5.1. Reaalifunktioiden määräämätön integraali

Transkriptio

1 MAT-3430 Lj mtemtiikk 3 TTY 00 Risto Silvennoinen Luku 5. Integrli 5.. Relifunktioien määräämätön integrli Integrlifunktio Derivoinnin käänteistoimituksen on vstt kysymykseen "Mikä on se funktio, jonk erivtt on f?" Kosk vkion erivtt = 0, hvitn heti, että vstus ei voi oll yksikäsitteinen. Funktion f : S integrlifunktio (määräämätön integrli, primitiivi, ntierivtt) on funktio F, jonk erivtt on f: F ( ) = f( ), jollkin välillä I funktion f määrittelyjoukoss S. Jos F on funktion f integrlifunktio, niin myös F() + C on sitä kikill vkioill C (integroimisvkio). Integrlifunktiolle käytetään yleisesti merkintää F( ) = f( ), joss integrlimerkki tulee tyylitellystä S-kirjimest snst summ. Tämä yhteys selittyy tuonnempn ns. määrätyn integrlin kutt. Smoin symolin sisältö trkentuu silloin, nyt se voin ktso lähinnä merkinnäksi, jok on joskus hyöyllinen, esim. sijoittmismenettelyssä.

2 Seurvt perussäännöt oletetn tunnetuksi lukion kursseilt ti muilt ikisemmilt opinnoilt. (Ne on helppo myös toist erivoimissääntöjen pohjlt.) Merkintä F trkoitt funktion f integrlifunktiot: F( ) = f( ). f g f g (linerisuus). ( ) + ( ) = ( ) + ( ) f g F g F g (osittisintegrointi). ( ) ( ) = ( ) ( ) ( ) ( ) f tt= f( g ) g ( ), t= g( ) (sijoitus) 3. ( ) ( ) ( ) ( ) = ( ( )) 4. ( ) f g g F g f + = F( + ) 4. ( ) 4. ( ) ( ) f = ln f f ( ) 5. f ( ) priton ( ) 5. f ( ) prillinen ( ) F prillinen F priton (jos vkio C on vlittu siten, että ( ) F 0 = 0)

3 3 Alkeisfunktioien integrointikvoist tärkeimpiä ovt seurvt. Ne ovt kikki vstvien erivoimissääntöjen "käänteiskvoj". (Integrleiss oikelle puolelle in lisättävä integroimisvkio C on jätetty kvoiss merkitsemättä.) Derivointi Integrointi = 6. = ( ) 6. ( ), ln = 7. = ln 8. e e = 8. e= e 9. cos = sin 9. sin = cos 0. sin = cos 0. cos = sin. cot = sin. sin cot =. tn = cos. cos tn = 3. rctn = + 3. rctn + = rcsin = rsinh = = rcsin = rsinh + 6. cosh = sinh 6. sinh = cosh 7. sinh = cosh 7. cosh = sinh

4 Vrsinisi integroimistekniikkoj ei nykyisin symolisten ohjelmistojen (Mple, Mtl Symolic Mthemtics Toolo, Mthemtic, MthC, ) stvuuen tki enää hrjoitell rutiiniksi sti. Ohjelmistot eivät in kuitenkn selviä kikist tilnteist ilmn pu, joten perustpukset on syytä tunte. Ohess on lueteltu tärkeimmät perusmenetelmät. 4

5 5 Rtionlifunktioien integrointi Rtionlifunktiot ovt polynomien osmääriä j niillä on yhteyksiä moniin teknisiin sovelluksiin, mm. siirtofunktioien j integrlimuunnosten kutt. Jokinen rtionlifunktio on integroitviss j integrlifunktio esitettävissä lkeisfunktioien vull ("suljetuss muooss"). (Näin ei ole sinlit yleisesti funktioille. On pljon funktioit, joien integrlej ei voi esittää lusekkein yksinkertisimmist funktioist. Tällisi ovt mm. useimmt fysiikn "erikoisfunktiot", kuten Besselin funktiot.) Rtionlifunktio f( ) = ( ) Q ( ) missä j Q ovt polynomej, voin jk muotoon f( ) = K( ) + R( ) Q ( ) missä K() on polynomi j rtionlifunktion R()/Q() osoittjn olevn polynomin R() ste on lempi kuin nimittäjän Q() = + + Esim., mikä nähään käsin lskien esimerkiksi jkokulm käyttäen: ( + 6 ) ( + 3) + 8

6 6 Oletmme jtkoss, että näin on trvittess tehty, j siis polynomin R( ) ste on pienempi kuin Q:n ( ) eli eg R( ) < eg Q( ). R( ) Tällöin on hjotettviss Q:n tekijöien suhteen Q ( ) osmurtokehitelmäksi. (prtil frctions) olynomi Q( ) voin jk relisiin tekijöihin, joien steluku tyyliin m n ( ) = ( ) ( )...( + + ) ( + + )..., (, c, ) Q C r s c < < missä rs,, ovt kertluku m, n olevi relisi juuri, j toisen steen tekijät jottomi, eli vstvt kompleksijuuriprej. Silloin osmurtokehitelmän yleinen muoto on p q ( ) ( ) ( r) ( ) R R R R = + m Q r + + m + r Esim. S S S s ( s) ( s) A + B A p+ Bp p n n + + ( ) ( ) C + + D C q + Dq + + q +, + c+ + c+ ( ) A B C+ D = + + = + + ( + )( + ) ( + ) + ( + )( ) + B( + ) + ( C + D)( + ) ( + ) ( + ) A = A + C = 3 ( ) + ( A + B + C + D) + ( A + C + D) + ( A + B + D) ( + ) ( + ) =

7 7 A + C = 0, A + B + C + D = 0, A + C + D = 0, A + B + D = A = B = C =, D = 0. = ( )( ) ( ) ( ) ( ) Osmurtokehitelmässä olevt integrlit voin lske seurvsti: 8. A ( ) n Aln, n= = A n, n ( n )( ) 9. Ct n ( t + ) t ( ) C ln t +, n= = C n, n ( n )( t + ) 0... D D t rctn t = I n ( t + ) = I D n t lsketn rekursiivisesti: ( t + ) Dt n = + I n t n ( + ) n+ n A+ B n ( ) ( + + ) n ( n ) < plutetn eellisiin täyentämällä nimittäjässä olev toisen steen polynomi neliöksi.

8 8 Irrtionlifunktioien integrointi Käsittelemme lyhyesti vin eräitä erityistpuksi. Jos funktio on rtionlinen luseke R juurilusekkeest, kyseisen juurilusekkeen sijoitus voi joht tulokseen. 3. R, n + n, sijoitus t= + n, = t c n + c + ct rtionlifunktioksi muuttujn t suhteen. muunt integrlin Neliöksi täyentäminen 4. ( 0) + + c c c t= + johtvt funktioihin + + = + + j sijoitus 4 rcsin ti logritmi vkion etumerkistä riippuen kvojen 4 j 5 mukisesti. Sijoittmll sopiv trigonometrinen funktio voin neliöjuurest päästä eroon: R = sint, =, = cost 5. (, ) R t = tnt, =, + = cos t 6. (, + ) Vstvsti merkeistä riippuen voin hyöyntää hyperolisi funktioit sijoituksin: R = cosht, = sinhtt, = sinht 7. (, ) cos t

9 9 Eksponentti- j logritmifunktiot integroituvt myös joskus sopivll sijoituksell ti osittisintegroinnill. t Sijoitus e = t, = ln t, = t plutt rtionlifunktion integroinniksi. 8. R ( e ) Rtionlifunktio lusekkeist sin j cos plutuu sijoituksell rtionlifunktion integroinniksi 9. ( cos,sin ) R t t t tn = t, sin =, cos =, = + t + t + t Tehtäviä Lske oheisten funktioien integrlit:. sin. e 3. /( +) 4. /( 4 +) 5. cos 6. ln 7. rctn 8. ( )

10 Rtkisuj. sin = sin t t t (sij. = t, ( )=( ½ )=½ -½ =t = ½ t ) = t sint t (ositt. int. u=t, v'=sint, u'=, v=-cost) = (-tcost + cost t) = -t cost + sint = - cos + sin + C.. e = / e = / e + C 3. /( +) = ½ /( +) = ½ ln( +) + C 4. /( 4 +) = ½/(t +) t (sij. =t, = t, = ½t) =½rctn(t) = ½rctn( ) + C 5. cos = sin - sin (ositt. int. u=, v'=cos, u'=, v=sin ) = sin +cos + C 6. ln = ln -/ (ositt. int. u=ln, v'=, u'=/, v= ) = ln - + C 7. rctn = rctn -/+ ) (ositt. int. u=rctn, v'=, u'=/(+ ), v= ) = rctn -½ln(+ ) + C (Teht. 3)

11 8. I =/(( -)) = (A/ + B/(+) + C/(-)) /((+)(-)) = (A/ + B/(+) + C/(-) = A( -) +B(-) + C(+) =(A+B+C) + (-B+C) -A A=-, B=C=½ I= (-/ + ½/(+) + ½/(-)) = -ln +½ln + +½ln - +C 9. I = ( -3+3)/( 3 - +) ( -3+3)/( 3 - +) = ( -3+3)/((-) ) = A/ +B/(-) + C/(-) -3+3 = A(-) + B + C(-) -3+3 = (A+C) + (-A+B-C) +A A+C=, -A+B-C=-3, A=3 A=3, B=, C=- I=(3/ + /(-) - /(-)) = 3 ln -/(-) -ln - +C 0. I = (+)/( -+) (nimittäjä joton) = ½(-)/( -+) + 3//( -+) = I + I I = ½ ln( -+) I = 3//((-½) +3/4) (nimittäjä täyennettiin neliöksi) = (3/) (4/3) (muunnettiin rctn mielessä) ½ + 3/ = 3/ /(t +) t, tehtiin sijoitus t=(-½)/( 3/), t=/( 3/) = 3 rctn t I=I +I = ½ ln ( ½ -+) + 3 rctn( 3/ + C

12 5.. Relifunktioien määrätty integrli Vrsinisesti termi "integrli" tulee seurvss esitettävästä määrätystä integrlist, jok on läheistä suku summmiselle. Yhteys erivttn on sitten perustv ltu olev tulos, jot snotnkin ifferentili- j integrlilskennn ("nlyysin") perusluseeksi. Tästä eteenpäin trkoitmme termillä "integrli" in määrättyä integrli, ellei toisin nimenomn snot. Integrlin esiintyminen liittyy usein kumultiivisiin ilmiöihin. Esimerkiksi, jos yhen muuttujn funktio kuv nopeutt v j ik etenee hetkestä t i välin Δt i, niin v(t i ) Δt i kertoo ikvälillä Δt i eetyn mtkn, likimin tosin, kosk v voi muuttu välillä Δt i. Kun jko ik-kselill tihennetään j mtkplset summtn yhteen, tulln kuljetun kokonismtkn likirvoon. Trkstelln si geometrisesti. Jos positiivisen jtkuvn rjoitetun funktion f() kuvjn j -kselin välisen lueen pint-l hlutn määrittää välillä [,], niin voin käyttää suorkulmioit ln pproksimoimiseen. Suorkulmion korkeueksi vlitn funktion suurin j vstvsti pienin rvo kntn olevll osvälillä. Jos osvälejä lyhennetään eli välin [,] jko tihennetään, niin ilmeisesti kummtkin pproksimtiot trkentuvt. Eellisessä tpuksess sn pint-llle A yläpproksimtio S j vstvsti jälkimmäisessä l-pproksimtio s. Kirjimell on merkitty pproksimtioon liittyvää jko, jok ll olevss kuvss on tsvälinen. Fitzptrickin merkinnöillä S = U( f, ), s = L( f, ). Trenchin merkinnöillä S = S( ) j s = s ( ).

13 3 Jon määrittelevät sen jkopisteet = 0< < < n =. Snomme, että S j s ovt funktion f jkoon liittyvät ylä- j lsummt välillä [,]. Vikutt ilmeiseltä, että sillä ei ole merkitystä, onko jko tsvälinen vi ei. Kosk yläsummill (kun jkoj vihelln mielivltisesti) on in lrjn mikä hyvänsä lsumm, on niitten joukoll infimum eli suurin lrj inf S. Vstvsti lsummill on supremum eli pienin ylärj sups. n Funktiot f snotn välillä I=[,] integroituvksi (trkemmin Riemnnintegroituvksi), jos yläsummien suurin lrj j lsummien pienin ylärj ovt smt: sup s = f( ) = inf S. Tämä yhteinen rvo on funktion f (Riemnn-)integrli "yli välin [,]" eli määrätty integrli.

14 4 Voin osoitt, että (inkin) kikki rjoitetut ploittin jtkuvt funktiot ovt Riemnn-integroituvi. Toinen tp on vlit välin [, ] jon : = 0< < n < n = osväleiltä [ i-, i ] mielivltinen piste * i j määrittää suorkulmion korkeueksi f( * i ). Silloin l pproksimoi Riemnnin summ n i= f( i * )Δ i missä Δ i = i - i- on i:nnen osvälin pituus. Merkitään suurimmn osvälin pituutt eli jon normi = m( i i ). Snomme, että jko tihenee i rjtt, jos D 0, kun i. Silloin siis osvälien määrä ksv rjtt j niien pituuet lähestyvät noll. Funktion f määrätty integrli (Riemnn-integrli) on silloin n f ( ) = lim f( ) Δ n n D i n 0 = i n i missä rj-rvo trkoitt mitä hyvänsä Riemnnin summien jono, joss jot rjtt tihenevät. (Täsmälliset toistukset, ks.fitzptrick, Trench j kurssit Mtemttinen nlyysi sekä Mitt- j integrliteori.)

15 5 y o 3 i f * ( i ) i n * * * 3 * i * n Määrätylle integrlille voin joht seurvt perusominisuuet. f ( ) = f ( ). ( ) 0 f = c c 3. ( ) + ( ) = ( ) f f f (itiivisuus) f g f g (linerisuus) 4. α ( ) + β ( ) = α ( ) + β ( )

16 6 f g F g F g (osittisintegrointi) 5. ( ) ( ) = / ( ) ( ) ( ) ( ) f ( g ) g ( ) = f ( t) t ( t g( ) ) 6. ( ) g ( ) ( ) g 7. ( ) ( ) ( ) ( ) f g f g = (Sijoitus) 8. f ( ) f ( ) M ( ), M= m f ( ), Voin osoitt, että välillä [,] jtkuvlle funktiolle f löytyy in piste c voimelt väliltä (,) siten, että pint-l sn yhellä suorkulmioll: f() = f(c)(-). Tämä yhtälö pätee myös muille kuin ei-negtiivisille funktioille (siis ilmn em. geometrist tulkint). (Integrlilskennn välirvoluse.) y y=f() f(c) 0 c

17 7 Jos määrätyn integrlin ylärj otetn jtkuvn funktion f integrliss muuttujksi: G() = f(t)t, niin stu funktio on ifferentioituv: +h G(+h) - G() = f(t)t - +h f(t)t = f(t)t = f(c) h = f() h + (f(c) -f()) h = f() h + ε(h) h missä <c<+h j ε(h) = f(c)-f() 0, kun h 0. Sn siis tulos: Jos f on jtkuv välillä [,], niin funktion G() = f(t)t erivtt välillä (,) on G '() = f(). Siis erityisesti toetn, että G() on funktion f () integrlifunktio (primitiivi). Jos F on toinen f:n integrlifunktio, niin se ero G:stä vin vkion verrn: F() = G() + C. Kosk G() = 0, on tämä vkio C = F(). Siis mille hyvänsä f:n integrlifunktiolle F pätee

18 8 F() = f(t)t + F(). Tästä sn sijoittmll = yhteys, joll määrätyt integrlit voin lske integrlifunktion vull: Luse (Differentili- j integrlilskennn perusluse) Jos f :, on jtkuv, niin f on integroituv j jos F on jokin f:n integrlifunktio, niin f() = / F() = F() -F().