V. POTENSSISARJAT. V.1. Abelin lause ja potenssisarjan suppenemisväli. a k (x x 0 ) k M
|
|
- Elisabet Penttilä
- 6 vuotta sitten
- Katselukertoja:
Transkriptio
1 V. POTENSSISARJAT Funtioterminen sarja V.. Abelin lause ja potenssisarjan suppenemisväli P a x x, missä a, a, a 2,... R ja x R ovat vaioita, on potenssisarja, jona ertoimet ovat luvut a, a,... ja ehitysesus on x. Sopimus: tässä x x = myös, un x = x. Potenssisarjan osasummat ovat siis polynomeja. Usein x =, jolloin sarja on a x... Abelin lause. a Jos P suppenee eräällä x = x x, niin se suppenee itseisesti joaisella x R, jolle x x < x x. b Jos P ei suppene itseisesti eräällä x = x 2, niin P hajaantuu joaisella x R, jolle x x > x 2 x. Tod. a Kosa a x x suppenee, niin termien jono on rajoitettu ts. on olemassa M < s.e. a x x M < M aiilla N {}. Tällöin a aiilla N {}. x x x x Oletetaan, että x x < x x. Kosa nyt <, niin geometrinen sarja x x M x x suppenee ja x x a x x M x x x x = M x x N {}. x x Siis majoranttiperiaatteen muaan b Jos oletetaan, että a x x suppenee. a x x suppenee, un x x > x 2 x, niin a-ohdan nojalla a x 2 x suppenee itseisesti. RISTIRIITA..2. Huom. a-ohdan todistusessa riitti tietää, että jouo {a x x N} on rajoitettu ts. että sup a x x <. N x.3. Esim. Sarja suppenee pisteessä x = vuorotteleva harmoninen sarja, Leibniz ja hajaantuu, un x = harmoninen sarja. Abelin lauseen nojalla sarja suppenee, un x <, ja hajaantuu aina, un x >. Siis sarja suppenee x <. 9
2 Tarastellaan edelleen potenssisarjaa P. Meritään E = {x R P suppenee}, jolloin ainain x E, ja R = sup{ x x : x E} ja voi olla =..4. Lause. a Jos R =, P suppenee vain arvolla x = x. b Jos R =, P suppenee itseisesti aiilla x R. c Jos < R <, P suppenee itseisesti, un x x < R, ja hajaantuu, un x x > R. Tod. a Oloon x R, x x. Jos R =, niin { x x : x E} = {}, joten x x { x x : x E}. Siis x E, ts. P hajaantuu, un x = x. b Oloon x R. Kosa R =, niin { x x : x E} ei ole ylhäältä rajoitettu. Siis on olemassa sellainen x E, että x x < x x. Nyt sarja a x x suppenee, osa x E, joten Abelin lauseen muaan sarja a x x suppenee itseisesti. c Oloon x R, x x < R = sup{ x x : x E}. Supremumin määritelmän muaan on olemassa x E s.e. x x < x x. Abelin lauseen nojalla a x x suppenee itseisesti. Jos taas x x > R, niin x E ja a x x hajaantuu. Edellä luu R tai R = on potenssisarjan P suppenemissäde. Jos < R <, avoin väli ]x R, x +R[ on P:n suppenemisväli; jos R =, P:n suppenemisväli on R = ], [. Huom. Jos < R <, suppenemisväli voi olla E = {x R P suppenee}. Itse asiassa L.4.c muaan ]x R, x + R[ E [x R, x + R], joten E on join väleistä ]x R, x + R[, [x R, x + R[, ]x R, x + R], [x R, x + R]..5. Esimerejä. Geom. sarja 2 Oloon < R <. Sarja x ] R, R[. Suppenemissäde on siis = R. x suppenee x ], [. Suppenemissäde =. R x = x x suppenee geom. < R R 3 Sivujen 66 ja 76 esimerien muaan sarja summa = e x, joten suppenemissäde =. 4 Sarja!x hajaantuu, un x >, sillä tällöin +! x +! x = + x >, un > x suhdetesti. Siis suppenemissäde = ja sarja suppenee vain arvolla x =. 92 x! suppenee itseisesti x R ja sen
3 5 Esimerin.3 sarja esimerin IV.3.7 perusteella x suppenee x [, [ ts. suppenemissäde =. Itse asiassa 6 Sarja x 2 x = x = ln x x [, [. suppenee itseisesti, un x tällöin x 2, ja yliharmoninen sarja = x x >. + 2 suppenee, ja hajaantuu, un x > tällöin x : x Suppenemissäde on =, ja sarja suppenee x [, ]. Esim. Oloon potenssisarjan a x 2 suppenemissäde? a x suppenemissäde = R, < R <. Miä on sarjan { Rat. Tutittava potenssisarja on b x al, un = 2l parillinen,, missä b =, un pariton. Ol. = a y suppenee, un y < R, hajaantuu, un y > R. = = a x 2 suppenee, un x 2 = x 2 < R, hajaantuu, un x 2 > R. a x 2 suppenee, un x < R, hajaantuu, un x > R. Kysytty suppenemissäde on siis = R..6. Huom. Edellä on äytetty seuraavaa Abelin lauseeseen perustuvaa päättelyä: a P suppenee arvolla x = x = suppenemissäde x x, b P ei suppene itseisesti arvolla x = x 2 = suppenemissäde x 2 x. Eräissä tapausissa suppenemissäteen voi päätellä helposti potenssisarjan ertoimista:.7. Lause. Potenssisarjan P suppenemissäteelle R on voimassa: a Jos on olemassa M < s.e. a M aiilla, niin R. b Jos on olemassa m > s.e. a m aiilla, niin R. c Jos on olemassa m >, M < s.e. m a M aiilla, niin R =. Tod. a x x < = a x x M x x aiilla. Siis P suppenee itseisesti suppeneva geom. majorantti M x x, joten R. b x x = = a x x m x x = m >. Siis P hajaantuu ja R. c seuraa a ja b-ohdista. 93
4 .8. Lause. Jos raja-arvo a lim = R R { } tai b lim a = R R { }, a a + niin tämä raja-arvo on potenssisarjan P suppenemissäde. Huom: Tässä täytyy olla a aiilla jollain N. Tod. a a x x = x x / a < R <. Juuritestin muaan x x /R, un < R <,, un R =,, un R =, x x. a x x suppenee, un x x /R < eli x x < R, ja hajaantuu, un x x /R > eli x x > R. Siis potenssisarjan P suppenemissäde = R. 2 R =. Oloon x R. Tällöin on olemassa s.e. a x x < 2 aiilla. Siis a x x suppenee, joten P:n suppenemisäde =. 3 R =. Oloon x x. Tällöin on olemassa 2 s.e. a x x aiilla 2. Siis a x x hajaantuu, joten P:n suppenemisäde =. b Todistus vastaavasti suhdetestin avulla, lähtöohtana a + x x + a x x = x x a /a +, x x. Huom. Yleisesti suppenemissäde =.9. Esimerejä. Miä on sarjan Kosa niin suppenemissäde = e. lim n sup n a.! x suppenemissäde?! : +! + + = + e, 2 Miä on sarjan 2 + x + 2x 2 + x 3 + 2x 4 + x suppenemissäde? {, un on pariton, Rat. Sarja on muotoa a x, missä a = 2, un on parillinen. L.7.c muaan suppenemissäde =. Tämä seuraa myös L.8.a:sta, sillä aiilla on a 2 /, joten lim =. L.7.b ei toimi, sillä a a { 2, un parillinen, = a + 2, un on pariton. Ei siis ole raja-arvoa. 94
5 Tarastellaan potenssisarjaa V.2. Potenssisarjan summafuntion ominaisuusia P a x x. Termifuntioilla x a x x on oo R:ssä aiien ertaluujen derivaatat. Erityisesti ne ovat jatuvia ja integroituvia joaisella suljetulla välillä. Oloon P:n suppenemissäde = R > ja suppenemisväli ]x R, x + R[ = ], [ = R, jos R =. 2.. Lause. P suppenee tasaisesti joaisella välillä [x ρ, x + ρ], missä < ρ < R. Tod. Jos x [x ρ, x + ρ], niin a x x = a x x a ρ. Kosa x + ρ ]x R, x + R[ = P:n suppenemisväli, niin P suppenee itseisesti arvolla x = x + ρ, ts. a ρ suppenee. Weierstrassin testin muaan P suppenee tasaisesti välillä [x ρ, x + ρ] Lause. P:n summafuntio on jatuva suppenemisvälillä ]x R, x + R[. Tod. Oloon x ]x R, x +R[, ts. x x < R. Valitaan sellainen ρ, että x x < ρ < R. L IV L 2. = summa on jatuva välillä [x ρ, x + ρ], erityisesti välin [x ρ, x + ρ] sisäpisteessä x. Huom. L 2.2 seuraa myös myöhemmästä Lauseesta Jos P suppenee myös suppenemisvälin päätepisteessä, summan mahdollinen toispuolinen jatuvuus tässä pisteessä on selvitettävä eriseen vrt. Esim. IV.3.7. Kun P derivoidaan formaalisti termeittäin, saadaan potenssisarja dp a x x Lause. Sarjoilla P ja dp on sama suppenemissäde. Tod. Oloon P:n suppenemissäde = R R { } uten edellä ja dp:n suppenemissäde = R R { }. On osoitettava, että R = R. Väite. R R. T. Jos R =, tämä on selvä. Oloon siis R >. Oloon x ]x R, x + R [ = dp:n suppenemisväli, jolloin dp suppenee itseisesti arvolla x = x. Kosa a x x x x a x x N, }{{} vaio :n suhteen niin majoranttiperiaatteen nojalla P suppenee itseisesti arvolla x = x. itseisesti ainain, un x x < R, ja siis R R. Siten P suppenee 95
6 Väite 2. R R. T. Jos R =, tämä on selvä. Oloon siis R >. Oloon x ]x R, x + R[ = P:n suppenemisväli. Valitaan ρ R s.e. x x < ρ < R, jolloin P suppenee arvolla x = x + ρ eli sarja a ρ suppenee. Tällöin on olemassa M s.e. a ρ M < aiilla. Siis Tässä sarja a M ρ = a x x M ρ x x aiilla N. ρ M ρ x x suppenee, osa L.8.b muaan sarjan x suppene- ρ missäde =. Majoranttiperiaatteella sarja dp suppenee itseisesti arvolla x = x. Siten dp suppenee itseisesti ainain, un x x < R, ja siis R R. Kun sarja P integroidaan termeittäin x :sta x:ään, saadaan potenssisarja ip a + x x + x a t x dt = a / x x t x + + = a + x x +. Kun ip derivoidaan termeittäin, saadaan taas P. Lauseen 2.3 muaan P:llä ja ip:llä on sama suppenemissäde. Oloon P:n suppenemissäde = R >. Tällöin siis sarjoilla P, dp ja ip on sama suppenemisväli ]x R, x + R[ = R, jos R = Lause. Potenssisarjan P summafuntio Sx = ]x R, x + R[ ja se voidaan derivoida termeittäin: S x = a x x on derivoituva välillä a x x aiilla x ]x R, x + R[, ja lisäsi myös integroida termeittäin: x St dt = a + x x + aiilla x ]x R, x + R[. Tod. Oloon x ]x R, x + R[. Valitaan ρ s.e x x < ρ < R. Lauseen 2. muaan P ja dp suppenevat tasaisesti välillä [x ρ, x + ρ]. Ensimmäinen väite seuraa Lauseesta IV.3.8 ja jälimmäinen L IV.3.6:sta. 96
7 2.5. Lause. Potenssisarjan P summafuntiolla S on välillä ]x R, x +R[ R > aiien ertaluujen derivaatat, jota saadaan derivoimalla termeittäin eli S n x =... n + a x x n =n aiilla x ]x R, x + R[, n N. Erityisesti on aiilla n N S n x = n!a n ja Sx = a. Tod. Sovelletaan Lausetta 2.4 sarjaan dp sama suppenemisväli, jolloin S on derivoituva välillä ]x R, x + R[ ja S x = a x x 2 ja S x = 2! a 2. =2 Toistamalla tätä päättelyä saadaan väite Seuraus potenssisarjan ysiäsitteisyys. Jos potenssisarjat a x x ja b x x suppenevat ja esittävät samaa funtiota jossain pisteen x ympäristössä, niin a = b aiilla Esim. Määritä funtion fx = :s derivaatta pisteessä. x2 Kosa aiilla x ], [ on fx = x 2 = + x2 + x x 98 + x +... = niin f =! a =! ja yleisesti f = 2.8. Esimerejä. Kosa ja yleisesti a x, {!, un parillinen,, un pariton. x = x, un x <, niin aiilla x ], [ on x 2 = D = x x, 2 x 3 = D x 2 = 6 x 4 = D 2 x 3 = n! n 2! x n = D x n = =n 97 x 2, =2 2x 3 =3... n + 2x n+.
8 2 Geometrisen sarjan summaaavan nojalla on Darc tan t = + t 2 = t2 + t 4 t = t 2 = t 2, un t <, ja siis suppenemissäde =. Suoraan L 2.4 jälimmäisen osan nojalla on arc tan x = dt + t 2 = = x x3 3 + x5 5 x t 2 dt = x = Sx ja tulos pätee ainain aiilla x ], [. Jos x >, niin sarja hajaantuu, osa suppenemisäde =. Jos x [, ], niin vuorotteleva sarja toteuttaa Leibnizin lauseen ehdot, joten R n x x 2n+ 2n + 2n + = sup R n x x [,], un n. 2n + Siis sarja suppenee tasaisesti välillä [, ], jolloin sarjan summa S on jatuva välillä [, ]. Tämän nojalla arc tan = lim arc tan x = lim Sx = S x x ja vastaavasti arc tan = S. Siis arc tan x = x = x x3 3 + x5 5 x , un x [, ]. Sijoittamalla x = saadaan hitaasti suppeneva sarja π 4 = Integroi termeittäin rajojen ja x välillä potenssisarja x x2 2 + x3 3 x Miä on saadun sarjan summa? Rat. Meritään Sx = x x2 2 + x3 3 x = x un sarja suppenee. Nyt a = ja a a + = + = + = R =. Lauseen 2.4 nojalla sarja voidaan integroida ja derivoida termeittäin, un x <. Tällöin T x = S x = St dt = x = t dt = x + +, x = + x, 98
9 ja T x = Sx = S + = os.int. St dt = +x / u ln u S t dt = ln + t dt = +x +x dt = ln + x + t Sij. + t = u ln u du dt = du u du = + x ln + x x. u Kun x, niin x Kosa 2 suppenee, niin integroinnilla saatu sarja suppenee tasaisesti välillä [, ], joten summafuntio x T x on jatuva välillä [, ]. Siis T = lim T x = 2 ln 2 ja T = lim T x =, sillä x x + lim + x ln + x = lim x + Tulos: T x = t et t = mer. ln + x = t + x = e t. x + + = { + x ln + x x, un x ], ];, un x = Määritelmä. Funtio f: R on analyyttinen avoimella välillä, jos joaista pistettä x ohti on olemassa x :n ympäristö U, jossa f voidaan esittää potenssisarjana fx = a x x, x U. Kun R on avoin väli, meritään C ω = {f: R f on analyyttinen}, C = {f: R funtiolla f on aiien ertaluujen jatuvat derivaatat}, C = {f: R f on jatuva}, un N, C = {f: R f on jatuva} = C. Lauseen 2.5 muaan analyyttinen funtio on C. Lisäsi pätee: C ω C... C... C 2 C C, missä joa ohdassa on aito osajouo ja muut ohdat ovat selviä paitsi tapaus C ω C. Tämän ohdan rataisee seuraava esimeri: 2.. Esim. Oloon f: R R, fx = {, un x, e /x, un x >. Osoitetaan, että f C R, mutta f C ω R. Raja-arvosta lim x + e /x = = f seuraa f:n jatuvuus. Lisäsi f = ja x > : fx f x = e /x x 99 = f + =, x +
10 joten f =. Kosa f x =, un x <, ja x > = f x = e /x y 2 x 2 = y=/x e y niin f on jatuva eli f C R. Selvästi f x = aiilla N, un x <., un x + y, y Väite: f x = e /x P /x aiilla x >, P t polynomi, jona aste deg P t = 2. T. Indutio :n suhteen. Tapaus = edellä. Indutio-oletus: Kaava pätee eräällä, P t = a + a t a 2 t 2, a 2. Derivoimissääntöjen muaan aiilla x > on missä P + t = f + x = D e /x 2 i= = e /x P + /x, 2 i= ia i t i+ + 2 i= a i x i = e /x a i t i+2. 2 Väite: f = aiilla N. T. Indutio :n suhteen. Tapaus = edellä. Indutio-oletus: f = pätee eräällä. On osoitettava, että f + = eli 2 i= f x f lim = lim x x x x f x =. ia i x i+ + e /x 2 x 2 a i x i i= Triviaalisti lim x x f x =, sillä f x =, un x <. Osoitettavasi siis jää, että lim x + x f x =. Kosa f x = e /x P /x aiilla x >, niin riittää osoittaa, että lim x + e /x Q/x =, Q polynomi. Tähän tarvitaan tieto, että joaisella iinteällä p N on p y p lim x + e /x = lim x y e y =, miä jo onin tuttu juttu s. Myrberg, L Nyt on siis osoitettu, että f C R ja että f = aiilla. Jos f olisi analyyttinen, niin jossain :n ympäristössä olisi fx = a x. Kosa f = ja f:n aii derivaatat :ssa ovat =, niin L 2.5 muaan a = aiilla, jolloin fx = pisteen ympäristössä. Tämä on RISTIRIITA, joten f C ω R.
funktiojono. Funktiosarja f k a k (x x 0 ) k
SARJAT JA DIFFERENTIAALIYHTÄLÖT 2003 3 4. Funtiosarjat Tässä luvussa esitettävissä funtiosarjojen tulosissa yhdistämme luujen 3 teoriaa. Esimeri 4.. Geometrinen sarja x suppenee aiilla x ], [ ja hajaantuu
LisätiedotIV. TASAINEN SUPPENEMINEN. f(x) = lim. jokaista ε > 0 ja x A kohti n ε,x N s.e. n n
IV. TASAINEN SUPPENEMINEN IV.. Funktiojonon tasainen suppeneminen Olkoon A R joukko ja f n : A R funktio, n =, 2, 3,..., jolloin jokaisella x A muodostuu lukujono f x, f 2 x,.... Jos tämä jono suppenee
LisätiedotIII. SARJATEORIAN ALKEITA. III.1. Sarjan suppeneminen. x k = x 1 + x 2 + x ,
III. SARJATEORIAN ALKEITA Sarja on formaali summa III.. Sarjan suppeneminen = x + x 2 + x 3 +..., missä R aiilla N (merintä ei välttämättä taroita mitään reaaliluua). Luvut x, x 2,... ovat sarjan yhteenlasettavat
LisätiedotDifferentiaali- ja integraalilaskenta 1 Ratkaisut 1. viikolle /
MS-A8 Differentiaali- ja integraalilasenta, V/27 Differentiaali- ja integraalilasenta Rataisut. viiolle /. 3.4. Luujonot Tehtävä : Mitä ovat luujonon viisi ensimmäistä termiä, un luujono on a) (a n ) n=,
Lisätiedot2 Taylor-polynomit ja -sarjat
2 Taylor-polynomit ja -sarjat 2. Taylor-polynomi Taylor-polynomi P n (x; x 0 ) funtion paras n-asteinen polynomiapprosimaatio (derivoinnin annalta) pisteen x 0 lähellä. Maclaurin-polynomi: tapaus x 0 0.
Lisätiedot8 Potenssisarjoista. 8.1 Määritelmä. Olkoot a 0, a 1, a 2,... reaalisia vakioita ja c R. Määritelmä 8.1. Muotoa
8 Potenssisarjoista 8. Määritelmä Olkoot a 0, a, a 2,... reaalisia vakioita ja c R. Määritelmä 8.. Muotoa a 0 + a (x c) + a 2 (x c) 2 + olevaa sarjaa sanotaan c-keskiseksi potenssisarjaksi. Selvästi jokainen
LisätiedotMatematiikan tukikurssi
Matematiian tuiurssi Kurssierta 5 Sarjojen suppeneminen Kiinnostusen ohteena on edelleen sarja a n = a + a 2 + a 3 + a 4 + n= Tämä summa on mahdollisesti äärellisenä olemassa, jolloin sanotaan että sarja
LisätiedotRiemannin sarjateoreema
Riemannin sarjateoreema LuK-tutielma Sami Määttä 2368326 Matemaattisten tieteiden laitos Oulun yliopisto Sysy 206 Sisältö Johdanto 2 Luujonot 3 2 Sarjat 4 2. Vuorottelevat sarjat........................
Lisätiedottermit on luontevaa kirjoittaa summamuodossa. Tällöin päädymme lukusarjojen teoriaan: a k = s.
SARJAT JA DIFFERENTIAALIYHTÄLÖT 2003 7 3. Luusarjat Josus luujonon (b ) termit on luontevairjoittaa summamuodossa. Tällöin päädymme luusarjojen teoriaan: Määritelmä 3.. Oloon ( ), R luujono. Symboli (3.)
LisätiedotMatemaattinen Analyysi
Vaasan yliopisto, evät 05 / ORMS00 Matemaattinen Analyysi 6. harjoitus. Approsimoi toisen asteen polynomilla P(x) = b 0 +b x+b x oheisen tauluon muaisia havaintoja. (Teorian löydät opetusmonisteen sivuilta
LisätiedotTehtävä 3. Määrää seuraavien jonojen raja-arvot 1.
Jonotehtävät, 0/9/005, sivu / 5 Perustehtävät Tehtävä. Muotoile matemaattiset vastineet seuraavien väitteiden negaatioille (ts. vastaohdat).. Jono (a n ) suppenee ohti luua a.. Jono (a n ) on asvava. 3.
LisätiedotPerustehtäviä. Sarjateorian tehtävät 10. syyskuuta 2005 sivu 1 / 24
Sarjateorian tehtävät 0. syysuuta 2005 sivu / 24 Perustehtäviä. Muunna sarja telesooppimuotoon ja osoita, että se suppenee. Lase myös sarjan summa. ( + ) = 2 + 6 + 2 +... 2. Osoita suoraan määritelmään
LisätiedotFunktiojonot ja funktiotermiset sarjat Funktiojono ja funktioterminen sarja Pisteittäinen ja tasainen suppeneminen
4. Funktiojonot ja funktiotermiset sarjat 4.1. Funktiojono ja funktioterminen sarja 60. Tutki, millä muuttujan R arvoilla funktiojono f k suppenee, kun Mikä on rajafunktio? a) f k () = 2k 2k + 1, b) f
LisätiedotSarja. Lukujonosta (a k ) k N voi muodostaa sen osasummien jonon (s n ): s 1 = a 1, s 2 = a 1 + a 2, s 3 = a 1 + a 2 + a 3,...,
Sarja Lukujonosta (a k ) k N voi muodostaa sen osasummien jonon (s n ): Määritelmä 1 s 1 = a 1, s 2 = a 1 + a 2, s 3 = a 1 + a 2 + a 3,..., n s n = a k. Jos osasummien jonolla (s n ) on raja-arvo s R,
LisätiedotMS-A010{3,4,5} (ELEC*, ENG*) Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Luento 2: Sarjat
MS-A010{3,4,5} (ELEC*, ENG*) Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Luento 2: Sarjat Pekka Alestalo, Jarmo Malinen Aalto-yliopisto, Matematiikan ja systeemianalyysin laitos September 13, 2017 Pekka Alestalo,
LisätiedotMS-A010{3,4} (ELEC*) Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Luento 2: Sarjat
MS-A010{3,4} (ELEC*) Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Luento 2: Sarjat Pekka Alestalo, Jarmo Malinen Aalto-yliopisto, Matematiikan ja systeemianalyysin laitos 14.9.2016 Pekka Alestalo, Jarmo Malinen
LisätiedotMatematiikan tukikurssi
Matematiikan tukikurssi Kertausluento 2. välikokeeseen Toisessa välikokeessa on syytä osata ainakin seuraavat asiat:. Potenssisarjojen suppenemissäde, suppenemisväli ja suppenemisjoukko. 2. Derivaatan
Lisätiedotnyky-ymmärryksemme mukaan hajaantuvaan sarjaan luvun 1 2 kun n > N Huom! Määritelmä on aivan sama C:ssä ja R:ssä. (Kuva vain on erilainen.
Sarjaoppia Käsitellään kompleksi- ja reaalisarjat yhdessä. Reaalilukujen ominaisuuksista (kuten järjestys) riippuvat asiat tulevat lisämausteena mukaan. Kirjallisuutta: 1. [KRE] Kreyszig: Advanced Engineering
LisätiedotMS-A010{3,4} (ELEC*) Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Luento 5: Taylor-polynomi ja sarja
MS-A010{3,4} (ELEC*) Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Luento 5: Taylor-polynomi ja sarja Pekka Alestalo, Jarmo Malinen Aalto-yliopisto, Matematiikan ja systeemianalyysin laitos 26.9.2016 Pekka Alestalo,
LisätiedotMS-A010{2,3,4,5} (SCI, ELEC*, ENG*) Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Luento 2: Sarjat
M-A010{2,3,4,5} (CI, ELEC*, ENG*) Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Luento 2: arjat Pekka Alestalo, Jarmo Malinen Aalto-yliopisto, Matematiikan ja systeemianalyysin laitos eptember 12, 2018 Pekka
LisätiedotKompleksianalyysi, viikko 5
Kompleksianalyysi, viikko 5 Jukka Kemppainen Mathematics Division Kompleksiset jonot Aloitetaan jonon suppenemisesta. Määr. 1 Kompleksiluvuista z 1,z 2,...,z n,... koostuva jono suppenee kohti raja-arvoa
LisätiedotJoulukuun vaativammat valmennustehtävät ratkaisut
Jouluuun vaativammat valmennustehtävät rataisut. Tapa. Pätee z = x + y, joten z = (x + y = x + y, josta sieventämällä seuraa xy 4x 4y + 4 = 0. Siispä (x (y =. Tästä yhtälöstä saadaan suoraan x =, y = 4
LisätiedotM 2 M = sup E M 2 t. E X t = lim. niin martingaalikonvergenssilauseen oletukset ovat voimassa, eli löydämme satunnaismuuttujan M, joka toteuttaa ehdon
Matematiian ja tilastotieteen laitos Stoastiset differentiaaliyhtälöt Rataisuehdotelma Harjoituseen 7 1. Näytä, että uvaus M M M 2, un M 2 M = sup E M 2 t 2 t 0 on normi jouossa M 2 = { M : M on martingaali
LisätiedotVI. TAYLORIN KAAVA JA SARJAT. VI.1. Taylorin polynomi ja Taylorin kaava
VI. TAYLORIN KAAVA JA SARJAT VI.. Taylorin polynomi ja Taylorin kaava Olkoon n N ja x, c, c, c 2,..., c n R. Tehtävä: Etsittävä sellainen R-kertoiminen polynomi P, että sen aste deg P n ja P (x ) = c,
LisätiedotJOHDATUS LUKUTEORIAAN (syksy 2017) HARJOITUS 1, MALLIRATKAISUT
JOHDATUS LUKUTEORIAAN (sysy 2017) HARJOITUS 1, MALLIRATKAISUT Tehtävä 1. (i) Etsi luvun 111312 aii teijät. (ii) Oloot a ja b positiivisia oonaisluuja joilla a b ja b a. Osoita, että silloin a = b. Rataisu
Lisätiedot1 sup- ja inf-esimerkkejä
Alla olevat kohdat (erityisesti todistukset) ovat lähinnä oheislukemista reaaliluvuista, mutta joihinkin niistä palataan myöhemmin kurssilla. 1 sup- ja inf-esimerkkejä Nollakohdan olemassaolo. Kaikki tuntevat
Lisätiedot(b) = x cos x 1 ( cos x)dx. = x cos x + cos xdx. = sin x x cos x + C, C R.
Calculus Kurssikoe..7. Laske (a) x sin x, (b) x x + x. (a) Merkitään u(x) = x ja v (x) = sin x, jolloin u (x) =, v(x) = cos x ja osittaisintegroimalla saadaan x sin x = u(x)v (x) = u(x)v(x) u (x)v(x) =
LisätiedotTehtävä 2 Todista luennoilla annettu kaava: jos lukujen n ja m alkulukuesitykset. ja m = k=1
Luuteoria Harjoitus 1 evät 2011 Alesis Kosi 1 Tehtävä 1 Näytä: jos a ja b ovat positiivisia oonaisluuja joille (a, b) = 1 ja a c, seä lisäsi b c, niin silloin ab c. Vastaus Kosa a c, niin jaollisuuden
LisätiedotMatemaattinen Analyysi
Vaasan yliopisto, 009-010 / ORMS1010 Matemaattinen Analyysi 7 harjoitus 1 Määritä seuraavien potenssisarjojen suppenemissäteet a) k k x 5)k b) k=1 k x 5)k = k k 1) k ) 1) Suppenemissäteen R käänteisarvo
Lisätiedot1 sup- ja inf-esimerkkejä
Alla olevat kohdat (erityisesti todistukset) ovat lähinnä oheislukemista reaaliluvuista, mutta joihinkin niistä palataan myöhemmin kurssilla. 1 sup- ja inf-esimerkkejä Kaarenpituus. Olkoon r: [a, b] R
LisätiedotDIFFERENTIAALI- JA INTEGRAALILASKENTA I.1. Ritva Hurri-Syrjänen/Syksy 1999/Luennot 6. FUNKTION JATKUVUUS
DIFFERENTIAALI- JA INTEGRAALILASKENTA I.1 Ritva Hurri-Syrjänen/Syksy 1999/Luennot 6. FUNKTION JATKUVUUS Huomautus. Analyysin yksi keskeisimmistä käsitteistä on jatkuvuus! Olkoon A R mielivaltainen joukko
LisätiedotMatematiikan tukikurssi
Matematiikan tukikurssi Kurssikerta 6 Sarjojen suppeneminen Kiinnostuksen kohteena on edelleen sarja a k = a + a 2 + a 3 + a 4 +... k= Tämä summa on mahdollisesti äärellisenä olemassa, jolloin sanotaan
LisätiedotMatemaattisen analyysin tukikurssi
Matemaattisen analyysin tukikurssi 5. Kurssikerta Petrus Mikkola 10.10.2016 Tämän kerran asiat Raja-arvo ja toispuolinen raja-arvo Funktion suurin ja pienin arvo Lukujono Lukujonon suppeneminen Kasvava
LisätiedotMATEMATIIKAN PERUSKURSSI II kevät 2018 Ratkaisut 1. välikokeen preppaustehtäviin. 1. a) Muodostetaan osasummien jono. S n =
MATEMATIIKAN PERUSKURSSI II kevät 208 Ratkaisut. välikokeen preppaustehtäviin. a) Muodostetaan osasummien jono S n = n ( k k) k= josta saadaan = ( 0 ) + ( 2) + ( 2 3) + ( n 2 n ) + ( n n) = n, n =, 2,...,
LisätiedotTenttiin valmentavia harjoituksia
Tenttiin valmentavia harjoituksia Alla olevissa harjoituksissa suluissa oleva sivunumero viittaa Juha Partasen kurssimonisteen siihen sivuun, jolta löytyy apua tehtävän ratkaisuun. Funktiot Harjoitus.
LisätiedotVastausehdotukset analyysin sivuainekurssin syksyn välikokeeseen
Vastausehdotukset analyysin sivuainekurssin syksyn 015 1. välikokeeseen Heikki Korpela November 1, 015 1. Tehtävä: funktio f : R R toteuttaa ehdot ax, kun x 1 f(x) x + 1, kun x < 1 Tutki, millä vakion
LisätiedotKonvergenssilauseita
LUKU 4 Konvergenssilauseita Lause 4.1 (Monotonisen konvergenssin lause). Olkoon (f n ) kasvava jono Lebesgueintegroituvia funktioita. Asetetaan f(x) := f n (x). Jos f n
Lisätiedot3 Lukujonon raja-arvo
ANALYYSI A, HARJOITUSTEHTÄVIÄ, KEVÄT 209 3 Lukujonon raja-arvo 3 Määritelmä Osoita, että 6n + 2n + 3 3 < 4 n ja määritä jokin sellainen n 0 Z +, että 6n + 2n + 3 3 < 0 87 aina, kun n > n 0 2 Olkoon x n
LisätiedotSisältö. Sarjat 10. syyskuuta 2005 sivu 1 / 17
Sarjat 10. syyskuuta 2005 sivu 1 / 17 Sisältö 1 Peruskäsitteistöä 2 1.1 Määritelmiä 2 1.2 Perustuloksia 4 2 Suppenemistestejä positiivitermisille sarjoille 5 3 Itseinen ja ehdollinen suppeneminen 8 4 Alternoivat
Lisätiedot5. Potenssisarjat 5.1. Määritelmä ja suppeneminen 84. 85. 86. 87. 88. 89.
5. Potenssisarjat 5.1. Määritelmä ja suppeneminen 84. Määritä seuraavien potenssisarjojen suppenemisympyrät: a) ( ) z + 3, b) 2 [ z 2 + ( 1) ], c) a) Koo omplesitaso; b) z =, R = 1; c) z = i, R = 4. 85.
LisätiedotMiten osoitetaan joukot samoiksi?
Miten osoitetaan joukot samoiksi? Määritelmä 1 Joukot A ja B ovat samat, jos A B ja B A. Tällöin merkitään A = B. Kun todistetaan, että A = B, on päättelyssä kaksi vaihetta: (i) osoitetaan, että A B, ts.
LisätiedotKompleksiset sarjat ja potenssisarjat
MS-C1300 Kompleksianalyysi Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Aalto-yliopisto K Kytölä & A Gutiérrez Syksy 2018 Ratkaisut 3A 3A Kompleksiset sarjat ja potenssisarjat 3A1 Laske seuraavien sarjojen
LisätiedotMS-A0402 Diskreetin matematiikan perusteet Esimerkkejä ym., osa I
MS-A00 Disreetin matematiian perusteet Esimerejä ym., osa I G. Gripenberg Jouo-oppi ja logiia Todistuset logiiassa Indutioperiaate Relaatiot ja funtiot Funtiot Aalto-yliopisto. maalisuuta 0 Kombinatoriia
LisätiedotMatematiikan tukikurssi: kurssikerta 12
Matematiikan tukikurssi: kurssikerta 2 Tenttiin valmentavia harjoituksia Huomio. Tähän tulee lisää ratkaisuja sitä mukaan kun ehin niitä kirjoittaa. Kurssilla käyään läpi tehtävistä niin monta kuin mahollista.
Lisätiedot3 Lukujonon raja-arvo
ANALYYSI A, HARJOITUSTEHTÄVIÄ, KEVÄT 208 3 Lukujonon raja-arvo 3 Määritelmä Osoita, että 6n + 2n + 3 3 < 4 n ja määritä jokin sellainen n 0 Z +, että 6n + 2n + 3 3 < 0 87 aina, kun n > n 0 2 Olkoon x n
LisätiedotJohdatus lukuteoriaan Harjoitus 1 syksy 2008 Eemeli Blåsten. Ratkaisuehdotelma
Johdatus luuteoriaan Harjoitus 1 ss 008 Eemeli Blåsten Rataisuehdotelma Tehtävä 1 Oloot a ja b positiivisia oonaisluuja. Osoita, että on olemassa siäsitteinen luu h ('luujen a ja b pienin hteinen jaettava',
LisätiedotKompleksitermiset jonot ja sarjat
Kompleksitermiset jonot ja sarjat Aalto MS-C300, 205, v., Kari Eloranta Tutkitaan kompleksitermisten jonojen ja sarjojen ominaisuuksia. Päätavoite on kompleksifunktioiden sarjakehitelmien ymmärrys. Määritelmä
Lisätiedotz z 0 (m 1)! g(m 1) (z0) k=0 Siksi kun funktioon f(z) sovelletaan Cauchyn integraalilausetta, on voimassa: sin(z 2 dz = (z i) n+1 k=0
TKK, Matematiian laitos v.pfaler/pursiainen Mat-.33 Matematiian perusurssi KP3-i sysy 2007 Lasuharjoitus 4 viio 40 Tehtäväsarja A viittaa aluviion ja L loppuviion tehtäviin. Valmistauu esittämään nämä
Lisätiedot1 Supremum ja infimum
Pekka Alestalo, 2018 Tämä moniste täydentää reaalilukuja ja jatkuvia reaalifunktioita koskevaa kalvosarjaa lähinnä perustelujen ja todistusten osalta. Suurin osa määritelmistä jms. on esitetty jo kalvoissa,
Lisätiedot7. Tasaisen rajoituksen periaate
18 FUNKTIONAALIANALYYSIN PERUSKURSSI 7. Tasaisen rajoituksen periaate Täydellisyydestä puristetaan maksimaalinen hyöty seuraavan Bairen lauseen avulla. Bairen lause on keskeinen todistettaessa kahta funktionaalianalyysin
LisätiedotPotenssisarja, suppenemissäde. Potenssisarja ja derivointi. Potenssisarja ja analyyttiset funktiot. Potenssisarja ja integrointi.
Matematiikan peruskurssi KP3 I OSA 4: Taylorin sarja, residymenetelmä A.Rasila J.v.Pfaler 26. syyskuuta 2007 Kompleksista sarjoista Jono, suppeneminen, summasarja Potenssisarja, suppenemissäde ja analyyttiset
LisätiedotSarjat ja differentiaaliyhtälöt, harjoitustehtäviä
Sarjat ja differentiaaliyhtälöt, harjoitustehtäviä. L Hospitalin sääntö on tuttu Analyysi :n kurssilta. Se on näppärä keino laskea tiettyjä raja-arvoja, mutta sen käytössä on oltava kuitenkin varovainen.
LisätiedotTämä merkitsee geometrisesti, että funktioiden f
28 2. Futiosarjat Edellä sarjat olivat luusarjoja, joide termit ovat (tässä urssissa) reaaliluuja. Jos termit ovat samasta muuttujasta riippuvia futioita, päädytää futiotermisii sarjoihi. Näide äyttö matematiiassa
LisätiedotMatematiikan tukikurssi, kurssikerta 5
Matematiikan tukikurssi, kurssikerta 5 1 Jonoista Matematiikassa jono (x n ) on yksinkertaisesti järjestetty, päättymätön sarja numeroita Esimerkiksi (1,, 3, 4, 5 ) on jono Jonon i:ttä jäsentä merkitään
LisätiedotAnalyysi 1. Harjoituksia lukuihin 1 3 / Syksy Osoita täsmällisesti perustellen, että joukko A = x 4 ei ole ylhäältä rajoitettu.
Analyysi Harjoituksia lukuihin 3 / Syksy 204. Osoita täsmällisesti perustellen, että joukko { 2x A = x ]4, [. x 4 ei ole ylhäältä rajoitettu. 2. Anna jokin ylä- ja alaraja joukoille { x( x) A = x ], [,
LisätiedotSeuraava topologisluonteinen lause on nk. Bairen lause tai Bairen kategorialause, n=1
FUNKTIONAALIANALYYSIN PERUSKURSSI 115 7. Tasaisen rajoituksen periaate Täydellisyydestä puristetaan maksimaalinen hyöty seuraavan Bairen lauseen avulla. Bairen lause on keskeinen todistettaessa kahta funktionaalianalyysin
LisätiedotAnalyysi III. Jari Taskinen. 28. syyskuuta Luku 1
Analyysi III Jari Taskinen 28. syyskuuta 2002 Luku Sisältö Sarjat 2. Lukujonoista........................... 2.2 Rekursiivisesti määritellyt lukujonot.............. 8.3 Sarja ja sen suppenminen....................
LisätiedotTaylorin sarja ja Taylorin polynomi
Taylorin sarja ja 1 Potenssisarja c k (x a) k = f (x) määrittelee x:n funktion. Seuraavaksi toteamme mikä yhteys potenssisarjalla on sen määrittelemän funktion derivaattoihin f (a),f (a),f (a),f (3) (a),...
Lisätiedotinfoa Viikon aiheet Potenssisarja a n = c n (x x 0 ) n < 1
infoa Viikon aiheet Tentti ensi viikolla ma 23.0. klo 9.00-3.00 Huomaa, alkaa tasalta! D0 (Sukunimet A-) E204 (Sukunimet S-Ö) Mukaan kynä ja kumi. Ei muuta materiaalia. Tentissä kaavakokoelma valmiina.
LisätiedotSarjat ja integraalit
Sarjat ja integraalit Peter Hästö 11. maaliskuuta 2015 Matemaattisten tieteiden laitos Eteneminen pvm luku v 11 2.1, 2.2 v 12 2.3, 2.4 v 13 3.1 v 14 3.2 v 15 4 v 16 5.1 v 17 5.2 v 18 6.1 v 19 6.2 Peter
LisätiedotBM20A5840 Usean muuttujan funktiot ja sarjat Harjoitus 7, Kevät 2018
BM20A5840 Usean muuttujan funktiot ja sarjat Harjoitus 7, Kevät 2018 Tehtävä 8 on tällä kertaa pakollinen. Aloittakaapa siitä. 1. Kun tässä tehtävässä sanotaan sopii mahdollisimman hyvin, sillä tarkoitetaan
LisätiedotANALYYSI 3. Tero Kilpeläinen
ANALYYSI 3 Tero Kilpeläinen Luentomuistiinpanoja syksyltä 2005 14. helmikuuta 2014 Sisältö 1. Esitietoja 2 1.1. Riemann-integraali............................ 2 1.2. Derivaatta.................................
LisätiedotJohdatus matemaattiseen päättelyyn
Johdatus matemaattiseen päättelyyn Maarit Järvenpää Oulun yliopisto Matemaattisten tieteiden laitos Syyslukukausi 2015 1 Merkintöjä 2 Todistamisesta 2 3 Joukko-oppia Tässä luvussa tarkastellaan joukko-opin
LisätiedotMatematiikan tukikurssi
Matematiikan tukikurssi Kertausta 2. välikokeeseen Toisessa välikokeessa on syytä osata ainakin seuraavat asiat: 1. Potenssisarjojen suppenemissäe, suppenemisväli ja suppenemisjoukko. 2. Derivaatan laskeminen
LisätiedotMATEMATIIKAN JA TILASTOTIETEEN LAITOS
f ( n) JYVÄSKYLÄN YLIOPISTO MATEMATIIKAN JA TILASTOTIETEEN LAITOS n Funktionaalianalyysi Ei harjoituksia 1.4.2015 Funktionaalista viihdettä pääsiäistauolle: viikolla 14 (ma 30.3., ti 31.3. ja ke 1.4.)
LisätiedotMS-A0104 Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 (ELEC2) MS-A0106 Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 (ENG2)
MS-A4 Differentiaali- ja integraalilaskenta (ELEC2) MS-A6 Differentiaali- ja integraalilaskenta (ENG2) Harjoitukset 3L, syksy 27 Tehtävä. a) Määritä luvun π likiarvo käyttämällä Newtonin menetelmää yhtälölle
LisätiedotTäydellisyysaksiooman kertaus
Täydellisyysaksiooman kertaus Luku M R on joukon A R yläraja, jos a M kaikille a A. Luku M R on joukon A R alaraja, jos a M kaikille a A. A on ylhäältä (vast. alhaalta) rajoitettu, jos sillä on jokin yläraja
LisätiedotFunktion raja-arvo ja jatkuvuus Reaali- ja kompleksifunktiot
3. Funktion raja-arvo ja jatkuvuus 3.1. Reaali- ja kompleksifunktiot 43. Olkoon f monotoninen ja rajoitettu välillä ]a,b[. Todista, että raja-arvot lim + f (x) ja lim x b f (x) ovat olemassa. Todista myös,
Lisätiedot[ ] [ 2 [ ] [ ] ( ) [ ] Tehtävä 1. ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2( ) = 1. E v k 1( ) R E[ v k v k ] E e k e k e k e k. e k e k e k e k.
ehtävä. x( + ) x( y x( + e ( y x( + e ( E v E e ( ) e ( R E[ v v ] E e e e e e e e e 6 estimointivirhe: ~ x( x( x$( x( - b y ( - b y ( estimointivirheen odotusarvo: x( - b x( - b e ( - b x( - b e ( ( -
Lisätiedotu(0, t) = 0 kaikille t > 0: lämpötila pidetään vakiona pisteessä x = 0;
3. Lämmönjohtumisyhtälö I Yksiulotteisessa lämmönjohtumisyhtälössä u t = u γ x tuntematon funktio u = u(x, t) kuvaa lämpötilaa yksiulotteisen kappaleen (ohut sauva; x-akseli) kohdassa x hetkellä t. Kun
LisätiedotSarjojen suppenemisesta
TAMPEREEN YLIOPISTO Pro gradu -tutkielma Terhi Mattila Sarjojen suppenemisesta Matematiikan ja tilastotieteen laitos Matematiikka Huhtikuu 008 Tampereen yliopisto Matematiikan ja tilastotieteen laitos
LisätiedotTodennäköisyysjakaumat 1/5 Sisältö ESITIEDOT: todennäköisyyslaskenta, määrätty integraali
Todennäöissjaaumat /5 Sisältö ESITIEDOT: lasenta, määrätt Haemisto KATSO MYÖS: tilastomatematiia P (X = )=p. Nämä ovat 0 ja niiden summa on p =. Pistetodennäöisdet voidaan graafisesti esittää pstsuorien
LisätiedotYlioppilastutkintolautakunta S tudentexamensnämnden
Ylioppilastutintolautaunta S tudenteamensnämnden MATEMATIIKAN KOE, PITKÄ OPPIMÄÄRÄ 0..0 HYVÄN VASTAUKSEN PIIRTEITÄ Alla oleva vastausten piirteiden ja sisältöjen luonnehdinta ei sido ylioppilastutintolautaunnan
LisätiedotTodista raja-arvon määritelmään perustuen seuraava lause: Jos lukujonolle a n pätee lima n = a ja lima n = b, niin a = b.
2 Lukujonot 21 Lukujonon määritelmä 16 Fibonacci n luvut määritellään ehdoilla Osoita: 17 a 1 = a 2 = 1; a n+2 = a n+1 + a n, n N a n = 1 [( 1 + ) n ( 2 1 ) n ] 2 Olkoon a 1 = 3, a 2 = 6, a n+1 = 1 n (na
LisätiedotMS-A0102 Differentiaali- ja integraalilaskenta 1
MS-A0102 Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Riikka Korte (Pekka Alestalon kalvojen pohjalta) Aalto-yliopisto 24.10.2016 Sisältö Käytännön asiat Jonot Sarjat 1.1 Opettajat luennoitsija Riikka Korte
LisätiedotLuku 2. Jatkuvien funktioiden ominaisuuksia.
1 MAT-1343 Laaja matematiikka 3 TTY 21 Risto Silvennoinen Luku 2. Jatkuvien funktioiden ominaisuuksia. Jatkossa väli I tarkoittaa jotakin seuraavista reaalilukuväleistä: ( ab, ) = { x a< x< b} = { x a
LisätiedotMat / Mat Matematiikan peruskurssi C3-I / KP3-I Harjoitus 5 / vko 42, loppuviikko, syksy 2008
Mat-.3 / Mat-.33 Matematiikan peruskurssi C3-I / KP3-I Harjoitus 5 / vko 4, loppuviikko, syksy 8 Ennen malliratkaisuja, muistin virkistämiseksi kaikkien rakastama osittaisintegroinnin kaava: b a u(tv (t
LisätiedotSattuman matematiikkaa III
Sattuman matematiiaa III Kolmogorovin asioomat ja frevenssitulinta Tommi Sottinen Tutija Matematiian ja tilastotieteen laitos, Helsingin yliopisto Laboratoire de Probabilités et Modèles Aléatoires, Université
LisätiedotAlkulukujen harmoninen sarja
Alkulukujen harmoninen sarja LuK-tutkielma Markus Horneman Oiskelijanumero:2434548 Matemaattisten tieteiden laitos Oulun ylioisto Syksy 207 Sisältö Johdanto 2 Hyödyllisiä tuloksia ja määritelmiä 3. Alkuluvuista............................
LisätiedotSarjat ja integraalit, kevät 2015
Sarjat ja integraalit, kevät 2015 Peter Hästö 11. maaliskuuta 2015 Matemaattisten tieteiden laitos Osaamistavoitteet Kurssin onnistuneen suorittamisen jälkeen opiskelija osaa erottaa jatkuvuuden ja tasaisen
Lisätiedot2.2.1 Ratkaiseminen arvausta sovittamalla
2.2.1 Ratkaiseminen arvausta sovittamalla Esimerkki: lomitusjärjestäminen (edellä) Yleistys: Ratkaistava T (1) c T (n) g(t (1),..., T (n 1), n) missä g on n ensimmäisen parametrin suhteen kasvava. (Ratkaisu
LisätiedotKOMPLEKSIANALYYSI I KURSSI SYKSY 2012
KOMPLEKSIANALYYSI I KURSSI SYKSY 2012 RITVA HURRI-SYRJÄNEN 8. Integraalilauseiden sovelluksia 1. Analyyttisen funktion sarjaesitys. (eli jokainen analyyttinen funktio on lokaalisti suppenevan potenssisarjan
LisätiedotANALYYSI 3 HELI TUOMINEN
ANALYYSI 3 HELI TUOMINEN Alkusanat Tässä on muistiinpanot syksyllä 202 luennoimastani kurssista Analyysi 3. Kurssin pohana on Tero Kilpeläisen luentomoniste samannimiselle kurssille. Tässä monisteessa
LisätiedotMS-A010{3,4} (ELEC*) Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Luento 3: Jatkuvuus
MS-A010{3,4} (ELEC*) Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Luento 3: Jatkuvuus Pekka Alestalo, Jarmo Malinen Aalto-yliopisto, Matematiikan ja systeemianalyysin laitos 19.9.2016 Pekka Alestalo, Jarmo
LisätiedotModaalilogiikan harjoitusteht vi Aatu Koskensilta 1 Harjoitusteht v t Teht v 100 a) Osoitamme, ett Th(F 1 F 2 ) Th(F 1 ) [ Th(F 2 ) vastaesim
Modaalilogiian harjoitusteht vi Aatu Kosensilta 1 Harjoitusteht v t 16.4 1.1 Teht v 100 a) Osoitamme, ett Th(F 1 F 2 ) Th(F 1 ) [ Th(F 2 ) vastaesimerin avulla. Otamme ehysisi F 1 = hz? ;?i ja F 1 = hz
LisätiedotEksponenttifunktio. Johdanto. Määritelmä. Pekka Alestalo Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Aalto-yliopisto
Solmu 3/08 3 Esponenttifuntio Pea Alestalo Matematiian ja systeemianalyysin laitos Aalto-yliopisto Jodanto Esponenttifuntio e x on eräs täreimmistä matematiiassa ja varsinin sen sovellusissa esiintyvistä
LisätiedotJohdatus todennäköisyyslaskentaan Momenttiemäfunktio ja karakteristinen funktio. TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 1
Johdatus todennäköisyyslaskentaan Momenttiemäfunktio ja karakteristinen funktio TKK (c) Ilkka Mellin (5) 1 Momenttiemäfunktio ja karakteristinen funktio Momenttiemäfunktio Diskreettien jakaumien momenttiemäfunktioita
LisätiedotLUKU 3. Ulkoinen derivaatta. dx i 1. dx i 2. ω i1,i 2,...,i k
LUKU 3 Ulkoinen derivaatta Olkoot A R n alue k n ja ω jatkuvasti derivoituva k-muoto alueessa A Muoto ω voidaan esittää summana ω = ω i1 i 2 i k dx i 1 dx i 2 1 i 1
Lisätiedot3. Markovin prosessit ja vahva Markovin ominaisuus
30 STOKASTISET DIFFERENTIAALIYHTÄLÖT 3. Marovin prosessit ja vahva Marovin ominaisuus Aloitamme nyt edellisen appaleen päättäneen esimerin yleistämisen Brownin liieelle. Käymme ysitellen läpi esimerin
LisätiedotÄärettämän sarjan (tai vain sarjan) sanotaan suppenevan eli konvergoivan, jos raja-arvo lims
75 4 POTENSSISARJOJA 4.1 ÄÄRETTÖMÄT SARJAT Lukujoo { a k } summaa S a a a a a k 0 1 k k0 saotaa äärettömäksi sarjaksi. Summa o s. osasumma. S a a a a a k 0 1 k0 Äärettämä sarja (tai vai sarja) saotaa suppeeva
LisätiedotPoistumislause Kandidaatintutkielma
Poistumislause Kandidaatintutkielma Mikko Nikkilä 013618832 26. helmikuuta 2011 Sisältö 1 Johdanto................................... 2 2 Olemassaolon ja yksikäsitteisyyden historiaa............ 3 3 Esitietoja..................................
Lisätiedot5 Funktion jatkuvuus ANALYYSI A, HARJOITUSTEHTÄVIÄ, KEVÄT Määritelmä ja perustuloksia
ANALYYSI A, HARJOITUSTEHTÄVIÄ, KEVÄT 2018 5 Funktion jatkuvuus 5.1 Määritelmä ja perustuloksia 1. Tarkastellaan väitettä a > 0: b > 0: c > 0: d U c (a): f(d) / U b (f(a)), missä a, b, c, d R. Mitä funktion
LisätiedotMS-A0102 Differentiaali- ja integraalilaskenta 1
MS-A0102 Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Riikka Korte (Pekka Alestalon kalvojen pohjalta) Aalto-yliopisto 15.11.2016 Sisältö Alkeisfunktiot 1.1 Funktio I Funktio f : A! B on sääntö, joka liittää
LisätiedotKuinka määritellään 2 3?
Kuinka määritellään 2 3? y Nyt 3 = 1,7320508.... Luvut 3 2 x x 3 2 x 2 1 = 2, 2 1,7 3,2490, 2 1,73 3,3173, 2 1,732 3,3219,... ovat hyvin määriteltyjä koska näihin tarvitaan vain rationaalilukupotenssin
LisätiedotEnsimmäinen induktioperiaate
Ensimmäinen induktioperiaate Olkoon P(n) luonnollisilla luvuilla määritelty predikaatti. (P(n) voidaan lukea luvulla n on ominaisuus P.) Todistettava, että P(n) on tosi jokaisella n N. ( Kaikilla luonnollisilla
Lisätiedot2 b 1 + b 1 x. = b 1 (x 4) (x 2) b 1 (x 2)
3. Approsimointi 3.. Padén approsimaatio. Cauchyn approsimaatio: [7, I, 5.8]; Padén approsimaatio: [7, I, 5.9]; [, 9.5-8] Lagrangen interpolaatiopolynomi antaa ysinertaisen rataisun sileän funtion arvojen
LisätiedotFunktiot. funktioita f : A R. Yleensä funktion määrittelyjoukko M f = A on jokin väli, muttei aina.
Funktiot Tässä luvussa käsitellään reaaliakselin osajoukoissa määriteltyjä funktioita f : A R. Yleensä funktion määrittelyjoukko M f = A on jokin väli, muttei aina. Avoin väli: ]a, b[ tai ]a, [ tai ],
LisätiedotReaaliluvut. tapauksessa metrisen avaruuden täydellisyyden kohdalla. 1 fi.wikipedia.org/wiki/reaaliluku 1 / 13
Reaaliluvut Reaalilukujen joukko R. Täsmällinen konstruointi palautuu rationaalilukuihin, jossa eri mahdollisuuksia: - Dedekindin leikkaukset - rationaaliset Cauchy-jonot - desimaaliapproksimaatiot. Reaalilukujen
LisätiedotAnalyysi 1. Harjoituksia lukuihin 4 7 / Syksy Tutki funktion f(x) = x 2 + x 2 jatkuvuutta pisteissä x = 0 ja x = 1.
Analyysi 1 Harjoituksia lukuihin 4 7 / Syksy 014 1. Tutki funktion x + x jatkuvuutta pisteissä x = 0 ja x = 1.. Määritä vakiot a ja b siten, että funktio a x cos x + b x + b sin x, kun x 0, x 4, kun x
Lisätiedot8. Avoimen kuvauksen lause
116 FUNKTIONAALIANALYYSIN PERUSKURSSI 8. Avoimen kuvauksen lause Palautamme aluksi mieleen Topologian kursseilta ehkä tutut perusasiat yleisestä avoimen kuvauksen käsitteestä. Määrittelemme ensin avoimen
Lisätiedot