Laaja matematiikka 2 Kevät 2005 Risto Silvennoinen

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Koko: px
Aloita esitys sivulta:

Download "7303045 Laaja matematiikka 2 Kevät 2005 Risto Silvennoinen"

Transkriptio

1 Lj mtemtii 2 Kevät 2005 Risto Silveoie. Luusrjt Kos srjt ovt summie jooj, ertmme esi jooje teori. Joot Joo o mtemtii iei perustvimpi äsitteitä j se vull ohdt äärettömyys esimmäistä ert. Luulueit muodostettess luoolliste luuje jouo N={, 2, 3,...} o lähtöoht, j se lioide luumäärä o ilmeise ymmärrettävästi ääretö. Joist jouo, joss o yhtä mot liot ui luoollisiss luvuiss, sot umeroituvsi. Kii jouot eivät uite ole umeroituvi, ute reliluuje jouo R esimeriä osoitt. Tällisi jouoj sot yliumeroituvisi. Joo (sequece) o tässä yhteydessä i päättymätö, ääretö joo. Sm termiä äytetää suomeielessä myös äärellisestä joost (esim. hvil joo), eglisi queue, mutt siyhteydestä yleesä ilmeee, ump troitet. Seurvss ertmme j täydeämme reliluujooje teori, jot urssiss Lj mtemtii jo oli esillä. Joo oostuu luvuist x, x 2,,x,..., joss joist idesiä vst ysi joo luu. Mtemttisesti jtelle yseessä o siis futio luoollisilt luvuilt reliluuje jouoo: Reliluujoo o futio N R. Jos siis joist luoollist luu ohti setet vstm reliluu x, sytyy luujoo eli lyhyesti (x ). x, x 2,..., x,...

2 2 Tässä mielessä jooss o siis i ääretö määrä termejä x (joisell :llä ysi). Toislt jooll ei trvitse oll ääretötä määrää rvoj x, esimerisi viojooll x = c, =,2, o vi ysi rvo, c. Siis joo (x ) j se rvojouo {x : N} ovt eri sioit. Jooj äytetää usei iteroitimeetelmissä, joiss joti ogelm rtist toistuvsti ii, että tulose o yhä tretuv pprosimoivie rtisuje joo. Tällöi ihetpusess joo rvot lähestyvät hettu ogelm rtisu, u eli iteroitie luumäärää sv. Tämä jttelu perustuu joo rj-rvo äsitteesee. Rj-rvo o rvo, jot yleesä ei tr svutet, v sitä lähestytää yhä lähemmäsi j lähemmäsi : svess rjttom suuresi. Trvittv "läheisyyde" äsite void muotoill täsmällisee suu seurvsti: Oloo x R j ε >0. Avoit väliä ( x - ε, x +ε) utsut luvu x ympäristösi ti ε- ympäristösi, j meritää U(x;ε). Luujoo ( x ) suppeee j se rj-rvo o = x, jos joist x: ympäristöä U(x;ε) vst luu ε N site, että x U(x;ε), u > ε. Luujoo ( x ) siis suppeee, jos joist positiiviluu ε ohti o olemss luu ε N site, että x - x < ε, u > ε. Tällöi meritää lim x = x ti ysiertisesti x x. All o uvttu si tpust luujoost ( ), jo suppeee ohti rjrvo L. V-seli o idesiseli, joss idesi ulee, 2, 3,... j pystyselill ovt vstvt joo rvot.

3 3 Ku joo suppeee ohti rj-rvo x, ii joo termit ovt hlutu lähellä (ε-tolerssill mitte) rj-rvo, uh idesi o riittävä suuri (> ε ). Jos termit hlut lähemmäsi (ε-luu pieeetää), riittää meä jooss trvittv mot termiä eteepäi eli svtt idesiä. Oheisess uvss joo ( ) rj-rvo o L, j termie rvot ovt y- selill. Puiset pisteet ovt pisteitä (, ). Jos luujoo ei suppee, se hjtuu. Hjtumie voi oll meo ohti ääretötä (meritää myös x ti x -) ti sitte termit voivt "pouoill" hde ti usemm rvo välillä ti äyttäytyä vielä epäsääöllisemmi.

4 4 Esim. Joo =r suppeee täsmällee silloi, u -<r. Teht. Osoit, että viojoo ( x ), missä x = c = vio iill rvoill N, suppeee.

5 5 Teht. 2 Osoit (määritelmä perusteell), että lim ( /) = 0. Teht. 3 Osoit (määritelmää ojutue), että lim = 3. 4 Suppeev joo termit "htutuvt" jooss pitemmälle metäessä: Luse. Jos joo ( x ) suppeee, ii joist positiiviluu ε ohti o olemss luu ε N site, että > ε x+ p x < ε p N. Tod.: Jos x=lim x, ii olmioepäyhtälö perusteell x +p -x x +p -x + x -x <ε/2+ε/2=ε, u riittävä suuri j p N. Miää luujoo ei voi supet ht ti usemp rj-rvo ohti: Luse 2. Luujoo rj-rvo o ysiäsitteie. Tod.: Jos x j y ovt joo (x ) rj-rvoj, ii x-y = x-x +x -y x-x + y-x 0, u.

6 6 Teht. 4 Osoit, että joo 0,,0,,0,,0,, hjtuu. Teht. 5 Osoit, että joo 0,,2,3,4,5,6,7, hjtuu. Reliluujoo ( x ) o rjoitettu, jos o olemss vio M site, että x M N. Luse 3. Suppeev luujoo o rjoitettu. Tod.: Jos x=lim x, ii x x -x + x <+ x =:M, u >.

7 7 Epäyhtälöt "säilyvät rjll": Luse 4. Oloo x M N j lim x = x. Silloi x M. Tod.: Oloo ε>0. Silloi o olemss sellie ε, että x -x <ε, u > ε. Siis x = x-x +x x-x +x <ε+x ε+m. Kos tämä pätee mielivltiselle ε>0, o x M. Rj-rvoje lsess void äyttää seurvi yhteelsu, ertolsu, violl ertomise j jolsu säätöjä: Luse 5. Oloot ( x ) j ( y ) suppeevi reliluujooj, joide rj-rvot ovt vstvsti x j y. Silloi ) lim ( x+ y) = x + y = lim x +lim y b) lim ( x y ) = x y = lim x lim y c) lim ( cx ) = c x = c lim x c R x d) lim y = x y = lim x lim y, edellyttäe että y 0 N j että y 0. Tod.: ) Oloo ε>0. Silloi o olemss j 2 site, että x -x <ε/2 j y -y <ε/2, u > j > 2. Siis (x +y )-(x+y) = (x -x)+(y -y) x -x + y -y < ε/2+ε/2=ε, u >mx{, 2 }.

8 8 Muut ohdt meevät vstvsti (s. Lm ). Erittäi hyödyllie rj-rvoje lsess o myös oheie "uristusperite": Jos joot ( ) j (c ) suppeevt ohti sm rj-rvo L j o voimss epäyhtälö b c, ii myös joo (b ) suppee ohti rj-rvo L. Esim. 2 lim ( 2/) = 2 lim (/) = 2 0 = 0. Esim. 3 lim = 3+ 4/ lim 4 + 5/ = lim(3+ 4/ ) lim(4 + 5/ ) = 3 4 Esim. 4 lim = lim 2 3 2/ + 7/ + 3/ 5 2/ + 2/ / 2 3 = 0.

9 9 2 2 Esim. 5 lim ( ) = ( )( ) lim =lim = Käytäö lset tehdää i lopult rtioliluvuill. Näi sd uitei miä hyväsä reliluu esitettyä mielivltise trsti pprosimoitu: Luse 6. Oloo x R. Silloi o olemss rtioliluujoo, jo suppeee ohti pistettä x. Tod.: Otet i väliltä (x-/, x+/) joi rtioliluu x. Se o mhdollist, os joisell voimell välillä o i (jop ääretö määrä) rtioliluu(j). (Tämä vtii om todistuses, joss joudut äyttämää reliluuje perusomiisuusi. Trvit sitä, että joisell epätyhjällä reliluujouoll o supremum, j Arhimedee lusett, jo mu joiselle reliluvulle löytyy sitä suurempi ooisluu. Käsitellää urssill Mtemttie lyysi.)

10 0 Jos joost poimit eteepäi metäessä vi os termeistä, mutt uitei äärettömä mot, sd osjoo. Tällöi siis ideseistä poimit svvss järjestysessä os, tsepäi ei s meä. Esim. 6 Jooll (0,,0,,0,,0,, ) o esimerisi osjoot (0,0,0,0,0, ) j (,,,,, ). Mitä muit osjooj sillä o? Esim.7 Joo (,2,4,3,5,6, ) ei ole joo (,2,3,4,5,6, ) osjoo, os lioide järjestys ei ole sm. Luse 7. Oloo (x ) joo, jo suppeee ohti reliluu x. Silloi joie joo (x ) osjoo suppeee myös ohti luu x. Tod.: Oloo ( x ) osjoo j ε>0. O siis olemss 0 site, että x -x < ε, u > 0. O olemss 0 site,että u > 0, ii > 0. Silloi > 0. x x <ε, u Esim. 8 Esimeri 5: osjooill (0,0,0,0,0, ) j (,,,,, ) o eri rj-rvot: 0 j, jote joo (0,,0,,0,,0,, ) o hjtuv.

11 Reliluujoo ( x ) o svv ( vstvsti, idosti svv ), jos x x + (vstvsti x < x + ) N. Reliluujoo ( x ) o väheevä ( vstvsti, idosti väheevä), jos x x (vstvsti + x > x ) + N. Reliluujoo ( x ) o mootoie, jos se o svv ti väheevä. Jos svv joo o ylhäältä rjoitettu, se ei voi rt äärettömyytee, j ylärj ee se rvot väisi putuvt yhtee, os edestie osilloiti estyy mootoisuude ti. Vstv pätee lhlt rjoitetulle väheevälle joolle. Luse 8. Rjoitettu mootoie reliluujoo suppeee. Tod.: Hrj.teht. Edellä riittää svv joo tpusess selvittää joo ylhäältä rjoitetusi, os svv joo o utomttisesti lhlt rjoitettu. Vstv pätee väheevälle joolle.

12 2 Usei void luujoo suppeemistrstelu muut vstv relifutio rj-rvo tutimisesi: Luse 9. Joo ( ) suppeee ohti rj-rvo L, jos lim f ( x) = L, x missä f() =. Tämä mhdollist esimerisi L Hospitli sääö äytö myös luujooje rj-rvoj lsettess.

13 3 Srjt Srj o "summ, joss o äärettömä mot yhteelsettv". Täsmällisempi määritelmä o seurv: Trstell luujoo ( ), =,...,. Liitetää siihe toie luujoo (S ), =,..., seurvsti: S =, S 2 = + 2,..., S = Srj muodostuu silloi äistä hdest joost. Srj :s termi o j srj :s ossumm o S. Srj meritää ti. Tällöi siis :s ossumm o S =. Srj suppeemie määritellää ossummie joo suppeemise vull: Srj suppeee j se summ o S, jos ossummie joo (S ) suppeee j lim S = S. Silloi meritää = S. (Siis meritä voi troitt ht si, srj siäsä j toislt suppeev srj tpusess srj summ. Yhteydestä ilmeee, ump troitet.)

14 4 Jos srj ei suppee, se hjtuu. Erityisesti jos lim S = ti lim S =, ii sot, että srj hjtuu ohti (plus ti miius) ääretötä. Tällöi void myös meritä = ti =. Esim. 9 Geometrie srj = q q q q 2 q S = + q+ q + q =, u q. q S =, u q=. Siis geometrie srj suppeee täsmällee silloi, u q <. Silloi q =. q 0 Srj suppeemiselle o välttämätötä, että yleie termi lähestyy oll: Luse 0 Jos srj suppeee, ii lim = 0. Tod.: = S S S S = 0.

15 5 Kääteie tulos ei päde. Eli siitä, että yleie termi lähestyy oll ei välttämättä seur, että srj suppeisi. Tämä äyttää seurv vstesimeri: Esim. 0 ; = 0 S = > = =. Mutt tulost void äyttää hjtumistestiä: Jos 0, ii srj hjtuu. Kos srj suppeemie o määritelty ossummie joo rj-rvo, eivät lupää termit viut li srj suppeemisee (summ rvoo ylläi). Toisi soe, srj void liittää, viht toisisi ti siitä poist äärellise mot termiä ilm, että srj suppeemie muuttuu hjtumisesi ti hjtumie suppeemisesi. Erityisesti jos suppeee, ii myös ii srj :s jääöstermi o R = + + täsmällee silloi, u jääöstermit ovt äärellisiä j lim R = 0. suppeee. Jos =S, =S-S. Srj o suppeev

16 6 Luse Jos suppeev srj termit yhdistetää ryhmisi (järjestystä muuttmtt) j jo ryhmässä termit lset yhtee, ii stu srj suppeee j sillä o sm summ ui luperäisellä srjll. Tod.: = S ( + + ) + ( + + ) + ( + + ) = S + ( S S ) + ( S S ) Tämä srj :s ossumm s = S S, u, os se o luperäise srj ossummie osjoo. Tulos ei päde äätäe. Jos srjst sd termejä ryhmittelemällä suppeev srj, ii siitä ei välttämättä seur, että luperäie srj suppeisi. Esimeriä srj , jo ei suppee, vi (-)+(-)+(-)+... suppeee. Seurvt luseet ovt välittömiä seurusi luujooje vstvist tulosist: Luse 2 Jos srjt j b ovt vstvsti A j B, ii summsrj ovt suppeevi j iide summt ( + b) o suppeev j ( + b ) =A+B. Jos c R, ii srj ( c ) o suppeev j ( c ) =ca.

17 7 Luse 3 Jos srj summsrj ( + b) hjtuu. suppeee j srj b hjtuu, ii Todettoo vielä, että hde hjtuv srj summ voi oll suppeev ti hjtuv. Positiivitermiset srjt Srj sot positiivitermisesi, jos 0,. Silloi ossummie joo o mootoisesti svv: S S+,, jote se suppeee täsmällee silloi, u se o ylhäältä rjoitettu: Luse 4 Positiivitermie srj suppeee, jos j vi jos o olemss M>0 site, että ossummie joolle pätee S M,. Jos ossummie joo ei ole ylhäältä rjoitettu, ii S, u. Positiivitermie srj siis joo suppeee ohti äärellistä summ S 0 ti hjtuu ohti ääretötä.

18 8 Seurvss esitetää positiivitermiste srjoje suppeemistestejä. Srjt j b ovt luseiss 5-22 siis positiivitermisiä. Luse 5 (Vertilutesti: mjorttiperite) Jos eräästä idesistä 0 le o voimss b suppeee,ii myös suppeee. b, j Luse 6 (Vertilutesti: miorttiperite) Jos eräästä idesistä 0 le o voimss b, j ii myös hjtuu. b hjtuu, Luse 7 (Vertilutesti limesmuoto) Jos rj-rvo lim = m o olemss j m 0,, ii srjt b b joo molemmt suppeevt ti molemmt hjtuvt. j

19 9 Luse 8 (Juuritesti) Jos eräästä idesistä 0 le o voimss 0 < r, missä r o vio,0 < r <, ii suppeee. Jos eräästä idesistä 0 le o voimss, ii srj hjtuu. Luse 9 (Juuritesti limesmuoto) Jos lim Jos lim = r>, ii = r o olemss j 0 r <, ii hjtuu. suppeee. Luse 20 (Suhdetesti) Jos eräästä idesistä 0 le o voimss 0 < q, missä q o vio,0 < q <, ii suppeee. Jos eräästä idesistä 0 le o voimss, ii srj hjtuu. + + Luse 2 (Suhdetesti limesmuoto) Jos lim = q o olemss j 0 q <, ii + Jos lim = q >, ii hjtuu. + suppeee.

20 20 Luse 22 (Itegrlitesti) Jos o olemss sellie välillä [0,) jtuv positiivie väheevä futio f, että = f( ), =,2,, ii suppeee täsmällee silloi u f ( xdx ) suppeee. (Luseet todistet hiem tuoemp.) Esim. Srj (p-srj) p suppeee, jos p > j hjtuu, jos p. Tämä ähdää itegrlitestillä, os silloi, u p >. x p dx suppeee täsmällee Tämä p-srj o ysi täreimpiä vertilusrjoj. Tpusess p= yseessä o hjtuv srj, ii sottu hrmoie srj. Ku p >, p-srj sot myös ylihrmoisesi srjsi. Esim. 2 Tutit, suppeeeo srj. 3 = 2 Kos suurill : rvoill srj termit ovt liimi = 3 3/2 j 3/2>, äyttää ilmeiseltä, että srj olisi suppeev. Tämä void osoitt trsti vertilutestillä. = < = 2 = /2 ½ + ½ ½.

21 2 Srj 2 suppeee, os se o vio ert suppeev p-srj, p=3/2<. 3/2 = 2 Siis mjorttiperittee mu tutittv srj o suppeev. Sm tulosee päästää myös limesmuotoisell vertilutestillä: 3 3/2 lim = lim = lim =. 3 3/2 3 (Vertilusrj esittii lustvss trsteluss, u tutittii termi luseett suurill.) Tehtäviä Tuti, suppeeeo srj, u = 6) ) e 8) 4 l (2,3,...) (3 ) 9) 3/2 0) + l ) 3 2)! 3) 0 2/3 e 4) (l ) (2,3,...) 5)

22 22 Luseide 5-22 todistuset: Kos lupää termit eivät viut srj suppeemisee, voimme luseiss 5, 6, 8, j 9 olett, että 0 =. Jos b = B<j b, ii S = b B<. Siis Luse 5 o todistettu. Nii o myös luse 6, os se o loogisesti evivletti lusee 5 ss. Jos lim = m 0,, ii eräästä idesistä le m/2 2m. b b Siis m/ 2b 2mb, u. Tästä seur lusee 7 tulos mjortti- j miorttiperittee ojll. Jos 0 r, missä violle r pätee 0 r <, ii r,. Siis suppeev geometrie srj o mjortti, jote suppeee. Jos ts, ii,, jolloi lim 0 j srj hjtuu. Tästä seur luse 8. Jos 0 +, missä q o vio, 0 q <,ii q q( q ) q. + Siis srjll o suppeev mjorttisrj vio ert geometrie srj, jote srj suppeee. Luse 20 o äi todistettu. Luseet 9 j 2 seurvt luseist 8 j 20, os iide oletuset ovt silloi voimss eräästä idesistä le.

23 23 Jäljellä o vielä luse 22. Jos = f( ), j f :[, ) R o jtuv positiivie väheevä futio, ii + f ( + ) f( x) dx f( ),. (Ks. oheie uvio, suorulmioide t o i, jote l o oreus eli futio rvo.) Yhtee lsemll sd Tästä ähdää, että + 2 f( x) dx,. lim f ( xdx ) o äärellie ti ääretö se mu, oo srj suppeev vi hjtuv.

24 24 Positiiviste srjoje lopusi miittoo, että positiivitermisessä srjss s termie järjestystä muutt ilm, että tämä viutt srj suppeemisee ti summ. (Hl todist, sivuutet.) Vuorottelevt srjt Srj, jo termit ovt vuorotelle positiivisi ti egtiivisi, sot vuorottelevsi eli lteroivsi. Jtoss oletmme, että esimmäie termi o i positiivie (tähä päästää trvittess ertomll srj (-):llä). Merivihtelu ilmist (-): potessei: prillie potessi t ertoimesi + j prito -. Vuorottelev srj yleie muoto o siis: () ( ) = , missä > 0,. Luse 23 (Leibizi luse) Jos vuorottelev srj () termie itseisrvot muodostvt mootoisesti väheevä ohti oll lähestyvä joo: & lim = 0, 2 3 ii srj suppeee. Lisäsi jos joo o idosti mootoie j srj tist termi ( ) jälee, ii jääöstermi R o smmerie ui esimmäie poisjätetty termi (eli meri o ( ) ) j itseisrvolt sitä pieempi: R < +. (Todistus urssill Mtemttie lyysi.)

25 25 Itseie suppeemie Srj o itseisesti suppeev (bsoluuttisesti suppeev), jos termie itseisrvoist muodostettu srj suppeee. Luse 24 Itseisesti suppeev srj o suppeev. (Todistus urssill Mtemttie lyysi.) Joie suppeev srj ei uite ole itseisesti suppeev, ute srj ( ) esimeriä osoitt. Jos srj suppeee, mutt ei itseisesti, ii srj sot ehdollisesti suppeevsi. Void osoitt, että itseisesti suppeevss srjss sd termie järjestystä muutt j silti srj pysyy itseisesti suppeev j summ sm. Se sij ehdollisesti suppeev srj termie järjestystä muutettess suppeemisomiisuudet j summ voivt muuttu. Ehdollisesti suppeev srj termit void järjestää jop ii, että uude srj summ o miä hyväsä hluttu rvo, ti myös ii, että uusi srj hjtuu.

26 26 Srjoje tulo Khde srj ertosääöllä: j b tulo määritellää Cuchy ( )( b ) = c, missä c = b + 2b + + b. Osoittutuu, että riittävää tulosrj suppeemiselle o, että molemmt tulo teijää olevt srjt suppeevt j ii toie iistä itseisesti: Luse 25 Jos () (b) (c) suppeee itseisesti, = A j b =B, ii silloi srj c =AB. c suppeee j (Todistus sivuutet.) Itseise suppeemise vtimusest ei void luopu, ute seurv esimeri osoitt:

27 27 Esim. 3 Srj = ( ) o Leibizi lusee mu suppeev, mutt itseisrvoist muodostettu srj o p-srj, p=½, eli hjtuu. Srj o siis ehdollisesti suppeev. Jos se errot itsesä ss, sd ( )( ) = 0 0 ( + ) + ( + + ) ( ) Yleie termi tuloss o siis c = ( ). ( + )( + ) 0 Arvioimll resti ( + )( + ) = (( 2+ ) + ( 2 ))(( 2+ ) ( 2 )) = ( 2+ ) ( 2 ) ( 2+ ) sd c 2 2( + ) =, jote c 0, u. Siis tulosrj hjtuu. Tehtäviä Tuti vuorottelev srj ( ) itseistä suppeemist, u = suppeemist j 6) 5 4 7)! 3 8) ( + ) 9) 4 ( + 2).

Sarja on "summa, jossa on äärettömän monta yhteenlaskettavaa". Täsmällisempi määritelmä on seuraava: Tarkastellaan lukujonoa ( a n)

Sarja on summa, jossa on äärettömän monta yhteenlaskettavaa. Täsmällisempi määritelmä on seuraava: Tarkastellaan lukujonoa ( a n) MAT-3430 Lj mtemtii 3 TTY 200 Risto Silveoie Luu 7. Luusrjt Seurvss o lyhyt esitys srjteorist. Puuttuvt todistuset äydää suurimmlt osi läpi lueoll j e löytyvät myös Fitzptrici ti Trechi irjst. Srj o "summ,

Lisätiedot

1.3 Toispuoleiset ja epäoleelliset raja-arvot

1.3 Toispuoleiset ja epäoleelliset raja-arvot . Toisuoleiset j eäoleelliset rj-rvot Rj-rvo lim f () A olemssolo edellyttää että muuttuj täytyy void lähestyä rvo kummst suust hyväsä. Jos > ii sot että lähestyy rvo oikelt ositiivisest suust. Jos ts

Lisätiedot

Koska sarjat ovat summien jonoja, kertaamme ensin jonojen teoriasta joitakin kohtia syksyltä.

Koska sarjat ovat summien jonoja, kertaamme ensin jonojen teoriasta joitakin kohtia syksyltä. 29 Luusrjt Kos srjt ovt summien jonoj, ertmme ensin jonojen teorist joitin ohti sysyltä. Jonot Jono on mtemtiin iein perustvimpi äsitteitä j sen vull ohdtn äärettömyys ensimmäistä ert. Luulueit muodostettess

Lisätiedot

2 INTEGRAALILASKENTAA 2.1 MÄÄRÄTTY INTEGRAALI

2 INTEGRAALILASKENTAA 2.1 MÄÄRÄTTY INTEGRAALI 37 INTEGRAALILASKENTAA.1 MÄÄRÄTTY INTEGRAALI Trstell ploitti jtuv j rjoitettu (siis ei ääretötä) futiot f ( ) välillä [, ] (s. uv) Jet väli [, ] :ää h-levyisee os h j meritää h, missä 0,1,,..., Joo liittyvä

Lisätiedot

2.2 Monotoniset jonot

2.2 Monotoniset jonot Mtemtiik tito 9, RATKAISUT Mootoiset joot ) Kosk,,,, ii 0 Lukujoo ( ) o siis lhlt rjoitettu Toislt 0 Lukujoo (

Lisätiedot

lim + 3 = lim = lim (1p.) (3p.) b) Lausekkeen täytyy supistua (x-2):lla, joten osoittajan nollakohta on 2.

lim + 3 = lim = lim (1p.) (3p.) b) Lausekkeen täytyy supistua (x-2):lla, joten osoittajan nollakohta on 2. Mtemtiikk III 0600 Kurssi / Differetili- j itegrlilske jtkokurssi Tee 7 tehtävää ) Määritä lim ( ) ) + b) Määritä vkio site, että luseke ( ) + + ( )( ) ( + + ) + + + + + lim + lim lim (p) o jtkuv myös

Lisätiedot

II.1. Suppeneminen., kun x > 0. Tavallinen lasku

II.1. Suppeneminen., kun x > 0. Tavallinen lasku II. EPÄOLEELLISET INTEGRAALIT nt II.. Suppeneminen Esim. Olkoon f() =, kun >. Tvllinen lsku = / =. Kuitenkn tätä integrli ei ole ikisemmss mielessä määritelty, kosk f ei ole rjoitettu välillä [, ] (eikä

Lisätiedot

Äärettämän sarjan (tai vain sarjan) sanotaan suppenevan eli konvergoivan, jos raja-arvo lims

Äärettämän sarjan (tai vain sarjan) sanotaan suppenevan eli konvergoivan, jos raja-arvo lims 75 4 POTENSSISARJOJA 4.1 ÄÄRETTÖMÄT SARJAT Lukujoo { a k } summaa S a a a a a k 0 1 k k0 saotaa äärettömäksi sarjaksi. Summa o s. osasumma. S a a a a a k 0 1 k0 Äärettämä sarja (tai vai sarja) saotaa suppeeva

Lisätiedot

= a sanoo vain, että jonon ensimmäinen jäsen annetaan. Merkintä a. lasketaan a :stä.

= a sanoo vain, että jonon ensimmäinen jäsen annetaan. Merkintä a. lasketaan a :stä. .. Lukujoo Aluksi Mtemtiiklle o erityise tyypillistä se, että käytäö tiltee settm ogelm bstrhoid. Käytäössä tämä trkoitt sitä, että siitä krsit lilluk vrret. Trkstelu kohteeksi jätetää vi si loogie ydi

Lisätiedot

5 Epäoleellinen integraali

5 Epäoleellinen integraali 5 Epäoleellinen integrli 5. Integrlin suppeneminen Olkoon f sellinen välillä [, b[ (ei siis välttämättä pisteessä b) määritelty funktio, että f on Riemnn-integroituv välillä [, ] kikill ], b[ eli on olemss

Lisätiedot

Analyysi 2. Harjoituksia lukuihin 1 3 / Kevät Anna sellainen välillä ] 2, 2[ jatkuva ja rajoitettu funktio f, että

Analyysi 2. Harjoituksia lukuihin 1 3 / Kevät Anna sellainen välillä ] 2, 2[ jatkuva ja rajoitettu funktio f, että Anlyysi Hrjoituksi lukuihin 3 / Kevät 5. Ann sellinen välillä ], [ jtkuv j rjoitettu funktio f, että () sup A m A j inf A min A, (b) sup A m A j inf A = min A, (c) sup A = m A j inf A min A, (d) sup A

Lisätiedot

Polynomien laskutoimitukset

Polynomien laskutoimitukset Polyomie lskutoimitukset Polyomi o summluseke, joss jokie yhteelskettv (termi) sisältää vi vkio j muuttuj välisiä kertolskuj. Esimerkki 0. Mm., 6 j ovt polyomej. Polyomist, joss o vi yksi termi, käytetää

Lisätiedot

****************************************************************** MÄÄRITELMÄ 4:

****************************************************************** MÄÄRITELMÄ 4: . Murtopotessi MÄÄRITELMÄ : O Olkoo prillie, positiivie kokoisluku. Ei egtiivise luvu :s juuri trkoitt sellist ei-egtiivist luku b, jok :s potessi o. Merkitää b. Kute eliöjuureki tpuksess, luku b täyttää

Lisätiedot

3.7. Rekursiivisista lukujonoista

3.7. Rekursiivisista lukujonoista .7 Rekursiivisist lukujooist.7. Rekursiivisist lukujooist Kerrt vielä, että lukujoo void määritellä khdell eri tvll, joko käyttämällä lyyttistä säätöä ti rekursiivist säätöä. Joo määrittelemie rekursiivisesti

Lisätiedot

F e. R kertaa ioniparien lukumäärä N. Kun laskemme tämän yhteen Coulombin attraktioenergian kanssa saamme kiteen kokonaisenergiaksi.

F e. R kertaa ioniparien lukumäärä N. Kun laskemme tämän yhteen Coulombin attraktioenergian kanssa saamme kiteen kokonaisenergiaksi. S-436, FYSIIKKA IV (EST) Kevät 5, LH Rtisut LH- Lse liui Ferieergi olettll että joie toi luovutt yhde eletroi johtovyöhö Johtvuuseletroit uodostvt vp vuoroviutttto eletroisu Kliui tiheys o 8,5 g / c 3

Lisätiedot

9 Lukumäärien laskemisesta

9 Lukumäärien laskemisesta 9 Luumäärie lasemisesta 9 Biomiertoimet ja osajouoje luumäärä Määritelmä 9 Oletetaa, että, N Biomierroi ilmaisee, uia mota -alioista osajouoa o sellaisella jouolla, jossa o aliota Meritä luetaa yli Lasimesta

Lisätiedot

TAMPEREEN YLIOPISTO Pro gradu tutkielma. Soile Linja. Ketjumurtoluvuista

TAMPEREEN YLIOPISTO Pro gradu tutkielma. Soile Linja. Ketjumurtoluvuista TAMPEREEN YLIOPISTO Pro gru tutielm Soile Lij etjumurtoluvuist Mtemtii tilstotietee j filosofi litos Mtemtii Tououu 7 Tmeree ylioisto Mtemtii tilstotietee j filosofi litos LINJA SOILE: etjumurtoluvuist

Lisätiedot

Kertaustehtävien ratkaisut

Kertaustehtävien ratkaisut Rtkisuist Nämä Trigoometriset fuktiot j lukujoot kurssi kertustehtävie j -srjoje rtkisut perustuvt oppikirj tietoihi j meetelmii. Kustki tehtävästä o yleesä vi yksi rtkisu, mikä ei kuitek trkoit sitä,

Lisätiedot

Neliömatriisin A determinantti on luku, jota merkitään det(a) tai A. Se lasketaan seuraavasti: determinantti on

Neliömatriisin A determinantti on luku, jota merkitään det(a) tai A. Se lasketaan seuraavasti: determinantti on 4. DETERINANTTI JA KÄÄNTEISATRIISI 6 4. Neliömtriisi determitti Neliömtriisi A determitti o luku, jot merkitää det(a) ti A. Se lsket seurvsti: -mtriisi A determitti o det(a) () -mtriisi A determitti void

Lisätiedot

1. Derivaatan Testi. Jos funktio f on jatkuva avoimella välillä ]a, b[ ja x 0 ]a, b[ on kriit. tai singul. piste niin. { f (x) > 0, x ]a, x 0 [

1. Derivaatan Testi. Jos funktio f on jatkuva avoimella välillä ]a, b[ ja x 0 ]a, b[ on kriit. tai singul. piste niin. { f (x) > 0, x ]a, x 0 [ 1. Derivtn Testi Jos funktio f on jtkuv voimell välillä ], b[ j x 0 ], b[ on kriit. ti singul. piste niin { f (x) < 0, x ], x 0 [ f x (x) > 0, x ]x 0, b[ 0 on lokli minimipiste (1) { f (x) > 0, x ], x

Lisätiedot

Riemannin integraalista

Riemannin integraalista Lebesguen integrliin sl. 2007 Ari Lehtonen Riemnnin integrlist Johdnto Tämän luentomonisteen trkoituksen on tutustutt lukij Lebesgue n integrliin j sen perusominisuuksiin mhdollisimmn yksinkertisess tpuksess:

Lisätiedot

III. SARJATEORIAN ALKEITA. III.1. Sarjan suppeneminen. x k = x 1 + x 2 + x ,

III. SARJATEORIAN ALKEITA. III.1. Sarjan suppeneminen. x k = x 1 + x 2 + x , III. SARJATEORIAN ALKEITA Sarja on formaali summa III.. Sarjan suppeneminen = x + x 2 + x 3 +..., missä R aiilla N (merintä ei välttämättä taroita mitään reaaliluua). Luvut x, x 2,... ovat sarjan yhteenlasettavat

Lisätiedot

Matematiikan tukikurssi

Matematiikan tukikurssi Mtemtiikn tukikurssi Kurssikert 4 Tilvuuden j vipn ln lskeminen Kuten iemmin käsittelimme, määrätyn integrlin vull voi lske pintloj j tilvuuksi. Tyypillisenä sovelluksen tilvuuden lskemisest on tpus, joss

Lisätiedot

2.4. Juurifunktio ja -yhtälöt

2.4. Juurifunktio ja -yhtälöt .. Juurifuktio j -yhtälöt.. Juurifuktio j -yhtälöt Juurifuktio lähtökoht void pitää potessifuktiot: f (x) x, missä o luoollie luku;,,,, j yhdistety potessifuktio määrittelee puolest yhtälö f (x) [g(x)],,,,,...

Lisätiedot

1.1. Laske taskulaskimella seuraavan lausekkeen arvo ja anna tulos kolmen numeron tarkkuudella: tan 60,0 = 2,950... 2,95

1.1. Laske taskulaskimella seuraavan lausekkeen arvo ja anna tulos kolmen numeron tarkkuudella: tan 60,0 = 2,950... 2,95 9..008 (9). Lskime käyttö.. Lske tskulskimell seurv lusekkee rvo j tulos kolme umero trkkuudell: 4 + 7 t 60,0 + Rtkisu: 4 + 7 =,950...,95 t 60,0 + Huom: Lskimiss o yleesä kolme eri kulmyksikköjärjestelmää:

Lisätiedot

1+kx 2, x [0, 1] 4. f k (x) = (sin x) k, x R Tehtävä 2. Osoita suoraan määritelmään perustuen, että funktiojono (f k ), missä

1+kx 2, x [0, 1] 4. f k (x) = (sin x) k, x R Tehtävä 2. Osoita suoraan määritelmään perustuen, että funktiojono (f k ), missä Funtiojonojen j -srjojen tehtävät, 11. syysuut 5, sivu 1 / 19 Perustehtäviä Tehtävä 1. Tuti seurvien funtiojonojen (f (x)) suppenemist. pisteittäistä j tsist 1. f (x) = cos x, x R. f (x) = 1 1+x, x R 3.

Lisätiedot

2.4 Pienimmän neliösumman menetelmä

2.4 Pienimmän neliösumman menetelmä 2.4 Pienimmän neliösummn menetelmä Optimointimenetelmiä trvitn usein kokeellisen dtn nlysoinniss. Mittuksiin liittyy virhettä, joten mittus on toistettv useit kertoj. Oletetn, että mittn suurett c j toistetn

Lisätiedot

73035 Insinöörimatematiikka 2

73035 Insinöörimatematiikka 2 7335 Insinöörimtemtii Kesä 5 Tmpereen tenillinen yliopisto Risto Silvennoinen. Luusrjt. Funtiosrjt 8 3. Relifuntioiden määräämätön integrli 5 4. Relifuntioiden määrätty integrli 6 5. Integrointi n-ulotteisess

Lisätiedot

S Fysiikka IV (Sf) tentti

S Fysiikka IV (Sf) tentti S-11446 Fysii IV (Sf) tetti 9114 1 Oletet, että protoi j eletroi välie vetovoim o verrollie suureesee r ( F r) eiä etäisyyde eliö ääteisrvoo ( F / r ) Käytä ulmliiemäärä vtittumissäätöä j osoit, että sttioääriste

Lisätiedot

Kertausosa. Kertausosa. 3. Merkitään. Vastaus: 2. a) b) 600 g. 4. a)

Kertausosa. Kertausosa. 3. Merkitään. Vastaus: 2. a) b) 600 g. 4. a) Kertusos Kertusos ). ) : j 7 0 7 ) 0 :( ) c) :( ). Merkitää merirosvorht (kg) sukltrffelit (kg) ) 7, 0 hit: /kg hit: 7 /kg ) 00 g 0,kg 7 0,,0,,0, 0, (kg) :. ) Vstus: ) 7, 0 ( ) ) 00 g. ) 0 7 9 7 0 0 Kertusos

Lisätiedot

Tämä merkitsee geometrisesti, että funktioiden f

Tämä merkitsee geometrisesti, että funktioiden f 28 2. Futiosarjat Edellä sarjat olivat luusarjoja, joide termit ovat (tässä urssissa) reaaliluuja. Jos termit ovat samasta muuttujasta riippuvia futioita, päädytää futiotermisii sarjoihi. Näide äyttö matematiiassa

Lisätiedot

10. MÄÄRÄTYN INTEGRAALIN KÄYTTÖ ERÄIDEN PINTA-ALOJEN LASKEMISESSA

10. MÄÄRÄTYN INTEGRAALIN KÄYTTÖ ERÄIDEN PINTA-ALOJEN LASKEMISESSA MAA0 0. Määrätyn integrlin käyttö eräiden pint-lojen lskemisess 0. MÄÄRÄTYN INTEGRAALIN KÄYTTÖ ERÄIDEN PINTA-ALOJEN LASKEMISESSA Edellä on todettu, että f (x)dx nt x-kselin j suorien x =, x = sekä funktion

Lisätiedot

2.1. Lukujonon käsite, lukujonon suppeneminen ja raja-arvo

2.1. Lukujonon käsite, lukujonon suppeneminen ja raja-arvo .1. Lukuj käsite, suppeemie j rj-rv.1. Lukuj käsite, lukuj suppeemie j rj-rv S lukuj vi yksikertisimmill ymmärtää tdellki j, jh kirjitettu lukuj peräkkäi. Sellisell jll, jk luvut vlittu täysi stuisesti,

Lisätiedot

Sisältö. Integraali 10. syyskuuta 2005 sivu 1 / 20

Sisältö. Integraali 10. syyskuuta 2005 sivu 1 / 20 Integrli 10. syyskuut 2005 sivu 1 / 20 Sisältö 1 Määrätty integrli j integrlifunktio 2 1.1 Integroituvist funktioit 3 1.2 Määrätyn integrlin ominisuuksi 4 1.3 Integrlifunktio 5 1.4 Integrlilskennn tärkeimmät

Lisätiedot

Matematiikan tukikurssi

Matematiikan tukikurssi Matematiian tuiurssi Kurssierta 5 Sarjojen suppeneminen Kiinnostusen ohteena on edelleen sarja a n = a + a 2 + a 3 + a 4 + n= Tämä summa on mahdollisesti äärellisenä olemassa, jolloin sanotaan että sarja

Lisätiedot

Tehtävä 3. Määrää seuraavien jonojen raja-arvot 1.

Tehtävä 3. Määrää seuraavien jonojen raja-arvot 1. Jonotehtävät, 0/9/005, sivu / 5 Perustehtävät Tehtävä. Muotoile matemaattiset vastineet seuraavien väitteiden negaatioille (ts. vastaohdat).. Jono (a n ) suppenee ohti luua a.. Jono (a n ) on asvava. 3.

Lisätiedot

MAB7 Talousmatematiikka. Otavan Opisto / Kati Jordan

MAB7 Talousmatematiikka. Otavan Opisto / Kati Jordan 3.3 Laiat MAB7 Talousmatematiia Otava Opisto / Kati Jorda Laia ottamie Suuri osa ihmisistä ottaa laiaa jossai elämävaiheessa. Pailaiaa tarvitaa yleesä vauusia ja/tai taausia. Laiatulle pääomalle masetaa

Lisätiedot

7 Funktiosarjoista. 7.1 Funktiosarjojen suppeneminen

7 Funktiosarjoista. 7.1 Funktiosarjojen suppeneminen 7 Funktiosrjoist 7. Funktiosrjojen suppeneminen Seurvksi trkstelln srjoj, joiden termit ovt (lukujen sijst) jollkin välillä I määriteltyjä funktioit. Täsmällisemmin funktiosrjll (ti lyhyemmin srjll) trkoitetn

Lisätiedot

Tasaväli-integraali. Mikko Rautiainen. matematiikan Pro Gradu-tutkielma

Tasaväli-integraali. Mikko Rautiainen. matematiikan Pro Gradu-tutkielma Tsväli-itegrli Mikko Rutiie mtemtiik Pro Grdu-tutkielm Jyväskylä yliopisto Mtemtiik j tilstotietee litos Kesä 2006 Sisältö Johdto 2 I Tsväli-itegrli: teori 3 1 Peruskäsitteitä 3 2 Tsväliporrsfuktio määrätty

Lisätiedot

Riemannin integraalista

Riemannin integraalista TAMPEREEN YLIOPISTO Pro grdu -tutkielm Aij Stenberg Riemnnin integrlist Mtemtiikn j tilstotieteen litos Mtemtiikk Syyskuu 2010 2 Tmpereen yliopisto Mtemtiikn j tilstotieteen litos STENBERG, AIJA: Riemnnin

Lisätiedot

ICS-C2000 Tietojenkäsittelyteoria Kevät 2016

ICS-C2000 Tietojenkäsittelyteoria Kevät 2016 ICS-C2 Tietojenkäsittelyteori Kevät 2 Kierros,. 5. helmikuut Demonstrtiotehtävien rtkisut D: Sievennä seurvi säännöllisiä lusekkeit (so. konstruoi yksinkertisemmt lusekkeet smojen kielten kuvmiseen): ()

Lisätiedot

Tehtävä 11 : 1. Tehtävä 11 : 2

Tehtävä 11 : 1. Tehtävä 11 : 2 Tehtävä : Käytetää irjaita M luvu ( ) meritsemisee. Satuaisverossa G, p() o yhteesä solmua, jote satuaismuuttuja X mahdollisia arvoja ovat täsmällee jouo0,..., M} aii aliot. Joaie satuaisvero mahdollisista

Lisätiedot

Kuvausta f sanotaan tällöin isomorfismiksi.

Kuvausta f sanotaan tällöin isomorfismiksi. Määritelmä..12. Oletetn, että 1 =(V 1,E 1 ) j 2 =(V 2,E 2 ) ovt yksinkertisi verkkoj. Verkot 1 j 2 ovt isomorfiset, jos seurvt ehdot toteutuvt: (1) on olemss bijektio f : V 1 V 2 (2) kikill, b V 1 pätee,

Lisätiedot

MS-A010{3,4} (ELEC*) Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Luento 8: Integraalifunktio ja epäoleellinen integraali

MS-A010{3,4} (ELEC*) Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Luento 8: Integraalifunktio ja epäoleellinen integraali MS-A1{3,4} (ELEC*) Differentili- j integrlilskent 1 Luento 8: Integrlifunktio j epäoleellinen integrli Pekk Alestlo, Jrmo Mlinen Alto-yliopisto, Mtemtiikn j systeeminlyysin litos 5.1.216 Pekk Alestlo,

Lisätiedot

Matematiikan tukikurssi

Matematiikan tukikurssi Mtemtiikn tukikurssi Kurssikert 5 1 Jtkuvuus Trkstelln funktiot fx) josskin tietyssä pisteessä x 0. Tämä funktio on tässä pisteessä joko jtkuv ti epäjtkuv. Jtkuvuuden ymmärtää prhiten trkstelemll epäjtkuv

Lisätiedot

SARJAT JA DIFFERENTIAALIYHTÄLÖT Funktiojonot 1

SARJAT JA DIFFERENTIAALIYHTÄLÖT Funktiojonot 1 SARJAT JA DIFFERENTIAALIYHTÄLÖT 2003 JOUNI PARKKONEN Sisältö 0. Tästä tekstistä. Funktiojonot 0. Tästä tekstistä Tämä moniste on trkoitettu käytettäväksi kurssin Srjt j differentiliyhtälöt luentomterilin.

Lisätiedot

MS-A0402 Diskreetin matematiikan perusteet

MS-A0402 Diskreetin matematiikan perusteet MS-A0402 Disreetin matematiian perusteet Osa 3: Kombinatoriia Riia Kangaslampi 2017 Matematiian ja systeemianalyysin laitos Aalto-yliopisto Kombinatoriia Summaperiaate Esimeri 1 Opetusohjelmaomiteaan valitaan

Lisätiedot

termit on luontevaa kirjoittaa summamuodossa. Tällöin päädymme lukusarjojen teoriaan: a k = s.

termit on luontevaa kirjoittaa summamuodossa. Tällöin päädymme lukusarjojen teoriaan: a k = s. SARJAT JA DIFFERENTIAALIYHTÄLÖT 2003 7 3. Luusarjat Josus luujonon (b ) termit on luontevairjoittaa summamuodossa. Tällöin päädymme luusarjojen teoriaan: Määritelmä 3.. Oloon ( ), R luujono. Symboli (3.)

Lisätiedot

Luku 11. Jatkuvuus ja kompaktisuus

Luku 11. Jatkuvuus ja kompaktisuus 1 MAT-13440 LAAJA MATEMATIIKKA 4 Taperee teillie yliopisto Risto Silveoie Kevät 2008 Luu 11. Jatuvuus ja opatisuus 11.1 Jatuvat futiot ja uvauset Tässä luvussa tarastellaa yleisiillää vetoriuuttuja vetoriarvoisia

Lisätiedot

C (4) 1 x + C (4) 2 x 2 + C (4)

C (4) 1 x + C (4) 2 x 2 + C (4) http://matematiialehtisolmu.fi/ Kombiaatio-oppia Kuia mota erilaista lottoriviä ja poeriättä o olemassa? Lotossa arvotaa 7 palloa 39 pallo jouosta. Poeriäsi o viide orti osajouo 52 orttia äsittävästä paasta.

Lisätiedot

Luku 2. Jatkuvuus ja kompaktisuus

Luku 2. Jatkuvuus ja kompaktisuus 1 MAT-13440 LAAJA MATEMATIIKKA 4 Taperee teillie yliopisto Risto Silveoie Kevät 2010 Luu 2. Jatuvuus ja opatisuus 1. Jatuvat futiot ja uvauset Tässä luvussa tarastellaa yleisiillää vetoriuuttuja vetoriarvoisia

Lisätiedot

JOHDATUS LUKUTEORIAAN (syksy 2017) HARJOITUS 1, MALLIRATKAISUT

JOHDATUS LUKUTEORIAAN (syksy 2017) HARJOITUS 1, MALLIRATKAISUT JOHDATUS LUKUTEORIAAN (sysy 2017) HARJOITUS 1, MALLIRATKAISUT Tehtävä 1. (i) Etsi luvun 111312 aii teijät. (ii) Oloot a ja b positiivisia oonaisluuja joilla a b ja b a. Osoita, että silloin a = b. Rataisu

Lisätiedot

1. Funktiot, lukujonot, raja-arvot, jatkuvuus

1. Funktiot, lukujonot, raja-arvot, jatkuvuus 1 MAT-13430 Laaja matematiikka 3 TTY 2010 Risto Silveoie 1. Fuktiot, lukujoot, raja-arvot, jatkuvuus Kertaamme ja täydeämme Lama 1: fuktioita käsittelevää osuutta. Puuttuvista todistuksista suuri osa käydää

Lisätiedot

MS-A010{2,3,4,5} (SCI, ELEC*, ENG*) Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Luento 8: Integraalifunktio ja epäoleellinen integraali

MS-A010{2,3,4,5} (SCI, ELEC*, ENG*) Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Luento 8: Integraalifunktio ja epäoleellinen integraali MS-A1{2,3,4,5} (SC, ELEC*, ENG*) Differentili- j integrlilskent 1 Luento 8: ntegrlifunktio j epäoleellinen integrli Pekk Alestlo, Jrmo Mlinen Alto-yliopisto, Mtemtiikn j systeeminlyysin litos November

Lisätiedot

Matematiikan peruskurssi. Seppo Hassi

Matematiikan peruskurssi. Seppo Hassi Mtemtiikn peruskurssi Seppo Hssi Syksy 2014 iii Esipuhe Tämä on 1. versio Mtemtiikn peruskurssin opetusmonisteest, jonk sisältö noudttelee pitkälti Vsn yliopistoss iemmin luennoimni Mtemttiset menetelmät

Lisätiedot

θ 1 θ 2 γ γ = β ( n 2 α + n 2 β = l R α l s γ l s 22 LINSSIT JA LINSSIJÄRJESTELMÄT 22.1 Linssien kuvausyhtälö

θ 1 θ 2 γ γ = β ( n 2 α + n 2 β = l R α l s γ l s 22 LINSSIT JA LINSSIJÄRJESTELMÄT 22.1 Linssien kuvausyhtälö 22 LINSSIT JA LINSSIJÄRJSTLMÄT 22. Linssien kuvusyhtälö Trkstelln luksi vlon tittumist pllopinnll (krevuussäde R j krevuuskeskipiste C) kuvn mukisess geometriss. Tässä vlo siis tulee ineest ineeseen 2

Lisätiedot

Kertymäfunktio. Kertymäfunktio. Kertymäfunktio: Mitä opimme? 2/2. Kertymäfunktio: Mitä opimme? 1/2. Kertymäfunktio: Esitiedot

Kertymäfunktio. Kertymäfunktio. Kertymäfunktio: Mitä opimme? 2/2. Kertymäfunktio: Mitä opimme? 1/2. Kertymäfunktio: Esitiedot TKK (c) Ilkk Mellin (24) 1 Johdtus todennäköisyyslskentn TKK (c) Ilkk Mellin (24) 2 : Mitä opimme? 1/2 Jos stunnisilmiötä hlutn mllint mtemttisesti, on ilmiön tulosvihtoehdot kuvttv numeerisess muodoss.

Lisätiedot

Sarjat ja integraalit

Sarjat ja integraalit Srjt j integrlit c Mtemttisten tieteiden litos, Oulun yliopisto Versio: 9.3.0 Viimeksi muoknnut: Peter Hästö Sisältö Funktion rj-rvo j jtkuvuus. Peruskäsitteitä........................................

Lisätiedot

( ) k 1 = a b. b 1) Binomikertoimen määritelmän mukaan yhtälön vasen puoli kertoo kuinka monta erilaista b-osajoukkoa on a-joukolla.

( ) k 1 = a b. b 1) Binomikertoimen määritelmän mukaan yhtälön vasen puoli kertoo kuinka monta erilaista b-osajoukkoa on a-joukolla. Kombiatoriikka, kesä 2010 Harjoitus 2 Ratkaisuehdotuksia (RT) (5 sivua) Käytä tehtävissä 1-3 kombiatorista päättelyä. 1. Osoita, että kaikilla 0 b a pätee ( ) a a ( ) k 1 b b 1 kb Biomikertoime määritelmä

Lisätiedot

TEHTÄVÄ 1. Olkoon (f n ) jono jatkuvia funktioita f n : [a, b] R, joka suppenee välillä [a, b] tasaisesti kohti funktiota f : [a, b] R.

TEHTÄVÄ 1. Olkoon (f n ) jono jatkuvia funktioita f n : [a, b] R, joka suppenee välillä [a, b] tasaisesti kohti funktiota f : [a, b] R. Topologi I Hrjoitus 10, rtkisuj AP TEHTÄVÄ 1. Olkoon (f n ) jono jtkuvi funktioit f n : [, b] R, jok suppenee välillä [, b] tsisesti kohti funktiot f : [, b] R. Osoit, että tällöin f n (x) dx f(x) dx.

Lisätiedot

Kertaa tarvittaessa induktiota ja rekursiota koskevia tietoja.

Kertaa tarvittaessa induktiota ja rekursiota koskevia tietoja. MATEMATIIKAN JA TILASTOTIETEEN LAITOS Aalyysi I Harjoitus 5. 0. 2009 alkavalle viikolle Ratkaisuehdotuksia ( sivua) (Rami Luisto) Laskuharjoituksista saa pistettä, jos laskettu vähitää 50 tehtävää; 3 pistettä,

Lisätiedot

Matemaattiset menetelmät I. Seppo Hassi

Matemaattiset menetelmät I. Seppo Hassi Mtemttiset menetelmät I Seppo Hssi Syksy 2011 iii Esipuhe Tämä on 1. versio Mtemttiset menetelmät I-kurssin opetusmonisteest, jok perustuu Vsn yliopistoss luennoimni vstvn nimiseen kurssiin. Sisältö noudtt

Lisätiedot

521. 522. 523. 524. 525. 526. 527. 12. Lisää määrätystä integraalista. 12.1. Integraalin arvioimisesta. Osoita: VASTAUS: Osoita: Osoita:

521. 522. 523. 524. 525. 526. 527. 12. Lisää määrätystä integraalista. 12.1. Integraalin arvioimisesta. Osoita: VASTAUS: Osoita: Osoita: 12. Lisää määrätystä integrlist 12.1. Integrlin rvioimisest 521. Osoit: 1 + x 2 22 1 < < 1 + x21 21. 522. Osoit: x 3 < 5 x 6 + 8x + 9 < 15 1 5. 523. Osoit: 2 2 < e x2 x < 2e 2. e 524. Olkoon k >. Osoit:

Lisätiedot

Integraalilaskentaa. 1. Mihin integraalilaskentaa tarvitaan? MÄNTÄN LUKIO

Integraalilaskentaa. 1. Mihin integraalilaskentaa tarvitaan? MÄNTÄN LUKIO Integrlilskent Tämä on lukion oppimterileist hiemn poikkev yksinkertistettu selvitys määrätyn integrlin lskemisest. Kerromme miksi integroidn, mitä integroiminen trkoitt, miten integrli lsketn j miten

Lisätiedot

Sarjojen suppenemisesta

Sarjojen suppenemisesta TAMPEREEN YLIOPISTO Pro gradu -tutkielma Terhi Mattila Sarjojen suppenemisesta Matematiikan ja tilastotieteen laitos Matematiikka Huhtikuu 008 Tampereen yliopisto Matematiikan ja tilastotieteen laitos

Lisätiedot

Tehtävä 2 Todista luennoilla annettu kaava: jos lukujen n ja m alkulukuesitykset. ja m = k=1

Tehtävä 2 Todista luennoilla annettu kaava: jos lukujen n ja m alkulukuesitykset. ja m = k=1 Luuteoria Harjoitus 1 evät 2011 Alesis Kosi 1 Tehtävä 1 Näytä: jos a ja b ovat positiivisia oonaisluuja joille (a, b) = 1 ja a c, seä lisäsi b c, niin silloin ab c. Vastaus Kosa a c, niin jaollisuuden

Lisätiedot

Reaalinen lukualue. Millainen on luku, jossa on päättymätön ja jaksoton desimaalikehitelmä?

Reaalinen lukualue. Millainen on luku, jossa on päättymätön ja jaksoton desimaalikehitelmä? Relinen lukulue POLYNOMIFUNKTIOT JA -YHTÄLÖT, MAA Millinen on luku, joss on päättymätön j jksoton desimlikehitelmä? Onko sellisi? Trkstelln Pythgorn luseest stv yksikköneliön lävistäjää, luku + = x x =.

Lisätiedot

ANALYYSI I, kevät 2009

ANALYYSI I, kevät 2009 ANALYYSI I, kevät 2009 Sisältö Relilukujen peruskäsitteitä 2 Lukujonoist 3 2. Lukujonon rj-rvo....................... 3 2.2 Monotoniset jonot......................... 7 2.3 Osjonot..............................

Lisätiedot

Säännöllisten operaattoreiden täydentäviä muistiinpanoja

Säännöllisten operaattoreiden täydentäviä muistiinpanoja Säännöllisten operttoreiden täydentäviä muistiinpnoj Antti-Juhni Kijnho 1. huhtikuut 2011 Vnht määritelmät Määritelmä 1. Äärellinen epätyhjä joukko on merkistö, j sen lkioit kutsutn merkeiksi. Määritelmä

Lisätiedot

Matematiikan tukikurssi

Matematiikan tukikurssi Matematiika tukikurssi Kurssikerta 1 Iduktiotodistus Iduktiotodistukse logiikka Tutkitaa tapausta, jossa haluamme todistaa joki väittee P() site, että se pätee kaikilla luoollisissa luvuilla. Eli halutaa

Lisätiedot

Perustehtäviä. Sarjateorian tehtävät 10. syyskuuta 2005 sivu 1 / 24

Perustehtäviä. Sarjateorian tehtävät 10. syyskuuta 2005 sivu 1 / 24 Sarjateorian tehtävät 0. syysuuta 2005 sivu / 24 Perustehtäviä. Muunna sarja telesooppimuotoon ja osoita, että se suppenee. Lase myös sarjan summa. ( + ) = 2 + 6 + 2 +... 2. Osoita suoraan määritelmään

Lisätiedot

1 Eksponenttifunktion määritelmä

1 Eksponenttifunktion määritelmä Ekspoettifuktio määritelmä Selvitimme aikaisemmi tällä kurssilla, millaie potessisarja säilyy derivoiissa muuttumattomaa. Se perusteella määritellää: Määritelmä. Ekspoettifuktio exp : R R määritellää lausekkeella

Lisätiedot

x k 1 Riemannin summien käyttö integraalin approksimointiin ei ole erityisen tehokasta; jatkuvasti derivoituvalle funktiolle f virhe b

x k 1 Riemannin summien käyttö integraalin approksimointiin ei ole erityisen tehokasta; jatkuvasti derivoituvalle funktiolle f virhe b 5 Integrlien lskemisest 51 Riemnnin summt [A2], [4, 61] Rjoitetun funktion f : [, b] R Riemnn-integroituvuudelle ytäpitäväksi on kurssill Anlyysi 2 osoitettu, että Riemnnin summill S P := f(ξ k ) ( ),

Lisätiedot

T Syksy 2002 Tietojenkäsittelyteorian perusteet Harjoitus 5 Demonstraatiotehtävien ratkaisut. ja kaikki a Σ ovat säännöllisiä lausekkeita.

T Syksy 2002 Tietojenkäsittelyteorian perusteet Harjoitus 5 Demonstraatiotehtävien ratkaisut. ja kaikki a Σ ovat säännöllisiä lausekkeita. T-79.8 Syksy 22 Tietojenkäsittelyteorin perusteet Hrjoitus 5 Demonstrtiotehtävien rtkisut Säännölliset lusekkeet määritellään induktiivisesti: j kikki Σ ovt säännöllisiä lusekkeit. Mikäli α j β ovt säännöllisiä

Lisätiedot

Sarja. Lukujonosta (a k ) k N voi muodostaa sen osasummien jonon (s n ): s 1 = a 1, s 2 = a 1 + a 2, s 3 = a 1 + a 2 + a 3,...,

Sarja. Lukujonosta (a k ) k N voi muodostaa sen osasummien jonon (s n ): s 1 = a 1, s 2 = a 1 + a 2, s 3 = a 1 + a 2 + a 3,..., Sarja Lukujonosta (a k ) k N voi muodostaa sen osasummien jonon (s n ): Määritelmä 1 s 1 = a 1, s 2 = a 1 + a 2, s 3 = a 1 + a 2 + a 3,..., n s n = a k. Jos osasummien jonolla (s n ) on raja-arvo s R,

Lisätiedot

Lebesguen integraali - Rieszin määritelmä

Lebesguen integraali - Rieszin määritelmä Lebesguen integrli - Rieszin määritelmä Tru Lehtonen Mtemtiikn pro grdu-tutkielm Jyväskylän yliopisto Mtemtiikn j tilstotieteen litos Kevät 216 Tiivistelmä Jyväskylän Yliopisto Lehtonen, Tru Puliin: Lebesguen

Lisätiedot

Reaaliarvoisen yhden muuttujan funktion raja arvo LaMa 1U syksyllä 2011

Reaaliarvoisen yhden muuttujan funktion raja arvo LaMa 1U syksyllä 2011 Neljännen viikon luennot Reaaliarvoisen yhden muuttujan funktion raja arvo LaMa 1U syksyllä 2011 Perustuu Trench in verkkokirjan lukuun 2.1. Esko Turunen esko.turunen@tut.fi Funktion y = f (x) on intuitiivisesti

Lisätiedot

3.2 Polynomifunktion kulku. Lokaaliset ääriarvot

3.2 Polynomifunktion kulku. Lokaaliset ääriarvot . Polyomifuktio kulku. Lokliset äärirvot Tähästiste opitoje perusteell ost piirtää esisteise polyomifuktio kuvj, suor, ku se yhtälö o ettu. Ost myös pääpiirtei hhmotell toise stee polyomifuktio kuvj, prbeli,

Lisätiedot

2.3.1. Aritmeettinen jono

2.3.1. Aritmeettinen jono .3.1. Aritmeettie joo -joo, jossa seuraava termi saadaa edellisestä lisäämällä sama luku a, a + d, a+d, a +3d, Aritmeettisessa joossa kahde peräkkäise termi erotus o aia vakio: Siis a +1 a d (vakio Joo

Lisätiedot

MS-A010{3,4} (ELEC*) Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Luento 7: Integraali ja analyysin peruslause

MS-A010{3,4} (ELEC*) Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Luento 7: Integraali ja analyysin peruslause MS-A010{3,4} (ELEC*) Differentili- j integrlilskent 1 Luento 7: Integrli j nlyysin perusluse Pekk Alestlo, Jrmo Mlinen Alto-yliopisto, Mtemtiikn j systeeminlyysin litos 3.10.2016 Pekk Alestlo, Jrmo Mlinen

Lisätiedot

3.3 KIELIOPPIEN JÄSENNYSONGELMA Ratkaistava tehtävä: Annettu yhteydetön kielioppi G ja merkkijono x. Onko

3.3 KIELIOPPIEN JÄSENNYSONGELMA Ratkaistava tehtävä: Annettu yhteydetön kielioppi G ja merkkijono x. Onko 3.3 KILIOPPIN JÄSNNYSONGLMA Rtkistv tehtävä: Annettu yhteydetön kielioppi G j merkkijono x. Onko x L(G)? Rtkisumenetelmä = jäsennyslgoritmi. Useit vihtoehtoisi menetelmiä, erityisesti kun G on jotin rjoitettu

Lisätiedot

MS-A010{2,3,4,5} (SCI,ELEC*, ENG*) Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Luento 7: Integraali ja analyysin peruslause

MS-A010{2,3,4,5} (SCI,ELEC*, ENG*) Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Luento 7: Integraali ja analyysin peruslause MS-A010{2,3,4,5} (SCI,ELEC*, ENG*) Differentili- j integrlilskent 1 Luento 7: Integrli j nlyysin perusluse Pekk Alestlo, Jrmo Mlinen Alto-yliopisto, Mtemtiikn j systeeminlyysin litos November 20, 2017

Lisätiedot

Diskreetin Matematiikan Paja Ratkaisuja viikolle 4. ( ) Jeremias Berg. n(n + 1) 2. k =

Diskreetin Matematiikan Paja Ratkaisuja viikolle 4. ( ) Jeremias Berg. n(n + 1) 2. k = Diskreeti Matematiika Paja Ratkaisuja viikolle 4. (7.4-8.4) Jeremias Berg. Osoita iduktiolla että k = ( + ) Ratkaisu: Kute kaikissa iduktiotodistuksissa meidä täytyy siis osoittaa asiaa. Ns. perustapaus,

Lisätiedot

Esimerkki 8.1 Määritellään operaattori A = x + d/dx. Laske Af, kun f = asin(bx). Tässä a ja b ovat vakioita.

Esimerkki 8.1 Määritellään operaattori A = x + d/dx. Laske Af, kun f = asin(bx). Tässä a ja b ovat vakioita. 8. Operttorit, mtriisit j ryhmäteori Mtemttinen operttori määrittelee opertion, jonk mukn sille nnettu funktiot muoktn. Operttorit ovt erityisen tärkeitä kvnttimekniikss, kosk siinä jokist suurett vst

Lisätiedot

ANALYYSI I, kevät 2009

ANALYYSI I, kevät 2009 5 Riemnnin integrli 7 ANALYYSI I, kevät 9 5. Integrlin perusominisuuksi................. 76 5. Anlyysin perusluse....................... 8 Sisältö Relilukujen peruskäsitteitä Lukujonoist 3. Lukujonon rj-rvo.......................

Lisätiedot

ja differenssi jokin d. Merkitään tämän jonon n:n ensimmäisen jäsenen summaa kirjaimella S

ja differenssi jokin d. Merkitään tämän jonon n:n ensimmäisen jäsenen summaa kirjaimella S 3.3. Aritmeettie summ 3.3. Aritmeettie summ Mikä olisi helpoi tp lske 0 esimmäistä luoollist luku yhtee? Olisiko r voim käyttö 0 + + + 3 + + 00 hyvä jtus? Tekiik vull se iki toimii. Fiksumpiki tp kuiteki

Lisätiedot

2.6 SÄÄNNÖLLISET LAUSEKKEET Automaattimalleista poikkeava tapa kuvata yksinkertaisia kieliä. Olkoot A ja B aakkoston Σ kieliä. Perusoperaatioita:

2.6 SÄÄNNÖLLISET LAUSEKKEET Automaattimalleista poikkeava tapa kuvata yksinkertaisia kieliä. Olkoot A ja B aakkoston Σ kieliä. Perusoperaatioita: 2.6 SÄÄNNÖLLISET LAUSEKKEET Automttimlleist poikkev tp kuvt yksinkertisi kieliä. Olkoot A j B kkoston Σ kieliä. Perusopertioit: Yhdiste: A B = {x Σ x A ti x B}; Ktentio: AB = {xy Σ x A, y B}; Potenssit:

Lisätiedot

Pythagoraan lause. Pythagoras Samoslainen. Pythagoraan lause

Pythagoraan lause. Pythagoras Samoslainen. Pythagoraan lause Pythgorn luse Pythgors Smoslinen Pythgors on legendrinen kreikklinen mtemtiikko j filosofi. Tiedot hänen elämästään ovt epävrmoj j ristiriitisi. Tärkein Pythgorst j pythgorlisi koskev lähde on Lmlihosin

Lisätiedot

Ristitulo ja skalaarikolmitulo

Ristitulo ja skalaarikolmitulo Ristitulo j sklrikolmitulo Opetussuunnitelmn 00 mukinen kurssi Vektorit (MAA) sisältää vektoreiden lskutoimituksist keskeisenä ineksen yhteenlskun, vähennyslskun, vektorin kertomisen luvull j vektoreiden

Lisätiedot

ANALYYSI I, kevät 2009

ANALYYSI I, kevät 2009 ANALYYSI I, kevät 009 Sisältö Relilukujen peruskäsitteitä Lukujonoist 4. Lukujonon rj-rvo....................... 4. Monotoniset jonot..........................3 Osjonot.............................. 7.4

Lisätiedot

Matematiikan johdantokurssi, syksy 2017 Harjoitus 6, ratkaisuista. 1. Onko jokin demojen 5 tehtävän 3 relaatioista

Matematiikan johdantokurssi, syksy 2017 Harjoitus 6, ratkaisuista. 1. Onko jokin demojen 5 tehtävän 3 relaatioista Mtemtiikn johntokurssi, syksy 07 Hrjoitus 6, rtkisuist. Onko jokin emojen 5 tehtävän reltioist ) R := {(, ), (, ), (, ), (, ), (, ), (, ), (, ), (, )}, ) S := {(, ), (, ), (, ), (, ), (, ), (, ), (, ),

Lisätiedot

Sisältö. Funktiojonot ja -sarjat 10. syyskuuta 2005 sivu 1 / 15

Sisältö. Funktiojonot ja -sarjat 10. syyskuuta 2005 sivu 1 / 15 Funktiojonot j -srjt 10. syyskuut 2005 sivu 1 / 15 Sisältö 1 Funktiojonoist 2 2 Funktiosrjoist 5 3 Funktiojonojen j -srjojen derivointi j integrointi 7 4 Potenssisrjt 9 5 Tylorin polynomit j srjt 12 5.1

Lisätiedot

Painopiste. josta edelleen. x i m i. (1) m L A TEX 1 ( ) x 1... x k µ x k+1... x n. m 1 g... m n g. Kuva 1. i=1. i=k+1. i=1

Painopiste. josta edelleen. x i m i. (1) m L A TEX 1 ( ) x 1... x k µ x k+1... x n. m 1 g... m n g. Kuva 1. i=1. i=k+1. i=1 Pinopiste Snomme ts-ineiseksi kpplett, jonk mteriliss ei ole sisäisiä tiheyden vihteluj. Tällisen kppleen pinopisteen sijinti voidn joskus päätellä kppleen muodon perusteell. Esimerkiksi ts-ineisen pllon

Lisätiedot

Sisältö. Sarjat 10. syyskuuta 2005 sivu 1 / 17

Sisältö. Sarjat 10. syyskuuta 2005 sivu 1 / 17 Sarjat 10. syyskuuta 2005 sivu 1 / 17 Sisältö 1 Peruskäsitteistöä 2 1.1 Määritelmiä 2 1.2 Perustuloksia 4 2 Suppenemistestejä positiivitermisille sarjoille 5 3 Itseinen ja ehdollinen suppeneminen 8 4 Alternoivat

Lisätiedot

Preliminäärikoe Pitkä Matematiikka 5.2.2013

Preliminäärikoe Pitkä Matematiikka 5.2.2013 Preliminäärikoe Pitkä Mtemtiikk 5..0 Kokeess s vstt enintään kymmeneen tehtävään. Tähdellä ( * ) merkittyjen tehtävien mksimipistemäärä on 9, muiden tehtävien mksimipistemäärä on 6.. ) Rtkise yhtälö b)

Lisätiedot

IV. TASAINEN SUPPENEMINEN. f(x) = lim. jokaista ε > 0 ja x A kohti n ε,x N s.e. n n

IV. TASAINEN SUPPENEMINEN. f(x) = lim. jokaista ε > 0 ja x A kohti n ε,x N s.e. n n IV. TASAINEN SUPPENEMINEN IV.. Funktiojonon tasainen suppeneminen Olkoon A R joukko ja f n : A R funktio, n =, 2, 3,..., jolloin jokaisella x A muodostuu lukujono f x, f 2 x,.... Jos tämä jono suppenee

Lisätiedot

Kieli, merkitys ja logiikka, kevät 2011 HY, Kognitiotiede. Vastaukset 2.

Kieli, merkitys ja logiikka, kevät 2011 HY, Kognitiotiede. Vastaukset 2. Kieli, merkitys j logiikk, kevät 2011 HY, Kognitiotiede stukset 2. ** Kikiss utomteiss lkutil on. 1.. nn äärelliset utomtit luseille (1-c), jokiselle omns. (1).. c. q3 q4 q3 q4 q5 q6. Muodost äärellinen

Lisätiedot

Tehtäviä neliöiden ei-negatiivisuudesta

Tehtäviä neliöiden ei-negatiivisuudesta Tehtäviä epäyhtälöistä Tehtäviä eliöide ei-egatiivisuudesta. Olkoo a R. Osoita, että 4a 4a. Ratkaisu. 4a 4a a) a 0 a ) 0.. Olkoot a,, R. Osoita, että a a a. Ratkaisu. Kerrotaa molemmat puolet kahdella:

Lisätiedot

MS-A010{3,4,5} (ELEC*, ENG*) Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Luento 2: Sarjat

MS-A010{3,4,5} (ELEC*, ENG*) Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Luento 2: Sarjat MS-A010{3,4,5} (ELEC*, ENG*) Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Luento 2: Sarjat Pekka Alestalo, Jarmo Malinen Aalto-yliopisto, Matematiikan ja systeemianalyysin laitos September 13, 2017 Pekka Alestalo,

Lisätiedot

1. osa, ks. Solmu 2/ Kahden positiivisen luvun harmoninen, geometrinen, aritmeettinen ja + 1 u v 2 1

1. osa, ks. Solmu 2/ Kahden positiivisen luvun harmoninen, geometrinen, aritmeettinen ja + 1 u v 2 1 Epäyhtälötehtävie ratkaisuja. osa, ks. Solmu 2/200. Kahde positiivise luvu harmoie, geometrie, aritmeettie ja kotraharmoie keskiarvo määritellää yhtälöillä H = 2 +, G = uv, A = u + v 2 u v ja C = u2 +

Lisätiedot