Vakuutusmatematiikan sovellukset klo 9-15

Transkriptio

1 SHV-tutinto Vauutusmatematiian sovelluset lo (7) Y1. Seuraava tauluo ertoo vauutusyhtiön masamat orvauset vahinovuoden ja orvausen masuvuoden muaan ryhmiteltynä (tuhansina euroina): Vahinovuosi orvausen masuvuosi Inflaatio mitattuna edellisen vuoden eseltä alla olevan vuoden eselle on ollut seuraava: 2005: 5 %, 2006: 5,5 %, 2007: 5,4 %. Tulevasi inflaatiosi oletetaan 8 % per vuosi. Voidaan olettaa, että orvauset tulevat aii masetuisi viimeistään olmantena vuonna vahinovuoden jäleen. Lase vuoden 2007 vahingoista orvausvastuuseen varattava määrä äyttäen chain ladder menetelmää, jossa on otettu huomioon inflaation vaiutus orvausmenoon. Y2. Yhtiö soveltaa erään vauutuslajin aiiin vauutusiin iinteää risimasua P. Tämä vastaa yli oo annan lasettua esimääräistä vuotuista oonaisvahinomäärää per vauutettu. Havaintoaineistoon perustuen on arvioitavissa, että vahinojen suuruudet ovat samoin jaautuneita aiilla vauutetuilla. Vahinojen luumäärän odotusarvot eivät ole identtisiä, vaan 40 prosentilla vauutetuista yseinen odotusarvo on 1 = 0.1 ja 60 prosentilla 2 = 0.2. Kunin vauutetun vuotuiset oonaisvahinomäärät mallinnetaan yhdistetyisi Poisson-muuttujisi ja eri vuodet oletetaan aiilta osiltaan toisistaan riippumattomisi. Hinnoittelun oieudenmuaisuuden lisäämisesi yhtiö ottaa äyttöön seuraavan alennusjärjestelmän. Perusmasu P peritään niiltä vauutetuilta, joille on edellisenä vuotena sattunut vähintään ysi vahino. Miäli edeltävä vuosi on vahingoton, mutta sitä edeltävä ei, on vauutusmasu 90 prosenttia perusmasusta. Muissa tapausissa vauutusmasu on 80 prosenttia perusmasusta. Uusille vauutusille masu määrätään edellä uvatulla tavalla olettamalla, että ahtena edeltävänä vuotena on sattunut vahino. a. Määrää P siten, että yhtiön yli oo annan lasettu risimasutaso vastaa oonaisvahinomäärän odotusarvoa pitällä tähtäimellä. Koonaisvahinomäärien jaaumien ja annan raenteen oletetaan pysyvän muuttumattomina tulevina vuosina. b. Määrää vauutetun vahinojen luumäärän odotusarvoja 1 ja 2 vastaavat pitän tähtäimen risimasujen odotusarvot.

2 2(7) Y3. a. Selvitä laisääteisessä työeläevauutusessa sovellettavan Z-mallin pääperiaatteet b. Johda t-iäisen ajan u työyvyttömänä olleen työyvyttömän työyvyttömyyden vastaisen eston tiheysfuntio c. Voidaano mallissa määrätä todennäöisyydet henilö on atiivi ja henilö on työyvytön. Perustele vastausesi.

3 3(7) E4 Työeläevauutusyhtiön vastuuvelaan sisältyy eriä, joilla pusuroidaan erilaisia risejä. Mitä nämä vastuuvelan osat ovat? Mitä risejä uin osa pusuroi? Jos jotin osat pusuroivat samaa risiä, niin miä osa on ensisijainen pusuri? E5 Kahiseva Oy:n aii työnteijät ovat vauutettuina TyEL-vauutusessa, jona uusien vuosina v=2005, 2006 ja 2007 myönnettyjen työyvyttömyyseläeiden menot hetellä v ovat (euroa): Vuosi Laji: Työyvyttömyyseläeet Kuntoutustuet Kuntoutusrahat Vauutusen palasummat ja teoreettiset työyvyttömyyseläeosat ovat vastaavasti (euroa): Vuosi Palasumma Teoreettinen työyvyttömyyseläeosa P I v (1) Määrää vuodelle 2008 edellä mainitun vauutusen a. työyvyttömyysmasuluoa ja b. TyEL-masun työyvyttömyyseläeosa. c. Mitä voit sanoa yritysen työyvyttömyysmasun suuruudesta esimääräiseen työyvyttömyysmasuun verrattuna? Mistä ero johtuu. d. Mitä menoja tällä masun työyvyttömyyseläeosalla rahoitetaan? Tehtävässä oletetaan, että vauutusen teoreettinen meno vuodelta i lasetaan aavalla p 0 I 1 I 2 I R = b P (1) + b P (1) + b P (1), missä vi, i i1 i i2 i i3 b- ertoimet i=2005 i=2006 i=2007 b 0 0,57 0,56 0,04 b 1 0,20 0,19 0,64

4 4(7) b 2 0,05 0,04 0,22 Kerroin 5,5 un Lv 5 4,5 un 4 Lv < 5 3,5 un 3 Lv < 4 2,75 un 2,5 Lv < 3 2, 25 un 2 Lv < 2,5 mv = 1,75 un 1,5 Lv < 2 1,35 un 1,2 Lv < 1,5 1 un 0,8 Lv < 1,2 0,65 un 0,5 Lv < 0,8 0,35 un 0,2 Lv < 0,5 0,1 Lv < 0, 2 F Y Lisäsi tiedetään, että R 2004 = 1, 5 M, R 2004 = 24,0 M ja palaertoimen arvot ovat , , , , Työyvyttömyysmasun tilapäisen alennusen määräävä erroin c 2008 = 0, 01.

5 5(7) H4. Tarastellaan panilainaan liitettävää uolemanvaraturvaa. Laina oroineen masetaan taaisin olmessa yhtä suuressa erässä yhden vuoden, ahden vuoden ja olmas erä olmen vuoden uluttua lainan nostamisesta. Vauutussumma on oo ajan masamattomien (annuiteetti)erien summa. Vauutusyhtiön atuaarina suunnittelet vauutusmasujen rytmiä. Vaihtoehtoina ovat ertamasu tai vuosimasut. Vuosimasut voivat olla tasamasut tai joaiselle vauutusvuodelle lasetaan eriseen ertamasu. Masut noudattavat lasuperustetta Ysilöllisen henivauutusen lasuperusteet (perusluvut ohessa) muutoin, mutta -uormitus on masutavasta riippumatta 10%. Lisäsi haluat verrata luonnollisia masuja jota pohjautuvat q- luuihin äyttäen lasuperusteen uormitusraennetta ja uolevuusoletusta. Tee esimerilaselma 28-vuotiaalle miehelle, jona lainan oro on 5% ja lainapääoma 100. Millaista tai millaisia masurytmejä suosittelet tuoteehittelijöille? H5. Kesinäinen Henivauutusyhtiö Finlandia aioo tuoda marinoille ysilöllisen eläevauutusen, jona täreimmät piirteet ovat seuraavat 1) Vauutus on orosidonnainen ja 2) ertamasuinen. 3) Kiinteää uuausieläettä E masetaan vauutetulle ertamasun masamista seuraavan uuauden alusta (heti alava) 4) niin auan uin hän on elossa (eliniäinen) 5) Vauutusmasusta peritään uormitusta 1,5% ja 6) vauutussäästöstä peritään eläeen lisäsi uormitusta 1% masettavasta eläeestä. Finlandian hoitojärjestelmä on tehty reursiivisella teniialla toimivia henivauutusia varten, ja uudet eläevauutuset on taroitus hoitaa samassa järjestelmässä, jota täydennetään masatusosalla. Muoaa reursiivisen teniian henivauutusien vastuuvelan ehittymistä osevat aavat uutta eläevauutusta varten seuraaville ahdelle muunnelmalle: A. Vauutetun uollessa ei maseta enää mitään orvausta (puhdas elämänvaravauutus) B. Jos vauutettu uolee ennen uin hänelle on suoritettu 120 eläe-erää, eläeen masamista jatetaan edunsaajalle unnes yhteensä 120 uuausieläettä on masettu (ja masatus päättyy siihen).

6 6(7) V4. Laisääteisen tapaturmavauutusen hinnoittelussa sovelletaan ysilöllistä masujärjestelmää erään toimialan suurille vauutusenottajille. Meritään X j (t) = vauutetun j oonaisvahinomäärä vuonna t, L j (t) = vauutetun j palasumma vuonna t. Tarastellaan vauutusten hinnoittelua vuoden ysi alussa. Yhtiön mallissa inflaatiohistorialla ehdollistetut oonaisvahinomäärät X j (t) ovat toisistaan riippumattomia ja noudattavat yhdistettyä Poisson-jaaumaa siten, että vahinojen luumäärän odotusarvo on vauutusenottajaohtainen vaio j ja ysittäisen vahingon suuruus on muotoa (1 + i(1)) (1 + i(t))z, missä i(s) on vuoden s inflaatioaste ja Z on ei-negatiivinen sattumisvuodesta ja vauutusenottajasta riippumaton satunnaismuuttuja. Oloot a 1 = E(Z) ja a 2 = E(Z 2 ) tunnettuja parametreja. Inflaation oletetaan vaiuttavan palasummiin samoin uin vahingon suuruusiin siten, että L j (t) = (1 + i(1)) (1 + i(t)) L j (0), missä L j (0) on vauutetun j vuoden nolla palasumma. Oloon x j (t) vauutetun j vahinopromille vuonna t. Vuoden t pohjamasumasupromille p j (t) määräytyy ehdosta p j (t) = j (t)x j (t) + (1 - j (t)) p j-1 (t), missä j (t) [0, 1] on deterministinen tasoitusparametri. Tasoitusparametrin mitoitusen avulla ontrolloidaan vauutusmasun suhteellisia vuosivaihteluita vaatimalla, että ehdolla p j (t-1) = E(x j (t-1)), vuoden t pohjamasupromillen variaatioerroin (hajonta/odotusarvo) on vaio d. Lisäsi vaaditaan, että j (t) 1. a. Osoita, että j (t) on muotoa j (t) = min ( j,1) ja määrää aiilla t = 1,2, b. Tee perusteltu ehdotus tasoitusparametrin j (1) määräämisesi, un äytettävissä ovat vauutusenottajittain viiden edeltävän vuoden pohjamasut ja palasummat.

7 7(7) V5. Vauutusyhtiössä on voimassa autoille seuraavanlainen Bonus-Malus-järjestelmä: UUSI LUOKKA x-vahingon JÄLKEEN LUOKKA VAKUUTUSMAKSU x = 0 x = 1 x > OLETUKSET: - Yhtä vauutusvuotta ohden sattuu esimäärin 0.1 vahinoa - Vahinojen luumäärä noudattaa Poisson - jaaumaa - esimääräinen vahingon suuruus on 1 - Vahingon suuruus noudattaa Normaalijaaumaa (esihajonta 200 ) a) Riittääö vauutusyhtiön vauutusmasut pitällä aiavälillä attamaan orvauset? b) Kuina suuri tasoorotusen (alennusen) tulisi olla, jotta vauutusmasut vastaisivat masettuja orvausia? c) Kuina paljon b-ohdassa vauutusmasutulo muuttuu, jos vahinotaajuus asvaa (suhteellisesti) 10 %:a? d) Miä on todennäöisyys, että luoassa 1 oleva vauutettu ilmoittaa vahingosta vauutusyhtiölle yhden vuoden aiana (olettaen vauutetun äyttäytyvän rationaalisesti)?