MS-A0402 Diskreetin matematiikan perusteet

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Koko: px
Aloita esitys sivulta:

Download "MS-A0402 Diskreetin matematiikan perusteet"

Transkriptio

1 MS-A0402 Disreetin matematiian perusteet Osa 3: Kombinatoriia Riia Kangaslampi 2017 Matematiian ja systeemianalyysin laitos Aalto-yliopisto

2 Kombinatoriia

3 Summaperiaate Esimeri 1 Opetusohjelmaomiteaan valitaan matematiian edustaja joo professorien, lehtorien tai matematiian pääaineopiselijoiden jouosta. Jos professoreita on 12, lehtoreita 8 ja pääaineopiselijoita 83 (ja uaan ei uulu ahteen ryhmään), niin uina monella tavalla valinta voidaan tehdä? =103 tavalla 1 / 35 R. Kangaslampi MS-A0402

4 Summaperiaate Lause 2 (Summaperiaate) Oloot A 1,..., A n erillisiä äärellisiä jouoja: i {1,..., n}: A i <, i, j {1,..., n}: i j A i A j =. Tällöin A 1... A n = A A n. Todistus. Taululla (indutio). Muistetaan viime viiolta: A = m taroittaa, että on olemassa bijetio A {1,..., m}. 2 / 35 R. Kangaslampi MS-A0402

5 Kyyhyslaaperiaate Esimeri 3 Montao opiselijaa on urssilla oltava, jotta vähintään seitsemän heistä saisi saman arvosanan (0-5)? 37 opiselijaa. Idea: Jos n palloa asetetaan :hon laatioon, niin ainain yhteen laatioon tulee vähintään n palloa. Tässä esiintyi attofuntio: x = min {m Z : m x} 3 / 35 R. Kangaslampi MS-A0402

6 Kyyhyslaaperiaate Lause 4 (Kyyhyslaaperiaate) Oloot A ja B äärellisiä jouoja. Jos f : A B on miä tahansa funtio ja jos A > B, niin f ei voi olla injetio. (Yleisemmin: jos n N: A > n B, niin b B : f 1 ({b}) n + 1.) Todistus. Todistus taululla: vastaoletus ja summaperiaate. Vaia lause on ilmeinen, se esiintyy päättelyissä yllättävän usein; s. Boo of Proof -irjan luu / 35 R. Kangaslampi MS-A0402

7 Kyyhyslaaperiaate Esimeri 5 Oloon m N ja oloon S m aiien oreintaan m-pituisten bittijonojen jouo. Määritellään paausmenetelmä jouossa S m funtiona S m S m 1. Paausmenetelmä on häviötön, jos funtio on injetio. Kyyhyslaaperiaatteen nojalla ei ole olemassa yleistä häviötöntä paausmenetelmää, osa selvästi S m > S m 1 aiilla m. (Erioistapausissa on olemassa häviöttömiä paausmenetelmiä, jota äyttävät hyväseen tunnettuja tiedostoraenteita.) 5 / 35 R. Kangaslampi MS-A0402

8 Tuloperiaate Esimeri 6 Kirjahyllyssä on viisi fysiian irjaa, seitsemän tietoteniian irjaa ja ymmenen matematiian irjaa. Monellao eri tavalla hyllystä voidaan valita asi eri alan irjaa? 155 tavalla. Otetaan vastausen perusteluun työalusi tuloperiaate: 6 / 35 R. Kangaslampi MS-A0402

9 Tuloperiaate Lause 7 (Tuloperiaate) Oloot A 1,..., A n äärellisiä jouoja. Tällöin A 1... A n = A 1... A n. Jouon A 1... A n := {(a 1,..., a n ): a i A i aiilla i} alioita sanotaan järjestetyisi listoisi (tai äärellisisi jonoisi). 7 / 35 R. Kangaslampi MS-A0402

10 Tuloperiaate Nyt saadaan esimerin ysymyseen vastaus perusteltua näppärästi: Rataisu Oloot F, T ja M fysiian, tietoteniian ja matematiian irjojen jouot. Tällöin sallitut valinnat ovat jouon (F T ) (F M) (T M) aliot. Summaperiaatteen nojalla valintoja on F T + F M + T M appaletta, joten tuloperiaatteen nojalla irjat voidaan valita eri tavalla. F T + F M + T M = = / 35 R. Kangaslampi MS-A0402

11 Tuloperiaate Tuloperiaatteen todistus. Tapaus n = 1 selvä. Tehdään tapaus n = 2; yleinen tapaus samoin indutiolla. Oloon A = ja B = m; meritään A = {a 1,..., a } ja B = {b 1,..., b m }. Tällöin A B = i=1 j=1 m {(a i, b j )}, missä jouot {(a i, b j )} ovat erillisiä, joten summaperiaatteen nojalla A B = m {(a i, b j )} = i=1 j=1 m 1 = m = A B. i=1 j=1 9 / 35 R. Kangaslampi MS-A0402

12 Tuloperiaate Huomio Edellä esiintyi uusi merintä; yleisesti määritellään (X = perusjouo) n A := { x X : x A jollein {1,..., n} } =1 ja n A := { x X : x A aiille {1,..., n} }. =1 Nämä ovat yhdisteen ja leiausen yleistyset useammalle uin ahdelle jouolle. (Vastaava merintä äärettömälle yhdisteelle ja leiauselle toi nähtiin jo äärettömän jouoperheen yhteydessä.) 10 / 35 R. Kangaslampi MS-A0402

13 Tuloperiaate Esimeri 8 Todistetaan, että äärellisen jouon A osajouojen luumäärä on P(A) = 2 A : Oloon A = n; meritään A = {a 1,..., a n }. Määritellään {0, 1} n := {0, 1} {0, 1} (n-pituiset bittijonot) ja funtio f : P(A) {0, 1} n asettamalla f (B) = (i 1,..., i n ), missä { 1, jos aj B, i j = 0, muulloin. Tällöin f on bijetio, joten jouon mahtavuuden määritelmän ja tuloperiaatteen nojalla P(A) = {0, 1} n = 2 n = 2 A. Aiheesta taremmin / eri tavalla: Boo of Proof, luu / 35 R. Kangaslampi MS-A0402

14 Kertoma Määritelmä 9 Luvun n N ertoma (eng. factorial) n! määritellään reursiivisesti: 0! = 1 ja! = ( 1)! aiilla 1. Tällöin indutiolla saadaan tuttu aava n! = (n 1) n. 12 / 35 R. Kangaslampi MS-A0402

15 Kertoma Esimeri 10 Kuina monta nollaa on luvun 10! lopussa? Entä luvun 100! lopussa? Luvun 10! = }{{} }{{} 10 ysi nolla toinen nolla lopussa on asi nollaa. Ysi tulee teijästä 10 ja toinen ertomalla teijä 5 millä tahansa parillisella luvulla. Jäljelle jääviä luuja ertomalla nollia ei synny lisää. Luvun 100! lopussa on 24 nollaa (luvun 5 moniertoja on tulonteijöiden jouossa 20, niistä 4 myös luvun 25 moniertoja). 13 / 35 R. Kangaslampi MS-A0402

16 Kertoma Esimeri 11 Jos n:stä meristä muodostetaan :n pituisia merijonoja ilman samojen merien toistoa, niin mahdollisia tapoja on n (n 1)... (n ( 1) ) = n (n 1)... (n + 1). Kun lavennetaan luvulla (n )! = 1... (n ), saadaan n! järjestettyjen merijonojen (ilman toistoa) luumääräsi (n )!. 14 / 35 R. Kangaslampi MS-A0402

17 Osajouojen luumäärä Jos A on äärellinen jouo ja A, niin -alioista A:n osajouoa utsutaan josus -ombinaatiosi jouossa A. Termi viittaa siihen, että uin -alioinen osajouo saadaan valitsemalla aliota jouosta A ilman, että järjestysellä on meritystä. Lause 12 Jos A = n ja {0,..., n}, niin -alioisia A:n osajouoja A on ( ) n! n!(n )! =: appaletta. 15 / 35 R. Kangaslampi MS-A0402

18 Osajouojen luumäärä Todistus. Aiemmasta tiedämme, että erilaisia :n alion järjestettyjä listoja n! (ilman toistoa) on appaletta. Toisaalta aliota (n )! voidaan järjestää! tavalla, joten osajouojen (järjestämättömiä n! listoja ilman toistoa) luumäärä saadaan jaamalla luu (n )! luvulla!. 16 / 35 R. Kangaslampi MS-A0402

19 Binomierroin Termiä ( n ), missä n, N ja 0 n, utsutaan binomiertoimesi. Se voidaan määritellä joo aavalla (uten edellisessä alvossa) tai osajouojen luumääränä. Pätee ( ( n 0) = n ( n) = 1 ja n ) ( 1 = n n 1) = n. Tapana on määritellä myös ( n ) = 0, un n + 1. Esimeri 13 Kuina monella tavalla voidaan muodostaa 75 henilön jouosta 9 hengen omitea ja sille 4 hengen hallitus? ( 75 )( 9 ) ( 9 4 = 75 )( 75 4 ) = tavalla 17 / 35 R. Kangaslampi MS-A0402

20 Binomierroin Lause 14 (Pascalin aava) ( ) ( ) n n 1 = 1 ( n 1 + ). Todistus. Oloon A = n ja a A. Jaetaan -alioiset A:n osajouot ahteen luoaan sen muaan, uuluuo alio a jouoon vai ei. Osajouoja, joihin alio a uuluu, on ( n 1 1) appaletta ja osajouoja, joihin alio a ei uulu, on ( ) n 1 appaletta. 18 / 35 R. Kangaslampi MS-A0402

21 Binomierroin Esimeri 15 Äseisen tulosen ( ) n = ( ) n ( ) n 1 eli ( ) ( ) n + 1 n = + 1 ( ) n avulla saadaan raennettua Pascalin olmio, un lisäsi muistetaan ( n ) ( 0 = n ) n = 1 aiille n. (Taululla.) 19 / 35 R. Kangaslampi MS-A0402

22 Binomiaava Lause 16 Kaiilla n N ja aiilla x, y R pätee (x + y) n = n =0 ( ) n x y n. Todistus 1 (ombinatorinen) Kun (x + y) errotaan itsellään n ertaa ja tulo lasetaan aui, saadaan summa jossa esiintyy termejä x y n ullein = 0, 1,..., n. Kuina monta ertaa termi x y n esiintyy, un on iinnitetty? 20 / 35 R. Kangaslampi MS-A0402

23 Binomiaava Todistus 1 (jatuu) Termi x y n saadaan, un tulon (x + y)(x + y)... (x + y) (termejä n pl) auilasussa valitaan täsmälleen ertaa x eli täsmälleen n ertaa y. Tämä voidaan tehdä ( ) ( n = n ) n tavalla. Todistus 2 (indutio) Kun n = 1, aava saa muodon x + y = x + y. Oletetaan, että väite pätee jollein n. Tällöin (x + y) n+1 = (x + y)(x + y) n 21 / 35 R. Kangaslampi MS-A0402

24 Binomiaava Todistus (jatuu) (ind.) = (x + y) = x =0 n =0 ( ) n x y n n ( ) n x y n + y =0 n ( ) n x y n =0 n ( ) n n ( ) n = x +1 y n + x y n +1 =0 =0 ( n 1 ( ) ( n n ( ) n = x n+1 + )x +1 y n + y n+1 + )x y n +1 =1 22 / 35 R. Kangaslampi MS-A0402

25 Binomiaava Todistus (jatuu) n 1 ( ) n n = x n+1 + x +1 y n + =0 =1 n ( ) n = x n+1 + x y n ( 1) + 1 =1 n (( ) n = x n =1 (Pascal) n ( n + 1 = x n+1 + =1 ( ) n x y n +1 + y n+1 n =1 ( ) n x y n +1 + y n+1 ( )) n x y n ( 1) + y n+1 ) x y n ( 1) + y n+1 23 / 35 R. Kangaslampi MS-A0402

26 Binomiaava Todistus (jatuu) n+1 ( ) n + 1 = x y (n+1). =0 Esimeri 17 Todistetaan ahdella tavalla, että n ( n =0 ) = 2 n. Tapa 1. 2 n = (1 + 1) n = n =0 ( n ) 1 1 n = n =0 ( n ). 24 / 35 R. Kangaslampi MS-A0402

27 Binomiaava Tapa 2. Jouossa, jossa on n aliota, on yhteensä 2 n osajouoa. Näistä -alioisia on ( n ) appaletta. Esimeri 18 Misi 4 n = n Misi ( ) ( n = n n 1 Vastaus: =0 3( n 1)? )? Kuten tapa 1 yllä; 4 = Valitaan n:n ihmisen jouosta :n henilön omitea ja sille puheenjohtaja. Yhtälön vasemmalla puolella valitaan ensin omitea ja sitten puheenjohtaja, oiealla puolella valitaan ensin puheenjohtaja ja sitten loput omiteasta. 25 / 35 R. Kangaslampi MS-A0402

28 Multinomiertoimet Esimeri 19 Eräs henilö aioo valita 100 päivää vuonna 2017, joina hän juosee 10 ilometrin lenin, 200 päivää, joina hän juosee 5 ilometrin lenin, ja 65, joina hän ei harrasta liiuntaa. Monellao tavalla hän voi tehdä nämä valinnat? Jos ensin valitaan 365 päivän jouosta 100 päivää, jolloin hän juosee 10 ilometrin lenin, niin vaihtoehtoja on ( ). Jos jäljellä olevista = 265 päivistä valitaan 200 päivää, jolloin hän juosee 5 ilometrin lenin, niin vaihtoehtoja on ( ). Kaiien vaihtoehtojen luumääräsi tuloperiaatteen nojalla tulee ( ) ( ) / 35 R. Kangaslampi MS-A0402

29 Multinomiertoimet Huomataan, että ( ) ( ) = = = 365! 100! ( )! 265! 200! ( )! 365! 265! 100! 265! 200! 65! 365! 100! 200! 65!. Vaiuttaa järevältä, osa toisaalta yse onin siitä, uina monella tavalla 365 päivän jouo voidaan jaaa olmeen pistevieraaseen osajouoon, joissa on 100, 200 ja 65 aliota. Tämän innoittamana määritellään multinomierroin: 27 / 35 R. Kangaslampi MS-A0402

30 Multinomiertoimet Määritelmä 20 (Multinomierroin) ( ) n = n 1, n 2,..., n m n! n 1! n 2!... n m!, un n = n 1+n n m. ( ) n Meritys: on vaihtoehtojen luumäärä un n 1, n 2,..., n m jouo A jaetaan osajouoisi A j, j = 1,..., m siten, että m j=1 A j = A, A i A j = un i j, ja A j = n j. Esimeri 21 Äseisen esimerin vastaus siis toisin irjoitettuna on ( ) ! := 100, 200, ! 200! 65!. 28 / 35 R. Kangaslampi MS-A0402

31 Seulayhtälö Kahdelle jouolle: A B = A + B A B. Esimeri 22 Montao 8:n pituista bittijonoa joo alaa yösellä tai päättyy ahteen nollaan? Vastaus: = = 160. Kolmelle jouolle: A 1 A 2 A 3 = A 1 + A 2 + A 3 A 1 A 2 A 1 A 3 A 2 A 3 + A 1 A 2 A / 35 R. Kangaslampi MS-A0402

32 Seulayhtälö Esimeri 23 (Erastotheneen seula) Määritetään uina moni luvuista 1,..., 100 on jaollinen olmella, seitsemällä tai yhdellätoista. Meritään jolloin A 3 = { n {1,..., 100}: n on jaollinen olmella }, A 7 = { n {1,..., 100}: n on jaollinen seitsemällä }, A 11 = { n {1,..., 100}: n on jaollinen yhdellätoista }, A 3 = 33, A 7 = 14, A 11 = 9, A 3 A 7 = 4, A 3 A 11 = 3, A 7 A 11 = 1, A 3 A 7 A 11 = / 35 R. Kangaslampi MS-A0402

33 Seulayhtälö Siten seulayhtälön nojalla A 3 A 7 A 11 = A 3 + A 7 + A 11 A 3 A 7 A 3 A 11 A 7 A 11 + A 3 A 7 A 11 = = 47 luua luvuista 1,..., 100 on jaollisia olmella, seitsemällä tai yhdellätoista. 31 / 35 R. Kangaslampi MS-A0402

34 Seulayhtälö Kun olmen jouon tapausessa meritään S 1 = A 1 + A 2 + A 3, S 2 = A 1 A 2 + A 1 A 3 + A 2 A 3 ja S 3 = A 1 A 2 A 3, niin yhtälö saa muodon A 1 A 2 A 3 = 3 ( 1) 1 S. =1 32 / 35 R. Kangaslampi MS-A0402

35 Seulayhtälö Lause 24 (Seulayhtälö) Jos A 1,..., A n ovat äärellisiä jouoja, niin missä A 1... A n = S = B n ( 1) 1 S, (1) =1 i B A i ja summaus yllä tapahtuu yli aiien jouon {1,..., n} osajouojen B, joille B =. 33 / 35 R. Kangaslampi MS-A0402

36 Seulayhtälö Todistus. Joainen x A 1... A n tulee lasetusi täsmälleen erran yhtälön (1) vasemmalla puolella. Todistetaan, että näin tapahtuu myös yhtälön (1) oiealla puolella. Oloon siis x A 1... A n. Meritään symbolilla m sitä, moneeno aluperäisistä jouoista aliomme x uuluu: m := { {1,..., n}: x A }. Jos i {1,..., m}, niin x uuluu ( ) m i :een i:n jouon leiauseen, ja jos i {m + 1,..., n}, niin x ei uulu yhteenään i:n jouon leiauseen. 34 / 35 R. Kangaslampi MS-A0402

37 Seulayhtälö Todistus (jatuu) Siten x tulee lasetusi yhtälön (1) oiealla puolella m ( ) m ( 1) i 1 = 1 i i=1 ertaa, sillä m i=0 ( 1)i 1( ) m i = (1 1) m = 0. (Huomio. Seulayhtälö on summaperiaatteen yleistys.) 35 / 35 R. Kangaslampi MS-A0402

MS-A0402 Diskreetin matematiikan perusteet Esimerkkejä ym., osa I

MS-A0402 Diskreetin matematiikan perusteet Esimerkkejä ym., osa I MS-A00 Disreetin matematiian perusteet Esimerejä ym., osa I G. Gripenberg Jouo-oppi ja logiia Todistuset logiiassa Indutioperiaate Relaatiot ja funtiot Funtiot Aalto-yliopisto. maalisuuta 0 Kombinatoriia

Lisätiedot

9 Lukumäärien laskemisesta

9 Lukumäärien laskemisesta 9 Luumäärie lasemisesta 9 Biomiertoimet ja osajouoje luumäärä Määritelmä 9 Oletetaa, että, N Biomierroi ilmaisee, uia mota -alioista osajouoa o sellaisella jouolla, jossa o aliota Meritä luetaa yli Lasimesta

Lisätiedot

TAMPEREEN YLIOPISTO Pro gradu -tutkielma. Hannu Pajula. Stirlingin luvuista

TAMPEREEN YLIOPISTO Pro gradu -tutkielma. Hannu Pajula. Stirlingin luvuista TAMPEREEN YLIOPISTO Pro gradu -tutielma Hannu Pajula Stirlingin luvuista Informaatiotieteiden ysiö Matematiia Maalisuu 2014 Tampereen yliopisto Informaatiotieteiden ysiö PAJULA, HANNU: Stirlingin luvuista

Lisätiedot

Hanoin tornit. Merkitään a n :llä pienintä tarvittavaa määrää siirtoja n:lle kiekolle. Tietysti a 1 = 1. Helposti nähdään myös, että a 2 = 3:

Hanoin tornit. Merkitään a n :llä pienintä tarvittavaa määrää siirtoja n:lle kiekolle. Tietysti a 1 = 1. Helposti nähdään myös, että a 2 = 3: Hanoin tornit Oloot n ieoa asetettu olmeen tanoon uvan osoittamalla tavalla (uvassa n = 7). Siirtämällä yhtä ieoa errallaan, ieot on asetettava toiseen tanoon samaan järjestyseen. Isompaa ieoa ei missään

Lisätiedot

JOHDATUS LUKUTEORIAAN (syksy 2017) HARJOITUS 1, MALLIRATKAISUT

JOHDATUS LUKUTEORIAAN (syksy 2017) HARJOITUS 1, MALLIRATKAISUT JOHDATUS LUKUTEORIAAN (sysy 2017) HARJOITUS 1, MALLIRATKAISUT Tehtävä 1. (i) Etsi luvun 111312 aii teijät. (ii) Oloot a ja b positiivisia oonaisluuja joilla a b ja b a. Osoita, että silloin a = b. Rataisu

Lisätiedot

Matematiikan tukikurssi

Matematiikan tukikurssi Matematiian tuiurssi Kurssierta 5 Sarjojen suppeneminen Kiinnostusen ohteena on edelleen sarja a n = a + a 2 + a 3 + a 4 + n= Tämä summa on mahdollisesti äärellisenä olemassa, jolloin sanotaan että sarja

Lisätiedot

Tehtävä 3. Määrää seuraavien jonojen raja-arvot 1.

Tehtävä 3. Määrää seuraavien jonojen raja-arvot 1. Jonotehtävät, 0/9/005, sivu / 5 Perustehtävät Tehtävä. Muotoile matemaattiset vastineet seuraavien väitteiden negaatioille (ts. vastaohdat).. Jono (a n ) suppenee ohti luua a.. Jono (a n ) on asvava. 3.

Lisätiedot

Tehtävä 2 Todista luennoilla annettu kaava: jos lukujen n ja m alkulukuesitykset. ja m = k=1

Tehtävä 2 Todista luennoilla annettu kaava: jos lukujen n ja m alkulukuesitykset. ja m = k=1 Luuteoria Harjoitus 1 evät 2011 Alesis Kosi 1 Tehtävä 1 Näytä: jos a ja b ovat positiivisia oonaisluuja joille (a, b) = 1 ja a c, seä lisäsi b c, niin silloin ab c. Vastaus Kosa a c, niin jaollisuuden

Lisätiedot

Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Ratkaisut 1. viikolle /

Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Ratkaisut 1. viikolle / MS-A8 Differentiaali- ja integraalilasenta, V/27 Differentiaali- ja integraalilasenta Rataisut. viiolle /. 3.4. Luujonot Tehtävä : Mitä ovat luujonon viisi ensimmäistä termiä, un luujono on a) (a n ) n=,

Lisätiedot

Joulukuun vaativammat valmennustehtävät ratkaisut

Joulukuun vaativammat valmennustehtävät ratkaisut Jouluuun vaativammat valmennustehtävät rataisut. Tapa. Pätee z = x + y, joten z = (x + y = x + y, josta sieventämällä seuraa xy 4x 4y + 4 = 0. Siispä (x (y =. Tästä yhtälöstä saadaan suoraan x =, y = 4

Lisätiedot

Luku kahden alkuluvun summana

Luku kahden alkuluvun summana Luu ahden aluluvun summana Juho Salmensuu Lahden Lyseon luio Matematiia 008 Tiivistelmä Tutielmassa tarastellaan ysymystä; uina monella eri tavalla annettu parillinen oonaisluu voidaan esittää ahden aluluvun

Lisätiedot

C (4) 1 x + C (4) 2 x 2 + C (4)

C (4) 1 x + C (4) 2 x 2 + C (4) http://matematiialehtisolmu.fi/ Kombiaatio-oppia Kuia mota erilaista lottoriviä ja poeriättä o olemassa? Lotossa arvotaa 7 palloa 39 pallo jouosta. Poeriäsi o viide orti osajouo 52 orttia äsittävästä paasta.

Lisätiedot

STOKASTISET DIFFERENTIAALIYHTÄLÖT 7

STOKASTISET DIFFERENTIAALIYHTÄLÖT 7 STOKASTISET DIFFERENTIAALIYHTÄLÖT 7 1. Todennäöisyyslasennasta ja merinnöistä Palautamme seuraavassa lyhyesti mieleen todennäöisyyslasennan äsitteitä ja esittelemme myös muutamia urssilla äytettäviä merintätapoja.

Lisätiedot

OHJ-2300 Johdatus tietojenkäsittelyteoriaan Syksy 2008

OHJ-2300 Johdatus tietojenkäsittelyteoriaan Syksy 2008 OHJ-2300 Johdatus tietojenäsittelyteoriaan Sysy 2008 1 2 Organisaatio & aiataulu Luennot: prof. Tapio Elomaa P1: Ti 14-16 TC 103 ja to 14 16 TC 133 P2: Ti 14-16 TB 219 ja to 12 14 TB 224 26.8. 20.11. Jussi

Lisätiedot

4.3 Erillisten joukkojen yhdisteet

4.3 Erillisten joukkojen yhdisteet 4.3 Erillisten jouojen yhdisteet Ongelmana on pitää yllä ooelmaa S 1,..., S perusjouon X osajouoja, jota voivat muuttua ajan myötä. Rajoitusena on, että miään alio x ei saa uulua useampaan uin yhteen jouoon.

Lisätiedot

Sattuman matematiikkaa III

Sattuman matematiikkaa III Sattuman matematiiaa III Kolmogorovin asioomat ja frevenssitulinta Tommi Sottinen Tutija Matematiian ja tilastotieteen laitos, Helsingin yliopisto Laboratoire de Probabilités et Modèles Aléatoires, Université

Lisätiedot

2 Taylor-polynomit ja -sarjat

2 Taylor-polynomit ja -sarjat 2 Taylor-polynomit ja -sarjat 2. Taylor-polynomi Taylor-polynomi P n (x; x 0 ) funtion paras n-asteinen polynomiapprosimaatio (derivoinnin annalta) pisteen x 0 lähellä. Maclaurin-polynomi: tapaus x 0 0.

Lisätiedot

2.8 Mallintaminen ensimmäisen asteen polynomifunktion avulla

2.8 Mallintaminen ensimmäisen asteen polynomifunktion avulla MAB Matemaattisia malleja I.8. Mallintaminen ensimmäisen asteen.8 Mallintaminen ensimmäisen asteen polynomifuntion avulla Tutustutaan mallintamiseen esimerien autta. Esimeri.8. Määritä suoran yhtälö, un

Lisätiedot

Johdatus lukuteoriaan Harjoitus 1 syksy 2008 Eemeli Blåsten. Ratkaisuehdotelma

Johdatus lukuteoriaan Harjoitus 1 syksy 2008 Eemeli Blåsten. Ratkaisuehdotelma Johdatus luuteoriaan Harjoitus 1 ss 008 Eemeli Blåsten Rataisuehdotelma Tehtävä 1 Oloot a ja b positiivisia oonaisluuja. Osoita, että on olemassa siäsitteinen luu h ('luujen a ja b pienin hteinen jaettava',

Lisätiedot

MS-A0402 Diskreetin matematiikan perusteet Yhteenveto, osa I

MS-A0402 Diskreetin matematiikan perusteet Yhteenveto, osa I MS-0402 Disreeti matematiia perusteet Yhteeveto, osa I G. Gripeberg 1 Jouo-oppi ja logiia Idutioperiaate 2 Relaatiot ja futiot Futiot Iso-O alto-yliopisto 12. maalisuuta 2015 3 Kombiatoriia ym. Summa-,

Lisätiedot

MS-A0401 Diskreetin matematiikan perusteet Yhteenveto, osa I

MS-A0401 Diskreetin matematiikan perusteet Yhteenveto, osa I MS-0401 Disreeti matematiia perusteet Yhteeveto, osa I G. Gripeberg alto-yliopisto 30. syysuuta 2015 1 Jouo-oppi ja logiia Prediaattilogiia Idutioperiaate 2 Relaatiot ja futiot Futiot Iso-O 3 Kombiatoriia

Lisätiedot

Perustehtäviä. Sarjateorian tehtävät 10. syyskuuta 2005 sivu 1 / 24

Perustehtäviä. Sarjateorian tehtävät 10. syyskuuta 2005 sivu 1 / 24 Sarjateorian tehtävät 0. syysuuta 2005 sivu / 24 Perustehtäviä. Muunna sarja telesooppimuotoon ja osoita, että se suppenee. Lase myös sarjan summa. ( + ) = 2 + 6 + 2 +... 2. Osoita suoraan määritelmään

Lisätiedot

III. SARJATEORIAN ALKEITA. III.1. Sarjan suppeneminen. x k = x 1 + x 2 + x ,

III. SARJATEORIAN ALKEITA. III.1. Sarjan suppeneminen. x k = x 1 + x 2 + x , III. SARJATEORIAN ALKEITA Sarja on formaali summa III.. Sarjan suppeneminen = x + x 2 + x 3 +..., missä R aiilla N (merintä ei välttämättä taroita mitään reaaliluua). Luvut x, x 2,... ovat sarjan yhteenlasettavat

Lisätiedot

Diskreetin Matematiikan Paja Ratkaisuja viikolle 5. ( ) Jeremias Berg

Diskreetin Matematiikan Paja Ratkaisuja viikolle 5. ( ) Jeremias Berg Disreeti Matematiia Paja Rataisuja viiolle 5. (28.4-29.4 Jeremias Berg Yleisiä ommeteja: Näissä tehtävissä aia usei rataisua oli ysittäie lasu. Kuitei vastausee olisi hyvä lisätä ommeteja siitä misi jou

Lisätiedot

MS-A0401 Diskreetin matematiikan perusteet Yhteenveto ja esimerkkejä ym., osa I

MS-A0401 Diskreetin matematiikan perusteet Yhteenveto ja esimerkkejä ym., osa I MS-A040 Disreeti matematiia perusteet Yhteeveto ja esimerejä ym., osa I G. Gripeberg Aalto-yliopisto 0. syysuuta 05 Jouo-oppi ja logiia Todistuset logiiassa Prediaattilogiia Idutioperiaate Relaatiot ja

Lisätiedot

Eksponentti- ja logaritmiyhtälö

Eksponentti- ja logaritmiyhtälö Esponentti- ja logaritmiyhtälö Esponenttifuntio Oloon a 1 positiivinen reaaliluu. Reaalifuntiota f() = a nimitetään esponenttifuntiosi ja luua a sen antaluvusi. Jos a > 1, niin esponenttifuntio f : R R,

Lisätiedot

termit on luontevaa kirjoittaa summamuodossa. Tällöin päädymme lukusarjojen teoriaan: a k = s.

termit on luontevaa kirjoittaa summamuodossa. Tällöin päädymme lukusarjojen teoriaan: a k = s. SARJAT JA DIFFERENTIAALIYHTÄLÖT 2003 7 3. Luusarjat Josus luujonon (b ) termit on luontevairjoittaa summamuodossa. Tällöin päädymme luusarjojen teoriaan: Määritelmä 3.. Oloon ( ), R luujono. Symboli (3.)

Lisätiedot

802328A LUKUTEORIAN PERUSTEET OSA II BASICS OF NUMBER THEORY PART II. Tapani Matala-aho MATEMATIIKKA/LUTK/OULUN YLIOPISTO

802328A LUKUTEORIAN PERUSTEET OSA II BASICS OF NUMBER THEORY PART II. Tapani Matala-aho MATEMATIIKKA/LUTK/OULUN YLIOPISTO 802328A LUKUTEORIAN PERUSTEET OSA II BASICS OF NUMBER THEORY PART II Tapani Matala-aho MATEMATIIKKA/LUTK/OULUN YLIOPISTO SYKSY 2016 Sisältö 1 KERTOMAT, BINOMIKERTOIMET 2 1.0.1 Kertoma/Factorial......................

Lisätiedot

VALIKOITUJA KOHTIA LUKUTEORIASTA

VALIKOITUJA KOHTIA LUKUTEORIASTA VALIKOITUJA KOHTIA LUKUTEORIASTA ARI LEHTONEN 1. Laajennettu Euleideen algoritmi 1.1. Jaoyhtälö. Oloot r 0, r 1 Z, r 0 r 1 > 0. Tällöin on olemassa ysiäsitteiset luvut q 1 ja r 2 Z siten, että r 0 = q

Lisätiedot

M 2 M = sup E M 2 t. E X t = lim. niin martingaalikonvergenssilauseen oletukset ovat voimassa, eli löydämme satunnaismuuttujan M, joka toteuttaa ehdon

M 2 M = sup E M 2 t. E X t = lim. niin martingaalikonvergenssilauseen oletukset ovat voimassa, eli löydämme satunnaismuuttujan M, joka toteuttaa ehdon Matematiian ja tilastotieteen laitos Stoastiset differentiaaliyhtälöt Rataisuehdotelma Harjoituseen 7 1. Näytä, että uvaus M M M 2, un M 2 M = sup E M 2 t 2 t 0 on normi jouossa M 2 = { M : M on martingaali

Lisätiedot

Ylioppilastutkintolautakunta S tudentexamensnämnden

Ylioppilastutkintolautakunta S tudentexamensnämnden Ylioppilastutintolautaunta S tudenteamensnämnden MATEMATIIKAN KOE, PITKÄ OPPIMÄÄRÄ 0..0 HYVÄN VASTAUKSEN PIIRTEITÄ Alla oleva vastausten piirteiden ja sisältöjen luonnehdinta ei sido ylioppilastutintolautaunnan

Lisätiedot

4.7 Todennäköisyysjakaumia

4.7 Todennäköisyysjakaumia MAB5: Todeäöisyyde lähtöohdat.7 Todeäöisyysjaaumia Luvussa 3 Tuusluvut perehdyimme jo jaauma äsitteesee yleesä ja ormaalijaaumaa vähä taremmi. Lähdetää yt tutustumaa biomijaaumaa ja otetaa se jälee ormaalijaauma

Lisätiedot

funktiojono. Funktiosarja f k a k (x x 0 ) k

funktiojono. Funktiosarja f k a k (x x 0 ) k SARJAT JA DIFFERENTIAALIYHTÄLÖT 2003 3 4. Funtiosarjat Tässä luvussa esitettävissä funtiosarjojen tulosissa yhdistämme luujen 3 teoriaa. Esimeri 4.. Geometrinen sarja x suppenee aiilla x ], [ ja hajaantuu

Lisätiedot

Ennen kuin mennään varsinaisesti tämän harjoituksen asioihin, otetaan aluksi yksi merkintätekninen juttu. Tarkastellaan differenssiyhtälöä

Ennen kuin mennään varsinaisesti tämän harjoituksen asioihin, otetaan aluksi yksi merkintätekninen juttu. Tarkastellaan differenssiyhtälöä DEE-00 Lineaariset järjestelmät Harjoitus, rataisuehdotuset Ennen uin mennään varsinaisesti tämän harjoitusen asioihin, otetaan alusi ysi merintäteninen juttu Tarastellaan differenssiyhtälöä y y y 0 Vaihtoehtoinen

Lisätiedot

Laskennallisen kombinatoriikan perusongelmia

Laskennallisen kombinatoriikan perusongelmia Laseallise obiatoriia perusogelia Varsi oissa tehtävissä, joissa etsitää tietylaiste järjestelyje, jouoje ts luuääriä, o taustalla joi uutaista peruslasetatavoista tai lasetaogelista Tässä esitelläälyhyesti

Lisätiedot

Eulerin φ-funktion ominaisuuksia

Eulerin φ-funktion ominaisuuksia TAMPEREEN YLIOPISTO Pro gradu -tutielma Jua Peltola Eulerin φ-funtion ominaisuusia Informaatiotieteiden ysiö Matematiia Marrasuu 2013 Tampereen yliopisto Informaatiotieteiden ysiö PELTOLA, JUKKA: Eulerin

Lisätiedot

1. YKSISUUNTAINEN VARIANSSIANALYYSI: AINEISTON ESITYSMUODOT

1. YKSISUUNTAINEN VARIANSSIANALYYSI: AINEISTON ESITYSMUODOT imat-2.104 Tilastollisen analyysin perusteet / Tehtävät Aiheet: Avainsanat: Ysisuuntainen varianssianalyysi Bartlettin testi, Bonferronin menetelmä, F-testi, Jäännösneliösumma, χ 2 -testi, Koonaisesiarvo,

Lisätiedot

J1 (II.6.9) J2 (X.5.5) MATRIISILASKENTA(TFM) MALLIT AV 6

J1 (II.6.9) J2 (X.5.5) MATRIISILASKENTA(TFM) MALLIT AV 6 MATRIISILASKENTA(TFM) MALLIT AV 6 J (II.6.9) Päättele, että avaruusvetorit a, b ja c ovat lineaarisesti riippuvat täsmälleen un vetoreiden virittämän suuntaissärmiön tilavuus =. Tuti tällä riteerillä ovato

Lisätiedot

Kaikki kurssin laskuharjoitukset pidetään Exactumin salissa C123. Malliratkaisut tulevat nettiin kurssisivulle.

Kaikki kurssin laskuharjoitukset pidetään Exactumin salissa C123. Malliratkaisut tulevat nettiin kurssisivulle. Kombinatoriikka, kesä 2010 Harjoitus 1 Ratkaisuehdotuksia (RT (5 sivua Kaikki kurssin laskuharjoitukset pidetään Exactumin salissa C123. Malliratkaisut tulevat nettiin kurssisivulle. 1. Osoita, että vuoden

Lisätiedot

Vakuutusmatematiikan sovellukset 20.11.2008 klo 9-15

Vakuutusmatematiikan sovellukset 20.11.2008 klo 9-15 SHV-tutinto Vauutusmatematiian sovelluset 20.11.2008 lo 9-15 1(7) Y1. Seuraava tauluo ertoo vauutusyhtiön masamat orvauset vahinovuoden ja orvausen masuvuoden muaan ryhmiteltynä (tuhansina euroina): Vahinovuosi

Lisätiedot

2.1. Bijektio. Funktion kasvaminen ja väheneminen ********************************************************

2.1. Bijektio. Funktion kasvaminen ja väheneminen ******************************************************** .. Funtion asvainen ja väheneinen.. Bijetio. Funtion asvainen ja väheneinen Palautetaan ieleen funtion äsite. ******************************************************** MÄÄRITELMÄ Oloot ja B asi ei-tyhjää

Lisätiedot

DEE Lineaariset järjestelmät Harjoitus 2, ratkaisuehdotukset. Johdanto differenssiyhtälöiden ratkaisemiseen

DEE Lineaariset järjestelmät Harjoitus 2, ratkaisuehdotukset. Johdanto differenssiyhtälöiden ratkaisemiseen D-00 Lineaariset järjestelmät Harjoitus, rataisuehdotuset Johdanto differenssiyhtälöiden rataisemiseen Differenssiyhtälöillä uvataan disreettiaiaisten järjestelmien toimintaa. Disreettiaiainen taroittaa

Lisätiedot

Lukuteoria. Eukleides Aleksandrialainen (n. 300 eaa)

Lukuteoria. Eukleides Aleksandrialainen (n. 300 eaa) Lukuteoria Lukuteoria on eräs vanhimmista matematiikan aloista. On sanottu, että siinä missä matematiikka on tieteiden kuningatar, on lukuteoria matematiikan kuningatar. Perehdymme seuraavassa luonnollisten

Lisätiedot

3. Markovin prosessit ja vahva Markovin ominaisuus

3. Markovin prosessit ja vahva Markovin ominaisuus 30 STOKASTISET DIFFERENTIAALIYHTÄLÖT 3. Marovin prosessit ja vahva Marovin ominaisuus Aloitamme nyt edellisen appaleen päättäneen esimerin yleistämisen Brownin liieelle. Käymme ysitellen läpi esimerin

Lisätiedot

DISKREETIN MATEMATIIKAN SOVELLUKSIA: KANAVA-EKVALISOINTI TIEDONSIIRROSSA. Taustaa

DISKREETIN MATEMATIIKAN SOVELLUKSIA: KANAVA-EKVALISOINTI TIEDONSIIRROSSA. Taustaa Disreetin matematiian excursio: anava-evalisointi tiedonsiirrossa / DISKREETIN MATEMATIIKAN SOVELLUKSIA: KANAVA-EKVALISOINTI TIEDONSIIRROSSA Taustaa Disreetin matematiian excursio: anava-evalisointi tiedonsiirrossa

Lisätiedot

Talousmatematiikan verkkokurssi. Koronkorkolaskut

Talousmatematiikan verkkokurssi. Koronkorkolaskut Sivu 1/7 oronorolasuja sovelletaan tapausiin, joissa aia on pidempi uin ysi oonainen orojaso, eli aia, jolle oroanta ilmoittaa oron määrän. orolasu: enintään yhden orojason pituisille oroajoille; oronorolasu:

Lisätiedot

VÄRÄHTELYMEKANIIKKA SESSIO 19: Usean vapausasteen systeemin liikeyhtälöiden johto Newtonin lakia käyttäen

VÄRÄHTELYMEKANIIKKA SESSIO 19: Usean vapausasteen systeemin liikeyhtälöiden johto Newtonin lakia käyttäen 9/ VÄRÄHTELYMEKANIIKKA SESSIO 9: Usean vapausasteen systeemin liieyhtälöiden johto Newtonin laia äyttäen JOHDANTO Usean vapausasteen systeemillä taroitetaan meaanista systeemiä, jona liietilan uvaamiseen

Lisätiedot

[ ] [ 2 [ ] [ ] ( ) [ ] Tehtävä 1. ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2( ) = 1. E v k 1( ) R E[ v k v k ] E e k e k e k e k. e k e k e k e k.

[ ] [ 2 [ ] [ ] ( ) [ ] Tehtävä 1. ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2( ) = 1. E v k 1( ) R E[ v k v k ] E e k e k e k e k. e k e k e k e k. ehtävä. x( + ) x( y x( + e ( y x( + e ( E v E e ( ) e ( R E[ v v ] E e e e e e e e e 6 estimointivirhe: ~ x( x( x$( x( - b y ( - b y ( estimointivirheen odotusarvo: x( - b x( - b e ( - b x( - b e ( ( -

Lisätiedot

Todennäköisyysjakaumat 1/5 Sisältö ESITIEDOT: todennäköisyyslaskenta, määrätty integraali

Todennäköisyysjakaumat 1/5 Sisältö ESITIEDOT: todennäköisyyslaskenta, määrätty integraali Todennäöissjaaumat /5 Sisältö ESITIEDOT: lasenta, määrätt Haemisto KATSO MYÖS: tilastomatematiia P (X = )=p. Nämä ovat 0 ja niiden summa on p =. Pistetodennäöisdet voidaan graafisesti esittää pstsuorien

Lisätiedot

5. Potenssisarjat 5.1. Määritelmä ja suppeneminen 84. 85. 86. 87. 88. 89.

5. Potenssisarjat 5.1. Määritelmä ja suppeneminen 84. 85. 86. 87. 88. 89. 5. Potenssisarjat 5.1. Määritelmä ja suppeneminen 84. Määritä seuraavien potenssisarjojen suppenemisympyrät: a) ( ) z + 3, b) 2 [ z 2 + ( 1) ], c) a) Koo omplesitaso; b) z =, R = 1; c) z = i, R = 4. 85.

Lisätiedot

Pyramidi 3 Analyyttinen geometria tehtävien ratkaisut sivu 139 Päivitetty a) 402 Suplementtikulmille on voimassa

Pyramidi 3 Analyyttinen geometria tehtävien ratkaisut sivu 139 Päivitetty a) 402 Suplementtikulmille on voimassa Pyramidi Analyyttinen geometria tehtävien rataisut sivu 9 Päivitetty 9..6 4 a) 4 Suplementtiulmille on voimassa b) a) α + β 8 α + β 8 β 6 c) b) c) α 6 6 + β 8 β 8 6 β 45 β 6 9 α 9 9 + β 8 β 8 + 9 β 7 Pyramidi

Lisätiedot

DEE Lineaariset järjestelmät Harjoitus 5, harjoitustenpitäjille tarkoitetut ratkaisuehdotukset

DEE Lineaariset järjestelmät Harjoitus 5, harjoitustenpitäjille tarkoitetut ratkaisuehdotukset DEE- Lineaariset järjestelmät Harjoitus 5, harjoitustenpitäjille taroitetut rataisuehdotuset Tämän harjoitusen ideana on opetella -muunnosen äyttöä differenssiyhtälöiden rataisemisessa Lisäsi äytetään

Lisätiedot

Johdatus matemaattiseen päättelyyn

Johdatus matemaattiseen päättelyyn Johdatus matemaattiseen päättelyyn Maarit Järvenpää Oulun yliopisto Matemaattisten tieteiden laitos Syyslukukausi 2015 1 Merkintöjä 2 Todistamisesta 2 3 Joukko-oppia Tässä luvussa tarkastellaan joukko-opin

Lisätiedot

Tuloperiaate. Oletetaan, että eräs valintaprosessi voidaan jakaa peräkkäisiin vaiheisiin, joita on k kappaletta

Tuloperiaate. Oletetaan, että eräs valintaprosessi voidaan jakaa peräkkäisiin vaiheisiin, joita on k kappaletta Tuloperiaate Oletetaan, että eräs valintaprosessi voidaan jakaa peräkkäisiin vaiheisiin, joita on k kappaletta ja 1. vaiheessa valinta voidaan tehdä n 1 tavalla,. vaiheessa valinta voidaan tehdä n tavalla,

Lisätiedot

Olkoot X ja Y riippumattomia satunnaismuuttujia, joiden odotusarvot, varianssit ja kovarianssi ovat

Olkoot X ja Y riippumattomia satunnaismuuttujia, joiden odotusarvot, varianssit ja kovarianssi ovat Mat-.3 Koesuunnittelu ja tilastolliset mallit. harjoituset Mat-.3 Koesuunnittelu ja tilastolliset mallit. harjoituset / Rataisut Aiheet: Avainsanat: Satunnaismuuttujat ja todennäöisyysjaaumat Kertymäfuntio

Lisätiedot

Kertausosa. Kertausosa. 4. Sijoitetaan x = 2 ja y = 3 suoran yhtälöön. 1. a) Tosi Piste (2,3) on suoralla. Epätosi Piste (2, 3) ei ole suoralla. 5.

Kertausosa. Kertausosa. 4. Sijoitetaan x = 2 ja y = 3 suoran yhtälöön. 1. a) Tosi Piste (2,3) on suoralla. Epätosi Piste (2, 3) ei ole suoralla. 5. Kertausosa. Sijoitetaan ja y suoran yhtälöön.. a) d, ( ) ( ),0... d, ( 0 ( ) ) ( ) 0,9.... Kodin oordinaatit ovat (-,0;,0). Kodin ja oulun etäisyys d, (,0 0) (,0 0),0,...,0 (m) a) Tosi Piste (,) on suoralla.

Lisätiedot

K-KS vakuutussumma on kiinteä euromäärä

K-KS vakuutussumma on kiinteä euromäärä Kesinäinen Henivauutusyhtiö IIIELLA TEKNIIKALLA LAKUPERUTE H-TUTKINTOA ARTEN HENKIAKUUTU REKURIIIELLA TEKNIIKALLA OIMAAOLO 2 AIKALAKU JA AKUUTUIKÄ Tätä lasuperustetta sovelletaan..25 alaen myönnettäviin

Lisätiedot

Luku 1: Järjestelmien lineaarisuus, differenssiyhtälöt, differentiaaliyhtälöt

Luku 1: Järjestelmien lineaarisuus, differenssiyhtälöt, differentiaaliyhtälöt SMG-00 Piirianalyysi II Luentomonisteen harjoitustehtävien vastauset Luu : Järjestelmien lineaarisuus, differenssiyhtälöt, differentiaaliyhtälöt. Järjestelmien lineaarisuus: Järjestelmä on lineaarinen,

Lisätiedot

Tehtävä 11 : 1. Tehtävä 11 : 2

Tehtävä 11 : 1. Tehtävä 11 : 2 Tehtävä : Käytetää irjaita M luvu ( ) meritsemisee. Satuaisverossa G, p() o yhteesä solmua, jote satuaismuuttuja X mahdollisia arvoja ovat täsmällee jouo0,..., M} aii aliot. Joaie satuaisvero mahdollisista

Lisätiedot

M y. u w r zi. M x. F z. F x. M z. F y

M y. u w r zi. M x. F z. F x. M z. F y 36 5.3 Tuipaalutusen lasenta siitmämenetelmällä 5.3.1 Yleistä Jos paaluvoimia ei voida määittää suoaan tasapainohtälöistä (uten ohdassa 5.), on smsessä staattisesti määäämätön paalutus, jona paaluvoimien

Lisätiedot

4 Matemaattinen induktio

4 Matemaattinen induktio 4 Matemaattinen induktio Joidenkin väitteiden todistamiseksi pitää näyttää, että kaikilla luonnollisilla luvuilla on jokin ominaisuus P. Esimerkkejä tällaisista väitteistä ovat vaikkapa seuraavat: kaikilla

Lisätiedot

Luku 1: Järjestelmien lineaarisuus, differenssiyhtälöt, differentiaaliyhtälöt

Luku 1: Järjestelmien lineaarisuus, differenssiyhtälöt, differentiaaliyhtälöt SMG-00 Piirianalyysi II Harjoitustehtävät Luu : Järjestelmien lineaarisuus, differenssiyhtälöt, differentiaaliyhtälöt Järjestelmien lineaarisuus: Järjestelmä on lineaarinen, jos T u u T u T u, jossa ja

Lisätiedot

Miehitysluvuille voidaan kirjoittaa Maxwell Boltzmann jakauman mukaan. saamme miehityslukujen summan muodossa

Miehitysluvuille voidaan kirjoittaa Maxwell Boltzmann jakauman mukaan. saamme miehityslukujen summan muodossa S-4.7 Fysiia III (EST) Tetti..6. Tarastellaa systeemiä, jossa ullai hiuasella o olme mahdollista eergiatasoa, ε ja ε, missä ε o eräs vaio. Oletetaa, että systeemi oudattaa Maxwell-Boltzma jaaumaa ja, että

Lisätiedot

on Abelin ryhmä kertolaskun suhteen. Tämän joukon alkioiden lukumäärää merkitään

on Abelin ryhmä kertolaskun suhteen. Tämän joukon alkioiden lukumäärää merkitään 5. Primitiivinen alkio 5.1. Täydennystä lukuteoriaan. Olkoon n Z, n 2. Palautettakoon mieleen, että kokonaislukujen jäännösluokkarenkaan kääntyvien alkioiden muodostama osajoukko Z n := {x Z n x on kääntyvä}

Lisätiedot

x k x j < ε Seuraavat kolme lausetta kertovat Cauchy jonojen perusominaisuudet. kaikilla n m ε. x k y + y x j < ε 2 + ε 2 = ε.

x k x j < ε Seuraavat kolme lausetta kertovat Cauchy jonojen perusominaisuudet. kaikilla n m ε. x k y + y x j < ε 2 + ε 2 = ε. 28 FUNKTIONAALIANALYYSIN PERUSKURSSI 3. Täydellisyys ja Banachin avaruus Reaaliluujen jouo R (varustettuna normilla x y ) eroaa rataisevasti rationaaliluujen jouosta Q seuraavan ominaisuutensa perusteella:

Lisätiedot

TKK, TTY, LTY, OY, ÅA, VY, TY / Insinööriosastot Valintakuulustelujen matematiikan koe 30.5.2006. sarja A

TKK, TTY, LTY, OY, ÅA, VY, TY / Insinööriosastot Valintakuulustelujen matematiikan koe 30.5.2006. sarja A TKK, TTY, LTY, OY, ÅA, VY, TY / Insinööriosastot Valintauulustelujen matematiian oe 30.5.006 sarja A Ohjeita. Sijoita joainen tehtävä omalle sivulleen. Laadi rataisut seleästi v älivaiheineen, tarvittaessa

Lisätiedot

= 5! 2 2!3! = = 10. Edelleen tästä joukosta voidaan valita kolme särmää yhteensä = 10! 3 3!7! = = 120

= 5! 2 2!3! = = 10. Edelleen tästä joukosta voidaan valita kolme särmää yhteensä = 10! 3 3!7! = = 120 Tehtävä 1 : 1 Merkitään jatkossa kirjaimella H kaikkien solmujoukon V sellaisten verkkojen kokoelmaa, joissa on tasan kolme särmää. a) Jokainen verkko G H toteuttaa väitteen E(G) [V]. Toisaalta jokainen

Lisätiedot

Täydellisesti multiplikatiivisten funktioiden karakterisoinnit

Täydellisesti multiplikatiivisten funktioiden karakterisoinnit TAMPEREEN YLIOPISTO Pro gradu -tutielma Sau Sairanen Täydellisesti multipliatiivisten funtioiden araterisoinnit Matematiian, tilastotieteen ja filosofian laitos Matematiia Loauu 2007 2 Tampereen yliopisto

Lisätiedot

MAATALOUSYRITTÄJÄN ELÄKELAIN MUKAISEN VAKUUTUKSEN PERUSTEET

MAATALOUSYRITTÄJÄN ELÄKELAIN MUKAISEN VAKUUTUKSEN PERUSTEET 5 TLOUYRTTÄJÄN ELÄKELN UKEN VKUUTUKEN PERUTEET PERUTEDEN OVELTNEN Näitä perusteita soelletaan..009 lähtien maatalousrittäjän eläelain 80/006 YEL muaisiin auutusiin. VKUUTUKU Vauutusmasu uodelta on maatalousrittäjän

Lisätiedot

MS-A0402 Diskreetin matematiikan perusteet

MS-A0402 Diskreetin matematiikan perusteet MS-A0402 Diskreetin matematiikan perusteet Osa 4: Modulaariaritmetiikka Riikka Kangaslampi 2017 Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Aalto-yliopisto Modulaariaritmetiikka Jakoyhtälö Määritelmä 1 Luku

Lisätiedot

2017 = = = = = = 26 1

2017 = = = = = = 26 1 JOHDATUS LUKUTEORIAAN (syksy 2017) HARJOITUS 2, MALLIRATKAISUT Tehtävä 1. Sovella Eukleiden algoritmia ja (i) etsi s.y.t(2017, 753) (ii) etsi kaikki kokonaislukuratkaisut yhtälölle 405x + 141y = 12. Ratkaisu

Lisätiedot

MS-A0402 Diskreetin matematiikan perusteet

MS-A0402 Diskreetin matematiikan perusteet MS-A0402 Diskreetin matematiikan perusteet Osa 1: Joukko-oppi ja logiikka Riikka Kangaslampi 2017 Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Aalto-yliopisto Kiitokset Nämä luentokalvot perustuvat Gustaf

Lisätiedot

Lineaarialgebra ja matriisilaskenta I, HY Kurssikoe Ratkaisuehdotus. 1. (35 pistettä)

Lineaarialgebra ja matriisilaskenta I, HY Kurssikoe Ratkaisuehdotus. 1. (35 pistettä) Lineaarialgebra ja matriisilaskenta I, HY Kurssikoe 26.10.2017 Ratkaisuehdotus 1. (35 pistettä) (a) Seuraavat matriisit on saatu eräistä yhtälöryhmistä alkeisrivitoimituksilla. Kuinka monta ratkaisua yhtälöryhmällä

Lisätiedot

Cantorin joukon suoristuvuus tasossa

Cantorin joukon suoristuvuus tasossa Cantorin joukon suoristuvuus tasossa LuK-tutkielma Miika Savolainen 2380207 Matemaattisten tieteiden laitos Oulun yliopisto Syksy 2016 Sisältö Johdanto 2 1 Cantorin joukon esittely 2 2 Suoristuvuus ja

Lisätiedot

Vakuutusteknisistä riskeistä johtuvien suureiden laskemista varten käytettävä vakuutuslajiryhmittely.

Vakuutusteknisistä riskeistä johtuvien suureiden laskemista varten käytettävä vakuutuslajiryhmittely. 1144/2011 7 Liite 1 Vauutustenisistä riseistä johtuvien suureiden lasemista varten äytettävä vauutuslajiryhmittely. Vauutuslajiryhmä Vauutusluoat Ensivauutus 1 Laisääteinen tapaturma 1 (laisääteinen) 2

Lisätiedot

Matemaattinen Analyysi

Matemaattinen Analyysi Vaasan yliopisto, evät 05 / ORMS00 Matemaattinen Analyysi 6. harjoitus. Approsimoi toisen asteen polynomilla P(x) = b 0 +b x+b x oheisen tauluon muaisia havaintoja. (Teorian löydät opetusmonisteen sivuilta

Lisätiedot

Matematiikkalehti 2/2013.

Matematiikkalehti 2/2013. Matematiialehti 2/2013 http://solmu.math.helsini.fi 2 Solmu 2/2013 Solmu 2/2013 ISSN-L 1458-8048 ISSN 1459-0395 (Painettu) ISSN 1458-8048 (Verolehti) Matematiian ja tilastotieteen laitos PL 68 (Gustaf

Lisätiedot

Ominaisvektoreiden lineaarinen riippumattomuus

Ominaisvektoreiden lineaarinen riippumattomuus Ominaisvektoreiden lineaarinen riippumattomuus Lause 17 Oletetaan, että A on n n -matriisi. Oletetaan, että λ 1,..., λ m ovat matriisin A eri ominaisarvoja, ja oletetaan, että v 1,..., v m ovat jotkin

Lisätiedot

3. Täydellisyys ja Banachin avaruus. ominaisuutta sanotaan täydellisyydeksi. Toisena esimerkkinä mainitaan avaruus

3. Täydellisyys ja Banachin avaruus. ominaisuutta sanotaan täydellisyydeksi. Toisena esimerkkinä mainitaan avaruus FUNKTIONAALIANALYYSIN PERUSKURSSI 25 3. Täydellisyys ja Banachin avaruus Reaaliluujen jouo R (varustettuna normilla x y ) eroaa rataisevasti rationaaliluujen jouosta Q seuraavan ominaisuutensa perusteella:

Lisätiedot

MS-A010{3,4,5} (ELEC*, ENG*) Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Luento 2: Sarjat

MS-A010{3,4,5} (ELEC*, ENG*) Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Luento 2: Sarjat MS-A010{3,4,5} (ELEC*, ENG*) Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Luento 2: Sarjat Pekka Alestalo, Jarmo Malinen Aalto-yliopisto, Matematiikan ja systeemianalyysin laitos September 13, 2017 Pekka Alestalo,

Lisätiedot

Matematiikan tukikurssi

Matematiikan tukikurssi Matematiikan tukikurssi Kurssikerta 6 Sarjojen suppeneminen Kiinnostuksen kohteena on edelleen sarja a k = a + a 2 + a 3 + a 4 +... k= Tämä summa on mahdollisesti äärellisenä olemassa, jolloin sanotaan

Lisätiedot

MS-A0305 Differentiaali- ja integraalilaskenta 3 Luento 9: Greenin lause

MS-A0305 Differentiaali- ja integraalilaskenta 3 Luento 9: Greenin lause MS-A0305 Differentiaali- ja integraalilaskenta 3 Luento 9: Greenin lause Antti Rasila Aalto-yliopisto Syksy 2015 Antti Rasila (Aalto-yliopisto) MS-A0305 Syksy 2015 1 / 19 Esimerkki Olkoon F : R 3 R 3 vakiofunktio

Lisätiedot

S , Fysiikka III (ES) Tentti Tentti / välikoeuusinta. Laaditaan taulukko monisteen esimerkin 3.1. tapaan ( nj njk Pk

S , Fysiikka III (ES) Tentti Tentti / välikoeuusinta. Laaditaan taulukko monisteen esimerkin 3.1. tapaan ( nj njk Pk S-.35, Fysiia III (ES) entti 8..3 entti / välioeuusinta I älioeen alue. Neljän tunnistettavissa olevan hiuasen miroanonisen jouon mahdolliset energiatasot ovat, ε, ε, 3ε, ε,, jota aii ovat degeneroitumattomia.

Lisätiedot

(c) Määrää/Determine välillä/in the interval [1000, 10000] olevien 7. jaollisten kokonaislukujen lukumäärä/ number of integers divisible by 7.

(c) Määrää/Determine välillä/in the interval [1000, 10000] olevien 7. jaollisten kokonaislukujen lukumäärä/ number of integers divisible by 7. Luuteorian perusteet Exercises/Harjoitusia 2016 1. Show by induction/osoita indutiolla, that/että Osoita, että a n 1 = (a 1)(a n 1 + a n 2 + + a + 1). a n + 1 = (a + 1)(a n 1 a n 2 + a + 1) jos 2 n. (c)

Lisätiedot

(1 + i) + JA. t=1. t=1. (1 + i) n (1 + i) n. = H + k (1 + i)n 1 i(1 + i) n + JA

(1 + i) + JA. t=1. t=1. (1 + i) n (1 + i) n. = H + k (1 + i)n 1 i(1 + i) n + JA Investoinnin annattavuuden mittareita Opetusmonisteessa on asi sivua, joilla on hyvin lyhyesti uvattu jouo mittareita. Seuraavassa on muutama lisäommentti ja aavan-johto. Tarastelemme projetia, jona perusinvestointi

Lisätiedot

Projekti 5 Systeemifunktiot ja kaksiportit. Kukin ryhmistä tarkastelee piiriä eri taajuuksilla. Ryhmäni taajuus on

Projekti 5 Systeemifunktiot ja kaksiportit. Kukin ryhmistä tarkastelee piiriä eri taajuuksilla. Ryhmäni taajuus on EPOP Kevät 2012 Projeti 5 Systeemifuntiot ja asiportit Tämä projeti tehdään 3 hengen ryhmissä. Ryhmääni uuluvat Kuin ryhmistä tarastelee piiriä eri taajuusilla. Ryhmäni taajuus on Seuraavan projetin aiana

Lisätiedot

MS-A0402 Diskreetin matematiikan perusteet

MS-A0402 Diskreetin matematiikan perusteet MS-A040 Diskreetin matematiikan perusteet Osa : Relaatiot ja funktiot Riikka Kangaslampi 017 Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Aalto-yliopisto Relaatiot Relaatio Määritelmä 1 Relaatio joukosta A

Lisätiedot

Vastaus 1. Lasketaan joukkojen alkiot, ja todetaan, että niitä on 3 molemmissa.

Vastaus 1. Lasketaan joukkojen alkiot, ja todetaan, että niitä on 3 molemmissa. Miten perustella, että joukossa A = {a, b, c} on yhtä monta alkiota kuin joukossa B = {d, e, f }? Vastaus 1. Lasketaan joukkojen alkiot, ja todetaan, että niitä on 3 molemmissa. Vastaus 2. Vertaillaan

Lisätiedot

Tarkastelemme ensin konkreettista esimerkkiä ja johdamme sitten yleisen säännön, joilla voidaan tietyissä tapauksissa todeta kielen ei-säännöllisyys.

Tarkastelemme ensin konkreettista esimerkkiä ja johdamme sitten yleisen säännön, joilla voidaan tietyissä tapauksissa todeta kielen ei-säännöllisyys. Ei-säännöllisiä kieliä [Sipser luku 1.4] Osoitamme, että joitain kieliä ei voi tunnistaa äärellisellä automaatilla. Tulos ei sinänsä ole erityisen yllättävä, koska äärellinen automaatti on äärimmäisen

Lisätiedot

MS-A0004/A0006 Matriisilaskenta

MS-A0004/A0006 Matriisilaskenta 4. MS-A4/A6 Matriisilaskenta 4. Nuutti Hyvönen, c Riikka Kangaslampi Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Aalto-yliopisto..25 Tarkastellaan neliömatriiseja. Kun matriisilla kerrotaan vektoria, vektorin

Lisätiedot

1. Harjoituskoe. Harjoituskokeet. 1. a) Valitaan suorilta kaksi pistettä ja määritetään yhtälöt. Suora s: (x 1, y 1 ) = (0, 2) (x 2, y 2 ) = (1, 2)

1. Harjoituskoe. Harjoituskokeet. 1. a) Valitaan suorilta kaksi pistettä ja määritetään yhtälöt. Suora s: (x 1, y 1 ) = (0, 2) (x 2, y 2 ) = (1, 2) . Harjoitusoe. a) Valitaan suorilta asi pistettä ja määritetään yhtälöt. Suora s: (, y ) = (0, ) (, y ) = (, ) 0 0 0 Suoran yhtälö on y. Suora t: (, y ) = (0, ) (, y ) = (, ) ( ) 0 Suoran yhtälö on y.

Lisätiedot

MS-A0402 Diskreetin matematiikan perusteet

MS-A0402 Diskreetin matematiikan perusteet MS-A0402 Diskreetin matematiikan perusteet Osa 1: Joukko-oppi ja logiikka Riikka Kangaslampi 2017 Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Aalto-yliopisto Kiitokset Nämä luentokalvot perustuvat Gustaf

Lisätiedot

Miten perustella, että joukossa A = {a, b, c} on yhtä monta alkiota kuin joukossa B = {d, e, f }?

Miten perustella, että joukossa A = {a, b, c} on yhtä monta alkiota kuin joukossa B = {d, e, f }? Miten perustella, että joukossa A = {a, b, c} on yhtä monta alkiota kuin joukossa B = {d, e, f }? Miten perustella, että joukossa A = {a, b, c} on yhtä monta alkiota kuin joukossa B = {d, e, f }? Vastaus

Lisätiedot

Jaollisuus kymmenjärjestelmässä

Jaollisuus kymmenjärjestelmässä Jaollisuus kymmenjärjestelmässä Lauseen 4.5 mukaan jokaiselle n N on yksikäsitteiset kokonaisluvut s 0 ja a 0, a 1,..., a s, joille n = a s 10 s + a s 1 10 s 1 + + a 1 10 + a 0 = a s a a 1... a 0, (1)

Lisätiedot

MS-A010{3,4} (ELEC*) Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Luento 5: Taylor-polynomi ja sarja

MS-A010{3,4} (ELEC*) Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Luento 5: Taylor-polynomi ja sarja MS-A010{3,4} (ELEC*) Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Luento 5: Taylor-polynomi ja sarja Pekka Alestalo, Jarmo Malinen Aalto-yliopisto, Matematiikan ja systeemianalyysin laitos 26.9.2016 Pekka Alestalo,

Lisätiedot

MATEMATIIKAN KOE. AMMATIKKA top 17.11.2005. 2. asteen ammatillisen koulutuksen kaikkien alojen yhteinen matematiikka kilpailu. Oppilaitos:.

MATEMATIIKAN KOE. AMMATIKKA top 17.11.2005. 2. asteen ammatillisen koulutuksen kaikkien alojen yhteinen matematiikka kilpailu. Oppilaitos:. AMMATIKKA top 7..005 MATEMATIIKAN KOE. ateen ammatillien oulutuen aiien alojen yteinen matematiia ilpailu Nimi: Oppilaito:. Koulutuala:... Luoa:.. Sarjat: MERKITSE OMA SARJA. Teniia ja liienne:... Matailu-,raitemu-

Lisätiedot

Ensimmäinen induktioperiaate

Ensimmäinen induktioperiaate Ensimmäinen induktioperiaate Olkoon P(n) luonnollisilla luvuilla määritelty predikaatti. (P(n) voidaan lukea luvulla n on ominaisuus P.) Todistettava, että P(n) on tosi jokaisella n N. ( Kaikilla luonnollisilla

Lisätiedot

Ensimmäinen induktioperiaate

Ensimmäinen induktioperiaate 1 Ensimmäinen induktioperiaate Olkoon P(n) luonnollisilla luvuilla määritelty predikaatti. (P(n) voidaan lukea luvulla n on ominaisuus P.) Todistettava, että P(n) on tosi jokaisella n N. ( Kaikilla luonnollisilla

Lisätiedot

8.2. Permutaatiot. Esim. 1 Kirjaimet K, L ja M asetetaan jonoon. Kuinka monta erilaista järjes-tettyä jonoa näin saadaan?

8.2. Permutaatiot. Esim. 1 Kirjaimet K, L ja M asetetaan jonoon. Kuinka monta erilaista järjes-tettyä jonoa näin saadaan? 8.2. Permutaatiot Esim. 1 irjaimet, ja asetetaan jonoon. uinka monta erilaista järjes-tettyä jonoa näin saadaan? Voidaan kuvitella vaikka niin, että hyllyllä on vierekkäin kolme laatikkoa (tai raiteilla

Lisätiedot

Johdatus matematiikkaan

Johdatus matematiikkaan Johdatus matematiikkaan Luento 7 Mikko Salo 11.9.2017 Sisältö 1. Funktioista 2. Joukkojen mahtavuus Funktioista Lukiomatematiikassa on käsitelty reaalimuuttujan funktioita (polynomi / trigonometriset /

Lisätiedot