a n := f(n), S n := a k ja I n := f(x) dx.

Transkriptio

1 4. Summien lsemisest 4.. Integrlitesti. [5, luu IX, 5 7], [4, luu 8, A.II..c], [8, 9.5], [,??], [, 5.8] [5,...] Positiivitermisten luusrjojen suppenevuuden testmiseen urssill Anlyysi 3 [A3] nnetn useit testejä, joist yhden ide on plutt ongelm integrlien trstelemiseen (integrlien lseminen on jo tpusess helpomp uin summien). Seurvss luseest esitetään hiemn prnnettu versio. Luse 4. (Integrlitesti). Oloot α Z nnettu oonisluu j f : [α, ) R jtuv funtio, jo on vähenevä j ei-negtiivinen. Kiille n Z, n α, setetn n n n := f(n), S n := j I n := f(x) dx. Tällöin (i) jono (S n I n ) n=α on vähenevä; (ii) S n I n α iille n Z, n α; ( + ) (iii) srj f(x) dx suppenee; (iv) lim n (S n I n ) = lim n n + ( + α ) f(x) dx. Erityisesti, srj suppenee, jos j vin jos epäoleellinen Riemnn-integrli f(x) dx suppenee. α Ennen todistust pri ommentti. Kurssill Anlyysi 3 ohdt (iii) j (iv) jäävät osoittmtt. Nämä ohdt ntvt uitenin vlo myös hjntuvien srjojen tilnteeseen (s. esimeri todistusen jäleen). Suppeville srjoille integrlitestiä voi äyttää srjn = summn liirvon määräämiseen seurvsti: Lsetn ossumm α =. Kohdst (ii) sdn summlle S n = n I n S n I n + α, un n α. Suppenevn srjn jäännöstermille sdn rvio f(x) dx f(x) dx + α. α Todistus. Todetn lusi, että n n + n ( ( ) S n I n = f(x) dx = n + α Kos f on vähenevä, on iille x [, + ] voimss = f() f(x) f( + ) = +, + joten + f(x) dx + dx =. Siis S n I n n. ) f(x) dx, 6 Viimesi muutettu

2 Kuv 4.. Funtion f uvjn rjoittm pint-l n f(x) dx jää α portiojen pint-lojen n j n + väliin. Toislt on (myösin funtion f vähenevyyden nojll) n ( S n I n = n + n ( n ) f(x) dx ) n + dx = n + Siis S n I n α. Jonon (S n I n ) n=α vähenevyys sdn seurvst: ( + ) = α. (S n I n ) (S n+ I n+ ) = (S n+ S n ) + (I n+ I n ) = n+ + n+ n f(x) dx = n+ n ( n+ + f(x)) dx. Kos jonot (S n I n ) n=α j ( n ) n=α ovt väheneviä j rjoitettuj, nämä jonot ovt suppenevi. Tästä sdn yhtälön ( ) vull väiteen ohdt (iii) j (iv). Rjrvot lim n I n j lim n S n ovt olemss (mhdollisesti äärettöminä), os jonot ovt svvi. Viimeinen väite seur, os = lim n S n = lim n I n + lim n (S n I n ) = f(x) dx + lim α n (S n I n ). Esimeri 4.. Oloon f : [, ) R, f(x) := /x. Tällöin (un α := ) S n = H n := n = = hrmonisen srjn n. ossumm, j I n = log n. Kos lim n log n =, hjntuu srj, mutt integrlitestin nojll n rj-rvo γ := lim n (S n log n)

3 Kuv 4.. Hrmonisen srjn ossummi j funtio x γ + log x. on olemss j γ (jolloin siis S n log n + γ, un n on iso). Vio γ on nimeltään Eulerin vio. 7 Sen liirvo on γ Edellä olev, Eulerin vion määrittelevä rj-rvo ei ole tehos menetelmä liirvon määräämiseen; luujono (S n log n) n= suppenee vrsin hitsti. Vielä miljoonnnell termillä stvss liirvoss virhe on n Myöhemmin todistettv Eulerin j Mclurinin summusv nt vrsin tehon tvn rvioid mm. hrmonisen srjn ossummn svu: H n log n + γ + n n + n 4, missä virhe on itseisrvoltn enintään /(5 n 6 ). Esimeri 4.3. Oloon f : [, ) R, f(x) := /x. Tällöin (un α := ) S n = n = = ylihrmonisen srjn n. ossumm, j I n = n. Ennen luseen todistust olleen soisepäyhtälön nojll sdn α α + α. Esimerisi, jos vlitn α = 3 on α = = Leonh. Eulero, De progressionibus hrmonicis observtiones, 734. Huius igitur quntittis constntis C vlorem deteximus, quippe est C =.5778.

4 4 j siis y.o. soisepäyhtälön nojll (orjtut desimlit lleviivttu) = Srjn summn tr rvo on π Tylorin v. Eulerin j Mclurinin summusv, jo tämän luvun ensisijisen päämääränä, todistetn yleensä smnltisen osittisintegrointiidell, jot äytetään Tylorin vn todistmiseen. Todistusest nntt ertusen vuosi tso ennenie vihe n =. Luse 4.4 (Tylorin v, integroitu muoto). Oloot f : (, b) R n + ert jtuvsti derivoituv funtio j x (, b). Tällöin iille x (, b) on voimss f(x) = f(x ) +! f (x )(x x ) +! f (x )(x x ) + + n! f (n) (x )(x x ) n + R n, missä jäännöstermi R n on R n = x n! f (n+) (t)(x t) n dt. Todistus. Todistetn väite indutioll luvun n suhteen. Tpusess n = on Anlyysin perusluseen nojll R = x f (t) dt = f(x) f(x ). Oloon nyt n =. Osittisintegroinnill ( u(t) v (t) dt = u(t) v(t) u (t) v(t) dt, u(t) := f (t) j v(t) := (x t)) sdn f(x) f(x ) = f (t) dt = u(t) v (t) dt = x x f (t)( (x t)) + f (t)(x t) dt x x x x = f (x )(x x ) + x f (t)(x t) dt. Tylorin v tpusess n = seur tästä. Yleinen tpus: Oletetn, että väite pätee, un oien puolen summss n, n j jäännöstermi R = x! f (+) (t)(x t) dt. Osittisintegrointivn mun (u(t) := f (+) (t) j v(t) := (x t)+ (+)! R = x u(t) v (t) dt = (+)! f (+) (x )(x x ) + + Indutio-oletusen mun on ) on f (+) (t)(x t) + dt. (+)! x f(x) = f(x ) +! f (x )(x x ) +! f (x )(x x ) + +! f () (x )(x x ) + R.

5 43 Sijoittmll tähän R edellisestä vst, sdn f(x) = f(x ) +! f (x )(x x ) +! f (x )(x x ) + +! f () (x )(x x ) + (+)! f (+) (x )(x x ) + + Stu v on Tylorin v tpusess n +. f (+) (t)(x t) + dt. (+)! x Huom, että Tylorin vn jäännöstermiä on helppo rvioid: Jos derivtt f (n+) on jtuv oo omptill välillä [, b], niin (lsuiss x > x ; x < x : HT) R n missä M n+ := sup t [,b] f (n+) (t). x n! f (n+) (t) (x t) n dt M n+ (n + )! x x n+, 4.3. Bernoullin luvut. Eulerin j Mclurinin summusvss Tylorin vss esiintyvät polynomit (x t) n orvtn ns. Bernoullin polynomeill, jot määritellään ntmll niiden ertoimet. Bernoullin luvut B määritellään identiteetillä 8 Kos x e x = = B x! = B + B x + B x +....! x, un x, on B e x =. Edelleen B + (B + ) x + B x on muuttujn x priton funtio, joten! + = x e x + x = x B + = B 3 = B 5 = B 7 = =. e x + e x = x e x + e x Bernoullin luvut määritelevän yhtälön j srjojen Cuchyn ertolsusäännön nojll sdn x = (e x B x x j B x ) = = c n x n,! j!! missä c n = = j+=n j, = B j!! j= = n! = j+=n j, n= ( ) n B. Kos n= c n x n x, on c = j c n =, un n >, t.s. n ( ) { n, jos n =, j (4.) B =, muuten. 8 Funtioll x ex x on oo reliselill suppenev potenssisrjesitys, j un funtion rvo pisteessä x = on nollst erov, on myös funtioll x x e x suppenev potenssisrjesitys inin jossin origon ympärisössä. (Tämä ipisi todistusen.)

6 Tämä v nt yhdessä ehdon B = nss plustusvn, joll Bernoullin luvut voidn lse. Seurvss muutm ensimmäisistä Bernoullin luvut määräävistä yhtälöistä: B = B + B = 3 B + 3 B + B = 4 B B + 4 B + B = 5 B 4 + B 3 + B + 5 B + B = 6 B B 4 + B B + 6 B + B = 7 B 6 + B B B 3 + B + 7 B + B = 8 B B B B B B + 8 B + B = 9 B B B B B B B + 9 B + B = Muist, että tässä B + =, un ; yhtälöt, jot lvt ( + ) B ovt tämän nojll turhi, Ysinertistetut yhtälöt ovt siis Siis B = B + B = 3 B + 3 B + B = 5 B 4 + B + 5 B + B = 7 B B 4 + B + 7 B + B = 9 B B B B + 9 B + B = B =, B =, B =, B 6 4 =, B 3 6 =, B 4 8 =. 3 Määritellään Bernoullin polynomit B m (x) settmll B m (x) := m = ( m ) B x m. Huom, että B (x) = x j B m() = B m. Kun m, on plutusvn (4.) nojll B m () = B m. Srjojen Cuchyn ertolsusäännön nojll sdn 9 x e t x e x = j= t j x j j! B x =! = Kun äytetään pun identiteettiä sdn n= x n n! j+=n x e t x e x = x e( t) x e x, B m ( x) = ( ) m B m (x). ( ) n B t n = B n (t) x n. n! 9 Tässä pitää oll x. Kun x, lähestyy vn vsen puoli yöstä j oie puoli rvo B (t), joten v pitää pins iille x oiein tulittun. n= 44

7 45 Binomiertoimien määritelmän vull sdn helposti m ( ) m B m(x) = (m ) B x m = m ( ) m = m B x m = m B m (x). = 4.4. Eulerin j Mclurinin summusmenetelmä. Trstelln välillä [, ) C -funtiot f. Kos B (x) = B (x) =, sdn osittisintegroinnill Asetetn f(x) dx = f(x) B (x) dx = f(x) B (x) = (f() + f()) f (x) B (x) dx. f (x) B (x) dx x := suurin oonisluu, jo on pienempi ti yhtäsuuri uin x, x := pienin oonisluu, jo on suurempi ti yhtäsuuri uin x, j {x} := x mod = x x. Kun m, seur ehdost B m () = B m (), että funtio x B m ({x}) on - jsoinen j jtuv (jop C m ). Funtio x B ({x}) = {x} on -jsoinen j ploittin jtuvsti derivoituv (hyppäysepäjtuvuus joisess oonisluupisteessä). Kos B (x) = B (x) B () = B () = B, sdn osittisintegroinnill f(x) dx = (f() + f()) f (x) B (x) dx = (f() + f()) f (x)! B (x) +! = (f() + f()) B! (f () f ()) +! f (x) B (x) dx. f (x) B (x) dx. Yleisesti on: Kun m >, on B m+(x) = (m + ) B m (x) j B m+ () = B m+ () = B m+, joten (4.) f (m) (x) B m (x) dx = B m+ (m + )! (f (m) () f (m) ()) (m + )! f (m+) (x) B m+ (x) dx. x on luvun x ltti j x tto. Vnhss irjllisuudess stetn luvun x lttille stetn äyttää merintää [x]. Huom, että x {x} on -jsoinen funtio, jo on epäjtuv joisess oonisluupisteessä.

8 missä Edellisistä sdn f(x) dx = (f() + f()) B! (f () f ()) + + ( )m B m (f (m ) () f (m ) ()) + R m, R m = ( )m f (m) (x) B m (x) dx. Kun tätä v sovelletn siirrettyyn funtioon x f(x + ) j muistetn, että x {x} on -jsoinen j {x} = x, un x [, ), sdn missä + f(x) dx = (f( + ) + f()) B! (f ( + ) f ()) + + ( )m B m + (f (m ) ( + ) f (m ) ()) + R m, R m = ( )m f (m) (x) B m ({x}) dx. Oloot nyt, b Z, < b. Lsemll yhteen yllä olevn vt puolittin, un =, +,..., b, sdn Eulerin j Mclurinin summusv missä Siis (4.3) missä f(x) dx = f(b) + f(b ) + + f( + ) + f() B! (f (b) f ()) + + ( )m B m (f (m ) (b) f (m ) ()) + R m, R m = ( )m = f (m) (x) B m ({x}) dx. b f(x) dx = f() + (f(b) f()) B! (f (b) f ()) + + ( )m B m (f (m ) (b) f (m ) ()) + R m R m = ( )m f (m) (x) B m ({x}) dx. Jos luu m vlitn erityisesti prillisesi (m m) j muistetn, että B j+ =, un j >, sdn (4.4) b f(x) dx = f() + (f(b) f()) = m j= B j (j)! (f (j ) (b) f (j ) ()) + R m, 46

9 missä R m = (m)! f (m) (x) B m ({x}) dx. Eulerin j Mclurinin summusv äytetään usein summien liirvojen lsemiseen j sen vuosi vn (4.3) tvnominen muoto on (4.5) b f() = = + f(x) dx (f(b) f()) m j= ( ) j B j j! (f (j ) (b) f (j ) ()) R m. Tämä v voidn myös esittää (ehä muodollisesti epäorretisti, mutt uitenin virheettömässä) muodoss b f() = = f(x) dx + m j= B j j! (f (j ) (b) f (j ) ()) R m. Tässä nimittäin B =, ( )j = prillisille indeseille j j ( ) j B j = prittomille indeseille j. Vi Eulerin j Mclurinin summusvn päädytään hiemn smnltisell osittisintegrointimenettelyllä uin miten simme Tylorin vn, on jäännöstermin R m = ( )m f (m) (x) B m ({x}) dx rvioiminen huomttvsti ongelmllisemp (tremmin ohdss 4.5). Jäännöstermi ei välttämättä ole edes pieni. Euler ei ioinn iinnittänyt jäännöstermiin mitään huomiot, vn äsitteli summn j integrlin erotust päättymäättömänä summn ( m =, R m = ). Vst Jcobi huomsi trpeen äärelliseen pprosimtioon m j= j vstvn jäännöstermiin R m. Esimeri 4.5. Sovelletn Eulerin j Mclurinin summusv funtioon f(x) := x p, missä p Z +. Kun vss (4.3) vlitn m = p + j =, on f (m) (x), f (j) (x) = p (p ) (p j + ) x p j = (p!/(p j)!) x p j, un j p (erityisesti f (p) (x) = p!), joten R m =, summss j viimeinen termi häviää j b p+ b p + = p + bp + = p ( ) j j= j! B j p! (p j + )! bp j+. Kos B + =, un >, on summss j esiintäville teijöille ( )j B j =, jos j on priton, j ( ) j B j = B j, jos j on prillinen. Kun vielä sijoitetn Leonhrd Euler, Institutiones clculi differentilis cum eius vsu in nlysi finitorum c doctrin serierum (755); Colon Mclurin, A tretise of fluxions (74); Crl Gustv Jcob Jcobi, De usu legitimo formule summtorie Mclurinine (834). Nyyisin tvnominen osittisintegrointimenettely lienee peräisin Wilhelm Wirtingeriltä, Einige Anwendungen Euler- Mclurin schen Summenformel, insbesondere uf eine Aufgbe von Abel, (9). 47

10 bp = B b p, sdn b p = bp+ p + + = p j= j! B j p! (p j + )! bp j+ = p + B p+(b) p + B p+. Esimeri 4.6. Sovelletn Eulerin j Mclurinin summusv funtioon f(x) := /x. Tällöin f (x) = /x, f (x) = /x 3, f (x) = 3!/x 4,..., f (j) (x) = ( ) j j!/x j+. Meritään H n := n = /. Tällöin summusvn (4.4) nojll log b ( = H b H + b ) m j= B j (j)! (f (j ) (b) f (j ) ()) + R m Trstelln, mitä tphtuu, un b. Eulerin vion γ määritelmästä seur, että H b log b γ, un b. Kii derivtt f (j ) (b), un b. Jsollisuuden nojll funtio x B m ({x}) on rjoitettu välillä [, ). Kun m, on f (m) (x) = (m)!/x m+. Kun vielä sijoiteten H = H, sdn rjrvon 3 H = log + γ + m + B j (j)! f (j ) () + R m,, missä jäännöstermi on suppenev epäoleellinen Riemnn-integrli R m, = j= B m ({x}) x m+ Kun tähän sijoitetn derivtt pioilleen, sdn dx. H = log + γ + m B j j + R m,. j Myöhemmin osoitetn, että iille, m Z + on olemss θ m, [, ] siten, että j= R m, = θ m, B m+ (m + ) m+. Kun vlitn = j m =, sdn Eulerin violle liirvo γ H log Virhe on itseisrvoltn enintään θ, /(5 6 ) 4 5. Edellisessä liirvoss virheellinen, viidestoist desimli on lleviivttu. Rj-rvon lim b (H b log b) olemssolo seur myös Eulerin j Mlurinin summusvst. Järjestetään yhtälö muotoon log b H b = log H Kiinnitetään j vlitn vi m =. Tämän vn oien puolen lusee lähestyy äärellistä rj-rvo, un b, joten myös vn vsemmn puolen luseeell on äärellinen rj-rvo. 3 Tällist v utsutn usein symptoottisessi ehitelmäsi. Kvn molemmt puolet svvt rjtt, mutt vn oien puolen vull hrmonisen srjn ossummille voidn lse nopesti hyvin troj liirvoj. 48

11 4.5. Virheen rvioinnist. Trstelln Eulerin j Mclurinin summusvss esiintyvää virhetermiä R m. Jos v (4.4) johdettess luu m olisi vlittu prittomsi (m m + ), olisi jäännöstermisi stu R m+ = (m + )! f (m+) (x) B m+ ({x}) dx. Kvn muu os ei uitenn olisi muuttunut, os summn j... mun tulev lisätermi m+ (f (m) (b) f (m) ()) hviää (muist B B (m+)! m+ =, un m > ). Siis R m+ = R m. Tämä sm nähdään myös osittisintegrointivst (4.), un m vlitn prillisesi (m m) j muistetn, että B m+ =. Osittisintegrointivst (4.) stv jäännöstermin plutusv trvitn sen verrn jtoss, että errtn se, j nnetn smll esiintyvälle sijoitustermille nimi S m+ : (4.6) R m = ( )m f (m) (x) B m ({x}) dx = ( )m B m+ (f (m) (b) f (m) ()) ( )m (m + )! (m + )! =: S m+ + R m+ f (m+) (x) B m+ ({x}) dx Kvst on syytä muist, että jos m on prillinen, m = j, niin S + =. Soveltmll tätä v hdesti sdn siis R = R + = S + + R Bernoullin polynomien ominisuusi. Virheen R m+ rvioimisesi selvitetään lusi Bernoullin polynomien ominisuusi, erityisesti nollohti j äärirvoj. Kun m, on B m+ () = B m+ = = B m+ (). Identiteetin B m ( x) = ( ) m B m (x) nojll B m+ (/) = B m+ (/), joten B m+ (/) =. Pritonindesisillä Bernoullin polynomeill B (x), 3, on siis inin olme nolloht välillä [, ], x =, x = / j x =. Osoitetn seurvsi, että muit nollohti ei ole. Tehdään ntiteesi: Polynomill B m+ (x) on välillä [, ] nolloht ξ {, /, }. Identiteetin B m ( x) = ( ) m B m (x) nojll on B m+ ( ξ) = B m+ (ξ) =. Voidn olett, että < ξ < /, jolloin / < ξ <. Meritään ξ := ξ. Polynomill B m+ (x) on nyt siis vähintään viisi nolloht välillä [, ]. Rollen luseen nojll derivtll B m+(x) on inin ysi nolloht ullin voimell välillä (, ξ), (ξ, /), (/, ξ ) j (ξ, ). Kos B m+(x) = (m + ) B m (x), on polynomill B m (x) inin ysi nolloht ullin voimell välillä (, ξ), (ξ, /), (/, ξ ) j (ξ, ). Oloot nämä nollohdt η < η < η 3 < η 4. Tässä < η < ξ, ξ < η < /, / < η 3 < ξ j ξ < η 4 <. Rollen luseen nojll derivtll B m(x) on inin ysi nolloht ullin voimell välillä (η, η ), (η, η 3 ) j (η 3, η 4 ). Kos B m(x) = m B m (x), on polynomill B m (x) inin ysi nolloht ullin voimell välillä (η, η ), (η, η 3 ) j (η 3, η 4 ). Edeltä tiedetään, että B m (/) =. Väliile (η, η 3 ) jäävä juuri voi oll sm uin /, mutt jo tpusess polynomill B m (x) on nyt siis vähintään viisi nolloht välillä [, ] (trivilit x =, x = / j x = seä väleiltä (η, η ) j (η 3, η 4 ) löytyvät). Siis, jos polynomill B m+ (x) on välillä [, ] nolloht ξ {, /, }, niin sillä on vähintään viisi nolloht välillä [, ]. Edellisen nojll myös polynomill 49

12 B[4](x) - B[4] B[4+](x) B[4+](x) - B[4+] B[4+3](x) Kuv 4.3. Bernoullin polynomien tyypillinen äyttäytyminen; ylärivillä B 4 (x) B 4 j B 6 (x) B 6, lrivillä B 5 (x) j B 7 (x). B m (x) on siis vähintään viisi nolloht välillä [, ]. Näin nähdään, että iill polynomeill B m+ (x), B m (x),... B 5 (x), B 3 (x) on vähintään viisi nolloht välillä [, ]. Mutt B 3 (x) = x (x ) (x ), joll on vin olme nolloht. Antiteesi on siis väärä, joten pritonindesisillä Bernoullin polynomeill B (x), 3, on siis tsn olme nolloht välillä [, ]. Kos B m+(x) = (m + ) B m+ (x) j polynomin B m+ (x) ino nolloht voimell välillä (, ) on x = /, svutt polynomi B m+ (x) B m+ äärirvons pisteessä x = /. Edelleen B m+ (x) B m+ häviää välin [, ] päätepisteissä j välillä (, ) se ei vihd meriään. Nimittäin, jos polynomi B m+ (x) B m+ sisi välillä (, ) seä positiivisi että negtiivisi rvoj, olisi sen derivtll välillä (, ) inin si nolloht. Mutt tällöin polynomill B m+ (x) olisi epätrivili nolloht. Identiteetin vull sdn Erityisesti siis x e x/ e x = x/ e x/ x e x B (/) = ( ) B. B m (/) = ( m ) B m. Kos B m (x) svutt suurimmn rvons välillä [, ] joo välin päätepisteissä, joiss B m (x) = B m, ti pisteessä x = /, on B m ({x}) B m iille x R.

13 4.5.. Jäännöstermin virhervio I. Jos derivtt f (m) (x), sdn R m (m)! f (m) (x) B m ({x}) dx B m (m)! = B m (m)! (f (m ) (b) f (m ) ()), f (m) (x) dx t.s. virhe on itseisrvoltn enintään viimeisen vn (4.4) summss j esiintyvän termin itseisrvo Jäännöstermin virhervio II. Jos osittisintegrointiv (4.) äytetään hdesti (s. (4.6)), päädytään vn R m = S m+ + R m+ = B m+ (m + )! (f (m+) (b) f (m+) ()) = + (m + )! (m + )! f (m+) (x) B m+ ({x}) dx f (m+) (x) (B m+ ({x}) B m+ ) dx Oletetn nyt, että f (m+) (x). Kos B m+ ({x}) B m+ ei vihd meriään, ovt funtion B m+ ({x}) B m+ rvot nolln j äärirvon ( (m+) ) B m+ välissä. Oletetn ysnertisuuden vuosi, että B m+ ({x}) B m+. Integrlilsennn yleistetyn välirvoluseen 4 nojll yllä viimeisen rivin integrlille on (m + )! ( (m+) ) B m+ (m + )! f (m+) (x) (B m+ ({x}) B m+ ) dx Edellisestä vst seur tällöin, että virheelle R m+ on f (m+) (x) dx = ( (m+) ) S m+. S m+ R m+ ( (m+) ) S m+. Vstvsti, jos B m+ ({x}) B m+, sdn S m+ R m+ ( (m+) ) S m+. Oletetn nyt, että f (m+) (x) j f (m+4) (x). Edellisestä trstelust seur, että sijoituset S m+ j S m+4 ovt vstismeriset (B m+ j B m+4 ovt vstismeriset). Toislt R m j S m+ ovt smnmeriset, uten ovt myös R m+ j S m+4. Näiden merisyyspäättelyiden j tiedon R m+ S m+ nojll jollein luvulle θ m+ [, ] virhe R m on muoto R m = θ m+ S m+ = θ m+ B m+ (m + )! (f (m+) (b) f (m+) ()). Kvss (4.4) tämä troitt, että virhe on smnmerinen uin ensimmäinen poisjätetty termi ( j = m + ) j on itseisrvoltn enintään tämänsuuruinen. 4 f(x) p(x) dx = f(ξ) p(x) dx, jos p säilyttää merinsä välillä [, b]. 5

14 Jäännöstermin virhervio III. Kun indentiteetti x e t x e x = B n (t) x n n! n= n= integroidn muuttujn t suhteen puolittin, sdn B n(t) dt x n = x et x dt n! e x joten B n(t) dt =, un n >. Kos B m ({x}) B m säilyttää merinsä, sdn integrlilsennn yleistetyn välirvoluseen nojll virhetermille R m = (m)! = (m)! = (m)! f (m) (ξ) f (m) (x) B m ({x}) dx =, f (m) (x) (B m ({x}) B m ) dx + B m (m)! (B m ({x}) B m ) dx + B m (m)! f (m) (x) dx f (m) (x) dx = (m)! f (m) (ξ) (b ) B m + B m (m)! (f (m ) (b) f (m ) ()) Sovellusi. Sovelletn Eulerin j Mclurinin summusv funtioon f(x) := log x. Tällöin f (x) = /x, f (x) = /x, f (x) = /x 3, f (4) (x) = 3!/x 4,..., f (j+) (x) = ( ) j j!/x j+, un j >. Kos log x dx = x log x x j summ n = log = log(n!), sdn summusvn (4.3) nojll ( := ) b log b b + = log((b )!) + log b m j= = log((b )!) + log b m j= ( ) j B j j! 5 ( ) ( ) j (j )! b + R j m B ( j ) j(j ) b + R j m Jos tässä yhtälössä menetellään vstvn tpn uin hrmonisen srjn ossummi H n trsteltess, sdn äärellinen rj-rvo σ := lim (log(b!) b log b + b log b) = m B j b j(j ) R m, Tästä sdn ertomn logritmille esimerisi log(b!) = b log b b + log b + σ + b 36 b + θ 3 6 b, 5 missä θ. Käyttämällä ysinertisemp ehitelmää j esponenttifuntion ensimmäistä Tylorin polynomi sdn ertomlle Stirlingin v b! e ( b ( σ b + e) ). b j=

15 Tvnominen tp löytää vion σ rvo on äyttää ns. Wllisin v; sen vull sdn σ = log π. Bernoullin luujen vull voidn myös lse ns. Riemnnin ζ-funtion rvot trsti prillisiss oonisluupisteissä m, m Z + : yleisesti ζ(s) := =, s jolloin ζ(m) = = B m ( )m m (π) m. (m)! = ζ-funtion rvoille ζ(m + ) prittomiss oonisluupisteissä sen sijn ei tunnet mitään v. Nimittäin, un setetn n+ (n)! B n (x) := ( ) (π) n cos(π x), j n = n+ (n + )! B n+ (x) := ( ) (π) n+ = = sin(π x) n+, niin B n(x) = n B n (x), un n 3 j j B n (x) dx =. Kos Bernoullin polynomit B n toteuttvt välillä [, ] smt ehdot j polynomill B 3 on smt Fourier-ertoimet uin funtioll B 3, on B n ({x}) = B n (x), un n. Funtion B n rvo pisteessä x = nt ζ-funtion rvot pisteessä s = n. ζ-funtion rvoist sdn Bernoullin luvuille täreä rvio. Kos m = π 6, on Muutm erioistpus: = π 6, = (π) m B m (m)! = (π) m = 4 = π4 9, = = = 6 = π6 945, m π 3 (π) m. = 8 = Ks. tremmin [8, 6.5], [4, s. 63, HT 3], [5, luu IX, 6] π8 945, = = 53 π