Koska sarjat ovat summien jonoja, kertaamme ensin jonojen teoriasta joitakin kohtia syksyltä.

Transkriptio

1 29 Luusrjt Kos srjt ovt summien jonoj, ertmme ensin jonojen teorist joitin ohti sysyltä. Jonot Jono on mtemtiin iein perustvimpi äsitteitä j sen vull ohdtn äärettömyys ensimmäistä ert. Luulueit muodostettess luonnollisten luujen jouo ={, 2, 3,...} on lähtöohtn, j sen lioiden luumäärä on ilmeisen ymmärrettävästi ääretön. Joist jouo, joss on yhtä mont liot uin luonnollisiss luvuiss, snotn numeroituvsi. Kii jouot eivät uitenn ole numeroituvi, uten reliluujen jouo esimerinä osoitt. Tällisi jouoj snotn ylinumeroituvisi. Jono (sequence) on tässä yhteydessä in päättymätön, ääretön jono. Sm termiä äytetään suomenielessä myös äärellisestä jonost (esim. hviln jono), englnnisi queue, mutt siyhteydestä yleensä ilmenee, ump troitetn. Jono oostuu luvuist x, x 2,,x n,..., joss joist indesiä n vst ysi jonon luu. Mtemttisesti jtellen yseessä on siis funtio luonnollisilt luvuilt reliluujen jouoon: Reliluujono on funtio. Jos siis joist luonnollist luu n ohti setetn vstmn reliluu x n, syntyy luujono eli lyhyesti (x n ). x, x 2,..., x n,... Tässä mielessä jonoss on siis in ääretön määrä termejä x n (joisell n:llä ysi). Toislt jonoll ei trvitse oll ääretöntä määrää rvoj x n, esimerisi viojonoll x n = c, n=,2, on vin ysi rvo, c.

2 2 Siis jono (x n ) j sen rvojouo {x n : n } ovt eri sioit. Jonoj äytetään usein iterointimenetelmissä, joiss jotin ongelm rtistn toistuvsti niin, että tulosen on yhä trentuv pprosimoivien rtisujen jono. Tällöin ihnnetpusess jonon rvot lähestyvät hettu ongelmn rtisu, un n eli iterointien luumäärää sv. Tämä jttelu perustuu jonon rj-rvon äsitteeseen. Rj-rvo on rvo, jot yleensä ei trn svutet, vn sitä lähestytään yhä lähemmäsi j lähemmäsi n:n svess rjttomn suuresi. Trvittv "läheisyyden" äsite voidn muotoill täsmälliseen suun seurvsti: Oloon x j ε >0. Avoint väliä ( x - ε, x +ε) utsutn luvun x ympäristösi ti ε- ympäristösi, j meritään usein U(x;ε). Luujono ( x n ) suppenee j sen rj-rvo on = x, jos joist x:n ympäristöä U(x;ε) vst luu n ε siten, että x n U(x;ε), un n > n ε. Luujono ( x n ) siis suppenee, jos joist positiiviluu ε ohti on olemss luu n ε siten, että x n - x < ε, un n > n ε. Tällöin meritään lim x n = x ti ysinertisesti x n x. All on uvttu si tpust luujonost ( n ), jo suppenee ohti rjrvo L. V-seli on indesiseli, joss indesi n ulee, 2, 3,... j pystyselill ovt vstvt jonon rvot n.

3 3 Kun jono suppenee ohti rj-rvo x, niin jonon termit ovt hlutun lähellä (ε-tolernssill mitten) rj-rvo, unhn indesi n on riittävän suuri (n>n ε ). Jos termit hlutn lähemmäsi (ε-luu pienennetään), riittää mennä jonoss trvittvn mont termiä eteenpäin eli svtt indesiä n. Oheisess uvss jonon ( n ) rj-rvo on L, j termien rvot ovt y- selill. Korostetut pisteet ovt pisteitä (n, n ). Jos luujono ei suppene, se hjntuu. Hjntuminen voi oll meno ohti ääretöntä (meritään myös x n ti x n -) ti sitten termit voivt "pouoill" hden ti usemmn rvon välillä ti äyttäytyä vielä epäsäännöllisemmin.

4 4 Esim. 29. Jono n =r n suppenee täsmälleen silloin, un -<r. (Todistus s. Propositio 6.0) Suppenevn jonon termit "htutuvt" jonoss pitemmälle mentäessä: Jos jono ( x n) suppenee, niin joist positiiviluu ε ohti on olemss luu n ε siten, että n > n ε xn+ p xn < ε p. Toislt muull tvll äyttäytyviä suppenevi reliluujonoj ei sitten olen, eli :ssä jono on suppenev täsmälleen silloin, un se on Cuchyn jono. (Ks. Luse 7.5, Cuchyn suppenemisriteeri. Kyseisen riteerin toteuttvi jonoj snotn Cuchyn jonoisi. On olemss sellisiin vruusi, joiss Cuchyn jonot eivät välttämättä suppene. Esimerinä äy rtionliluujen jouo.)

5 5 Miään luujono ei voi supet ht ti usemp rj-rvo ohti, joten luujonon rj-rvo on ysiäsitteinen. (Luse 6.6) Esim Jono 0,,0,,0,,0,, hjntuu. Esim Jono 0,,2,3,4,5,6,7, hjntuu. Reliluujono ( x n) on rjoitettu, jos on olemss vio M siten, että x M n. n Suppenev luujono on rjoitettu, mutt rjoitettu luujono ei välttämättä ole suppenev. Epäyhtälöt "säilyvät rjll": Jos xn M n j lim x n = x, niin x M.

6 6 Rj-rvojen lsennss voidn äyttää yhteenlsun, ertolsun, violl ertomisen j jolsun sääntöjä. (Lemm 6.4) Erittäin hyödyllinen rj-rvojen lsennss on myös oheinen "uristusperite" (Ks. Luse 6.9, merinnät eriliset.)) Jos jonot ( n ) j (c n ) suppenevt ohti sm rj-rvo L j on voimss epäyhtälö n b n c n, niin myös jono (b n ) suppene ohti rj-rvo L. Esim lim ( n + 2 n + ) = ( n + 2 n + )( n + 2+ n + ) lim 2 2 n + 2+ n + =lim 2 2 n + 2+ n + = 0.

7 7 Käytännön lsent tehdään in lopult rtionliluvuill. Näin sdn uitenin miä hyvänsä reliluu esitettyä mielivltisen trsti pprosimoitun: Oloon x R. Silloin on olemss rtionliluujono, jo suppenee ohti pistettä x. Otetn in väliltä (x-/n, x+/n) join rtionliluu x n. Se on mhdollist, os joisell voimell välillä on in (jop ääretön määrä) rtionliluu(j). Ks. Luse 2.34 j Luse 8.7) Jos jonost poimitn eteenpäin mentäessä vin os termeistä, mutt uitenin äärettömän mont, sdn osjono. Tällöin siis indeseistä poimitn idosti svvss järjestysessä os, tsepäin ei s mennä. Esim Jonoll (0,,0,,0,,0,, ) on esimerisi osjonot (0,0,0,0,0, ) j (,,,,, ). Muodost vielä join olms osjono. Esim Jono (,2,4,3,5,6, ) ei ole jonon (,2,3,4,5,6, ) osjono, os lioiden järjestys ei ole sm. Oloon (x n ) jono, jo suppenee ohti reliluu x. Silloin joinen jonon (x n ) osjono suppenee myös ohti luu x. J ääntäen, jos ii osjonot suppenevt ohti sm rj-rvo x, niin näin teee oo jonoin. (Luse 7.6) Esim Esimeri 29.5:n osjonoill (0,0,0,0,0, ) j (,,,,, ) on eri rj-rvot: 0 j, joten jono (0,,0,,0,,0,, ) on hjntuv.

8 8 Jos svv jono on ylhäältä rjoitettu, se ei voi rt äärettömyyteen, j ylärj ennen sen rvot väisin putuvt yhteen, os edestinen osillointi estyy monotonisuuden ti. Vstv pätee lhlt rjoitetulle vähenevälle jonolle. Rjoitettu monotoninen reliluujono suppenee. Kääntäen, monotoninen jono voi oll suppenev vin, jos se on rjoitettu. (Luse 7.2) Edellä riittää svvn jonon tpusess selvittää jono ylhäältä rjoitetusi, os svv jono on utomttisesti lhlt rjoitettu. Vstv pätee vähenevälle jonolle.

9 9 Usein voidn luujonon suppenemistrstelu muunt vstvn relifuntion rj-rvon tutimisesi: Jono ( n ) suppenee ohti rj-rvo L, jos lim f ( x) = L, x missä f(n) = n. Tämä mhdollist esimerisi L Hospitlin säännön äytön myös luujonojen rj-rvoj lsettess.

10 0 Srjt Srj on "summ, joss on äärettömän mont yhteenlsettv". Täsmällisempi määritelmä on seurv: Trstelln luujono ( n), n =,...,. Liitetään siihen toinen luujono (S n ), n=,..., seurvsti: S =, S 2 = + 2,..., S n = n. Srj muodostuu silloin näistä hdest jonost. Srjn n:s termi on n j srjn n:s ossumm on S n. Srj meritään ti. Tällöin siis n:s ossumm on S n n =. Srjn suppeneminen määritellään ossummien jonon suppenemisen vull: Määritelmä 29.8 Srj suppenee j sen summ on S, jos ossummien jono (S n ) suppenee j lim S n = S. Silloin meritään n = S. (Siis merintä voi troitt ht si, srj sinänsä j toislt suppenevn srjn tpusess srjn summ. Yhteydestä ilmenee, ump troitetn.)

11 Jos srj ei suppene, se hjntuu. Erityisesti jos lim S n = ti n lim S n =, niin snotn, että srj hjntuu ohti (plus ti miinus) n ääretöntä. Tällöin voidn myös meritä = ti =. Esim Geometrinen srj 0 q q q q 2 3 = n 2 n q Sn = + q+ q + q =, un q. q S n = n, un q=. Siis geometrinen srj suppenee täsmälleen silloin, un q <. Silloin q =. q 0 Srjn suppenemiselle on välttämätöntä, että yleinen termi lähestyy noll: Luse 29.0 Jos srj suppenee, niin lim = 0. Tod.: = S S S S = 0.

12 2 Käänteinen tulos ei päde. Eli siitä, että yleinen termi lähestyy noll ei välttämättä seur, että srj suppenisi. Tämän näyttää seurv vstesimeri: Esim. 29. ; = 0 S = > = =. Mutt tulost voidn äyttää hjntumistestinä: Jos 0, niin srj hjntuu. Kos srjn suppeneminen on määritelty ossummien jonon rj-rvon, eivät lupään termit viut linn srjn suppenemiseen (summn rvoon ylläin). Toisin snoen, srjn voidn liittää, viht toisisi ti siitä poist äärellisen mont termiä ilmn, että srjn suppeneminen muuttuu hjntumisesi ti hjntuminen suppenemisesi. Erityisesti jos suppenee, niin myös niin srjn n:s jäännöstermi on R n = n+ n+ täsmälleen silloin, un jäännöstermit ovt äärellisiä j lim R = 0. n n suppenee. Jos =S, =S-S n. Srj on suppenev

13 3 Luse 29.2 Jos suppenevn srjn termit yhdistetään ryhmisi (järjestystä muuttmtt) j jo ryhmässä termit lsetn yhteen, niin stu srj suppenee j sillä on sm summ uin luperäisellä srjll. Tod.: = S ( + + ) + ( + + ) + ( + + ) = S + ( S S ) + ( S S ) Tämän srjn n:s ossumm sn = S n S, un n, os se on luperäisen srjn ossummien osjono. Tulos ei päde ääntäen. Jos srjst sdn termejä ryhmittelemällä suppenev srj, niin siitä ei välttämättä seur, että luperäinen srj suppenisi. Esimerinä srj , jo ei suppene, vi (-)+(-)+(-)+... suppenee. Seurvt luseet ovt välittömiä seurusi luujonojen vstvist tulosist: Luse 29.3 Jos srjt j b summt ovt vstvsti A j B, niin summsrj suppenev j ( + b ) =A+B. ovt suppenevi j niiden ( + b) on Jos c R, niin srj ( c ) on suppenev j ( c ) =ca.

14 4 Luse 29.4 Jos srj summsrj suppenee j srj ( + b) hjntuu. b hjntuu, niin Todettoon vielä, että hden hjntuvn srjn summ voi oll suppenev ti hjntuv. Positiivitermiset srjt Srj snotn positiivitermisesi, jos 0,. Silloin ossummien jono on monotonisesti svv: Sn Sn+, n, joten se suppenee täsmälleen silloin, un se on ylhäältä rjoitettu: Luse 29.5 Positiiviterminen srj suppenee, jos j vin jos on olemss M>0 siten, että ossummien jonolle pätee S M, n. n

15 5 Jos ossummien jono ei ole ylhäältä rjoitettu, niin Sn, un n. Positiiviterminen srj siis joo suppenee ohti äärellistä summ S 0 ti hjntuu ohti ääretöntä. Seurvss esitetään positiivitermisten srjojen suppenemistestejä. Srjt j b ovt luseiss siis positiivitermisiä. Luse 29.6 (Vertilutesti: mjornttiperite) Jos eräästä indesistä 0 len on voimss b suppenee,niin myös suppenee. b, j Luse 29.7 (Vertilutesti: minornttiperite) Jos eräästä indesistä 0 len on voimss b, j niin myös hjntuu. b hjntuu,

16 6 Luse 29.8 (Vertilutestin limesmuoto) Jos rj-rvo lim b = m on olemss j m 0,, niin srjt b joo molemmt suppenevt ti molemmt hjntuvt. j Jos m=0 j Jos m= j b suppenee, niin myös b hjntuu, niin myös suppenee. hjntuu. Luse 29.9 (Juuritesti) Jos eräästä indesistä 0 len on voimss 0 < r, missä r on vio,0< r <, niin suppenee. Jos eräästä indesistä 0 len on voimss, niin srj hjntuu. Luse (Juuritestin limesmuoto) Jos lim = r on olemss j 0 r <, niin Jos lim = r>, niin hjntuu. suppenee.

17 7 Luse 29.2 (Suhdetesti) Jos eräästä indesistä 0 len on voimss 0 < q, missä q on vio,0< q <, niin suppenee. Jos eräästä indesistä 0 len on voimss, niin srj hjntuu. + + Luse (Suhdetestin limesmuoto) Jos lim = q on olemss j 0 q <, niin + Jos lim = q >, niin + hjntuu. suppenee. Luse (Integrlitesti) Jos on olemss sellinen välillä [0,) jtuv positiivinen vähenevä funtio f, että = f( ), =,2,, niin suppenee täsmälleen silloin un f ( xdx ) suppenee. (Luseet todistetn hiemn tuonnempn.)

18 8 Esim Srj (p-srj) p suppenee, jos p > j hjntuu, jos p. Tämä nähdään integrlitestillä, os p >. x p dx suppenee täsmälleen silloin, un Tämä p-srj on ysi täreimpiä vertilusrjoj. Tpusess p= yseessä on hjntuv srj, niin snottu hrmoninen srj. Kun p >, p-srj snotn myös ylihrmonisesi srjsi. Esim Tutitn, suppeneeo srj 3 = 2 Kos suurill :n rvoill srjn termit ovt liimin = j 3/2>, näyttää 3 3/2 ilmeiseltä, että srj olisi suppenev. Tämä voidn osoitt trsti vertilutestillä. = < = 2 = /2 ½ + ½ ½. Srj 2 suppenee, os se on vio ert suppenev p-srj, p=3/2<. 3/2 = 2 Siis mjornttiperitteen mun tutittv srj on suppenev. Smn tuloseen päästään myös limesmuotoisell vertilutestillä: 3 3/2 lim = lim = lim =. 3 3/2 3 (Vertilusrj esittiin lustvss trsteluss, un tutittiin termin luseett suurill.)