ANALYYSI 2. Camilla Hollanti. Tampereen yliopisto x 3. a x 1. x 4 x 11. x 2

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Koko: px
Aloita esitys sivulta:

Download "ANALYYSI 2. Camilla Hollanti. Tampereen yliopisto x 3. a x 1. x 4 x 11. x 2"

Transkriptio

1 ANALYYSI 2 Cmill Hollnti _ M M x x 2 x 3 x 4 x b Tmpereen yliopisto 200

2 2

3 Sisältö. Preliminäärejä 3 2. Riemnn-integrli Pint-lt j porrsfunktiot Pint-l rj-rvon Porrsfunktiot j niiden integrlit Riemnn-integrli j Riemnn-integroituvuus Esimerkkejä Riemnnin summt Integrlin ominisuuksi Integrlien rviointi Integrlit keskirvoin Integrli ylärjns funktion Logritmin määrittely integrlin vull Derivtt j integrli nlyysin perusluse Integrlin derivtt Primitiivi (ntiderivtt) j integrli Integrointitekniikk Derivointikvoist stuj integrointikvoj Sijoitusmenetelmä eli muuttujnvihto Osittisintegrointi Rtionlifunktioiden integrointi Trigonometristen funktioiden integrointi (*)Eräiden muiden funktioiden integroinnist Epäoleelliset integrlit 7

4 6. Numeerisist srjoist Peruskäsitteet j integrlitrkstin Suppenemistrkstimi Vuorottelevt srjt j termien järjestyksen vihto Potenssisrjoist Funktiosrjt j suppeneminen Tsinen suppeneminen Eksponenttifunktion srj Potenssisrjojen perusominisuuksi Tylorin j Mclurinin srjkehitelmistä j niiden sovelluksist

5 Alkusnt Luentomterili perustuu integrlien oslt Tero Kilpeläisen Jyväskylän yliopistoss vuosin 200 j 2003 luennoimiin nlyysin kursseihin. Srjoj käsittelevässä osioss on hyödynnetty pikoin Jyrki Lhtosen Turun yliopistoss tänä keväänä luennoimn nlyysin kurssin mterili. Luentomonisteen trkoitus on tuke omien muistiinpnojen teko, ei korvt niitä. Kurssi on toinen os yhden relimuuttujn nlyysin peruskäsitteiden esittelyä. Ensimmäisessä osss tutustuttiin funktioihin j jonoihin, niiden rj-rvoihin sekä jtkuvuuden käsitteeseen. Myös differentililskent tuli tutuksi. Anlyysi 2 -kurssi sisältää integrlilskennn j srjojen teorin perusteet. Integrlin j derivtn käsitteet luovt perustn modernille mtemtiiklle j luonnontieteille, tekniikn, tloustieteiden j tilstotieteen sovellutuksist puhumttkn. Tällä kurssill pääpino on peruskäsitteiden ymmärtämisessä, vrsinist lskutekniikk on melko vähän sen kehittäminen jää pääosin opiskelijn omn hrrstuksen vrn. Derivtt j integrli on käsitelty pinnllisesti jo koulukurssill. Tämän kurssin tvoitteen on syventää ymmärrystä niin, että opiskelij kykenisi opettmn muille differentili- j integrlilskennn lkeet sekä ymmärtämään, mikä on integroinnin ti derivtn merkitys mtemttisiss mlleiss. Moniss lkeisoppikirjoiss tyydytään esittelemään integrointi inostn ntiderivttn. Tällä kurssill pinotetn integrlin perimmäistä luonnett mittmiseen liittyvänä käsitteenä. Tämä uttnee premmin ymmärtämään integrlin käyttöä moiniss sovellutuksiss, kuten energin, odotusrvon ti virheen rvioinnin yhteyksissä, kuin myös integrlej usempiulotteisiss vruuksiss. Vikk integrli käsitellään itsenäisenä kokonisuuten, ei integroinnin j derivoinnin keskinäistä suhdett kuitenkn unohdet, sillä kurssill todistetn myös nlyysin perusluse, jonk mukn integrointi j derivointi ovt usein toistens käänteisopertioit. Integrointiosion lopuksi tutustutn vielä integrointitekniikoihin j epäoleellisiin integrleihin. Kurssin loppuosss keskitytään srjoihin. Srj on äärettömän lukujonon kikkien termien yhteenlsku. Tuttuj esimerkkejä jo lukiomtemtiikst ovt ritmeettinen j geometrinen srj. Srjteori on tärkeä nlyysin os-lue, jok kehittyi differentili- j integrlilskennn rinnll 600-luvun lopult lähtien.

6 Kuten in mtemtiikn opiskeluss, määritelmät on opeteltv huolell. Niiden käytön j sisällön oppii prhiten todistuksi trkstelemll j hrjoitustehtäviä tekemällä. Anlyysi -kurssin tiedot on syytä kerrt huolell, niitä käytetään toistuvsti jtkoss. Kiitän Tero Kilpeläistä j Jyrki Lhtost mteriliens luovuttmisest käyttööni. Cmill Hollnti 5. toukokuut 200 2

7 . Preliminäärejä Esitetään kurssin luksi joitkin tärkeitä määritelmiä j ominisuuksi, joist os on tuttuj jo Anlyysi -kurssilt... Määritelmä. Funktio f : I R, I R, on jtkuv pisteessä x 0 I, jos jokisell ε > 0 on olemss sellinen δ > 0, että f(x) f(x 0 ) < ε, kun x x 0 < δ (x, x 0 I). Edelleen f : I R on jtkuv välillä I, jos f on jtkuv jokisess pisteessä x 0 I..2. Määritelmä. Funktio f : I R on tsisesti jtkuv välillä I, jos edellisen määritelmän (ε, δ)-pri ei riipu trksteltvst pisteestä, ts. jos jokisell ε > 0 on olemss sellinen δ > 0, että f(x) f(z) < ε kikill x, z I, joill x z < δ..3. Luse. Suljetull j rjoitetull välillä [, b] jtkuv funktio on tsisesti jtkuv. Todistus: Jtkuvuudest seur, että jokiselle välin pisteelle z löytyy om (ε, δ(ε, z))-pri, jok toteutt jtkuvuuteen liittyvät ehdot ko. pisteessä. Tsinen jtkuvuus voidn nyt todet vlitsemll δ = min{δ(ε, z)}, jolloin oletusten nojll f(x) f(z) < ε kikill x, z I, joill x z < δ. Jtkuvuus voidn krkterisoid myös rj-rvojen vull: muist, että luku R on funktion f rj-rvo pisteessä x 0, merkitään lim f(x) =, x x 0 jos jokisell ε > 0 on olemss sellinen δ > 0, että f(x) < ε in, kun 0 < x x 0 < δ. 3

8 Anlyysi -kurssilt muistmme, että f on jtkuv pisteessä x 0, jos j vin jos f:llä on rj-rvo f(x 0 ) pisteessä x 0, ts. lim x x 0 f(x) = f(x 0 ). Seurvt luseet on myös hyvä muist: Bolznon luse: Välillä [, b] jtkuv funktio s kikki rvojen f() j f(b) väliset rvot. Suljetull j rjoitetull välillä [, b] jtkuv funktio f on rjoitettu; ts. on olemss sellinen M > 0, että f(x) M kikill x [, b]. Suljetull j rjoitetull välillä [, b] jtkuv funktio f s suurimmn j pienimmän rvons; ts. on olemss selliset x, x 2 [, b], että f(x ) f(x) f(x 2 ) kikill x [, b]. Eräs tärkeimmistä Anlyysi -kurssin käsitteistä on supremum (j infimum). Muist, että epätyhjän joukon A R supremum sup A on joukon A pienin ylärj. Ts. sup A on sellinen luku M, jok toteutt ehdot i) M on joukon A ylärj eli M kikill A, j ii) M on joukon A ylärjoist pienin eli jos G on jokin joukon A ylärj, niin G M. Vstvsti joukon A R infimum inf A on joukon A suurin lrj. Ts. inf A on sellinen luku m, jolle pätee i) m on joukon A lrj eli m kikill A, j ii) m on joukon A lrjoist suurin eli jos g on jokin joukon A lrj, niin g m. Relilukujen täydellisyyden nojll jokisell ylhäältä rjoitetull joukoll A on sup A R, ts. jos A:llä ylipäänsä on jokin (relinen) ylärj, niin eräs näistä ylärjoist on pienin. Smoin lhlt rjoitetull joukoll A on inf A R. Lisäksi sup A A täsmälleen silloin, kun A:ss on suurin lkio, jolloin supa = mxa. Smoin inf A A täsmälleen silloin, kun A:ss on pienin lkio, jolloin inf A = min A. 4

9 2. Riemnn-integrli Integrointi j differentiointi (derivointi) ovt kksi nlyysin keskeisintä rjprosessi. Aloitmme integrlin käsitteen esittelyllä. Eräs tämän kurssin j koko nlyysin merkittävimmistä tuloksist, nlyysin perusluse, ilmisee, että derivointi j integrointi ovt toistens käänteisprosessej vikk ensi näkemältä näillä ei näyttäisi olevn juurikn tekemistä toistens knss. Usein differentili-j integrlilskennn lkeisopetuksess tyydytään esittelemään integrli vin ntiderivttn. Tällinen menettely nt kuitenkin vin hilkn kuvn integrlin käsitteestä, jok on vrsin keskeinen nlyysissä. Lähinnä historillisist syistä on tpn esitellä ensimmäisenä integrlin käsitteenä ns. Riemnn-integrli, vikk nykyisin käytetään lähinnä tehokkmp Lebesgue-integrli. Toislt Riemnn-integrli on helpompi määritellä ilmn esivlmisteluj j nt mm. jtkuville funktioille täsmälleen smn tuloksen. 2.. Pint-lt j porrsfunktiot Intuitiivisesti tsojokoukon pint-l on sen sisältämien yksikköneliöiden lukumäärä. Trkempi lukuj sdn jkmll yksikköneliöiden sivut esim. 0 yhtäsuureen osn, jolloin sdn sdsosn pint-loj, jne. Intuitiomme mukn pint-lll tulisi oll seurvt ominisuudet:. Pint-l on positiivinen luku. 5

10 2. Suorkiteen pint-l on sen knnn j korkeuden tulo. 3. Alueen pint-l ei s muuttu luett siirrettäessä. 4. Koko lueen pint-l on os-lojen pint-lojen summ. 5. Visulisesti suuremmll joukoll on suurempi pint-l. 2.. Pint-l rj-rvon Jtketn pint-ltrkstelu rvioimll ei-negtiivisen funktion f : [, b] R grfin lle jäävän lueen pint-l. Jetn väli [, b] äärellisen moneen (n kpl) osväliin, jkopisteinä = x 0 < x < x 2 < < x n = b j piirretään grfin lle mhdollisimmn korket suorkiteet S j, kunkin kntn osväli [x j, x j ]. Siten S j on krteesinen tulo [x j, x j ] [0, y j ], missä y j = inf {f(x) x [x j, x j ]}. Suorkiteiden S j pint-lt ostn lske, sillä ne ovt yksinkertisesti y j (x j x j ). Näin ollen grfin lle piirretyn monikulmion M = n S j j= pint-l on suorkiteiden S j pint-lojen summ n y j (x j x j ). j= Huomtn, että grfin lle jäävän lueen pint-l A n y j (x j x j ). j= 6

11 _ M M x x 2 x 3 x 4 x b Seurvksi tehdään smnlinen pproksimointi yläpuolelt: Piirretään mhdollisimmn mtlt suorkiteet S j, joill on kntoin osvälit [x j, x j ] j joiden ktto z j on f:n grfin yläpuolell. Nyt S j on krteesinen tulo [x j, x j ] [0, z j ], missä z j = sup {f(x) x [x j, x j ]}. Suorkiteiden S j pint-lt ovt z j (x j x j ), joten monikulmion M = n S j j= pint-l on n z j (x j x j ). j= Huomtn, että grfin lle jäävän lueen pint-l A n z j (x j x j ). j= Yhdistämällä nämä rviot sdn grfin lle jäävän lueen pint-llle A rviot n j= inf f(x)(x j x j ) A x [x j,x j ] n j= sup f(z)(x j x j ). z [x j,x j ] 7

12 Jtkoss osoitetn, että lisäämällä jkovälien määrää tällinen pproksimointiprosessi joht useiss tilnteiss hlutun pint-ln (integrlin) smiseen rjll. Kuitenkn vkvsti otettv mtemtiikk ei voi pohjutu intuitioon, vikk intuitiivinen käsitys j kuvien piirtely ovtkin erittäin tärkeä os ymmärrystä j ongelmnrtkisuprosessi. Täsmällistä, hvinnoist riippumtont teori kehitettäessä yllä tehdyt trkstelut onkin hyvä pitää mielessä, sillä teori toki selittää hvintomme Porrsfunktiot j niiden integrlit Aloitimme pint-ln intuitiivisest käsitteestä j johdimme sen vull integrlin pproksimoivn rj-prosessin. Nyt teemme päinvstoin: integrlin trkss määritelmässä lähdemme liikkeelle pproksimoivist (pint-lojen) summist, jotk määritellään puhtn nlyyttisesti. Myöhemmin osoitmme, että ylhäältä j lhlt pproksimoivt summt suppenevt kohti sm luku edellyttäen, että funktio on sopivn siisti. Se mitä siistillä tässä yhteydessä trkoitetn selviää myöhemmin. Al- j yläsummn yhteinen rj-rvo on integrlin (j pint-ln) täsmällinen määritelmä. Olkoon I rjoitettu väli, jonk päätepisteet ovt, b R, < b. 2.. Määritelmä. (jko, porrsfunktio) Välin I jon muodostvt luvut (n < ) = x 0 < x < x 2 < < x n = b. Funktio f : I R on porrsfunktio, jos on olemss välin I jko P = (x 0, x, x 2,...,x n ) j luvut j R, j =, 2,..., n, joille f(x) = j kikill x ]x j, x j [ Huomutus. Porrsfunktion välijon voi tehdä monell tp. Porrsfunktion rvoille jkopisteissä x j ei setet mitään ehto. Porrsfunktion grfi muodost nimensä mukisesti portikon. 8

13 =x 0 x 2 x x 3 x 4 x 5 x 6 b=x Määritelmä. (porrsfunktion integrli) Porrsfunktion f : [, b] R integrli (yli välin [, b]) on f := n j l(i j ), j= missä P = (x 0, x, x 2,...,x n ) on välin [, b] jko siten, että f(x) = j kikill x I j =]x j, x j [ j l(i j ) = x j x j on osvälin I j =]x j, x j [ pituus Huomutus.. Porrsfunktion integrli on hyvin määritelty: se ei riipu vlitust välijost (hrjoitustehtävä). 2. Jos f j g ovt porrsfunktioit välillä [, b] j λ R, niin f + g j λf ovt porrsfunktioit j (f + g) = f + g j (λf) = λ f. 9

14 2.2. Riemnn-integrli j Riemnn-integroituvuus Olkoon f : [, b] R rjoitettu, ts. on olemss M > 0, jolle f(x) M kikill x [, b]. Määritellään f:n lintegrli yli välin [, b] l f := sup j f:n yläintegrli yli välin [, b] ylä f := inf g g porrsfunktio j g f välillä [, b] h h porrsfunktio j h f välillä [, b] Huomutus. Ei ole linkn selvää yhtyvätkö l- j yläintegrlit eli päteekö yhtälö l f = ylä f. Kuitenkin l f ylä f, sillä (hrjoitustehtävä) jos g j h ovt porrsfunktioit j g h, niin g h. Edelleen porrsfunktiolle g pätee l g = ylä g. 0

15 2.6. Määritelmä. (Riemnn-integrli j Riemnn-integroituvuus) Rjoitettu funktio f : [, b] R on (Riemnn-)integroituv, jos l f = ylä f. Tällöin f:n (Riemnn-)integrli yli välin [, b] on f := f(x) dx := l f = ylä f. Tässä dx ilmisee, että integrli lsketn integrndin f muuttujn x suhteen Huomutus. Porrsfunktiot ovt Riemnn-integroituvi. Hetken päästä osoitmme, että tsisesti jtkuvt funktiot ovt integroituvi. Tätä voidn hvinnollist sillä tosisill, että pienillä osväleillä tsisesti jtkuv funktio ei juurikn heilhtele, joten ylä- j lpuolisten porrsfunktioiden väliin ei jää merkittävästi pint-l. Aloitetn tekemällä yksinkertinen, mutt erittäin hyödyllinen hvinto. Sen jälkeen lskemme määritelmän vull esimerkkifunktioiden integrlej. Myöhemmin kehitämme teori integrlien lskemiseksi. R-ehto 2.8. Luse. (Riemnnin ehto) Rjoitettu funktio f : [, b] R on Riemnnintegroituv välillä [, b], jos j vin jos jokisell ε > 0 on olemss selliset porrsfunktiot g j h, että g f h välillä [, b] j h g < ε. Todistus: : Jos f on integroituv, niin ylä f = l f.

16 Jos ε > 0, niin infimumin määritelmän nojll voidn vlit porrsfunktio h siten, että h f j h < ylä f + ε 2. Smoin supremumin määritelmän nojll voidn vlit porrsfunktio g siten, että g f j g > l f ε 2. Nyt h g < ylä f + ε b 2 (l f ε 2 ) = ε, kosk ylä f = l f. : Olkoon ε > 0 mielivltinen j h j g sellisi porrsfunktioit, että g f h välillä [, b] j Tällöin ts. ylä ylä f h h < ε + f l g < ε. g ε + l f, f + ε kikill ε > 0, joten ylä f l f ylä f. 2

17 Siis ylä f = l f Huomutus. Riemnnin ehdon hyödyllisyys tulee ilmi siinä, ettei f:n lj yläintegrlej trvitse ost lske nähdäkseen, että funktio on integroituv: riittää ost rvioid lporrsfunktion j yläporrsfunktion grfien väliin jäävää pint-l, sillä porrsfunktioille h j g pätee h g = (h g) Esimerkkejä Seurvksi lskemme määritelmän vull eräitä integrlej. Esimerkki.. (Linerifunktion integrli) Olkoon f(x) = kx, k > 0. Osoitetn, että f on integroituv j lsketn f(x) dx = kxdx. f(x)=kx g h =x 0 x x 2 x 3 x 4 x 5 x 6 b=x 7 3

18 Jetn väli [, b] n yhtäsuureen osväliin, jkopisteinä, + t, + 2t,..., + nt = b, missä t = b n. Määritellään porrsfunktiot g j h siten, että j g(x) = k( + (j )t), kun x [ + (j )t, + jt[, h(x) = k( + jt), kun x [ + (j )t, + jt[, missä j =,..., n j g(b) = h(b) = f(b). Tällöin g f h. Edelleen, g = tk + tk( + t) + + tk( + (n )t) kun n. Smoin = ntk + t 2 k( (n )) = ntk + t 2 n(n ) k 2 = n b (b )2 k + n k n 2 (b )2 = (b )k + 2 (b )2 (b )k + k, 2 n(n ) 2 k n n h = tk( + t) + tk( + 2t) + + tk( + nt) = ntk + t 2 k( n) = ntk + t 2 n(n + ) k 2 = n b (b )2 k + n k n 2 (b )2 = (b )k + 2 (b )2 (b )k + k, 2 n(n + ) 2 k n + n 4

19 kun n. Siten f on integroituv (Riemnnin ehto) j f = kxdx = (b )k + (b )2 k = k 2 2 (b2 2 ). Esimerkki. 2. Olkoon f(x) = x 2. Osoitetn, että f on integroituv j lsketn x 2 dx. Symmetrisyistä voimme rjoittu tilnteeseen 0. Muodostetn jko kuten edellisessä esimerkissä, jkopisteinä missä, + t, + 2t,..., + nt = b, t = b n. Määritellään porrsfunktiot g j h siten, että g(x) = f( + (j )t) = ( + (j )t) 2, kun x [ + (j )t, + jt[, j h(x) = f( + jt) = ( + jt) 2, kun x [ + (j )t, + jt[, j g(b) = h(b) = f(b). Tällöin g f h j g = 2 t + ( + t) 2 t + + ( + (n )t) 2 t = n 2 t + 2t 2 ( (n )) + t 3 ( (n ) 2 ) = n 2 t + 2t 2n(n ) 2 = 2 (b ) t 3(n )n(2n ) 6 (b )2 n(n ) n (b ) + (b ) 2 + (b )3 3 +, (b )3 (n )n(2n ) n 3 6 5

20 missä käytimme kv m k 2 = k= m(m + )(2m + ) 6. Kuten yllä, sdn h = ( + t) 2 t + ( + 2t) 2 t + + ( + nt) 2 t = n 2 t + 2t 2 ( n) + t 3 ( n 2 ) = n 2 t + 2t 2n(n + ) 2 = 2 (b ) t 3n(n + )(2n + ) 6 (b )2 n(n + ) n (b ) + (b ) 2 + (b ) (b )3 n(n + )(2n + ) n 3 6 Siten f on integroituv (Riemnnin ehto) j x 2 dx = 2 (b ) + (b ) 2 + (b )3 3 = 3 (b3 3 ). Esimerkki. 3. Olkoon f(x) = x k, k N. Osoitetn, että f on integroituv j lsketn x k dx. Jetn nyt väli [, b] tsvälijon sijst geometrisess suhteess (oletetn > 0), jkopisteinä, q, q 2,...,q n, missä siis merkitään myös q = n b ; x j = q j, j = 0,, 2,..., n. 6

21 Huom, että q >, joten viimeinen jkoväli on suurin j q, kun n. Jkovälin [x j, x j ] pituus on Lsketn porrsfunktion h, x j x j = q j q j = qj (q ) q h(x) = f(x j ) = (q j ) k, kun x ]x j, x j [, integrli (joll rvioidn f:n yläintegrli). Nyt käyttämällä geometrisen summn kv sdn h = (q) kq(q ) + (q 2 ) kq2 (q ) + + (q n ) kqn (q ) q q q = k+q q n (q k+ ) j j= = k+q q k+(qk+ ) n q q k+ = k+ (q )q k(b )k+ q k+ = (b k+ k+ )q k q q k+. Hvitsemll geometrisen summn kvn vull, että smme q q k+ = + q + q q k q k h = (b k+ k+ ) + q + q q k bk+ k+ k + kun n, sillä tällöin q. Siten ylä, f bk+ k+ k +.. 7

22 Smll tvoin nähdään (hrjoitustehtävä), että joten f on integroituv j l f bk+ k+ k +, x k dx = bk+ k+ k +. Esimerkki. 4. Rjoitettu funktio, jok ei ole Riemnn-integroituv. Olkoon f(x) = {, jos x Q 0, jos x R \ Q. Tällöin f ei ole Riemnn-integroituv, sillä jos g on porrsfunktio j g on vkio välillä I, niin mikäli g f välillä I, niin g 0 kyseisellä välillä, sillä I sisältää irrtionlipisteitä. Siten l f 0. Toislt g 0 on porrsfunktio j g f, joten l f = 0 (b ) = 0. Smoin jos g f I:llä, niin g kyseisellä välillä, sillä väli I sisältää rtionlipisteitä. Tästä sdn, että ylä f = (b ) > 0 = l f, joten f ei ole Riemnn-integroituv. 8

23 Esimerkki. 5. (mielenkiintoinen hvinto) Olkoon f : [, b] R idosti ksvv (jtkuv) funktio j ϕ : [α, β] R f:n käänteisfunktio, siis f() = α, f(b) = β j ϕ(f(x)) = x kikill x [, b]. Tällöin β f(x) dx + ϕ(y) dy = bβ α. α Kvn pätevyyden voi hvit kuvst käyttämällä integrlin pint-ltulkint. Trkk todistus jätetään hrjoitustehtäväksi. β β α φ(y) dy b f(x) dx α b Esimerkiksi, jos f(x) = x /k, k N j, b > 0, niin integrli x /k dx sdn helposti lskettu esimerkin 5 kvll: ϕ(y) = y k, α = /k, β = b /k, joten 9

24 kvn j esimerkin 3 nojll β x /k dx = bβ α ϕ(y) dy α = b +/k +/k βk+ α k+ k + = ( b +/k +/k)( ) k + = b+/k +/k. + /k jtk-int 2.0. Luse. Olkoon f : [, b] R jtkuv. Tällöin f on Riemnn-integroituv. Todistus: Tiedämme, että suljetull j rjoitetull välillä jtkuv funktio on tsisesti jtkuv. Olkoon nyt ε > 0. Kosk f on tsisesti jtkuv, on olemss sellinen n N, että jos x y b n Otetn jko P = (x 0, x,..., x n ), jkopisteinä x j = + j b n Muodostetn porrsfunktiot g j h:, niin f(x) f(y) < ε b., j = 0,, 2,..., n. j g(x) = min {f(z) z [x j, x j ]} =: m j h(x) = mx {f(z) z [x j, x j ]} =: M j, kun x ]x j, x j [ j määritellään g(b) = f(b) = h(b). Tällöin g f h. Kosk jtkuv funktio svutt suurimmn j pienimmän rvons suljetull välillä, löydetään pisteet z j, z j [x j, x j ], joill f(z j ) = m j j f(z j ) = M j. 20

25 Kosk niin Siten h g = = z j z j x j x j = b n, M j m j = f(z j ) f(z j ) < ε b. n M j (x j x j ) j= n m j (x j x j ) j= n (M j m j )(x j x j ) j= < ε b n (x j x j ) j= = ε b ((x x 0 ) + (x 2 x ) + + (x n x n )) = ε b (x n x 0 ) = ε, joten f on Riemnnin ehdon 2.8 nojll integroituv., 2.. Huomutus. Äärellinen pistejoukko ei vikut integroituvuuteen eikä integrlin rvoon, kosk ne jätettiin porrsfunktioiden määrittelyssä huomioimtt Määritelmä. Funktio f : [, b] R on ploittin jtkuv välillä [, b], jos välillä [, b] on korkeintn äärellisen mont sellist pistettä, joss f ei ole jtkuv. pl.jtk-int 2.3. Luse. Ploittin jtkuv funktio on Riemnn-integroituv Riemnnin summt Olkoon f : [, b] R rjoitettu j olkoon P = ( = x 0, x,...,x n = b) välin [, b] jko. Merkitään I k = [x k, x k ] j P = mx {l(i k ) = x k x k k =, 2,..., n}, 2

26 mikä on suurimmn osvälin pituus. Vlitn mielivltinen ξ k I k j merkitään S P := S P (f, ξ) := n f(ξ k )(x k x k ) = k= n f(ξ k )l(i k ) k= j kutsutn tätä f:n (jkoon P liittyväksi) Riemnnin summksi. Huom, että Riemnnin summ on porrsfunktion g integrli, missä g = f(ξ k ) välillä I k. Tihennetään seurvksi jko siten, että P 0 j tutkitn rj-rvo lim S P (f, ξ). P 0 Nyt lim S P (f, ξ) = L, P 0 mikäli jokisell ε > 0 on olemss sellinen δ > 0, että kikill joill P, joill P < δ pätee S P (f, ξ) L < ε vlittiinp pisteet ξ k miten thns. Näin sdn ekvivlentti määritelmä Riemnn-integrlille: R-summt 2.4. Luse. Rjoitettu funktio f : [, b] R on Riemnn-integroituv, jos j vin, jos Riemnnin summill on rj-rvo lim S P(f, ξ). P 0 Tällöin f = lim P 0 S P(f, ξ). Todistus: : Olkoon f integroituv j ε > 0. Vlitn Riemnnin ehdon 2.8 vull porrsfunktiot g j h siten, että g f h j h g < ε 2. 22

27 Olkoon P 0 = (z 0, z,...,z m0 ) välin [, b] jko siten, että jon pisteet ovt sekä h:n että g:n porrspisteitä. Trkstelln nyt välin [, b] jko P = (x 0, x,...,x n ), jolle P < P 0. Tällöin Riemnnin summ S P (f, ξ) on erään porrsfunktion s integrli. Edelleen g s = f(ξ k ) h kikill niillä osväleillä I k = [x k, x k ], jotk eivät sisällä jon P 0 pisteitä. Korjtn porrsfunktioit g j h niillä osväleillä, jotk sisältävät jon P 0 pisteitä: vlitn M > 0 siten, että f(x) M kikill x [, b] j määritellään g(x) = { g(x), jos x I k j z j I k kikill j = 0,,..., m 0 M, jos x I k j z j I k jollkin j = 0,,..., m 0 j h(x) = { h(x), jos x I k j z j I k kikill j = 0,,..., m 0 M, jos x I k j z j I k jollkin j = 0,,..., m 0. Tällöin g j h ovt porrsfunktioit j g s h. Voidn olett, että M g h M, joten h g 2M. Siten (kosk porrsfunktioiden rvo muutettiin korkeintn m 0 välillä) h g h g + m 0 P 2M < ε 2 + m 0 P 2M. Näin ollen, jos vlitn δ = min{ P 0, ε m 0 4M } j vditn, että P < δ, sdn f S P = f s h < ε 2 + m 0 P 2M < ε 2 + m 02M ε m 0 4M = ε. g 23

28 Siis Riemnnin summien rj-rvo on olemss j f = lim P 0 S P(f, ξ). : Olkoon lim S P(f, ξ) = L P 0 kikill pisteiden ξ k vlinnoill. Ts. jokisell ε > 0 on olemss sellinen δ > 0, että kikill joill P, joill P < δ pätee S P (f, ξ) L < ε vlittiinp pisteet ξ k miten thns. Olkoon nyt P = (x 0, x,...,x n ) välin [, b] jko siten, että P < δ, j vlitn pisteet ξ k, ξ k [x k, x k ] siten, että f(ξ k ) inf f + ε [x k,x k ] b j f(ξ k ) sup f ε [x k,x k ] b. Tällöin porrsfunktioille g j h, g(x) = f(ξ k ) ε b, kun x [x k, x k ] j pätee g f h j h(x) = f(ξ k ) + ε b, kun x [x k, x k ] h g = = S P (f, ξ) + n k= ε b (x k x k ) S P (f, ξ) + S P (f, ξ) L + ε + L S P (f, ξ) + ε < 4ε. n k= ε b (x k x k ) Näin ollen f on Riemnnin ehdon 2.8 nojll integroituv. 24

29 2.2.3 Integrlin ominisuuksi Integrlin ominisuuksi tutkittess on pidettävä mielessä integrlin määrittely: ensin porrsfunktioiden integrli j sitten rjlle käynti (ti supremumin j infimumin otto). Tästä seur, että integrlien ominisuuksien todistukset on yleensä in prst plutt porrsfunktioit koskeviksi väitteiksi, sillä porrsfunktioille ne ovt useimmiten helpompi. Tämän jälkeen on vielä todettv, ettei rjnkäynti tuot vikeuksi. ddit 2.5. Luse. (dditiivisuus) Olkoon f : [, b] R rjoitettu j c ], b[. Tällöin f on Riemnn-integroituv välillä [, b], jos j vin jos f on Riemnn-integroituv väleillä [, c] j [c, b]. Tällöin c f = f + f. c Todistus: Väite seur siitä, että piste c voidn ott porrsfunktioiden (uudeksi) jkopisteeksi: Jos g on porrsfunktio välillä [, b], niin rjoittumt g [,c] = p j g [c,b] = p 2 ovt porrsfunktioit väleillä [, c] j [c, b] (vstvsti). Olkoon P = (x 0, x,...,x n ) tähän liittyvä jko, missä c = x k. Tällöin (tässä x j ]x j, x j [) g = = = n g(x j )(x j x j ) j= k n g(x j )(x j x j ) + g(x j )(x j x j ) j= j=k+ c g + g, c joten väite on tosi porrsfunktioiden integrleille. Yleinen tpus seur ottmll superemum j infimum yli sopivien porrsfunktioiden. 25

30 Tähän mennessä integrli on määritely vin, kun < b. Ljennetn seurvksi tätä määritelmää: 2.6. Määritelmä. Olkoon f : [, b] R Riemnn-integroituv. Määritellään f := f b j g := 0 kikille pisteessä määritellyille R-rvoisille funktioille g Huomutus. Integrlien dditiivuusluse säilyy voimss: kikill, b, c R, c f = f + f, kunhn f on integroituv kyseisillä väleillä. c int-lin 2.8. Luse. (linerisuus) Olkoot f j g Riemnn-integroituvi välillä [, b] j λ R. Tällöin λf j f + g ovt Riemnn-integroituvi välillä [, b], j (λf) = λ f j (f + g) = f + g. Todistus: Luse voidn todist osoittmll ensin, että väite on selvä porrsfunktioille, j ottmll sitten supremum j infimum. Vihtoehtoinen todistus sdn Riemnnin summien vull seurvsti: S P (f + g, ξ) = S P (f, ξ) + S P (g, ξ), 26

31 joten (f + g) = lim S P (f + g, ξ) P 0 = lim P 0 S P(f, ξ) + lim P 0 S P(g, ξ) = f + g. Vkioll kertominen smn tpn. Esimerkki. Olkoon p(x) = n x n + n x n + + x + 0. Tällöin p on jtkuvn funktion integroituv j luseen 2.8 vull sdn esimerkkiä 3 hyödyntämällä, että p(x) dx = n ( j j=0 x j dx) = n j=0 j b j+ j+ j + = n n + (bn+ n+ ) + n n (bn n ) (b2 2 ) + 0 (b ) Integrlien rviointi Integrlej ei yleensä pystytä lskemn trksti. Usein kuitenkin sopiv rviointi riittää. Seurv hvinto muunnelmineen on eräs keskeisimmistä rviointikeinoist Luse. Olkoon f Riemnn-integroituv j ei-negtiivinen välillä [, b]. Täl- löin ei-neg.int f 0. 27

32 Todistus: Porrsfunktiolle g 0 pätee g f, joten 0 = g f. int vertilu Luse. Olkoot f j g integroituvi välillä [, b] j f g. Tällöin f g. Todistus: Luseen 2.8 nojll f g 0 on integroituv, joten 0 (f g) = f g. sup rvio 2.2. Seurus. Olkoon f jtkuv välillä [, b]. Jos M = mxf j m = min f, niin m(b ) f M(b ). Huom! Leim sup rvio ei liity tässä supremumiin vn siihen, että rvioimme integrli suorkiteiden pint-lojen vull (ktso kuv seurvll sivull). 28

33 M m b noll int Luse. Olkoon f jtkuv j ei-negtiivinen välillä [, b] ( < b). Jos f = 0, niin f 0 välillä [, b]. Todistus: Jos on olemss sellinen x 0 [, b] (voidn olett, että x 0 ], b[ ), että f(x 0 ) > 0, niin Anlyysi -kurssin tulosten nojll on olemss sellinen δ > 0, että f(x) f(x 0) > 0 kikill x [x 0 δ, x 0 + δ], 2 joten f = x 0 δ f + x 0 +δ f + f x 0 δ 0 + x 0 δ x 0 +δ x 0 δ f(x 0 ) 2 = 0 + 2δ f(x 0) = δf(x 0 ) > 0. x 0 +δ dx + x 0 +δ 0 Tämä on ristiriit, joten väite on tosi. 29

34 2.23. Määritelmä. Olkoon f : A R. Määritellään f:n positiivios f + : A R j f:n negtiivios f : A R, f + (x) := mx{f(x), 0} = { f(x), kun f(x) 0 0, kun f(x) 0, j f (x) := mx{ f(x), 0} = { f(x), kun f(x) 0 0, kun f(x) 0. Tällöin f:n itseisrvo on f : A R, f (x) := f(x) = f + (x) + f (x) Huomutus. Huom, että f + 0, f 0, f 0 j f = f + f. pos.osn int Luse. Olkoon f : [, b] R rjoitettu. Tällöin f on Riemnn-integroituv, jos j vin jos sekä f + j f ovt Riemnn-integroituvi. Tällöin f = f + f j myös f on Riemnn-integroituv. Todistus: : Seur Luseest 2.8, kosk f = f + f. : Jos g j h ovt sellisi porrsfunktioit välillä [, b], että g f h j h g < ε, niin g + j h + ovt porrsfunktioit j g + f + h + sekä h + (x) g + (x) h(x) g(x). (miksi?) 30

35 Siten ε > h g = (h(x) g(x)) dx (h + (x) g + (x)) dx = h + (x) dx g + (x) dx, joten f + on Riemnnin ehdon 2.8 nojll integroituv. Kosk f = f + f, myös f on integroituv, smoin f = f + + f. its.rvio Luse. Olkoon f : [, b] R Riemnn-integroituv. Tällöin f dx f dx. Todistus: Kosk f f j f f, niin f f j f = ( f) f, mistä väite seur Huomutus. ) Epäyhtälö edellä voi oll ito. Esimerkiksi xdx = 0 < = x dx. b) Funktion f : [, b] R grfin j x-kselin väliin välillä [, b] jäävän lueen pint-l on f = f + + f. 3

36 tulo int Luse. Olkoot f j g Riemnn-integroituvi. Tällöin tulo f g on myös Riemnn-integroituv Huomutus. Vro: yleensä (fg) ( f )( Todistus: (vrt. tulon jtkuvuuden ti rj-rvon todistus!). Oletetn ensiksi, että f, g 0. Olkoon M > 0 sellinen, että f, g M. Olkoon ε > 0. Vlitn porrsfunktiot g f, h f j g g, h g siten, että j g ). g f f h f M j g g g h g M h f g f < ε 2M j Tällöin g f g g j h g h f ovt porrsfunktioit j Kosk h g M j g f M, niin h f h g g f g g = h g g f g g fg h f h g. (h f g f )h g + g g < ε 2M. g f (h g g g ) M (h f g f ) + M (h g g g ) < M ε 2M + M ε 2M = ε, joten Riemnnin ehdon 2.8 nojll fg on integroituv. 2. Olkoot f j g integroituvi funktioit. Kosk f = f + f j g = g + g, niin fg = f + g + f + g f g + + f g, jok on kohdn. nojll Riemnn-integroituvien funktioiden summn integroituv (ks. 2.8). 32

37 2.30. Huomutus. Riemnn-integroituvt funktiot voidn krkterisoid Lebesguen ehdon vull (ei todistet): Rjoitettu funktio f : [, b] R on Riemnn-integroituv, jos j vin jos f:n epäjtkuvuuspisteiden joukko on nollmitllinen. Joukon A R nollmitllisuus trkoitt, että kikill ε > 0 on olemss jono sellisi voimi välejä I j, j =, 2,..., että A I j j= j l(i j ) < ε. j= Esimerkiksi Q on nollmitllinen, mutt R \ Q ei ole Integrlit keskirvoin Äärellisen monen pisteen x, x 2,..., x n ritmeettinen keskirvo on x + x x n n Jos hlutn lske funktion f keskirvo välillä [, b], on luonnollist lske ensin f:n rvojen keskirvo äärellisen moness pisteessä, k = f(x ) + f(x 2 ) + + f(x n ), n j nt sitten pisteiden määrän n ksv rjtt (n ). Kun väli [, b] jetn tsvälein, jkopisteinä x 0,x, x 2,..., x n, niin j f(x ) + f(x 2 ) + + f(x n ) n x j x j = b n = b n j=. f(x j )(x j x j ) n f(x) dx, b kunhn f on Riemnn-integroituv (Riemnnin summt!). Toisin snoen, f:n äärellisen monen pisteen rvojen keskirvo lähestyy kohti rvo µ = f(x) dx f(x) dx = b dx =: f(x) dx, 33

38 jot kutsutn f:n keskirvoksi välillä [, b]. Jtkuv funktio s keskirvons välillä [, b]: IVAL 2.3. Luse. (Integrlilskennn välirvoluse (lyh. IVAL, engl. men vlue thm) Olkoon f jtkuv välillä [, b]. Tällöin on olemss ξ [, b], jolle suorkide (2.) f(x) dx = f(ξ)(b ). Todistus: Olkoon m = min f j M = mxf, jolloin joten m(b ) m µ := f dx M(b ), f M. Kosk f s rvot m j M, niin Bolznon luseen nojll f s myös niiden välissä olevn rvon µ, ts. on olemss ξ [, b], jolle f(ξ) = f(x) dx. b Huomutus. Välirvoluseen 2.3 kvss (2.) voi oll myös b ξ. Integrlilskennn välirvoluseest on myös pinotettujen keskirvojen muoto: pinoka Luse. Olkoot f j p Riemnn-integroituvi j p 0. Tällöin m p dx fp dx M p dx, 34

39 missä m = inf f j M = sup f, ts. f:n pinotettu keskirvo µ = fp dx p dx on f:n supremumin j infimumin välissä. (mikäli p > 0) Todistus: Kosk mp fp Mp, niin m p = mp fp Mp = M p. Kosk Bolznon luseen mukn jtkuv funktio svutt kikki rvot suurimmn j pienimmän rvons välistä, sdn yl.ival Luse. (Yleistetty integrlilskennn välirvoluse) Olkoon f jtkuv j p ei-negtiivinen j Riemnn-integroituv välillä [, b]. Tällöin on olemss ξ [, b], jolle fp dx = f(ξ) p dx Integrli ylärjns funktion Seurvksi määrittelemme integrlin ylärjns funktion eli setmme ylärjksi vkion sijn muuttujn x Määritelmä. (integrlifunktio) Olkoon f : [, b] R Riemnnintegroituv. Funktio F : [, b] R on f:n (eräs) integrlifunktio, jos on olemss α [, b], jolle F(x) = x α f(y) dy kikill x [, b]. Seurvss luvuss todistmme Anlyysin perusluseen. Tämän jälkeen ljennmme integrlifunktion käsitettä siten, että myös F + vkio on in integrlifunktio, jos F on. 35

40 2.36. Huomutus. Vihtmll lrj α α sdn uusi integrlifunktio Huomutus. Määrätty integrli (eli Riemnnin integrli) sdn integrlifunktiost: jos F on f:n integrlifunktio, niin f(y) dy = α f(y) dy + f(y) dy α = f(y) dy + f(y) dy = F() + F(b) =: α / b F(y) =: F(b) F(). α Huomutus. Kksi f:n integrlifunktiot erovt toisistn vkioll: x x x α f(y) dy f(y) dy = f(y) dy + f(y) dy α α α x α = f(y) dy = vkio kikill x [, b]. α Luse. Olkoon f : [, b] R Riemnn-integroituv. Tällöin f:n integrli- funktio on jtkuv. intfkt Todistus: Kikill x, y [, b] F(x) F(y) = = = x α x α x y f(t) dt f(t) dt + f(t) dt y α α y x sup f x y < ε, y f(t) dt f(t) dt f(t) dt 36

41 kun x y < ε sup f + := δ. (Erityisesti F on Lipschitz-jtkuv.) Huomutus. Ei-negtiivisen integroituvn funktion integrlifunktio on ksvv. Vstvsti ei-positiivisen integroituvn funktion integrlifunktio on vähenevä Logritmin määrittely integrlin vull Anlyysi -kurssill määrittelimme logritmifunktion eksponenttifunktion käänteisfunktion, eksponenttifunktio määriteltiin puolestn rjprosessin vull. Nyt näytämme, että logritmi voitisiin yhtä hyvin määritellä integrlin vull (j edelleen sen käänteisfunktion eksponenttifunktio). Vihtoehtoisesti ll olevn voi käsittää funktion integrlifunktion määräämiseksi. x Olkoon x > 0. Merkitään :n integrlifunktiot z f(x) = x z dz. Kosk on rjoitettu j jtkuv kikill väleillä [, b], kun, b > 0, niin integrli z on hyvin määritelty. Osoitmme, että f(x) = log x. Integrlifunktion ominisuuksien perusteell f :]0, [ R on ksvv j jtkuv. Edelleen, f() = 0, f(x) < 0, kun 0 < x < j f(x) > 0, kun x > Luse. Integrlifunktiolle f : ]0, [ R, f(x) = x z dz, x > 0, pätee f(xy) = f(x) + f(y) kikill x, y > 0. 37

42 Todistus: Olkoon ensin x >. Tällöin yhteenlskuluse f(xy) f(y) = f(x) on ekvivlentti lusekkeen xy y z dz = x s ds knss (missä selvyyden vuoksi nimettiin integroimismuuttuj uudelleen). Näiden lusekkeiden yhtäsuuruus nähdään helposti Riemnnin summn vull. Jetn väli [, x] n yhtäsuureen osväliin, jkopisteinä = x 0, x, x 2,..., x n = x, jolloin x ds = lim s n n j= s j (x j x j ) = lim n n j= s j x n, missä s j ]x j, x j [ on mielivltinen. Nyt pisteet y = yx 0, yx, yx 2,...,yx n = yx muodostvt välin [y, yx] jon j ys j ]yx j, yx j [, joten xy y z dz = lim n = lim n = x n j= n j= s ds. ys j (yx j yx j ) x s j n Väite on siten todistettu, kun x >. Jos x =, niin f(x) = 0, joten f(xy) = f(y) = f(x) + f(y). Tpus 0 < x < sdn käsiteltyä, kun hvitn, että tällöin x ollen f(x) + f(y) = f(x) + f( x xy) >. Näin = f(x) + f( x ) + f(xy) = f(x x ) + f(xy) = f() + f(xy) = f(xy). 38

43 Nyt induktioll nähdään, että j edelleen kikill n N j x > 0 f(x n ) = nf(x) kikill n N j x > 0, f(x n ) = f(( x )n ) = nf( x ) = n (f(x x ) ) f(x) = n (f() f(x)) = nf(x). Siten rtionlisill q = n m pätee qf(x) (2.2) f(x q ) = m f((xq ) m ) = m f(xn ) = n f(x) = qf(x). m Plutetn mieleen, että e = lim n ( + n )n, joten integrlifunktion jtkuvuuden nojll f(e) = f( lim n ( + n )n ) = lim n f(( + n )n ) = lim n nf( + n ). Edelleen integrlilskennn välirvoluseen 2.3 nojll missä ξ + n. Siten + f( + n ) = n s ds = ξ n, f(e) = lim n nf( + n ) =. Nyt kvn (2.2) nojll smme kikill rtionlisill q joten f:n jtkuvuuden nojll f(e q ) = qf(e) = q, f(e y ) = y kikill y R. Näin olemme osoittneet, että f on eksponenttifunktion käänteisfunktio eli x log x = f(x) = ds kikill x > 0. s 39

44 3. Derivtt j integrli nlyysin perusluse Kouluss opeteltiin integrli derivtn vull: integrli stiin suorittmll derivoinnille käänteinen opertio, ts. miettimällä, mikä nnettu luseke oli ennen kuin se tuli derivoiduksi. Tämän luvun trkoitus on perustell tämä näkökoht täsmällisesti j osoitt, että tietyin edellytyksin integrli on juuri tällinen ntiderivtt. Tutkitn luksi derivoinnin j integroinnin välistä yhteyttä. 3.. Integrlin derivtt Plutetn mieleen, että integroituvn funktion f integrlifunktio on muoto olev funktio. x F(x) = f(t) dt α 3.. Luse. (Anlyysin perusluse (os )) Olkoon f : [, b] R Riemnn- integroituv. Jos f on jtkuv pisteessä x 0 ], b[, niin f:n integrlifunktio F, perus F(x) = on derivoituv pisteessä x 0 j F (x 0 ) = f(x 0 ). x α f(t) dt, Todistus: Väite seur integrlilskennn välirvoluseen 2.3 todistuksest: jokisell h > 0 sdn rviot F(x 0 + h) F(x 0 ) = x 0 +h x 0 f(t) dt { h sup{f(x) x [x 0, x 0 + h]} h inf{f(x) x [x 0, x 0 + h]}, joten F(x 0 + h) F(x 0 ) h { sup{f(x) x [x 0, x 0 + h]} f(x 0 ) inf{f(x) x [x 0, x 0 + h]} f(x 0 ), 40

45 kun h 0, kosk f on jtkuvuv pisteessä x 0. Smoin negtiivisille h:n rvoille. Siis F on derivoituv pisteessä x 0 j F (x 0 ) = f(x 0 ) Huomutus. Perusluseen 3. mukn derivointi siis plutt jtkuvn funktion integrlin tkisin lkuperäiseksi funktioksi, mikä voidn kirjoitt ll olevn seurusluseen muotoon Seurus. Olkoon f jtkuv funktio. Tällöin d x f(t) dt = f(x). dx α 3.4. Esimerkki. Perusluseen 3. nojll voidn lske eräiden funktioiden derivttoj. Kosk log x = niin logritmifunktio on derivoituv j x t dt, d log x dx = x. Edelleen, kosk -kntiselle logritmille log x pätee log x = log x log, niin derivoinnin linerisuudest ((f + g) = f + g, (cf) = cf ) seur, että d log x dx = x log. 4

46 Lopuksi, kosk e x = x e t dt +, eksponenttifunktio on derivoituv j perusluseen nojll 0 d e x dx = d x e t dt + d dx dx = ex Primitiivi (ntiderivtt) j integrli Trkstelln seurv ongelm: Olkoon f nnettu. Määritä sellinen funktio F, jolle F (x) = f(x) kikill x. Tvoitteen on siis suoritt eräänlinen käänteinen derivointiprosessi. Anlyysin perusluseen 3. ensimmäinen muoto tk, että jtkuvn funktion f integrlifunktio trjo in rtkisu tälle ongelmlle Määritelmä. (primitiivi, ntiderivtt) Funktion f : ], b[ R primitiivi ti ntiderivtt on sellinen funktio F : ], b[ R, jolle F (x) = f(x) kikill x ], b[ Huomutus. Primitiivi (ntiderivtt) on määritelmän mukn derivoituv. Primitiivi ei ole yksikäsitteinen. Usein kirjllisuudess kutsutn mitä hyvänsä primitiivifunktiot f:n integrlifunktioksi. Tällä kurssill integrlifunktio-nimitys on (toistiseksi) vrttu niille funktiolle, jotk sdn funktiost f eksplisiittisesti integroimll. Myöhemmin Luseen 3.0 jälkeen ljennmme integrlifunktion käsitettä niin, että myös F + vkio on in integrlifunktio, jos F on integrlifunktio. Anlyysin perusluseen 3. nojll siis: 3.7. Seurus. Jtkuvn funktion f jokinen integrlifunktio on f:n primitiivi. 42

47 Näin ei sd kuitenkn kikki primitiivejä Esimerkki. Kosk d (sin x+7) = cosx, niin F(x) = sin x+7 on funktion cosx dx primitiivi. Tätä ei kuitenkn sd suorn funktiot cos x integroimll, kosk cos xdx π < 7 = F(0). Määritelmän j edellisen seurusluseen nojll f:n primitiivifunktiot erovt toisistn korkeintn vkioll. perus Luse. (Anlyysin perusluse (os 2)) Jos F j F 2 ovt smn funktion f primitiivejä, niin on olemss vkio c, jolle F (x) = F 2 (x) + c kikill x. Kääntäen, jos F on eräs f:n primitiivi, niin jokinen muoto F(x) = F (x) + c (c vkio) olev funktio on myös f:n primitiivi. Yhdistämällä perusluseen molemmt ost sdn: perus 3.0. Luse. (Anlyysin perusluse) Olkoon f : I R jtkuv, missä I R on voin väli. Tällöin jokinen f:n primitiivi F on muoto x primitiivi (3.) F(x) = c + missä c R j I ovt vkioit. f(t) dt, Kääntäen, mikä hyvänsä muoto (3.) olev funktio F on f:n primitiivi. 3.. Esimerkki. Oletus f:n jtkuvuudest on oleellinen: olkoon F funktion f, f(x) = {, kun x 0 0, kun x < 0, 43

48 integrlifunktio F(x) = x 0 f(t) dt = { x, kun x 0 0, kun x < 0. Kuitenkn F ei ole primitiivi, sillä se ei ole derivoituv pisteessä x = Huomutus. Nyt voimme huolett kutsu mitä hyvänsä jtkuvn funktion f primitiiviä integrlifunktioksi, ts. tästä lähtien funktion f integrlifunktio on mikä hyvänsä muoto F(x) = c + x f(t) dt olev funktio. Siten jtkuvn funktion f tpuksess smt funktiot ovt sekä primitiivejä että integrlifunktioit. Usein käytetään hiemn sekv merkintää F(x) = f(x) dx, joll trkoitetn, että F on f:n primitiivi eli F (x) = f(x). Tällä merkinnällä voidn trkoitt myös sitä, että F(x) = c + x f(t) dt sopivill vkioill j c. Jtkuvn funktion f tpuksess molemmt tulkinnt johtvt smn. Näin ei kuitenkn käy kikille funktioille. Anlyysin perusluseest seur, että määrättyjä integrlej voidn lske primitiivien vull: int.lsku 3.3. Luse. Olkoon F jtkuvn funktion f : [, b] R primitiivi. Tällöin f(x) dx = / b F(x) = F(b) F(). 44

49 Todistus: Kosk F (x) = f(x), niin nlyysin perusluseen nojll F(b) F() = c + F (x) dx (c + F (x) dx) = f(x) dx Huomutus. Jos integrndi f on ploittin jtkuv, voidn Lusett 3.3 sovelt jkmll integrointiväli osväleihin, joiss f on jtkuv. Jos esimerkiksi {, kun x 0 f(x) =, kun x < 0, niin f(x) dx = / 0 ( x) + / 0 x = + = Huomutus. Lusett 3.3 voidn käyttää myös seurvss muodoss: Jos f on jtkuvsti derivoituv, niin x f(x) = f(x 0 ) + f (t) dt. x Esimerkki. Usein funktioit on helpompi derivoid kuin lske integrlej ossummien vull. Voimme esimerkiksi helposti lske x n x n 0 = x n + x n 2 x xx0 n 2 + x0 n x x 0 nx0 n, kun x x 0, joten d dx xn = nx n. 45

50 Integroimll sdn ti merkitsemällä m = n, nx n dx = / b x n = b n n, kun m N. Myös derivointikvt x m dx = m + (bm+ m+ ), d sin x dx = cos x j d cos x dx = sin x oli helppo joht (Anlyysi ), sillä niissä trvittiin vin trigonometristen funktioiden yhteenlskukvoj j tieto, että Näistä sdn edelleen integrointikvt sin h lim h 0 h =. j cosxdx = sin xdx = / b / b sin x = sin b sin ( cos x) = cos cos b. Lisää vstvll tvll stvi integrointikvoj tulukoidn myöhemmin pykälässä

51 4. Integrointitekniikk Anlyysi -kurssill tutustuimme lkeisfunktioihin, joit ovt polynomit j rtionlifunktiot, trigonometriset funktiot, potenssifunktiot, eksponenttifunktiot j näiden käänteisfunktiot. Monet funktiot voidn muodost lkeisfunktioist toistmll rtionliopertioit (yhteen-, kerto- j jkolsku), funktioiden yhdistelyjä sekä käänteisfunktioiden muodostmisi. Tällisi funktioit kutsutn eksplisiittisiksi ti niiden snotn olevn suljetuss muodoss. Differentililskennst opitun vull totemme helposti, että suljettu muoto olevt funktiot ovt määrittelyjoukoissn derivoituvi j niiden derivttkin ovt suljettu muoto. Integrointi on kuitenkin yleensä tärkeämpää (j vlitettvsti vikempkin) kuin derivointi. Anlyysin perusluseen vull voidn käsitellä lukuis joukko integrointiongelmi: Jokist derivointikv F (x) = f(x), missä f on jtkuv, vst ekvivlentisti kv f:n primitiiveille ti integrlifunktioille f = F(x), trkemmin x f(t) dt = F(x) + vkio. α Näin sdn tulukoiduksi eksplisiittisten funktioiden integrlifunktiot suljetuss muodoss (ks. tulukko 4.). Kuitenkin lisäksi on olemss vrttomn näköisiä funktioit, joit ei void integroid suljetuss muodoss. Voidn todist, että esimerkiksi integrlifunktioit e x dx j x dx ( x2 )( k 2 x 2 ), k 0 ei void esittää lkeisfunktioiden vull, niin yksinkertisilt kuin nämä integrlit näyttävätkin. Onneksi on olemss tekniikoit, joill monet integrointiongelmt voidn plutt jonkun tulukoidun lkeisfunktion integroinniksi. Tässä luvuss trkstelemme näitä tekniikoit. Vrsinisi tekniikoit on kksi: sijoitusmenetelmä eli muuttujnvihto j osittisintegrointi. Muut ovt lähinnä yksittäistpuksiin sopivi temppuj. On syytä vielä korost, että jtkuvll funktioll on in olemss integrlifunktio (Luse 2.0), vikk sitä ei voitisiinkn esittää suljetuss muodoss. 47

52 tulukko 4.. Derivointikvoist stuj integrointikvoj f(x) = F (x) F(x) (+c) väli x x+ ( ) + log x ], 0[ ti ]0, [ x e x x sin x cos x e x x ( > 0, ) log cosx sin x tn x log cosx ] π + nπ, π + (n + )π[ 2 2 cotx log sinx ]nπ, n + π[ sin 2 x cos 2 x sinh x cosh x x 2 + x 2 + x 2 cot x tnx cosh x sinh x { rcsin x rccosx { rctn x rccot x r sinh x = log(x + + x 2 ) ]nπ, (n + )π[ ] π + nπ, π + (n + )π[ 2 2 ], [ ± x 2 r coshx = log(x ± x 2 ) ], [ ti ], [ r tnhx = +x log x 2 2 x ], [ r cothx = +x log x 2 2 x ], [ ti ], [ 48

53 4.2. Sijoitusmenetelmä eli muuttujnvihto Sijoitusmenetelmä pohjutuu yhdistetyn funktion derivoinnin ketjusääntöön: Jos G = F ϕ j jos sekä F että ϕ ovt jtkuvsti derivoituvi, niin d dt G(t) = d dt F ϕ(t) = F (ϕ(t))ϕ (t). Nyt siis derivtt G (t) on jtkuv, joten integroimll edellinen kv välillä [ α, β ] sdn nlyysin perusluseen 3.0 nojll G(β) G(α) = F ( ϕ(β) ) F ( ϕ(α) ) = β α F (ϕ(t))ϕ (t) dt. Jos merkitään = ϕ(α) j b = ϕ(β), sdn edelleen F ( ϕ(β) ) F ( ϕ(α) ) = F(b) F() = Sijoittmll tähän f(x) = F (x) smme perussijoituskvn F (x) dx. sijoitus (4.) β f(x) dx = f(ϕ(t))ϕ (t) dt, α x = ϕ(t), ϕ(α) =, ϕ(β) = b, mikä kirjoitettun differentilin dϕ = ϕ (t) dt vull muuntuu muotoon f(x) dx = f(ϕ) dϕ. 4.. Huomutus. Huomthn, että kvss (4.) funktio ϕ s oll mikä hyvänsä välillä J (jonk päätepisteet ovt α j β) jtkuvsti derivoituv funktio, jolle ϕ(α) =, ϕ(β) = b. Edelleen funktion f tulee oll jtkuv välillä I, jok sisältää kuvjoukon ϕ(j) (edelleen F s oll mikä thns f:n primitiivi). 49

54 4.2. Esimerkki. Sovelletn muuttujnvihtokv (4.) integrndiin f(x) = x j oletetn, että sijoitus x = ϕ(t) 0 kikill t ko. välillä. Tällöin ϕ (t) dx ϕ(t) dt = x = log x = log ϕ(t). Soveltmll tätä kv funktioihin ϕ(x) = log x, ϕ(x) = sin x j ϕ(x) = cosx sdn kvt dx = log log x, x log x cot xdx = log sin x, tn xdx = log cosx. Kvt voi helposti trkist derivoimll. Muist tehty oletus, että ko. välillä integrndin nimittäjä ei häviä! Lisää esimerkkejä sdn sijoittmll eri funktioit x = ϕ(t) seurvn kvn (n Z, n ) (ϕ(t)) n ϕ (t) dt = x n dx = xn+ n + = (ϕ(t))n+, n + missä vlitsemll ϕ(t) = log t j ϕ(t) = sin t sdn (log t) n dt = t (log t)n+ n + j sin n t costdt = sinn+ t n +. Moniss sovellutuksiss määrättävä integrli on muoto h (ϕ(t)) dt, missä integrndist puuttuu termi ϕ (t). Tällöin pyrimme kirjoittmn integrndin muotoon h ( ϕ(t) ) = f ( ϕ(t) ) ϕ (t). Tämä onnistuu in, jos tiedämme, että derivtt ϕ ei häviä. Tällöin nimittäin kuvus x = ϕ(t) on idosti monotoninen, joten sillä on myös jtkuvsti derivoituv käänteiskuvus t = ψ(x) j dt dx = ψ (x) = ϕ (t). 50

55 Nyt jos määritellään sdn f(x) = h(x)ψ (x), h ( ϕ(t) ) = f( ϕ(t) ) ψ ( ϕ(t) ) = f( ϕ(t) ) ϕ (t), joten sijoituskv s muodon h ( ϕ(t) ) dt = = f ( ϕ(t) ) ϕ (t) = h(x)ψ (x) dx = f(x) dx h(x) dt dx dx, missä on muistettv oletus ϕ (t) 0, jok tk sen, että ψ on derivoituv. Muistisäännönomisesti sijoituskv/muuttujnvihtokv (4.) voidn siis kirjoitt (kun muuttujnvihto u(x) on idosti monotoninen) seurvsti: f(u(x)) dx = β α f(u) du, missä α = u(), β = u(b) j du = du dx dx Esimerkki. Tehdään muuttujnvihto t = 2x integrliss sin 2xdx. Sdn (dt = 2dx) sin 2xdx = 2 sin t dt = 2 cost = cos 2x 2 j määrätty integrli π 4 0 sin 2xdx = 2 π 2 0 / π 2 sin t dt = 0 2 cost = 2. 5

56 Trkstelln funktion sin integrli muuttujnvihdon t = x x x 2 dx ti dx = t 2 dt, joten vull: dt = 2 sin x dx = 2 sin t 2 dt = t 2 sin t t 2 dt, minkä lopullinen integrointi tuott (inkin vielä) tusk. Todistetn seurvksi muuttujnvihtokvn hyödyllisin erikoistpus suorn Riemnnin summien vull käyttämättä ketjusääntöä todistus toimii luonnollisesti inostn Riemnn-integroituville funktioille Luse. (muuttujnvihto/sijoitus) Olkoon f : [, b ] R Riemnn-integroi- tuv j x : [ α, β ] [, b ] jtkuvsti derivoituv siten, että x (t) 0 kikill t. Tällöin muutt.vihto x(β) β f(x) dx = f ( x(t) ) x (t) dt. x(α) α Todistus: Oletetn, että x (t) > 0 kikill t, jolloin x on idosti ksvv. Voidn myös olett että x(α) = j x(β) = b. Jetn väli [ α, β ] osväleihin (n kpl), jkopisteinä α = t 0, t, t 2,...,t n = β, jolloin kuvt = x 0 = x(t 0 ), x = x(t ), x 2 = x(t 2 ),...,x n = x(t n ) = b muodostvt välin [, b ] jon, j kääntäen. 52

57 x b=x 8 x 7 x 6 x 5 x( τ) x 4 x 3 x 2 x =x 0 τ α=τ 0 τ τ 2 τ 3 τ τ 5 τ 6 τ 7 β=τ 8 Tällöin vsemmll olev integrli on Riemnnin summn n f(ν k )(x k x k ) k= rj-rvo, missä luku ν k [ x k, x k ] on mielivltisesti vlittu. Kirjoitetn tämä summ muodoss n f(ν k ) x k x k (t k t k ). t k t k k= Nyt (differentililskennn) välirvoluseen nojll on olemss ξ k ]t k, t k [, jolle x k x k t k t k = x (ξ k ). Siten n f(ν k )(x k x k ) = k= n f(ν k )x (ξ k )(t k t k ), k= jost vlitsemll ν k = x(ξ k ) sdn n f(ν k )(x k x k ) = k= n f(x(ξ k ))x (ξ k )(t k t k ), k= 53

58 mistä rj-rvoin sdn hlutut integrlit eli β f(x) dx = f ( x(t) ) x (t) dt. α 4.5. Esimerkki. (Integrointikvoj). Määrätään integrli dx 2 x 2 ( 0) sijoituksen x = x(t) = t vull, jolloin dt = dx dx 2 x = 2 dt 2 (t) = 2 j siten (jos > 0) = rcsin t = rcsin x, kun x <, dt t 2 mikä on voimss myös, kun < 0. Huom, että negtiivisell :ll sijoitus on vähenevä, jolloin integrlifunktion rjt vihtuvt iheutten ylimääräisen miinusmerkin. Smll sijoituksell sdn myös dx 2 + x = 2 dt 2 + (t) = 2 = rctnt = rctn x, dt + t 2 dx 2 + x 2 = r sinh x, dx x2 = r cosh x, kun x >, 2 j dx 2 x 2 = { r tnh x, kun x <,, kun x >. 54

59 2. Sijoituksell t = + x 2, jost dt = 2xdx, sdn j xdx = 2 dt = t = + x 2 + x 2 t xdx + x = dt 2 2 t Sijoituksell t = x 2 sdn smn tpn j = 2 log t = 2 log( + x2 ). xdx x 2 = x 2 xdx x 2 = 2 log x2. 3. Sijoituksell t = x + b, jost dt = dx, kun 0, sdn (α ) j dx x + b = dt t (x + b) α dx = sin(x + b) dx = = log t = t α dt = (α + ) tα+ = log x + b, sin t dt = cos(x + b). (x + b)α+ (α + ) 4. Edelleen sijoituksell t = cos x, jost dt = sin x dx, sdn tnxdx = log cosx j sijoituksell t = sin x cot xdx = log sin x. 5. Etsitään integrlifunktio Ensiksi kirjoitetn dx sin x. sin x = 2 sin x 2 cos x 2 = 2 tn x 2 cos2 x 2, 55

60 jolloin sijoituksell sdn t = tn x 2, dt = 2 dx cos 2 x 2 dx dt sin x = t = log t = log tn x Osittisintegrointi Jos f j g ovt jtkuvsti derivoituvi, niin tulon derivointikv (fg) = f g + fg voidn kirjoitt myös integrointikvn f(x)g(x) = f (x)g(x) dx + f(x)g (x) dx ti f(x)g (x) dx = f(x)g(x) f (x)g(x) dx, lyhyemmin f dg = fg gdf, mitä kutsutn osittisintegrointikvksi. os.int 4.6. Luse. (osittisintegrointi) i) Olkoot f j g jtkuvsti derivoituvi. Tällöin fg = fg f g. ii) Olkoot f j g derivoituvi j f j g Riemnn-integroituvi välillä [, b ]. Tällöin fg dx = / b f(x)g(x) f g dx. 56

61 Todistus: Koht i) todistettiin yllä. Koht ii) seur smn tpn tulon derivointikvst, sillä derivtt (fg) = f g + fg on Riemnn-integroituv, jolloin (hrjoitustehtävä) / b f(x)g(x) = (fg) = f g + fg Esimerkki. Ensiksi log xdx = log xdx = x log x x dx = x log x x, x mikä on helppo trkist derivoimll. Edelleen xe x dx = xe x e x dx = e x (x ). Smoin osittisintegroimll x sin xdx = x cos x + sin x j x cosxdx = x sin x + cos x. Joskus osittisintegroinnill päädytään plutuskvn: e x sin bxdx = b ex cos bx + e x cosbxdx b = b ex cos bx + sin bx 2 b 2ex b 2 e x sin bxdx, joten e x sin bxdx = = b2 ( 2 + b 2 b ex cos bx + sin bx ) b 2ex 2 + b 2ex( sin bx b cosbx ). 57

62 4.8. Esimerkki. Tässä esimerkissä johdmme lusekkeen summlle f(b) + f(), kun perusluseen kvss on luseke erotukselle f(b) f(). Jos f on jtkuvsti derivoituv, niin osittisintegroimll f(x) dx + f (x)(x m) dx = / b f(x)(x m) = f(b)(b m) f()( m), missä m on mielivltinen vkio. Vlitsemll vkioksi keskirvo m = +b 2 sdn f(x) dx + f (x)(x m) dx = f(b)( b 2 2 ) f()( 2 b 2 ) = b (f() + f(b)) Esimerkki. (Plutuskvoj (rekursio)) Toistuv osittisintegrointi 2 joht usein plutuskvoihin. Esimerkiksi integrlit cos n xdx, sin m xdx j sin m x cos n xdx ovt tällisi. Osittisintegroimll cos n xdx = cos n x sin x + (n ) = cos n x sin x + (n ) cos n 2 x sin 2 xdx cos n 2 xdx (n ) cos n xdx, jok nt plutuskvn cos n xdx = n cosn x sin x + n n cos n 2 xdx. Tällä kvll voidn integrndin potenssi pudott skel skeleelt kunnes päädytään integrleihin cosxdx = sin x ti dx = x. 2 Toistmiseen osittisintegroitess on vrottv, ettei vihd f:n j g:n roolej: f g = / b fg mikä ei tuo rtkisu ongelmn. fg = / b fg ( fg f g) = / b f g, 58

63 Esimerkiksi, kun n = 2 cos 2 xdx = 2 cosxsin x + 2 dx = (x + cosxsin x). 2 Vstvll tvll sdn plutuskv sin n xdx = n sinn x cos x + n n sin n 2 xdx. Jälkimmäisestä plutuskvst sdn husk yhteys kokonislukujen j π:n välille: Hvitn, että kikill n > joten kikill m π 2 0 sin n xdx = n n π 2 0 sin n 2 xdx, mistä j π 2 0 j π 2 0 sin 2m xdx = 2m 2m 2m 3 2m 2 2 sin 2m+ xdx = π 2 0 π 2 Jkmll nämä sdn 0 π 2 2m 2m + 2m 2 2m dx π 2 sin 2m xdx = 2m 2m 2m 3 2m 2 2 π 2 sin 2m+ xdx = 2m 2m + 2m 2 2m π 2 = m 2m (2m ) (2m + ) 0 sin xdx, π 2 0 π 2 0 sin 2m xdx sin 2m+ xdx. 59

2 Riemann-integraali. 2.1 Porrasfunktion integraali. Aloitetaan integraalin täsmällinen määrittely tutkimalla porrasfunktion integraalia.

2 Riemann-integraali. 2.1 Porrasfunktion integraali. Aloitetaan integraalin täsmällinen määrittely tutkimalla porrasfunktion integraalia. 2 Riemnn-integrli 2.1 Porrsfunktion integrli Aloitetn integrlin täsmällinen määrittely tutkimll porrsfunktion integrli. Määritelmä 2.1 (Porrsfunktion integrli). Olkoon f : [, b] R porrsfunktio j P = {x

Lisätiedot

3 Integraali ja derivaatta

3 Integraali ja derivaatta 3 Integrli j erivtt 3.1 Integrli ylärjns funktion Olkoon funktio f Riemnn-integroituv välin I jokisell suljetull osvälillä j välin I jokin kiinteä luku. Tällöin integrli määrittelee funktion G(): I R,

Lisätiedot

ANALYYSI 2. Tero Kilpeläinen

ANALYYSI 2. Tero Kilpeläinen ANALYYSI Tero Kilpeläinen 3 Teksti sisältää muistiinpnoj vuosin j 3 pidetystä kurssist. Tämän pketin trkoitus on tuke omien muistiinpnojen teko, ei korvt niitä. Mtemtiikk oppii prhiten itse kirjoitten

Lisätiedot

Analyysi 2. Harjoituksia lukuihin 1 3 / Kevät Anna sellainen välillä ] 2, 2[ jatkuva ja rajoitettu funktio f, että

Analyysi 2. Harjoituksia lukuihin 1 3 / Kevät Anna sellainen välillä ] 2, 2[ jatkuva ja rajoitettu funktio f, että Anlyysi Hrjoituksi lukuihin 3 / Kevät 5. Ann sellinen välillä ], [ jtkuv j rjoitettu funktio f, että () sup A m A j inf A min A, (b) sup A m A j inf A = min A, (c) sup A = m A j inf A min A, (d) sup A

Lisätiedot

5 Epäoleellinen integraali

5 Epäoleellinen integraali 5 Epäoleellinen integrli 5. Integrlin suppeneminen Olkoon f sellinen välillä [, b[ (ei siis välttämättä pisteessä b) määritelty funktio, että f on Riemnn-integroituv välillä [, ] kikill ], b[ eli on olemss

Lisätiedot

II.1. Suppeneminen., kun x > 0. Tavallinen lasku

II.1. Suppeneminen., kun x > 0. Tavallinen lasku II. EPÄOLEELLISET INTEGRAALIT nt II.. Suppeneminen Esim. Olkoon f() =, kun >. Tvllinen lsku = / =. Kuitenkn tätä integrli ei ole ikisemmss mielessä määritelty, kosk f ei ole rjoitettu välillä [, ] (eikä

Lisätiedot

SARJAT JA DIFFERENTIAALIYHTÄLÖT Funktiojonot 1

SARJAT JA DIFFERENTIAALIYHTÄLÖT Funktiojonot 1 SARJAT JA DIFFERENTIAALIYHTÄLÖT 2003 JOUNI PARKKONEN Sisältö 0. Tästä tekstistä. Funktiojonot 0. Tästä tekstistä Tämä moniste on trkoitettu käytettäväksi kurssin Srjt j differentiliyhtälöt luentomterilin.

Lisätiedot

Riemannin integraalista

Riemannin integraalista Lebesguen integrliin sl. 2007 Ari Lehtonen Riemnnin integrlist Johdnto Tämän luentomonisteen trkoituksen on tutustutt lukij Lebesgue n integrliin j sen perusominisuuksiin mhdollisimmn yksinkertisess tpuksess:

Lisätiedot

Kertausta ja täydennystä

Kertausta ja täydennystä LUKU 1 Kertust j täydennystä 1.1. Merkintöjä N = {k Z k 0} = {0, 1, 2,... }, luonnollisten lukujen joukko. Z + = {k Z k > 0} = {1, 2,... }, positiivisten kokonislukujen joukko. (, b) on relikselin voin

Lisätiedot

6 Integraalilaskentaa

6 Integraalilaskentaa 6 Integrlilskent 6. Integrlifunktio Funktion f integrlifunktioksi snotn funktiot F, jonk derivtt on f. Siis F (x) = f (x) määrittelyjoukon jokisell muuttujn rvoll x. Merkitään F(x) = f (x) dx. Integrlifunktion

Lisätiedot

i 2 n 3 ( (n 1)a (i + 1) 3 = 1 +

i 2 n 3 ( (n 1)a (i + 1) 3 = 1 + I. INTEGRAALILASKENTA Arkhimedes (287 22 e.kr.) prbelin segmentin pint-l Newton (642 727) j Leibniz (646 76) keksivät diff.- j int.-lskennn Cuhy (789 857) ε, δ Riemnn (826 866) Riemnnin integrli Lebesgue

Lisätiedot

7 Funktiosarjoista. 7.1 Funktiosarjojen suppeneminen

7 Funktiosarjoista. 7.1 Funktiosarjojen suppeneminen 7 Funktiosrjoist 7. Funktiosrjojen suppeneminen Seurvksi trkstelln srjoj, joiden termit ovt (lukujen sijst) jollkin välillä I määriteltyjä funktioit. Täsmällisemmin funktiosrjll (ti lyhyemmin srjll) trkoitetn

Lisätiedot

a = x 0 < x 1 < x 2 < < x n = b f(x) dx = I. lim f(x k ) x k=1

a = x 0 < x 1 < x 2 < < x n = b f(x) dx = I. lim f(x k ) x k=1 5 Integrli 5.1 Määritelmä j ominisuudet Olkoon f : [, b] R jtkuv. Muodostetn välin [, b] jko = x 0 < x 1 < x 2 < < x n = b j siihen liittyvä yläsumm S = n M k (x k x k 1 ), M k = mx{f(x) x k 1 x x k },

Lisätiedot

Sisältö. Integraali 10. syyskuuta 2005 sivu 1 / 20

Sisältö. Integraali 10. syyskuuta 2005 sivu 1 / 20 Integrli 10. syyskuut 2005 sivu 1 / 20 Sisältö 1 Määrätty integrli j integrlifunktio 2 1.1 Integroituvist funktioit 3 1.2 Määrätyn integrlin ominisuuksi 4 1.3 Integrlifunktio 5 1.4 Integrlilskennn tärkeimmät

Lisätiedot

Matematiikan tukikurssi

Matematiikan tukikurssi Mtemtiikn tukikurssi Kurssikert 4 Tilvuuden j vipn ln lskeminen Kuten iemmin käsittelimme, määrätyn integrlin vull voi lske pintloj j tilvuuksi. Tyypillisenä sovelluksen tilvuuden lskemisest on tpus, joss

Lisätiedot

MS-A010{3,4} (ELEC*) Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Luento 7: Integraali ja analyysin peruslause

MS-A010{3,4} (ELEC*) Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Luento 7: Integraali ja analyysin peruslause MS-A010{3,4} (ELEC*) Differentili- j integrlilskent 1 Luento 7: Integrli j nlyysin perusluse Pekk Alestlo, Jrmo Mlinen Alto-yliopisto, Mtemtiikn j systeeminlyysin litos 3.10.2016 Pekk Alestlo, Jrmo Mlinen

Lisätiedot

1. Derivaatan Testi. Jos funktio f on jatkuva avoimella välillä ]a, b[ ja x 0 ]a, b[ on kriit. tai singul. piste niin. { f (x) > 0, x ]a, x 0 [

1. Derivaatan Testi. Jos funktio f on jatkuva avoimella välillä ]a, b[ ja x 0 ]a, b[ on kriit. tai singul. piste niin. { f (x) > 0, x ]a, x 0 [ 1. Derivtn Testi Jos funktio f on jtkuv voimell välillä ], b[ j x 0 ], b[ on kriit. ti singul. piste niin { f (x) < 0, x ], x 0 [ f x (x) > 0, x ]x 0, b[ 0 on lokli minimipiste (1) { f (x) > 0, x ], x

Lisätiedot

x k 1 Riemannin summien käyttö integraalin approksimointiin ei ole erityisen tehokasta; jatkuvasti derivoituvalle funktiolle f virhe b

x k 1 Riemannin summien käyttö integraalin approksimointiin ei ole erityisen tehokasta; jatkuvasti derivoituvalle funktiolle f virhe b 5 Integrlien lskemisest 51 Riemnnin summt [A2], [4, 61] Rjoitetun funktion f : [, b] R Riemnn-integroituvuudelle ytäpitäväksi on kurssill Anlyysi 2 osoitettu, että Riemnnin summill S P := f(ξ k ) ( ),

Lisätiedot

MS-A010{2,3,4,5} (SCI,ELEC*, ENG*) Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Luento 7: Integraali ja analyysin peruslause

MS-A010{2,3,4,5} (SCI,ELEC*, ENG*) Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Luento 7: Integraali ja analyysin peruslause MS-A010{2,3,4,5} (SCI,ELEC*, ENG*) Differentili- j integrlilskent 1 Luento 7: Integrli j nlyysin perusluse Pekk Alestlo, Jrmo Mlinen Alto-yliopisto, Mtemtiikn j systeeminlyysin litos November 20, 2017

Lisätiedot

MS-A010{3,4} (ELEC*) Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Luento 8: Integraalifunktio ja epäoleellinen integraali

MS-A010{3,4} (ELEC*) Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Luento 8: Integraalifunktio ja epäoleellinen integraali MS-A1{3,4} (ELEC*) Differentili- j integrlilskent 1 Luento 8: Integrlifunktio j epäoleellinen integrli Pekk Alestlo, Jrmo Mlinen Alto-yliopisto, Mtemtiikn j systeeminlyysin litos 5.1.216 Pekk Alestlo,

Lisätiedot

Riemannin integraalista

Riemannin integraalista TAMPEREEN YLIOPISTO Pro grdu -tutkielm Aij Stenberg Riemnnin integrlist Mtemtiikn j tilstotieteen litos Mtemtiikk Syyskuu 2010 2 Tmpereen yliopisto Mtemtiikn j tilstotieteen litos STENBERG, AIJA: Riemnnin

Lisätiedot

Sisältö. Funktiojonot ja -sarjat 10. syyskuuta 2005 sivu 1 / 15

Sisältö. Funktiojonot ja -sarjat 10. syyskuuta 2005 sivu 1 / 15 Funktiojonot j -srjt 10. syyskuut 2005 sivu 1 / 15 Sisältö 1 Funktiojonoist 2 2 Funktiosrjoist 5 3 Funktiojonojen j -srjojen derivointi j integrointi 7 4 Potenssisrjt 9 5 Tylorin polynomit j srjt 12 5.1

Lisätiedot

MS-A010{2,3,4,5} (SCI, ELEC*, ENG*) Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Luento 8: Integraalifunktio ja epäoleellinen integraali

MS-A010{2,3,4,5} (SCI, ELEC*, ENG*) Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Luento 8: Integraalifunktio ja epäoleellinen integraali MS-A1{2,3,4,5} (SC, ELEC*, ENG*) Differentili- j integrlilskent 1 Luento 8: ntegrlifunktio j epäoleellinen integrli Pekk Alestlo, Jrmo Mlinen Alto-yliopisto, Mtemtiikn j systeeminlyysin litos November

Lisätiedot

TEHTÄVÄ 1. Olkoon (f n ) jono jatkuvia funktioita f n : [a, b] R, joka suppenee välillä [a, b] tasaisesti kohti funktiota f : [a, b] R.

TEHTÄVÄ 1. Olkoon (f n ) jono jatkuvia funktioita f n : [a, b] R, joka suppenee välillä [a, b] tasaisesti kohti funktiota f : [a, b] R. Topologi I Hrjoitus 10, rtkisuj AP TEHTÄVÄ 1. Olkoon (f n ) jono jtkuvi funktioit f n : [, b] R, jok suppenee välillä [, b] tsisesti kohti funktiot f : [, b] R. Osoit, että tällöin f n (x) dx f(x) dx.

Lisätiedot

Analyysi B. Derivaatta ja integraali. Pertti Koivisto

Analyysi B. Derivaatta ja integraali. Pertti Koivisto Anlyysi B Derivtt j integrli Pertti Koivisto Kevät 7 Alkusnt Tämä moniste on trkoitettu oheislukemistoksi Tmpereen yliopistoss pidettävälle kurssille Anlyysi B. Monisteen tvoitteen on tuke luentojen seurmist,

Lisätiedot

Määritelmä Olkoon C R m yksinkertainen kaari ja γ : [a, b] R m sen yksinkertainen parametriesitys, joka on paloittain C 1 -polku.

Määritelmä Olkoon C R m yksinkertainen kaari ja γ : [a, b] R m sen yksinkertainen parametriesitys, joka on paloittain C 1 -polku. Muodostetn vektorikentän kri-integrli yksinkertisen kren tpuksess. Plutetn mieleen, että joukko C R m on yksinkertinen kri, jos löytyy sellinen jtkuv bijektio γ : [, b] C, jok on ploittin C 1 -funktio

Lisätiedot

Matematiikan tukikurssi

Matematiikan tukikurssi Mtemtiikn tukikurssi Kurssikert 5 1 Jtkuvuus Trkstelln funktiot fx) josskin tietyssä pisteessä x 0. Tämä funktio on tässä pisteessä joko jtkuv ti epäjtkuv. Jtkuvuuden ymmärtää prhiten trkstelemll epäjtkuv

Lisätiedot

Ville Turunen: Mat Matematiikan peruskurssi P1 3. välikokeen alueen teoriatiivistelmä 2007

Ville Turunen: Mat Matematiikan peruskurssi P1 3. välikokeen alueen teoriatiivistelmä 2007 Ville Turunen: Mt-.4 Mtemtiikn peruskurssi P 3. välikokeen lueen teoritiivistelmä 27 Mterili: kirjt [Adms] R. A. Adms: Clculus, complete course (6th edition), [Ly] D. C. Ly: Liner lgebr nd its pplictions

Lisätiedot

Lebesguen integraali - Rieszin määritelmä

Lebesguen integraali - Rieszin määritelmä Lebesguen integrli - Rieszin määritelmä Tru Lehtonen Mtemtiikn pro grdu-tutkielm Jyväskylän yliopisto Mtemtiikn j tilstotieteen litos Kevät 216 Tiivistelmä Jyväskylän Yliopisto Lehtonen, Tru Puliin: Lebesguen

Lisätiedot

4. Reaalifunktioiden määrätty integraali

4. Reaalifunktioiden määrätty integraali 6 4. Relifunktioiden määrätt integrli Vrsinisesti termi "integrli" tulee seurvss esitettävästä määrätstä integrlist, jok on läheistä suku summmiselle. Yhtes derivttn on sitten perustv ltu olev tulos, jot

Lisätiedot

2.4 Pienimmän neliösumman menetelmä

2.4 Pienimmän neliösumman menetelmä 2.4 Pienimmän neliösummn menetelmä Optimointimenetelmiä trvitn usein kokeellisen dtn nlysoinniss. Mittuksiin liittyy virhettä, joten mittus on toistettv useit kertoj. Oletetn, että mittn suurett c j toistetn

Lisätiedot

10. MÄÄRÄTYN INTEGRAALIN KÄYTTÖ ERÄIDEN PINTA-ALOJEN LASKEMISESSA

10. MÄÄRÄTYN INTEGRAALIN KÄYTTÖ ERÄIDEN PINTA-ALOJEN LASKEMISESSA MAA0 0. Määrätyn integrlin käyttö eräiden pint-lojen lskemisess 0. MÄÄRÄTYN INTEGRAALIN KÄYTTÖ ERÄIDEN PINTA-ALOJEN LASKEMISESSA Edellä on todettu, että f (x)dx nt x-kselin j suorien x =, x = sekä funktion

Lisätiedot

Numeerinen integrointi.

Numeerinen integrointi. Numeerinen integrointi. Differentili- j integrlilskent 1, syksy 2015 Hrri Vrpnen Mtemtiikn j systeeminlyysin litos Alto-yliopisto Tiisti 6.10.2015 Sisältö Tylor-menetelmä. Käyttökelpoinen silloin, kun

Lisätiedot

MS-A010{3,4} (ELEC*) Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Luento 9: Integroimismenetelmät

MS-A010{3,4} (ELEC*) Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Luento 9: Integroimismenetelmät MS-A010{3,4} (ELEC*) Differentili- j integrlilskent 1 Luento 9: Integroimismenetelmät Pekk Alestlo, Jrmo Mlinen Alto-yliopisto, Mtemtiikn j systeeminlyysin litos 10.10.2016 Pekk Alestlo, Jrmo Mlinen (Alto-yliopisto,

Lisätiedot

ANALYYSI I, kevät 2009

ANALYYSI I, kevät 2009 5 Riemnnin integrli 7 ANALYYSI I, kevät 9 5. Integrlin perusominisuuksi................. 76 5. Anlyysin perusluse....................... 8 Sisältö Relilukujen peruskäsitteitä Lukujonoist 3. Lukujonon rj-rvo.......................

Lisätiedot

ANALYYSI I, kevät 2009

ANALYYSI I, kevät 2009 ANALYYSI I, kevät 2009 Sisältö Relilukujen peruskäsitteitä 2 Lukujonoist 3 2. Lukujonon rj-rvo....................... 3 2.2 Monotoniset jonot......................... 7 2.3 Osjonot..............................

Lisätiedot

MS-A010{2,3,4,5} (SCI,ELEC*, ENG*) Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Luento 9: Integroimismenetelmät

MS-A010{2,3,4,5} (SCI,ELEC*, ENG*) Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Luento 9: Integroimismenetelmät MS-A010{2,3,4,5} (SCI,ELEC*, ENG*) Differentili- j integrlilskent 1 Luento 9: Integroimismenetelmät Pekk Alestlo, Jrmo Mlinen Alto-yliopisto, Mtemtiikn j systeeminlyysin litos November 27, 2017 Pekk Alestlo,

Lisätiedot

Integraalilaskentaa. 1. Mihin integraalilaskentaa tarvitaan? MÄNTÄN LUKIO

Integraalilaskentaa. 1. Mihin integraalilaskentaa tarvitaan? MÄNTÄN LUKIO Integrlilskent Tämä on lukion oppimterileist hiemn poikkev yksinkertistettu selvitys määrätyn integrlin lskemisest. Kerromme miksi integroidn, mitä integroiminen trkoitt, miten integrli lsketn j miten

Lisätiedot

Sarjat ja integraalit

Sarjat ja integraalit Srjt j integrlit c Mtemttisten tieteiden litos, Oulun yliopisto Versio: 9.3.0 Viimeksi muoknnut: Peter Hästö Sisältö Funktion rj-rvo j jtkuvuus. Peruskäsitteitä........................................

Lisätiedot

Integroimistehtävät, 10. syyskuuta 2005, sivu 1 / 29. Perustehtäviä. Tehtävä 1. Osoita, että vakiofunktio f(x) c on Riemann-integroituva välillä

Integroimistehtävät, 10. syyskuuta 2005, sivu 1 / 29. Perustehtäviä. Tehtävä 1. Osoita, että vakiofunktio f(x) c on Riemann-integroituva välillä Integroimistehtävät,. syyskuut 5, sivu / 9 Perustehtäviä Tehtävä. Osoit, että vkiofunktio f(x) c on Riemnn-integroituv välillä [, b] j lske suorn määritelmän perusteell b f(x). Tehtävä. Osoit, että funktio,

Lisätiedot

Analyysin perusteet kauppatieteilijöille 800118P

Analyysin perusteet kauppatieteilijöille 800118P Anlyysin perusteet kupptieteilijöille 800118P Luentomoniste Kri Myllylä Niin Korteslhti Topi Törmä Oulun yliopisto Mtemttisten tieteiden litos Kevät 2015 Sisältö 1 Derivtt 3 1.1 Määritelmä..............................

Lisätiedot

Matemaattiset menetelmät I. Seppo Hassi

Matemaattiset menetelmät I. Seppo Hassi Mtemttiset menetelmät I Seppo Hssi Syksy 2011 iii Esipuhe Tämä on 1. versio Mtemttiset menetelmät I-kurssin opetusmonisteest, jok perustuu Vsn yliopistoss luennoimni vstvn nimiseen kurssiin. Sisältö noudtt

Lisätiedot

Matematiikan tukikurssi

Matematiikan tukikurssi Mtemtiikn tukikurssi Kurssikert 3 Määrätyn integrlin lskeminen Aiemmin määrittelimme määrätyn integrlin f (x)dx funktion f (x) l- j yläsummien rj-rvon. Määrätyllä integrlill on kksi intuitiivist tulkint:.

Lisätiedot

Matematiikan peruskurssi. Seppo Hassi

Matematiikan peruskurssi. Seppo Hassi Mtemtiikn peruskurssi Seppo Hssi Syksy 2014 iii Esipuhe Tämä on 1. versio Mtemtiikn peruskurssin opetusmonisteest, jonk sisältö noudttelee pitkälti Vsn yliopistoss iemmin luennoimni Mtemttiset menetelmät

Lisätiedot

ANALYYSI I, kevät 2009

ANALYYSI I, kevät 2009 ANALYYSI I, kevät 009 Sisältö Relilukujen peruskäsitteitä Lukujonoist 4. Lukujonon rj-rvo....................... 4. Monotoniset jonot..........................3 Osjonot.............................. 7.4

Lisätiedot

sin θ θ θ r 2 sin 2 θ φ 2 = 0.

sin θ θ θ r 2 sin 2 θ φ 2 = 0. Mtemtiikn j tilstotieteen litos Osittisdifferentiliyhtälöt Kevät 21 Hrjoitus 9 Rtkisuj Jussi Mrtin 1. Osoit, että Lplce-yhtälö pllokoordinteiss on 2 u 1 r 2 2 u r r 1 r 2 sin θ u 1 2 u sin θ θ θ r 2 sin

Lisätiedot

521. 522. 523. 524. 525. 526. 527. 12. Lisää määrätystä integraalista. 12.1. Integraalin arvioimisesta. Osoita: VASTAUS: Osoita: Osoita:

521. 522. 523. 524. 525. 526. 527. 12. Lisää määrätystä integraalista. 12.1. Integraalin arvioimisesta. Osoita: VASTAUS: Osoita: Osoita: 12. Lisää määrätystä integrlist 12.1. Integrlin rvioimisest 521. Osoit: 1 + x 2 22 1 < < 1 + x21 21. 522. Osoit: x 3 < 5 x 6 + 8x + 9 < 15 1 5. 523. Osoit: 2 2 < e x2 x < 2e 2. e 524. Olkoon k >. Osoit:

Lisätiedot

ANALYYSI 3. Tero Kilpeläinen

ANALYYSI 3. Tero Kilpeläinen ANALYYSI 3 Tero Kilpeläinen Luentomuistiinpnoj syksyltä 2005 20. lokkuut 2005 Sisältö 1. Esitietoj 2 1.1. Riemnn-integrli............................ 2 1.2. Derivtt................................. 4 1.3.

Lisätiedot

Viikon aiheet. Pinta-ala

Viikon aiheet. Pinta-ala info Viikon iheet Mpu I:sen voit suoritt: Kurssin loppukokeess 23.10. Arvosn: koe + lskrit Mikäli yo. ik ei sovi, voit suoritt loppukokeen yleistenttitilisuudess 24.11. Arvosn: koe + lskrit. Ilmoittudu

Lisätiedot

Mika Hirvensalo. Insinöörimatematiikka B 2014

Mika Hirvensalo. Insinöörimatematiikka B 2014 Mik Hirvenslo Insinöörimtemtiikk B 4 Sisältö Rj-rvo j jtkuvuus....................................................... 5. Differentili- j integrlilskennn kehityksestä............................. 5. Relilukujen

Lisätiedot

Matematiikan tukikurssi. Hannu Kivimäki

Matematiikan tukikurssi. Hannu Kivimäki Mtemtiikn tukikurssi Hnnu Kivimäki Sisältö I Ensimmäinen välikoe Integrointi 2 Osittisintegrointi 5 3 Osmurtohjotelm 4 Lisää osmurtoj 4 5 Sijoituskeino 9 6 Määrätty integrli 2 7 Ylä- j lsumm 22 8 Määrätyn

Lisätiedot

Kertymäfunktio. Kertymäfunktio. Kertymäfunktio: Mitä opimme? 2/2. Kertymäfunktio: Mitä opimme? 1/2. Kertymäfunktio: Esitiedot

Kertymäfunktio. Kertymäfunktio. Kertymäfunktio: Mitä opimme? 2/2. Kertymäfunktio: Mitä opimme? 1/2. Kertymäfunktio: Esitiedot TKK (c) Ilkk Mellin (24) 1 Johdtus todennäköisyyslskentn TKK (c) Ilkk Mellin (24) 2 : Mitä opimme? 1/2 Jos stunnisilmiötä hlutn mllint mtemttisesti, on ilmiön tulosvihtoehdot kuvttv numeerisess muodoss.

Lisätiedot

Numeerinen integrointi

Numeerinen integrointi Pitkärnt: Lj mtemtiikk IX9 Numeerinen integrointi IX9 Numeerinen integrointi Numeerisell integroinnill trkoitetn määrätyn integrlin, eli reliluvun I(f,,b) = f(x)dx lskemist numeerisin keinoin (likimäärin)

Lisätiedot

ANALYYSIN TEORIA A JA B

ANALYYSIN TEORIA A JA B ANALYYSIN TEORIA A JA B Kikki luseit ei ole muotoiltu smll tvll kuin luennoill. Ilmoit virheistä yms osoitteeseen mikko.kngsmki@ut. (jos et ole vrm, onko kyseessä virhe, niin ilmoit mieluummin). 1. Yleistä,

Lisätiedot

Kuvausta f sanotaan tällöin isomorfismiksi.

Kuvausta f sanotaan tällöin isomorfismiksi. Määritelmä..12. Oletetn, että 1 =(V 1,E 1 ) j 2 =(V 2,E 2 ) ovt yksinkertisi verkkoj. Verkot 1 j 2 ovt isomorfiset, jos seurvt ehdot toteutuvt: (1) on olemss bijektio f : V 1 V 2 (2) kikill, b V 1 pätee,

Lisätiedot

OSA 1: POLYNOMILASKENNAN KERTAUSTA, BINOMIN LASKUSÄÄNTÖJÄ JA YHTÄLÖNRATKAISUA

OSA 1: POLYNOMILASKENNAN KERTAUSTA, BINOMIN LASKUSÄÄNTÖJÄ JA YHTÄLÖNRATKAISUA OSA 1: POLYNOMILASKENNAN KERTAUSTA, BINOMIN LASKUSÄÄNTÖJÄ JA YHTÄLÖNRATKAISUA Tekijät: Ari Heimonen, Hellevi Kupil, Ktj Leinonen, Tuomo Tll, Hnn Tuhknen, Pekk Vrniemi Alkupl Tiedekeskus Tietomn torninvrtij

Lisätiedot

4 Taso- ja avaruuskäyrät

4 Taso- ja avaruuskäyrät P2-luentoj kevät 2008, Pekk Alestlo 4 Tso- j vruuskäyrät Tässä luvuss tutustutn tso- j vruuskäyriin, niiden krenpituuteen j krevuuteen. Konkreettisin sovelluksin trkstelln nnettu rt pitkin liikkuvn hiukksen

Lisätiedot

HELSINGIN YLIOPISTO HELSINGFORS UNIVERSITET UNIVERSITY OF HELSINKI

HELSINGIN YLIOPISTO HELSINGFORS UNIVERSITET UNIVERSITY OF HELSINKI HELSINGIN YLIOPISTO HELSINGFORS UNIVERSITET UNIVERSITY OF HELSINKI Tiedekunt/Ossto Fkultet/Sektion Fculty Litos Institution Deprtment Mtemttis-luonnontieteellinen Tekijä Förfttre Author Antti Khri Työn

Lisätiedot

funktion voi tarkistaa derivoimalla. Sijoitusmenettely perustuu ketjusääntöön.

funktion voi tarkistaa derivoimalla. Sijoitusmenettely perustuu ketjusääntöön. I.6. Sijoitusmenettely A. Integrlifunktiot Integrlifunktiot etsittäessä on sopiv derivoimissääntö luettv tkperin. funktion voi trkist derivoimll. Sijoitusmenettely perustuu ketjusääntöön. Löydetyn 6..

Lisätiedot

Reaalinen lukualue. Millainen on luku, jossa on päättymätön ja jaksoton desimaalikehitelmä?

Reaalinen lukualue. Millainen on luku, jossa on päättymätön ja jaksoton desimaalikehitelmä? Relinen lukulue POLYNOMIFUNKTIOT JA -YHTÄLÖT, MAA Millinen on luku, joss on päättymätön j jksoton desimlikehitelmä? Onko sellisi? Trkstelln Pythgorn luseest stv yksikköneliön lävistäjää, luku + = x x =.

Lisätiedot

MS-A0102 Differentiaali- ja integraalilaskenta 1

MS-A0102 Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 MS-A0102 Differentili- j integrlilskent 1 Riikk Korte (Pekk Alestlon klvojen pohjlt) Alto-yliopisto 22.11.2016 Sisältö Pint-l Integrli 1.1 Pint-l: Suorkulmio Seurvss trkstelln umpinisten tsokäyrien rjmi

Lisätiedot

Preliminäärikoe Pitkä Matematiikka 5.2.2013

Preliminäärikoe Pitkä Matematiikka 5.2.2013 Preliminäärikoe Pitkä Mtemtiikk 5..0 Kokeess s vstt enintään kymmeneen tehtävään. Tähdellä ( * ) merkittyjen tehtävien mksimipistemäärä on 9, muiden tehtävien mksimipistemäärä on 6.. ) Rtkise yhtälö b)

Lisätiedot

Riemann-integraalin ja mittaintegraalin vertailua

Riemann-integraalin ja mittaintegraalin vertailua Riemnn-integrlin j mittintegrlin vertilu Pro grdu -tutkielm Pii Tskinen Mtemttisten tieteiden litos Oulun yliopisto Kevät 216 Sisältö Johdnto 3 1 Esitietoj 5 1.1 Välijost............................. 5

Lisätiedot

Newtonin, Riemannin ja Henstock-Kurzweilin integraalit

Newtonin, Riemannin ja Henstock-Kurzweilin integraalit TAMPEREEN YLIOPISTO Pro grdu -tutkielm Annik Heinonen Newtonin, Riemnnin j Henstock-Kurzweilin integrlit Informtiotieteiden yksikkö Mtemtiikk Helmikuu 2013 Sisältö 1 Johdnto 1 2 Newtonin integrli 2 2.1

Lisätiedot

11. MÄÄRÄTTY INTEGRAALI JA TILAVUUS

11. MÄÄRÄTTY INTEGRAALI JA TILAVUUS 11. MÄÄRÄTTY INTEGRAALI JA TILAVUUS Tilvuus on sen verrn rkielämässä viljelty käsite, että useimmiten sen syvemmin edes miettimättä ymmärretään, mitä juomlsin ti pikkuvuvn kylpymmeen tilvuudell trkoitetn.

Lisätiedot

VALTIOTIETEELLINEN TIEDEKUNTA TILASTOTIETEEN VALINTAKOE 3.6.2014 Ratkaisut ja arvostelu

VALTIOTIETEELLINEN TIEDEKUNTA TILASTOTIETEEN VALINTAKOE 3.6.2014 Ratkaisut ja arvostelu VALTIOTIETEELLINEN TIEDEKUNTA TILASTOTIETEEN VALINTAKOE 3.6.4 Rtkisut j rvostelu. Koululisen todistuksen keskirvo x on lskettu ) b) c) d) kymmenen ineen perusteell. Jos koululinen nostisi neljän ineen

Lisätiedot

2.2 Monotoniset jonot

2.2 Monotoniset jonot Mtemtiik tito 9, RATKAISUT Mootoiset joot ) Kosk,,,, ii 0 Lukujoo ( ) o siis lhlt rjoitettu Toislt 0 Lukujoo (

Lisätiedot

Luku 15. Integraali. Esimerkki Suoraan edellisen luvun derivointikaavojen perusteella on voimassa

Luku 15. Integraali. Esimerkki Suoraan edellisen luvun derivointikaavojen perusteella on voimassa Luku 5. Integrli Merkitsemme seurvss [, b]:llä lukusuorn suljettu väliä { R : b}. Olkoon f välillä [, b] määritelty funktio. Snomme, että välillä [, b] määritelty funktio g on funktion f integrlifunktio

Lisätiedot

Analyyttiset funktiot ja integrointiteorian alkeita

Analyyttiset funktiot ja integrointiteorian alkeita Anlyyttiset funktiot j integrointiteorin lkeit 6. helmikuut 2006 isältö 1 Kertust 1 2 Anlyyttiset funktiot 2 2.1 Anlyyttiset funktiot tsoll................... 2 2.2 Monogeeniset funktiot vruudess R n.............

Lisätiedot

5.1. Reaalifunktioiden määräämätön integraali

5.1. Reaalifunktioiden määräämätön integraali MAT-3430 Lj mtemtiikk 3 TTY 00 Risto Silvennoinen Luku 5. Integrli 5.. Relifunktioien määräämätön integrli Integrlifunktio Derivoinnin käänteistoimituksen on vstt kysymykseen "Mikä on se funktio, jonk

Lisätiedot

Syksyn 2015 Pitkän matematiikan YO-kokeen TI-Nspire CAS -ratkaisut

Syksyn 2015 Pitkän matematiikan YO-kokeen TI-Nspire CAS -ratkaisut Sksn 0 Pitkän mtemtiikn YO-kokeen TI-Nspire CAS -rtkisut Tekijät: Olli Krkkulinen Rtkisut on ldittu TI-Nspire CAS -tietokoneohjelmll kättäen Muistiinpnot -sovellust. Kvt j lskut on kirjoitettu Mth -ruutuihin.

Lisätiedot

Differentiaali- ja integraalilaskenta 1: tiivistelmä ja oheislukemista

Differentiaali- ja integraalilaskenta 1: tiivistelmä ja oheislukemista Differentili- j integrlilskent 1: tiivistelmä j oheislukemist Pekk Alestlo 4. syyskuut 2014 Tähdellä merkityt kohdt on trkoitettu lähinnä oheislukemistoksi. Lisäksi mukn on joitkin lukiot kertvi kohti,

Lisätiedot

1 Määrittelyjä ja aputuloksia

1 Määrittelyjä ja aputuloksia 1 Määrittelyjä ja aputuloksia 1.1 Supremum ja infimum Aluksi kerrataan pienimmän ylärajan (supremum) ja suurimman alarajan (infimum) perusominaisuuksia ja esitetään muutamia myöhemmissä todistuksissa tarvittavia

Lisätiedot

Analyyttinen lukuteoria

Analyyttinen lukuteoria Anlyyttinen lukuteori Johdnto Kuten yltä näkyy, tämän luentomonisteen kttm luentosrj on nimeltään Anlyyttinen lukuteori, vikkkin opintorekisteribyrokrttisist syistä opintojkso knt nimeä Lukuteori 3. Näin

Lisätiedot

Painopiste. josta edelleen. x i m i. (1) m L A TEX 1 ( ) x 1... x k µ x k+1... x n. m 1 g... m n g. Kuva 1. i=1. i=k+1. i=1

Painopiste. josta edelleen. x i m i. (1) m L A TEX 1 ( ) x 1... x k µ x k+1... x n. m 1 g... m n g. Kuva 1. i=1. i=k+1. i=1 Pinopiste Snomme ts-ineiseksi kpplett, jonk mteriliss ei ole sisäisiä tiheyden vihteluj. Tällisen kppleen pinopisteen sijinti voidn joskus päätellä kppleen muodon perusteell. Esimerkiksi ts-ineisen pllon

Lisätiedot

Matematiikan johdantokurssi, syksy 2017 Harjoitus 6, ratkaisuista. 1. Onko jokin demojen 5 tehtävän 3 relaatioista

Matematiikan johdantokurssi, syksy 2017 Harjoitus 6, ratkaisuista. 1. Onko jokin demojen 5 tehtävän 3 relaatioista Mtemtiikn johntokurssi, syksy 07 Hrjoitus 6, rtkisuist. Onko jokin emojen 5 tehtävän reltioist ) R := {(, ), (, ), (, ), (, ), (, ), (, ), (, ), (, )}, ) S := {(, ), (, ), (, ), (, ), (, ), (, ), (, ),

Lisätiedot

Lebesguen integraali

Lebesguen integraali LUKU 3 Lebesguen integrli Seurvss esitettävä määritelmä Lebesguen integrlille ei ole Lebesguen lkuperäinen. Vuoden 1904 luennoissn [23] hän kuitenkin setti tvoitteeksi, että integrlill olisi ominisuus:

Lisätiedot

Sarjojen tasainen suppeneminen

Sarjojen tasainen suppeneminen Srjojen tsinen suppeneminen Pro grdu -tutkielm Krist Mikkonen 165274 Itä-Suomen yliopisto Fysiikn j mtemtiikn litos 19. mrrskuut 2013 Sisältö 1 Johdnto 1 2 Lukujonoist j srjoist 2 2.1 Lukujoukoist...........................

Lisätiedot

Esimerkki 8.1 Määritellään operaattori A = x + d/dx. Laske Af, kun f = asin(bx). Tässä a ja b ovat vakioita.

Esimerkki 8.1 Määritellään operaattori A = x + d/dx. Laske Af, kun f = asin(bx). Tässä a ja b ovat vakioita. 8. Operttorit, mtriisit j ryhmäteori Mtemttinen operttori määrittelee opertion, jonk mukn sille nnettu funktiot muoktn. Operttorit ovt erityisen tärkeitä kvnttimekniikss, kosk siinä jokist suurett vst

Lisätiedot

Johdatus fraktaaliderivaattoihin ja niiden sovelluksiin

Johdatus fraktaaliderivaattoihin ja niiden sovelluksiin Jodtus frktliderivttoiin j niiden sovelluksiin Hnn Hlinen Mtemtiikn pro grdu Jyväskylän yliopisto Mtemtiikn j tilstotieteen litos Kesä 4 Tiivistelmä: Hnn Hlinen, Jodtus frktliderivttoiin j niiden sovelluksiin

Lisätiedot

Analyysi III S

Analyysi III S Anlyysi III 800624S Sisältö sitietoj 5 Riemnn integroinnin rjt 6 Luku 1. Mittteori 7 1. Algebr j σ-lgebr 7 2. Mitt 8 3. Ulkomitt j mitlliset joukot 11 4. Ulkomitn konstruointi 14 5. Lebesguen ulkomitt

Lisätiedot

lim + 3 = lim = lim (1p.) (3p.) b) Lausekkeen täytyy supistua (x-2):lla, joten osoittajan nollakohta on 2.

lim + 3 = lim = lim (1p.) (3p.) b) Lausekkeen täytyy supistua (x-2):lla, joten osoittajan nollakohta on 2. Mtemtiikk III 0600 Kurssi / Differetili- j itegrlilske jtkokurssi Tee 7 tehtävää ) Määritä lim ( ) ) + b) Määritä vkio site, että luseke ( ) + + ( )( ) ( + + ) + + + + + lim + lim lim (p) o jtkuv myös

Lisätiedot

T Syksy 2002 Tietojenkäsittelyteorian perusteet Harjoitus 5 Demonstraatiotehtävien ratkaisut. ja kaikki a Σ ovat säännöllisiä lausekkeita.

T Syksy 2002 Tietojenkäsittelyteorian perusteet Harjoitus 5 Demonstraatiotehtävien ratkaisut. ja kaikki a Σ ovat säännöllisiä lausekkeita. T-79.8 Syksy 22 Tietojenkäsittelyteorin perusteet Hrjoitus 5 Demonstrtiotehtävien rtkisut Säännölliset lusekkeet määritellään induktiivisesti: j kikki Σ ovt säännöllisiä lusekkeit. Mikäli α j β ovt säännöllisiä

Lisätiedot

2.1 Vaillinaiset yhtälöt

2.1 Vaillinaiset yhtälöt .1 Villiniset yhtälöt Yhtälö, jok sievenee muotoon x + bx + c = 0 (*) on yleistä normlimuoto olev toisen steen yhtälö. Tämän rtkiseminen ei olekn enää yhtä meknist kuin normlimuotoisen ensisteen yhtälön

Lisätiedot

IV. TASAINEN SUPPENEMINEN. f(x) = lim. jokaista ε > 0 ja x A kohti n ε,x N s.e. n n

IV. TASAINEN SUPPENEMINEN. f(x) = lim. jokaista ε > 0 ja x A kohti n ε,x N s.e. n n IV. TASAINEN SUPPENEMINEN IV.. Funktiojonon tasainen suppeneminen Olkoon A R joukko ja f n : A R funktio, n =, 2, 3,..., jolloin jokaisella x A muodostuu lukujono f x, f 2 x,.... Jos tämä jono suppenee

Lisätiedot

Matematiikan perusteet taloustieteilijöille 2 800118P

Matematiikan perusteet taloustieteilijöille 2 800118P Mtemtiikn perusteet tloustieteilijöille 2 800118P Luentomoniste Kri Myllylä Niin Korteslhti Oulun yliopisto Mtemttisten tieteiden litos Kevät 2014 Sisältö 1 Mtriisilgebr j optimointi 4 11 Määritelmä 4

Lisätiedot

ICS-C2000 Tietojenkäsittelyteoria Kevät 2016

ICS-C2000 Tietojenkäsittelyteoria Kevät 2016 ICS-C2 Tietojenkäsittelyteori Kevät 2 Kierros,. 5. helmikuut Demonstrtiotehtävien rtkisut D: Sievennä seurvi säännöllisiä lusekkeit (so. konstruoi yksinkertisemmt lusekkeet smojen kielten kuvmiseen): ()

Lisätiedot

Matematiikan tukikurssi

Matematiikan tukikurssi Mtemtiikn tukikurssi Integrointi Integrointi on derivoinnin käänteistoimitus: jos funktion F(x) derivtt on f (x), niin funktion f (x) integrli on F(x). Täten, kosk esimerkiksi funktion x + e x derivtt

Lisätiedot

8 Potenssisarjoista. 8.1 Määritelmä. Olkoot a 0, a 1, a 2,... reaalisia vakioita ja c R. Määritelmä 8.1. Muotoa

8 Potenssisarjoista. 8.1 Määritelmä. Olkoot a 0, a 1, a 2,... reaalisia vakioita ja c R. Määritelmä 8.1. Muotoa 8 Potenssisarjoista 8. Määritelmä Olkoot a 0, a, a 2,... reaalisia vakioita ja c R. Määritelmä 8.. Muotoa a 0 + a (x c) + a 2 (x c) 2 + olevaa sarjaa sanotaan c-keskiseksi potenssisarjaksi. Selvästi jokainen

Lisätiedot

Säännöllisten operaattoreiden täydentäviä muistiinpanoja

Säännöllisten operaattoreiden täydentäviä muistiinpanoja Säännöllisten operttoreiden täydentäviä muistiinpnoj Antti-Juhni Kijnho 1. huhtikuut 2011 Vnht määritelmät Määritelmä 1. Äärellinen epätyhjä joukko on merkistö, j sen lkioit kutsutn merkeiksi. Määritelmä

Lisätiedot

5 ( 1 3 )k, c) AB 3AC ja AB AC sekä vektoreiden AB ja

5 ( 1 3 )k, c) AB 3AC ja AB AC sekä vektoreiden AB ja MATEMATIIKAN PERUSKURSSI I Hrjoitustehtäviä syksy 4. Millä reliluvun rvoill ) 9 =, b) + +, e) 5?. Kirjoit Σ-merkkiä käyttäen summt 4, ) + 4 + 6 + +, b) 8 + 4 6 + + n n, c) + + + 4 + + 99, d)

Lisätiedot

a) Mikä on integraalifunktio ja miten derivaatta liittyy siihen? Anna esimerkki. 8 3 + 4 2 0 = 16 3 = 3 1 3.

a) Mikä on integraalifunktio ja miten derivaatta liittyy siihen? Anna esimerkki. 8 3 + 4 2 0 = 16 3 = 3 1 3. Integraalilaskenta. a) Mikä on integraalifunktio ja miten derivaatta liittyy siihen? Anna esimerkki. b) Mitä määrätty integraali tietyllä välillä x tarkoittaa? Vihje: * Integraali * Määrätyn integraalin

Lisätiedot

8.4 Gaussin lause Edellä laskettiin vektorikentän v = rf(r) vuo R-säteisen pallon pinnan läpi, tuloksella

8.4 Gaussin lause Edellä laskettiin vektorikentän v = rf(r) vuo R-säteisen pallon pinnan läpi, tuloksella H 8.3.2 uontegrlt: vektoreden pntntegrlt Tvllsn tpus pntntegrlest on lske vektorkentän vuo pnnn läp: Trkstelln pnt j sllä psteessä P (x, y, z olev pnt-lkot d. Määrtellään vektorlnen pnt-lko d sten, että

Lisätiedot

Vektoriarvoisten funktioiden analyysiä

Vektoriarvoisten funktioiden analyysiä Vektorirvoisten funktioiden nlyysiä LuK-tutkielm Arttu Hrtikk 2330325 Mtemttisten tieteiden litos Oulun yliopisto Syksy 2016 Sisältö Johdnto 2 1 Vektorivruus 3 1.1 Normi j normivruus......................

Lisätiedot

1.3 Toispuoleiset ja epäoleelliset raja-arvot

1.3 Toispuoleiset ja epäoleelliset raja-arvot . Toisuoleiset j eäoleelliset rj-rvot Rj-rvo lim f () A olemssolo edellyttää että muuttuj täytyy void lähestyä rvo kummst suust hyväsä. Jos > ii sot että lähestyy rvo oikelt ositiivisest suust. Jos ts

Lisätiedot

VEKTOREILLA LASKEMINEN

VEKTOREILLA LASKEMINEN ..07 VEKTOREILL LSKEMINEN YHTEENLSKU VEKTORIT, M4 Vektoreiden j summ on vektori +. Tämän summvektorin + lkupiste on vektorin lkupiste j loppupiste vektorin loppupiste, kun vektorin lkupisteenä on vektorin

Lisätiedot

Laudatur 10 MAA10 ratkaisut kertausharjoituksiin

Laudatur 10 MAA10 ratkaisut kertausharjoituksiin Ludtur MAA rtkisut kertushrjoituksiin Integrlifunktio. ) Jokin integrli funktio on esimerkiksi F( ) b) Kikki integrlifunktiot F( ) + C, missä C on vkio Vstus: ) F( ) b) F( ) + C, C on vkio. Kikki integrlifunktiot

Lisätiedot

S Fysiikka III (EST), Tentti

S Fysiikka III (EST), Tentti S-114.137 Fysiikk III (ES), entti 30.8.006 1. Lämpövoimkone toteutt oheisen kuvn Crnotin prosessi. Koneess on työineen yksi mooli ideliksu. Lske yksitomisen ksun kierroksen ikn tekemän työn suhde kksitomisen

Lisätiedot

Neliömatriisin A determinantti on luku, jota merkitään det(a) tai A. Se lasketaan seuraavasti: determinantti on

Neliömatriisin A determinantti on luku, jota merkitään det(a) tai A. Se lasketaan seuraavasti: determinantti on 4. DETERINANTTI JA KÄÄNTEISATRIISI 6 4. Neliömtriisi determitti Neliömtriisi A determitti o luku, jot merkitää det(a) ti A. Se lsket seurvsti: -mtriisi A determitti o det(a) () -mtriisi A determitti void

Lisätiedot