Differentiaali- ja integraalilaskenta 1: tiivistelmä ja oheislukemista

Koko: px
Aloita esitys sivulta:

Download "Differentiaali- ja integraalilaskenta 1: tiivistelmä ja oheislukemista"

Transkriptio

1 Differentili- j integrlilskent 1: tiivistelmä j oheislukemist Pekk Alestlo 4. syyskuut 2014 Tähdellä merkityt kohdt on trkoitettu lähinnä oheislukemistoksi. Lisäksi mukn on joitkin lukiot kertvi kohti, joist kikki ei käsitellä luennoll. 1 Funktiot 1.1 Merkintöjä Relilukujen joukko R, symbolisesti ], [. Sen lkioit kutsutn usein pisteiksi. Avoin väli ], b[ ti ], [ ti ], b[ ti ], [. Suljettu väli [, b]. Puolivoimet välit: muoto [, b[ ti ], b]. 1.2 Funktion määrittely Funktio f : A B on sääntö, jok liittää jokiseen joukon A lkioon täsmälleen yhden B:n lkion b. Merkitään b = f(). Tässä A = M f on f:n määrittelyjoukko j B on f:n mlijoukko. Funktion f rvojoukko (eli kuvjoukko) on B:n osjoukko f[a] = {f() A}. Esimerkiksi funktion f : R R, f(x) = x 2, mlijoukko on R, mutt sen rvojoukko on [0, [. Edellisen esimerkin funktio voidn toki määritellä suorn muodoss f : R [0, [, f(x) = x 2, jolloin rvojoukko on sm kuin mlijoukko. Näin voidn peritteess menetellä kikkien funktioiden kohdll, mutt se ei yleensä ole käytännöllistä. Esimerkki: Yritä tehdä sm funktiolle f : R R, f(x) = x 6 + x 2 + x, x R. Jos funktion määrittelyjoukko A R, niin kyseessä on yhden muuttujn funktio, joit tällä kurssill käsitellään. 1

2 Jos A R n, n 2, niin kyseessä on usen muuttujn funktio, joit käsitellään kursseill Differentili- j integrlilskent Funktion jtkuvuus Funktion jtkuvuus määritellään usein rj-rvon vull. Jtkuvuus on kuitenkin rj-rvo yksinkertisempi käsite, joten loitmme sillä. Muist: Jos, b R, niin luseke b on pisteiden j b välinen etäisyys. Olkoon A R j f : A R funktio. Funktio f on jtkuv pisteessä A, kun pätee: Jokist ε > 0 vst sellinen δ > 0, että f(x) f() < ε in kun x A j x < δ. Piirrä hvinnollinen kuv! Usein funktion määrittelyjoukko A on jokin väli. Tällöin jtkuvuutt voidn tutki määritelmän vull myös väliin kuuluvss päätepisteessä; ehto x A on olenninen. Jos f on jtkuv jokisess määrittelyjoukkons pisteessä, niin se on jtkuv joukoss A (ti lyhyesti: jtkuv). Jtkuvi funktioit ovt esim. polynomit: P (x) = c n x n + c n 1 x n c 1 x + c 0 ; rtionlifunktiot: R(x) = P (x)/q(x), kun P j Q ovt polynomej; juurifunktiot: f(x) = x p/q, kun x 0; trigonometriset funktiot sin, cos, tn j cot; jtkuvien funktioiden summt, tulot j osmäärät (määrittelyjoukko!); jtkuvien funktioiden yhdistetyt funktiot. 1.4 Jtkuvien funktioiden ominisuuksi Olkoon f : A R. Funktioll f on mksimi eli suurin rvo pisteessä 0 A, jos f() f( 0 ) kikill A. Vstvsti f:llä on minimi eli pienin rvo pisteessä 1 A, jos f() f( 1 ) kikill A. Muuttujn rvot 0 j 1 ovt funktion f äärirvokohti. Funktion rvot f( 0 ) j f( 1 ) ovt funktion äärirvot. I perustulos: Suljetull välillä määritellyllä jtkuvll funktioll on mksimi j minimi joisskin välin pisteissä. 2

3 II perustulos (Jtkuvien funktioiden välirvoluse): Suljetull välillä I määritelty jtkuv funktio s kikki rvot, jotk ovt sen minimin j mksimin välissä. Toisin snoen: funktion rvojoukko f[i] on myös väli. Tässä muodoss väite pätee myös voimille ti puolivoimille väleille I (jolloin mksimi ti minimiä ei in ole). Erityisesti: Jos f : [, b] R on jtkuv j f()f(b) < 0, niin funktioll f on nollkoht voimell välillä ], b[. Näitä sioit käsitellään yleisemmin kurssill MS-C1540 Euklidiset vruudet, joss ne myös todistetn. 1.5 Funktion rj-rvo Jos A R j f : A R, niin f:n käyttäytymistä pisteen x 0 R lähellä voidn tutki myös funktion rvost f(x 0 ) välittämättä; ei edes trvitse oll x 0 A. Tällöin puhutn funktion f rj-rvost pisteessä x 0. Määrittelemme rj-rvon vin sellisiss pisteissä x 0 R, joille jokinen väli [x 0 δ, x 0 + δ] sisältää äärettömän mont joukon A pistettä, vikk δ > 0 olisi kuink pieni thns. (Tällisi pisteitä x 0 kutsutn joukon A ksutumispisteiksi.) Funktioll f : A R on rj-rvo L pisteessä x 0 Jokist ε > 0 vst sellinen δ > 0, että Tällöin merkitään f(x) L < ε in kun x A j 0 < x x 0 < δ. lim x x 0 f(x) = L. R, jos pätee: Huom: Ehdon 0 < x x 0 ino trkoitus on rjt mhdollinen funktion rvo f(x 0 ) pois käsittelystä; ts. ehto tutkitn vin tpuksess x x 0. Vstvll tvll sdn myös toispuoleiset rj-rvot lim f(x) j lim x x 0 + f(x), x x 0 kun epäyhtälö 0 < x x 0 < δ korvtn epäyhtälöllä 0 < x x 0 < δ ti 0 < x 0 x < δ. Nämä voidn tulkit myös tvllisen rj-rvon erikoistpuksin, kun funktion määrittelyjoukoksi muutetn A ]x 0, [ ti A ], x 0 [. Tällöin on voimss: Rj-rvo on olemss täsmälleen silloin, kun lim f(x) = L x x 0 lim f(x) = lim f(x) = L. x x 0 + x x 0 3

4 Funktion rj-rvo toteutt seurvt lskusäännöt: Jos lim f(x) = j x x 0 lim g(x) = b, x x0 niin f(x) lim (f(x) + g(x)) = + b, lim f(x)g(x) = b, lim x x 0 x x0 x x0 g(x) = b ; viimeisen kohdll täytyy olett b 0 (jolloin g(x) 0 josskin pisteen x 0 ympäristössä). Jos funktion määrittelyjoukko on väli, niin jtkuvuus pisteessä x 0 M f on yhtäpitävää sen knss, että lim f(x) = f(x 0 ). x x 0 Jos f : A R on jtkuv, x 0 A j lim x x0 f(x) = L, niin voidn määritellä uusi funktio f : A R, A = A {x 0 }, settmll { f(x), kun x A, f(x) = L, kun x = x 0. Tällöin f on jtkuv. Usein merkitään hiukn epätäsmällisesti f = f. Tyypillinen esimerkki: f(x) = on jtkuv koko relikselill. { sin x x x 0, 1, x = 0, Myös seurvt käsitteet voidn määritellä täsmällisesti: lim f(x) = ±, x x 0 lim f(x) = L, lim x ± f(x) = ±, jne. x ± Esimerkiksi lim f(x) =, x x 0 jos pätee: Jokist M R vst sellinen δ > 0, että f(x) > M in kun x A j 0 < x x 0 < δ. 4

5 2 Derivtt 2.1 Määritelmä j perusominisuudet Erilisi lähestymistpoj: geometrinen (käyrän tngentti seknttien rjsenton) ti fysiklinen (jst riippuvn funktion hetkellinen muutosnopeus). Funktio f määritelty josskin pisteen x 0 R ympäristössä; sen derivtt on f(x 0 + h) f(x 0 ) f(x) f(x 0 ) lim = lim, h 0 h x x0 x x 0 jos rj-rvo olemss. Funktio on derivoituv, jos sillä on derivtt jokisess määrittelyjoukon (= voin väli) pisteessä. Merkintöjä: f (x) = Df(x) = df dx. Derivtn määritelmä joht pproksimtioon f (x 0 ) f(x) f(x 0) x x 0 f(x) f(x 0 ) + f (x 0 )(x x 0 ) Oiken puoleinen luseke on funktion f linerisointi eli differentili pisteessä x 0. Sille käytetään merkintää df. Linerisoinnin kuvj y = f(x 0 )+f (x 0 )(x x 0 ) on funktion kuvjn pisteeseen (x 0, f(x 0 )) setettu tngenttisuor. Fysiklinen tulkint: x = x(t) kppleen yksiulotteisen liikeen pikkkoordintti hetkellä t, sen hetkellinen nopeus on v(t) = x (t) = ẋ(t). Näistä viimeinen on tvllinen merkintä fysiikss. Lskusääntöjä: Linerisuus D(f(x) + g(x)) = f (x) + g (x) D(cf(x)) = cf (x), kun c R on vkio Tulon derivoimissääntö D(f(x)g(x)) = f (x)g(x) + f(x)g (x) Osmäärän derivoimissääntö ( ) f(x) D = f (x)g(x) f(x)g (x) g(x) g(x) 2 Yhdistetyn funktion derivoiminen (Chin Rule = ketjusääntö; nimen tust liittyy osittisderivttoihin, joist lisää kurssill Differentilij integrlilskent 2) D(f(g(x)) = f (g(x))g (x) 5

6 Eräitä derivttoj: D(vkiofunktio) = 0, D(x r ) = rx r 1, r 0, D(sin x) = cos x, D(cos x) = sin x Välirvoluse: Olkoon f : [, b] R jtkuv j lisäksi derivoituv välillä ], b[. Tällöin on olemss sellinen piste c ], b[, että f (c) = f(b) f(), ts. f(b) f() = f (c)(b ). b Seurus: Jos f (x) = 0 kikiss voimen välin pisteissä x, niin funktio f on vkio tällä välillä Seurus: Jos f (x) 0 jollkin välillä, niin f on ksvv; jos f (x) 0 jollkin välillä, niin f on vähenevä Jos edellisen kohdn lisäksi f (x) = 0 inostn yksittäisissä pisteissä, niin f on idosti ksvv/vähenevä. Esim: f(x) = x L Hospitlin sääntö Rj-rvojen lskeminen derivtn vull; erilisi versioit mm. tyyppiä "0/0" ti " / " oleville rj-rvoille; myös toispuoleisille. Tärkein tpus: Oletetn, että f(x 0 ) = g(x 0 ) = 0 j funktiot f, g ovt derivoituvi. Jos f (x) lim x x 0 g (x) on olemss, niin 2.3 Äärirvotehtävät f(x) lim x x 0 g(x) = lim f (x) x x 0 g (x). Pikllinen äärirvo = pikllinen mksimi ti minimi; voi esiintyä myös määrittelyvälin päätepisteessä. Pikllinen äärirvo voi tull (i) derivtn nollkohdss (ii) määrittelyvälin päätepisteessä, ti (iii) kohdss joss funktio ei ole derivoituv. Jos tiedetään etukäteen, että funktioll on mksimi/minimi, niin etsitään kikki mhdolliset piklliset äärirvokohdt (vrt. edellinen), lsketn niissä funktion rvot j vlitn näistä suurin/pienin. 6

7 2.4 Kuperuus* Kuper eli konveksi lue D R 2 : jos x, y D, niin myös niiden välinen yhdysjn [x, y] D Välillä I R määritelty funktio on konveksi, jos sen kuvjn yläpuolinen tsolue on konveksi; tähän riittää se että kuvjlle piirretyt sekntit ovt in kuvjn yläpuolell, kvn f((1 t)x + ty) (1 t)f(x) + tf(y) kikill x, y I j kikill t [0, 1]. Erityisesti: jos f (x) 0 koko välillä, niin f on konveksi Funktion käännepiste: koht, joss kuvjll on tngentti j funktion kuperuussuunt vihtuu. Esimerkiksi, jos f (x) viht merkkiä. Kuperuutt tutkimll päädytään seurvn tulokseen: jos funktion f derivtn nollkohdss x 0 on f (x 0 ) < 0, niin kyseessä on pikllinen mksimi; jos f (x 0 ) > 0, niin kyseessä on pikllinen minimi. Tpuksess f (x 0 ) = 0 tilnnett täytyy tutki trkemmin (esimerkiksi korkemmn kertluvun derivttojen vull). 3 Tylor-polynomit 3.1 Tylor-polynomi Tylor-polynomi P n (x; x 0 ) = funktion prs n-steinen polynomipproksimtio (derivoinnin knnlt) pisteen x 0 lähellä. Mclurin-polynomi: tpus x 0 = 0. Jos f on n kert derivoituv pisteessä x 0, niin polynomill P n (x) = P n (x; x 0 ) = f(x 0 ) + f (x 0 )(x x 0 ) + f (x 0 ) (x x 0 ) f (n) (x 0 ) (x x 0 ) n 2! n! n f (k) (x 0 ) = (x x 0 ) k k! k=0 on pisteessä x 0 smt derivtt kuin f:llä kertlukuun n skk. Tylorin kv: Jos derivtt f (n+1) on olemss j se on jtkuv funktio, niin f(x) = P n (x; x 0 ) + E n (x) j virhetermille E n (x) pätee E n (x) = f (n+1) (ξ) (n + 1)! (x x 0) n+1 7

8 josskin pisteessä ξ [x 0, x] (ti [x, x 0 ]). Jos on olemss indeksistä n riippumton vkio M, jolle f (n+1) (x) M jollkin välillä, niin tällöin kun n j x on kiinteä. E n (x) M (n + 1)! x x 0 n+1 0, Eräitä Mclurin-polynomipproksimtioit: 1 1 x 1 + x + x2 + + x n e x 1 + x + 1 2! x ! x n! xn ln(1 + x) x 1 2 x x3 + ( 1)n 1 x n n sin x x 1 3! x ! x5 + ( 1)n (2n + 1)! x2n Newtonin menetelmä cos x 1 1 2! x ! x4 + ( 1)n (2n)! x2n Ensimmäisen steen Tylor-polynomi P 1 (x) = f(x 0 ) + f (x 0 )(x x 0 ) on sm kuin funktion f linerisointi pisteen x 0 suhteen. Sitä voidn käyttää erilisiss rvioiss j numeerisiss menetelmissä. Newtonin menetelmä: Yhtälö f(x) = 0 rtkistn likimääräisesti vlitsemll lkupiste x 0 (esimerkiksi kuvion perusteell) j määrittelemällä x n+1 = x n f(x n) f (x n ), kun n = 0, 1, 2,... Näin sdn lukujono (x 0, x 1, x 2,... ), jonk termit yleensä ntvt yhä prempi likirvoj funktion f nollkohdlle. Plutuskv perustelln geometrisesti etsimällä funktion nollkoht sen linerisoinnin (eli tngentin) vull. 3.3 Tylor-srj* Jos Tylorin kvn virhetermi E n (x) lähestyy noll, kun n ksv, sdn Tylor-polynomin rj-rvon funktion f Tylor-srj (ti Mclurinsrj, jos x 0 = 0). Tylor-srj on siis muoto f (k) (x 0 ) n (x x 0 ) k = lim k! n k=0 k=0 f (k) (x 0 ) (x x 0 ) k k! Tämä on esimerkki yleisestä potenssisrjst, joit käsitellään kurssin lopuss. Niitä esiintyy kuitenkin monien lkeisfunktioiden yhteydessä, joten jo tässä lyhyt yhteenveto. 8

9 Potenssisrj on muoto n c k (x x 0 ) k = lim c k (x x 0 ) k n k=0 olev srj. Piste x 0 on srjn keskus j luvut c k srjn kertoimi. Srj suppenee rvoll x, jos yllä olev rj-rvo on määritelty. Tämän suhteen on vin kolme erilist tpust: srj suppenee vin rvoll x = x 0 (jolloin srjss esiintyy vin vkiotermi c 0 ) srj suppenee kikill x R srj suppenee jollkin välillä ]x 0 R, x 0 + R[ (j mhdollisesti yhdessä ti molemmiss päätepisteissä) mutt hjntuu muill x:n rvoill. Viimeisessä kohdss esiintyvä luku R on potenssisrjn suppenemissäde; sovitn lisäksi, että R = 0 ti R = muiss tpuksiss. Suppenemisvälillä I tulee siis määriteltyä funktio f : I R, f(x) = c k (x x 0 ) k, k=0 jok on nimeltään srjn summfunktio. Potenssisrjn summfunktio f on välillä ]x 0 R, x 0 + R[ jtkuv j derivoituv. Lisäksi derivtn f (x) voi lske derivoimll srj termeittäin: f (x) = kc k (x x 0 ) k 1. k=0 Esimerkkejä (joist osn pltn myöhemmin): 1 1 x = x k, x < 1 k=0 e x 1 = k! xk, x R k=0 ( 1) k sin x = (2k + 1)! x2k+1, x R k=0 ( 1) k cos x = (2k)! x2k, x R k=0 (1 + x) r r(r 1)(r 2)... (r k + 1) = 1 + x k, x < 1 k! 9

10 Viimeinen on nimeltään binomisrj j se on voimss kikill r R. Jos r N, niin srjn kertoimet ovt nolli summusindeksistä k = r + 1 lähtien j tuloksen on binomikv. 4 Alkeisfunktiot 4.1 Käänteisfunktio Funktio f : A B on injektio, jos eri pisteissä sdn eri rvot, ts. x 1 x 2 f(x 1 ) f(x 2 ), ts. f(x 1 ) = f(x 2 ) x 1 = x 2. surjektio, jos rvojoukko on sm kuin mlijoukko, ts. fa = B. bijektio, jos se on sekä injektio että surjektio. Huom: Funktiost tulee surjektio, kun mlijoukko kutistetn mhdollisimmn pieneksi, eli jätetään pois kikki ne pisteet, jotk eivät ole funktion rvoj. Toinen tp määritellä nämä käsitteet perustuu yhtälön rtkisujen lukumäärän tutkimiseen: Jos y B on kiinteä, niin yhtälöllä y = f(x) on korkeintn yksi rtkisu x A, jos f on injektio inkin yksi rtkisu, jos f on surjektio täsmälleen yksi rtkisu, jos f on bijektio. Jos f : A B on bijektio, niin sillä on käänteisfunktio f 1 : B A, jok määräytyy ehdost y = f(x) x = f 1 (y). Käänteisfunktiolle pätee f 1 (f()) = kikill A j f(f 1 (b)) = b kikill b B. Käänteisfunktion kuvj on lkuperäisen kuvjn peilikuv suorn y = x suhteen. Perustelu: piste (, b) on funktion f kuvjll b = f() = f 1 (b) piste (b, ) on funktion f 1 kuvjll. Lisäksi opertion (, b) (b, ) geometrinen tulkint on peilus suorn y = x suhteen. Jos A R j f : A R on idosti monotoninen, niin funktioll f : A f[a] on käänteisfunktio. Jos yllä A on väli j f on jtkuv, niin myös f 1 on jtkuv joukoss f[a]. Käänteisfunktion derivtt: f : ], b[ ]c, d[ idosti monotoninen surjektio, jolloin f:llä on käänteisfunktio f 1 : ]c, d[ ], b[. Tällöin kuvjt y = f(x) j y = f 1 (x) ovt toistens peilikuvi suorn y = x suhteen j ( f 1 ) (x) = 1 f (f 1 (x)), 10

11 jos f (f 1 (x)) 0. Huom: f (f 1 (x)) = funktion f derivtt lskettun pisteessä f 1 (x). 4.2 Trigonometriset funktiot Kulmn yksikkö rdini = rd: kulm vstvn yksikköympyrän osn krenpituus. π rd = 180 stett, ts. 1 rd = 180/π 57,3 stett Funktiot sin x, cos x määritellään yksikköympyrän vull niin, että (cos x, sin x), x [0, 2π], on yksikköympyrän prmetrisointi krenpituuden x vull. Jksollisuus: Ominisuuksi: tn x = sin x cos cot x = cos x sin x (x π/2 + nπ), (x nπ) sin(x + 2π) = sin x, cos(x + 2π) = cos x, tn(x + π) = tn x sin 0 = 0, sin(π/2) = 1, cos 0 = 1, cos(π/2) = 0, sin( x) = sin x, cos( x) = cos x, tn( x) = tn x, Yhteenlskukvt: sin 2 x + cos 2 x = 1, sin(x + y) = sin x cos y + cos x sin y, cos(x + y) = cos x cos y sin x sin y Derivtt: D(sin x) = cos x, D(cos x) = sin x Edellisestä seur, että molemmt funktiot y(t) = sin ωt j y(t) = cos ωt toteuttvt differentiliyhtälön y (t) + ω 2 y(t) = 0, jok kuv ns. hrmonist värähtelyä. Tässä muuttuj t on ik j vkio ω > 0 on värähtelyn kulmtjuus. Kuten myöhemmin nähdään, differentiliyhtälön kikki rtkisut ovt muoto y(t) = A cos ωt + B sin ωt, joss A, B ovt vkioit. Ne määräytyvät yksikäsitteisesti, jos tunnetn esimerkiksi lkutil y(0) j lkunopeus y (0). Kikki rtkisut ovt jksollisi j niiden jksonik on T = 2π/ω. 11

12 4.3 rcus-funktiot Trigonometrisill funktioill on käänteisfunktio, jos funktioiden määrittelyj mlijoukkoj rjoitetn sopivll tvll. Sini-funktio on idosti ksvv bijektio. Kosini-funktio on idosti vähenevä bijektio. Tngentti-funktio on idosti ksvv bijektio. Käänteisfunktiot: Siis: sin: [ π/2, π/2] [ 1, 1] cos: [0, π] [ 1, 1] tn: ] π/2, π/2[ R rctn x ] π/2, π/2[, kun x R, rcsin x [ π/2, π/2], kun x [ 1, 1], rccos x [0, π], kun x [ 1, 1] x = tn α α = rctn x, kun α ] π/2, π/2[ x = sin α α = rcsin x, kun α [ π/2, π/2] x = cos α α = rccos x, kun α [0, π] Huom: rc nnetn rdineiss, ellei kyseessä ole geometrinen sovellus. Käänteisfunktioiden derivtt D rctn x = D rcsin x = D rccos x = x, x R 2 1, 1 < x < 1 1 x x 2, 1 < x < 1 12

13 4.4 Eksponentti- j logritmi Neperin luku e = ( lim ) n = n n 2! + 1 3! + 1 4! , Eksponenttifunktio f(x) = e x = lim (1 + x ) n x n = n n n! n=0 Määritelmä perustuu ominisuuteen f (x) = f(x), jonk vuoksi eksponenttifunktio on tärkeä differentiliyhtälöiden rtkisemisess. Yhteys erilisten määritelmien välillä on suorviivinen, mutt pitkähkö lsku, jok sivuutetn tällä kurssill. Ominisuuksi: e 0 = 1, e x > 0 kikill x, D(e x ) = e x, e x = 1/e x, (e x ) y = e xy, e x e y = e x+y Logritmifunktio = eksponenttifunktion käänteisfunktio: Ominisuuksi ln x, x > 0 e ln x = x, ln(e x ) = x, ln 1 = 0, ln e = 1, ln( b ) = b ln, ln(b) = ln + ln b, D ln x = 1/x, x 0 Eksponenttifunktion vull voidn rtkist täydellisesti differentiliyhtälö y = ky, kun k on vkio: Kikki funktiot y = y(x), joille on voimss y (x) = ky(x) kikill x R, ovt muoto y(x) = Ce kx, joss C on vkio. Vkio C kiinnittyy, jos funktion y rvo tunnetn josskin pisteessä x 0. Tällöin differentiliyhtälön rtkisu on yksikäsitteinen. 4.5 Eulerin kv Imginriyksikkö i: luku, jok toteutt i 2 = 1. Kompleksiluvut muoto z = x + iy, joss x, y R. Ktso trkemmin erillistä monistett kompleksiluvuist. 13

14 Kun ensponenttifunktion srjkehitelmään sijoitetn muuttujn piklle ix j ryhmitellään termit sopivll tvll, niin sdn Eulerin kv e ix = cos x + i sin x. Seuruksen on kv e iπ + 1 = 0, jot jotkut pitävät mtemtiikn hienoimpn kvn. Se sitoo toisiins tärkeimmät luvut 0, 1, i, e j π sekä kolme lskutoimitust. 4.6 Hyperboliset funktiot Hyperbolinen sini sinus hyperbolicus sinh, hyperbolinen kosini cosinus hyperbolicus cosh j hyperbolinen tngentti tnh: sinh x = 1 2 (ex e x ) cosh x = 1 2 (ex + e x ) tnh x = sinh x cosh x Ominisuuksi: cosh 2 x sinh 2 x = 1; kikill trigonometrisill kvoill on hyperbolinen vstine, jok seur yhteyksistä sinh(ix) = i sin x, cosh(ix) = cos x. Kvoiss sin 2 -termien merkki vihtuu, muut pysyvät smoin. Derivtt: D sinh x = cosh x, D cosh x = sinh x. Käänteisfunktiot; lyhenne r viitt snn re, sillä käänteisfunktioill on geometrinen tulkint eräänä hyperbeliin liittyvänä pint-ln: sinh 1 x = r sinh x = ln(x x 2 ), x R cosh 1 x = r cosh x = ln(x + x 2 1), x 1 5 Integrli 5.1 Määritelmä j ominisuudet Olkoon f : [, b] R jtkuv. Muodostetn välin [, b] jko = x 0 < x 1 < x 2 < < x n = b j siihen liittyvä yläsumm S = n M k (x k x k 1 ), M k = mx{f(x) x k 1 x x k }, 14

15 j lsumm s = n m k (x k x k 1 ), m k = min{f(x) x k 1 x x k }. Ain pätee: (i) s S, (ii) Kun jko tihenee, niin s ksv j S pienenee. Funktio f on integroituv välillä [, b], jos jokist ε > 0 vst sellinen jko, joss S s < ε. Funktion f integrli I R on tällöin se yksikäsitteinen luku, jolle s I S kikiss joiss; merkitään f(x) dx = I. Pätee: integrli on määritelty kikille jtkuville funktioille j se voidn lske rj-rvon n f(x k ) x lim n käyttämällä tsvälisiä jkopisteitä x k = + k x, joss x = (b )/n on skelpituus j 0 k n. Määritelmä yleistyy myös ploittin jtkuville funktioille (j vieläkin yleisempään tilnteeseen) Sopimus: f(x) dx = 0, b f(x) dx = f(x) dx Ominisuuksi: Linerisuus b (i) (c 1 f(x) + c 2 g(x)) dx = c 1 f(x) dx + c 2 g(x) dx (ii) b f(x) dx = c f(x) dx + b c f(x) dx kikill, b, c järjestyksestä riippumtt. (iii) f(x) g(x) f(x) dx Erityisesti ±f(x) f(x), joten g(x) dx f(x) dx f(x) dx 15

16 Keskirvoperite: jos f on jtkuv, niin toisin snoen f(x) dx = f(c)(b ) jollkin c [, b], f(c) = 1 b f(x) dx = funktion f keskirvo välillä [, b] Anlyysin perusluse: Jos f : [, b] R on jtkuv, niin kikill x ], b[. d dx x f(t) dt = f(x) Seurus: Jos F (x) = f(x) kikill x, ts. F on funktion f integrlifunktio, niin f(x) dx = / b F (x) = F (x) x=b x= = F (b) F (). Integrlifunktio ei ole yksikäsitteinen, mutt eri integrlifunktiot poikkevt toisistn inostn vkioll; merkitään f(x) dx = F (x) + C, C R vkio, jos F (x) = f(x) Kikill jtkuvill funktioill on integrlifunktio, mutt sitä ei in void esittää lkeisfunktioiden vull, vikk f olisi lkeisfunktio; esim. f(x) = e x2 5.2 Epäoleellinen integrli Kksi eri perustyyppiä: Tyyppi I: Integroimisvälinä [, [ ti ], b] ti koko R Tyyppi II: Funktio f : ], b[ R ei ole rjoitettu ti sillä ei ole toispuoleisi rj-rvoj päätepisteissä Tyyppi I: Esim. f : [, [ R jtkuv. Tällöin jos rj-rvo olemss j äärellinen. R f(x) dx = lim f(x) dx, R 16

17 Jos f : R R jtkuv, niin f(x) dx = 0 f(x) dx + jos molemmt oiken puolen integrlit suppenevt Jos f(x) 0 kikill x R, niin pätee R f(x) dx = lim f(x) dx R R 0 f(x) dx, Tyyppi II: poistetn ongelmkoht j tutkitn rj-rvon; esim. f : ], b] R jtkuv, mutt sillä ei äärellistä rj-rvo, kun x +. Tällöin f(x) dx = lim f(x) dx, ε 0+ +ε jos rj-rvo on olemss j äärellinen. Tällöin snotn: epäoleellinen integrli suppenee; muuten se hjntuu. Jos ongelmi molemmiss päätepisteissä ti välin sisällä, jetn [, b] niin moneen osn, että kusskin osss vin yksi ongelmkoht: vditn, että jokinen erikseen nt äärellisen tuloksen, jolloin koko integrli = osien summ 6 Integroinnin sovelluksi 6.1 Geometrisi sovelluksi Jos f(x) 0, niin f(x) dx on funktion kuvjn j x-kselin rjoittmn tsolueen pint-l välillä [, b] Yleisemmin: jos 0 g(x) f(x), niin (f(x) g(x)) dx on kuvjien y = f(x) j y = g(x) väliin jäävän lueen pint-l Funktion kuvjn y = f(x) krenpituus välillä [, b] on l = 1 + f (x) 2 dx Kun funktion f kuvj y = f(x) pyörähtää x-kselin ympäri, niin sdun pyörähdyspinnn pint-l on A = 2π f(x) 1 + f (x) 2 dx 17

18 Jos kpplett leiktn yz-tson suuntisell tsoll kohdss x j poikkileikkuksen pint-l on A(x), kun x [, b], niin kppleen tilvuus on V = A(x) dx. Kun funktion f kuvj y = f(x) pyörähtää x-kselin ympäri, se rj pyörähdyskppleen, jonk tilvuus on V = π f(x) 2 dx Yleisemmin: Jos 0 g(x) f(x) j kuvjien y = g(x) j y = f(x) välinen lue pyörähtää x-kselin ympäri, niin sdun kppleen tilvuus on V = π (f(x) 2 g(x) 2 ) dx Huom: Tulos ei ole sm kuin π (f(x) g(x))2 dx Kun käyrä y = f(x) pyörähtää y-kselin ympäri, niin vstv tilvuus on V = 2π xf(x) dx 6.2 Ensimmäisen kertluvun differentiliyhtälöt Integroinnin vull voidn rtkist mm. seurvt 1. kertluvun differentiliyhtälöt: Linerinen differentiliyhtälö y + (x)y = r(x), joss (x) j r(x) ovt jollkin voimell välillä jtkuvi funktioit. Rtkisu sdn kertomll yhtälö puolittin integroivll tekijällä e A(x), joss A (x) = (x). Yleiseksi rtkisuksi sdn y(x) = Ce A(x) + e A(x) e A(x) r(x) dx, joss C on vkio. Seproituv differentiliyhtälö y = f(x)g(y) voidn rtkist muuntmll se (formlisti) muotoon dy g(y) = f(x) dx j integroimll. Menetelmän trkempi perustelu vtii sijoitusmenetelmän käyttöä, jost myöhemmin lisää. 18

19 Differentiliyhtälöistä on erillinen moniste, joss rtkisumenetelmiä selitetään trkemmin. Monien differentiliyhtälöiden rtkisemiseksi trvitn myös uusi integroimismenetelmiä. 7 Integroimismenetelmiä Perusongelm: Derivointi on helppo, siihen on kvt, joill kikki funktio voidn derivoid. Integrointi on usein vike: vikk kikill jtkuvill funktioill on integrlifunktio, on sen määrittäminen usein käytännössä hnkl ti jop mhdotont (lkeisfunktioiden vull). 7.1 Osittisintegrointi Osittisintegrointi: ti ilmn rjoj f (x)g(x) dx = / b f(x)g(x) f (x)g(x) dx = f(x)g(x) f(x)g (x) dx f(x)g (x) dx 7.2 Sijoitusmenetelmä Sijoitusmenetelmä: f(g(x))g (x) dx = Käytännössä: Sijoitus u = g(x), jolloin g(b) g() f(u) du du dx = g (x) du = g (x) dx Rjojen muutos: x = u = g(), x = b u = g(b) Muunnos voidn kirjoitt myös käänteisfunktion vull: x = g 1 (u) dx = (g 1 ) (u) du = (1/g (x)) du, joten tulos on sm kuin ikisemmin. (Admsin kirjss nämä käsitellään erikseen kohdiss 5.6 j 6.3, mikä on tvlln turh) 7.3 Osmurtohjotelm* Osmurtohjotelm: Rtionlifunktiot voidn integroid hjottmll ne yksinkertisempiin osiin. Tyypillinen esimerkki:, b R vkioit, x + b (x 1)(x 2) = A x 1 + B x 2, 19

20 joss kertoimet A, B sdn selville kertomll puolittin lusekkeell (x 1)(x 2) j sijoittmll vuorotellen x = 1 ti x = 2. Toinen tp: verrtn x-termien kertoimi yhtälön eri puolill. Tämän vull voidn lske x + b dx = A ln x 1 + B ln x 2 + C (x 1)(x 2) 7.4 Numeerinen integrointi* Numeerinen integrointi: Yksinkertisin tp on puolisuunniks- eli trpetsisääntö: ( 1 f(x) dx T n = h 2 f(x 0) + f(x 1 ) + f(x 2 ) + + f(x n 1 ) + 1 ) 2 f(x n), joss h = (b )/n on skelpituus, n N jkovälien lukumäärä j x k = + kh, 0 k n, ovt jkopisteet. Muit pproksimtioit ovt mm. keskipistesääntö f(x) dx M n = h(f(m 1 )+f(m 2 )+ +f(m n )), m k = (x k 1 +x k )/2, j Simpsonin sääntö f(x) dx S n = h 3 (f(x 0)+4f(x 1 )+2f(x 2 )+4f(x 3 )+2f(x 4 )+ +4f(x n 1 )+f(x n )), joss funktiot interpoloidn 2. steen polynomill khdell peräkkäisellä jkovälillä; luvun n täytyy oll prillinen. 8 Toisen kertluvun linerinen differentiliyhtälö Toisen kertluvun linerinen j vkiokertoiminen differentiliyhtälö on muoto y + py + qy = r(x), joss p, q ovt vkioit j r(x) on (inkin ploittin) jtkuv funktio. Differentiliyhtälö on homogeeninen, jos r(x) = 0 kikill x; muuss tpuksess se on epähomogeeninen. Yhtälön rtkisumenetelmä on esitetty erillisessä monisteess. 20

21 9 Lukujonot 9.1 Induktioperite* Todistettvn jokin ominisuus (esim. kv) P n, jonk väitetään olevn voimss kikill n = 0, 1, 2, 3,... Induktiotodistus tekee tämän khdess viheess: Osoitetn, että P 0 on tosi. Tämä on yleensä helppo. Lähdetään oletuksest, että P k on tosi jollkin k, j päätellään sen vull, että myös P k+1 on tosi. Näistä seur, että P n on tosi kikill n. Induktiotodistus voi lk myös rvost n = 1 tms. Binomikv: Jos, b R j n N 0, niin ( + b) n = n k=0 ( ) n k b n k. k ( ) n n! Tässä esiintyy binomikerroin =. Kvn todistus perustuu induktioon j siinä trvitn binomikerrointen ominisuutt k k!(n k)! ( ) ( ) ( ) n n n =, k k + 1 k + 1 jonk perusteell binomikertoimet sdn ns. Psclin kolmiost. 9.2 Lukujonot Lukujonoll trkoitetn ääretöntä jono relilukuj n R, kun indeksi n N. Merkitään ( n ) n N = ( n ) n=1 = ( 1, 2, 3,... ). Lukujono täsmällinen tulkint on funktio f : N R, jolle f(n) = n. Tämä selventää esimerkiksi lusekkeiden n+1 = f(n + 1) j n 1 = f(n 1) tulkintoj (indeksin siirrot). Jonon indeksöinti voi lk myös jostkin muust rvost kuin 1. Jos indeksin lkurvo ei ole tärkeä ti tilnne on muuten selvä, voidn käyttää merkintää ( n ). Lukujonoj voidn määritellä ntmll yleisen termin luseke: esim. n = 2 n, kun n N lukujono (2, 4, 8, 16,... ) 21

22 rekursiivisesti plutuskvojen vull: f 0 = 0, f 1 = 1, f n = f n 2 + f n 1, kun n 2 Fibonccin lukujono (0, 1, 1, 2, 3, 5,... ) tekemällä mittuksi jostkin systeemistä, esim. äänen voimkkuus tsisin ikvälein (idelisoitun äärettömäksi jonoksi). Ongelmi: Miten plutuskvst sdn yleisen termin luseke? Mitä jonon ominisuuksi sdn selville yleisen termin ti plutuskvojen vull? Jonojen ominisuuksi: Lukujono ( n ) on ylhäältä rjoitettu, jos on olemss sellinen C R, että n C kikill n lhlt rjoitettu, jos on olemss sellinen c R, että n c kikill n rjoitettu, jos se on sekä ylhäältä että lhlt rjoitettu nousev, jos n+1 n kikill n lskev, jos n+1 n kikill n monotoninen, jos se on nousev ti lskev jksollinen, jos on olemss sellinen k N, että n+k = n kikill n. 9.3 Lukujonon suppeneminen Lukujono ( n ) suppenee kohti rj-rvo L, jos lusekkeen n L rvo lähestyy noll, kun n ; täsmällisemmin: jokist ε > 0 vst sellinen indeksi n ε N, että n L ε in kun n n ε. Tällöin merkitään lim n n = L. Jos lukujono ei suppenee, niin se hjntuu. Suppenevien jonojen ominisuuksi: suppenev jono on rjoitettu jos lim n n = j lim n b n = b, niin lim n ( n + b n ) = + b, lim n ( n b n ) = b, lim n (c n ) = c, lim n ( n /b n ) = /b, jos b 0 (jolloin myös b n 0 jostkin indeksistä lken). 22

23 Esimerkkejä: Geometrinen jono (q n ) suppenee, jos suhdeluku 1 < q 1, jolloin sen rj-rvo on joko 0 ti 1. Muiss tpuksiss geometrinen jono hjntuu. Jonon suppenemist kohti noll voi tutki lusekkeen n+1 / n vull: jos jostkin indeksistä lken on n+1 / n q, joss 0 q < 1, niin lim n n = 0. Suppiloperite: Jos n b n c n jostkin indeksistä lken j lim n = lim c n, n n niin jono (b n ) suppenee j lim n b n = lim n n. lim n n = 1, kun > 0 lim n n n = 1 lim n ( n) n = e = Neperin luku 2, Tähän pltn myöhemmin. Seurvist ominisuuksist ensimmäinen on ksiom, ominisuus jot ei todistet, vn se otetn päättelyn lähtökohdksi. Jälkimmäinen ominisuus seur ensimmäisestä trkstelemll sm jono vstkkisell etumerkillä. Nousev j ylhäältä rjoitettu jono suppenee. Lskev j lhlt rjoitettu jono suppenee. Reliluvull trkoitetn desimliluku n,d 1 d 2..., joss kokonisos n on kokonisluku j desimlit d 1, d 2, {0, 1, 2,..., 9}. Edellisestä kohdst seur, että tällinen luku on järkevä käsite monotonisen rtionlilukujonon rj-rvoksi tulkittun. Krenpituus yksikköympyrällä x 2 + y 2 = 1 määritellään seurvll tvll: jetn tutkittv kri tsvälisesti 2 n :ään osn j lsketn vstvn murtoviivn pituus n. Näin sdn nousev j ylhäältä rjoitettu jono, jonk rj-rvo on kyseessä olevn kren pituus. Määritelmä: Luku π on yksikköympyrän puolikkn krenpituus. Krenpituuden vull määritellään kulmn yksikkö rdini (lyh. rd), jok on dimensioton. Trigonometriset funktiot sin x j cos x määritellään yksikköympyrän krenpituuden vull kikille x R. Myös käsitteet lim n = j lim n = voidn määritellä tsmällisesti. n n Esimerkiksi lim n = jokist luku M vst sellinen indeksi n M, n että n M in kun n n M. Tällöin snotn, että jono hjntuu kohti ääretöntä (ti vst. ääretöntä). 23

24 9.4 Jtkuvuus j jonot Funktion jtkuvuus voidn määritellä myös jonojen vull. Seurv määritelmä on yhtäpitävä kurssin luss esitetyn ε δ-määritelmän knss. Jos f : A B j A, niin funktio f on jtkuv pisteessä, kun pätee: Jos jonolle ( n ) on voimss n A kikill n j lim n n =, niin silloin lim n f( n ) = f(). Lyhyesti kirjoitettun jtkuvuus trkoitt yhtälöä 10 Srjt 10.1 Srjn suppeneminen lim f( n) = f( lim n ). n n Tässä luvuss tutkimme kysymystä, kuink voidn lske yhteen ääretön määrä lukuj. Kosk tätä ei void käytännössä tehdä "yhdellä kert", niin ongelm lähestytään rj-rvon kutt. Lukujonost ( n ) n N voidn muodost sen ossummien jono (s n ): s 1 = 1, s 2 = 1 + 2, s 3 = ,..., s n = n k. Jos ossummien jonoll (s n ) on rj-rvo s R, niin snotn, että jonost ( k ) muodostettu srj suppenee j sen summ on s. Tällöin merkitään k = s. Jos srj ei suppene, niin se hjntuu. Huomutuksi: Ossummt indeksöidään smll tvll kuin jono ( k ); esim. jonon ( k ) k=3 ossummt ovt s 3 = 3, s 4 = jne. Suppenevn srjn voidn tehdä summusindeksin siirtoj: esim. Geometrinen srj summ on k = k+1 = k=0 k 1. k=2 q k suppenee, jos q < 1 (ti = 0), jolloin sen k=i qi. Jos q 1, niin srj hjntuu. 1 q 24

25 Suppenevien srjojen ominisuuksi: ( k + b k ) = k + b k (c k) = c k, jos c R jos k suppenee, niin lim k k = 0; ts. jos lim k k 0, niin srj k hjntuu. Esimerkki. Hrmoninen srj hjntuu, vikk srjn yleisen termin rj-rvo on noll Positiiviset srjt 1 k Srj p k on positiivinen (ti positiiviterminen), jos p k 0 kikill k. Positiivisille srjoille suppenemisen tutkiminen on suorviivist: Positiivinen srj suppenee täsmälleen silloin, kun sen ossummien jono on ylhäältä rjoitettu. Syy: Positiivisen srjn ossummien jono on nousev. Esimerkiksi srj 1 k 2 suppenee, kosk s n < 2 kikill n (luennot). Srj k suppenee itseisesti, jos vstv positiivinen srj k suppenee. Pätee: srjn itseisestä suppenemisest seur (tvllinen) suppeneminen, j tällöin k k Suppenemistestejä Yleistyksenä sdn ns. mjorntti- j minornttiperitteet: Jos k p k j p k suppenee, niin myös k suppenee. Jos 0 p k k j p k hjntuu, niin myös k hjntuu. Käytännössä tärkein tp suppenemisen tutkimiseen perustuu ns. suhdetestiin, joss srjn termejä verrtn sopivn geometriseen srjn: 25

26 Jos jostkin indeksistä lken on voimss k+1 k Q < 1, niin srj k suppenee (j "suppenemisnopeus" vst geometrist srj Q k ti on vieläkin suurempi). Edellisen kohdn käytännöllisempi versio on: Jos on olemss rj-rvo lim k+1 k k = q, niin srj suppenee, jos 0 q < 1, k hjntuu, jos q > 1, voi oll suppenev ti hjntuv, jos q = 1. Viimeisessä kohdss ei siis sd mitään tieto suppenemisest Vuorottelevt srjt* Jos p k > 0 kikill k, niin muoto ( 1) k+1 p k olev srj on vuorottelev. ti ( 1) k p k Suhdetestin lisäksi vuorottelevn srjn suppenemist voidn tutki Leibnizin luseen vull: Jos vuorottelevss srjss ( 1)k+1 p k pätee (i) p k+1 < p k, j (ii) lim p k = 0, niin srj suppenee. Jos lisäksi srj ktkistn kohdst n, niin vstvlle jäännöstermille r n+1 = s s n = k=n+1 ( 1) k+1 p k on voimss r n+1 < p n+1. ( 1) k+1 Leibnizin luseen perusteell esim. srj k ikisemmn perusteell se ei suppene itseisesti. suppenee, vikk 10.5 Potenssisrjt Tämän jälkeen onkin hyvä käydä uudelleen läpi potenssisrjoj koskevt sit kohdst

a = x 0 < x 1 < x 2 < < x n = b f(x) dx = I. lim f(x k ) x k=1

a = x 0 < x 1 < x 2 < < x n = b f(x) dx = I. lim f(x k ) x k=1 5 Integrli 5.1 Määritelmä j ominisuudet Olkoon f : [, b] R jtkuv. Muodostetn välin [, b] jko = x 0 < x 1 < x 2 < < x n = b j siihen liittyvä yläsumm S = n M k (x k x k 1 ), M k = mx{f(x) x k 1 x x k },

Lisätiedot

MS-A010{3,4} (ELEC*) Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Luento 8: Integraalifunktio ja epäoleellinen integraali

MS-A010{3,4} (ELEC*) Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Luento 8: Integraalifunktio ja epäoleellinen integraali MS-A1{3,4} (ELEC*) Differentili- j integrlilskent 1 Luento 8: Integrlifunktio j epäoleellinen integrli Pekk Alestlo, Jrmo Mlinen Alto-yliopisto, Mtemtiikn j systeeminlyysin litos 5.1.216 Pekk Alestlo,

Lisätiedot

MS-A010{2,3,4,5} (SCI, ELEC*, ENG*) Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Luento 8: Integraalifunktio ja epäoleellinen integraali

MS-A010{2,3,4,5} (SCI, ELEC*, ENG*) Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Luento 8: Integraalifunktio ja epäoleellinen integraali MS-A1{2,3,4,5} (SC, ELEC*, ENG*) Differentili- j integrlilskent 1 Luento 8: ntegrlifunktio j epäoleellinen integrli Pekk Alestlo, Jrmo Mlinen Alto-yliopisto, Mtemtiikn j systeeminlyysin litos November

Lisätiedot

1 Jonot. 2 Sarjat. 3 Jatkuvuus. 4 Derivaatta. 5 Taylor-polynomit ja -sarjat. 1.2 Jonot. jossa

1 Jonot. 2 Sarjat. 3 Jatkuvuus. 4 Derivaatta. 5 Taylor-polynomit ja -sarjat. 1.2 Jonot. jossa Sisältö MS-AX Differentili- j integrlilskent Nämä klvot sisältävät otsikoss minitun kurssin keskeisen mterilin, mutt myös pljon oheislukemist. Luennoill voidn käsitellä myös täydentäviä esimerkkejä, kosk

Lisätiedot

1 Jonot. 2 Sarjat. 3 Jatkuvuus. 4 Derivaatta. 5 Taylor-polynomit ja -sarjat. 1.2 Jonot. jossa

1 Jonot. 2 Sarjat. 3 Jatkuvuus. 4 Derivaatta. 5 Taylor-polynomit ja -sarjat. 1.2 Jonot. jossa Sisältö MS-AX Differentili- j integrlilskent Pekk Alestlo Alto-yliopisto.9.26 Nämä klvot sisältävät otsikoss minitun kurssin keskeisen mterilin, mutt myös pljon oheislukemist. Luennoill voidn käsitellä

Lisätiedot

1 Jonot. 2 Sarjat. 3 Jatkuvuus. 4 Derivaatta. 5 Taylor-polynomit ja -sarjat / Jonot / 200. jossa / 200

1 Jonot. 2 Sarjat. 3 Jatkuvuus. 4 Derivaatta. 5 Taylor-polynomit ja -sarjat / Jonot / 200. jossa / 200 MS-AX Differentili- j integrlilskent Pekk Alestlo Alto-yliopisto 24..26 Kiitokset Riikk Kortteelle, Jrmo Mliselle j kurssien opiskelijoille pinovirheiden korjuksist. 24..26 Kiitokset Riikk Kortteelle,

Lisätiedot

Kaikkia alla olevia kohtia ei käsitellä luennoilla kokonaan, koska osa on ennestään lukiosta tuttua.

Kaikkia alla olevia kohtia ei käsitellä luennoilla kokonaan, koska osa on ennestään lukiosta tuttua. 6 Alkeisfunktiot Kaikkia alla olevia kohtia ei käsitellä luennoilla kokonaan, koska osa on ennestään lukiosta tuttua. 6. Funktion määrittely Funktio f : A B on sääntö, joka liittää jokaiseen joukon A alkioon

Lisätiedot

MS-A010X Di erentiaali- ja integraalilaskenta Lukujoukot. 1.2 Jonot. 1.2 Perusongelmat. 1.3 Suppeneminen I. 1.2 Jonojen ominaisuuksia

MS-A010X Di erentiaali- ja integraalilaskenta Lukujoukot. 1.2 Jonot. 1.2 Perusongelmat. 1.3 Suppeneminen I. 1.2 Jonojen ominaisuuksia MS-AX Di erentili- j integrlilskent Pekk Alestlo Alto-yliopisto 24..26 Kiitokset Riikk Kortteelle, Jrmo Mliselle j kurssien opiskelijoille pinovirheiden korjuksist. Sisältö Nämä klvot sisältävät otsikoss

Lisätiedot

Ville Turunen: Mat Matematiikan peruskurssi P1 3. välikokeen alueen teoriatiivistelmä 2007

Ville Turunen: Mat Matematiikan peruskurssi P1 3. välikokeen alueen teoriatiivistelmä 2007 Ville Turunen: Mt-.4 Mtemtiikn peruskurssi P 3. välikokeen lueen teoritiivistelmä 27 Mterili: kirjt [Adms] R. A. Adms: Clculus, complete course (6th edition), [Ly] D. C. Ly: Liner lgebr nd its pplictions

Lisätiedot

5 Epäoleellinen integraali

5 Epäoleellinen integraali 5 Epäoleellinen integrli 5. Integrlin suppeneminen Olkoon f sellinen välillä [, b[ (ei siis välttämättä pisteessä b) määritelty funktio, että f on Riemnn-integroituv välillä [, ] kikill ], b[ eli on olemss

Lisätiedot

1. Derivaatan Testi. Jos funktio f on jatkuva avoimella välillä ]a, b[ ja x 0 ]a, b[ on kriit. tai singul. piste niin. { f (x) > 0, x ]a, x 0 [

1. Derivaatan Testi. Jos funktio f on jatkuva avoimella välillä ]a, b[ ja x 0 ]a, b[ on kriit. tai singul. piste niin. { f (x) > 0, x ]a, x 0 [ 1. Derivtn Testi Jos funktio f on jtkuv voimell välillä ], b[ j x 0 ], b[ on kriit. ti singul. piste niin { f (x) < 0, x ], x 0 [ f x (x) > 0, x ]x 0, b[ 0 on lokli minimipiste (1) { f (x) > 0, x ], x

Lisätiedot

MS-A010{3,4} (ELEC*) Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Luento 9: Integroimismenetelmät

MS-A010{3,4} (ELEC*) Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Luento 9: Integroimismenetelmät MS-A010{3,4} (ELEC*) Differentili- j integrlilskent 1 Luento 9: Integroimismenetelmät Pekk Alestlo, Jrmo Mlinen Alto-yliopisto, Mtemtiikn j systeeminlyysin litos 10.10.2016 Pekk Alestlo, Jrmo Mlinen (Alto-yliopisto,

Lisätiedot

II.1. Suppeneminen., kun x > 0. Tavallinen lasku

II.1. Suppeneminen., kun x > 0. Tavallinen lasku II. EPÄOLEELLISET INTEGRAALIT nt II.. Suppeneminen Esim. Olkoon f() =, kun >. Tvllinen lsku = / =. Kuitenkn tätä integrli ei ole ikisemmss mielessä määritelty, kosk f ei ole rjoitettu välillä [, ] (eikä

Lisätiedot

MS-A0102 Differentiaali- ja integraalilaskenta 1

MS-A0102 Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 MS-A0102 Differentili- j integrlilskent 1 Riikk Korte (Pekk Alestlon klvojen pohjlt) Alto-yliopisto 22.11.2016 Sisältö Pint-l Integrli 1.1 Pint-l: Suorkulmio Seurvss trkstelln umpinisten tsokäyrien rjmi

Lisätiedot

SARJAT JA DIFFERENTIAALIYHTÄLÖT Funktiojonot 1

SARJAT JA DIFFERENTIAALIYHTÄLÖT Funktiojonot 1 SARJAT JA DIFFERENTIAALIYHTÄLÖT 2003 JOUNI PARKKONEN Sisältö 0. Tästä tekstistä. Funktiojonot 0. Tästä tekstistä Tämä moniste on trkoitettu käytettäväksi kurssin Srjt j differentiliyhtälöt luentomterilin.

Lisätiedot

7 Funktiosarjoista. 7.1 Funktiosarjojen suppeneminen

7 Funktiosarjoista. 7.1 Funktiosarjojen suppeneminen 7 Funktiosrjoist 7. Funktiosrjojen suppeneminen Seurvksi trkstelln srjoj, joiden termit ovt (lukujen sijst) jollkin välillä I määriteltyjä funktioit. Täsmällisemmin funktiosrjll (ti lyhyemmin srjll) trkoitetn

Lisätiedot

Matematiikan tukikurssi

Matematiikan tukikurssi Mtemtiikn tukikurssi Kurssikert 5 1 Jtkuvuus Trkstelln funktiot fx) josskin tietyssä pisteessä x 0. Tämä funktio on tässä pisteessä joko jtkuv ti epäjtkuv. Jtkuvuuden ymmärtää prhiten trkstelemll epäjtkuv

Lisätiedot

MS-A010{3,4} (ELEC*) Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Luento 7: Integraali ja analyysin peruslause

MS-A010{3,4} (ELEC*) Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Luento 7: Integraali ja analyysin peruslause MS-A010{3,4} (ELEC*) Differentili- j integrlilskent 1 Luento 7: Integrli j nlyysin perusluse Pekk Alestlo, Jrmo Mlinen Alto-yliopisto, Mtemtiikn j systeeminlyysin litos 3.10.2016 Pekk Alestlo, Jrmo Mlinen

Lisätiedot

MS-A0102 Differentiaali- ja integraalilaskenta 1

MS-A0102 Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 MS-A0102 Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Riikka Korte (Pekka Alestalon kalvojen pohjalta) Aalto-yliopisto 15.11.2016 Sisältö Alkeisfunktiot 1.1 Funktio I Funktio f : A! B on sääntö, joka liittää

Lisätiedot

Sisältö. Funktiojonot ja -sarjat 10. syyskuuta 2005 sivu 1 / 15

Sisältö. Funktiojonot ja -sarjat 10. syyskuuta 2005 sivu 1 / 15 Funktiojonot j -srjt 10. syyskuut 2005 sivu 1 / 15 Sisältö 1 Funktiojonoist 2 2 Funktiosrjoist 5 3 Funktiojonojen j -srjojen derivointi j integrointi 7 4 Potenssisrjt 9 5 Tylorin polynomit j srjt 12 5.1

Lisätiedot

Viikon aiheet. Pinta-ala

Viikon aiheet. Pinta-ala info Viikon iheet Mpu I:sen voit suoritt: Kurssin loppukokeess 23.10. Arvosn: koe + lskrit Mikäli yo. ik ei sovi, voit suoritt loppukokeen yleistenttitilisuudess 24.11. Arvosn: koe + lskrit. Ilmoittudu

Lisätiedot

Sisältö. Integraali 10. syyskuuta 2005 sivu 1 / 20

Sisältö. Integraali 10. syyskuuta 2005 sivu 1 / 20 Integrli 10. syyskuut 2005 sivu 1 / 20 Sisältö 1 Määrätty integrli j integrlifunktio 2 1.1 Integroituvist funktioit 3 1.2 Määrätyn integrlin ominisuuksi 4 1.3 Integrlifunktio 5 1.4 Integrlilskennn tärkeimmät

Lisätiedot

x k 1 Riemannin summien käyttö integraalin approksimointiin ei ole erityisen tehokasta; jatkuvasti derivoituvalle funktiolle f virhe b

x k 1 Riemannin summien käyttö integraalin approksimointiin ei ole erityisen tehokasta; jatkuvasti derivoituvalle funktiolle f virhe b 5 Integrlien lskemisest 51 Riemnnin summt [A2], [4, 61] Rjoitetun funktion f : [, b] R Riemnn-integroituvuudelle ytäpitäväksi on kurssill Anlyysi 2 osoitettu, että Riemnnin summill S P := f(ξ k ) ( ),

Lisätiedot

Matematiikan tukikurssi

Matematiikan tukikurssi Mtemtiikn tukikurssi Kurssikert 4 Tilvuuden j vipn ln lskeminen Kuten iemmin käsittelimme, määrätyn integrlin vull voi lske pintloj j tilvuuksi. Tyypillisenä sovelluksen tilvuuden lskemisest on tpus, joss

Lisätiedot

Differentiaali- ja integraalilaskenta 1

Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 (DRAFT) Differentili- j integrlilskent 1 Hrri Vrpnen October 16, 2015 2 Esipuhe Tätä monistett on kirjoitettu Alto-yliopiston mtemtiikn j systeeminlyysin litoksen syksyn 2015 periodin I kursseill MS-A0103

Lisätiedot

Differentiaali- ja integraalilaskenta 1

Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 (DRAFT) Differentili- j integrlilskent 1 Hrri Vrpnen October 16, 2015 2 Esipuhe Tätä monistett on kirjoitettu Alto-yliopiston mtemtiikn j systeeminlyysin litoksen syksyn 2015 periodin I kursseill MS-A0103

Lisätiedot

Analyysin perusteet kauppatieteilijöille 800118P

Analyysin perusteet kauppatieteilijöille 800118P Anlyysin perusteet kupptieteilijöille 800118P Luentomoniste Kri Myllylä Niin Korteslhti Topi Törmä Oulun yliopisto Mtemttisten tieteiden litos Kevät 2015 Sisältö 1 Derivtt 3 1.1 Määritelmä..............................

Lisätiedot

Riemannin integraalista

Riemannin integraalista Lebesguen integrliin sl. 2007 Ari Lehtonen Riemnnin integrlist Johdnto Tämän luentomonisteen trkoituksen on tutustutt lukij Lebesgue n integrliin j sen perusominisuuksiin mhdollisimmn yksinkertisess tpuksess:

Lisätiedot

6 Integraalilaskentaa

6 Integraalilaskentaa 6 Integrlilskent 6. Integrlifunktio Funktion f integrlifunktioksi snotn funktiot F, jonk derivtt on f. Siis F (x) = f (x) määrittelyjoukon jokisell muuttujn rvoll x. Merkitään F(x) = f (x) dx. Integrlifunktion

Lisätiedot

2.4 Pienimmän neliösumman menetelmä

2.4 Pienimmän neliösumman menetelmä 2.4 Pienimmän neliösummn menetelmä Optimointimenetelmiä trvitn usein kokeellisen dtn nlysoinniss. Mittuksiin liittyy virhettä, joten mittus on toistettv useit kertoj. Oletetn, että mittn suurett c j toistetn

Lisätiedot

Analyysi 2. Harjoituksia lukuihin 1 3 / Kevät Anna sellainen välillä ] 2, 2[ jatkuva ja rajoitettu funktio f, että

Analyysi 2. Harjoituksia lukuihin 1 3 / Kevät Anna sellainen välillä ] 2, 2[ jatkuva ja rajoitettu funktio f, että Anlyysi Hrjoituksi lukuihin 3 / Kevät 5. Ann sellinen välillä ], [ jtkuv j rjoitettu funktio f, että () sup A m A j inf A min A, (b) sup A m A j inf A = min A, (c) sup A = m A j inf A min A, (d) sup A

Lisätiedot

Sarjat ja integraalit

Sarjat ja integraalit Srjt j integrlit c Mtemttisten tieteiden litos, Oulun yliopisto Versio: 9.3.0 Viimeksi muoknnut: Peter Hästö Sisältö Funktion rj-rvo j jtkuvuus. Peruskäsitteitä........................................

Lisätiedot

MS-A0102 Differentiaali- ja integraalilaskenta 1

MS-A0102 Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 MS-A0102 Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Riikka Korte (Pekka Alestalon kalvojen pohjalta) Aalto-yliopisto 24.10.2016 Sisältö Derivaatta 1.1 Derivaatta Erilaisia lähestymistapoja: I geometrinen

Lisätiedot

Oletetaan, että funktio f on määritelty jollakin välillä ]x 0 δ, x 0 + δ[. Sen derivaatta pisteessä x 0 on

Oletetaan, että funktio f on määritelty jollakin välillä ]x 0 δ, x 0 + δ[. Sen derivaatta pisteessä x 0 on Derivaatta Erilaisia lähestymistapoja: geometrinen (käyrän tangentti sekanttien raja-asentona) fysikaalinen (ajasta riippuvan funktion hetkellinen muutosnopeus) 1 / 19 Derivaatan määritelmä Määritelmä

Lisätiedot

3 Integraali ja derivaatta

3 Integraali ja derivaatta 3 Integrli j erivtt 3.1 Integrli ylärjns funktion Olkoon funktio f Riemnn-integroituv välin I jokisell suljetull osvälillä j välin I jokin kiinteä luku. Tällöin integrli määrittelee funktion G(): I R,

Lisätiedot

MS-A010{3,4} (ELEC*) Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Luento 4: Derivaatta

MS-A010{3,4} (ELEC*) Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Luento 4: Derivaatta MS-A010{3,4} (ELEC*) Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Luento 4: Derivaatta Pekka Alestalo, Jarmo Malinen Aalto-yliopisto, Matematiikan ja systeemianalyysin laitos 21.9.2016 Pekka Alestalo, Jarmo

Lisätiedot

10. MÄÄRÄTYN INTEGRAALIN KÄYTTÖ ERÄIDEN PINTA-ALOJEN LASKEMISESSA

10. MÄÄRÄTYN INTEGRAALIN KÄYTTÖ ERÄIDEN PINTA-ALOJEN LASKEMISESSA MAA0 0. Määrätyn integrlin käyttö eräiden pint-lojen lskemisess 0. MÄÄRÄTYN INTEGRAALIN KÄYTTÖ ERÄIDEN PINTA-ALOJEN LASKEMISESSA Edellä on todettu, että f (x)dx nt x-kselin j suorien x =, x = sekä funktion

Lisätiedot

Funktion määrittely (1/2)

Funktion määrittely (1/2) Funktion määrittely (1/2) Funktio f : A B on sääntö, joka liittää jokaiseen joukon A alkioon a täsmälleen yhden B:n alkion b. Merkitään b = f (a). Tässä A = M f on f :n määrittelyjoukko, B on f :n maalijoukko.

Lisätiedot

5 ( 1 3 )k, c) AB 3AC ja AB AC sekä vektoreiden AB ja

5 ( 1 3 )k, c) AB 3AC ja AB AC sekä vektoreiden AB ja MATEMATIIKAN PERUSKURSSI I Hrjoitustehtäviä syksy 4. Millä reliluvun rvoill ) 9 =, b) + +, e) 5?. Kirjoit Σ-merkkiä käyttäen summt 4, ) + 4 + 6 + +, b) 8 + 4 6 + + n n, c) + + + 4 + + 99, d)

Lisätiedot

i 2 n 3 ( (n 1)a (i + 1) 3 = 1 +

i 2 n 3 ( (n 1)a (i + 1) 3 = 1 + I. INTEGRAALILASKENTA Arkhimedes (287 22 e.kr.) prbelin segmentin pint-l Newton (642 727) j Leibniz (646 76) keksivät diff.- j int.-lskennn Cuhy (789 857) ε, δ Riemnn (826 866) Riemnnin integrli Lebesgue

Lisätiedot

MS-A010{3,4} (ELEC*) Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Luento 6: Alkeisfunktioista

MS-A010{3,4} (ELEC*) Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Luento 6: Alkeisfunktioista MS-A010{3,4} (ELEC*) Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Luento 6: Alkeisfunktioista Pekka Alestalo, Jarmo Malinen Aalto-yliopisto, Matematiikan ja systeemianalyysin laitos 28.9.2016 Pekka Alestalo,

Lisätiedot

Analyysi B. Derivaatta ja integraali. Pertti Koivisto

Analyysi B. Derivaatta ja integraali. Pertti Koivisto Anlyysi B Derivtt j integrli Pertti Koivisto Kevät 7 Alkusnt Tämä moniste on trkoitettu oheislukemistoksi Tmpereen yliopistoss pidettävälle kurssille Anlyysi B. Monisteen tvoitteen on tuke luentojen seurmist,

Lisätiedot

Funktiot. funktioita f : A R. Yleensä funktion määrittelyjoukko M f = A on jokin väli, muttei aina.

Funktiot. funktioita f : A R. Yleensä funktion määrittelyjoukko M f = A on jokin väli, muttei aina. Funktiot Tässä luvussa käsitellään reaaliakselin osajoukoissa määriteltyjä funktioita f : A R. Yleensä funktion määrittelyjoukko M f = A on jokin väli, muttei aina. Avoin väli: ]a, b[ tai ]a, [ tai ],

Lisätiedot

4. Reaalifunktioiden määrätty integraali

4. Reaalifunktioiden määrätty integraali 6 4. Relifunktioiden määrätt integrli Vrsinisesti termi "integrli" tulee seurvss esitettävästä määrätstä integrlist, jok on läheistä suku summmiselle. Yhtes derivttn on sitten perustv ltu olev tulos, jot

Lisätiedot

TEHTÄVÄ 1. Olkoon (f n ) jono jatkuvia funktioita f n : [a, b] R, joka suppenee välillä [a, b] tasaisesti kohti funktiota f : [a, b] R.

TEHTÄVÄ 1. Olkoon (f n ) jono jatkuvia funktioita f n : [a, b] R, joka suppenee välillä [a, b] tasaisesti kohti funktiota f : [a, b] R. Topologi I Hrjoitus 10, rtkisuj AP TEHTÄVÄ 1. Olkoon (f n ) jono jtkuvi funktioit f n : [, b] R, jok suppenee välillä [, b] tsisesti kohti funktiot f : [, b] R. Osoit, että tällöin f n (x) dx f(x) dx.

Lisätiedot

Preliminäärikoe Pitkä Matematiikka 5.2.2013

Preliminäärikoe Pitkä Matematiikka 5.2.2013 Preliminäärikoe Pitkä Mtemtiikk 5..0 Kokeess s vstt enintään kymmeneen tehtävään. Tähdellä ( * ) merkittyjen tehtävien mksimipistemäärä on 9, muiden tehtävien mksimipistemäärä on 6.. ) Rtkise yhtälö b)

Lisätiedot

Matemaattiset menetelmät I. Seppo Hassi

Matemaattiset menetelmät I. Seppo Hassi Mtemttiset menetelmät I Seppo Hssi Syksy 2011 iii Esipuhe Tämä on 1. versio Mtemttiset menetelmät I-kurssin opetusmonisteest, jok perustuu Vsn yliopistoss luennoimni vstvn nimiseen kurssiin. Sisältö noudtt

Lisätiedot

ANALYYSI I, kevät 2009

ANALYYSI I, kevät 2009 5 Riemnnin integrli 7 ANALYYSI I, kevät 9 5. Integrlin perusominisuuksi................. 76 5. Anlyysin perusluse....................... 8 Sisältö Relilukujen peruskäsitteitä Lukujonoist 3. Lukujonon rj-rvo.......................

Lisätiedot

Määritelmä Olkoon C R m yksinkertainen kaari ja γ : [a, b] R m sen yksinkertainen parametriesitys, joka on paloittain C 1 -polku.

Määritelmä Olkoon C R m yksinkertainen kaari ja γ : [a, b] R m sen yksinkertainen parametriesitys, joka on paloittain C 1 -polku. Muodostetn vektorikentän kri-integrli yksinkertisen kren tpuksess. Plutetn mieleen, että joukko C R m on yksinkertinen kri, jos löytyy sellinen jtkuv bijektio γ : [, b] C, jok on ploittin C 1 -funktio

Lisätiedot

ANALYYSI I, kevät 2009

ANALYYSI I, kevät 2009 ANALYYSI I, kevät 2009 Sisältö Relilukujen peruskäsitteitä 2 Lukujonoist 3 2. Lukujonon rj-rvo....................... 3 2.2 Monotoniset jonot......................... 7 2.3 Osjonot..............................

Lisätiedot

Integraalilaskentaa. 1. Mihin integraalilaskentaa tarvitaan? MÄNTÄN LUKIO

Integraalilaskentaa. 1. Mihin integraalilaskentaa tarvitaan? MÄNTÄN LUKIO Integrlilskent Tämä on lukion oppimterileist hiemn poikkev yksinkertistettu selvitys määrätyn integrlin lskemisest. Kerromme miksi integroidn, mitä integroiminen trkoitt, miten integrli lsketn j miten

Lisätiedot

Matematiikan peruskurssi. Seppo Hassi

Matematiikan peruskurssi. Seppo Hassi Mtemtiikn peruskurssi Seppo Hssi Syksy 2014 iii Esipuhe Tämä on 1. versio Mtemtiikn peruskurssin opetusmonisteest, jonk sisältö noudttelee pitkälti Vsn yliopistoss iemmin luennoimni Mtemttiset menetelmät

Lisätiedot

521. 522. 523. 524. 525. 526. 527. 12. Lisää määrätystä integraalista. 12.1. Integraalin arvioimisesta. Osoita: VASTAUS: Osoita: Osoita:

521. 522. 523. 524. 525. 526. 527. 12. Lisää määrätystä integraalista. 12.1. Integraalin arvioimisesta. Osoita: VASTAUS: Osoita: Osoita: 12. Lisää määrätystä integrlist 12.1. Integrlin rvioimisest 521. Osoit: 1 + x 2 22 1 < < 1 + x21 21. 522. Osoit: x 3 < 5 x 6 + 8x + 9 < 15 1 5. 523. Osoit: 2 2 < e x2 x < 2e 2. e 524. Olkoon k >. Osoit:

Lisätiedot

ANALYYSI I, kevät 2009

ANALYYSI I, kevät 2009 ANALYYSI I, kevät 009 Sisältö Relilukujen peruskäsitteitä Lukujonoist 4. Lukujonon rj-rvo....................... 4. Monotoniset jonot..........................3 Osjonot.............................. 7.4

Lisätiedot

Syksyn 2015 Pitkän matematiikan YO-kokeen TI-Nspire CAS -ratkaisut

Syksyn 2015 Pitkän matematiikan YO-kokeen TI-Nspire CAS -ratkaisut Sksn 0 Pitkän mtemtiikn YO-kokeen TI-Nspire CAS -rtkisut Tekijät: Olli Krkkulinen Rtkisut on ldittu TI-Nspire CAS -tietokoneohjelmll kättäen Muistiinpnot -sovellust. Kvt j lskut on kirjoitettu Mth -ruutuihin.

Lisätiedot

sin θ θ θ r 2 sin 2 θ φ 2 = 0.

sin θ θ θ r 2 sin 2 θ φ 2 = 0. Mtemtiikn j tilstotieteen litos Osittisdifferentiliyhtälöt Kevät 21 Hrjoitus 9 Rtkisuj Jussi Mrtin 1. Osoit, että Lplce-yhtälö pllokoordinteiss on 2 u 1 r 2 2 u r r 1 r 2 sin θ u 1 2 u sin θ θ θ r 2 sin

Lisätiedot

MS-A010{3,4} (ELEC*) Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Luento 3: Jatkuvuus

MS-A010{3,4} (ELEC*) Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Luento 3: Jatkuvuus MS-A010{3,4} (ELEC*) Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Luento 3: Jatkuvuus Pekka Alestalo, Jarmo Malinen Aalto-yliopisto, Matematiikan ja systeemianalyysin laitos 19.9.2016 Pekka Alestalo, Jarmo

Lisätiedot

ANALYYSIN TEORIA A JA B

ANALYYSIN TEORIA A JA B ANALYYSIN TEORIA A JA B Kikki luseit ei ole muotoiltu smll tvll kuin luennoill. Ilmoit virheistä yms osoitteeseen mikko.kngsmki@ut. (jos et ole vrm, onko kyseessä virhe, niin ilmoit mieluummin). 1. Yleistä,

Lisätiedot

Sarjaratkaisun etsiminen Maplella

Sarjaratkaisun etsiminen Maplella Srjrtkisun etsiminen Mplell Olkoon trksteltvn ensimmäisen kertluvun differentiliyhtälö: > diffyht:= diff(y(x, x=1y(x^; d diffyht := = dx y( x 1 y( x Tälle pyritään etsimään srjrtkisu origokeskisenä potenssisrjn.

Lisätiedot

lim + 3 = lim = lim (1p.) (3p.) b) Lausekkeen täytyy supistua (x-2):lla, joten osoittajan nollakohta on 2.

lim + 3 = lim = lim (1p.) (3p.) b) Lausekkeen täytyy supistua (x-2):lla, joten osoittajan nollakohta on 2. Mtemtiikk III 0600 Kurssi / Differetili- j itegrlilske jtkokurssi Tee 7 tehtävää ) Määritä lim ( ) ) + b) Määritä vkio site, että luseke ( ) + + ( )( ) ( + + ) + + + + + lim + lim lim (p) o jtkuv myös

Lisätiedot

8 Potenssisarjoista. 8.1 Määritelmä. Olkoot a 0, a 1, a 2,... reaalisia vakioita ja c R. Määritelmä 8.1. Muotoa

8 Potenssisarjoista. 8.1 Määritelmä. Olkoot a 0, a 1, a 2,... reaalisia vakioita ja c R. Määritelmä 8.1. Muotoa 8 Potenssisarjoista 8. Määritelmä Olkoot a 0, a, a 2,... reaalisia vakioita ja c R. Määritelmä 8.. Muotoa a 0 + a (x c) + a 2 (x c) 2 + olevaa sarjaa sanotaan c-keskiseksi potenssisarjaksi. Selvästi jokainen

Lisätiedot

Numeerinen integrointi.

Numeerinen integrointi. Numeerinen integrointi. Differentili- j integrlilskent 1, syksy 2015 Hrri Vrpnen Mtemtiikn j systeeminlyysin litos Alto-yliopisto Tiisti 6.10.2015 Sisältö Tylor-menetelmä. Käyttökelpoinen silloin, kun

Lisätiedot

4 Taso- ja avaruuskäyrät

4 Taso- ja avaruuskäyrät P2-luentoj kevät 2008, Pekk Alestlo 4 Tso- j vruuskäyrät Tässä luvuss tutustutn tso- j vruuskäyriin, niiden krenpituuteen j krevuuteen. Konkreettisin sovelluksin trkstelln nnettu rt pitkin liikkuvn hiukksen

Lisätiedot

Integroimistehtävät, 10. syyskuuta 2005, sivu 1 / 29. Perustehtäviä. Tehtävä 1. Osoita, että vakiofunktio f(x) c on Riemann-integroituva välillä

Integroimistehtävät, 10. syyskuuta 2005, sivu 1 / 29. Perustehtäviä. Tehtävä 1. Osoita, että vakiofunktio f(x) c on Riemann-integroituva välillä Integroimistehtävät,. syyskuut 5, sivu / 9 Perustehtäviä Tehtävä. Osoit, että vkiofunktio f(x) c on Riemnn-integroituv välillä [, b] j lske suorn määritelmän perusteell b f(x). Tehtävä. Osoit, että funktio,

Lisätiedot

Laudatur 10 MAA10 ratkaisut kertausharjoituksiin

Laudatur 10 MAA10 ratkaisut kertausharjoituksiin Ludtur MAA rtkisut kertushrjoituksiin Integrlifunktio. ) Jokin integrli funktio on esimerkiksi F( ) b) Kikki integrlifunktiot F( ) + C, missä C on vkio Vstus: ) F( ) b) F( ) + C, C on vkio. Kikki integrlifunktiot

Lisätiedot

Kertymäfunktio. Kertymäfunktio. Kertymäfunktio: Mitä opimme? 2/2. Kertymäfunktio: Mitä opimme? 1/2. Kertymäfunktio: Esitiedot

Kertymäfunktio. Kertymäfunktio. Kertymäfunktio: Mitä opimme? 2/2. Kertymäfunktio: Mitä opimme? 1/2. Kertymäfunktio: Esitiedot TKK (c) Ilkk Mellin (24) 1 Johdtus todennäköisyyslskentn TKK (c) Ilkk Mellin (24) 2 : Mitä opimme? 1/2 Jos stunnisilmiötä hlutn mllint mtemttisesti, on ilmiön tulosvihtoehdot kuvttv numeerisess muodoss.

Lisätiedot

MATEMATIIKAN KOE, PITKÄ OPPIMÄÄRÄ PISTEYTYSKOKOUS

MATEMATIIKAN KOE, PITKÄ OPPIMÄÄRÄ PISTEYTYSKOKOUS 0 MATEMATIIKAN KOE, PITKÄ OPPIMÄÄRÄ 30 PISTEYTYSKOKOUS 0 ) Sijoitetn x 0 Rtkistn = 0/04,0000 b) Jos neliön sivu on s, niin lävistäjä on s Ehto: s 6 s + s = 6, s 6 3 4s 6,70, joten piiri ) Suorn yhtälö

Lisätiedot

Matematiikan tukikurssi. Hannu Kivimäki

Matematiikan tukikurssi. Hannu Kivimäki Mtemtiikn tukikurssi Hnnu Kivimäki Sisältö I Ensimmäinen välikoe Integrointi 2 Osittisintegrointi 5 3 Osmurtohjotelm 4 Lisää osmurtoj 4 5 Sijoituskeino 9 6 Määrätty integrli 2 7 Ylä- j lsumm 22 8 Määrätyn

Lisätiedot

ANALYYSI 3. Tero Kilpeläinen

ANALYYSI 3. Tero Kilpeläinen ANALYYSI 3 Tero Kilpeläinen Luentomuistiinpnoj syksyltä 2005 20. lokkuut 2005 Sisältö 1. Esitietoj 2 1.1. Riemnn-integrli............................ 2 1.2. Derivtt................................. 4 1.3.

Lisätiedot

IV. TASAINEN SUPPENEMINEN. f(x) = lim. jokaista ε > 0 ja x A kohti n ε,x N s.e. n n

IV. TASAINEN SUPPENEMINEN. f(x) = lim. jokaista ε > 0 ja x A kohti n ε,x N s.e. n n IV. TASAINEN SUPPENEMINEN IV.. Funktiojonon tasainen suppeneminen Olkoon A R joukko ja f n : A R funktio, n =, 2, 3,..., jolloin jokaisella x A muodostuu lukujono f x, f 2 x,.... Jos tämä jono suppenee

Lisätiedot

2 Riemann-integraali. 2.1 Porrasfunktion integraali. Aloitetaan integraalin täsmällinen määrittely tutkimalla porrasfunktion integraalia.

2 Riemann-integraali. 2.1 Porrasfunktion integraali. Aloitetaan integraalin täsmällinen määrittely tutkimalla porrasfunktion integraalia. 2 Riemnn-integrli 2.1 Porrsfunktion integrli Aloitetn integrlin täsmällinen määrittely tutkimll porrsfunktion integrli. Määritelmä 2.1 (Porrsfunktion integrli). Olkoon f : [, b] R porrsfunktio j P = {x

Lisätiedot

Matematiikan tukikurssi

Matematiikan tukikurssi Mtemtiikn tukikurssi Kurssikert 3 Määrätyn integrlin lskeminen Aiemmin määrittelimme määrätyn integrlin f (x)dx funktion f (x) l- j yläsummien rj-rvon. Määrätyllä integrlill on kksi intuitiivist tulkint:.

Lisätiedot

Matematiikan tukikurssi

Matematiikan tukikurssi Matematiikan tukikurssi Kertausluento 2. välikokeeseen Toisessa välikokeessa on syytä osata ainakin seuraavat asiat:. Potenssisarjojen suppenemissäde, suppenemisväli ja suppenemisjoukko. 2. Derivaatan

Lisätiedot

Kuvausta f sanotaan tällöin isomorfismiksi.

Kuvausta f sanotaan tällöin isomorfismiksi. Määritelmä..12. Oletetn, että 1 =(V 1,E 1 ) j 2 =(V 2,E 2 ) ovt yksinkertisi verkkoj. Verkot 1 j 2 ovt isomorfiset, jos seurvt ehdot toteutuvt: (1) on olemss bijektio f : V 1 V 2 (2) kikill, b V 1 pätee,

Lisätiedot

Jonot. Lukujonolla tarkoitetaan ääretöntä jonoa reaalilukuja a n R, kun indeksi n N. Merkitään. (a n ) n N = (a n ) n=1 = (a 1, a 2, a 3,... ).

Jonot. Lukujonolla tarkoitetaan ääretöntä jonoa reaalilukuja a n R, kun indeksi n N. Merkitään. (a n ) n N = (a n ) n=1 = (a 1, a 2, a 3,... ). Jonot Lukujonolla tarkoitetaan ääretöntä jonoa reaalilukuja a n R, kun indeksi n N. Merkitään (a n ) n N = (a n ) n=1 = (a 1, a 2, a 3,... ). Lukujonon täsmällinen tulkinta on funktio f : N R, jolle f

Lisätiedot

11. MÄÄRÄTTY INTEGRAALI JA TILAVUUS

11. MÄÄRÄTTY INTEGRAALI JA TILAVUUS 11. MÄÄRÄTTY INTEGRAALI JA TILAVUUS Tilvuus on sen verrn rkielämässä viljelty käsite, että useimmiten sen syvemmin edes miettimättä ymmärretään, mitä juomlsin ti pikkuvuvn kylpymmeen tilvuudell trkoitetn.

Lisätiedot

Matematiikan johdantokurssi, syksy 2017 Harjoitus 6, ratkaisuista. 1. Onko jokin demojen 5 tehtävän 3 relaatioista

Matematiikan johdantokurssi, syksy 2017 Harjoitus 6, ratkaisuista. 1. Onko jokin demojen 5 tehtävän 3 relaatioista Mtemtiikn johntokurssi, syksy 07 Hrjoitus 6, rtkisuist. Onko jokin emojen 5 tehtävän reltioist ) R := {(, ), (, ), (, ), (, ), (, ), (, ), (, ), (, )}, ) S := {(, ), (, ), (, ), (, ), (, ), (, ), (, ),

Lisätiedot

Mika Hirvensalo. Insinöörimatematiikka B 2014

Mika Hirvensalo. Insinöörimatematiikka B 2014 Mik Hirvenslo Insinöörimtemtiikk B 4 Sisältö Rj-rvo j jtkuvuus....................................................... 5. Differentili- j integrlilskennn kehityksestä............................. 5. Relilukujen

Lisätiedot

Sinilause ja kosinilause

Sinilause ja kosinilause Siniluse j kosiniluse GEOMETRI M3 Mikäli kolmion korkeus j knt tiedetään, voidn pint-l lske. Esimerkki: Lske kolmion l, kun 38 kulmn viereiset sivut ovt 8, j 6,8. Nyt knt tiedetään, korkeutt ei! 38 8,

Lisätiedot

A-Osio. Valitse seuraavista kolmesta tehtävästä kaksi, joihin vastaat. A-osiossa ei saa käyttää laskinta.

A-Osio. Valitse seuraavista kolmesta tehtävästä kaksi, joihin vastaat. A-osiossa ei saa käyttää laskinta. MAA Loppukoe 5.. Jussi Tyni Tee pisteytysruudukko konseptin yläreunn! Vstuksiin väliviheet, jotk perustelevt vstuksesi! Lue ohjeet huolellisesti! A-Osio. Vlitse seurvist kolmest tehtävästä kksi, joihin

Lisätiedot

OSA 1: POLYNOMILASKENNAN KERTAUSTA, BINOMIN LASKUSÄÄNTÖJÄ JA YHTÄLÖNRATKAISUA

OSA 1: POLYNOMILASKENNAN KERTAUSTA, BINOMIN LASKUSÄÄNTÖJÄ JA YHTÄLÖNRATKAISUA OSA 1: POLYNOMILASKENNAN KERTAUSTA, BINOMIN LASKUSÄÄNTÖJÄ JA YHTÄLÖNRATKAISUA Tekijät: Ari Heimonen, Hellevi Kupil, Ktj Leinonen, Tuomo Tll, Hnn Tuhknen, Pekk Vrniemi Alkupl Tiedekeskus Tietomn torninvrtij

Lisätiedot

MS-A010{3,4} (ELEC*) Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Luento 5: Taylor-polynomi ja sarja

MS-A010{3,4} (ELEC*) Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Luento 5: Taylor-polynomi ja sarja MS-A010{3,4} (ELEC*) Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Luento 5: Taylor-polynomi ja sarja Pekka Alestalo, Jarmo Malinen Aalto-yliopisto, Matematiikan ja systeemianalyysin laitos 26.9.2016 Pekka Alestalo,

Lisätiedot

Lukujoukot. Luonnollisten lukujen joukko N = {1, 2, 3,... }.

Lukujoukot. Luonnollisten lukujen joukko N = {1, 2, 3,... }. Lukujoukot Luonnollisten lukujen joukko N = {1, 2, 3,... }. N 0 = {0, 1, 2, 3,... } = N {0}. Kokonaislukujen joukko Z = {0, 1, 1, 2, 2,... }. Rationaalilukujen joukko Q = {p/q p Z, q N}. Reaalilukujen

Lisätiedot

1+kx 2, x [0, 1] 4. f k (x) = (sin x) k, x R Tehtävä 2. Osoita suoraan määritelmään perustuen, että funktiojono (f k ), missä

1+kx 2, x [0, 1] 4. f k (x) = (sin x) k, x R Tehtävä 2. Osoita suoraan määritelmään perustuen, että funktiojono (f k ), missä Funtiojonojen j -srjojen tehtävät, 11. syysuut 5, sivu 1 / 19 Perustehtäviä Tehtävä 1. Tuti seurvien funtiojonojen (f (x)) suppenemist. pisteittäistä j tsist 1. f (x) = cos x, x R. f (x) = 1 1+x, x R 3.

Lisätiedot

Riemannin integraalista

Riemannin integraalista TAMPEREEN YLIOPISTO Pro grdu -tutkielm Aij Stenberg Riemnnin integrlist Mtemtiikn j tilstotieteen litos Mtemtiikk Syyskuu 2010 2 Tmpereen yliopisto Mtemtiikn j tilstotieteen litos STENBERG, AIJA: Riemnnin

Lisätiedot

Reaalinen lukualue. Millainen on luku, jossa on päättymätön ja jaksoton desimaalikehitelmä?

Reaalinen lukualue. Millainen on luku, jossa on päättymätön ja jaksoton desimaalikehitelmä? Relinen lukulue POLYNOMIFUNKTIOT JA -YHTÄLÖT, MAA Millinen on luku, joss on päättymätön j jksoton desimlikehitelmä? Onko sellisi? Trkstelln Pythgorn luseest stv yksikköneliön lävistäjää, luku + = x x =.

Lisätiedot

Sarja. Lukujonosta (a k ) k N voi muodostaa sen osasummien jonon (s n ): s 1 = a 1, s 2 = a 1 + a 2, s 3 = a 1 + a 2 + a 3,...,

Sarja. Lukujonosta (a k ) k N voi muodostaa sen osasummien jonon (s n ): s 1 = a 1, s 2 = a 1 + a 2, s 3 = a 1 + a 2 + a 3,..., Sarja Lukujonosta (a k ) k N voi muodostaa sen osasummien jonon (s n ): Määritelmä 1 s 1 = a 1, s 2 = a 1 + a 2, s 3 = a 1 + a 2 + a 3,..., n s n = a k. Jos osasummien jonolla (s n ) on raja-arvo s R,

Lisätiedot

Matematiikan perusteet taloustieteilijöille 2 800118P

Matematiikan perusteet taloustieteilijöille 2 800118P Mtemtiikn perusteet tloustieteilijöille 2 800118P Luentomoniste Kri Myllylä Niin Korteslhti Oulun yliopisto Mtemttisten tieteiden litos Kevät 2014 Sisältö 1 Mtriisilgebr j optimointi 4 11 Määritelmä 4

Lisätiedot

MS-A010{3,4,5} (ELEC*, ENG*) Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Luento 2: Sarjat

MS-A010{3,4,5} (ELEC*, ENG*) Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Luento 2: Sarjat MS-A010{3,4,5} (ELEC*, ENG*) Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Luento 2: Sarjat Pekka Alestalo, Jarmo Malinen Aalto-yliopisto, Matematiikan ja systeemianalyysin laitos September 13, 2017 Pekka Alestalo,

Lisätiedot

Luku 15. Integraali. Esimerkki Suoraan edellisen luvun derivointikaavojen perusteella on voimassa

Luku 15. Integraali. Esimerkki Suoraan edellisen luvun derivointikaavojen perusteella on voimassa Luku 5. Integrli Merkitsemme seurvss [, b]:llä lukusuorn suljettu väliä { R : b}. Olkoon f välillä [, b] määritelty funktio. Snomme, että välillä [, b] määritelty funktio g on funktion f integrlifunktio

Lisätiedot

Lebesguen integraali - Rieszin määritelmä

Lebesguen integraali - Rieszin määritelmä Lebesguen integrli - Rieszin määritelmä Tru Lehtonen Mtemtiikn pro grdu-tutkielm Jyväskylän yliopisto Mtemtiikn j tilstotieteen litos Kevät 216 Tiivistelmä Jyväskylän Yliopisto Lehtonen, Tru Puliin: Lebesguen

Lisätiedot

Esimerkki 8.1 Määritellään operaattori A = x + d/dx. Laske Af, kun f = asin(bx). Tässä a ja b ovat vakioita.

Esimerkki 8.1 Määritellään operaattori A = x + d/dx. Laske Af, kun f = asin(bx). Tässä a ja b ovat vakioita. 8. Operttorit, mtriisit j ryhmäteori Mtemttinen operttori määrittelee opertion, jonk mukn sille nnettu funktiot muoktn. Operttorit ovt erityisen tärkeitä kvnttimekniikss, kosk siinä jokist suurett vst

Lisätiedot

Sarjojen tasainen suppeneminen

Sarjojen tasainen suppeneminen Srjojen tsinen suppeneminen Pro grdu -tutkielm Krist Mikkonen 165274 Itä-Suomen yliopisto Fysiikn j mtemtiikn litos 19. mrrskuut 2013 Sisältö 1 Johdnto 1 2 Lukujonoist j srjoist 2 2.1 Lukujoukoist...........................

Lisätiedot

1.3 Toispuoleiset ja epäoleelliset raja-arvot

1.3 Toispuoleiset ja epäoleelliset raja-arvot . Toisuoleiset j eäoleelliset rj-rvot Rj-rvo lim f () A olemssolo edellyttää että muuttuj täytyy void lähestyä rvo kummst suust hyväsä. Jos > ii sot että lähestyy rvo oikelt ositiivisest suust. Jos ts

Lisätiedot

MITEN MÄÄRITÄN ASYMPTOOTIT?

MITEN MÄÄRITÄN ASYMPTOOTIT? MITEN MÄÄRITÄN ASYMPTOOTIT? Asmptootti Asmptootti on suor ti muu kärä, jot funktion kuvj f() rjtt lähest, kun muuttujn rvot lähestvät tiettä luku ti ääretöntä. Rjoitutn luksi niihin tpuksiin, joiss smptootti

Lisätiedot

2.2 Monotoniset jonot

2.2 Monotoniset jonot Mtemtiik tito 9, RATKAISUT Mootoiset joot ) Kosk,,,, ii 0 Lukujoo ( ) o siis lhlt rjoitettu Toislt 0 Lukujoo (

Lisätiedot

Numeerinen integrointi

Numeerinen integrointi Pitkärnt: Lj mtemtiikk IX9 Numeerinen integrointi IX9 Numeerinen integrointi Numeerisell integroinnill trkoitetn määrätyn integrlin, eli reliluvun I(f,,b) = f(x)dx lskemist numeerisin keinoin (likimäärin)

Lisätiedot

funktion voi tarkistaa derivoimalla. Sijoitusmenettely perustuu ketjusääntöön.

funktion voi tarkistaa derivoimalla. Sijoitusmenettely perustuu ketjusääntöön. I.6. Sijoitusmenettely A. Integrlifunktiot Integrlifunktiot etsittäessä on sopiv derivoimissääntö luettv tkperin. funktion voi trkist derivoimll. Sijoitusmenettely perustuu ketjusääntöön. Löydetyn 6..

Lisätiedot

Analyyttiset funktiot ja integrointiteorian alkeita

Analyyttiset funktiot ja integrointiteorian alkeita Anlyyttiset funktiot j integrointiteorin lkeit 6. helmikuut 2006 isältö 1 Kertust 1 2 Anlyyttiset funktiot 2 2.1 Anlyyttiset funktiot tsoll................... 2 2.2 Monogeeniset funktiot vruudess R n.............

Lisätiedot

Ristitulo ja skalaarikolmitulo

Ristitulo ja skalaarikolmitulo Ristitulo j sklrikolmitulo Opetussuunnitelmn 00 mukinen kurssi Vektorit (MAA) sisältää vektoreiden lskutoimituksist keskeisenä ineksen yhteenlskun, vähennyslskun, vektorin kertomisen luvull j vektoreiden

Lisätiedot