Pyramidi 3 Analyyttinen geometria tehtävien ratkaisut sivu 139 Päivitetty a) 402 Suplementtikulmille on voimassa

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Koko: px
Aloita esitys sivulta:

Download "Pyramidi 3 Analyyttinen geometria tehtävien ratkaisut sivu 139 Päivitetty a) 402 Suplementtikulmille on voimassa"

Transkriptio

1 Pyramidi Analyyttinen geometria tehtävien rataisut sivu 9 Päivitetty a) 4 Suplementtiulmille on voimassa b) a) α + β 8 α + β 8 β 6 c) b) c) α β 8 β 8 6 β 45 β 6 9 α β 8 β β 7

2 Pyramidi Analyyttinen geometria tehtävien rataisut sivu 4 Päivitetty a) α 8 b) β α β a) 8 6 +, joten ulmalla on sama alu- ja loppuyli. b) 5 6 Kulmaa vastaava positiivisen iertosuunnan ulma on a) Suunnattu ulma on b) Suunnattu ulma on 8,5,5 46 t min Seuntiviisari iertää minuutissa yhden ierrosen myötäpäivään eli viisari iertää ulman 6. Siis α ( 6 ) 96 t min h 6 Tuntiviisari iertää tunnissa myötäpäivään yhden numerovälin eli 6. Siis α ( ) 5,5 6 Vastaus 96 ; 5,5

3 Pyramidi Analyyttinen geometria tehtävien rataisut sivu 4 Päivitetty a) Pystysuoran suoran suuntaulma on 9. b) b) Vaaasuoran suoran suuntaulma on 48 a) Meritään suoran s ja positiivisen -aselin välistä ulmaa β :lla. Kosa suora s on nouseva, on suuntaulma α >. α β 8 vierusulmat 6 Kosa suora s on laseva, on suuntaulma α <. Siis α β 6 Vastaus Suoran s suuntaulma on a) 6 b) 5

4 Pyramidi Analyyttinen geometria tehtävien rataisut sivu 4 Päivitetty a) Pisteet (, ) ja ( 5,) y y y 5 b) Pisteet (, ) ja ( 5, ) y y y 5 c) Pisteet (, ) ja (, 5) Kosa pisteillä on sama -oordinaatti, on suora pystysuora. Siis ulmaerroin ei ole määritelty. b) c) (, y) ( 4,) (, y ) (,) y y y ( 4) Kosa, on suora vaaasuora. (, y) (,) (, y ) (, 4) y y y 4 7 7> ( ) Kosa >, on suora nouseva. Vastaus a) b) c) ei ulmaerrointa 4 a) (, y) (,) (, y ) ( 5, ) y y y < 5 Kosa <, on suora laseva. d) (, y) (, ) (, y ) (,) Kosa pisteiden -oordinaatit ovat samat, on suora pystysuora. Vastaus a) laseva b) vaaasuora c) nouseva d) pystysuora

5 Pyramidi Analyyttinen geometria tehtävien rataisut sivu 4 Päivitetty y y y a ( ) a 4 ( a ) a 6 a 9 Vastaus a 9, (, y) (,) (, y ) (, a) 4 Oloon suoran ja -aselin leiauspisteenä A (, ) seä suoran ja y-aselin leiauspisteenä B (, y ). Suoran ulmaerroin AB (, y) (,) (, ) (, ) y y y y y y Toisaalta ulmaerroin y 4 4 y 4. Siis

6 Pyramidi Analyyttinen geometria tehtävien rataisut sivu 44 Päivitetty 9..6 Janan AB pituus on Siis ( ) ( y ) (, y ) (,) (, y ) (, y ) AB + y y + y Kun 9, niin 4 y 9 Kun 9, niin 4 y 9 Siis A ( 9, ) ja B (, ) tai A 9, ja B, Vastaus A 9, ja B, tai A 9, ja B, ± 9

7 Pyramidi Analyyttinen geometria tehtävien rataisut sivu 45 Päivitetty tan α, un α 9 a) tan 6 tan 6 tan 6 b) tan 45 tan 45 c) d) tan e) Kosa α 9, niin suoralla ei ole ulmaerrointa. Vastaus a) b) c) d) e) ei ulmaerrointa 44 a) b) c) d) tanα α tan α 6, tanα α tan ( ) α 7, tanα tan α tanα α tan α 54, e) tanα α Vastaus a) 6 b) 7 c) d) 55 e)

8 Pyramidi Analyyttinen geometria tehtävien rataisut sivu 46 Päivitetty tan α, α 9 y tanα, y 7 7 tanα α 4, Vastaus 5 46 (, y ) (, ) (, y ) (,) y + + ) y + + tanα tanα + α 67,5 Vastaus + Suuntaulma on 67,5.

9 Pyramidi Analyyttinen geometria tehtävien rataisut sivu 47 Päivitetty a) (, y ) (, ) (, y ) (,6) y y 6 6 tanα tanα α 7,56... α 7 b) (, y ) (, ) (, y ) (, ) y y tanα α 9,... α 9, Vastaus a), suuntaulma on 7 b), suuntaulma on 9, 48 tan α 45 α tan 45 tan 45 Toisaalta y 8 ( ) a ( 6) 8+ a a (, y) ( 6, ) (, ) (, 8) y y y a Siis 6 6 a 6 6+ a a Vastaus a

10 Pyramidi Analyyttinen geometria tehtävien rataisut sivu 48 Päivitetty ( a, ) (, ) A B a+ a a) Pisteiden A ja B autta uleva suora on pystysuora, jos pisteiden -oordinaatit ovat yhtä suuret. Siis a a+ a a + a a b) Pisteiden A ja B autta uleva suora on vaaasuora, jos pisteiden y-oordinaatit ovat yhtä suuret. Siis a a a ± Vastaus a) a b) a ± 4 Oloon, y, a ( ) (, y ) (, a a ) Kulmaerroin on y y a a a a a a + a+ a) Suora on nouseva, jos >. a + a+ > Nollaohdat: a + a+ ± 4 ( ) a ( ) ± 4 a a tai a

11 Pyramidi Analyyttinen geometria tehtävien rataisut sivu 49 Päivitetty 9..6 Kuvaaja: Siis a + a+ >, un < a<. Näin ollen suora on nouseva, un < a <. b) Suora on laseva, jos <. Kuvaajan avulla saadaan, että a + a+ < a< a>, un tai Siis suora on laseva, un a< tai a >. Vastaus a) < a < b) a< tai a> 4 a) y y, y,, y ( ) y Yhtälö voidaan esittää myös muodossa y. b) y y ( ) (, y) (, ), y ( ( ) ) y y 9 + y 7 7 Yhtälö voidaan esittää myös muodossa y +. c) y y, y 9,98, y 98 ( 9) y 98 y 98 Yhtälö voidaan esittää myös muodossa y 98. Vastaus a) y b) + y 7 c) y 98

12 Pyramidi Analyyttinen geometria tehtävien rataisut sivu 5 Päivitetty a) Suoran yhtälö on y y ( ) (, y),, y ( ) y y Yhtälö voidaan esittää myös yleisessä muodossa y y y b) Suoran yhtälö on y y ( ) (, y),, y ( ) y+ y Yhtälö voidaan esittää myös yleisessä muodossa y y y c) Suoran yhtälö on y y ( ) (, y) ( a, a), y a ( ( a) ) y a ( + a) y a + a y + a Yhtälö voidaan esittää myös yleisessä muodossa y + a y + 6a y+ 6a Vastaus a) y b) y c) y + a

13 Pyramidi Analyyttinen geometria tehtävien rataisut sivu 5 Päivitetty a) Piste (, y ) (, 5) Kosa suora on vaaasuora, on sen yhtälö muotoa y y Siis yhtälö on y 5. b) Piste (, y ) (, 5) Kosa suora on pystysuora, on sen yhtälö muotoa Siis yhtälö on. Vastaus a) y 5 b) 44 a) (, y) (,) (, y ) (, 4) y y y y y y 4 y ( ) ( ) 5 y ( + ) y 5( + ) y 5 y y+ 9

14 Pyramidi Analyyttinen geometria tehtävien rataisut sivu 5 Päivitetty 9..6 b) c) (, y) (,) (, y ) (,) y y y y y ( ) y ( ) ( 4) 4 9 4y 9 y y 9 (, y) ( a, b) (, y ) ( b, a) y y y y a b y b ( a) b a a b y b ( a a b ) y b + a + y a b y + a+ b 45 a) y y y y 5 y ( + 4) y ( + 4) 4 y ( + 4) y 8 + y+ 5 y 5 y (, y) ( 4,) (, ) (, 5) y y y y ( ) b) Pisteet ovat (, ) ja ( 6, ). Kosa pisteiden y-oordinaatit ovat samat, on suora y y. vaaasuora. Siis suoran yhtälö on c) Pisteet ovat ( 5, ) ja ( 5,). Kosa pisteiden -oordinaatit ovat samat, on suora pystysuora ja sen yhtälö on 5 ( 5 ). Vastaus a) 5 + y + 9 b) + 4y 9 c) + y a b Vastaus a) + y + 5 b) y c) 5

15 Pyramidi Analyyttinen geometria tehtävien rataisut sivu 5 Päivitetty Origon autta ulevan suoran yhtälö on muotoa y. a) Suora ei ole pystysuora, joten suoran ulmaerroin on suuntaulman tangentti. tanα α tan Suoran yhtälö on y y ( -aselin yhtälö) b) Suora ei ole pystysuora, joten suoran ulmaerroin on suuntaulman tangentti. tanα α tan Suoran yhtälö on y ( y ) c) Kosa suora on pystysuora, ei suoralla ole ulmaerrointa. Suoran yhtälö on ( y ) -aselin yhtälö 47 a) Piste (, y ) (, ) tanα α 45 tan 45 tan 45 Suoran yhtälö on y y y+ ( ) y+ y y b) tanα α 45 tan 45 tan 45 tan 45 Suoran yhtälö on y y y+ ( ) y+ + + y+ y c) Kosa suuntaulma α, niin suora on vaaasuora ja sen yhtälö on muotoa y y. Siis suoran yhtälö on y. Vastaus a) y b) y c) Vastaus a) y b) + y + c) y

16 Pyramidi Analyyttinen geometria tehtävien rataisut sivu 54 Päivitetty Suoran piste on (,). Suoran ja -aselin välinen ulma on 6, joten suoran suuntaulma α on 6 tai 6. I II II α 6 Suoran ulmaerroin on tan6 Suoran yhtälö on y ( + ), (, ) (,) y y y y + + y+ + Vastaus y + + ( y+ + ) tai y + + y + I α 6 Suoran ulmaerroin on Suoran yhtälö on y ( + ) tan 6 tan 6, (, ) (,) y y y y + + y +

17 Pyramidi Analyyttinen geometria tehtävien rataisut sivu 55 Päivitetty Oloon A (,4) ja suoralla oleva piste B ( y, ). Kosa piste B on suoralla, niin y-oordinaatti saadaan suoran yhtälöstä y + y + Janan AB pituus on ( ) ( ) (, ) (,4) (, y ) (,+ ) 5 ( ( ) ) + ( + 4) 5 ( + ) + ( ) 5 ( + ) + ( ) :5 9 ± AB 5 AB + y y y Kun, niin y + 9 Kun, niin y ( ) + Siis piste B on (,9 ) tai (, ) Vastaus Suoralla olevat pisteet ovat (,9 ) ja (, ).

18 Pyramidi Analyyttinen geometria tehtävien rataisut sivu 56 Päivitetty a) y + + y 4 a) + y 7 y + 7 b) 5 5 b) 9y + 8 9y 8 :( 9) c) y + 6 6y + 6y+ c) y 6 y 6 8 y Vastaus a) + y b) 5 c) 6y + d) Vastaus a) y + 7 b) 8 y + c) y 6 d) 4 9 9

19 Pyramidi Analyyttinen geometria tehtävien rataisut sivu 57 Päivitetty a) b) + y 4 y + 4 tanα tanα α 6, y + 9 y 9 y tanα α, c) d) 6y 7 7 y 6 Suora on -aselin suuntainen, joten tanα α + Suora on y-aselin suuntainen, joten suoralla ei ole ulmaerrointa. Kosa suora on pystysuora, on suuntaulma α 9 Vastaus a), 7 α b), α 4 c), α d) ei ulmaerrointa, α 9.

20 Pyramidi Analyyttinen geometria tehtävien rataisut sivu 58 Päivitetty Suora 7 y 8 a) Sijoitetaan pisteen ( 5, 9) oordinaatit suoran 7 y 8 yhtälöön. Yhtälön vasen puoli on 7 ( 5) ( 9) Yhtälön oiea puoli on 6 Siis piste ei ole suoralla. b) Sijoitetaan pisteen 5,9 oordinaatit suoran 7 y 8 yhtälöön. Yhtälön vasen puoli on Yhtälön oiea puoli on. Siis piste on suoralla. 44. Pisteiden -oordinaatit ovat erisuuret, joten A, B ja C eivät ole samalla pystysuoralla eivätä pareittain samalla pystysuoralla. Pisteet ovat samalla suoralla täsmälleen silloin, un pisteiden A ja B seä A ja C autta ulevien suorien ulmaertoimet ovat samat. Pisteiden A ja B autta ulevan suoran ulmaerroin on Oloon A ( 8, ), B ( 5, 6 ) ja C ( 4, ) AB ( 6 ( ) (, y) A ( 8, ) (, ) ( 5, 6) y y y B Pisteiden A ja C autta ulevan suoran ulmaerroin on AC (, y) A ( 8, ) (, ) ( 4, ) y y y C ( ( ) Vastaus a) ei b) on Kosa AB Vastaus, ovat pisteet A, B ja C samalla suoralla. AC ovat

21 Pyramidi Analyyttinen geometria tehtävien rataisut sivu 59 Päivitetty a) P, 5, y y y, y 5 Suora ulee origon autta, joten yhtälö on muotoa y. Kosa suora ulee myös pisteen P autta, toteuttavat sen 4 oordinaatit ja y yhtälön y. 5 Siis Suoran yhtälö on 6 y rataistu muoto 5 6 5y yleinen muoto 6 6 5, joten ei ulje Vastaus a) y b) ei 5 b) P, 5 Lasetaan origon ja pisteen P autta ulevan suoran ulmaerroin.

22 Pyramidi Analyyttinen geometria tehtävien rataisut sivu 6 Päivitetty Suoran + y eli y + ulmaerroin on. Suoran suuntaulma saadaan yhtälöstä tanα tanα α 6,4... Suoraulmaisesta olmiosta saadaan γ 8 9 δ 8 9 6,4... 6, δ β 6,4... ristiulmat Oloon suoran ja -aselin välinen ulma β seä suoran ja y- aselin välinen ulma γ. Vastaus -aselin 6 ulmassa ja y-aselin 7 ulmassa Kulma β on β α 6,4... 6

23 Pyramidi Analyyttinen geometria tehtävien rataisut sivu 6 Päivitetty Oloon pisteen (, 4) autta uleva suora l, jona ulmaerroin tanα. Tapa Suoran yhtälö: y y, y 4, y 4 ( ) y 4 y 5 Tutitaan uleeo suora l pisteen ( 5,74 ) autta. Kun 5, niin suoran yhtälöstä saadaan y Suora l ulee siis pisteen ( 5,74 ) autta. Tapa Lasetaan ulmaerroin suoralle, joa ulee pisteiden A, 4 ja B 5, 74 autta. y AB eli AB 5 5 Suora ulee siis pisteen ( 5,74 ) autta. Vastaus on

24 Pyramidi Analyyttinen geometria tehtävien rataisut sivu 6 Päivitetty Suora Piste (, a) 8 7 a ay a on suoralla, joten pisteen oordinaatit toteuttavat suoran yhtälön. a ( ) a( a) 8a 7 + a a 8a 7 a 8a 7 ( ) a + 8a+ 7 ± a ± 6 6 a 8± 6 a a 7 tai a Vastaus a 7 tai a 49 (, ), (, ) ja (, ) A B C Sivun BC esipiste oloon D. y + 5 y + y 5 Siis D,. Suoran l yhtälö on + y+ ( ) 5 5 y+ ( ) 7 5 y+ ( ) 7 7 7y y+ 9 Vastaus 5 + 7y + 9

25 Pyramidi Analyyttinen geometria tehtävien rataisut sivu 6 Päivitetty Esitetään suoran yhtälö rataistussa muodossa. + y+ + y+ y + + Suoran ulmaerroin on +. a) Suora on nouseva, jos ulmaerroin on positiivinen. + > Nollaohdat: + ( + ) tai Kuvaaja: b) Suora on laseva, un ulmaerroin on negatiivinen. Edellä olevasta uvaajasta saadaan + <, un < < c) Suora on vaaasuora, un ulmaerroin on nolla. + ( + ) tai Vastaus a) < tai > b) < < c) tai Siis + >, un < tai >

26 Pyramidi Analyyttinen geometria tehtävien rataisut sivu 64 Päivitetty Kosa ilmoittaa fahrenheitasteet ja y celsiusasteet, saadaan oordinaatiston pisteet (, ) ja (, ). Näiden pisteiden autta ulevan suoran ulmaerroin on y y y Suoran yhtälö: 5 y y ( ), y, 9 5 y ( ) y y Kun 45, niin y Siis 45 F C 9 Vastaus 5 7 y 7, missä on lämpötila fahrenheitasteina 9 9 ja y celsiusasteina F C 9 44 Pisteet A, B ja C eivät ole samalla pystysuoralla suoralla, sillä pisteiden B ja C -oordinaatit ovat eri suuret. Oletetaan, että t eli t. Meritään pisteiden A ja B autta ulevan suoran ulmaerrointa AB : lla ja pisteiden B ja C autta ulevan suoran ulmaerrointa BC : llä. 4 ( t 5) 4 t+ 5 t t AB, t t t ( t+ ) t+ t 5 ( 4) t 5+ 4 BC t Pisteet ovat samalla suoralla, jos AB. Saadaan yhtälö t t t t + t t t+ t t + t ± 4 ( ) t ± t t tai t elpaavat Vastaus t tai t BC

27 Pyramidi Analyyttinen geometria tehtävien rataisut sivu 65 Päivitetty Oloon suora l: y a+ b, a ja suora s : y c+ d, c. Kosa ulmaertoimet eroavat nollasta, a ja c, seä lisäsi -aseli puolittaa suorien välisen ulman, on toinen suorista nouseva ja toinen laseva. Meritään suoran l suuntaulmaa α : lla ja suoran s suuntaulmaa β : lla. Oloon nousevana suorana suora l. Saadaan yhtälöpari a + b c + d sijoitetaan c a a + b a + d + + b+ b+ d d b d Vastaus c a ja d b Suuntaulmat toteuttavat ehdon -aseli puolittaa α β suorien välisen ulman Siis suorien ulmaertoimet ovat toistensa vastaluuja eli a c c a Suorien on lisäsi leiattava -aselilla eli suorien on uljettava autta. jonin pisteen,

28 Pyramidi Analyyttinen geometria tehtävien rataisut sivu 66 Päivitetty A, Suora y eli y. Oloon B (, y) Kosa piste B on suoralla y, niin y. Pisteen B etäisyys origosta on Toisaalta 9 OB + y OB, joten ± Siis B,. Suoran l yhtälö on y y y y,, ( y ) ( y),, + y+ ( ) y+ ( ) y+ + y y 5 Vastaus + y 5 Kosa on I neljännesessä, on sijoitus yhtälöön y y

29 Pyramidi Analyyttinen geometria tehtävien rataisut sivu 67 Päivitetty a) Suora y + 4 leiaa y-aselin pisteessä (,4 ). Kosa ulmaerroin, niin -oordinaatin muutosta vastaa y-oordinaatin muutos y. Siirtymällä pisteestä (,4 ) asi ysiöä oiealle ja olme ysiöä ylös saadaan suoran piste (,7 ). Suora ulee siis pisteiden (,4 ) ja (,7 ) autta. b) Suora leiaa y-aselin pisteessä (, ). Kosa y aina, on suora vaaasuora. c) Määritetään suoran ja oordinaattiaselien leiauspisteet. : + 4y + 4 4y 4 y Suora leiaa y-aselin pisteessä (, ). y : Suora leiaa -aselin pisteessä ( 4,). Suora ulee siis pisteiden (, ) ja ( 4,) autta. d) Kosa 4 aina, on suora pystysuora. 4,. Se leiaa -aselin pisteessä

30 Pyramidi Analyyttinen geometria tehtävien rataisut sivu 68 Päivitetty b) Suora l: 5y Kun, niin 5y 5y :( 5) y 4 Suora l leiaa y-aselin pisteessä (, 4). Kun y, niin 5 :,. Suora l leiaa -aselin pisteessä Valitaan oordinaatistossa -aselille pituusysiösi 5 ja y-aselille. Suora s: + 4y Kun, niin + 4y 4y : 4 y 5 Suora s leiaa y-aselin pisteessä (,5 ). Kun y, niin + 4 Suora s leiaa -aselin pisteessä (, ).

31 Pyramidi Analyyttinen geometria tehtävien rataisut sivu 69 Päivitetty a) + y y Kosa suoran yhtälö on muotoa y, niin suora ulee origon autta. Suoran join toinen piste saadaan antamalla :lle esimerisi arvo. Tällöin y ( ). Siis toinen piste on (, ). Suoran ja oordinaattiaselien leiauspisteet: : y + eli piste, y : + eli piste, b) y 7 4 : 7 y Määritetään asi suoran pistettä. c) 7 y (, y) 7, 7, 6 + y 9 y 9 6 : y + Vastaus Suorat ovat yhdensuuntaiset.

32 Pyramidi Analyyttinen geometria tehtävien rataisut sivu 7 Päivitetty Kosa tehtävässä on annettu äyrän tyyppi (suora), ei ole välttämätöntä esittää suoran yhtälöä rataistussa tai yleisessä muodossa, sillä suoran piirtämiseen riittää tuntea sen asi pistettä. Suoran yhtälö parametrimuodossa on t ( t R ) y t + 4 Suoran piirtämistä varten määritetään sen asi pistettä. Kun t, niin ja y 4 eli piste,4 Kun t, niin ja y 6 eli piste,6 Toinen tapa: Määritetään suoran yhtälö rataistussa muodossa eliminoimalla parametri t. t y t + 4 () t + sijoitetaan alempaan yhtälöön y t + 4 y ( + ) + 4 y y + 6 Piirretään suora saadun yhtälön y + 6 avulla. Kun, niin y 6 eli piste (,6 ). Kun y, niin,. eli piste

33 Pyramidi Analyyttinen geometria tehtävien rataisut sivu 7 Päivitetty Kosa tehtävässä ei ole ilmoitettu äyrän tyyppiä, ei äyrää voida piirtää antamalla t:lle arvoja. Esitetään parametrimuotoinen äyrän yhtälö yleisessä muodossa eliminoimalla parametri t. t + y 6t ( t R ) () t + t : t sijoitus yhtälöön y 6 y ( ) y y 5 : + y 5 y 5 Piste,5 y : Piste, Saatu yhtälö esittää suoraa. Lasetaan suoran ja oordinaattiaselien leiauspisteet.

34 Pyramidi Analyyttinen geometria tehtävien rataisut sivu 7 Päivitetty a) Poistetaan itseisarvomerit määritelmän muaan. y , un + 6 6, un + 6 < + 6, un 6 6, un < 6 + 6, un 6, un < ) Alue < Annetaan :lle arvoja < ja lasetaan vastaavat y:n arvot. Lisäsi annetaan :lle arvo, mutta sitä vastaava piste ei uulu uvaajaan y 6, <. ( ) ( ) ( ) y 6, y,, 4 6 4,6 b) Poistetaan itseisarvomerit määritelmän muaan. y + +, un +, un <, un, un > ) Alue Yhtälön y uvaajana on puolisuora, jona päätepisteenä on (, ). ) Alue Annetaan :lle arvoja ja lasetaan vastaavat y:n arvot y + 6 (, y) (,) (,) 6,6

35 Pyramidi Analyyttinen geometria tehtävien rataisut sivu 7 Päivitetty 9..6 ) Alue > Annetaan :lle arvoja, >, ja lasetaan vastaavat y:n arvot. Lisäsi annetaan :lle arvo, mutta sitä vastaava piste ei uulu uvaajaan y, >. y (, y) (,) (,) 5,5 y + ( ) +, un [ ( ) ] +, un < + +, un +, un < + 5, un, un < ) Alue < y, y Piste,,,,, ei uulu uvaajaan y, jossa <. c) + y y + Poistetaan itseisarvomerit määritelmän muaan. ) Alue y + 5, y Piste ( ), 4 4, 5 5, 7 7,, uuluu uvaajaan y + 5, jossa.

36 Pyramidi Analyyttinen geometria tehtävien rataisut sivu 74 Päivitetty 9..6 Kun y Siis, niin B, Oloon origo O. Lasetaan suoran ja oordinaattiaselien leiauspisteet A ja B. Kun, niin 4 5y 5y 6 6 y 5 6 Siis A, 5. Suoraulmaisen olmion ABO ateetit ovat 6 OA y 5 OB Kolmion ala on 6 OA OB ,9 m ( )

37 Pyramidi Analyyttinen geometria tehtävien rataisut sivu 75 Päivitetty Suora + y + y, Jos, ei muodostu olmiota. Leiausohta -aselilla: y A, Leiausohta y-aselilla: y B, Kerroin voi olla negatiivinen tai positiivinen. Kolmion sivujen pituudet ovat OA OB Kolmion OBA ala on, joten saadaan yhtälö OA OB. : ±

38 Pyramidi Analyyttinen geometria tehtävien rataisut sivu 76 Päivitetty 9..6 I Suoran yhtälö on + y+ ( ) y 6 45 Suoran yhtälö rataistussa muodossa on y + b y + b Oloon suoran ja -aselin leiauspiste A. II Suoran yhtälö on + y+ + y+ 6 Siis A ( b,) y : + b b Oloon suoran ja y-aselin leiauspiste B. : y + b b Vastaus + y+ 6 tai y 6 Siis B (, b) Kosa b> tai b<, saadaan asi tapausta: Kummassain tapausessa OA b ja OB b

39 Pyramidi Analyyttinen geometria tehtävien rataisut sivu 77 Päivitetty 9..6 Kolmion ala on 45 OA OB b b b Siis b 8 b 6 b ± 6 Suoran yhtälö on y + 6 tai y 6 + y 6 tai + y+ 6 Vastaus y + 6 tai y 6 Pisteen (, ) autta ulevan suoran yhtälö on y ( ) y + Tapausessa ei synny olmiota. Lasetaan suoran ja oordinaattiaselien leiauspisteet A ja B. : y + y + A, + Piste A on y : + Piste B on B,

40 Pyramidi Analyyttinen geometria tehtävien rataisut sivu 78 Päivitetty 9..6 Suoraulmaisen olmion OBA ateetit ovat OA + ja OB OA OB Kolmion pinta-ala on, joten saadaan yhtälö + 6 ( ) ± I 9 + 6, ( 6) ± ( 6) 4 ( 9) ( 9) 6± II Vastaus , 8 ± 8 4 ( 9) ( ) ( 9) 8 ± ± ± ± 8 6± 8 ± ± tai

41 Pyramidi Analyyttinen geometria tehtävien rataisut sivu 79 Päivitetty Oloon paine p ja syvyys s. Paine on suoraan verrannollinen syvyyteen, joten p s, on vaio p p, s s a) p s b) p s Rataistaan yhtälö y:n suhteen. a + by + c by a c ) Jos b, niin saadaan a c y b b Tämä suora on nouseva suora, jos a ja b ovat erimeriset. Tämä suora on laseva suora, jos a ja b ovat samanmeriset. Jos ehdon b lisäsi a, niin saadaan vaaasuora suora c y b Jos ehdon b lisäsi a ja c, saadaan origon autta uleva suora a y b ) Jos b, niin saadaan y a c a c Jos ehdon b lisäsi a, niin saadaan pystysuora suora c a

42 Pyramidi Analyyttinen geometria tehtävien rataisut sivu 8 Päivitetty 9..6 Jos ehdon b lisäsi a, niin c c Tällöin yhtälö a + by + c on aina tosi, joten yhtälön toteuttavat aii tason pisteet. Jos ehtojen b ja a lisäsi c, niin yhtälö a + by + c on aina epätosi. Siis yhtälöllä ei ole uvaajaa. Vastaus Yhtälön uvaaja on suora a c y, un b b b. Yhtälön uvaaja on suora c, un a ja b. a Yhtälöllä ei ole uvaajaa, un a, b ja c. Yhtälön uvaaja on oo y-taso, un a, b ja c.

1. Harjoituskoe. Harjoituskokeet. 1. a) Valitaan suorilta kaksi pistettä ja määritetään yhtälöt. Suora s: (x 1, y 1 ) = (0, 2) (x 2, y 2 ) = (1, 2)

1. Harjoituskoe. Harjoituskokeet. 1. a) Valitaan suorilta kaksi pistettä ja määritetään yhtälöt. Suora s: (x 1, y 1 ) = (0, 2) (x 2, y 2 ) = (1, 2) . Harjoitusoe. a) Valitaan suorilta asi pistettä ja määritetään yhtälöt. Suora s: (, y ) = (0, ) (, y ) = (, ) 0 0 0 Suoran yhtälö on y. Suora t: (, y ) = (0, ) (, y ) = (, ) ( ) 0 Suoran yhtälö on y.

Lisätiedot

Kertausosa. Kertausosa. 4. Sijoitetaan x = 2 ja y = 3 suoran yhtälöön. 1. a) Tosi Piste (2,3) on suoralla. Epätosi Piste (2, 3) ei ole suoralla. 5.

Kertausosa. Kertausosa. 4. Sijoitetaan x = 2 ja y = 3 suoran yhtälöön. 1. a) Tosi Piste (2,3) on suoralla. Epätosi Piste (2, 3) ei ole suoralla. 5. Kertausosa. Sijoitetaan ja y suoran yhtälöön.. a) d, ( ) ( ),0... d, ( 0 ( ) ) ( ) 0,9.... Kodin oordinaatit ovat (-,0;,0). Kodin ja oulun etäisyys d, (,0 0) (,0 0),0,...,0 (m) a) Tosi Piste (,) on suoralla.

Lisätiedot

b 4i j k ovat yhdensuuntaiset.

b 4i j k ovat yhdensuuntaiset. MAA5. 1 Koe 29.9.2012 Jussi Tyni Valitse 6 tehtävää! Muista tehdä pisteytysruuduo ensimmäisen onseptin yläreunaan! Perustele vastausesi välivaiheilla! 1. Oloon vetorit a 2i 6 j 3 ja b i 4 j 3 a) Määritä

Lisätiedot

Ylioppilastutkintolautakunta S tudentexamensnämnden

Ylioppilastutkintolautakunta S tudentexamensnämnden Ylioppilastutintolautaunta S tudenteamensnämnden MATEMATIIKAN KOE, PITKÄ OPPIMÄÄRÄ 0..0 HYVÄN VASTAUKSEN PIIRTEITÄ Alla oleva vastausten piirteiden ja sisältöjen luonnehdinta ei sido ylioppilastutintolautaunnan

Lisätiedot

Pyramidi 4 Analyyttinen geometria tehtävien ratkaisut sivu 180 Päivitetty Pyramidi 4 Luku Ensimmäinen julkaistu versio

Pyramidi 4 Analyyttinen geometria tehtävien ratkaisut sivu 180 Päivitetty Pyramidi 4 Luku Ensimmäinen julkaistu versio Pyramidi 4 Analyyttinen geometria tehtävien ratkaisut sivu 8 Päivitetty 7.5.6 Pyramidi 4 Luku 5..6 Ensimmäinen julkaistu versio 7.5.6 Korjattu tehtävän 56 vastaus Pyramidi 4 Analyyttinen geometria tehtävien

Lisätiedot

Tekijä Pitkä matematiikka

Tekijä Pitkä matematiikka K1 Tekijä Pitkä matematiikka 5 7..017 a) 1 1 + 1 = 4 + 1 = 3 = 3 4 4 4 4 4 4 b) 1 1 1 = 4 6 3 = 5 = 5 3 4 1 1 1 1 1 K a) Koska 3 = 9 < 10, niin 3 10 < 0. 3 10 = (3 10 ) = 10 3 b) Koska π 3,14, niin π

Lisätiedot

2.8 Mallintaminen ensimmäisen asteen polynomifunktion avulla

2.8 Mallintaminen ensimmäisen asteen polynomifunktion avulla MAB Matemaattisia malleja I.8. Mallintaminen ensimmäisen asteen.8 Mallintaminen ensimmäisen asteen polynomifuntion avulla Tutustutaan mallintamiseen esimerien autta. Esimeri.8. Määritä suoran yhtälö, un

Lisätiedot

( 3) ( 5) ( 7) ( 2) ( 6) ( 4) Pyramidi 3 Analyyttinen geometria tehtävien ratkaisut sivu 105 Päivitetty

( 3) ( 5) ( 7) ( 2) ( 6) ( 4) Pyramidi 3 Analyyttinen geometria tehtävien ratkaisut sivu 105 Päivitetty Pyramidi 3 Analyyttinen geometria tehtävien ratkaisut sivu 15 Päivitetty 19..6 31 Tapa 1 Ratkaistaan yhtälöryhmä käyttämällä sijoituskeinoa. x y+ z = x y + 3z = 3x 4y+ z = Ratkaistaan yhtälöstä (1) muuttuja

Lisätiedot

102 Käyrä. Piste ( 3,0 ) on käyrällä, jos ja vain jos sen koordinaatit. Siis piste ( 1, 2) Siis piste ( 3,0 ) ei ole käyrällä.

102 Käyrä. Piste ( 3,0 ) on käyrällä, jos ja vain jos sen koordinaatit. Siis piste ( 1, 2) Siis piste ( 3,0 ) ei ole käyrällä. Pramidi 4 Analttinen geometria tehtävien ratkaisut sivu 1 Päivitett 19..6 11 Todistus 1 Kärä x + = x + 4 5 3 31 = x x+ 4, jos ja vain jos pisteen 3,7 koordinaatit toteuttavat kärän htälön. Kun x = 3 ja

Lisätiedot

Kertausosa. 5. Merkitään sädettä kirjaimella r. Kaaren pituus on tällöin r a) sin = 0, , c) tan = 0,

Kertausosa. 5. Merkitään sädettä kirjaimella r. Kaaren pituus on tällöin r a) sin = 0, , c) tan = 0, Kertausosa. a),6 60 576 Peruuttaessa pyörähdyssuunta on vastapäivään. Kulma on siis,4 60 864 a) 576 864 0,88m. a) α b 0,6769... 0,68 (rad) r,m 8cm β,90...,9 (rad) 4cm a) α 0,68 (rad) β,9 (rad). a) 5,0

Lisätiedot

Tekijä Pitkä matematiikka

Tekijä Pitkä matematiikka Tekijä Pitkä matematiikka 5..017 110 Valitaan suoralta kaksi pistettä ja piirretään apukolmio, josta koordinaattien muutokset voidaan lukea. Vaakasuoran suoran kulmakerroin on nolla. y Suoran a kulmakerroin

Lisätiedot

Laudatur 4 MAA4 ratkaisut kertausharjoituksiin

Laudatur 4 MAA4 ratkaisut kertausharjoituksiin Laudatur MAA ratkaisut kertausharjoituksiin Yhtälöparit ja yhtälöryhmät 6. a) x y = 7 eli,y+, sijoitetaan alempaan yhtälöön x+ 7y = (, y+, ) + 7y =,y =, y = Sijoitetaan y = yhtälöparin ylempään yhtälöön.,

Lisätiedot

Joulukuun vaativammat valmennustehtävät ratkaisut

Joulukuun vaativammat valmennustehtävät ratkaisut Jouluuun vaativammat valmennustehtävät rataisut. Tapa. Pätee z = x + y, joten z = (x + y = x + y, josta sieventämällä seuraa xy 4x 4y + 4 = 0. Siispä (x (y =. Tästä yhtälöstä saadaan suoraan x =, y = 4

Lisätiedot

J1 (II.6.9) J2 (X.5.5) MATRIISILASKENTA(TFM) MALLIT AV 6

J1 (II.6.9) J2 (X.5.5) MATRIISILASKENTA(TFM) MALLIT AV 6 MATRIISILASKENTA(TFM) MALLIT AV 6 J (II.6.9) Päättele, että avaruusvetorit a, b ja c ovat lineaarisesti riippuvat täsmälleen un vetoreiden virittämän suuntaissärmiön tilavuus =. Tuti tällä riteerillä ovato

Lisätiedot

Tekijä Pitkä matematiikka b) Kuvasta nähdään, että b = i 4 j. c) Käytetään a- ja b-kohtien tuloksia ja muokataan lauseketta.

Tekijä Pitkä matematiikka b) Kuvasta nähdään, että b = i 4 j. c) Käytetään a- ja b-kohtien tuloksia ja muokataan lauseketta. Tekijä Pitkä matematiikka 4 9.1.016 79 a) Kuvasta nähdään, että a = 3i + j. b) Kuvasta nähdään, että b = i 4 j. c) Käytetään a- ja b-kohtien tuloksia ja muokataan lauseketta. 5a b = 5(3i + j) ( i 4 j)

Lisätiedot

Vanhoja koetehtäviä. Analyyttinen geometria 2016

Vanhoja koetehtäviä. Analyyttinen geometria 2016 Vanhoja koetehtäviä Analyyttinen geometria 016 1. Määritä luvun a arvo, kun piste (,3) on käyrällä a(3x + a) = (y - 1). Suora L kulkee pisteen (5,1) kautta ja on kohtisuorassa suoraa 6x + 7y - 19 = 0 vastaan.

Lisätiedot

Johdatus lukuteoriaan Harjoitus 1 syksy 2008 Eemeli Blåsten. Ratkaisuehdotelma

Johdatus lukuteoriaan Harjoitus 1 syksy 2008 Eemeli Blåsten. Ratkaisuehdotelma Johdatus luuteoriaan Harjoitus 1 ss 008 Eemeli Blåsten Rataisuehdotelma Tehtävä 1 Oloot a ja b positiivisia oonaisluuja. Osoita, että on olemassa siäsitteinen luu h ('luujen a ja b pienin hteinen jaettava',

Lisätiedot

Tehtävä 2 Todista luennoilla annettu kaava: jos lukujen n ja m alkulukuesitykset. ja m = k=1

Tehtävä 2 Todista luennoilla annettu kaava: jos lukujen n ja m alkulukuesitykset. ja m = k=1 Luuteoria Harjoitus 1 evät 2011 Alesis Kosi 1 Tehtävä 1 Näytä: jos a ja b ovat positiivisia oonaisluuja joille (a, b) = 1 ja a c, seä lisäsi b c, niin silloin ab c. Vastaus Kosa a c, niin jaollisuuden

Lisätiedot

Juuri 4 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty Julkaiseminen sallittu vain koulun suljetussa verkossa.

Juuri 4 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty Julkaiseminen sallittu vain koulun suljetussa verkossa. 4 Suora ja taso Ennakkotehtävät 1. a) Kappale kulkee yhdessä sekunnissa vektorin s, joten kahdessa sekunnissa kappale kulkee vektorin 2 s. Pisteestä A = ( 3, 5) päästään pisteeseen P, jossa kappale sijaitsee,

Lisätiedot

Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Ratkaisut 1. viikolle /

Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Ratkaisut 1. viikolle / MS-A8 Differentiaali- ja integraalilasenta, V/27 Differentiaali- ja integraalilasenta Rataisut. viiolle /. 3.4. Luujonot Tehtävä : Mitä ovat luujonon viisi ensimmäistä termiä, un luujono on a) (a n ) n=,

Lisätiedot

Tekijä Pitkä matematiikka Suoran pisteitä ovat esimerkiksi ( 5, 2), ( 2,1), (1, 0), (4, 1) ja ( 11, 4).

Tekijä Pitkä matematiikka Suoran pisteitä ovat esimerkiksi ( 5, 2), ( 2,1), (1, 0), (4, 1) ja ( 11, 4). Tekijä Pitkä matematiikka 4 9.12.2016 212 Suoran pisteitä ovat esimerkiksi ( 5, 2), ( 2,1), (1, 0), (4, 1) ja ( 11, 4). Vastaus esimerkiksi ( 5, 2), ( 2,1), (1, 0), (4, 1) ja ( 11, 4) 213 Merkitään pistettä

Lisätiedot

1. a) b) Nollakohdat: 20 = c) a b a b = + ( a b)( a + b) Derivaatan kuvaajan numero. 1 f x x x g x x x x. 3. a)

1. a) b) Nollakohdat: 20 = c) a b a b = + ( a b)( a + b) Derivaatan kuvaajan numero. 1 f x x x g x x x x. 3. a) Pitkä matematiikka YO-koe 9..04. a) b) 7( x ) + = x ( x ) x(5 8 x) > 0 7x + = x x + 8x + 5x > 0 7x = 0 Nollakohdat: 0 8x + 5x = 0 x = 7 x(8x 5) = 0 5 5 x = 0 tai x = Vastaus: 0 < x < 8 8 c) a+ b) a b)

Lisätiedot

Pyramidi 4 Analyyttinen geometria tehtävien ratkaisut sivu 352 Päivitetty Pyramidi 4 Luku Ensimmäinen julkaistu versio

Pyramidi 4 Analyyttinen geometria tehtävien ratkaisut sivu 352 Päivitetty Pyramidi 4 Luku Ensimmäinen julkaistu versio Pramidi 4 Analttinen geometria tehtävien ratkaisut sivu 5 Päivitett 9..7 Pramidi 4 Luku 8..6 Ensimmäinen julkaistu versio 7.5.6 Korjattu tehtävän 865 ratkaisua. 8..7 Korjattu tehtävässä 85 luku 5 luvuksi

Lisätiedot

Yhtälön oikealla puolella on säteen neliö, joten r. = 5 eli r = ± 5. Koska säde on positiivinen, niin r = 5.

Yhtälön oikealla puolella on säteen neliö, joten r. = 5 eli r = ± 5. Koska säde on positiivinen, niin r = 5. Tekijä Pitkä matematiikka 5 7..017 31 Kirjoitetaan yhtälö keskipistemuotoon ( x x ) + ( y y ) = r. 0 0 a) ( x 4) + ( y 1) = 49 Yhtälön vasemmalta puolelta nähdään, että x 0 = 4 ja y 0 = 1, joten ympyrän

Lisätiedot

2 Pistejoukko koordinaatistossa

2 Pistejoukko koordinaatistossa Pistejoukko koordinaatistossa Ennakkotehtävät 1. a) Esimerkiksi: b) Pisteet sijaitsevat pystysuoralla suoralla, joka leikkaa x-akselin kohdassa x =. c) Yhtälö on x =. d) Sijoitetaan joitain ehdon toteuttavia

Lisätiedot

4.1 Kaksi pistettä määrää suoran

4.1 Kaksi pistettä määrää suoran 4.1 Kaksi pistettä määrää suoran Kerrataan aluksi kurssin MAA1 tietoja. Geometrisesti on selvää, että tason suora on täysin määrätty, kun tunnetaan sen kaksi pistettä. Joskus voi tulla vastaan tilanne,

Lisätiedot

Kahden suoran leikkauspiste ja välinen kulma (suoraparvia)

Kahden suoran leikkauspiste ja välinen kulma (suoraparvia) Kahden suoran leikkauspiste ja välinen kulma (suoraparvia) Piste x 0, y 0 on suoralla, jos sen koordinaatit toteuttavat suoran yhtälön. Esimerkki Olkoon suora 2x + y + 8 = 0 y = 2x 8. Piste 5,2 ei ole

Lisätiedot

JOHDATUS LUKUTEORIAAN (syksy 2017) HARJOITUS 1, MALLIRATKAISUT

JOHDATUS LUKUTEORIAAN (syksy 2017) HARJOITUS 1, MALLIRATKAISUT JOHDATUS LUKUTEORIAAN (sysy 2017) HARJOITUS 1, MALLIRATKAISUT Tehtävä 1. (i) Etsi luvun 111312 aii teijät. (ii) Oloot a ja b positiivisia oonaisluuja joilla a b ja b a. Osoita, että silloin a = b. Rataisu

Lisätiedot

5.3 Suoran ja toisen asteen käyrän yhteiset pisteet

5.3 Suoran ja toisen asteen käyrän yhteiset pisteet .3 Suoran ja toisen asteen käyrän yhteiset pisteet Tämän asian taustana on ratkaista sellainen yhtälöpari, missä yhtälöistä toinen on ensiasteinen ja toinen toista astetta. Tällainen pari ratkeaa aina

Lisätiedot

0, niin vektorit eivät ole kohtisuorassa toisiaan vastaan.

0, niin vektorit eivät ole kohtisuorassa toisiaan vastaan. Tekijä Pitkä matematiikka 4 9.1.016 168 a) Lasketaan vektorien a ja b pistetulo. a b = (3i + 5 j) (7i 3 j) = 3 7 + 5 ( 3) = 1 15 = 6 Koska pistetulo a b 0, niin vektorit eivät ole kohtisuorassa toisiaan

Lisätiedot

1 Ensimmäisen asteen polynomifunktio

1 Ensimmäisen asteen polynomifunktio Ensimmäisen asteen polynomifunktio ENNAKKOTEHTÄVÄT. a) f(x) = x 4 b) Nollakohdassa funktio f saa arvon nolla eli kuvaaja kohtaa x-akselin. Kuvaajan perusteella funktion nollakohta on x,. c) Funktion f

Lisätiedot

Tekijä Pitkä matematiikka Poistetaan yhtälöparista muuttuja s ja ratkaistaan muuttuja r.

Tekijä Pitkä matematiikka Poistetaan yhtälöparista muuttuja s ja ratkaistaan muuttuja r. Tekijä Pitkä matematiikka 4 16.12.2016 K1 Poistetaan yhtälöparista muuttuja s ja ratkaistaan muuttuja r. 3 r s = 0 4 r+ 4s = 2 12r 4s = 0 + r+ 4s = 2 13 r = 2 r = 2 13 2 Sijoitetaan r = esimerkiksi yhtälöparin

Lisätiedot

Juuri 5 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty Julkaiseminen sallittu vain koulun suljetussa verkossa.

Juuri 5 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty Julkaiseminen sallittu vain koulun suljetussa verkossa. Suora Juuri Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty 9..07 Ennakkotehtävät. a) Kumpaankin hintaan sisältyy perusmaksu ja minuuttikohtainen maksu. Hintojen erotus on kokonaan minuuttikohtaista

Lisätiedot

Laudatur 5 MAA5 ratkaisut kertausharjoituksiin. Peruskäsitteitä 282. Vastaus: CA = a b, = BA + AC BA = BC AC = AC CB. Vastaus: DC = AC BC

Laudatur 5 MAA5 ratkaisut kertausharjoituksiin. Peruskäsitteitä 282. Vastaus: CA = a b, = BA + AC BA = BC AC = AC CB. Vastaus: DC = AC BC Laudatur 5 MAA5 ratkaisut kertausharjoituksiin Peruskäsitteitä 8. CA CB + BA BC AB b a a b DA DB + BA ( BC) + ( AB) b a a b Vastaus: CA a b, DA a b 8. DC DA + AC BA + AC BA BC AC ( BC AC ) + AC AC CB Vastaus:

Lisätiedot

Paraabeli suuntaisia suoria.

Paraabeli suuntaisia suoria. 15.5.017 Paraabeli Määritelmä, Paraabeli: Paraabeli on tason niiden pisteiden ura, jotka ovat yhtä etäällä annetusta suorasta, johtosuorasta ja sen ulkopuolella olevasta pisteestä, polttopisteestä. Esimerkki

Lisätiedot

Tekijä Pitkä matematiikka Pisteen (x, y) etäisyys pisteestä (0, 2) on ( x 0) Pisteen (x, y) etäisyys x-akselista, eli suorasta y = 0 on y.

Tekijä Pitkä matematiikka Pisteen (x, y) etäisyys pisteestä (0, 2) on ( x 0) Pisteen (x, y) etäisyys x-akselista, eli suorasta y = 0 on y. Tekijä Pitkä matematiikka 5 7..017 37 Pisteen (x, y) etäisyys pisteestä (0, ) on ( x 0) + ( y ). Pisteen (x, y) etäisyys x-akselista, eli suorasta y = 0 on y. Merkitään etäisyydet yhtä suuriksi ja ratkaistaan

Lisätiedot

Piste ja jana koordinaatistossa

Piste ja jana koordinaatistossa 607 Piste ja jana koordinaatistossa ANALYYTTINEN GEOMETRIA MAA5 Kertausta kurssi Eri asioiden välisten riippuvuuksien havainnollistamiseen kätetään usein koordinaatistoesitstä Pstakselilla riippuvan muuttujan

Lisätiedot

Hanoin tornit. Merkitään a n :llä pienintä tarvittavaa määrää siirtoja n:lle kiekolle. Tietysti a 1 = 1. Helposti nähdään myös, että a 2 = 3:

Hanoin tornit. Merkitään a n :llä pienintä tarvittavaa määrää siirtoja n:lle kiekolle. Tietysti a 1 = 1. Helposti nähdään myös, että a 2 = 3: Hanoin tornit Oloot n ieoa asetettu olmeen tanoon uvan osoittamalla tavalla (uvassa n = 7). Siirtämällä yhtä ieoa errallaan, ieot on asetettava toiseen tanoon samaan järjestyseen. Isompaa ieoa ei missään

Lisätiedot

Suorien ja tasojen geometriaa Suorien ja tasojen yhtälöt

Suorien ja tasojen geometriaa Suorien ja tasojen yhtälöt 6. Suorien tasojen geometriaa 6.1. Suorien tasojen yhtälöt 55. Osoita, että yhtälöt x = 3 + τ y = 1 3τ esittävät samaa tason suoraa. Yhteinen piste 1,5) suunta i 3j. x = 1 6τ y = 5 + 9τ 56. Määritä suoran

Lisätiedot

203 Asetetaan neliöt tasoon niin, että niiden keskipisteet yhtyvät ja eräiden sivujen välille muodostuu 45 kulma.

203 Asetetaan neliöt tasoon niin, että niiden keskipisteet yhtyvät ja eräiden sivujen välille muodostuu 45 kulma. Pyramidi 3 Geometria tehtävien ratkaisut sivu 1 201 202 Saadaan tapaukset 1) Tason suorat l ja m voivat olla yhdensuuntaiset, mutta eri suorat, jolloin niillä ei ole yhteisiä pisteitä. l a) A B C A B C

Lisätiedot

2 Raja-arvo ja jatkuvuus

2 Raja-arvo ja jatkuvuus Juuri 6 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty 5.7.6 Raja-arvo ja jatkuvuus. a) Kun suorakulmion kärki on kohdassa =, on suorakulmion kannan pituus. Suorakulmion korkeus on käyrän y-koordinaatti

Lisätiedot

Juuri 6 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty Vastaus: Määrittelyehto on x 1 ja nollakohta x = 1.

Juuri 6 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty Vastaus: Määrittelyehto on x 1 ja nollakohta x = 1. Juuri 6 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty 4..6 Kokoavia tehtäviä ILMAN TEKNISIÄ APUVÄLINEITÄ. a) Funktion f( ) = määrittelyehto on +, eli. + Ratkaistaan funktion nollakohdat. f(

Lisätiedot

( ) ( ) ( ) ( ( ) Pyramidi 4 Analyyttinen geometria tehtävien ratkaisut sivu 271 Päivitetty 19.2.2006. 701 a) = keskipistemuoto.

( ) ( ) ( ) ( ( ) Pyramidi 4 Analyyttinen geometria tehtävien ratkaisut sivu 271 Päivitetty 19.2.2006. 701 a) = keskipistemuoto. Pyramidi Analyyttinen geometria tehtävien ratkaisut sivu 7 Päivitetty 9..6 7 a) + y = 7 + y = 7 keskipistemuoto + y 7 = normaalimuoto Vastaus a) + y = ( 7 ) + y 7= b) + y+ 5 = 6 y y + + = b) c) ( ) + y

Lisätiedot

Maksimit ja minimit 1/5 Sisältö ESITIEDOT: reaalifunktiot, derivaatta

Maksimit ja minimit 1/5 Sisältö ESITIEDOT: reaalifunktiot, derivaatta Maksimit ja minimit 1/5 Sisältö Funktion kasvavuus ja vähenevyys; paikalliset ääriarvot Jos derivoituvan reaalifunktion f derivaatta tietyssä pisteessä on positiivinen, f (x 0 ) > 0, niin funktion tangentti

Lisätiedot

x 5 15 x 25 10x 40 11x x y 36 y sijoitus jompaankumpaan yhtälöön : b)

x 5 15 x 25 10x 40 11x x y 36 y sijoitus jompaankumpaan yhtälöön : b) MAA4 ratkaisut. 5 a) Itseisarvon vastauksen pitää olla aina positiivinen, joten määritelty kun 5 0 5 5 tai ( ) 5 5 5 5 0 5 5 5 5 0 5 5 0 0 9 5 9 40 5 5 5 5 0 40 5 Jälkimmäinen vastaus ei toimi määrittelyjoukon

Lisätiedot

RATKAISUT a + b 2c = a + b 2 ab = ( a ) 2 2 ab + ( b ) 2 = ( a b ) 2 > 0, koska a b oletuksen perusteella. Väite on todistettu.

RATKAISUT a + b 2c = a + b 2 ab = ( a ) 2 2 ab + ( b ) 2 = ( a b ) 2 > 0, koska a b oletuksen perusteella. Väite on todistettu. RATKAISUT 198 197 198. Olkoon suorakulmion erisuuntaisten sivujen pituudet a ja b sekä neliön sivun pituus c. Tehtävä on mielekäs vain, jos suorakulmio ei ole neliö, joten oletetaan, että a b. Suorakulmion

Lisätiedot

Juuri 7 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty c) sin 50 = sin ( ) = sin 130 = 0,77

Juuri 7 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty c) sin 50 = sin ( ) = sin 130 = 0,77 Juuri 7 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty.5.07 Kertaus K. a) sin 0 = 0,77 b) cos ( 0 ) = cos 0 = 0,6 c) sin 50 = sin (80 50 ) = sin 0 = 0,77 d) tan 0 = tan (0 80 ) = tan 0 =,9 e)

Lisätiedot

KERTAUSHARJOITUKSIA. 1. Rationaalifunktio a) ( ) 2 ( ) Vastaus: a) = = 267. a) a b) a. Vastaus: a) a a a a 268.

KERTAUSHARJOITUKSIA. 1. Rationaalifunktio a) ( ) 2 ( ) Vastaus: a) = = 267. a) a b) a. Vastaus: a) a a a a 268. KERTAUSHARJOITUKSIA. Rationaalifunktio 66. a) b) + + + = + + = 9 9 5) ( ) ( ) 9 5 9 5 9 5 5 9 5 = = ( ) = 6 + 9 5 6 5 5 Vastaus: a) 67. a) b) a a) a 9 b) a+ a a = = a + a + a a + a a + a a ( a ) + = a

Lisätiedot

Laudatur 2 MAA2 ratkaisut kertausharjoituksiin. 1. Polynomit 332.

Laudatur 2 MAA2 ratkaisut kertausharjoituksiin. 1. Polynomit 332. Laudatur MAA ratkaisut kertausharjoituksiin. Polynomit. Vakiotermi 8 Kolmannen asteen termin kerroin, 5 8 = 9, Neljännen asteen termi n kerroin, 8 9, = 7,6 Kysytty polynomi P(a) = 7,6a + 9,a +a + ya +

Lisätiedot

Laudatur 7. Opettajan aineisto. Derivaatta MAA 7. Tarmo Hautajärvi Jukka Ottelin Leena Wallin-Jaakkola. Helsingissä Kustannusosakeyhtiö Otava

Laudatur 7. Opettajan aineisto. Derivaatta MAA 7. Tarmo Hautajärvi Jukka Ottelin Leena Wallin-Jaakkola. Helsingissä Kustannusosakeyhtiö Otava Laudatur 7 Derivaatta MAA 7 Tarmo Hautajärvi Jukka Ottelin Leena Wallin-Jaakkola Opettajan aineisto Helsingissä Kustannusosakeyhtiö Otava SISÄLLYS Ratkaisut kirjan tehtäviin... Kokeita...57 Otavan asiakaspalvelu

Lisätiedot

origo III neljännes D

origo III neljännes D Sijoita pisteet A(1,4) ja B(4,5;5) sekä C(-3,4) ja D(-4,--5) y II neljännes C A I neljännes B x origo III neljännes D IV neljännes KOTIT. Sijoita ja nimeä koordinaatistoon pisteitä niin, että pisteet yhdistettäessä

Lisätiedot

Kertaus. x x x. K1. a) b) x 5 x 6 = x 5 6 = x 1 = 1 x, x 0. K2. a) a a a a, a > 0

Kertaus. x x x. K1. a) b) x 5 x 6 = x 5 6 = x 1 = 1 x, x 0. K2. a) a a a a, a > 0 Juuri 8 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty 8.9.07 Kertaus K. a) 6 4 64 0, 0 0 0 0 b) 5 6 = 5 6 = =, 0 c) d) K. a) b) c) d) 4 4 4 7 4 ( ) 7 7 7 7 87 56 7 7 7 6 6 a a a, a > 0 6 6 a

Lisätiedot

Suora 1/5 Sisältö ESITIEDOT: vektori, koordinaatistot, piste

Suora 1/5 Sisältö ESITIEDOT: vektori, koordinaatistot, piste Suora 1/5 Sisältö KATSO MYÖS:, vektorialgebra, geometriset probleemat, taso Suora geometrisena peruskäsitteenä Pisteen ohella suora on geometrinen peruskäsite, jota varsinaisesti ei määritellä. Alkeisgeometriassa

Lisätiedot

c) Määritä paraabelin yhtälö, kun tiedetään, että sen huippu on y-akselilla korkeudella 6 ja sen nollakohdat ovat x-akselin kohdissa x=-2 ja x=2.

c) Määritä paraabelin yhtälö, kun tiedetään, että sen huippu on y-akselilla korkeudella 6 ja sen nollakohdat ovat x-akselin kohdissa x=-2 ja x=2. MAA4 Koe 5.5.01 Jussi Tyni Kaikkiin tehtäviin ratkaisujen välivaiheet näkyviin! Ota kokeesta poistuessasi tämä paperi mukaasi! Tee konseptiin pisteytysruudukko! Muista kirjata nimesi ja ryhmäsi. Valitse

Lisätiedot

9 Lukumäärien laskemisesta

9 Lukumäärien laskemisesta 9 Luumäärie lasemisesta 9 Biomiertoimet ja osajouoje luumäärä Määritelmä 9 Oletetaa, että, N Biomierroi ilmaisee, uia mota -alioista osajouoa o sellaisella jouolla, jossa o aliota Meritä luetaa yli Lasimesta

Lisätiedot

yleisessä muodossa x y ax by c 0. 6p

yleisessä muodossa x y ax by c 0. 6p MAA..0 Muista kirjoittaa jokaiseen paperiin nimesi! Tee vastauspaperin yläreunaan pisteytysruudukko! Valitse kuusi tehtävää! Perustele vastauksesi välivaiheilla! Jussi Tyni Ratkaise: a) x x b) xy x 6y

Lisätiedot

2 Taylor-polynomit ja -sarjat

2 Taylor-polynomit ja -sarjat 2 Taylor-polynomit ja -sarjat 2. Taylor-polynomi Taylor-polynomi P n (x; x 0 ) funtion paras n-asteinen polynomiapprosimaatio (derivoinnin annalta) pisteen x 0 lähellä. Maclaurin-polynomi: tapaus x 0 0.

Lisätiedot

a) Arkistokatu ja Maaherrankatu ovat yhdensuuntaiset. Väite siis pitää paikkansa.

a) Arkistokatu ja Maaherrankatu ovat yhdensuuntaiset. Väite siis pitää paikkansa. Tekijä MAA3 Geometria 14.8.2016 1 a) Arkistokatu ja Maaherrankatu ovat yhdensuuntaiset. Väite siis pitää paikkansa. b) Pirttiniemenkatu ja Tenholankatu eivät ole yhdensuuntaisia. Väite ei siis pidä paikkaansa.

Lisätiedot

Juuri 4 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty Kertaus. b) B = (3, 0, 5) K2. ( )

Juuri 4 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty Kertaus. b) B = (3, 0, 5) K2. ( ) Kertaus K1. a) OA =- i + j + k K. b) B = (, 0, 5) K. a) AB = (6 -(- )) i + ( - ) j + (- -(- 7)) k = 8i - j + 4k AB = 8 + (- 1) + 4 = 64+ 1+ 16 = 81= 9 b) 1 1 ( ) AB = (--(- 1)) i + - - 1 j =-i - 4j AB

Lisätiedot

MAA4 Abittikokeen vastaukset ja perusteluja 1. Määritä kuvassa olevien suorien s ja t yhtälöt. Suoran s yhtälö on = ja suoran t yhtälö on = + 2. Onko väittämä oikein vai väärin? 2.1 Suorat =5 +2 ja =5

Lisätiedot

Vastaukset 1. A = (-4,3) B = (6,1) C = (4,8) D = (-7,-1) E = (-1,0) F = (3,-3) G = (7,-9) 3. tämä on ihan helppoa

Vastaukset 1. A = (-4,3) B = (6,1) C = (4,8) D = (-7,-1) E = (-1,0) F = (3,-3) G = (7,-9) 3. tämä on ihan helppoa Vastaukset 1. A = (4,3) B = (6,1) C = (4,8) D = (7,1) E = (1,0) F = (3,3) G = (7,9) 2. 3. tämä on ihan helppoa 4. 5. a) (0, 0) b) Kolmannessa c) Ensimmäisessä d) toisessa ja neljännessä 117 6. 7. 8. esimerkiksi

Lisätiedot

Tekijä Pitkä matematiikka On osoitettava, että jana DE sivun AB kanssa yhdensuuntainen ja sen pituus on 4 5

Tekijä Pitkä matematiikka On osoitettava, että jana DE sivun AB kanssa yhdensuuntainen ja sen pituus on 4 5 Tekijä Pitkä matematiikka 6..06 8 On osoitettava, että jana DE sivun AB kanssa yhdensuuntainen ja sen pituus on 5 sivun AB pituudesta. Pitää siis osoittaa, että DE = AB. 5 Muodostetaan vektori DE. DE =

Lisätiedot

1 Kompleksitason geometriaa ja topologiaa

1 Kompleksitason geometriaa ja topologiaa 1 Kompleksitason geometriaa ja topologiaa Tavallisessa analyyttisessä geometriassa käyrien yhtälöt esitetään x-koordinaattien ja y-koordinaattien avulla, esimerkiksi y = 1 x esittää tasasivuista hyperbeliä,

Lisätiedot

Ensimmäisen asteen polynomifunktio

Ensimmäisen asteen polynomifunktio Ensimmäisen asteen polnomifunktio Yhtälön f = a+ b, a 0 määrittelemää funktiota sanotaan ensimmäisen asteen polnomifunktioksi. Esimerkki. Ensimmäisen asteen polnomifuktioita ovat esimerkiksi f = 3 7, v()

Lisätiedot

2) Kaksi lentokonetta lähestyy toisiaan samalla korkeudella kuvan osoittamalla tavalla. Millä korkeudella ja kuinka kaukana toisistaan ne ovat?

2) Kaksi lentokonetta lähestyy toisiaan samalla korkeudella kuvan osoittamalla tavalla. Millä korkeudella ja kuinka kaukana toisistaan ne ovat? 2..207 Määritelmä, (terävän kulman) trigonometriset funktiot: Suorakulmaisessa kolmiossa terävän kulman trigonometriset funktiot ovat: kulman sini hpotenuusa sin a c kulman kosini hpotenuusa kulman tangentti

Lisätiedot

DEE Lineaariset järjestelmät Harjoitus 2, ratkaisuehdotukset. Johdanto differenssiyhtälöiden ratkaisemiseen

DEE Lineaariset järjestelmät Harjoitus 2, ratkaisuehdotukset. Johdanto differenssiyhtälöiden ratkaisemiseen D-00 Lineaariset järjestelmät Harjoitus, rataisuehdotuset Johdanto differenssiyhtälöiden rataisemiseen Differenssiyhtälöillä uvataan disreettiaiaisten järjestelmien toimintaa. Disreettiaiainen taroittaa

Lisätiedot

Suoran yhtälöt. Suoran ratkaistu ja yleinen muoto: Suoran yhtälö ratkaistussa, eli eksplisiittisessä muodossa, on

Suoran yhtälöt. Suoran ratkaistu ja yleinen muoto: Suoran yhtälö ratkaistussa, eli eksplisiittisessä muodossa, on Suoran htälöt Suoran ratkaistu ja leinen muoto: Suoran htälö ratkaistussa, eli eksplisiittisessä muodossa, on ANALYYTTINEN GEOMETRIA MAA5 = k + b, tai = a missä vakiotermi b ilmoittaa suoran ja -akselin

Lisätiedot

2 Kuvioita ja kappaleita

2 Kuvioita ja kappaleita Kuvioita ja kappaleita.1 Suorakulmaisen kolmion geometriaa 97. a) Kolmion kateettien pituudet ovat 5 ja 39. Hypotenuusan pituutta on merkitty kirjaimella. Sijoitetaan arvot Pythagoraan lauseeseen. 5 (

Lisätiedot

l 1 2l + 1, c) 100 l=0

l 1 2l + 1, c) 100 l=0 MATEMATIIKAN PERUSKURSSI I Harjoitustehtäviä syksy 5. Millä reaaliluvun arvoilla a) 9 =, b) 5 + 5 +, e) 5?. Kirjoita Σ-merkkiä käyttäen summat 4, a) + + 5 + + 99, b) 5 + 4 65 + + n 5 n, c)

Lisätiedot

a b c d

a b c d .. ÄÙ ÓÒ Ñ Ø Ñ Ø ÐÔ ÐÙÒ Ð Ù ÐÔ ÐÙÒ Ö Ø ÙØ 202 È ÖÙ Ö Ò ÑÓÒ Ú Ð ÒØ Ø ØĐ ÚĐ Ø a b c d. + + 2.. 4. 5. 6. + + + + + + + + + + P. Koska massojen suhteet (alkuperäinen timantti mukaan lukien) ovat : 4 : 7, niin

Lisätiedot

3 TOISEN ASTEEN POLYNOMIFUNKTIO

3 TOISEN ASTEEN POLYNOMIFUNKTIO 3 TOISEN ASTEEN POLYNOMIFUNKTIO POHDITTAVAA 1. Kuvasta voidaan arvioida, että frisbeegolfkiekko käy noin 9 metrin korkeudella ja se lentää noin 40 metrin päähän. Vastaus: Frisbeegolfkiekko käy n. 9 m:n

Lisätiedot

Hilbertin aksioomat ja tarvittavat määritelmät Tiivistelmä Geometria-luentomonisteesta Heikki Pitkänen

Hilbertin aksioomat ja tarvittavat määritelmät Tiivistelmä Geometria-luentomonisteesta Heikki Pitkänen Hilbertin aksioomat ja tarvittavat määritelmät Tiivistelmä Geometria-luentomonisteesta Heikki Pitkänen 1. Hilbertin aksioomat 1-3 Oletetaan tunnetuiksi peruskäsitteet: piste, suora ja suora kulkee pisteen

Lisätiedot

Lukion. Calculus. Analyyttinen geometria. Paavo Jäppinen Alpo Kupiainen Matti Räsänen Otava PIKATESTIN JA KERTAUSKOKEIDEN TEHTÄVÄT RATKAISUINEEN

Lukion. Calculus. Analyyttinen geometria. Paavo Jäppinen Alpo Kupiainen Matti Räsänen Otava PIKATESTIN JA KERTAUSKOKEIDEN TEHTÄVÄT RATKAISUINEEN Calculus Lukion MAA Analttinen geometria Paavo Jäppinen Alpo Kupiainen Matti Räsänen Otava PIKATESTIN JA KERTAUSKOKEIDEN TEHTÄVÄT RATKAISUINEEN Analttinen geometria (MAA) Pikatesti ja Kertauskokeet Tehtävien

Lisätiedot

Mb8 Koe Kuopion Lyseon lukio (KK) sivu 1/3

Mb8 Koe Kuopion Lyseon lukio (KK) sivu 1/3 Mb8 Koe 4.11.015 Kuopion Lyseon lukio (KK) sivu 1/3 Kokeessa on kaksi osaa. Osa A ratkaistaan tehtäväpaperille ja osa B ratkaistaan konseptipaperille. Osa A: saat käyttää taulukkokirjaa mutta et laskinta.

Lisätiedot

5 Rationaalifunktion kulku

5 Rationaalifunktion kulku Juuri 6 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty 5.7.06 5 Rationaalifunktion kulku. Funktion f määrittelyehto on. Muodostetaan symbolisen laskennan ohjelman avulla derivaattafunktio f ja

Lisätiedot

Vastaukset. 8.7 Polynomilaskennan kertausta. 1. 2k + 3p + 3k + 4p = 5k + 7p. 2. x + x + x = 3x 1 x = x x x = x 2 x x x = x 3

Vastaukset. 8.7 Polynomilaskennan kertausta. 1. 2k + 3p + 3k + 4p = 5k + 7p. 2. x + x + x = 3x 1 x = x x x = x 2 x x x = x 3 Vastaukset 8.7 Polynomilaskennan kertausta 1. k + 3p + 3k + 4p = 5k + 7p. x + x + x = 3x 1 x = x x x = x x x x = x 3 3. a) 4x + (+6x) = 4x + 6x = 10x b) 4x + ( 6x) = 4x 6x = x c) 4x (+6x) = 4x 6x = x d)

Lisätiedot

1 ENSIMMÄISEN ASTEEN POLYNOMIFUNKTIO

1 ENSIMMÄISEN ASTEEN POLYNOMIFUNKTIO 1 ENSIMMÄISEN ASTEEN POLYNOMIFUNKTIO POHDITTAVAA 1. Lämpötila maanpinnalla nähdään suoran ja y-akselin leikkauspisteen y- koordinaatista, joka on noin 10. Kun syvyys on 15 km, nähdään suoralta, että lämpötila

Lisätiedot

l 1 2l + 1, c) 100 l=0 AB 3AC ja AB AC sekä vektoreiden AB ja

l 1 2l + 1, c) 100 l=0 AB 3AC ja AB AC sekä vektoreiden AB ja MATEMATIIKAN PERUSKURSSI I Harjoitustehtäviä syksy 7. Millä reaaliluvun arvoilla a) 9 =, b) + 5 + +, e) 5?. Kirjoita Σ-merkkiä käyttäen summat 4, a) + + 5 + + 99, b) 5 + 4 65 + + n 5 n, c) +

Lisätiedot

MAA7 Kurssikoe Jussi Tyni Tee B-osion konseptiin pisteytysruudukko! Kaikkiin tehtäviin välivaiheet näkyviin! Laske huolellisesti!

MAA7 Kurssikoe Jussi Tyni Tee B-osion konseptiin pisteytysruudukko! Kaikkiin tehtäviin välivaiheet näkyviin! Laske huolellisesti! A-osio: ilman laskinta. MAOLia saa käyttää. Laske kaikki tehtävistä 1-. 1. a) Derivoi funktio f(x) = x (4x x) b) Osoita välivaiheiden avulla, että seuraava raja-arvo -lauseke on tosi tai epätosi: x lim

Lisätiedot

Ota tämä paperi mukaan, merkkaa siihen omat vastauksesi ja tarkista oikeat vastaukset klo 11:30 jälkeen osoitteesta

Ota tämä paperi mukaan, merkkaa siihen omat vastauksesi ja tarkista oikeat vastaukset klo 11:30 jälkeen osoitteesta MAA5.2 Loppukoe 26.9.2012 Jussi Tyni Valitse 6 tehtävää Muista merkitä vastauspaperiin oma nimesi ja tee etusivulle pisteytysruudukko Kaikkiin tehtävien ratkaisuihin välivaiheet näkyviin! 1. Olkoon vektorit

Lisätiedot

MAA4 - HARJOITUKSIA. 1. Esitä lauseke 3 x + 2x 4 ilman itseisarvomerkkejä. 3. Ratkaise yhtälö 2 x 7 3 + 4x = 2 (yksi ratkaisu, eräs neg. kokon.

MAA4 - HARJOITUKSIA. 1. Esitä lauseke 3 x + 2x 4 ilman itseisarvomerkkejä. 3. Ratkaise yhtälö 2 x 7 3 + 4x = 2 (yksi ratkaisu, eräs neg. kokon. MAA4 - HARJOITUKSIA 1. Esitä lauseke 3 + 4 ilman itseisarvomerkkejä.. Ratkaise yhtälö a ) 5 9 = 6 b) 6 9 = 0 c) 7 9 + 6 = 0 3. Ratkaise yhtälö 7 3 + 4 = (yksi ratkaisu, eräs neg. kokon. luku) 4. Ratkaise

Lisätiedot

Ympyrän yhtälö

Ympyrän yhtälö Ympyrän yhtälö ANALYYTTINEN GEOMETRIA MAA4 On melko selvää, että origokeskisen ja r-säteisen ympyrän yhtälö voidaan esittää muodossa x 2 + y 2 = r 2. Vastaavalla tavalla muodostetaan ympyrän yhtälö, jonka

Lisätiedot

joissa on 0 4 oikeata vastausta. Laskimet eivät ole sallittuja.

joissa on 0 4 oikeata vastausta. Laskimet eivät ole sallittuja. ÄÙ ÓÒ Ñ Ø Ñ Ø ÐÔ ÐÙÒ Ð Ù ÐÔ ÐÙÒ Ô ÖÙ Ö Tehtäviä on kahdella sivulla; kuusi ensimmäistä tehtävää on monivalintatehtäviä, joissa on 0 4 oikeata vastausta. Laskimet eivät ole sallittuja. 1. Kauppias on ostanut

Lisätiedot

Lukuväleistä. MB 3 Funktio. -2 < x < 5 tai ]-2,5] x < 3 tai ]-,3]

Lukuväleistä. MB 3 Funktio. -2 < x < 5 tai ]-2,5] x < 3 tai ]-,3] Lukuväleistä MB Funktio - < < tai ]-,] < tai ]-,] Yksikäsitteisyys Täytyy tuntea/arvata tyyppi T 0. (sivu ) f() = a) f () = = 9 = 4 T 0. (sivu ) T 0. (sivu ) f() = f() = b) f(k) = k c) f(t + ) = (t + )

Lisätiedot

Juuri 4 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty Kertaus. b) B = (3, 0, 5) K2. 8 ( 1)

Juuri 4 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty Kertaus. b) B = (3, 0, 5) K2. 8 ( 1) Kertaus K1. a) OA i k b) B = (, 0, 5) K. K. a) AB (6 ( )) i () ( ( 7)) k 8i 4k AB 8 ( 1) 4 64116 819 b) 1 1 AB( ( 1)) i 1 i 4 AB ( ) ( 4) 416 0 45 5 K4. a) AB AO OB OA OB ( i ) i i i 5i b) Pisteen A paikkavektori

Lisätiedot

4.3 Kehäkulma. Keskuskulma

4.3 Kehäkulma. Keskuskulma 4.3 Kehäkulma. Keskuskulma Sellaista kulmaa, jonka kärki on ympyrän kehällä ja kumpikin kylki leikkaa (rajatapauksessa sivuaa) ympyrän kehää, sanotaan kehäkulmaksi, ja sitä vastaavan keskuskulman kyljet

Lisätiedot

y=-3x+2 y=2x-3 y=3x+2 x = = 6

y=-3x+2 y=2x-3 y=3x+2 x = = 6 MAA Koe, Arto Hekkanen ja Jussi Tyni 5.5.015 Loppukoe LASKE ILMAN LASKINTA. 1. Yhdistä kuvaaja ja sen yhtälö a) 3 b) 1 c) 5 d) Suoran yhtälö 1) y=3x ) 3x+y =0 3) x y 3=0 ) y= 3x 3 5) y= 3x 6) 3x y+=0 y=-3x+

Lisätiedot

MAB3 - Harjoitustehtävien ratkaisut:

MAB3 - Harjoitustehtävien ratkaisut: MAB - Harjoitustehtävien ratkaisut: Funktio. Piirretään koordinaatistoakselit ja sijoitetaan pisteet:. a) Funktioiden nollakohdat löydetään etsimällä kuvaajien ja - akselin leikkauspisteitä. Funktiolla

Lisätiedot

TEHTÄVIEN RATKAISUT. Luku Kaikki luvut on kokonaislukuja. Luonnollisia lukuja ovat 35, 7 ja 0.

TEHTÄVIEN RATKAISUT. Luku Kaikki luvut on kokonaislukuja. Luonnollisia lukuja ovat 35, 7 ja 0. TEHTÄVIEN RATKAISUT Luku.. Kaikki luvut on kokonaislukuja. Luonnollisia lukuja ovat, 7 ja 0.. a) Luvun vastaluku on, koska + ( ) 0. b) Luvun 7 vastaluku on 7, koska 7 + ( 7) 0. c) Luvun 0 vastaluku on

Lisätiedot

1.2 Kulma. Kulmien luokittelua. Paralleeliaksiooma

1.2 Kulma. Kulmien luokittelua. Paralleeliaksiooma 1.2 Kulma. Kulmien luokittelua. Paralleeliaksiooma Pisteen, suoran ja tason avulla lähdetään muodostamaan uusia geometrian käsitteitä. Jos suora sahataan (keskeltä!!) poikki ja heitetään toinen puoli pois,

Lisätiedot

Päähakemisto Tehtävien ratkaisut -hakemisto. Vastaus: a) 90 b) 60 c) 216 d) 1260 e) 974,03 f) ,48

Päähakemisto Tehtävien ratkaisut -hakemisto. Vastaus: a) 90 b) 60 c) 216 d) 1260 e) 974,03 f) ,48 Trigonometriset funktiot 169. Muutetaan asteet radiaaneiksi. 180 astetta on radiaaneina π eli 180 = π rad Tällöin 1 rad. 180 45 1 a) 45 180 4 4 65 1 b) 65 180 6 10 c) 10 180 5 5 d) 5 180 4 40 7 e) 40 180

Lisätiedot

Vektorien pistetulo on aina reaaliluku. Esimerkiksi vektorien v = (3, 2, 0) ja w = (1, 2, 3) pistetulo on

Vektorien pistetulo on aina reaaliluku. Esimerkiksi vektorien v = (3, 2, 0) ja w = (1, 2, 3) pistetulo on 13 Pistetulo Avaruuksissa R 2 ja R 3 on totuttu puhumaan vektorien pituuksista ja vektoreiden välisistä kulmista. Kuten tavallista, näiden käsitteiden yleistäminen korkeampiulotteisiin avaruuksiin ei onnistu

Lisätiedot

RATKAISUT: 10. Lämpötila ja paine

RATKAISUT: 10. Lämpötila ja paine Physica 9. painos (6). Lämpötila ja paine :. Lämpötila ja paine. a) Suure, jolla uvataan aineen termoynaamista tilaa. b) Termoynaamisen eli absoluuttisen lämpötila-asteion ysiö. c) Alin mahollinen lämpötila.

Lisätiedot

Tehtävien ratkaisut

Tehtävien ratkaisut Tehtävien 1948 1957 ratkaisut 1948 Kun juna matkaa AB kulkiessaan pysähtyy väliasemilla, kuluu matkaan 10 % enemmän aikaa kuin jos se kulkisi pysähtymättä. Kuinka monta % olisi nopeutta lisättävä, jotta

Lisätiedot

Suora. Hannu Lehto. Lahden Lyseon lukio

Suora. Hannu Lehto. Lahden Lyseon lukio Suora Hannu Lehto Lahden Lyseon lukio Suuntavektori Normaalivektori Hannu Lehto 4. syyskuuta 2010 Lahden Lyseon lukio 2 / 12 Esimerkki Suuntavektori Normaalivektori Tarkastellaan suoraa y = 2 3 x 1. kulmakerroin

Lisätiedot

Harjoituksia MAA4 - HARJOITUKSIA. 6. Merkitse lukusuoralle ne luvut, jotka toteuttavat epäyhtälön x 2 < ½.

Harjoituksia MAA4 - HARJOITUKSIA. 6. Merkitse lukusuoralle ne luvut, jotka toteuttavat epäyhtälön x 2 < ½. MAA4 - HARJOITUKSIA 1 Esitä lauseke 3 x + x 4 ilman itseisarvomerkkejä Ratkaise yhtälö a ) 5x 9 = 6 b) 6x 9 = 0 c) 7x 9 + 6 = 0 3 Ratkaise yhtälö x 7 3 + 4x = 4 Ratkaise yhtälö 5x + = 3x 4 5 Ratkaise yhtälö

Lisätiedot

MATEMATIIKAN PERUSKURSSI I Harjoitustehtäviä syksy Millä reaaliluvun x arvoilla. 3 4 x 2,

MATEMATIIKAN PERUSKURSSI I Harjoitustehtäviä syksy Millä reaaliluvun x arvoilla. 3 4 x 2, MATEMATIIKAN PERUSKURSSI I Harjoitustehtäviä syksy 6. Millä reaaliluvun arvoilla a) 9 =, b) + + + 4, e) 5?. Kirjoita Σ-merkkiä käyttäen summat 4, a) + 4 + 6 + +, b) 8 + 4 6 + + n n, c) + + +

Lisätiedot