleva sivunumero viittaa Juha Partasen kurssimonisteen siihen sivuun, jolta löytyy apua tehtävän ratkaisuun. Funktiot Harjoitus.
LisätiedotDEE Lineaariset järjestelmät Harjoitus 2, ratkaisuehdotukset. Johdanto differenssiyhtälöiden ratkaisemiseen
D-00 Lineaariset järjestelmät Harjoitus, rataisuehdotuset Johdanto differenssiyhtälöiden rataisemiseen Differenssiyhtälöillä uvataan disreettiaiaisten järjestelmien toimintaa. Disreettiaiainen taroittaa
LisätiedotMS-A010{3,4,5} (ELEC*, ENG*) Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Luento 2: Sarjat
MS-A010{3,4,5} (ELEC*, ENG*) Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Luento 2: Sarjat Pekka Alestalo, Jarmo Malinen Aalto-yliopisto, Matematiikan ja systeemianalyysin laitos September 13, 2017 Pekka Alestalo,
LisätiedotMatemaattisen analyysin tukikurssi
Matemaattisen analyysin tukikurssi 5. Kurssikerta Petrus Mikkola 10.10.2016 Tämän kerran asiat Raja-arvo ja toispuolinen raja-arvo Funktion suurin ja pienin arvo Lukujono Lukujonon suppeneminen Kasvava
LisätiedotPositiivitermisten sarjojen suppeneminen
Positiivitermisten sarjojen suppeneminen Jono (b n ) n= on kasvava, jos b n+ b n kaikilla n =, 2,... Lemma Jokainen ylhäältä rajoitettu kasvava jono (b n ) n= raja-arvo on lim n b n = sup n Z+ b n. suppenee
LisätiedotHY, MTO / Matemaattisten tieteiden kandiohjelma Tilastollinen päättely II, kevät 2018 Harjoitus 6A Ratkaisuehdotuksia.
HY, MTO / Matemaattiste tieteide adiohjelma Tilastollie päättely II, evät 2018 Harjoitus 6A Rataisuehdotusia Tehtäväsarja I 1. (Moistee tehtävä 5.4) Kauppias myy mäysiemeiä, joide itävyyde väitetää oleva
LisätiedotMS-A010{3,4} (ELEC*) Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Luento 2: Sarjat
MS-A010{3,4} (ELEC*) Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Luento 2: Sarjat Pekka Alestalo, Jarmo Malinen Aalto-yliopisto, Matematiikan ja systeemianalyysin laitos 14.9.2016 Pekka Alestalo, Jarmo Malinen
Lisätiedot802328A LUKUTEORIAN PERUSTEET OSA II BASICS OF NUMBER THEORY PART II. Tapani Matala-aho MATEMATIIKKA/LUTK/OULUN YLIOPISTO
802328A LUKUTEORIAN PERUSTEET OSA II BASICS OF NUMBER THEORY PART II Tapani Matala-aho MATEMATIIKKA/LUTK/OULUN YLIOPISTO SYKSY 2016 Sisältö 1 KERTOMAT, BINOMIKERTOIMET 2 1.0.1 Kertoma/Factorial......................
Lisätiedot[ ] [ 2 [ ] [ ] ( ) [ ] Tehtävä 1. ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2( ) = 1. E v k 1( ) R E[ v k v k ] E e k e k e k e k. e k e k e k e k.
ehtävä. x( + ) x( y x( + e ( y x( + e ( E v E e ( ) e ( R E[ v v ] E e e e e e e e e 6 estimointivirhe: ~ x( x( x$( x( - b y ( - b y ( estimointivirheen odotusarvo: x( - b x( - b e ( - b x( - b e ( ( -
LisätiedotLuento Otosavaruus, tapahtuma. Otosavaruus (sample space) on kaikkien mahdollisten alkeistapahtumien (sample) ω joukko.
Luento odennäöisyyslasentaa Otosavaruus, tapahtuma ja todennäöisyys Ehdollinen todennäöisyys, tilastollinen riippumattomuus, Bayesin teoreema, oonaistodennäöisyys Odotusarvo, varianssi, momentti Stoastiset
LisätiedotKuinka määritellään 2 3?
Kuinka määritellään 2 3? y Nyt 3 = 1,7320508.... Luvut 3 2 x x 3 2 x 2 1 = 2, 2 1,7 3,2490, 2 1,73 3,3173, 2 1,732 3,3219,... ovat hyvin määriteltyjä koska näihin tarvitaan vain rationaalilukupotenssin
LisätiedotMS-A0401 Diskreetin matematiikan perusteet Yhteenveto, osa I
MS-0401 Disreeti matematiia perusteet Yhteeveto, osa I G. Gripeberg alto-yliopisto 30. syysuuta 2015 1 Jouo-oppi ja logiia Prediaattilogiia Idutioperiaate 2 Relaatiot ja futiot Futiot Iso-O 3 Kombiatoriia
LisätiedotDISKREETIN MATEMATIIKAN SOVELLUKSIA: KANAVA-EKVALISOINTI TIEDONSIIRROSSA. Taustaa
Disreetin matematiian excursio: anava-evalisointi tiedonsiirrossa / DISKREETIN MATEMATIIKAN SOVELLUKSIA: KANAVA-EKVALISOINTI TIEDONSIIRROSSA Taustaa Disreetin matematiian excursio: anava-evalisointi tiedonsiirrossa
LisätiedotReaalianalyyttistä lukuteoriaa
Reaalianalyyttistä luuteoriaa Henri Ylinen Matematiian ro grau Jyväsylän ylioisto Matematiian ja tilastotieteen laitos Sysy 6 Tiivistelmä: Henri Ylinen, Reaalianalyyttistä luuteoriaa matematiian ro grau
Lisätiedot4.1. Olkoon X mielivaltainen positiivinen satunnaismuuttuja, jonka odotusarvo on
Mat-2.090 Sovellettu todennäköisyyslasku A / Ratkaisut Aiheet: Avainsanat: Otanta Poisson- Jakaumien tunnusluvut Diskreetit jakaumat Binomijakauma, Diskreetti tasainen jakauma, Geometrinen jakauma, Hypergeometrinen
LisätiedotTyöntekijän eläkelain (TyEL) mukaisen eläkevakuutuksen erityisperusteet
Työnteijän eläelain (TyEL) muaisen eläeauutusen erityisperusteet 202 2 TYÖNTEKIJÄN ELÄKELAIN (TYEL) MUKAISEN ELÄKEVAKUUTUKSEN ERITYISPERUSTEET Voimaantulosäännöset Perusteen 20.2.2006 oimaantulosäännös
LisätiedotMAATALOUSYRITTÄJÄN ELÄKELAIN MUKAISEN VAKUUTUKSEN PERUSTEET
5 TLOUYRTTÄJÄN ELÄKELN UKEN VKUUTUKEN PERUTEET PERUTEDEN OVELTNEN Näitä perusteita soelletaan..009 lähtien maatalousrittäjän eläelain 80/006 YEL muaisiin auutusiin. VKUUTUKU Vauutusmasu uodelta on maatalousrittäjän
Lisätiedot1. (Jatkoa Harjoitus 5A tehtävään 4). Monisteen esimerkin mukaan momenttimenetelmän. n ne(y i Y (n) ) = 2E(Y 1 Y (n) ).
HY, MTO / Matemaattiste tieteide adiohjelma Tilastollie päättely II, evät 019 Harjoitus 5B Rataisuehdotusia Tehtäväsarja I 1. (Jatoa Harjoitus 5A tehtävää 4). Moistee esimeri 3.3.3. muaa momettimeetelmä
LisätiedotProjekti 5 Systeemifunktiot ja kaksiportit. Kukin ryhmistä tarkastelee piiriä eri taajuuksilla. Ryhmäni taajuus on
EPOP Kevät 2012 Projeti 5 Systeemifuntiot ja asiportit Tämä projeti tehdään 3 hengen ryhmissä. yhmääni uuluvat Kuin ryhmistä tarastelee piiriä eri taajuusilla. yhmäni taajuus on Seuraavan projetin aiana
LisätiedotLuku 1: Järjestelmien lineaarisuus, differenssiyhtälöt, differentiaaliyhtälöt
SMG-00 Piirianalyysi II Luentomonisteen harjoitustehtävien vastauset Luu : Järjestelmien lineaarisuus, differenssiyhtälöt, differentiaaliyhtälöt. Järjestelmien lineaarisuus: Järjestelmä on lineaarinen,
Lisätiedot