1 Jonot. 2 Sarjat. 3 Jatkuvuus. 4 Derivaatta. 5 Taylor-polynomit ja -sarjat. 1.2 Jonot. jossa

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Koko: px
Aloita esitys sivulta:

Download "1 Jonot. 2 Sarjat. 3 Jatkuvuus. 4 Derivaatta. 5 Taylor-polynomit ja -sarjat. 1.2 Jonot. jossa"

Transkriptio

1 Sisältö MS-AX Differentili- j integrlilskent Pekk Alestlo Alto-yliopisto.9.26 Nämä klvot sisältävät otsikoss minitun kurssin keskeisen mterilin, mutt myös pljon oheislukemist. Luennoill voidn käsitellä myös täydentäviä esimerkkejä, kosk klvot sisältävät vin yhden, usein mhdollisimmn yksinkertisen, esimerkin kustkin iheest. Jonot 2 Srjt 3 Jtkuvuus 4 Derivtt 5 Tylor-polynomit j -srjt 6 Alkeisfunktiot 7 Pint-l 8 Integrli 9. kertluvun differentiliyhtälö 2. kertluvun differentiliyhtälö Pekk Alestlo (Alto-yliopisto) MS-AX Differentili- j integrlilskent.9.26 / 2 Pekk Alestlo (Alto-yliopisto) MS-AX Differentili- j integrlilskent / 2. Lukujoukot.2 Jonot Luonnollisten lukujen joukko N = {, 2, 3,... }. N = {,, 2, 3,... } = N {}. Kokonislukujen joukko Z = {,,, 2, 2,... }. Rtionlilukujen joukko Q = {p/q p Z, q N}. Relilukujen joukko R. Täsmällinen konstruointi plutuu rtionlilukuihin, joss eri mhdollisuuksi: Dedekindin leikkukset, rtionliset Cuchy-jonot, desimlipproksimtiot. Intuitiivisesti helpoin vihtoehto on jtell relilukuj desimliesitysten kutt. Suurin os reliluvuist ei ole rtionlisi, esimerkiksi 2, π, Neperin luku e. Lukujonoll trkoitetn ääretöntä jono relilukuj n R, kun indeksi n N. Merkitään ( n ) n N = ( n ) n= = (, 2, 3,... ). Lukujonon täsmällinen tulkint on funktio f : N R, jolle f (n) = n. Jonon indeksöinti voi lk myös jostkin muust rvost kuin. Jos indeksin lkurvo ei ole tärkeä ti tilnne on muuten selvä, voidn käyttää merkintää ( n ). Joisskin sovelluksiss esiintyy myös jonoj, joiden indeksijoukkon on kikkien kokonislukujen joukko Z. Pekk Alestlo (Alto-yliopisto) MS-AX Differentili- j integrlilskent / 2 Pekk Alestlo (Alto-yliopisto) MS-AX Differentili- j integrlilskent / 2.2 Käytännössä.2 Perusongelmt Jonoj voidn määritellä ntmll yleisen termin luseke; esimerkiksi n = 2 n, kun n N lukujono (2, 4, 8, 6,... ). rekursiivisesti plutuskvojen vull, erityisesti moniss numeerisiss menetelmissä. Esimerkiksi f =, f =, f n = f n 2 + f n, kun n 2 Fibonccin lukujono (,,, 2, 3, 5,... ). tekemällä mittuksi jostkin systeemistä; esimerkiksi äänen voimkkuus tsisin ikvälein (idelisoitun äärettömäksi jonoksi). Mitä jonon ominisuuksi sdn selville yleisen termin ti plutuskvojen vull? Miten plutuskvst sdn yleisen termin luseke? Esimerkiksi Fibonccin jonolle joss f n = 5 ( ϕ n ( ϕ) n), ϕ = on ns. kultisen leikkuksen suhde. Pekk Alestlo (Alto-yliopisto) MS-AX Differentili- j integrlilskent / 2 Pekk Alestlo (Alto-yliopisto) MS-AX Differentili- j integrlilskent / 2.2 Jonojen ominisuuksi Määritelmä. Lukujono ( n ) on ylhäältä rjoitettu, jos on olemss sellinen C R, että n C kikill n lhlt rjoitettu, jos on olemss sellinen c R, että n c kikill n rjoitettu, jos se on sekä ylhäältä että lhlt rjoitettu nousev, jos n+ n kikill n lskev, jos n+ n kikill n monotoninen, jos se on nousev ti lskev.3 Suppeneminen I Määritelmä.2 Lukujono ( n ) suppenee kohti rj-rvo L R, jos lusekkeen n L rvo lähestyy noll, kun n ; täsmällisemmin: Jokist ε > vst sellinen indeksi n ε N, että n L < ε in, kun n n ε. Tällöin merkitään lim n = L ti lim n = L ti lyhyesti n L. Jos lukujono ei suppenee, niin se hjntuu. Huom: n L = jonon pisteen n j rj-rvon L välinen etäisyys: n L < ε L ε < n < L + ε. Pekk Alestlo (Alto-yliopisto) MS-AX Differentili- j integrlilskent / 2 Pekk Alestlo (Alto-yliopisto) MS-AX Differentili- j integrlilskent / 2

2 .3 Suppeneminen II Ide: Mitä pienempi ε, sitä suurempi n ε trvitn. n L+ε L L ε n ε n.3 Täydellisyysksiom Relilukujen joukon erott rtionlilukujen joukost Täydellisyysksiom: Nousev j ylhäältä rjoitettu relilukujono ( n ) n N suppenee. Täydellisyysksiom voidn muotoill eri tvoill. Aiheest lisää kurssill MS-C54. Aksiom trjo mhdollisuuden reliluvun täsmälliseen määritelmään: Reliluku n,d d 2..., joss kokonisos n on kokonisluku j desimlit d, d 2, {,, 2,..., 9}, on monotonisen rtionlilukujonon (n; n,d ; n,d d 2 ; n,d d 2 d 3,... ) rj-rvo. Rtionlijonojen kohdll ongelm on se, ettei rj-rvo ole in rtionliluku! Pekk Alestlo (Alto-yliopisto) MS-AX Differentili- j integrlilskent / 2 Pekk Alestlo (Alto-yliopisto) MS-AX Differentili- j integrlilskent.9.26 / 2.3 Yleisiä tuloksi Lskev j lhlt rjoitettu jono suppenee. Suppenev jono on rjoitettu. Suppiloperite: Jos n b n c n jostkin indeksistä lken j lim n = lim c n = L, niin jono (b n ) suppenee j lim b n = L. Geometrinen jono (q n ) suppenee, jos suhdeluku < q, jolloin sen rj-rvo on joko ti. Muiss tpuksiss geometrinen jono hjntuu. Jonon suppenemist kohti noll voi tutki lusekkeen n+ / n vull: jos jostkin indeksistä lken on n+ / n q j q <, niin lim n =. Tämä seur khdest edellisestä kohdst. Pekk Alestlo (Alto-yliopisto) MS-AX Differentili- j integrlilskent.9.26 / 2.3 Lskusääntöjä I Luse.3 Jos lim n =, lim b n = b j c R, niin lim ( n + b n ) = + b, lim (c n) = c, lim ( nb n ) = b, lim ( n/b n ) = /b, jos b. Huom: Viimeisen kohdn oletuksest b seur, että b n jostkin indeksistä lken. Pekk Alestlo (Alto-yliopisto) MS-AX Differentili- j integrlilskent / 2.3 Lskusääntöjä II Perustelu: Ensimmäinen kv perustuu epäyhtälöön ( n + b n ) ( + b) = ( n ) + (b n b) n + b n b. Toinen kv seur yhtälöstä c n c = c n. Kolmnnen kvn kohdll käytetään epäyhtälöä n b n b = ( n b n n b) + ( n b b) n b n b + n b j sitä, että n C jollkin vkioll C. Neljännen kvn kohdll osoitetn luksi, että /b n /b, j käytetään sen jälkeen tulokv..3 Lskusääntöjä III Esimerkki.4 3n 2 + 4n Lske rj-rvo lim n 2 +. Rtkisu: Kosk 3n 2 + 4n n 2 + j 4 lim n =, lim niin rj-rvon lskusääntöjen mukn = n2 (3 + 4/n) n 2 ( + /n 2 ) = 3 + 4/n + /n 2 n 2 =, 3n 2 + 4n lim n 2 + = = 3. Pekk Alestlo (Alto-yliopisto) MS-AX Differentili- j integrlilskent / 2 Pekk Alestlo (Alto-yliopisto) MS-AX Differentili- j integrlilskent / 2.3 Eräitä rj-rvoj.3 Ympyrän krenpituus j kulm I lim n =, kun > lim n n = lim ( + n) n = e = Neperin luku 2, Tähän pltn myöhemmin. Stirlingin kv (jolle ei helppo todistust!): Krenpituus yksikköympyrällä 2 + y 2 = määritellään seurvll tvll: Jetn tutkittv kri tsvälisesti 2 n :ään osn j lsketn vstvn murtoviivn pituus n. Näin sdn nousev j ylhäältä rjoitettu jono, jonk rj-rvo on kyseessä olevn kren pituus. lim n! =. 2πn (n/e) n Ide: Ensimmäinen seur toisest suppiloperitteen vull. Toisen kohdll merkitään n = n n > j sovelletn binomikv: n = ( + n ) n = + n n + n(n ) 2 n/2 + > + n(n ) 2 n/2, joten < n < 2/n. Väite seur tästä suppiloperitteen vull. Pekk Alestlo (Alto-yliopisto) MS-AX Differentili- j integrlilskent / 2 Pekk Alestlo (Alto-yliopisto) MS-AX Differentili- j integrlilskent / 2

3 .3 Ympyrän krenpituus j kulm II.3 Rj-rvon yleistykset Määritelmä.5 Luku π on yksikköympyrän puolikkn krenpituus. Krenpituuden vull määritellään kulmn yksikkö rdini (lyh. rd), jok on dimensioton. Trigonometriset funktiot sin j cos määritellään yksikköympyrän krenpituuden vull kikille R. (cos,sin) Myös käsitteet voidn määritellä täsmällisesti. Esimerkiksi lim n = j lim n = lim n = jokist luku M R vst sellinen indeksi n M N, että n M in, kun n n M. Snotn: Jono ( n ) hjntuu kohti ääretöntä. Pekk Alestlo (Alto-yliopisto) MS-AX Differentili- j integrlilskent / 2 Pekk Alestlo (Alto-yliopisto) MS-AX Differentili- j integrlilskent / 2 2. Srj 2. Indeksöinti Lukujonost ( k ) k N voidn muodost sen ossummien jono (s n ): s =, s 2 = + 2, s 3 = ,..., n s n = n = k. Määritelmä 2. Jos ossummien jonoll (s n ) on rj-rvo s R, niin snotn, että jonost ( k ) muodostettu srj suppenee j sen summ on s. Tällöin merkitään = k = lim n k = s. Ossummt knntt indeksöidä smll tvll kuin jono ( k ); esim. jonon ( k ) k= ossummt ovt s =, s = + jne. Suppenevn srjn voidn tehdä summusindeksin siirtoj: esim. Konkreettisesti: k = k+ = k. k= k=2 k 2 = = (k + ) 2 k= Pekk Alestlo (Alto-yliopisto) MS-AX Differentili- j integrlilskent / 2 Pekk Alestlo (Alto-yliopisto) MS-AX Differentili- j integrlilskent / 2 2. Srjn hjntuminen 2.2 Geometrinen srj I Jos srj ei suppene, niin se hjntuu. Tämä voi tphtu kolmell eri tvll: (i) ossummt lähestyvät ääretöntä; (ii) ossummt lähestyvät miinus-ääretöntä; (iii) ossummien jono heilhtelee niin, ettei rj-rvo ole. Hjntuvn srjn tpuksess merkintä k ei oikestn trkoit mitään. Usein sovitn sen trkoittvn ossummien jono, jok on in hyvin määritelty. Monet srjoihin liittyvät kummllisuudet (esim. = -todistus) johtuvt siitä, että srjn summminen tulkitn opertioksi, joss kikki jonon lkiot lsketn yhteen smll kert. Näin ei ole, vn summ lsketn ossumminen rj-rvon. Tämän vuoksi os äärellisten summien lskusäännöistä ei enää päde srjoille. Joisskin tpuksiss esimerkiksi srjn summ voi muuttu, jos termien järjestystä vihdetn. Luse 2.2 Geometrinen srj n q k k= suppenee, jos q < (ti = ), jolloin sen summ on niin srj hjntuu. n Perustelu: Srjn ossummille pätee seur. Yleisemmin q k = k=i qi q k= q. Jos q, q k = ( qn+ ), jost väite q srjn. termi =, kun q <. q Pekk Alestlo (Alto-yliopisto) MS-AX Differentili- j integrlilskent / 2 Pekk Alestlo (Alto-yliopisto) MS-AX Differentili- j integrlilskent / Geometrinen srj II Esimerkki 2.3 Lske srjn summ. Rtkisu: Kosk 3 4 k+ 3 4 k+ = 3 ( ) k 4, 4 niin kyseessä on geometrinen srj. Sen summksi sdn 2.2 Lskusääntöjä I Luse 2.4 Suppenevien srjojen ominisuuksi: ( k + b k ) = k + b k (c k ) = c k, kun c R on vkio Perustelu: Seur vstvist jonojen rj-rvojen ominisuuksist. 3 4 /4 /4 = 4. Pekk Alestlo (Alto-yliopisto) MS-AX Differentili- j integrlilskent / 2 Pekk Alestlo (Alto-yliopisto) MS-AX Differentili- j integrlilskent / 2

4 2.2 Lskusääntöjä II 2.2 Lskusääntöjä III Luse 2.5 Jos k suppenee, niin lim k =. k Kääntäen: Jos lim k k, niin srj k hjntuu. Perustelu: Jos srjn summ on s, niin k = s k s k s s =. Huom: Ominisuuden lim k k = vull ei void perustell srjn suppenemist; vrt. seurvt esimerkit. Esimerkki 2.6 Tutki srjn suppenemist. Rtkisu: k k + = Srjn yleisen termin rj-rvo lim k ei ole noll, joten srj hjntuu. k k + = Pekk Alestlo (Alto-yliopisto) MS-AX Differentili- j integrlilskent / 2 Pekk Alestlo (Alto-yliopisto) MS-AX Differentili- j integrlilskent / Hrmoninen srj 2.2 Positiiviset srjt I Esimerkki 2.7 Hrmoninen srj k = hjntuu, vikk sen yleisen termin k = /k rj-rvo on noll. Rtkisu: Ktso lkeellinen perustelu esim. Mtemtiikklehti Solmust Toinen tp integrlin vull. Srjn summn lskeminen on usein hnkl ti mhdotont (muuten kuin numeerisen likirvon). Moniss tilnteiss on kuitenkin tärkeintä tietää, suppeneeko vi hjntuuko tutkittv srj. Määritelmä 2.8 Srj p k on positiivinen (ti positiiviterminen), jos p k kikill k. Positiivisille srjoille suppenemisen tutkiminen on suorviivist: Luse 2.9 Positiivinen srj suppenee täsmälleen silloin, kun sen ossummien jono on ylhäältä rjoitettu. Syy: Positiivisen srjn ossummien jono on nousev. Pekk Alestlo (Alto-yliopisto) MS-AX Differentili- j integrlilskent / 2 Pekk Alestlo (Alto-yliopisto) MS-AX Differentili- j integrlilskent / Positiiviset srjt II Esimerkki 2. Osoit, että ylihrmonisen srjn k 2 ossummille on voimss s n < 2 kikill n, joten srj suppenee. Rtkisu: Perustuu kvn k 2 < k(k ) = k k, kun k 2; vrt. pitkän mtemtiikn ylioppilskokeen tehtävä 5/kevät 25. Toinen tp integrlilskennn vull. Leonhrd Euler keksi v. 735 sin-funktion tulokehitelmän vull, että srjn summ on π 2 /6. Pekk Alestlo (Alto-yliopisto) MS-AX Differentili- j integrlilskent / Itseinen suppeneminen I Määritelmä 2. Srj k suppenee itseisesti, jos positiivinen srj k suppenee. Luse 2.2 Itseisesti suppenev srj suppenee, j tällöin k k. Perustelun ide (ilmn yleistä mjornttiperitett!): Tutkitn erikseen positiivist j negtiivist os: Olkoon b k = m( k, ) j c k = min( k, ). Kosk b k, c k k, niin positiiviset srjt b k j ck suppenevt edellisen luseen perusteell. Lisäksi k = b k c k, joten k on suppenevien srjojen erotuksen suppenev. Pekk Alestlo (Alto-yliopisto) MS-AX Differentili- j integrlilskent / Itseinen suppeneminen II Esimerkki 2.3 Tutki vuorottelevn srjn ( ) k+ k 2 = suppenemist. Rtkisu: Kosk ( ) k+ k 2 = j ylihrmoninen srj k2 k 2 suppenee, niin tutkittv srj suppenee itseisesti. Näin ollen se suppenee myös tvllisess mielessä. 2.2 Vuorottelev hrmoninen srj I Itseinen suppeneminen j (tvllinen) suppeneminen ovt kuitenkin eri käsitteitä: Esimerkki 2.4 Vuorottelev hrmoninen srj ( ) k+ = k suppenee, mutt ei itseisesti (vrt. hrmoninen srj). Rtkisu: (Ide) Piirretään ossummien jonon (s n ) kuvj (seurv sivu) j tutkitn erikseen prillisten j prittomien indeksien ossummi s 2n j s 2n+. Srjn summ on ln 2, jok sdn integroimll geometrisen srjn summkv sopivll tvll; vrt. hrjoitukset? Pekk Alestlo (Alto-yliopisto) MS-AX Differentili- j integrlilskent / 2 Pekk Alestlo (Alto-yliopisto) MS-AX Differentili- j integrlilskent / 2

5 2.2 Vuorottelev hrmoninen srj II 2.3 Mjorntti j minorntti I Edellisen yleistyksenä sdn Luse 2.5 Mjornttiperite: Jos k p k kikill k j p k suppenee, niin myös k suppenee. Minornttiperite: Jos p k k kikill k j p k hjntuu, niin myös k hjntuu. ensimmäistä ossumm (pisteet yhdistetty jnoill) Mjorntin perustelu: Kosk k = k ( k k ) j k k 2 k, niin srj k suppenee khden suppenevn positiivisen srjn erotuksen. Tässäkin trvitn pun lkeellisemp positiivisten srjojen mjornttiperitett; kyseessä ei ole kehäpäättely! Minorntin perustelu: Oletuksist seur, että srjn k ossummt hjntuvt kohti ääretöntä. Pekk Alestlo (Alto-yliopisto) MS-AX Differentili- j integrlilskent / 2 Pekk Alestlo (Alto-yliopisto) MS-AX Differentili- j integrlilskent / Mjorntti j minorntti II Esimerkki 2.6 Tutki srjojen suppenemist. Rtkisu: Kosk + k 3 j k < + k 3 < k 3 k 2 kikill k N, niin ensimmäinen srj suppenee mjornttiperitteen nojll. Toislt kikill k N, joten jälkimmäisellä srjll on k k minornttin hjntuv hrmoninen srj. Siispä jälkimmäinen srj hjntuu. Pekk Alestlo (Alto-yliopisto) MS-AX Differentili- j integrlilskent / Suhdetesti Käytännössä tärkein tp suppenemisen tutkimiseen perustuu ns. suhdetestiin, joss srjn termejä verrtn sopivn geometriseen srjn: Luse 2.7 Jos jostkin indeksistä lken on voimss k+ k Q <, niin srj k suppenee (j suppenemisnopeus vst geometrist srj Q k ti on vieläkin suurempi). Perustelu: Srjn lku ei vikut sen suppenemiseen, joten epäyhtälö voidn olett kikille indekseille. Tästä seur k Q k Q 2 k 2 Q k, joten srjlle sdn suppenev geometrinen mjorntti. Pekk Alestlo (Alto-yliopisto) MS-AX Differentili- j integrlilskent / Suhdetestin rj-rvomuoto I 2.3 Suhdetestin rj-rvomuoto II Luse 2.8 Jos on olemss rj-rvo lim k+ k k = q, niin srj k suppenee, jos q <, hjntuu, jos q >, voi oll suppenev ti hjntuv, jos q =. Perustelu: Jos q <, niin vlitsemll rj-rvon määritelmässä ε = ( q)/2 > sdn jostkin indeksistä n ε lken k+ / k < q + ε = (q + )/2 = Q <. Viimeisessä kohdss ei siis sd mitään tieto suppenemisest. Näin käy mm. hrmonisen (hjntuv!) j ylihrmonisen (suppenev!) srjn kohdll. Pekk Alestlo (Alto-yliopisto) MS-AX Differentili- j integrlilskent / 2 Esimerkki 2.9 Tutki srjn suppenemist. Rtkisu: ( ) k+ k 2 k = Tässä k = ( ) k+ k/2 k, joten k+ k = ( ) k+2 (k + )/2 k+ ( ) k+ k/2 k = k + 2k kun k. Suhdetestin perusteell srj suppenee. = 2 + 2k 2 <, Pekk Alestlo (Alto-yliopisto) MS-AX Differentili- j integrlilskent / 2 3. Fuktiot 3. Erilisi funktioit Tässä luvuss käsitellään relikselin osjoukoiss määriteltyjä funktioit f : A R. Yleensä funktion määrittelyjoukko M f = A on jokin väli, muttei in. Avoin väli: ], b[ ti ], [ ti ], b[ ti ], [ = R. Avoimi välejä merkitään joskus myös krisulkujen vull. Suljettu väli: [, b]. Puolivoimet välit: muoto [, b[ ti ], b]. Merkintöjä yksinkertistv sopimus: [, b] trkoitt in suljettu väliä, jonk päätepisteet ovt, b R riippumtt siitä, mikä on lukujen j b suuruusjärjestys. Smoin muiden välien kohdll. n-ulotteinen vruus R n = {(, 2,..., n ) k R, k =, 2,..., n}. Tpuksess n = 2 pisteitä merkitään usein (, y) j tpuksess n = 3 muodoss (, y, z). Yhden muuttujn funktio f : A R, kun A R Tsokäyrän prmetrisointi f : [, b] R 2, jolloin f(t) = ((t), y(t)). Avruuskäyrän prmetrisointi f : [, b] R 3, jolloin f(t) = ((t), y(t), z(t)). Usen muuttujn funktio (sklrikenttä) f : A R, kun A R n ; funktion rvo merkitään f (, y) tpuksess n = 2 Vektorikenttä F: A R k, kun A R n Pekk Alestlo (Alto-yliopisto) MS-AX Differentili- j integrlilskent / 2 Pekk Alestlo (Alto-yliopisto) MS-AX Differentili- j integrlilskent / 2

6 3.2 Jtkuvuus I 3.2 Jtkuvuus II Funktion jtkuvuus määritellään usein rj-rvon vull. Jtkuvuus on kuitenkin rj-rvo yksinkertisempi käsite, joten loitetn siitä. Muist: Jos, b R, niin luseke b on pisteiden (= lukujen) j b välinen etäisyys. Määritelmä 3. Olkoon A R j f : A R funktio. Funktio f on jtkuv pisteessä A, kun pätee: Jokist ε > vst sellinen δ >, että f() +ε f( ) f() ε f() f () f () < ε in, kun A j < δ. Ide: Kun ε pienenee, niin δ = δ ε pienenee (jos jtkuvuus voimss). δ +δ Pekk Alestlo (Alto-yliopisto) MS-AX Differentili- j integrlilskent / 2 Pekk Alestlo (Alto-yliopisto) MS-AX Differentili- j integrlilskent / Jtkuvuus III Usein funktion määrittelyjoukko A on jokin väli. Tällöin jtkuvuutt voidn tutki määritelmän vull myös väliin kuuluvss päätepisteessä; ehto A on olenninen. Jos f on jtkuv jokisess määrittelyjoukkons pisteessä, niin se on jtkuv joukoss A (ti lyhyesti: jtkuv). Funktion jtkuvuus voidn määritellä myös jonojen vull. Seurv ehto on yhtäpitävä vrsinisen ε δ-määritelmän knss: Funktio f : A R on jtkuv pisteessä A, täsmälleen silloin, kun pätee: Jos jonolle ( n ) on voimss n A kikill n j lim n =, niin silloin lim f ( n ) = f (). Jonojen vull kirjoitettun jtkuvuus trkoitt siis yhtälöä 3.2 Jtkuvuus IV Jtkuvi funktioit ovt esimerkiksi polynomit: P() = c n n + c n n + + c + c ; rtionlifunktiot: R() = P()/Q(), kun P j Q ovt polynomej; juurifunktiot: f () = p/q, kun ; trigonometriset funktiot sin, cos, tn j cot; jtkuvien funktioiden summt, tulot j osmäärät (määrittelyjoukko!); jtkuvien funktioiden yhdistetyt funktiot. Perustelut suorviivisi, kun jtkuvuutt tutkitn edellisen sivun jono-version vull: tulokset plutuvt jonojen rj-rvojen ominisuuksiin. lim f ( n) = f ( lim ) n. Pekk Alestlo (Alto-yliopisto) MS-AX Differentili- j integrlilskent / 2 Pekk Alestlo (Alto-yliopisto) MS-AX Differentili- j integrlilskent / Jtkuvuus V Sinin j kosinin jtkuvuus geometrisesti yksikköympyrän vull. ( cos y, siny) y sin y sin < y (cos, sin ) y 3.3 Mksimi j minimi Olkoon f : A R. Funktioll f on pisteessä A mksimi eli suurin rvo, jos f () f ( ) kikill A. Merkitään m{f () A} ti m A f (). minimi eli pienin rvo pisteessä A, jos f () f ( ) kikill A. Merkitään min{f () A} ti min A f (). cos cosy < y Muuttujn rvot j ovt funktion f äärirvokohti. Funktion rvot f ( ) j f ( ) ovt funktion äärirvot. Pekk Alestlo (Alto-yliopisto) MS-AX Differentili- j integrlilskent / 2 Pekk Alestlo (Alto-yliopisto) MS-AX Differentili- j integrlilskent / Ominisuuksi 3.4 Funktion rj-rvo I perustulos: Suljetull välillä määritellyllä jtkuvll funktioll on mksimi j minimi joisskin välin pisteissä. II perustulos (Jtkuvien funktioiden välirvoluse): Suljetull välillä I määritelty jtkuv funktio s kikki rvot, jotk ovt sen minimin j mksimin välissä. Toisin snoen: funktion rvojoukko f [I ] = {f () I } on myös väli. Tässä muodoss väite pätee myös voimille ti puolivoimille väleille I (jolloin mksimi ti minimiä ei in ole). Erityisesti: Jos f : [, b] R on jtkuv j f ()f (b) <, niin funktioll f on nollkoht voimell välillä ], b[. Näitä sioit käsitellään yleisemmin kurssill MS-C54 Euklidiset vruudet, joss ne myös todistetn. Jos A R j f : A R, niin f :n käyttäytymistä pisteen R lähellä voidn tutki myös funktion rvost f ( ) välittämättä; ei edes trvitse oll A. Tällöin on kyseessä funktion f rj-rvo pisteessä. Rj-rvo määritellään (tällä kurssill) vin sellisiss pisteissä R, joille jokinen väli [ δ, + δ] sisältää äärettömän mont joukon A pistettä, vikk δ > olisi kuink pieni thns. Tämä on yhtäpitävää sen knss, että jokinen väli [ δ, + δ] sisältää inkin yhden pisteen A,. (Tällisi pisteitä kutsutn joukon A ksutumispisteiksi. Esimerkiksi voimen välin päätepisteet.) Jtkoss oletetn siis, että on tällinen piste. Pekk Alestlo (Alto-yliopisto) MS-AX Differentili- j integrlilskent / 2 Pekk Alestlo (Alto-yliopisto) MS-AX Differentili- j integrlilskent / 2

7 3.4 Funktion rj-rvo I Määritelmä 3.2 Funktioll f : A R on rj-rvo L pisteessä R, jos pätee: Jokist ε > vst sellinen δ >, että Tällöin merkitään f () L < ε in, kun A j < < δ. lim f () = L. Huom: Ehdon < ino trkoitus on rjt mhdollinen funktion rvo f ( ) pois käsittelystä; ts. ehto tutkitn vin tpuksess. 3.4 Funktion rj-rvo II Ide: Mitä pienempi ε > on nnettu, sitä pienempi δ > täytyy vlit; onnistuu in, jos rj-rvo on olemss. L+ε L L ε f() δ +δ Pekk Alestlo (Alto-yliopisto) MS-AX Differentili- j integrlilskent / 2 Pekk Alestlo (Alto-yliopisto) MS-AX Differentili- j integrlilskent / Toispuoleiset rj-rvot Vstvll tvll sdn myös toispuoleiset rj-rvot lim f () j lim + f (), kun epäyhtälö < < δ korvtn epäyhtälöllä < < δ ti < < δ. Nämä voidn tulkit myös tvllisen rj-rvon erikoistpuksin, kun funktion määrittelyjoukoksi muutetn A ], [ ti A ], [. Luse 3.3 Jos funktio f on määritelty joukoss [ δ, + δ] \ { }, niin rj-rvo on olemss täsmälleen silloin, kun lim f () = L 3.4 Lskusääntöjä Luse 3.4 Jos niin lim f () = j ( ) lim f () + g() = + b, lim g() = b, lim f ()g() = b, f () lim g() = b ; viimeisen kohdll oletetn b (jolloin g() pisteen lähellä ). Vstvt tulokset ovt voimss myös toispuoleisille rj-rvoille. lim f () = + lim f () = L. Pekk Alestlo (Alto-yliopisto) MS-AX Differentili- j integrlilskent / 2 Pekk Alestlo (Alto-yliopisto) MS-AX Differentili- j integrlilskent / Funktion rj-rvon suppiloperite I Luse 3.5 Jos lim f () = lim g() = L j f () h() g() kikill < < δ, niin lim h() = L. Tämäkin tulos on voimss myös toispuoleisille rj-rvoille. 3.4 Funktion rj-rvon suppiloperite II Esimerkki 3.6 Osoit, että sin lim =. Rtkisu: Geometrinen trkstelu yksikköympyrän vull (seurv sivu) joht epäyhtälöön sin < < tn = sin cos, kun < < π/2, joten cos < sin < kikill < < π/2. Kosk cos j luseke (sin )/ ovt prillisi, niin sm epäyhtälö on voimss kikill < < π/2. Kosk cos cos =, kun, niin väite seur suppiloperitteest. Pekk Alestlo (Alto-yliopisto) MS-AX Differentili- j integrlilskent / 2 Pekk Alestlo (Alto-yliopisto) MS-AX Differentili- j integrlilskent / Funktion rj-rvon suppiloperite III 3.4 Jtkuvuus j rj-rvo sin tn Luse 3.7 Jos funktion f määrittelyjoukko M f on väli, niin funktion f jtkuvuus pisteessä M f on yhtäpitävää sen knss, että lim f () = f ( ). sin < < tn Pekk Alestlo (Alto-yliopisto) MS-AX Differentili- j integrlilskent / 2 Pekk Alestlo (Alto-yliopisto) MS-AX Differentili- j integrlilskent / 2

8 3.4 Funktion jtkminen 3.4 Rj-rvon yleistykset Jos f : A R on jtkuv, A on joukon A ksutumispiste j lim f () = L, niin voidn määritellä uusi funktio f : A R, A = A { }, settmll { f (), kun A, f () = L, kun =. Tällöin f on jtkuv. Usein merkitään hiukn epätäsmällisesti f = f. Esimerkki 3.8 Funktio f () = on jtkuv koko relikselill. { sin,,, =, Myös seurvt käsitteet voidn määritellä täsmällisesti: Esimerkiksi lim f () = ±, lim f () = L, lim ± lim f () =, f () = ±, jne. ± jos pätee: Jokist M R vst sellinen δ >, että f () > M in, kun A j < < δ. Rj-rvo lim f () on tärkeä mm. epäoleellisen integrlin yhteydessä. Pekk Alestlo (Alto-yliopisto) MS-AX Differentili- j integrlilskent / 2 Pekk Alestlo (Alto-yliopisto) MS-AX Differentili- j integrlilskent / 2 4. Derivtt Erilisi lähestymistpoj: geometrinen (käyrän tngentti seknttien rj-senton) f( ) +h fysiklinen (jst riippuvn funktion hetkellinen muutosnopeus). Esimerkki 4. Kppleen -ulotteisen liikkeen pikkkoordintti on = (t) hetkellä t. Sen hetkellinen nopeus on keskinopeuksien rj-rvo: v(t) = lim t (t + t) (t). t Pekk Alestlo (Alto-yliopisto) MS-AX Differentili- j integrlilskent / 2 4. Derivtn määritelmä Määritelmä 4.2 Oletetn, että funktio f on määritelty jollkin välillä ] δ, + δ[. Sen derivtt pisteessä on f f ( + h) f ( ) f () f ( ) ( ) = lim = lim, h h jos rj-rvo olemss. Funktio on derivoituv, jos sillä on derivtt jokisess määrittelyjoukon (= voin väli) pisteessä. Merkintöjä: f ( ) = Df ( ) = df d, = f = Df = df d. Pekk Alestlo (Alto-yliopisto) MS-AX Differentili- j integrlilskent / 2 4. Korkemmn kertluvun derivtt Jos funktion derivtt f () on määritelty jollkin voimell välillä ] δ, + δ[, niin voidn tutki funktion f erotusosmäärää pisteessä. Näin sdn toisen kertluvun derivtt f ( ) = D 2 f ( ) = d 2 f d 2. = Jtkmll smn tpn voidn määritellä korkemmn kertluvun derivtt f (), f (4) (),... Merkintä: C n( ], b[ ) = {f : ], b[ R f on n kert derivoituv välillä ], b[ j f (n) on jtkuv} Tällisi funktioit kutsutn n kert jtkuvsti derivoituviksi. 4. Linerisointi j differentili Derivtn määritelmä joht pproksimtioon f ( ) f () f ( ) f () f ( ) + f ( )( ) Oiken puoleinen luseke on funktion f linerisointi eli differentili pisteessä. Sille käytetään merkintää df. Linerisoinnin kuvj y = f ( ) + f ( )( ) on funktion kuvjn pisteeseen (, f ( )) setettu tngenttisuor. Differentilin merkitys tulee premmin esille vst usen muuttujn funktioiden yhteydessä. Myöhemmin käsitellään funktion f pproksimointi myös korkemmn steen polynomien vull (Tylor-polynomi). Pekk Alestlo (Alto-yliopisto) MS-AX Differentili- j integrlilskent / 2 Pekk Alestlo (Alto-yliopisto) MS-AX Differentili- j integrlilskent / 2 4. Derivtn fysiklinen tulkint Jos = (t) on kppleen yksiulotteisen liikkeen pikkkoordintti hetkellä t, niin sen hetkellinen nopeus on v(t) = (t) = ẋ(t). Näistä viimeinen on tvllinen merkintä fysiikss. Vstvll tvll (t) = v (t) = (t) = (t).. on kppleen hetkellinen kiihtyvyys. Yleisemmin: Ajst riippuvn funktion f (t) hetkellinen muutosnopeus on f (t). Pekk Alestlo (Alto-yliopisto) MS-AX Differentili- j integrlilskent / Lskusääntöjä Linerisuus D ( f () + g() ) = f () + g () D ( cf () ) = cf (), kun c R on vkio Tulon derivoimissääntö D ( f ()g() ) = f ()g() + f ()g () Osmäärän derivoimissääntö ( ) f () D = f ()g() f ()g () g() g() 2 Yhdistetyn funktion derivoimissääntö D ( f (g() ) = f ( g() ) g () Tälle käytetään nimitystä ketjusääntö = Chin Rule; nimen tust liittyy osittisderivttoihin, joist lisää kurssill Differentili- j integrlilskent 2. Pekk Alestlo (Alto-yliopisto) MS-AX Differentili- j integrlilskent / 2

9 4.2 Eräitä derivttoj Erikoistpuksen perustelu D(vkiofunktio) = D( r ) = r r, r D(sin ) = cos, D(cos ) = sin D(tn ) = + tn 2 = cos 2, kun π/2 + nπ De = e, D ln = /, kun (näihin pltn myöhemmin) Esimerkki 4.3 Johd funktion f () = 2 derivtt kohdss. Rtkisu: Erotusosmäärä on sievennettynä f ( + h) f ( ) h = ( + h) 2 2 h = 2 + h, = h + h 2 2 h joten rjll h sdn derivtksi f ( ) = 2. Derivttfunktion luseke on siis muoto f () = 2, kun R. Pekk Alestlo (Alto-yliopisto) MS-AX Differentili- j integrlilskent / 2 Pekk Alestlo (Alto-yliopisto) MS-AX Differentili- j integrlilskent / 2 Hnklmpi perustelu I Esimerkki 4.4 Johd funktion f () = sin derivtt kohdss. Rtkisu: Erotusosmäärä sdn yhteenlskukvn vull muotoon sin( + h) sin( ) h = sin cos h + cos sin h sin h sin h = cos h + sin cos h. h Kosk (perustelut ikisemmin/seurvll sivull) sin h cos h lim = j lim =, h h h h niin derivtksi sdn f ( ) = cos + sin = cos. Hnklmpi perustelu II Rj-rvo sin h lim = h h johdettiin ikisemmin geometrisesti j suppiloperitteen vull. Kosk (muist sin 2 h + cos 2 h = ) cos h h = (cos h )(cos h + ) h(cos h + ) = cos2 h h(cos h + ) = sin h h sin h cos h + 2 =, kun h, niin sdn jälkimmäinen rj-rvo. Pekk Alestlo (Alto-yliopisto) MS-AX Differentili- j integrlilskent / 2 Pekk Alestlo (Alto-yliopisto) MS-AX Differentili- j integrlilskent / Esimerkkejä Käytännössä derivtt voidn lske lskusääntöjen j tunnettujen derivttojen vull: D ( ) = D ( ) = 2 ( ) /2 D( ) = D ( 2 cos(3) ) = D( 2 ) cos(3) + 2 D ( cos(3) ) = 2 cos(3) + 2( sin(3) D(3) ) = 2 cos(3) 3 2 sin(3) D ( sin(/) ) = cos(/)d(/) = cos(/) ( / 2 ) = cos(/)/ 2, kun Yleisiä tuloksi I Olkoon f : [, b] R. Jos f on derivoituv pisteessä ], b[, niin se on jtkuv pisteessä. Perustelu: Seur derivtn määritelmästä, kosk f ( + h) f ( ) h = f ( ) + ε(, h) f ( + h) f ( ) = f ( )h + h ε(, h). Tässä ε(, h) on rj-rvoon liittyvä virhetermi, jolle ε(, h), kun h. Pekk Alestlo (Alto-yliopisto) MS-AX Differentili- j integrlilskent / 2 Pekk Alestlo (Alto-yliopisto) MS-AX Differentili- j integrlilskent / Yleisiä tuloksi II (Rollen luse) Jos f on derivoituv pikllisess äärirvohdss ], b[, niin f ( ) =. Perustelu: Erotusosmäärän toispuoleiset rj-rvot ovt erimerkkiset pikllisess äärirvokohdss, esim. piklliselle mksimille f ( + h) f ( ) h f ( + h) f ( ) h = negtiivinen positiivinen = negtiivinen negtiivinen, kun h >,, kun h < j h on niin pieni, että f ( ) on mksimi välillä [ h, + h]. 4.3 Välirvoluse I Luse 4.5 Jos f on jtkuv välillä [, b] j lisäksi derivoituv voimell välillä ], b[, niin on olemss sellinen piste c ], b[, että f (c) = f (b) f (), ts. f (b) f () = f (c)(b ). b y y = f ( ) c b Pekk Alestlo (Alto-yliopisto) MS-AX Differentili- j integrlilskent / 2 Pekk Alestlo (Alto-yliopisto) MS-AX Differentili- j integrlilskent / 2

10 4.3 Välirvoluse II 4.3 Välirvoluseen seuruksi Välirvoluseen todistus: Sovelletn Rollen lusett pufunktioon g() = f () f (b) f () ( ), b jok toteutt g() = g(b) =. Sen pikllisess äärirvokohdss c ], b[ pätee g (c) = f (b) f () = f (c)(b ). y jnn pituus = g() y = f ( ) Jos f () = kikiss voimen välin pisteissä, niin f on vkiofunktio tällä välillä. Jos f () jollkin välillä, niin f on ksvv tällä välillä; jos f () jollkin välillä, niin f on vähenevä tällä välillä. Jos edellisen kohdn lisäksi f () = inostn yksittäisissä pisteissä, niin f on idosti ksvv/vähenevä. Esimerkki: f () = 3. b Pekk Alestlo (Alto-yliopisto) MS-AX Differentili- j integrlilskent / 2 Pekk Alestlo (Alto-yliopisto) MS-AX Differentili- j integrlilskent / L Hospitlin sääntö I Rj-rvojen lskeminen derivtn vull; erilisi versioit mm. tyyppiä / ti / oleville rj-rvoille; myös toispuoleisille. Tärkein tpus: Luse 4.6 Oletetn, että f ( ) = g( ) = j funktiot f, g ovt derivoituvi jollkin välillä ] δ, + δ[. Jos on olemss, niin f () lim g () f () lim g() = lim f () g (). 4.3 L Hospitlin sääntö II Perustelu: Erikoistpuksess g ( ) perustelu on lyhyt: f () g() = f () f ( ( ) f () f g() g( ) = ( ) ) /( ) ( g() g( ) ) /( ) f ( ) g ( ). Yleisessä tpuksess trvitn ns. yleistettyä välirvolusett, jonk mukn f () g() = f (c) g (c) josskin pisteessä c ], [. Tällöin osoittjss j nimittäjässä on sm piste c, joten edes derivttojen jtkuvuutt ei trvit! Pekk Alestlo (Alto-yliopisto) MS-AX Differentili- j integrlilskent / 2 Pekk Alestlo (Alto-yliopisto) MS-AX Differentili- j integrlilskent / L Hospitlin sääntö III Esimerkki 4.7 sin(4) Lske rj-rvo lim. Rtkisu: Kosk sin(4)/ on muoto / kohdss =, niin voidn (yrittää) sovelt L Hospitlin sääntöä: sin(4) 4 cos(4) lim = lim = 4. Kosk derivoidull muodoll on rj-rvo 4, niin lsku on pätevä. Huom. : Jos derivoitu rj-rvo on edelleen muoto /, niin sääntöä voidn yrittää käyttää toisen (ti usemmn) kerrn. Huom. 2: Muoto / on in trkistettv: cos sin lim lim =. 4.3 Äärirvotehtävät I Seurvss A R on väli. Funktioll f : A R on pikllinen mksimi/minimi pisteessä A, jos on funktion f mksimi-/minimikoht jollkin välillä A [ δ, + δ]. Pikllinen äärirvo = pikllinen mksimi ti minimi; voi esiintyä myös määrittelyvälin päätepisteessä. Pikllinen äärirvo voi tull (i) derivtn nollkohdss (ii) määrittelyvälin päätepisteessä, ti (iii) sellisess kohdss, joss funktio ei ole derivoituv. Jos tiedetään etukäteen, että funktioll on mksimi/minimi, niin etsitään kikki mhdolliset piklliset äärirvokohdt (vrt. edellinen), lsketn niissä funktion rvot j vlitn näistä suurin/pienin. Pekk Alestlo (Alto-yliopisto) MS-AX Differentili- j integrlilskent / 2 Pekk Alestlo (Alto-yliopisto) MS-AX Differentili- j integrlilskent / Äärirvotehtävät II 4.3 Kuperuus Esimerkki 4.8 Määritä funktion f : [, 2] R, f () = 3 6, suurin j pienin rvo. Rtkisu: Derivtn nollkohdt: f () = = = ± 2. Kosk 2 [, 2], niin lsketn rvot f () =, f ( 2) = 4 2, f (2) = 4, joist voidn vlit funktion pienin rvo 4 2 j suurin rvo. Kuper eli konveksi lue D R 2 : jos, y D, niin myös niiden välinen yhdysjn [, y] D Välillä I R määritelty funktio on kuper eli konveksi, jos sen kuvjn yläpuolinen tsolue on kuper; tähän riittää se että kuvjlle piirretyt sekntit ovt in kuvjn yläpuolell, kvn f ( ( t) + ty ) ( t)f () + tf (y), kun, y I, t [, ]. Erityisesti: jos f () koko välillä, niin f on konveksi Funktion käännepiste: koht, joss kuvjll on tngentti j funktion kuperuussuunt vihtuu. Esimerkiksi, jos f () viht merkkiä. Jos funktion f derivtn nollkohdss on f ( ) <, niin kyseessä on pikllinen mksimi; jos f ( ) >, niin kyseessä on pikllinen minimi. Tpuksess f ( ) = tilnnett täytyy tutki trkemmin. Pekk Alestlo (Alto-yliopisto) MS-AX Differentili- j integrlilskent / 2 Pekk Alestlo (Alto-yliopisto) MS-AX Differentili- j integrlilskent / 2

11 5. sin-funktio j polynomit 5. Tylor-polynomi I Esimerkki 5. Verrtn funktion sin kuvj (puninen) polynomien 3 3! + 5 5! + ( )n 2n+ (2n + )! kuvjiin (sininen), kun n =, 4, 8, 2. Tylor-polynomi P n (; ) = funktion prs n-steinen polynomipproksimtio (derivoinnin knnlt) pisteen lähellä. Mclurin-polynomi: tpus =. Jos f on n kert derivoituv pisteessä, niin polynomill P n () = P n (; ) = f ( ) + f ( )( ) + f ( ) ( ) 2 + 2! + f (n) ( ) ( ) n n! n f (k) ( ) = ( ) k k! k= on pisteessä smt derivtt kuin f :llä kertlukuun n skk. Pekk Alestlo (Alto-yliopisto) MS-AX Differentili- j integrlilskent / 2 Pekk Alestlo (Alto-yliopisto) MS-AX Differentili- j integrlilskent / 2 5. Tylor-polynomi II 5. Tylor-polynomi III Tylorin kv: Jos derivtt f (n+) on olemss j se on jtkuv funktio, niin f () = P n (; ) + E n () j virhetermille E n () pätee E n () = f (n+) (c) (n + )! ( ) n+ josskin pisteessä c [, ]. Jos on olemss indeksistä n riippumton vkio M, jolle f (n+) () M jollkin välillä I, niin tällöin M E n () (n + )! n+, kun n. Eräitä Mclurin-polynomipproksimtioit: n n = k k= e + + 2! 2 + 3! n n! n k = k! ln( + ) n ( )n n ( ) k = k n k sin 3! 3 + n 5! 5 + ( )n (2n + )! 2n+ ( ) k = (2k + )! 2k+ cos 2! 2 + 4! 4 + ( )n (2n)! 2n = n k= k= ( ) k (2k)! 2k Pekk Alestlo (Alto-yliopisto) MS-AX Differentili- j integrlilskent / 2 Pekk Alestlo (Alto-yliopisto) MS-AX Differentili- j integrlilskent / Newtonin menetelmä I Ensimmäisen steen Tylor-polynomi P () = f ( ) + f ( )( ) on sm kuin funktion f linerisointi pisteen suhteen. Sitä voidn käyttää erilisiss rvioiss j numeerisiss menetelmissä. Newtonin menetelmä: Yhtälö f () = rtkistn likimääräisesti vlitsemll lkupiste (esimerkiksi kuvion perusteell) j määrittelemällä n+ = n f ( n) f ( n ), kun n =,, 2,... Näin sdn lukujono (,, 2,... ), jonk termit yleensä ntvt yhä prempi likirvoj funktion f nollkohdlle. Plutuskv perustelln geometrisesti etsimällä funktion nollkoht sen linerisoinnin (eli tngentin) vull. 5.3 Tylor-srj I Jos Tylorin kvn virhetermi E n () lähestyy noll, kun n ksv, sdn Tylor-polynomin rj-rvon funktion f Tylor-srj (= Mclurin-srj, jos = ). Tylor-srj on siis muoto k= f (k) ( ) ( ) k = lim k! n k= f (k) ( ) ( ) k k! Tämä on esimerkki yleisestä potenssisrjst, joit esiintyy monien lkeisfunktioiden yhteydessä. Pekk Alestlo (Alto-yliopisto) MS-AX Differentili- j integrlilskent / 2 Pekk Alestlo (Alto-yliopisto) MS-AX Differentili- j integrlilskent / Tylor-srj II Tylor-srj voidn muodost in, kun funktioll f on kikkien kertlukujen derivtt pisteessä j ne sijoitetn ym. kvn. Tähän liittyy kuitenkin kksi ongelm: Suppeneeko Tylor-srj kikill muuttujn rvoill? Vstus: Ei in; esimerkiksi funktion f () = Mclurin-srj (= geometrinen srj) suppenee vin rvoill < <, vikk funktio on derivoituv kikill : f () = = Tylor-srj III Jos srj suppenee jollkin, niin onko srjn summ sm kuin f ()? Vstus: Ei in; esimerkiksi funktiolle { e / 2,, f () =, =, pätee f (k) () = kikill k N (hnkl, mutt peritteess lkeellinen lsku). Näin ollen sen Mclurin-srj on identtisesti noll j suppenee kohti rvo f () inostn pisteessä =. Johtopäätös: Tylor-srjoj pitäisi tutki trksti virhetermien jms. vull. Käytännössä srjoj muodostetn käyttämällä pun muutmi tunnettuj srjkehitelmiä. Pekk Alestlo (Alto-yliopisto) MS-AX Differentili- j integrlilskent / 2 Pekk Alestlo (Alto-yliopisto) MS-AX Differentili- j integrlilskent / 2

12 5.3 Tylor-srj IV Esimerkkejä (eksponenttifunktioon pltn vielä myöhemmin): = e = sin = cos = k, < k= k! k, R ( ) k (2k + )! 2k+, R ( ) k (2k)! 2k, R k= k= k= ( + ) r = + r(r )(r 2)... (r k + ) k, < k! 5.3 Tylor-srj V Viimeinen on nimeltään binomisrj j se on voimss kikill r R. Jos r = n N, niin srjn kertoimet ovt nolli summusindeksistä k = n + lähtien, j kertoimet ovt muoto ( n k ) = n! k!(n k)! Vert binomikvn: kun n N. ( + b) n = n(n )(n 2)... (n k + ) =. k! n k= ( ) n n k b k, k Pekk Alestlo (Alto-yliopisto) MS-AX Differentili- j integrlilskent / 2 Pekk Alestlo (Alto-yliopisto) MS-AX Differentili- j integrlilskent / Potenssisrj I 5.4 Potenssisrj II Potenssisrj on muoto c k ( ) k = lim k= k= n c k ( ) k olev srj. Piste on srjn keskus j luvut c k srjn kertoimi. Srj suppenee rvoll, jos yllä olev rj-rvo on määritelty. Tämän suhteen on vin kolme erilist tpust: srj suppenee vin rvoll = (jolloin srjss esiintyy vin vkiotermi c ) srj suppenee kikill R srj suppenee jollkin välillä ] R, + R[ (j mhdollisesti yhdessä ti molemmiss päätepisteissä), mutt hjntuu muill :n rvoill. Luku R on potenssisrjn suppenemissäde. Sopimus: R = ti R = muiss tpuksiss. Pekk Alestlo (Alto-yliopisto) MS-AX Differentili- j integrlilskent / 2 Esimerkki 5.2 Millä muuttujn rvoill potenssisrj k 2 k k suppenee? Rtkisu: Tutkitn suppenemist suhdetestin vull, kun k = k k /2 k. Tällöin k+ k = (k + ) k+ /2 k+ k k /2 k = k + 2k 2, kun k. Suhdetestin perusteell srj suppenee, kun /2 <, j hjntuu, kun /2 >. Rjtpuksiss /2 = = ±2 srjn yleinen termi ei lähesty noll, joten srj hjntuu. Tulos: Srj suppenee välillä 2 < < 2 j hjntuu muulloin. Pekk Alestlo (Alto-yliopisto) MS-AX Differentili- j integrlilskent / Potenssisrj III 5.4 Potenssisrj IV Suppenemisvälillä I tulee siis määriteltyä funktio f : I R, f () = c k ( ) k, () k= jok on nimeltään srjn summfunktio. Potenssisrjn summfunktio f on välillä ] R, + R[ jtkuv j derivoituv. Lisäksi derivtn f () voi lske derivoimll srj () termeittäin: f () = kc k ( ) k. Huom, että vkiotermi c derivoituu pois eli summ lk indeksistä k =. Lisäksi derivoitu srj suppenee smll välillä ] R, + R[; tämä on hiemn yllättävää (?) kertoimen k vuoksi. Tpuksess [, b] ] R, + R[ potenssisrjn () voi myös integroid termeittäin: f () d = c k ( ) k d. k= Usein integrointi voidn ulott myös suppenemisvälin päätepisteeseen skk, mutt tämä ei in pidä pikkns. Tilnnett täytyy siis tutki tpuskohtisesti. Pekk Alestlo (Alto-yliopisto) MS-AX Differentili- j integrlilskent / 2 Pekk Alestlo (Alto-yliopisto) MS-AX Differentili- j integrlilskent / 2 6. Funktio I 6. Funktio II Tämä luku sisältää trkennuksi j lisäyksiä funktioihin liittyviin käsitteisiin. Kikki kohti ei käsitellä luennoll, mutt osn niistä pltn trvittess myöhemmin. Funktio f : A B on sääntö, jok liittää jokiseen joukon A lkioon täsmälleen yhden B:n lkion b. Merkitään b = f (). Tässä A = M f on f :n määrittelyjoukko j B on f :n mlijoukko. Funktion f rvojoukko (eli kuvjoukko) on B:n osjoukko f [A] = {f () A}. Esimerkiksi funktion f : R R, f () = 2, mlijoukko on R, mutt sen rvojoukko on f [R] = [, [. Edellisen esimerkin funktio voidn toki määritellä suorn muodoss f : R [, [, f () = 2, jolloin rvojoukko on sm kuin mlijoukko. Näin voidn peritteess menetellä kikkien funktioiden kohdll, mutt se ei yleensä ole käytännöllistä. Esimerkki: Yritä tehdä sm funktiolle f : R R, f () = , R. Jos funktion määrittelyjoukko A R, niin kyseessä on yhden muuttujn funktio, joit tällä kurssill käsitellään. Jos A R n, n 2, niin kyseessä on usen muuttujn funktio, joit käsitellään kursseill Differentili- j integrlilskent 2 3. Pekk Alestlo (Alto-yliopisto) MS-AX Differentili- j integrlilskent / 2 Pekk Alestlo (Alto-yliopisto) MS-AX Differentili- j integrlilskent / 2

13 6.2 Käänteisfunktio I 6.2 Käänteisfunktio II Funktio f : A B on injektio, jos eri pisteissä sdn eri rvot, ts. 2 f ( ) f ( 2 ), ts. f ( ) = f ( 2 ) = 2. surjektio, jos rvojoukko on sm kuin mlijoukko, ts. fa = B. bijektio, jos se on sekä injektio että surjektio. Huom: Funktiost tulee surjektio, kun mlijoukko kutistetn mhdollisimmn pieneksi, eli jätetään pois kikki ne pisteet, jotk eivät ole funktion rvoj. Toinen tp määritellä nämä käsitteet perustuu yhtälön rtkisujen lukumäärän tutkimiseen: Jos y B on kiinteä, niin yhtälöllä y = f () on korkeintn yksi rtkisu A, jos f on injektio inkin yksi rtkisu, jos f on surjektio täsmälleen yksi rtkisu, jos f on bijektio. Jos f : A B on bijektio, niin sillä on käänteisfunktio f : B A, jok määräytyy ehdost y = f () = f (y). Käänteisfunktiolle pätee f (f ()) = kikill A j f (f (b)) = b kikill b B. Käänteisfunktion kuvj on lkuperäisen kuvjn peilikuv suorn y = suhteen. Perustelu: piste (, b) on funktion f kuvjll b = f () = f (b) piste (b, ) on funktion f kuvjll. Lisäksi opertion (, b) (b, ) geometrinen tulkint on peilus suorn y = suhteen. Jos A R j f : A R on idosti monotoninen, niin funktioll f : A f [A] on käänteisfunktio. Jos yllä A on väli j f on jtkuv, niin myös f on jtkuv joukoss f [A]. Pekk Alestlo (Alto-yliopisto) MS-AX Differentili- j integrlilskent / 2 Pekk Alestlo (Alto-yliopisto) MS-AX Differentili- j integrlilskent / Käänteisfunktio III 6.3 Trigonometriset funktiot I Käänteisfunktion derivtt: Olkoon f : ], b[ ]c, d[ derivoituv idosti monotoninen surjektio, jolloin f :llä on käänteisfunktio f : ]c, d[ ], b[. Tällöin kuvjt y = f () j y = f () ovt toistens peilikuvi suorn y = suhteen j ( f ) () = f (f ()), jos f (f ()). Huom: f (f ()) = funktion f derivtt lskettun pisteessä f (). Kulmn yksikkö rdini = rd: kulm vstvn yksikköympyrän osn krenpituus. π rd = 8 stett, ts. rd = 8/π 57,3 stett Funktiot sin, cos määritellään yksikköympyrän vull niin, että (cos, sin ), [, 2π], on yksikköympyrän prmetrisointi krenpituuden vull. Jksollisuus: tn = sin ( π/2 + nπ), cos cot = cos ( nπ) sin sin( + 2π) = sin, cos( + 2π) = cos, tn( + π) = tn Pekk Alestlo (Alto-yliopisto) MS-AX Differentili- j integrlilskent / 2 Pekk Alestlo (Alto-yliopisto) MS-AX Differentili- j integrlilskent.9.26 / Trigonometriset funktiot II Ominisuuksi (perustelut yksikköympyrästä!): sin =, sin(π/2) = cos =, cos(π/2) = sin j tn ovt prittomi funktioit, cos on prillinen: sin 2 + cos 2 = kikill R Yhteenlskukvt: sin( ) = sin, cos( ) = cos, tn( ) = tn sin( + y) = sin cos y + cos sin y, cos( + y) = cos cos y sin sin y Perustelu geometrisesti ti helpommin vektoreiden j mtriisien vull. (Kikkien eri tpusten käsittely geometrisesti on hiemn työlästä) 6.3 Trigonometriset funktiot III Derivtt: D(sin ) = cos, D(cos ) = sin Edellisestä seur, että molemmt funktiot y(t) = sin(ωt) j y(t) = cos(ωt) toteuttvt differentiliyhtälön y (t) + ω 2 y(t) =, jok kuv ns. hrmonist värähtelyä. Tässä muuttuj t on ik j vkio ω > on värähtelyn kulmtjuus. Kuten myöhemmin nähdään, differentiliyhtälön kikki rtkisut ovt muoto y(t) = A cos(ωt) + B sin(ωt), joss A, B ovt vkioit. Ne määräytyvät yksikäsitteisesti, jos tunnetn esimerkiksi lkutil y() j lkunopeus y (). Kikki rtkisut ovt jksollisi j niiden jksonik on T = 2π/ω. Pekk Alestlo (Alto-yliopisto) MS-AX Differentili- j integrlilskent.9.26 / 2 Pekk Alestlo (Alto-yliopisto) MS-AX Differentili- j integrlilskent / rcus-funktiot I 6.3 rcus-funktiot II Trigonometrisill funktioill on käänteisfunktio, jos funktioiden määrittely- j mlijoukkoj rjoitetn sopivll tvll. Sini-funktio on idosti ksvv bijektio. Kosini-funktio on idosti vähenevä bijektio. Tngentti-funktio on idosti ksvv bijektio. sin: [ π/2, π/2] [, ] cos: [, π] [, ] tn: ] π/2, π/2[ R Käänteisfunktiot: Siis: rctn : R ] π/2, π/2[, rcsin : [, ] [ π/2, π/2], rccos : [, ] [, π] = tn α α = rctn, kun α ] π/2, π/2[ = sin α α = rcsin, kun α [ π/2, π/2] = cos α α = rccos, kun α [, π] Huom: rc nnetn rdineiss, ellei kyseessä ole geometrinen sovellus. Pekk Alestlo (Alto-yliopisto) MS-AX Differentili- j integrlilskent / 2 Pekk Alestlo (Alto-yliopisto) MS-AX Differentili- j integrlilskent / 2

14 6.3 rcus-funktiot III Käänteisfunktioiden derivtt 6.3 Johdnto: Rdioktiivinen hjominen D rctn = + 2, R D rcsin =, < < 2 D rccos = 2, < < Vrsinkin ensimmäinen kv on tärkeä integrlilskennss. Perustelu derivoimll puolittin yhtälö tn(rctn ) =, kun R: ( + tn 2 (rctn ) ) D(rctn ) = D = D(rctn ) = + tn 2 (rctn ) = + 2. Alin rivi myös suorn käänteisfunktion derivtn kvst. Pekk Alestlo (Alto-yliopisto) MS-AX Differentili- j integrlilskent / 2 Rdioktiivisen ineen ydinten lukumäärää hetkellä t kuv funktio y(t). Lyhyellä ikvälillä t hjovien ydinten lukumäärä on likimin suorn verrnnollinen sekä ikvälin pituuteen että ydinten lukumäärään ikvälin luss: y = y(t + t) y(t) k y(t) t. Vkio k on ineest riippuv hjomisvkio. Tästä sdn y t ky(t), j rjll t differentiliyhtälö y (t) = ky(t). Pekk Alestlo (Alto-yliopisto) MS-AX Differentili- j integrlilskent / Eksponenttifunktio I Neperin luku e = ( lim + ) n = + + n 2! + 3! + 4! , Eksponenttifunktio ep: ep () = n= n ( n! = lim + ) n = e. n Määritelmä (srjkehitelmä) perustuu ominisuuteen ep () = ep (), jonk vuoksi eksponenttifunktio on tärkeä differentiliyhtälöiden rtkisemisess. 6.3 Eksponenttifunktio II Yhteys erilisten määritelmien välillä on suorviivinen, mutt pitkähkö lsku, jok on tällä kurssill oheislukemist. Päättely etenee esimerkiksi seurvll tvll: Määritellään ep: R R, k ep () = k!. Srj suppenee suhdetestin perusteell kikill R. Osoitetn: ep on derivoituv j toteutt ep () = ep () kikill R. (Srjn derivoiminen termeittäin on koko päättelyn hnklin koht, vikk intuitiivisesti helppo ymmärtää.) Se toteutt myös ominisuudet ep () =, k= ep ( ) = /ep () j ep ( + y) = ep () ep (y) kikill, y R. Pekk Alestlo (Alto-yliopisto) MS-AX Differentili- j integrlilskent / 2 Pekk Alestlo (Alto-yliopisto) MS-AX Differentili- j integrlilskent / Eksponenttifunktio III Edellisistä seur, että ep (p/q) = (ep ()) p/q kikille rtionliluvuille p/q Q. Jtkuvuuden perusteell kikill R. Kosk ep () = ep () = (ep ()) k= k! = lim ( + n ) n = e, niin eksponenttifunktiolle sdn muoto e. Lisäksi edellisistä seur, että ep: R ], [ on idosti ksvv bijektio, jolle lim ep () =, lim ep () =, lim n = kikill n N. ep () 6.3 Eksponenttifunktio IV Jtkoss kirjoitetn e = ep (). Ominisuuksi: e = e > D(e ) = e e = /e (e ) y = e y e e y = e +y kikill, y R. Pekk Alestlo (Alto-yliopisto) MS-AX Differentili- j integrlilskent / 2 Pekk Alestlo (Alto-yliopisto) MS-AX Differentili- j integrlilskent.9.26 / DY y = ky Luse 6. Olkoon k R vkio. Kikki differentiliyhtälön y () = ky(), R, toteuttvt funktiot y = y() ovt muoto y() = Ce k, joss C on vkio. Jos funktion y rvo tunnetn josskin pisteessä, niin vkiolle C sdn yksikäsitteinen rvo. Perustelu: y () = ky() ( y () ky() ) e k = kosk e k > in y ()e k ke k y() = d d ( y()k k ) = y()e k = C = vkio y() = Ce k. Pekk Alestlo (Alto-yliopisto) MS-AX Differentili- j integrlilskent.9.26 / Logritmi I Logritmifunktio = eksponenttifunktion käänteisfunktio: ln: ], [ R Trksti otten kyseessä on e-kntinen eli luonnollinen logritmi. Yleisen -kntisen logritmin määritelmä perustuu kvn kun > j y >. = y = log y, Muit sovelluksiss esiintyviä logritmej ovt Briggsin -kntinen logritmi lg = log j binäärilogritmi lb = log 2. Merkinnällä log trkoitetn yleensä (esim. tietokoneohjelmiss) luonnollist logritmi ln. Pekk Alestlo (Alto-yliopisto) MS-AX Differentili- j integrlilskent / 2

15 6.3 Logritmi II 6.3 Eulerin kv Logritmin ominisuuksi e ln =, kun > ln(e ) = kikill R ln =, ln e = ln( b ) = b ln, kun >, b R ln(b) = ln + ln b, kun, b > D ln = /, kun Nämä seurvt vstvist ep-funktion ominisuuksist. Imginriyksikkö i: olio, jok toteutt i 2 =. Kompleksiluvut muoto z = + iy, joss, y R. Ktso trkemmin erillistä monistett kompleksiluvuist. Kun eksponenttifunktion srjkehitelmään sijoitetn muuttujn piklle i j ryhmitellään reliset termit erikseen, niin sdn Eulerin kv e i = cos + i sin. Seuruksen on kv e iπ + =, jot jotkut pitävät mtemtiikn hienoimpn kvn. Se sitoo toisiins tärkeimmät luvut,, i, e j π sekä kolme lskutoimitust. Kvojen e ±i = cos ± i sin vull voidn joht myös esitykset cos = ( e i + e i), sin = ( e i e i), R. 2 2i Pekk Alestlo (Alto-yliopisto) MS-AX Differentili- j integrlilskent / 2 Pekk Alestlo (Alto-yliopisto) MS-AX Differentili- j integrlilskent / Hyperboliset funktiot I 6.3 Hyperboliset funktiot II Hyperbolinen sini sinus hyperbolicus sinh, hyperbolinen kosini cosinus hyperbolicus cosh j hyperbolinen tngentti tnh: sinh: R R, sinh = 2 (e e ) cosh: R [, [, cosh = 2 (e + e ) tnh: R ], [, tnh = sinh cosh Ominisuuksi: cosh 2 sinh 2 = ; kikill trigonometrisill kvoill on hyperbolinen vstine, jok seur yhteyksistä sinh(i) = i sin, cosh(i) = cos. Kvoiss sin 2 -termien merkki vihtuu, muut pysyvät smoin. Derivtt: D sinh = cosh, D cosh = sinh. Hyperboliset käänteisfunktiot eli re-funktiot; re j lyhenne r viitt käänteisfunktioiden geometriseen tulkintn eräänä hyperbeliin liittyvänä pint-ln: sinh = r sinh = ln ( ), R cosh = r cosh = ln ( + 2 ), Käänteisfunktioiden derivtt: D sinh = D cosh = + 2, R 2, > Pekk Alestlo (Alto-yliopisto) MS-AX Differentili- j integrlilskent / 2 Pekk Alestlo (Alto-yliopisto) MS-AX Differentili- j integrlilskent / 2 7. Pint-l: Suorkulmio 7. Suunniks Seurvss trkstelln umpinisten tsokäyrien rjmi joukkoj. Tsojoukon pint-l määritellään pluttmll se yksinkertisemmn joukon pint-ln. Joukon pint-l ei voi lske, ellei pint-l ole ensin yleisesti määritelty (vikk koulumtemtiikss näin yleensä menetelläänkin). Lähtökoht: Suorkulmion pint-l on (määritelmän mukn) knt korkeus: A = b. Suunnikkn pint-l on (määritelmän mukn) knt korkeus: A = h. h b Pekk Alestlo (Alto-yliopisto) MS-AX Differentili- j integrlilskent / 2 Pekk Alestlo (Alto-yliopisto) MS-AX Differentili- j integrlilskent / 2 7. Kolmio 7. Monikulmio Kolmion pint-l on (määritelmän mukn) Monikulmio on tsolue, jot rj umpininen (j itseään leikkmton) murtoviiv. A = 2 h. h Murtoviiv koostuu peräkkäisistä jnoist, joille edellisen päätepiste = seurvn lkupiste. Se on umpininen, jos viimeisen päätepiste = ensimmäisen lkupiste. Pekk Alestlo (Alto-yliopisto) MS-AX Differentili- j integrlilskent / 2 Pekk Alestlo (Alto-yliopisto) MS-AX Differentili- j integrlilskent / 2

1 Jonot. 2 Sarjat. 3 Jatkuvuus. 4 Derivaatta. 5 Taylor-polynomit ja -sarjat. 1.2 Jonot. jossa

1 Jonot. 2 Sarjat. 3 Jatkuvuus. 4 Derivaatta. 5 Taylor-polynomit ja -sarjat. 1.2 Jonot. jossa Sisältö MS-AX Differentili- j integrlilskent Nämä klvot sisältävät otsikoss minitun kurssin keskeisen mterilin, mutt myös pljon oheislukemist. Luennoill voidn käsitellä myös täydentäviä esimerkkejä, kosk

Lisätiedot

1 Jonot. 2 Sarjat. 3 Jatkuvuus. 4 Derivaatta. 5 Taylor-polynomit ja -sarjat / Jonot / 200. jossa / 200

1 Jonot. 2 Sarjat. 3 Jatkuvuus. 4 Derivaatta. 5 Taylor-polynomit ja -sarjat / Jonot / 200. jossa / 200 MS-AX Differentili- j integrlilskent Pekk Alestlo Alto-yliopisto 24..26 Kiitokset Riikk Kortteelle, Jrmo Mliselle j kurssien opiskelijoille pinovirheiden korjuksist. 24..26 Kiitokset Riikk Kortteelle,

Lisätiedot

MS-A010X Di erentiaali- ja integraalilaskenta Lukujoukot. 1.2 Jonot. 1.2 Perusongelmat. 1.3 Suppeneminen I. 1.2 Jonojen ominaisuuksia

MS-A010X Di erentiaali- ja integraalilaskenta Lukujoukot. 1.2 Jonot. 1.2 Perusongelmat. 1.3 Suppeneminen I. 1.2 Jonojen ominaisuuksia MS-AX Di erentili- j integrlilskent Pekk Alestlo Alto-yliopisto 24..26 Kiitokset Riikk Kortteelle, Jrmo Mliselle j kurssien opiskelijoille pinovirheiden korjuksist. Sisältö Nämä klvot sisältävät otsikoss

Lisätiedot

II.1. Suppeneminen., kun x > 0. Tavallinen lasku

II.1. Suppeneminen., kun x > 0. Tavallinen lasku II. EPÄOLEELLISET INTEGRAALIT nt II.. Suppeneminen Esim. Olkoon f() =, kun >. Tvllinen lsku = / =. Kuitenkn tätä integrli ei ole ikisemmss mielessä määritelty, kosk f ei ole rjoitettu välillä [, ] (eikä

Lisätiedot

Differentiaali- ja integraalilaskenta 1: tiivistelmä ja oheislukemista

Differentiaali- ja integraalilaskenta 1: tiivistelmä ja oheislukemista Differentili- j integrlilskent 1: tiivistelmä j oheislukemist Pekk Alestlo 4. syyskuut 2014 Tähdellä merkityt kohdt on trkoitettu lähinnä oheislukemistoksi. Lisäksi mukn on joitkin lukiot kertvi kohti,

Lisätiedot

MS-A010{3,4} (ELEC*) Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Luento 8: Integraalifunktio ja epäoleellinen integraali

MS-A010{3,4} (ELEC*) Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Luento 8: Integraalifunktio ja epäoleellinen integraali MS-A1{3,4} (ELEC*) Differentili- j integrlilskent 1 Luento 8: Integrlifunktio j epäoleellinen integrli Pekk Alestlo, Jrmo Mlinen Alto-yliopisto, Mtemtiikn j systeeminlyysin litos 5.1.216 Pekk Alestlo,

Lisätiedot

5 Epäoleellinen integraali

5 Epäoleellinen integraali 5 Epäoleellinen integrli 5. Integrlin suppeneminen Olkoon f sellinen välillä [, b[ (ei siis välttämättä pisteessä b) määritelty funktio, että f on Riemnn-integroituv välillä [, ] kikill ], b[ eli on olemss

Lisätiedot

MS-A010{2,3,4,5} (SCI, ELEC*, ENG*) Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Luento 8: Integraalifunktio ja epäoleellinen integraali

MS-A010{2,3,4,5} (SCI, ELEC*, ENG*) Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Luento 8: Integraalifunktio ja epäoleellinen integraali MS-A1{2,3,4,5} (SC, ELEC*, ENG*) Differentili- j integrlilskent 1 Luento 8: ntegrlifunktio j epäoleellinen integrli Pekk Alestlo, Jrmo Mlinen Alto-yliopisto, Mtemtiikn j systeeminlyysin litos November

Lisätiedot

7 Funktiosarjoista. 7.1 Funktiosarjojen suppeneminen

7 Funktiosarjoista. 7.1 Funktiosarjojen suppeneminen 7 Funktiosrjoist 7. Funktiosrjojen suppeneminen Seurvksi trkstelln srjoj, joiden termit ovt (lukujen sijst) jollkin välillä I määriteltyjä funktioit. Täsmällisemmin funktiosrjll (ti lyhyemmin srjll) trkoitetn

Lisätiedot

Matematiikan tukikurssi

Matematiikan tukikurssi Mtemtiikn tukikurssi Kurssikert 5 1 Jtkuvuus Trkstelln funktiot fx) josskin tietyssä pisteessä x 0. Tämä funktio on tässä pisteessä joko jtkuv ti epäjtkuv. Jtkuvuuden ymmärtää prhiten trkstelemll epäjtkuv

Lisätiedot

1. Derivaatan Testi. Jos funktio f on jatkuva avoimella välillä ]a, b[ ja x 0 ]a, b[ on kriit. tai singul. piste niin. { f (x) > 0, x ]a, x 0 [

1. Derivaatan Testi. Jos funktio f on jatkuva avoimella välillä ]a, b[ ja x 0 ]a, b[ on kriit. tai singul. piste niin. { f (x) > 0, x ]a, x 0 [ 1. Derivtn Testi Jos funktio f on jtkuv voimell välillä ], b[ j x 0 ], b[ on kriit. ti singul. piste niin { f (x) < 0, x ], x 0 [ f x (x) > 0, x ]x 0, b[ 0 on lokli minimipiste (1) { f (x) > 0, x ], x

Lisätiedot

SARJAT JA DIFFERENTIAALIYHTÄLÖT Funktiojonot 1

SARJAT JA DIFFERENTIAALIYHTÄLÖT Funktiojonot 1 SARJAT JA DIFFERENTIAALIYHTÄLÖT 2003 JOUNI PARKKONEN Sisältö 0. Tästä tekstistä. Funktiojonot 0. Tästä tekstistä Tämä moniste on trkoitettu käytettäväksi kurssin Srjt j differentiliyhtälöt luentomterilin.

Lisätiedot

Kaikkia alla olevia kohtia ei käsitellä luennoilla kokonaan, koska osa on ennestään lukiosta tuttua.

Kaikkia alla olevia kohtia ei käsitellä luennoilla kokonaan, koska osa on ennestään lukiosta tuttua. 6 Alkeisfunktiot Kaikkia alla olevia kohtia ei käsitellä luennoilla kokonaan, koska osa on ennestään lukiosta tuttua. 6. Funktion määrittely Funktio f : A B on sääntö, joka liittää jokaiseen joukon A alkioon

Lisätiedot

a = x 0 < x 1 < x 2 < < x n = b f(x) dx = I. lim f(x k ) x k=1

a = x 0 < x 1 < x 2 < < x n = b f(x) dx = I. lim f(x k ) x k=1 5 Integrli 5.1 Määritelmä j ominisuudet Olkoon f : [, b] R jtkuv. Muodostetn välin [, b] jko = x 0 < x 1 < x 2 < < x n = b j siihen liittyvä yläsumm S = n M k (x k x k 1 ), M k = mx{f(x) x k 1 x x k },

Lisätiedot

MS-A010{3,4} (ELEC*) Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Luento 7: Integraali ja analyysin peruslause

MS-A010{3,4} (ELEC*) Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Luento 7: Integraali ja analyysin peruslause MS-A010{3,4} (ELEC*) Differentili- j integrlilskent 1 Luento 7: Integrli j nlyysin perusluse Pekk Alestlo, Jrmo Mlinen Alto-yliopisto, Mtemtiikn j systeeminlyysin litos 3.10.2016 Pekk Alestlo, Jrmo Mlinen

Lisätiedot

MS-A0102 Differentiaali- ja integraalilaskenta 1

MS-A0102 Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 MS-A0102 Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Riikka Korte (Pekka Alestalon kalvojen pohjalta) Aalto-yliopisto 15.11.2016 Sisältö Alkeisfunktiot 1.1 Funktio I Funktio f : A! B on sääntö, joka liittää

Lisätiedot

MS-A010{2,3,4,5} (SCI,ELEC*, ENG*) Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Luento 7: Integraali ja analyysin peruslause

MS-A010{2,3,4,5} (SCI,ELEC*, ENG*) Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Luento 7: Integraali ja analyysin peruslause MS-A010{2,3,4,5} (SCI,ELEC*, ENG*) Differentili- j integrlilskent 1 Luento 7: Integrli j nlyysin perusluse Pekk Alestlo, Jrmo Mlinen Alto-yliopisto, Mtemtiikn j systeeminlyysin litos November 20, 2017

Lisätiedot

Sisältö. Funktiojonot ja -sarjat 10. syyskuuta 2005 sivu 1 / 15

Sisältö. Funktiojonot ja -sarjat 10. syyskuuta 2005 sivu 1 / 15 Funktiojonot j -srjt 10. syyskuut 2005 sivu 1 / 15 Sisältö 1 Funktiojonoist 2 2 Funktiosrjoist 5 3 Funktiojonojen j -srjojen derivointi j integrointi 7 4 Potenssisrjt 9 5 Tylorin polynomit j srjt 12 5.1

Lisätiedot

Sarjat ja integraalit

Sarjat ja integraalit Srjt j integrlit c Mtemttisten tieteiden litos, Oulun yliopisto Versio: 9.3.0 Viimeksi muoknnut: Peter Hästö Sisältö Funktion rj-rvo j jtkuvuus. Peruskäsitteitä........................................

Lisätiedot

MS-A010{3,4} (ELEC*) Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Luento 4: Derivaatta

MS-A010{3,4} (ELEC*) Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Luento 4: Derivaatta MS-A010{3,4} (ELEC*) Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Luento 4: Derivaatta Pekka Alestalo, Jarmo Malinen Aalto-yliopisto, Matematiikan ja systeemianalyysin laitos 21.9.2016 Pekka Alestalo, Jarmo

Lisätiedot

Riemannin integraalista

Riemannin integraalista Lebesguen integrliin sl. 2007 Ari Lehtonen Riemnnin integrlist Johdnto Tämän luentomonisteen trkoituksen on tutustutt lukij Lebesgue n integrliin j sen perusominisuuksiin mhdollisimmn yksinkertisess tpuksess:

Lisätiedot

MS-A0102 Differentiaali- ja integraalilaskenta 1

MS-A0102 Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 MS-A0102 Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Riikka Korte (Pekka Alestalon kalvojen pohjalta) Aalto-yliopisto 24.10.2016 Sisältö Derivaatta 1.1 Derivaatta Erilaisia lähestymistapoja: I geometrinen

Lisätiedot

Oletetaan, että funktio f on määritelty jollakin välillä ]x 0 δ, x 0 + δ[. Sen derivaatta pisteessä x 0 on

Oletetaan, että funktio f on määritelty jollakin välillä ]x 0 δ, x 0 + δ[. Sen derivaatta pisteessä x 0 on Derivaatta Erilaisia lähestymistapoja: geometrinen (käyrän tangentti sekanttien raja-asentona) fysikaalinen (ajasta riippuvan funktion hetkellinen muutosnopeus) 1 / 19 Derivaatan määritelmä Määritelmä

Lisätiedot

Sisältö. Integraali 10. syyskuuta 2005 sivu 1 / 20

Sisältö. Integraali 10. syyskuuta 2005 sivu 1 / 20 Integrli 10. syyskuut 2005 sivu 1 / 20 Sisältö 1 Määrätty integrli j integrlifunktio 2 1.1 Integroituvist funktioit 3 1.2 Määrätyn integrlin ominisuuksi 4 1.3 Integrlifunktio 5 1.4 Integrlilskennn tärkeimmät

Lisätiedot

Funktiot. funktioita f : A R. Yleensä funktion määrittelyjoukko M f = A on jokin väli, muttei aina.

Funktiot. funktioita f : A R. Yleensä funktion määrittelyjoukko M f = A on jokin väli, muttei aina. Funktiot Tässä luvussa käsitellään reaaliakselin osajoukoissa määriteltyjä funktioita f : A R. Yleensä funktion määrittelyjoukko M f = A on jokin väli, muttei aina. Avoin väli: ]a, b[ tai ]a, [ tai ],

Lisätiedot

x k 1 Riemannin summien käyttö integraalin approksimointiin ei ole erityisen tehokasta; jatkuvasti derivoituvalle funktiolle f virhe b

x k 1 Riemannin summien käyttö integraalin approksimointiin ei ole erityisen tehokasta; jatkuvasti derivoituvalle funktiolle f virhe b 5 Integrlien lskemisest 51 Riemnnin summt [A2], [4, 61] Rjoitetun funktion f : [, b] R Riemnn-integroituvuudelle ytäpitäväksi on kurssill Anlyysi 2 osoitettu, että Riemnnin summill S P := f(ξ k ) ( ),

Lisätiedot

MS-A010{3,4} (ELEC*) Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Luento 9: Integroimismenetelmät

MS-A010{3,4} (ELEC*) Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Luento 9: Integroimismenetelmät MS-A010{3,4} (ELEC*) Differentili- j integrlilskent 1 Luento 9: Integroimismenetelmät Pekk Alestlo, Jrmo Mlinen Alto-yliopisto, Mtemtiikn j systeeminlyysin litos 10.10.2016 Pekk Alestlo, Jrmo Mlinen (Alto-yliopisto,

Lisätiedot

Matematiikan tukikurssi

Matematiikan tukikurssi Mtemtiikn tukikurssi Kurssikert 4 Tilvuuden j vipn ln lskeminen Kuten iemmin käsittelimme, määrätyn integrlin vull voi lske pintloj j tilvuuksi. Tyypillisenä sovelluksen tilvuuden lskemisest on tpus, joss

Lisätiedot

MS-A010{3,4} (ELEC*) Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Luento 3: Jatkuvuus

MS-A010{3,4} (ELEC*) Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Luento 3: Jatkuvuus MS-A010{3,4} (ELEC*) Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Luento 3: Jatkuvuus Pekka Alestalo, Jarmo Malinen Aalto-yliopisto, Matematiikan ja systeemianalyysin laitos 19.9.2016 Pekka Alestalo, Jarmo

Lisätiedot

ANALYYSI I, kevät 2009

ANALYYSI I, kevät 2009 ANALYYSI I, kevät 009 Sisältö Relilukujen peruskäsitteitä Lukujonoist 4. Lukujonon rj-rvo....................... 4. Monotoniset jonot..........................3 Osjonot.............................. 7.4

Lisätiedot

Syksyn 2015 Pitkän matematiikan YO-kokeen TI-Nspire CAS -ratkaisut

Syksyn 2015 Pitkän matematiikan YO-kokeen TI-Nspire CAS -ratkaisut Sksn 0 Pitkän mtemtiikn YO-kokeen TI-Nspire CAS -rtkisut Tekijät: Olli Krkkulinen Rtkisut on ldittu TI-Nspire CAS -tietokoneohjelmll kättäen Muistiinpnot -sovellust. Kvt j lskut on kirjoitettu Mth -ruutuihin.

Lisätiedot

Viikon aiheet. Pinta-ala

Viikon aiheet. Pinta-ala info Viikon iheet Mpu I:sen voit suoritt: Kurssin loppukokeess 23.10. Arvosn: koe + lskrit Mikäli yo. ik ei sovi, voit suoritt loppukokeen yleistenttitilisuudess 24.11. Arvosn: koe + lskrit. Ilmoittudu

Lisätiedot

Analyysi B. Derivaatta ja integraali. Pertti Koivisto

Analyysi B. Derivaatta ja integraali. Pertti Koivisto Anlyysi B Derivtt j integrli Pertti Koivisto Kevät 7 Alkusnt Tämä moniste on trkoitettu oheislukemistoksi Tmpereen yliopistoss pidettävälle kurssille Anlyysi B. Monisteen tvoitteen on tuke luentojen seurmist,

Lisätiedot

MS-A010{2,3,4,5} (SCI,ELEC*, ENG*) Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Luento 9: Integroimismenetelmät

MS-A010{2,3,4,5} (SCI,ELEC*, ENG*) Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Luento 9: Integroimismenetelmät MS-A010{2,3,4,5} (SCI,ELEC*, ENG*) Differentili- j integrlilskent 1 Luento 9: Integroimismenetelmät Pekk Alestlo, Jrmo Mlinen Alto-yliopisto, Mtemtiikn j systeeminlyysin litos November 27, 2017 Pekk Alestlo,

Lisätiedot

ANALYYSI I, kevät 2009

ANALYYSI I, kevät 2009 5 Riemnnin integrli 7 ANALYYSI I, kevät 9 5. Integrlin perusominisuuksi................. 76 5. Anlyysin perusluse....................... 8 Sisältö Relilukujen peruskäsitteitä Lukujonoist 3. Lukujonon rj-rvo.......................

Lisätiedot

Lukujoukot. Luonnollisten lukujen joukko N = {1, 2, 3,... }.

Lukujoukot. Luonnollisten lukujen joukko N = {1, 2, 3,... }. Lukujoukot Luonnollisten lukujen joukko N = {1, 2, 3,... }. N 0 = {0, 1, 2, 3,... } = N {0}. Kokonaislukujen joukko Z = {0, 1, 1, 2, 2,... }. Rationaalilukujen joukko Q = {p/q p Z, q N}. Reaalilukujen

Lisätiedot

MS-A010{3,4} (ELEC*) Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Luento 6: Alkeisfunktioista

MS-A010{3,4} (ELEC*) Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Luento 6: Alkeisfunktioista MS-A010{3,4} (ELEC*) Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Luento 6: Alkeisfunktioista Pekka Alestalo, Jarmo Malinen Aalto-yliopisto, Matematiikan ja systeemianalyysin laitos 28.9.2016 Pekka Alestalo,

Lisätiedot

Preliminäärikoe Pitkä Matematiikka 5.2.2013

Preliminäärikoe Pitkä Matematiikka 5.2.2013 Preliminäärikoe Pitkä Mtemtiikk 5..0 Kokeess s vstt enintään kymmeneen tehtävään. Tähdellä ( * ) merkittyjen tehtävien mksimipistemäärä on 9, muiden tehtävien mksimipistemäärä on 6.. ) Rtkise yhtälö b)

Lisätiedot

ANALYYSI I, kevät 2009

ANALYYSI I, kevät 2009 ANALYYSI I, kevät 2009 Sisältö Relilukujen peruskäsitteitä 2 Lukujonoist 3 2. Lukujonon rj-rvo....................... 3 2.2 Monotoniset jonot......................... 7 2.3 Osjonot..............................

Lisätiedot

3 Integraali ja derivaatta

3 Integraali ja derivaatta 3 Integrli j erivtt 3.1 Integrli ylärjns funktion Olkoon funktio f Riemnn-integroituv välin I jokisell suljetull osvälillä j välin I jokin kiinteä luku. Tällöin integrli määrittelee funktion G(): I R,

Lisätiedot

5 ( 1 3 )k, c) AB 3AC ja AB AC sekä vektoreiden AB ja

5 ( 1 3 )k, c) AB 3AC ja AB AC sekä vektoreiden AB ja MATEMATIIKAN PERUSKURSSI I Hrjoitustehtäviä syksy 4. Millä reliluvun rvoill ) 9 =, b) + +, e) 5?. Kirjoit Σ-merkkiä käyttäen summt 4, ) + 4 + 6 + +, b) 8 + 4 6 + + n n, c) + + + 4 + + 99, d)

Lisätiedot

Sarja. Lukujonosta (a k ) k N voi muodostaa sen osasummien jonon (s n ): s 1 = a 1, s 2 = a 1 + a 2, s 3 = a 1 + a 2 + a 3,...,

Sarja. Lukujonosta (a k ) k N voi muodostaa sen osasummien jonon (s n ): s 1 = a 1, s 2 = a 1 + a 2, s 3 = a 1 + a 2 + a 3,..., Sarja Lukujonosta (a k ) k N voi muodostaa sen osasummien jonon (s n ): Määritelmä 1 s 1 = a 1, s 2 = a 1 + a 2, s 3 = a 1 + a 2 + a 3,..., n s n = a k. Jos osasummien jonolla (s n ) on raja-arvo s R,

Lisätiedot

Analyysi 2. Harjoituksia lukuihin 1 3 / Kevät Anna sellainen välillä ] 2, 2[ jatkuva ja rajoitettu funktio f, että

Analyysi 2. Harjoituksia lukuihin 1 3 / Kevät Anna sellainen välillä ] 2, 2[ jatkuva ja rajoitettu funktio f, että Anlyysi Hrjoituksi lukuihin 3 / Kevät 5. Ann sellinen välillä ], [ jtkuv j rjoitettu funktio f, että () sup A m A j inf A min A, (b) sup A m A j inf A = min A, (c) sup A = m A j inf A min A, (d) sup A

Lisätiedot

MS-A010{3,4,5} (ELEC*, ENG*) Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Luento 2: Sarjat

MS-A010{3,4,5} (ELEC*, ENG*) Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Luento 2: Sarjat MS-A010{3,4,5} (ELEC*, ENG*) Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Luento 2: Sarjat Pekka Alestalo, Jarmo Malinen Aalto-yliopisto, Matematiikan ja systeemianalyysin laitos September 13, 2017 Pekka Alestalo,

Lisätiedot

Analyysin perusteet kauppatieteilijöille 800118P

Analyysin perusteet kauppatieteilijöille 800118P Anlyysin perusteet kupptieteilijöille 800118P Luentomoniste Kri Myllylä Niin Korteslhti Topi Törmä Oulun yliopisto Mtemttisten tieteiden litos Kevät 2015 Sisältö 1 Derivtt 3 1.1 Määritelmä..............................

Lisätiedot

TEHTÄVÄ 1. Olkoon (f n ) jono jatkuvia funktioita f n : [a, b] R, joka suppenee välillä [a, b] tasaisesti kohti funktiota f : [a, b] R.

TEHTÄVÄ 1. Olkoon (f n ) jono jatkuvia funktioita f n : [a, b] R, joka suppenee välillä [a, b] tasaisesti kohti funktiota f : [a, b] R. Topologi I Hrjoitus 10, rtkisuj AP TEHTÄVÄ 1. Olkoon (f n ) jono jtkuvi funktioit f n : [, b] R, jok suppenee välillä [, b] tsisesti kohti funktiot f : [, b] R. Osoit, että tällöin f n (x) dx f(x) dx.

Lisätiedot

MS-A0102 Differentiaali- ja integraalilaskenta 1

MS-A0102 Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 MS-A0102 Differentili- j integrlilskent 1 Riikk Korte (Pekk Alestlon klvojen pohjlt) Alto-yliopisto 22.11.2016 Sisältö Pint-l Integrli 1.1 Pint-l: Suorkulmio Seurvss trkstelln umpinisten tsokäyrien rjmi

Lisätiedot

Ville Turunen: Mat Matematiikan peruskurssi P1 3. välikokeen alueen teoriatiivistelmä 2007

Ville Turunen: Mat Matematiikan peruskurssi P1 3. välikokeen alueen teoriatiivistelmä 2007 Ville Turunen: Mt-.4 Mtemtiikn peruskurssi P 3. välikokeen lueen teoritiivistelmä 27 Mterili: kirjt [Adms] R. A. Adms: Clculus, complete course (6th edition), [Ly] D. C. Ly: Liner lgebr nd its pplictions

Lisätiedot

Jonot. Lukujonolla tarkoitetaan ääretöntä jonoa reaalilukuja a n R, kun indeksi n N. Merkitään. (a n ) n N = (a n ) n=1 = (a 1, a 2, a 3,... ).

Jonot. Lukujonolla tarkoitetaan ääretöntä jonoa reaalilukuja a n R, kun indeksi n N. Merkitään. (a n ) n N = (a n ) n=1 = (a 1, a 2, a 3,... ). Jonot Lukujonolla tarkoitetaan ääretöntä jonoa reaalilukuja a n R, kun indeksi n N. Merkitään (a n ) n N = (a n ) n=1 = (a 1, a 2, a 3,... ). Lukujonon täsmällinen tulkinta on funktio f : N R, jolle f

Lisätiedot

6 Integraalilaskentaa

6 Integraalilaskentaa 6 Integrlilskent 6. Integrlifunktio Funktion f integrlifunktioksi snotn funktiot F, jonk derivtt on f. Siis F (x) = f (x) määrittelyjoukon jokisell muuttujn rvoll x. Merkitään F(x) = f (x) dx. Integrlifunktion

Lisätiedot

ANALYYSI 3. Tero Kilpeläinen

ANALYYSI 3. Tero Kilpeläinen ANALYYSI 3 Tero Kilpeläinen Luentomuistiinpnoj syksyltä 2005 20. lokkuut 2005 Sisältö 1. Esitietoj 2 1.1. Riemnn-integrli............................ 2 1.2. Derivtt................................. 4 1.3.

Lisätiedot

MS-A010{3,4} (ELEC*) Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Luento 5: Taylor-polynomi ja sarja

MS-A010{3,4} (ELEC*) Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Luento 5: Taylor-polynomi ja sarja MS-A010{3,4} (ELEC*) Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Luento 5: Taylor-polynomi ja sarja Pekka Alestalo, Jarmo Malinen Aalto-yliopisto, Matematiikan ja systeemianalyysin laitos 26.9.2016 Pekka Alestalo,

Lisätiedot

10. MÄÄRÄTYN INTEGRAALIN KÄYTTÖ ERÄIDEN PINTA-ALOJEN LASKEMISESSA

10. MÄÄRÄTYN INTEGRAALIN KÄYTTÖ ERÄIDEN PINTA-ALOJEN LASKEMISESSA MAA0 0. Määrätyn integrlin käyttö eräiden pint-lojen lskemisess 0. MÄÄRÄTYN INTEGRAALIN KÄYTTÖ ERÄIDEN PINTA-ALOJEN LASKEMISESSA Edellä on todettu, että f (x)dx nt x-kselin j suorien x =, x = sekä funktion

Lisätiedot

sin θ θ θ r 2 sin 2 θ φ 2 = 0.

sin θ θ θ r 2 sin 2 θ φ 2 = 0. Mtemtiikn j tilstotieteen litos Osittisdifferentiliyhtälöt Kevät 21 Hrjoitus 9 Rtkisuj Jussi Mrtin 1. Osoit, että Lplce-yhtälö pllokoordinteiss on 2 u 1 r 2 2 u r r 1 r 2 sin θ u 1 2 u sin θ θ θ r 2 sin

Lisätiedot

4 Taso- ja avaruuskäyrät

4 Taso- ja avaruuskäyrät P2-luentoj kevät 2008, Pekk Alestlo 4 Tso- j vruuskäyrät Tässä luvuss tutustutn tso- j vruuskäyriin, niiden krenpituuteen j krevuuteen. Konkreettisin sovelluksin trkstelln nnettu rt pitkin liikkuvn hiukksen

Lisätiedot

Kuvausta f sanotaan tällöin isomorfismiksi.

Kuvausta f sanotaan tällöin isomorfismiksi. Määritelmä..12. Oletetn, että 1 =(V 1,E 1 ) j 2 =(V 2,E 2 ) ovt yksinkertisi verkkoj. Verkot 1 j 2 ovt isomorfiset, jos seurvt ehdot toteutuvt: (1) on olemss bijektio f : V 1 V 2 (2) kikill, b V 1 pätee,

Lisätiedot

Määritelmä Olkoon C R m yksinkertainen kaari ja γ : [a, b] R m sen yksinkertainen parametriesitys, joka on paloittain C 1 -polku.

Määritelmä Olkoon C R m yksinkertainen kaari ja γ : [a, b] R m sen yksinkertainen parametriesitys, joka on paloittain C 1 -polku. Muodostetn vektorikentän kri-integrli yksinkertisen kren tpuksess. Plutetn mieleen, että joukko C R m on yksinkertinen kri, jos löytyy sellinen jtkuv bijektio γ : [, b] C, jok on ploittin C 1 -funktio

Lisätiedot

Differentiaali- ja integraalilaskenta 1

Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 (DRAFT) Differentili- j integrlilskent 1 Hrri Vrpnen October 16, 2015 2 Esipuhe Tätä monistett on kirjoitettu Alto-yliopiston mtemtiikn j systeeminlyysin litoksen syksyn 2015 periodin I kursseill MS-A0103

Lisätiedot

Differentiaali- ja integraalilaskenta 1

Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 (DRAFT) Differentili- j integrlilskent 1 Hrri Vrpnen October 16, 2015 2 Esipuhe Tätä monistett on kirjoitettu Alto-yliopiston mtemtiikn j systeeminlyysin litoksen syksyn 2015 periodin I kursseill MS-A0103

Lisätiedot

Tee B-osion konseptiin etusivulle pisteytysruudukko! Muista kirjata nimesi ja ryhmäsi. Välivaiheet perustelevat vastauksesi!

Tee B-osion konseptiin etusivulle pisteytysruudukko! Muista kirjata nimesi ja ryhmäsi. Välivaiheet perustelevat vastauksesi! MAA8 Koe 4.4.016 Jussi Tyni Tee B-osion konseptiin etusivulle pisteytysruudukko! Muist kirjt nimesi j ryhmäsi. Väliviheet perustelevt vstuksesi! A-osio. Ilmn lskint. MAOLi s käyttää. Mksimissn 1h ik. Lske

Lisätiedot

Integraalilaskentaa. 1. Mihin integraalilaskentaa tarvitaan? MÄNTÄN LUKIO

Integraalilaskentaa. 1. Mihin integraalilaskentaa tarvitaan? MÄNTÄN LUKIO Integrlilskent Tämä on lukion oppimterileist hiemn poikkev yksinkertistettu selvitys määrätyn integrlin lskemisest. Kerromme miksi integroidn, mitä integroiminen trkoitt, miten integrli lsketn j miten

Lisätiedot

OSA 1: POLYNOMILASKENNAN KERTAUSTA, BINOMIN LASKUSÄÄNTÖJÄ JA YHTÄLÖNRATKAISUA

OSA 1: POLYNOMILASKENNAN KERTAUSTA, BINOMIN LASKUSÄÄNTÖJÄ JA YHTÄLÖNRATKAISUA OSA 1: POLYNOMILASKENNAN KERTAUSTA, BINOMIN LASKUSÄÄNTÖJÄ JA YHTÄLÖNRATKAISUA Tekijät: Ari Heimonen, Hellevi Kupil, Ktj Leinonen, Tuomo Tll, Hnn Tuhknen, Pekk Vrniemi Alkupl Tiedekeskus Tietomn torninvrtij

Lisätiedot

Kertymäfunktio. Kertymäfunktio. Kertymäfunktio: Mitä opimme? 2/2. Kertymäfunktio: Mitä opimme? 1/2. Kertymäfunktio: Esitiedot

Kertymäfunktio. Kertymäfunktio. Kertymäfunktio: Mitä opimme? 2/2. Kertymäfunktio: Mitä opimme? 1/2. Kertymäfunktio: Esitiedot TKK (c) Ilkk Mellin (24) 1 Johdtus todennäköisyyslskentn TKK (c) Ilkk Mellin (24) 2 : Mitä opimme? 1/2 Jos stunnisilmiötä hlutn mllint mtemttisesti, on ilmiön tulosvihtoehdot kuvttv numeerisess muodoss.

Lisätiedot

Reaalinen lukualue. Millainen on luku, jossa on päättymätön ja jaksoton desimaalikehitelmä?

Reaalinen lukualue. Millainen on luku, jossa on päättymätön ja jaksoton desimaalikehitelmä? Relinen lukulue POLYNOMIFUNKTIOT JA -YHTÄLÖT, MAA Millinen on luku, joss on päättymätön j jksoton desimlikehitelmä? Onko sellisi? Trkstelln Pythgorn luseest stv yksikköneliön lävistäjää, luku + = x x =.

Lisätiedot

2.4 Pienimmän neliösumman menetelmä

2.4 Pienimmän neliösumman menetelmä 2.4 Pienimmän neliösummn menetelmä Optimointimenetelmiä trvitn usein kokeellisen dtn nlysoinniss. Mittuksiin liittyy virhettä, joten mittus on toistettv useit kertoj. Oletetn, että mittn suurett c j toistetn

Lisätiedot

ANALYYSIN TEORIA A JA B

ANALYYSIN TEORIA A JA B ANALYYSIN TEORIA A JA B Kikki luseit ei ole muotoiltu smll tvll kuin luennoill. Ilmoit virheistä yms osoitteeseen mikko.kngsmki@ut. (jos et ole vrm, onko kyseessä virhe, niin ilmoit mieluummin). 1. Yleistä,

Lisätiedot

Kertausta ja täydennystä

Kertausta ja täydennystä LUKU 1 Kertust j täydennystä 1.1. Merkintöjä N = {k Z k 0} = {0, 1, 2,... }, luonnollisten lukujen joukko. Z + = {k Z k > 0} = {1, 2,... }, positiivisten kokonislukujen joukko. (, b) on relikselin voin

Lisätiedot

lim + 3 = lim = lim (1p.) (3p.) b) Lausekkeen täytyy supistua (x-2):lla, joten osoittajan nollakohta on 2.

lim + 3 = lim = lim (1p.) (3p.) b) Lausekkeen täytyy supistua (x-2):lla, joten osoittajan nollakohta on 2. Mtemtiikk III 0600 Kurssi / Differetili- j itegrlilske jtkokurssi Tee 7 tehtävää ) Määritä lim ( ) ) + b) Määritä vkio site, että luseke ( ) + + ( )( ) ( + + ) + + + + + lim + lim lim (p) o jtkuv myös

Lisätiedot

Integroimistehtävät, 10. syyskuuta 2005, sivu 1 / 29. Perustehtäviä. Tehtävä 1. Osoita, että vakiofunktio f(x) c on Riemann-integroituva välillä

Integroimistehtävät, 10. syyskuuta 2005, sivu 1 / 29. Perustehtäviä. Tehtävä 1. Osoita, että vakiofunktio f(x) c on Riemann-integroituva välillä Integroimistehtävät,. syyskuut 5, sivu / 9 Perustehtäviä Tehtävä. Osoit, että vkiofunktio f(x) c on Riemnn-integroituv välillä [, b] j lske suorn määritelmän perusteell b f(x). Tehtävä. Osoit, että funktio,

Lisätiedot

Sinilause ja kosinilause

Sinilause ja kosinilause Siniluse j kosiniluse GEOMETRI M3 Mikäli kolmion korkeus j knt tiedetään, voidn pint-l lske. Esimerkki: Lske kolmion l, kun 38 kulmn viereiset sivut ovt 8, j 6,8. Nyt knt tiedetään, korkeutt ei! 38 8,

Lisätiedot

MITEN MÄÄRITÄN ASYMPTOOTIT?

MITEN MÄÄRITÄN ASYMPTOOTIT? MITEN MÄÄRITÄN ASYMPTOOTIT? Asmptootti Asmptootti on suor ti muu kärä, jot funktion kuvj f() rjtt lähest, kun muuttujn rvot lähestvät tiettä luku ti ääretöntä. Rjoitutn luksi niihin tpuksiin, joiss smptootti

Lisätiedot

MATEMATIIKAN KOE, PITKÄ OPPIMÄÄRÄ PISTEYTYSKOKOUS

MATEMATIIKAN KOE, PITKÄ OPPIMÄÄRÄ PISTEYTYSKOKOUS 0 MATEMATIIKAN KOE, PITKÄ OPPIMÄÄRÄ 30 PISTEYTYSKOKOUS 0 ) Sijoitetn x 0 Rtkistn = 0/04,0000 b) Jos neliön sivu on s, niin lävistäjä on s Ehto: s 6 s + s = 6, s 6 3 4s 6,70, joten piiri ) Suorn yhtälö

Lisätiedot

Matematiikan peruskurssi. Seppo Hassi

Matematiikan peruskurssi. Seppo Hassi Mtemtiikn peruskurssi Seppo Hssi Syksy 2014 iii Esipuhe Tämä on 1. versio Mtemtiikn peruskurssin opetusmonisteest, jonk sisältö noudttelee pitkälti Vsn yliopistoss iemmin luennoimni Mtemttiset menetelmät

Lisätiedot

Funktion määrittely (1/2)

Funktion määrittely (1/2) Funktion määrittely (1/2) Funktio f : A B on sääntö, joka liittää jokaiseen joukon A alkioon a täsmälleen yhden B:n alkion b. Merkitään b = f (a). Tässä A = M f on f :n määrittelyjoukko, B on f :n maalijoukko.

Lisätiedot

4. Reaalifunktioiden määrätty integraali

4. Reaalifunktioiden määrätty integraali 6 4. Relifunktioiden määrätt integrli Vrsinisesti termi "integrli" tulee seurvss esitettävästä määrätstä integrlist, jok on läheistä suku summmiselle. Yhtes derivttn on sitten perustv ltu olev tulos, jot

Lisätiedot

Reaaliluvut. tapauksessa metrisen avaruuden täydellisyyden kohdalla. 1 fi.wikipedia.org/wiki/reaaliluku 1 / 13

Reaaliluvut. tapauksessa metrisen avaruuden täydellisyyden kohdalla. 1 fi.wikipedia.org/wiki/reaaliluku 1 / 13 Reaaliluvut Reaalilukujen joukko R. Täsmällinen konstruointi palautuu rationaalilukuihin, jossa eri mahdollisuuksia: - Dedekindin leikkaukset - rationaaliset Cauchy-jonot - desimaaliapproksimaatiot. Reaalilukujen

Lisätiedot

Sarjaratkaisun etsiminen Maplella

Sarjaratkaisun etsiminen Maplella Srjrtkisun etsiminen Mplell Olkoon trksteltvn ensimmäisen kertluvun differentiliyhtälö: > diffyht:= diff(y(x, x=1y(x^; d diffyht := = dx y( x 1 y( x Tälle pyritään etsimään srjrtkisu origokeskisenä potenssisrjn.

Lisätiedot

Esimerkki 8.1 Määritellään operaattori A = x + d/dx. Laske Af, kun f = asin(bx). Tässä a ja b ovat vakioita.

Esimerkki 8.1 Määritellään operaattori A = x + d/dx. Laske Af, kun f = asin(bx). Tässä a ja b ovat vakioita. 8. Operttorit, mtriisit j ryhmäteori Mtemttinen operttori määrittelee opertion, jonk mukn sille nnettu funktiot muoktn. Operttorit ovt erityisen tärkeitä kvnttimekniikss, kosk siinä jokist suurett vst

Lisätiedot

Laudatur 10 MAA10 ratkaisut kertausharjoituksiin

Laudatur 10 MAA10 ratkaisut kertausharjoituksiin Ludtur MAA rtkisut kertushrjoituksiin Integrlifunktio. ) Jokin integrli funktio on esimerkiksi F( ) b) Kikki integrlifunktiot F( ) + C, missä C on vkio Vstus: ) F( ) b) F( ) + C, C on vkio. Kikki integrlifunktiot

Lisätiedot

MS-A0102 Differentiaali- ja integraalilaskenta 1

MS-A0102 Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 MS-A0102 Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Riikka Korte (Pekka Alestalon kalvojen pohjalta) Aalto-yliopisto 24.10.2016 Sisältö Käytännön asiat Jonot Sarjat 1.1 Opettajat luennoitsija Riikka Korte

Lisätiedot

2.2 Monotoniset jonot

2.2 Monotoniset jonot Mtemtiik tito 9, RATKAISUT Mootoiset joot ) Kosk,,,, ii 0 Lukujoo ( ) o siis lhlt rjoitettu Toislt 0 Lukujoo (

Lisätiedot

Ristitulo ja skalaarikolmitulo

Ristitulo ja skalaarikolmitulo Ristitulo j sklrikolmitulo Opetussuunnitelmn 00 mukinen kurssi Vektorit (MAA) sisältää vektoreiden lskutoimituksist keskeisenä ineksen yhteenlskun, vähennyslskun, vektorin kertomisen luvull j vektoreiden

Lisätiedot

Matemaattiset menetelmät I. Seppo Hassi

Matemaattiset menetelmät I. Seppo Hassi Mtemttiset menetelmät I Seppo Hssi Syksy 2011 iii Esipuhe Tämä on 1. versio Mtemttiset menetelmät I-kurssin opetusmonisteest, jok perustuu Vsn yliopistoss luennoimni vstvn nimiseen kurssiin. Sisältö noudtt

Lisätiedot

521. 522. 523. 524. 525. 526. 527. 12. Lisää määrätystä integraalista. 12.1. Integraalin arvioimisesta. Osoita: VASTAUS: Osoita: Osoita:

521. 522. 523. 524. 525. 526. 527. 12. Lisää määrätystä integraalista. 12.1. Integraalin arvioimisesta. Osoita: VASTAUS: Osoita: Osoita: 12. Lisää määrätystä integrlist 12.1. Integrlin rvioimisest 521. Osoit: 1 + x 2 22 1 < < 1 + x21 21. 522. Osoit: x 3 < 5 x 6 + 8x + 9 < 15 1 5. 523. Osoit: 2 2 < e x2 x < 2e 2. e 524. Olkoon k >. Osoit:

Lisätiedot

R4 Harjoitustehtävien ratkaisut

R4 Harjoitustehtävien ratkaisut . Mitkä seurvist lusekkeist eivät ole polynomej? Miksi eivät? Polynomin termine eksponentti on luonnollinen luku, ne lusekkeet, joiss eksponentti ei ole luonnollinen luku ei ole myöskään polynomi.. x x

Lisätiedot

11. MÄÄRÄTTY INTEGRAALI JA TILAVUUS

11. MÄÄRÄTTY INTEGRAALI JA TILAVUUS 11. MÄÄRÄTTY INTEGRAALI JA TILAVUUS Tilvuus on sen verrn rkielämässä viljelty käsite, että useimmiten sen syvemmin edes miettimättä ymmärretään, mitä juomlsin ti pikkuvuvn kylpymmeen tilvuudell trkoitetn.

Lisätiedot

A-Osio. Valitse seuraavista kolmesta tehtävästä kaksi, joihin vastaat. A-osiossa ei saa käyttää laskinta.

A-Osio. Valitse seuraavista kolmesta tehtävästä kaksi, joihin vastaat. A-osiossa ei saa käyttää laskinta. MAA Loppukoe 5.. Jussi Tyni Tee pisteytysruudukko konseptin yläreunn! Vstuksiin väliviheet, jotk perustelevt vstuksesi! Lue ohjeet huolellisesti! A-Osio. Vlitse seurvist kolmest tehtävästä kksi, joihin

Lisätiedot

.) (b) Vertaa p :tä vastaavaa kineettistä energiaa perustilan kokonaisenergiaan. ( ) ( ) = = Ek

.) (b) Vertaa p :tä vastaavaa kineettistä energiaa perustilan kokonaisenergiaan. ( ) ( ) = = Ek S-446, FYSIIKKA IV (Sf) Kevät 5, HSf Rtkisut HSf- Kvnttimekninen hrmoninen värähtelijä on perustillln (mss m) Värähtelyn mplitudi on A () ske p (Värähtelijä sijitsee välillä A ) (b) Vert p :tä vstv kineettistä

Lisätiedot

Analyyttiset funktiot ja integrointiteorian alkeita

Analyyttiset funktiot ja integrointiteorian alkeita Anlyyttiset funktiot j integrointiteorin lkeit 6. helmikuut 2006 isältö 1 Kertust 1 2 Anlyyttiset funktiot 2 2.1 Anlyyttiset funktiot tsoll................... 2 2.2 Monogeeniset funktiot vruudess R n.............

Lisätiedot

Numeerinen integrointi.

Numeerinen integrointi. Numeerinen integrointi. Differentili- j integrlilskent 1, syksy 2015 Hrri Vrpnen Mtemtiikn j systeeminlyysin litos Alto-yliopisto Tiisti 6.10.2015 Sisältö Tylor-menetelmä. Käyttökelpoinen silloin, kun

Lisätiedot

Matematiikan tukikurssi

Matematiikan tukikurssi Mtemtiikn tukikurssi Kurssikert 3 Määrätyn integrlin lskeminen Aiemmin määrittelimme määrätyn integrlin f (x)dx funktion f (x) l- j yläsummien rj-rvon. Määrätyllä integrlill on kksi intuitiivist tulkint:.

Lisätiedot

MS-A010X Differentiaali- ja integraalilaskenta 1

MS-A010X Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 MS-A010X Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Pekka Alestalo Aalto-yliopisto 1.9.2016 Pekka Alestalo (Aalto-yliopisto) MS-A010X Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 1.9.2016 1 / 200 Sisältö Nämä

Lisätiedot

Sarjojen tasainen suppeneminen

Sarjojen tasainen suppeneminen Srjojen tsinen suppeneminen Pro grdu -tutkielm Krist Mikkonen 165274 Itä-Suomen yliopisto Fysiikn j mtemtiikn litos 19. mrrskuut 2013 Sisältö 1 Johdnto 1 2 Lukujonoist j srjoist 2 2.1 Lukujoukoist...........................

Lisätiedot

VEKTOREILLA LASKEMINEN

VEKTOREILLA LASKEMINEN ..07 VEKTOREILL LSKEMINEN YHTEENLSKU VEKTORIT, M4 Vektoreiden j summ on vektori +. Tämän summvektorin + lkupiste on vektorin lkupiste j loppupiste vektorin loppupiste, kun vektorin lkupisteenä on vektorin

Lisätiedot

MS-A010X Differentiaali- ja integraalilaskenta 1

MS-A010X Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 MS-A010X Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Pekka Alestalo 1 Aalto-yliopisto Perustieteiden korkeakoulu Matematiikan ja systeemianalyysin laitos 6.9.2017 1 Kiitokset Harri Hakulalle, Janne Korvenpäälle,

Lisätiedot

2.1 Vaillinaiset yhtälöt

2.1 Vaillinaiset yhtälöt .1 Villiniset yhtälöt Yhtälö, jok sievenee muotoon x + bx + c = 0 (*) on yleistä normlimuoto olev toisen steen yhtälö. Tämän rtkiseminen ei olekn enää yhtä meknist kuin normlimuotoisen ensisteen yhtälön

Lisätiedot

2 Riemann-integraali. 2.1 Porrasfunktion integraali. Aloitetaan integraalin täsmällinen määrittely tutkimalla porrasfunktion integraalia.

2 Riemann-integraali. 2.1 Porrasfunktion integraali. Aloitetaan integraalin täsmällinen määrittely tutkimalla porrasfunktion integraalia. 2 Riemnn-integrli 2.1 Porrsfunktion integrli Aloitetn integrlin täsmällinen määrittely tutkimll porrsfunktion integrli. Määritelmä 2.1 (Porrsfunktion integrli). Olkoon f : [, b] R porrsfunktio j P = {x

Lisätiedot

reaalifunktioiden ominaisuutta, joiden perusteleminen on muita perustuloksia hankalampaa. Kalvoja täydentää erillinen moniste,

reaalifunktioiden ominaisuutta, joiden perusteleminen on muita perustuloksia hankalampaa. Kalvoja täydentää erillinen moniste, Reaaliluvuista Pekka Alestalo Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Aalto-yliopiston perustieteiden korkeakoulu Nämä kalvot sisältävät tiivistelmän reaaliluvuista ja niihin liittyvistä käsitteistä.

Lisätiedot

Lebesguen integraali - Rieszin määritelmä

Lebesguen integraali - Rieszin määritelmä Lebesguen integrli - Rieszin määritelmä Tru Lehtonen Mtemtiikn pro grdu-tutkielm Jyväskylän yliopisto Mtemtiikn j tilstotieteen litos Kevät 216 Tiivistelmä Jyväskylän Yliopisto Lehtonen, Tru Puliin: Lebesguen

Lisätiedot