F e. R kertaa ioniparien lukumäärä N. Kun laskemme tämän yhteen Coulombin attraktioenergian kanssa saamme kiteen kokonaisenergiaksi.

Transkriptio

1 S-436, FYSIIKKA IV (EST) Kevät 5, LH Rtisut LH- Lse liui Ferieergi olettll että joie toi luovutt yhde eletroi johtovyöhö Johtvuuseletroit uodostvt vp vuoroviutttto eletroisu Kliui tiheys o 8,5 g / c 3 j yhde liu toi pio o 6, 49 6 g (Ktso luu 76) Rtisu: Ferieergill troitet eergi, joho s etlli johtovyö tilt ovt täyä läpötilss T j jo yläpuolell tilt ovt tyhjiä Kliui Ferieergi sd yhtälöstä /3 4 /3 /3 3 EF () 9 3 Kliui tiheys o ρ /,3 toi / Kos ui toi luovutt yhde eletroi johtovyöhö, tää o sll johtovyö eletroie tiheys yhtälössä () Sijoittll se Ferieergisi E 9,4eV F e LH- Mite NCl-reteise ioiitee lähipurie välie tspioetäisyys R j ooiseergi E p uuttuisivt, jos ioi vrus siertistettisii? Olet, että ioi j se yhde lähipuri välie repulsioteri o uoto b / R,issä b j ovt pretrej Ohje: ooiseergiss trvitsee repulsio oslt ott huoioo vi lähipurit Huo, että tässä ettu epiirie hylivä vuoroviutus ei ole s ui opetusoistee esierissä 7 Rtisu Tässä tehtävässä ettu repulsioteri ei riipu ioie vrusest Ohjee u ooisrepulsioeergi o lähipureide luuäärä z ert b/ R ert ioiprie luuäärä N Ku lsee tää yhtee Coulobi ttrtioeergi ss se itee ooiseergisi b α q U N z, () R 4εR issä z o lähipurie luuäärä j N ioiprie luuäärä iteessä Tspioetäisyydellä eergill () o siirvo, jote du b α q zb α q N z + dr + () R R R 4ε R R 4εR Nα q U ( R ) 4ε R Tspioetäisyyde rvoo vruse suuruus viutt seurvsti: (3)

2 Rtisell yhtälöstä () se tspioetäisyyde uutosesi: 4ε zb 4ε zb ( ) 4 R q R q R q α q 4α q Kooiseergi uutos sd yhtälöstä (3) sijoittll: Nα 4q 4 4 4ε R ( q) (4) U R q U R q (5) Tspioetäisyys siis pieeee j ooiseergi sv, u vrus siertistet LH-3 Kuprill thoesie uutiollie (FCC) ree Lse () ovetiolise uutiollise ysiöopi särä pituus (hilvio), (b) lähipurietäisyys, j (c) lähipurie luuäärä Kupri tiheys o 893 g/3 j toiss 63,54 u Rtisu: Kuprill o FCC hil, jo tlusterii uuluu iost ysi upritoi s oheie uv () FCC-ysiöopiss o 4 toi, sillä oheise uutio ärjissä olevist toeist uuluu o uutioo /8 os usti j sivuthoill olevist toeist usti puolet Atoie luuäärä 4 tilvuusysiössä o site Toislt ρ Sd siis M 3 4 ρ 4M d,36 3 d M ρ d 3 (b) FCC-opi urpisteessä sijitsev toi lähi puri o pitesusess sijitsev toi Siis lähipurietäisyys o d d,3654 R, 56 (c) Nurpisteessä sijitsevll toill o oss opiss 3 lähipuri (sivuthoje esipisteissä) Nurpisteessä osettvt toisi 8 ysiöoppi Joisess iistä o ole lähitä sivutho esipistettä, utt joie iistä o yhteie hde opi ss Siis ii trsteltvll urpistee toill o lähipureit 8 3 pl

3 LH-4 Osoit, että ysiulotteisess hilss, jo priitiivise trsltio pituus o, x seurvt futiot toteuttvt Blochi teoree: () si, (b) 3 x cos Rtisu: Ysiulotteisess tpusess Blochi futio o ( x) u ( x) e ix u ( x ) u ( x) ψ, issä +, u o hil jso j, ±, ±, Blochi teoree void esittää uodoss i ( x+ ) ix i i ψ x + u x + e u ( x) e e e ψ ( x) ix () Altofutio o ψ ( x) si x e u ( x) että u ( x ) u ( x) + : i( x+ ) u ( x + ) e si ( x + ) ix, issä u ( x) e si x Osoitet, i( x+ ) ix i e si x + e e ( ) si x Jott Blochi teoree toteutuisi, tulee oll i e iill : rvoill Ku, se ehdosi ltovetorille i e ( p + ) ( p + ), p, ±, ±, () tällöi yös iill e i i ( e ) () Seurvsi osoite vielä että sduist : rvoist os toteutt periodise reuehdo, ψ x + N ψ x, issä N L itee pituus Tähä tpusee sovellettu jsollie rjehto t N si ( x + N) ( ) si x si x N eli prillie j s, s, ±, ±,, (3) Blochi teoree rj hdolliset : rvot (): u seurvsti: 3 5, ±, ±, (4) j jsolliset rjehdot (3): u seurvsti: 3, ±, ±, ±,, (5)

4 Näissä o ysi yhteie : rvo, iittäi / Toislt uut : rvot (4):ssä ovt evivlettej /: ss sillä e erovt tästä ääteishilvetori / oierr verr Siis i i si ( x + ) e si x e si x Void siis todet, että si x toteutt Blochi teoree 3 b) Nyt ψ ( x) cos x Soi ui -ohdss: ( x ) cos ( x ) cos ψ x 3 cos x 3 i 3 i ( ) cos x e cos x e ( ) i Ku, e + p, p, ±, ±,, jot ovt st ui edellä Myös jsolliset rjehdot tvt st : rvot ui edellä Sd siis 3 i 3 i 3 i ψ ( x + ) cos x + 3 e cos x e cos x e ψ ( x) 3 Futio cos x toteutt siis Blochi teoree LH-5 Kitee periodie potetili uodost eergitilt E( ) ( cos( ) ), issä o hilvio j eletroi ltoluu () Miä o eergivyö leveys j itä ovt eergit Brillouii vyöhyee reuoill? (b) Miä o eletroi uvv ltopeti siiopeus? (c) Miä o eletroi efetiivie ss? Rtisu: () Brilliouii vyöhye vst ltoluvu rvoj [, ] reuoiss ovt E ± ( cos( ± )) (yläreu), E ( ) ( cos() ) (lreu) jote vyö leveys o E (b) Altopeti opeus sd eergi luseeest seurvsti Eergit vyö

5 d E( ) d v d d ( cos( ) ) ( + si( ) ) si( ) vx (c) Efetiivie ss void lse vll, d E d issä d E cos( ) d Efetiivisesi sssi sd siis cos( ) si( )