Tehtävä 3. Määrää seuraavien jonojen raja-arvot 1.
|
|
|
- Emilia Kokkonen
- 7 vuotta sitten
- Katselukertoja:
Transkriptio
1 Jonotehtävät, 0/9/005, sivu / 5 Perustehtävät Tehtävä. Muotoile matemaattiset vastineet seuraavien väitteiden negaatioille (ts. vastaohdat).. Jono (a n ) suppenee ohti luua a.. Jono (a n ) on asvava. 3. Jono (a n ) on rajoitettu. Tehtävä. Osoita tarasti, että seuraavat jonot (a ) suppenevat. a sin. a 5 Tehtävä 3. Määrää seuraavien jonojen raja-arvot ( + ) Tehtävä 4. Osoita, että jos jono suppenee, niin sen raja-arvo on ysiäsitteinen. Tehtävä 5. Ovato väitteet tosia?. Jos jono (a n ) suppenee ohti luua a, niin jono ( a n ) suppenee ohti luua a.. Jos jono ( a n ) suppenee ohti luua a, niin jono (a n ) suppenee ohti luua a. 3. Jos jono (a n ) suppenee ja jono (b n ) hajaantuu, niin jono (a n +b n ) hajaantuu. 4. Jos jonot (a n ) ja (b n ) hajaantuvat, niin jono (a n + b n ) hajaantuu. Tehtävä 6. Osoita, että joainen suppeneva jono on myös Cauchyn jono. Tehtävä 7. Osoita, että seuraavat jonot (a ) ovat Cauchyn jonoja.. a +. a a! +! !
2 Jonotehtävät, 0/9/005, sivu / 5 Tehtävä 8. Tiedetään, että jonon (a n ) aliot toteuttavat ehdon Suppeneeo jono? a n+ a n < n. Tehtävä 9. Mitä voidaan sanoa jonon a n suppenemisesta, miäli. joainen reaaliluu esiintyy jonossa oreintaan äärellisen monta ertaa (voi siis olla, että luu ei esiinny jonossa ollenaan). täsmälleen ysi luu esiintyy jonossa äärettömän monta ertaa ja muut luvut oreintaan äärellisen monta ertaa 3. useampi uin ysi luu esiintyy jonossa äärettömän monta ertaa Tehtävä 0. (Neliöjuuren laseminen reursiivisesti) Oloon x > 0 mielivaltainen ja määritellään reursiivinen jono (a n ). Oloon a > x ja a n a n + x a n joaiselle n, 3, 4,... Osoita, että jono suppenee ja lim a x.
3 Jonotehtävät, 0/9/005, sivu 3 / 5 Vaativammat tehtävät Tehtävä. Osoita, että jos luujono ei ole ylhäältä rajoitettu, niin se hajaantuu. Tehtävä. Osoita suoraan määritelmien perusteella.. Jos jono (a n ) on Cauchyn jono, niin se on rajoitettu.. Jos Cauchyn jonolla (a n ) on suppeneva osajono (a n ), niin jono (a n ) suppenee. Mieti mitä vielä tarvitaan osoittamaan, että joainen Cauchyn jono suppenee. Tehtävä 3. Konstruoi jono, jolla on joaista rationaaliluua q Q ohti olemassa osajono, jossa tämä rationaaliluua q esiintyy äärettömän monta ertaa. Suppeneeo tämän jonon joainen osajono? Ota mielivaltainen suppeneva osajono. Suppeneeo se välttämättä ohti rationaaliluua? 3
4 Jonotehtävät, 0/9/005, sivu 4 / 5 Vinejä perustehtäviin Tehtävä. Lähde taroista määritelmistä ja mieti mitä tarvitaan, että ehto rioutuisi. Ole tara termien joaisella ja on olemassa anssa. Tehtävä.. Käytä arviota sin todistaasesi, että jono suppenee ohti luua 0.. Osoita, että jono suppenee ohti luua. Lavenna nimittäjät itseisarvojen sisällä samannimisisi ja sievennä. Tehtävä 3.. Supista oreimman potenssin sisältävällä termillä. Käytä apuna aavaa (a b)(a + b) a b neliöjuurten supistamisesi. 3. Yritä haniutua neliöjuurista eroon sopivalla sievennysellä. Tehtävä 4. Tee vastaoletus, että jonolla olisi asi erisuurta raja-arvoa ja äytä suppenemisen määritelmää näihin. Tehtävä 5.. Mieti asiaa olmioepäyhtälöä äyttäen. Koeta esiä vastaesimeri väitteelle. 3. Mieti mitä tapahtuu, jos väite ei olisi tosi. 4. Mieti sopivaa vastaesimeriä, jossa termit umoaisivat toisensa sopivasti. Tehtävä 6. Lisää ja vähennä lauseeessa a n a m sopiva luu ja äytä olmioepäyhtälöä. Tehtävä 7.. Osoita suoraan määritelmän nojalla tai osoita, että jono suppenee ja äytä Cauchyn riteeriä.. Käytä tulosta (+) ja edellistä ohtaa. 3. Yritä muodostaa sopiva geometrinen sarja. Tehtävä 8. Osoita ehdon täyttävän jonon olevan Cauchyn jono. Kehitä sopiva geometrinen sarja. Tehtävä 9. Mieti ysinertaisia esimerejä. Tehtävä 0. Osoita indutiivisesti, että a n x aiilla n,,... ja jono (a n ) on vähenevä. 4
5 Jonotehtävät, 0/9/005, sivu 5 / 5 Vinejä vaativampiin tehtäviin Tehtävä. Tee vastaoletus Tehtävä.. Valitse esimerisi ɛ ja sitten määrää jonolle sopiva yläraja.. Valitse ɛ > 0 mielivaltaisesi. Nyt poimi sellainen suppenevan osajonon termi, että se on sopivalla indesillä oreintaan etäisyydellä ɛ osajonon raja-arvosta ja jonon hännän termeistä. Sen jäleen sovella vain olmioepäyhtälöä. Tehtävä 3. Käytä hyväsi esimerisi sitä, että rationaaliluujen esitys p q ei ole ysiäsitteinen. Apuna voi äyttää myös tietoa, että positiivisen oonaisluvun esitys aluluujen tulona on ysiäsitteinen. 5
6 Jonotehtävät, 0/9/005, sivu 6 / 5 Perustehtävien rataisut Tehtävä.. Pitäisi siis sanoa, että jono (a n ) ei suppene ohti luua a. Silloin on olemassa sellainen ɛ > 0, että joaista luua n ɛ Z + ohti on olemassa sellainen luu n n ɛ, että a n a ɛ. Jono (a n ) ei ole asvava, un on olemassa sellainen n Z +, että a n+ < a n. 3. Jono (a n ) ei ole rajoitettu eli joaista M > 0 ohti on olemassa join sellainen n Z +, että a n > M. Tehtävä.. Oloon ɛ > 0 mielivaltainen. Kosa sin, niin jono näyttäisi suppenevan ohti luua 0. Lisäsi sin 0 < ɛ aina, un > ɛ. Valitsemalla sellainen ɛ Z +, että ɛ > saadaan ɛ sin 0 < ɛ aina, un > ɛ. Siis lim sin 0.. Kosa , niin valistunut arvaus raja-arvosi on. Oloon ɛ > 0 mielivaltainen. Nyt < ɛ. 5 6
7 Jonotehtävät, 0/9/005, sivu 7 / 5 Siis voidaan valita sellainen ɛ > 5 4ɛ 5, missä ɛ Z +, jolloin yllä oleva ehto pätee aina, un > ɛ. Tehtävä 3.. Nyt. Kun, niin un Sieventämällä huomataan, että un. 4 (3 + )( ) ( ) , Tehtävä 4. Oletetaan, että jono (a n ) suppenee. Meritään lim a a ja lim a b. Tehdään vastaoletus, että a b. Suppenemisen määritelmän nojalla joaista luua ɛ > 0, erityisesti luua ɛ a b, ohti on olemassa sellaiset luvut a, b Z +, 7
8 Jonotehtävät, 0/9/005, sivu 8 / 5 että a a < ɛ aina, un > a ja a b < ɛ aina, un > b. Valitaan 0 > 0, niin max{ a, b }. Kolmioepäyhtälöä soveltamalla saadaan, että un a b a a + a b a a + a b < ɛ + ɛ a b, miä on ristiriita. Vastaoletus a b on siis väärä, joten a b. Siis raja-arvon täytyy olla ysiäsitteinen. Tehtävä 5.. Kosa lim a n a, niin joaista luua ɛ > 0 ohti on olemassa sellainen luu n ɛ Z +, että Kolmioepäyhtälön perusteella joten väite pätee selvästi. a n a < ɛ aina, un n > n ɛ. a n a a n a. Jono ( a n ), missä a n ( ) n suppenee selvästi ohti luua, mutta jono (a n ) hajaantuu. 3. Väite on tosi. Tehdään vastaoletus, että jono (a n + b n ) suppenee ja oloon lim (a n + b n ) x. Oloon lisäsi lim a n a. Tällöin x a lim (a n + b n ) lim a n lim (a n + b n a n ) lim b n, miä on ristiriita jonon (b n ) hajaantumisen anssa. 8
9 Jonotehtävät, 0/9/005, sivu 9 / 5 4. Väite ei ole tosi aina, sillä jos esimerisi a n n, niin jonot (a n ) ja ( a n ) hajaantuvat, mutta jono (a n a n ) suppenee. Tehtävä 6. Oloon (a n ) mielivaltainen suppeneva jono. Oloon sen raja-arvo luu a. Valitaan luu ɛ > 0 mielivaltaisesi. Nyt on olemassa sellainen n 0 Z +, että a n a < ɛ aina, un n > n 0. Oloon luvut n, m > n 0 mielivaltaisia. Nyt olmioepäyhtälöä äyttämällä saadaan, että a m a n a m a + a a n a m a + a n a < ɛ + ɛ ɛ Täten joainen suppeneva jono on myös Cauchyn jono. Tehtävä 7.. Oloon ɛ > 0 ja n, p Z + mielivaltaisia. Nyt a n+p a n n + p + n + n + p n + n + p n n n p n(n + p) p n(n + p) < n + p n(n + p) n < ɛ aina, un n > n ɛ > ɛ, missä n ɛ Z + ja p Z +. Täten jono on Cauchyn jono. Tietenin toisena tapana olisi osoittaa jono suppenevasi ja äyttää tulosta, että joainen suppeneva jono on Cauchyn jono.. Kosa (+) (todistus esimerisi indutiolla), niin Kosa + Cauchyn jono. a ( + ) + +. on edellisen ohdan jono errottuna vaiolla, niin se myös on 9
10 Jonotehtävät, 0/9/005, sivu 0 / 5 3. Oloon ɛ > 0 ja n, p Z + mielivaltaisia. Nyt a n+p a n (n + )! + (n + )! (n + p)! ( ) (n + )! n + + (n + )(n + 3) (n + )(n + 3) (n + p) ( ) (n + )! n + + (n + ) , (n + ) p osa > >... >. Suleisiin saatiin siis muodostettua geometrinen sarja. Geometrisen sarjan summan n+ n+ n+p perusteella a n+p a n < (n + )! (n + )! (n+) p n+ n+ (n + )! n! n!(n + ) n!n n < ɛ aina, un n > n ɛ > ɛ, missä n ɛ Z + ja p Z +. Täten jono on Cauchyn jono ja se suppenee. Eräs tapa määritellä luu e on antaa se raja-arvona e lim n 0!. Jono suppenee, joten määrittely on mieleäs. Tehtävä 8. Osoitetaan, että jono (a n ) on Cauchyn jono. Oloon n, p Z + mielivaltaisia. Nyt olmioepäyhtälöllä saadaan, että a n+p a n a n+p a n+p + a n+p a n+p + a n+p... + a n+ a n a n+p a n+p + a n+p a n+p a n+ a n < + n+p n+p n n ( p + p ). 0
11 Jonotehtävät, 0/9/005, sivu / 5 Geometrisen summan aavan perusteella siis a n+p a n p n < n 0, n un n. Täten jono (a n ) on Cauchyn jono ja se suppenee Cauchyn riteerin nojalla. Tehtävä 9.. Jono voi supeta tai hajaantua. Jono (a ), missä a, suppenee ja luu voi esiintyä jonossa oreintaan erran. Toisaalta, jos a, niin jono hajaantuu ja luu voi esiintyä jonossa oreintaan yhdesti.. Jono voi supeta tai hajaantua. Luujono (a ) suppenee ohti luua 0 jos esimerisi un parillinen a 0 un pariton, mutta hajaantuu, miäli un parillinen a un pariton. 3. Jonon täytyy hajaantua. Jos erisuuret luvut a ja b esiintyvät jonossa (a n ) äärettömän monta ertaa, niin voidaan valita asi osajonoa, joista toisessa esiintyy vain luu a ja toisessa luu b. Kosa a b, niin jono ei voi supeta, sillä jos se suppenisi ohti luua x, niin x a b, miä olisi ristiriita. Tehtävä 0. Kosa x > 0, niin myös a > x > 0. Indution avulla saadaan, että aii luvut a n a n + x a n n, 3, 4,... ovat positiivisia, osa aavassa summataan vain positiivisia termejä.
12 Jonotehtävät, 0/9/005, sivu / 5 Osoitetaan, että luu x rajoittaa jonoa alhaaltapäin. Jos a n x, niin laventamalla ja muodostamalla neliö saadaan a n x a n + x a n x a n a n x + x a n (a n x) a n 0. Eli a n x. Osoitetaan jono väheneväsi tarastelemalla erotusta a n a n a n + x a n a n a n x a n a n 0, osa a n x. Siis a n a n aiilla n Z +, joten jono on vähenevä. Jono siis suppenee, joten on olemassa sellainen luu a x, että lim a n lim a n a. Täten a lim a n ( ) lim a x n + lim a ( a + x ). n a Kosa a x > 0, niin a a + x a a x ja siten a x. Tehtävän reursiivinen jono antaa siis algoritmin, jolla voi arvioida neliöjuuren arvoa.
13 Jonotehtävät, 0/9/005, sivu 3 / 5 Vaativampien tehtävien rataisut Tehtävä. Osoitetaan ensisi, että joainen suppeneva jono on ylhäältä rajoitettu. Oloon ɛ ja lim a n a. Siis on olemassa sellainen luu n ɛ, että a n a < aina, un n n ɛ. Valitaan M max{ a n n n ɛ }. Valinta voidaan tehdä, osa luu n ɛ on äärellinen. Asetetaan vielä, että M max{m, a + }. Nyt a n < M aiilla n Z +. Siis luujono (a n ) on rajoitettu. Oloon nyt luujono (a n ) nyt ylhäältä rajoittamaton. Jos se suppenisi, niin edellisen perusteella se olisi myös ylhäältä rajoitettu, miä on ristiriita. Siis ylhäältä rajoittamaton luujono hajaantuu välttämättä. Tehtävä. n ɛ Z +, että. Oloon ɛ. Oletusen perusteella on olemassa sellainen a n a m < aina, un n, m n ɛ Valitsemalla M max{+ a nɛ, a, a,..., a nɛ } saadaan, että a n M aiilla n Z +. Siis jono (a n ) on rajoitettu.. Oloon ɛ > 0 mielivaltainen. Oletusien perusteella on olemassa sellaiset luvut n ɛ ja ɛ, että a n a p < ɛ aina, un n, p > n ɛ ja a n a < ɛ aina, un n > ɛ, missä a on osajonon (a n ) raja-arvo. Valitaan luu n l siten, että l > max{n ɛ, ɛ }. Kosa (a n ) oli osajono, niin nyt n l > ɛ ja n l > n ɛ. Kolmioepäyhtälöä äyttämällä saadaan, että jos n > n ɛ, niin a n a a n a nl + a nl a a n a n l + a nl a < ɛ + ɛ ɛ. 3
14 Jonotehtävät, 0/9/005, sivu 4 / 5 Siten jono (a n ) suppenee ohti luua a. Cauchyn riteerin todistamiseen tarvitaan vielä niin sanottua Bolzano-Weierstrassin lausetta. Sen seurasena saadaan, että joaisella rajoitetulla jonolla on suppeneva osajono. Kosa Cauchyn jono on rajoitettu, niin sillä on suppeneva osajono ja siten jono itsein suppenee. Tehtävä 3. Käytetään apuna sitä, että aluluuja on ääretön määrä ja että joainen luu voidaan esittää ysiäsitteisesti aluluujen tulona. Esimerinä vaadittavasta jonosta äy i, un j i 3 j ja i, j Z + a i, un j 5i 7 j ja i, j Z + 0, muutoin. Tällöin ensimmäinen nollasta eroava termi tulee olemaan a 6, osa 6 3. Ensimmäinen negatiivinen termi on a 35, osa Kosa luvut, 3, 5 ja 7 ovat aluluuja, niin jono on hyvin määritelty, sillä i 3 j 5 s 7 t aiilla i, j, s, t Z +. Lisäsi jos i, j Z +, niin a i j a jos ja vain jos p i 3 p j ja p i 3 p j joillein luvuille p, p Z +. Vastaava pätee myös jonon negatiivisille termeille. Oloon q Q \ {0} mielivaltainen nollasta eroava rationaaliluu. Tällöin q i j tai q i j, missä i, j Z +. Esitys ei ole ysiäsitteinen, sillä esimerisi Itseasiassa muotoja on äärettömän monta, sillä i j pi pj aiilla p Z +. Luua q ohti suppeneva osajono saadaan valitsemalla jonosta ne luvut a, missä i 3 j un q > 0 tai 5 i 7 j un q < 0. Tämä osajono on todellain mahdollista valita, osa muotoja q ± pi pj on äärettömän monta. Esimerisi rationaaliluua ohti suppeneva osajono saadaan valitsemalla termit a, missä p 3 p ja p Z +. Tällöin 8, 34, 583,.... 4
15 Jonotehtävät, 0/9/005, sivu 5 / 5 Luua 0 ohti suppeneva osajono saadaan helposti vaiapa valitsemalla termit a, missä p ja p Z +. Kosa näissä esimereisi poimituissa osajonoissa esiintyy vain ysi luu, niin niiden täytyy myös supeta ohti tätä luua. Kaii osajonot eivät suppene, osa jonoa ei ole rajoitettu. Esimerisi jono,, 3,... on eräs osajono, mutta se ei suppene. Osajonoissa on myös sellaisia, jota suppenevat ohti irrationaaliluuja. Kosa joainen rationaaliluu esiintyy aluperäisessä jonossa ja joaiselta reaaliluuväliltä löytyy myös rationaaliluu, niin sopivalla termien valinnalla saadaan mielivaltaista irrationaaliluua ohti suppeneva osajono. 5
Matematiikan tukikurssi
Matematiian tuiurssi Kurssierta 5 Sarjojen suppeneminen Kiinnostusen ohteena on edelleen sarja a n = a + a 2 + a 3 + a 4 + n= Tämä summa on mahdollisesti äärellisenä olemassa, jolloin sanotaan että sarja
Perustehtäviä. Sarjateorian tehtävät 10. syyskuuta 2005 sivu 1 / 24
Sarjateorian tehtävät 0. syysuuta 2005 sivu / 24 Perustehtäviä. Muunna sarja telesooppimuotoon ja osoita, että se suppenee. Lase myös sarjan summa. ( + ) = 2 + 6 + 2 +... 2. Osoita suoraan määritelmään
Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Ratkaisut 1. viikolle /
MS-A8 Differentiaali- ja integraalilasenta, V/27 Differentiaali- ja integraalilasenta Rataisut. viiolle /. 3.4. Luujonot Tehtävä : Mitä ovat luujonon viisi ensimmäistä termiä, un luujono on a) (a n ) n=,
Riemannin sarjateoreema
Riemannin sarjateoreema LuK-tutielma Sami Määttä 2368326 Matemaattisten tieteiden laitos Oulun yliopisto Sysy 206 Sisältö Johdanto 2 Luujonot 3 2 Sarjat 4 2. Vuorottelevat sarjat........................
JOHDATUS LUKUTEORIAAN (syksy 2017) HARJOITUS 1, MALLIRATKAISUT
JOHDATUS LUKUTEORIAAN (sysy 2017) HARJOITUS 1, MALLIRATKAISUT Tehtävä 1. (i) Etsi luvun 111312 aii teijät. (ii) Oloot a ja b positiivisia oonaisluuja joilla a b ja b a. Osoita, että silloin a = b. Rataisu
III. SARJATEORIAN ALKEITA. III.1. Sarjan suppeneminen. x k = x 1 + x 2 + x ,
III. SARJATEORIAN ALKEITA Sarja on formaali summa III.. Sarjan suppeneminen = x + x 2 + x 3 +..., missä R aiilla N (merintä ei välttämättä taroita mitään reaaliluua). Luvut x, x 2,... ovat sarjan yhteenlasettavat
V. POTENSSISARJAT. V.1. Abelin lause ja potenssisarjan suppenemisväli. a k (x x 0 ) k M
V. POTENSSISARJAT Funtioterminen sarja V.. Abelin lause ja potenssisarjan suppenemisväli P a x x, missä a, a, a 2,... R ja x R ovat vaioita, on potenssisarja, jona ertoimet ovat luvut a, a,... ja ehitysesus
termit on luontevaa kirjoittaa summamuodossa. Tällöin päädymme lukusarjojen teoriaan: a k = s.
SARJAT JA DIFFERENTIAALIYHTÄLÖT 2003 7 3. Luusarjat Josus luujonon (b ) termit on luontevairjoittaa summamuodossa. Tällöin päädymme luusarjojen teoriaan: Määritelmä 3.. Oloon ( ), R luujono. Symboli (3.)
3 Lukujonon raja-arvo
ANALYYSI A, HARJOITUSTEHTÄVIÄ, KEVÄT 209 3 Lukujonon raja-arvo 3 Määritelmä Osoita, että 6n + 2n + 3 3 < 4 n ja määritä jokin sellainen n 0 Z +, että 6n + 2n + 3 3 < 0 87 aina, kun n > n 0 2 Olkoon x n
Sekalaiset tehtävät, 11. syyskuuta 2005, sivu 1 / 13. Tehtäviä
Sekalaiset tehtävät, 11. syyskuuta 005, sivu 1 / 13 Tehtäviä Tehtävä 1. Johda toiseen asteen yhtälön ax + bx + c = 0, a 0 ratkaisukaava. Tehtävä. Määrittele joukon A R pienin yläraja sup A ja suurin alaraja
Tehtävä 2 Todista luennoilla annettu kaava: jos lukujen n ja m alkulukuesitykset. ja m = k=1
Luuteoria Harjoitus 1 evät 2011 Alesis Kosi 1 Tehtävä 1 Näytä: jos a ja b ovat positiivisia oonaisluuja joille (a, b) = 1 ja a c, seä lisäsi b c, niin silloin ab c. Vastaus Kosa a c, niin jaollisuuden
Joulukuun vaativammat valmennustehtävät ratkaisut
Jouluuun vaativammat valmennustehtävät rataisut. Tapa. Pätee z = x + y, joten z = (x + y = x + y, josta sieventämällä seuraa xy 4x 4y + 4 = 0. Siispä (x (y =. Tästä yhtälöstä saadaan suoraan x =, y = 4
3 Lukujonon raja-arvo
ANALYYSI A, HARJOITUSTEHTÄVIÄ, KEVÄT 208 3 Lukujonon raja-arvo 3 Määritelmä Osoita, että 6n + 2n + 3 3 < 4 n ja määritä jokin sellainen n 0 Z +, että 6n + 2n + 3 3 < 0 87 aina, kun n > n 0 2 Olkoon x n
Sisältö. Sarjat 10. syyskuuta 2005 sivu 1 / 17
Sarjat 10. syyskuuta 2005 sivu 1 / 17 Sisältö 1 Peruskäsitteistöä 2 1.1 Määritelmiä 2 1.2 Perustuloksia 4 2 Suppenemistestejä positiivitermisille sarjoille 5 3 Itseinen ja ehdollinen suppeneminen 8 4 Alternoivat
funktiojono. Funktiosarja f k a k (x x 0 ) k
SARJAT JA DIFFERENTIAALIYHTÄLÖT 2003 3 4. Funtiosarjat Tässä luvussa esitettävissä funtiosarjojen tulosissa yhdistämme luujen 3 teoriaa. Esimeri 4.. Geometrinen sarja x suppenee aiilla x ], [ ja hajaantuu
Sarjojen suppenemisesta
TAMPEREEN YLIOPISTO Pro gradu -tutkielma Terhi Mattila Sarjojen suppenemisesta Matematiikan ja tilastotieteen laitos Matematiikka Huhtikuu 008 Tampereen yliopisto Matematiikan ja tilastotieteen laitos
Matemaattisen analyysin tukikurssi
Matemaattisen analyysin tukikurssi 5. Kurssikerta Petrus Mikkola 10.10.2016 Tämän kerran asiat Raja-arvo ja toispuolinen raja-arvo Funktion suurin ja pienin arvo Lukujono Lukujonon suppeneminen Kasvava
Johdatus lukuteoriaan Harjoitus 1 syksy 2008 Eemeli Blåsten. Ratkaisuehdotelma
Johdatus luuteoriaan Harjoitus 1 ss 008 Eemeli Blåsten Rataisuehdotelma Tehtävä 1 Oloot a ja b positiivisia oonaisluuja. Osoita, että on olemassa siäsitteinen luu h ('luujen a ja b pienin hteinen jaettava',
Matematiikan tukikurssi
Matematiikan tukikurssi Kurssikerta 6 Sarjojen suppeneminen Kiinnostuksen kohteena on edelleen sarja a k = a + a 2 + a 3 + a 4 +... k= Tämä summa on mahdollisesti äärellisenä olemassa, jolloin sanotaan
2 Taylor-polynomit ja -sarjat
2 Taylor-polynomit ja -sarjat 2. Taylor-polynomi Taylor-polynomi P n (x; x 0 ) funtion paras n-asteinen polynomiapprosimaatio (derivoinnin annalta) pisteen x 0 lähellä. Maclaurin-polynomi: tapaus x 0 0.
M 2 M = sup E M 2 t. E X t = lim. niin martingaalikonvergenssilauseen oletukset ovat voimassa, eli löydämme satunnaismuuttujan M, joka toteuttaa ehdon
Matematiian ja tilastotieteen laitos Stoastiset differentiaaliyhtälöt Rataisuehdotelma Harjoituseen 7 1. Näytä, että uvaus M M M 2, un M 2 M = sup E M 2 t 2 t 0 on normi jouossa M 2 = { M : M on martingaali
MS-A0402 Diskreetin matematiikan perusteet Esimerkkejä ym., osa I
MS-A00 Disreetin matematiian perusteet Esimerejä ym., osa I G. Gripenberg Jouo-oppi ja logiia Todistuset logiiassa Indutioperiaate Relaatiot ja funtiot Funtiot Aalto-yliopisto. maalisuuta 0 Kombinatoriia
Kuinka määritellään 2 3?
Kuinka määritellään 2 3? y Nyt 3 = 1,7320508.... Luvut 3 2 x x 3 2 x 2 1 = 2, 2 1,7 3,2490, 2 1,73 3,3173, 2 1,732 3,3219,... ovat hyvin määriteltyjä koska näihin tarvitaan vain rationaalilukupotenssin
Analyysi 1. Harjoituksia lukuihin 1 3 / Syksy Osoita täsmällisesti perustellen, että joukko A = x 4 ei ole ylhäältä rajoitettu.
Analyysi Harjoituksia lukuihin 3 / Syksy 204. Osoita täsmällisesti perustellen, että joukko { 2x A = x ]4, [. x 4 ei ole ylhäältä rajoitettu. 2. Anna jokin ylä- ja alaraja joukoille { x( x) A = x ], [,
1 Reaaliset lukujonot
Jonot 10. syyskuuta 2005 sivu 1 / 5 1 Reaaliset lukujonot Reaaliset lukujonot ovat funktioita f : Z + R. Lukujonosta käytetään merkintää (a k ) k=1 tai lyhyemmin vain (a k). missä a k = f(k). Täten lukujonot
Konvergenssilauseita
LUKU 4 Konvergenssilauseita Lause 4.1 (Monotonisen konvergenssin lause). Olkoon (f n ) kasvava jono Lebesgueintegroituvia funktioita. Asetetaan f(x) := f n (x). Jos f n
Analyysi III. Jari Taskinen. 28. syyskuuta Luku 1
Analyysi III Jari Taskinen 28. syyskuuta 2002 Luku Sisältö Sarjat 2. Lukujonoista........................... 2.2 Rekursiivisesti määritellyt lukujonot.............. 8.3 Sarja ja sen suppenminen....................
Matematiikan tukikurssi, kurssikerta 5
Matematiikan tukikurssi, kurssikerta 5 1 Jonoista Matematiikassa jono (x n ) on yksinkertaisesti järjestetty, päättymätön sarja numeroita Esimerkiksi (1,, 3, 4, 5 ) on jono Jonon i:ttä jäsentä merkitään
IV. TASAINEN SUPPENEMINEN. f(x) = lim. jokaista ε > 0 ja x A kohti n ε,x N s.e. n n
IV. TASAINEN SUPPENEMINEN IV.. Funktiojonon tasainen suppeneminen Olkoon A R joukko ja f n : A R funktio, n =, 2, 3,..., jolloin jokaisella x A muodostuu lukujono f x, f 2 x,.... Jos tämä jono suppenee
MS-A0402 Diskreetin matematiikan perusteet
MS-A0402 Disreetin matematiian perusteet Osa 3: Kombinatoriia Riia Kangaslampi 2017 Matematiian ja systeemianalyysin laitos Aalto-yliopisto Kombinatoriia Summaperiaate Esimeri 1 Opetusohjelmaomiteaan valitaan
Tenttiin valmentavia harjoituksia
Tenttiin valmentavia harjoituksia Alla olevissa harjoituksissa suluissa oleva sivunumero viittaa Juha Partasen kurssimonisteen siihen sivuun, jolta löytyy apua tehtävän ratkaisuun. Funktiot Harjoitus.
DIFFERENTIAALI- JA INTEGRAALILASKENTA I.1. Ritva Hurri-Syrjänen/Syksy 1999/Luennot 6. FUNKTION JATKUVUUS
DIFFERENTIAALI- JA INTEGRAALILASKENTA I.1 Ritva Hurri-Syrjänen/Syksy 1999/Luennot 6. FUNKTION JATKUVUUS Huomautus. Analyysin yksi keskeisimmistä käsitteistä on jatkuvuus! Olkoon A R mielivaltainen joukko
Miten osoitetaan joukot samoiksi?
Miten osoitetaan joukot samoiksi? Määritelmä 1 Joukot A ja B ovat samat, jos A B ja B A. Tällöin merkitään A = B. Kun todistetaan, että A = B, on päättelyssä kaksi vaihetta: (i) osoitetaan, että A B, ts.
Matemaattinen Analyysi
Vaasan yliopisto, evät 05 / ORMS00 Matemaattinen Analyysi 6. harjoitus. Approsimoi toisen asteen polynomilla P(x) = b 0 +b x+b x oheisen tauluon muaisia havaintoja. (Teorian löydät opetusmonisteen sivuilta
Täydellisyysaksiooman kertaus
Täydellisyysaksiooman kertaus Luku M R on joukon A R yläraja, jos a M kaikille a A. Luku M R on joukon A R alaraja, jos a M kaikille a A. A on ylhäältä (vast. alhaalta) rajoitettu, jos sillä on jokin yläraja
MS-A010{3,4,5} (ELEC*, ENG*) Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Luento 2: Sarjat
MS-A010{3,4,5} (ELEC*, ENG*) Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Luento 2: Sarjat Pekka Alestalo, Jarmo Malinen Aalto-yliopisto, Matematiikan ja systeemianalyysin laitos September 13, 2017 Pekka Alestalo,
MS-A010{3,4} (ELEC*) Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Luento 2: Sarjat
MS-A010{3,4} (ELEC*) Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Luento 2: Sarjat Pekka Alestalo, Jarmo Malinen Aalto-yliopisto, Matematiikan ja systeemianalyysin laitos 14.9.2016 Pekka Alestalo, Jarmo Malinen
1 sup- ja inf-esimerkkejä
Alla olevat kohdat (erityisesti todistukset) ovat lähinnä oheislukemista reaaliluvuista, mutta joihinkin niistä palataan myöhemmin kurssilla. 1 sup- ja inf-esimerkkejä Kaarenpituus. Olkoon r: [a, b] R
J1 (II.6.9) J2 (X.5.5) MATRIISILASKENTA(TFM) MALLIT AV 6
MATRIISILASKENTA(TFM) MALLIT AV 6 J (II.6.9) Päättele, että avaruusvetorit a, b ja c ovat lineaarisesti riippuvat täsmälleen un vetoreiden virittämän suuntaissärmiön tilavuus =. Tuti tällä riteerillä ovato
MS-A010{2,3,4,5} (SCI, ELEC*, ENG*) Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Luento 2: Sarjat
M-A010{2,3,4,5} (CI, ELEC*, ENG*) Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Luento 2: arjat Pekka Alestalo, Jarmo Malinen Aalto-yliopisto, Matematiikan ja systeemianalyysin laitos eptember 12, 2018 Pekka
Sarja. Lukujonosta (a k ) k N voi muodostaa sen osasummien jonon (s n ): s 1 = a 1, s 2 = a 1 + a 2, s 3 = a 1 + a 2 + a 3,...,
Sarja Lukujonosta (a k ) k N voi muodostaa sen osasummien jonon (s n ): Määritelmä 1 s 1 = a 1, s 2 = a 1 + a 2, s 3 = a 1 + a 2 + a 3,..., n s n = a k. Jos osasummien jonolla (s n ) on raja-arvo s R,
(iv) Ratkaisu 1. Sovelletaan Eukleideen algoritmia osoittajaan ja nimittäjään. (i) 7 = , 7 6 = = =
JOHDATUS LUKUTEORIAAN (syksy 07) HARJOITUS 7, MALLIRATKAISUT Tehtävä Etsi seuraavien rationaalilukujen ketjumurtokehitelmät: (i) 7 6 (ii) 4 7 (iii) 65 74 (iv) 63 74 Ratkaisu Sovelletaan Eukleideen algoritmia
Derivaattaluvut ja Dini derivaatat
Derivaattaluvut Dini derivaatat LuK-tutkielma Helmi Glumo 2434483 Matemaattisten tieteiden laitos Oulun yliopisto Syksy 2016 Sisältö Johdanto 2 1 Taustaa 2 2 Määritelmät 4 3 Esimerkkejä lauseita 7 Lähdeluettelo
Perustehtävät. Kompleksitehtävät, 10/9/2005, sivu 1 / 10. Tehtävä 1. Sievennä 1.
Kompleksitehtävät, 10/9/2005, sivu 1 / 10 Perustehtävät Tehtävä 1. Sievennä 1. 2 5i 1+2i 2. ( 2 i 2) 150 Tehtävä 2. Olkoon P mielivaltainen reaalikertoiminen polynomi. Osoita, että jos luku z C toteuttaa
Luku kahden alkuluvun summana
Luu ahden aluluvun summana Juho Salmensuu Lahden Lyseon luio Matematiia 008 Tiivistelmä Tutielmassa tarastellaan ysymystä; uina monella eri tavalla annettu parillinen oonaisluu voidaan esittää ahden aluluvun
Positiivitermisten sarjojen suppeneminen
Positiivitermisten sarjojen suppeneminen Jono (b n ) n= on kasvava, jos b n+ b n kaikilla n =, 2,... Lemma Jokainen ylhäältä rajoitettu kasvava jono (b n ) n= raja-arvo on lim n b n = sup n Z+ b n. suppenee
Reaalilukujonoista ja niiden merkityksestä kouluopetuksessa
TAMPEREEN YLIOPISTO Pro gradu -tutkielma Anna-Kaisa Torvinen Reaalilukujonoista ja niiden merkityksestä kouluopetuksessa Matematiikan ja tilastotieteen laitos Matematiikka Syyskuu 2010 Tampereen yliopisto
Diskreetin matematiikan perusteet Laskuharjoitus 1 / vko 8
Diskreetin matematiikan perusteet Laskuharjoitus 1 / vko 8 Tuntitehtävät 1-2 lasketaan alkuviikon harjoituksissa ja tuntitehtävät 5- loppuviikon harjoituksissa. Kotitehtävät 3-4 tarkastetaan loppuviikon
TAMPEREEN YLIOPISTO Pro gradu -tutkielma. Hannu Pajula. Stirlingin luvuista
TAMPEREEN YLIOPISTO Pro gradu -tutielma Hannu Pajula Stirlingin luvuista Informaatiotieteiden ysiö Matematiia Maalisuu 2014 Tampereen yliopisto Informaatiotieteiden ysiö PAJULA, HANNU: Stirlingin luvuista
1 Supremum ja infimum
Pekka Alestalo, 2018 Tämä moniste täydentää reaalilukuja ja jatkuvia reaalifunktioita koskevaa kalvosarjaa lähinnä perustelujen ja todistusten osalta. Suurin osa määritelmistä jms. on esitetty jo kalvoissa,
1 sup- ja inf-esimerkkejä
Alla olevat kohdat (erityisesti todistukset) ovat lähinnä oheislukemista reaaliluvuista, mutta joihinkin niistä palataan myöhemmin kurssilla. 1 sup- ja inf-esimerkkejä Nollakohdan olemassaolo. Kaikki tuntevat
2017 = = = = = = 26 1
JOHDATUS LUKUTEORIAAN (syksy 2017) HARJOITUS 2, MALLIRATKAISUT Tehtävä 1. Sovella Eukleiden algoritmia ja (i) etsi s.y.t(2017, 753) (ii) etsi kaikki kokonaislukuratkaisut yhtälölle 405x + 141y = 12. Ratkaisu
Matematiikassa väitelauseet ovat usein muotoa: jos P on totta, niin Q on totta.
Väitelause Matematiikassa väitelauseet ovat usein muotoa: jos P on totta, niin Q on totta. Tässä P:tä kutsutaan oletukseksi ja Q:ta väitteeksi. Jos yllä oleva väitelause on totta, sanotaan, että P:stä
Todistusmenetelmiä Miksi pitää todistaa?
Todistusmenetelmiä Miksi pitää todistaa? LUKUTEORIA JA TO- DISTAMINEN, MAA11 Todistus on looginen päättelyketju, jossa oletuksista, määritelmistä, aksioomeista sekä aiemmin todistetuista tuloksista lähtien
8 Potenssisarjoista. 8.1 Määritelmä. Olkoot a 0, a 1, a 2,... reaalisia vakioita ja c R. Määritelmä 8.1. Muotoa
8 Potenssisarjoista 8. Määritelmä Olkoot a 0, a, a 2,... reaalisia vakioita ja c R. Määritelmä 8.. Muotoa a 0 + a (x c) + a 2 (x c) 2 + olevaa sarjaa sanotaan c-keskiseksi potenssisarjaksi. Selvästi jokainen
Todista raja-arvon määritelmään perustuen seuraava lause: Jos lukujonolle a n pätee lima n = a ja lima n = b, niin a = b.
2 Lukujonot 21 Lukujonon määritelmä 16 Fibonacci n luvut määritellään ehdoilla Osoita: 17 a 1 = a 2 = 1; a n+2 = a n+1 + a n, n N a n = 1 [( 1 + ) n ( 2 1 ) n ] 2 Olkoon a 1 = 3, a 2 = 6, a n+1 = 1 n (na
=p(x) + p(y), joten ehto (N1) on voimassa. Jos lisäksi λ on skalaari, niin
FUNKTIONAALIANALYYSI, RATKAISUT 1 KEVÄT 211, (AP) 1. Ovatko seuraavat reaaliarvoiset funktiot p : R 3 R normeja? Ovatko ne seminormeja? ( x = (x 1, x 2, x 3 ) R 3 ) a) p(x) := x 2 1 + x 2 2 + x 2 3, b)
VALIKOITUJA KOHTIA LUKUTEORIASTA
VALIKOITUJA KOHTIA LUKUTEORIASTA ARI LEHTONEN 1. Laajennettu Euleideen algoritmi 1.1. Jaoyhtälö. Oloot r 0, r 1 Z, r 0 r 1 > 0. Tällöin on olemassa ysiäsitteiset luvut q 1 ja r 2 Z siten, että r 0 = q
3. Täydellisyys ja Banachin avaruus. ominaisuutta sanotaan täydellisyydeksi. Toisena esimerkkinä mainitaan avaruus
FUNKTIONAALIANALYYSIN PERUSKURSSI 25 3. Täydellisyys ja Banachin avaruus Reaaliluujen jouo R (varustettuna normilla x y ) eroaa rataisevasti rationaaliluujen jouosta Q seuraavan ominaisuutensa perusteella:
Matematiikan johdantokurssi, syksy 2016 Harjoitus 11, ratkaisuista
Matematiikan johdantokurssi, syksy 06 Harjoitus, ratkaisuista. Valitse seuraaville säännöille mahdollisimman laajat lähtöjoukot ja sopivat maalijoukot niin, että syntyy kahden muuttujan funktiot (ks. monisteen
z z 0 (m 1)! g(m 1) (z0) k=0 Siksi kun funktioon f(z) sovelletaan Cauchyn integraalilausetta, on voimassa: sin(z 2 dz = (z i) n+1 k=0
TKK, Matematiian laitos v.pfaler/pursiainen Mat-.33 Matematiian perusurssi KP3-i sysy 2007 Lasuharjoitus 4 viio 40 Tehtäväsarja A viittaa aluviion ja L loppuviion tehtäviin. Valmistauu esittämään nämä
Sattuman matematiikkaa III
Sattuman matematiiaa III Kolmogorovin asioomat ja frevenssitulinta Tommi Sottinen Tutija Matematiian ja tilastotieteen laitos, Helsingin yliopisto Laboratoire de Probabilités et Modèles Aléatoires, Université
Matematiikan ja tilastotieteen laitos Reaalianalyysi I Harjoitus Malliratkaisut (Sauli Lindberg)
Matematiikan ja tilastotieteen laitos Reaalianalyysi I Harjoitus 4 9.4.-23.4.200 Malliratkaisut (Sauli Lindberg). Näytä, että Lusinin lauseessa voidaan luopua oletuksesta m(a)
Johdatus matemaattiseen päättelyyn
Johdatus matemaattiseen päättelyyn Maarit Järvenpää Oulun yliopisto Matemaattisten tieteiden laitos Syyslukukausi 2015 1 Merkintöjä 2 Todistamisesta 2 3 Joukko-oppia Tässä luvussa tarkastellaan joukko-opin
Raja-arvot ja jatkuvuus
Raja-arvot ja jatkuvuus 30. lokakuuta 2014 10:11 Suoraa jatkoa kurssille Johdatus reaalifunktioihin (MATP311) (JRF). Oheislukemista: Kilpeläinen: Analyysi 1, luvut 3-6, Spivak: Calculus, luvut 5-8, 22,
Johdatus lukuteoriaan Harjoitus 11 syksy 2008 Eemeli Blåsten. Ratkaisuehdotelma
Johdatus lukuteoriaan Harjoitus syksy 008 Eemeli Blåsten Ratkaisuehdotelma Tehtävä Todista ketjumurtoluvun peräkkäisille konvergenteille kaava ( ) n induktiolla käyttämällä jonojen ( ) ja ( ) rekursiokaavaa.
Esitetään tehtävälle kaksi hieman erilaista ratkaisua. Ratkaisutapa 1. Lähdetään sieventämään epäyhtälön vasenta puolta:
MATP00 Johdatus matematiikkaan Ylimääräisten tehtävien ratkaisuehdotuksia. Osoita, että 00 002 < 000 000. Esitetään tehtävälle kaksi hieman erilaista ratkaisua. Ratkaisutapa. Lähdetään sieventämään epäyhtälön
Alkulukujen harmoninen sarja
Alkulukujen harmoninen sarja LuK-tutkielma Markus Horneman Oiskelijanumero:2434548 Matemaattisten tieteiden laitos Oulun ylioisto Syksy 207 Sisältö Johdanto 2 Hyödyllisiä tuloksia ja määritelmiä 3. Alkuluvuista............................
Matematiikan tukikurssi
Matematiikan tukikurssi Kurssikerta 4 Jatkuvuus Jatkuvan funktion määritelmä Tarkastellaan funktiota f x) jossakin tietyssä pisteessä x 0. Tämä funktio on tässä pisteessä joko jatkuva tai epäjatkuva. Jatkuvuuden
Vastausehdotukset analyysin sivuainekurssin syksyn välikokeeseen
Vastausehdotukset analyysin sivuainekurssin syksyn 015 1. välikokeeseen Heikki Korpela November 1, 015 1. Tehtävä: funktio f : R R toteuttaa ehdot ax, kun x 1 f(x) x + 1, kun x < 1 Tutki, millä vakion
x k x j < ε Seuraavat kolme lausetta kertovat Cauchy jonojen perusominaisuudet. kaikilla n m ε. x k y + y x j < ε 2 + ε 2 = ε.
28 FUNKTIONAALIANALYYSIN PERUSKURSSI 3. Täydellisyys ja Banachin avaruus Reaaliluujen jouo R (varustettuna normilla x y ) eroaa rataisevasti rationaaliluujen jouosta Q seuraavan ominaisuutensa perusteella:
Ennen kuin mennään varsinaisesti tämän harjoituksen asioihin, otetaan aluksi yksi merkintätekninen juttu. Tarkastellaan differenssiyhtälöä
DEE-00 Lineaariset järjestelmät Harjoitus, rataisuehdotuset Ennen uin mennään varsinaisesti tämän harjoitusen asioihin, otetaan alusi ysi merintäteninen juttu Tarastellaan differenssiyhtälöä y y y 0 Vaihtoehtoinen
DIFFERENTIAALI- JA INTEGRAALILASKENTA I.1 1. ALUKSI. Joukko-oppia
DIFFERENTIAALI- JA INTEGRAALILASKENTA I.1 Ritva Hurri-Syrjänen/Syksy 1999/Luennot 1. ALUKSI Joukko-oppia Lyhenteitä ja merkintöjä. A = B A:sta seuraa B. Implikaatio. A B A ja B yhtäpitävät. Ekvivalenssi.
Sarjoja ja analyyttisiä funktioita
3B Sarjoja ja analyyttisiä funktioita 3B a Etsi funktiolle z z 5 potenssisarjaesitys kiekossa B0, 5. b Etsi funktiolle z z potenssisarjaesitys kiekossa, jonka keskipiste on z 0 4. Mikä on tämän potenssisarjan
Toispuoleiset raja-arvot
Toispuoleiset raja-arvot Määritelmä Funktiolla f on oikeanpuoleinen raja-arvo a R pisteessä x 0 mikäli kaikilla ɛ > 0 löytyy sellainen δ > 0 että f (x) a < ɛ aina kun x 0 < x < x 0 + δ; ja vasemmanpuoleinen
Vastaoletuksen muodostaminen
Vastaoletuksen muodostaminen Vastaoletus (Antiteesi) on väitteen negaatio. Sitä muodostettaessa on mietittävä, mitä tarkoittaa, että väite ei ole totta. Väite ja vastaoletus yhdessä sisältävät kaikki mahdolliset
(c) Määrää/Determine välillä/in the interval [1000, 10000] olevien 7. jaollisten kokonaislukujen lukumäärä/ number of integers divisible by 7.
![(c) Määrää/Determine välillä/in the interval [1000, 10000] olevien 7. jaollisten kokonaislukujen lukumäärä/ number of integers divisible by 7.](/thumbs/57/40917180.jpg "(c) Määrää/Determine välillä/in the interval [1000, 10000] olevien 7. jaollisten kokonaislukujen lukumäärä/ number of integers divisible by 7.")
Luuteorian perusteet Exercises/Harjoitusia 2016 1. Show by induction/osoita indutiolla, that/että Osoita, että a n 1 = (a 1)(a n 1 + a n 2 + + a + 1). a n + 1 = (a + 1)(a n 1 a n 2 + a + 1) jos 2 n. (c)
Esimerkki kaikkialla jatkuvasta muttei missään derivoituvasta funktiosta
Esimerkki kaikkialla jatkuvasta muttei missään derivoituvasta funktiosta Seminaariaine Miikka Rytty Matemaattisten tieteiden laitos Oulun yliopisto 2004 Matemaattista ja historiallista taustaa Tämän kappaleen
Todennäköisyyslaskenta IIa, syys lokakuu 2019 / Hytönen 1. laskuharjoitus, ratkaisuehdotukset
Todennäöisyyslasenta IIa, syys loauu 019 / Hytönen 1. lasuharjoitus, rataisuehdotuset 1. ( Klassio ) Oloot A ja B tapahtumia. Todista lasuaavat (a) P(A B) P(A) + P(B \ A), (b) P(B) P(A B) + P(B \ A), (c)
MS-A0102 Differentiaali- ja integraalilaskenta 1
MS-A0102 Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Riikka Korte (Pekka Alestalon kalvojen pohjalta) Aalto-yliopisto 24.10.2016 Sisältö Käytännön asiat Jonot Sarjat 1.1 Opettajat luennoitsija Riikka Korte
Induktiota käyttäen voidaan todistaa luonnollisia lukuja koskevia väitteitä, jotka ovat muotoa. väite P(n) on totta kaikille n = 0,1,2,...
Induktiotodistus Induktiota käyttäen voidaan todistaa luonnollisia lukuja koskevia väitteitä, jotka ovat muotoa väite P(n) on totta kaikille n = 0,1,2,.... Tässä väite P(n) riippuu n:n arvosta. Todistuksessa
KOMPLEKSIANALYYSI I KURSSI SYKSY 2012
KOMPLEKSIANALYYSI I KURSSI SYKSY 2012 RITVA HURRI-SYRJÄNEN 2. Kompleksitason topologiaa Kompleksianalyysi on kompleksiarvoisten kompleksimuuttujien funktioiden teoriaa. Tällä kurssilla käsittelemme vain
nyky-ymmärryksemme mukaan hajaantuvaan sarjaan luvun 1 2 kun n > N Huom! Määritelmä on aivan sama C:ssä ja R:ssä. (Kuva vain on erilainen.
Sarjaoppia Käsitellään kompleksi- ja reaalisarjat yhdessä. Reaalilukujen ominaisuuksista (kuten järjestys) riippuvat asiat tulevat lisämausteena mukaan. Kirjallisuutta: 1. [KRE] Kreyszig: Advanced Engineering
Funktiojonot ja funktiotermiset sarjat Funktiojono ja funktioterminen sarja Pisteittäinen ja tasainen suppeneminen
4. Funktiojonot ja funktiotermiset sarjat 4.1. Funktiojono ja funktioterminen sarja 60. Tutki, millä muuttujan R arvoilla funktiojono f k suppenee, kun Mikä on rajafunktio? a) f k () = 2k 2k + 1, b) f
STOKASTISET DIFFERENTIAALIYHTÄLÖT 7
STOKASTISET DIFFERENTIAALIYHTÄLÖT 7 1. Todennäöisyyslasennasta ja merinnöistä Palautamme seuraavassa lyhyesti mieleen todennäöisyyslasennan äsitteitä ja esittelemme myös muutamia urssilla äytettäviä merintätapoja.
Todistamisessa on tärkeää erottaa tapaukset, kun sääntö pätee joillakin tai kun sääntö pätee kaikilla. Esim. On olemassa reaaliluku x, jolle x = 5.
3.4 Kvanttorit Todistamisessa on tärkeää erottaa tapaukset, kun sääntö pätee joillakin tai kun sääntö pätee kaikilla. Esim. On olemassa reaaliluku x, jolle x = 5. Kaikilla reaaliluvuilla x pätee x+1 >
Hanoin tornit. Merkitään a n :llä pienintä tarvittavaa määrää siirtoja n:lle kiekolle. Tietysti a 1 = 1. Helposti nähdään myös, että a 2 = 3:
Hanoin tornit Oloot n ieoa asetettu olmeen tanoon uvan osoittamalla tavalla (uvassa n = 7). Siirtämällä yhtä ieoa errallaan, ieot on asetettava toiseen tanoon samaan järjestyseen. Isompaa ieoa ei missään
2.1. Tehtävänä on osoittaa induktiolla, että kaikille n N pätee n = 1 n(n + 1). (1)
Approbatur 3, demo, ratkaisut Sovitaan, että 0 ei ole luonnollinen luku. Tällöin oletusta n 0 ei tarvitse toistaa alla olevissa ratkaisuissa. Se, pidetäänkö nollaa luonnollisena lukuna vai ei, vaihtelee
Vastaus 1. Lasketaan joukkojen alkiot, ja todetaan, että niitä on 3 molemmissa.
Miten perustella, että joukossa A = {a, b, c} on yhtä monta alkiota kuin joukossa B = {d, e, f }? Vastaus 1. Lasketaan joukkojen alkiot, ja todetaan, että niitä on 3 molemmissa. Vastaus 2. Vertaillaan
= 5! 2 2!3! = = 10. Edelleen tästä joukosta voidaan valita kolme särmää yhteensä = 10! 3 3!7! = = 120
Tehtävä 1 : 1 Merkitään jatkossa kirjaimella H kaikkien solmujoukon V sellaisten verkkojen kokoelmaa, joissa on tasan kolme särmää. a) Jokainen verkko G H toteuttaa väitteen E(G) [V]. Toisaalta jokainen
Kompleksianalyysi, viikko 5
Kompleksianalyysi, viikko 5 Jukka Kemppainen Mathematics Division Kompleksiset jonot Aloitetaan jonon suppenemisesta. Määr. 1 Kompleksiluvuista z 1,z 2,...,z n,... koostuva jono suppenee kohti raja-arvoa
802328A LUKUTEORIAN PERUSTEET OSA II BASICS OF NUMBER THEORY PART II. Tapani Matala-aho MATEMATIIKKA/LUTK/OULUN YLIOPISTO
802328A LUKUTEORIAN PERUSTEET OSA II BASICS OF NUMBER THEORY PART II Tapani Matala-aho MATEMATIIKKA/LUTK/OULUN YLIOPISTO SYKSY 2016 Sisältö 1 KERTOMAT, BINOMIKERTOIMET 2 1.0.1 Kertoma/Factorial......................
4.3 Erillisten joukkojen yhdisteet
4.3 Erillisten jouojen yhdisteet Ongelmana on pitää yllä ooelmaa S 1,..., S perusjouon X osajouoja, jota voivat muuttua ajan myötä. Rajoitusena on, että miään alio x ei saa uulua useampaan uin yhteen jouoon.
Funktiot ja raja-arvo. Pekka Salmi
Funktiot ja raja-arvo Pekka Salmi Versio 0.3 13. lokakuuta 2017 Johdanto Tämä moniste on keskeneräinen... 1 1 Reaaliluvut 1.1 Lukujoukot Lukujoukoista käytettään seuraavia merkintöjä: N = {0, 1, 2, 3,...}
Matematiikan tukikurssi
Matematiikan tukikurssi Kertausluento 2. välikokeeseen Toisessa välikokeessa on syytä osata ainakin seuraavat asiat:. Potenssisarjojen suppenemissäde, suppenemisväli ja suppenemisjoukko. 2. Derivaatan
Tehtävä 4 : 2. b a+1 (mod 3)
Tehtävä 4 : 1 Olkoon G sellainen verkko, jonka solmujoukkona on {1,..., 9} ja jonka särmät määräytyvät oheisen kuvan mukaisesti. Merkitään lisäksi kirjaimella A verkon G kaikkien automorfismien joukkoa,
on Abelin ryhmä kertolaskun suhteen. Tämän joukon alkioiden lukumäärää merkitään
5. Primitiivinen alkio 5.1. Täydennystä lukuteoriaan. Olkoon n Z, n 2. Palautettakoon mieleen, että kokonaislukujen jäännösluokkarenkaan kääntyvien alkioiden muodostama osajoukko Z n := {x Z n x on kääntyvä}
Miten perustella, että joukossa A = {a, b, c} on yhtä monta alkiota kuin joukossa B = {d, e, f }?
Miten perustella, että joukossa A = {a, b, c} on yhtä monta alkiota kuin joukossa B = {d, e, f }? Miten perustella, että joukossa A = {a, b, c} on yhtä monta alkiota kuin joukossa B = {d, e, f }? Vastaus
Kaikki kurssin laskuharjoitukset pidetään Exactumin salissa C123. Malliratkaisut tulevat nettiin kurssisivulle.
Kombinatoriikka, kesä 2010 Harjoitus 1 Ratkaisuehdotuksia (RT (5 sivua Kaikki kurssin laskuharjoitukset pidetään Exactumin salissa C123. Malliratkaisut tulevat nettiin kurssisivulle. 1. Osoita, että vuoden
Matematiikan tukikurssi, kurssikerta 3
Matematiikan tukikurssi, kurssikerta 3 1 Epäyhtälöitä Aivan aluksi lienee syytä esittää luvun itseisarvon määritelmä: { x kun x 0 x = x kun x < 0 Siispä esimerkiksi 10 = 10 ja 10 = 10. Seuraavaksi listaus