funktiojono. Funktiosarja f k a k (x x 0 ) k

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Koko: px
Aloita esitys sivulta:

Download "funktiojono. Funktiosarja f k a k (x x 0 ) k"

Transkriptio

1 SARJAT JA DIFFERENTIAALIYHTÄLÖT Funtiosarjat Tässä luvussa esitettävissä funtiosarjojen tulosissa yhdistämme luujen 3 teoriaa. Esimeri 4.. Geometrinen sarja x suppenee aiilla x ], [ ja hajaantuu aiilla muilla x:n arvoilla. Sarjan summa on /( x). Siis geometrinen sarja määrää funtion g :], [ R, (4.) g(x) = x. Ajatus on siis se, että parametrista tai muuttujasta riippuva sarja määrää funtion siinä jouossa, jossa se suppenee. Muodollisesti: Määritelmä 4.2. Oloon (f ) funtiojono. Funtiosarja (4.2) suppenee pisteittäin, jos sen äärellisten osasummien jono ( n f ) n= suppenee pisteittäin. Funtiosarja suppenee tasaisesti, jos sen äärellisten osasummien n f jono suppenee tasaisesti. Pisteittäin tai tasaisesti suppeneva funtiosarja määrää funtion f : A R, (4.3) f(x) = f (x), f un funtioiden f, = 0,, 2,..., määrittelyjouo on A. Jos f (x) = a (x x 0 ) jollain x 0 R aiilla = 0,, 2,..., funtiosarjaa sanotaan potenssisarjasi, ja sitä meritään (4.4) a (x x 0 ). Tarastelemme lähinnä potenssisarjoja. Tareä ysymys on, millä x:n arvoilla potenssisarja (4.4) suppenee pisteittäin tai tasaisesti. Selvästi sarja (4.4) suppenee, un x = x 0, osa tarasteltavan sarjan aii termit ovat nollia. Potenssisarjoja (4.4) tarasteltaessa sarja muodostetaan siis funtioista a p, missä potenssifuntio p, p (x) = (x x 0 ) on määritelty oo R:ssä. Kuitenin hyväsymme sellaisenin tilanteen, että sarja suppenee vain jossain R:n aidossa osajouossa A. Tällöin siis tarastelemmein oieammin funtiosarjaa (4.5) a p A. Tarastelemme potenssisarjan suppenemisjouoa taremmin: on rajoitettu, niin po- Lause 4.3. Oloon x x 0. Jos jono ( a (x x 0 ) ) tenssisarja (4.6) a (x x 0 ) suppenee itseisesti aiilla x R, joille pätee (4.7) x x 0 < x x 0

2 32 JOUNI PARKKONEN Todistus. Oloon (4.8) M = sup { a (x x 0 ) : N }. Oletusen muaan M <. Siis (4.9) a M x x 0 aiilla = 0,, 2,..., joten aiilla n N pätee n (4.0) a (x x 0 ) n M x x 0 x x 0 <, osa oieanpuoleinen sarja on suppeneva geometrinen sarja, un x x 0 < x x 0. Siis sarja a (x x 0 ) suppenee itseisesti, un x x 0 < x x 0. Tästä saamme seurausena Lause 4.4. Jos sarja (4.) suppenee, niin potenssisarja (4.2) a (x x 0 ) a (x x 0 ) suppenee itseisesti aiilla x R, joilla (4.3) x x 0 < x x 0. Todistus. Sarja a (x x 0 ) suppenee, joten jono ( a (x x 0 ) ) rajoitettu. Tulos seuraa Lauseesta 4.3. Esimeri 4.5. Tarastelemme potenssisarjaa x (4.4). on Kun x =, potenssisarja on, eli harmoninen sarja, joa hajaantuu. Kun x =, potenssisarja on ( ), eli vuorotteleva harmoninen sarja, joa suppenee. Lauseen 4.4 nojalla potenssisarja suppenee välillä [, [. Kun x >, niin (4.5) lim joten sarja ei suppene näillä x:n arvoilla. x =, Määritelmä 4.6. Potenssisarjan a (x x 0 ) suppenemissäde on { } (4.6) R = sup x x 0 : a (x x 0 ) suppenee. Jos 0 < R, niin väliä ]x 0 R, x 0 + R[ sanotaan potenssisarjan suppenemisvälisi. Määritelmä 4.6 on järevä, osa pätee: Lause 4.7. Oloon R potenssisarjan a (x x 0 ) suppenemissäde. Tällöin: (a) Jos R = 0, niin sarja suppenee vain, un x = x 0. (b) Jos R =, niin sarja suppenee itseisesti aiilla x R.

3 SARJAT JA DIFFERENTIAALIYHTÄLÖT (c) Jos 0 < R <, niin sarja suppenee itseisesti aiilla x ]x 0 R, x 0 + R[ ja hajaantuu aiilla x R \ [x 0 R, x 0 + R]. Todistus. (a) Seuraa suppenemissäteen määritelmästä. (b) Oloon x R. Kosa R =, on olemassa x R siten, että x > x ja a (x x 0 ) suppenee. Lauseen 4.4 nojalla a (x x 0 ) suppenee itseisesti. (c) Jos x x 0 < R, niin R:n määritelmän nojalla on x R siten, että (4.7) x x 0 < x x 0 < R ja a (x x 0 ) suppenee. Lauseen 4.4 nojalla a (x x 0 ) suppenee itseisesti. Jos taas x x 0 > R, niin R:n määritelmän nojalla a (x x 0 ) hajaantuu. Huomautus 4.8. Potenssisarjan suppeneminen suppenemisvälin päätepisteissä on tarastettava eriseen. Esimerissä 4.5 voisimme nyt päätellä suppenemisjouon näin: Potenssisarja suppenee, un x = = R. Potenssisarja hajaantuu, un x = = R. Siis Lauseen 4.7 nojalla potenssisarjan (4.4) suppenemissäde on, ja sarja suppenee, jos ja vain jos x [, [. Suppenemissäde on usein helppo selvittää seuraavan tulosen avulla: Lause 4.9. Oloon R potenssisarjan a (x x 0 ) suppenemissäde. Tällöin ( (a) Jos jono a ) suppenee, niin (4.8) R = lim a. ( ) (b) Jos jono a a + suppenee, niin (4.9) a R = lim a + Todistus. Oloon S = lim a. Juuritestissä saamme (4.20) a x x 0 = a x x 0 S x x 0. Jos S <, niin Lauseen 3.6 (a)-ohdan muaan sarja suppenee, un S x x 0 <. Toisaalta, jos S x x 0 >, niin sarja hajaantuu Lauseen 3.6 (b)-ohdan muaan. Siis suppenemissäde on /S, jos S <. Jos taas S =, niin aiilla x x 0 ja aiilla M > 0 on N N siten, että aiille N pätee (4.2) a x x 0 > M, eli (4.22) a (x x 0 ) > M. Kun valitsemme M, niin minoranttiperiaatteesta seuraa, että sarja hajaantuu. (b) Harjoitus. Esimeri 4.0. (a) Sarjan (4.23) e 2 x

4 34 JOUNI PARKKONEN suppenemissäde on Lauseen 4.9 muaan 0, osa (4.24) lim e 2 = lim e =. Tässä esimerissä potenssisarjan ertoimet asvavat siis niin nopeasti, että sarja suppenee ainoastaan, un x = 0. Toisaalta, jos orvaamme ertoimen e 2 e :lla, saamme positiivisen suppenemissäteen: (4.25) e x = (ex), joa suppenee geometrisena sarjana täsmälleen jouossa ] e, e [. (b) Sarjan ( ) (4.26) + x suppenemissäde on Lauseen 4.9 muaan, osa ( ) (4.27) lim ( ) = lim + =. Kuten Esimerissä 4.5 huomaamme, että sarja suppenee, un x = ja hajaantuu, un x =. Siis sarja suppenee, jos ja vain jos x [, [. (c) Jos yritämme etsiä sarjan (4.28) suppenemissädettä Lauseen 4.9 (a)-ohdan juuritestillä, joudumme tarastelemaan raja-arvoa lim!, jona määrittäminen tuntuu hanalalta. Sen sijaan (4.29) lim ( (!) (+)! x! ( + )! ) = lim =,! joten suppenemissäde on ja sarja suppenee itseisesti aiilla x R. Tästä seuraa, että sarjat x 2+ (4.30) (2 + )! ja (4.3) ( ) x 2+ (2 + )! suppenevat itseisesti aiilla x R, osa näistä sarjoista itseisarvot lisäämällä muodostetut sarjat saadaan sarjan (4.28) itseisarvosarjasta jättämällä x:n parilliset potenssit pois. Tämä argumentti toimii Lauseen 3.9 nojalla, osa sarja (4.28) suppenee itseisesti. (d) Jos derivoimme geometrisen sarjan termeittäin, saamme sarjan (4.32) x. Tämän sarjan suppenemissäde on eli se on sama uin geometrisen sarjan suppenemissäde: (4.33) lim + =.

5 SARJAT JA DIFFERENTIAALIYHTÄLÖT Sarjat ja ( ) hajaantuvat, joten sarja (4.32) suppenee, jos ja vain jos x ], [. Potenssisarjat ovat siis funtiosarjoja (4.34) f, un f : I R, (4.35) f (x) = a (x x 0 ) ja I on esimerisi potenssisarjan suppenemisväli. Potenssisarjojen määräämät funtiot äyttäytyvät erittäin siististi. Ennen näiden hyvien ominaisuusien tarastelua, todistamme yleisiä tulosia funtiosarjoille. Lause 4. (Cauchyn ehto funtiosarjojen tasaiselle suppenemiselle). Oloot A R ja f : A R, = 0,, 2,.... Funtiosarja f suppenee tasaisesti, jos ja vain jos aiilla ɛ > 0 on N N siten, että n+p (4.36) f (x) < ɛ x A aiilla n N ja p N. =n Todistus. Seuraa Lauseesta.. Lause 4.2 (Weierstrassin ehto). Oloot A R, f : A R, a 0 siten, että (4.37) f(x) a x A aiilla = 0,, 2,.... Jos a suppenee, niin f suppenee tasaisesti. Todistus. Oloon ɛ > 0. Cauchyn ehdon 3.4 nojalla on N N siten, että (4.38) n+p a < ɛ =n aiilla n N ja p N. Oletusen (4.37) nojalla aiille x A pätee n+p n+p (4.39) f (x) n+p f (x) a < ɛ, =n =n un n N ja p N. Cauchyn ehdon, Lause 4. nojalla funtiosarja suppenee tasaisesti. Lause 4.3. Oloon I R väli. Oloot f : I R, = 0,, 2,..., jatuvia funtioita. Jos f suppenee tasaisesti ja määrää funtion f : I R, (4.40) f(x) = f (x) x I, =n niin (a) f on jatuva, ja (b) f on Riemann-integroituva joaisella suljetulla välillä [a, b] I ja d d (4.4) f(x)dx = f (x)dx, eli (4.42) d c c f (x)dx = c d c f (x)dx,

6 36 JOUNI PARKKONEN Todistus. Seuraa Lauseista.3 ja.6. Todistamme nyt tulosen, josta funtiojonojen lause.8 seuraa: Lause 4.4. Oloot f :]a, b[ R jatuvasti derivoituvia ja x 0 ]a, b[. Jos f suppenee tasaisesti ja määrää funtion g :]a, b[ R, ja jos f (x 0 ) suppenee, niin f suppenee tasaisesi. Lisäsi, jos (4.43) f(x) = f (x) x ]a, b[, pätee f = g. Todistus. Oloon x ]a, b[. Analyysin peruslauseesta seuraa, että n x n n (4.44) f (x) = f (t)dt + f (x 0 ) x 0 aiilla n N. Funtiosarja f suppenee tasaisesti, joten funtio g on integroituva välillä [x 0, x] (tai [x, x 0 ]) ja x x (4.45) g = f x 0 x 0 Lauseen 4.3(b) nojalla. Kosa f (x 0 ) suppenee, niin (4.44):n nojalla x (4.46) f (x) = f (t)dt + f (x 0 ). x 0 Analyysin peruslauseen nojalla g = f. Palaamme nyt potenssisarjojen äsittelyyn. Weierstrassin ehdolla on helppo todistaa seuraava tulos: Lause 4.5. Potenssisarja suppenee tasaisesti joaisella suppenemisvälinsä suljetulla osavälillä. Todistus. Harjoitus. Seuraava tulos osoittaa, että Lauseen 4.4 ehdot toteutuvat potenssisarjoille. Lauseen jälimmäinen sarja saadaan edellisestä derivoimalla termeittäin. Lause 4.6. Potenssisarjoilla a (x x 0 ) ja a (x x 0 ) on sama suppenemissäde. Todistus. Oloot R potenssisarjan a (x x 0 ) suppenemissäde ja R potenssisarjan a (x x 0 ). Osoitamme, että R = R. () Oloon x R. Kaiilla N pätee (4.47) a (x x 0 ) a (x x 0 ) = x x 0 ( a (x x 0 ) ). Siis, jos (4.48) hajaantuu, niin (4.49) a (x x 0 ) a (x x 0 ) hajaantuu, joten R R. (2) Oloon x ]x 0 R, x 0 + R[. Oloon c R siten, että x x 0 < c < R.

7 SARJAT JA DIFFERENTIAALIYHTÄLÖT Tällainen c on olemassa, osa suppenemisväli ]x 0 R, x 0 +R[ on avoin. Siis x 0 +c ]x 0 R, x 0 + R[, joten (4.50) a c suppenee. Siis jono ( a c ) on rajoitettu, eli on M > 0 siten, että a c < M aiilla R. Toisin sanoen, a < M. Siis c (4.5) a x x 0 M c x x 0 = M c x x 0 c. Sarjan x suppenemissäde on Esimerin 4.0(d) nojalla. Siis sarja (4.52) x x 0 c suppenee. Majoranttiperiaatteen muaan sarja a (x x 0 ) suppenee itseisesti, joten R > x x 0. Tästä seuraa R R, osa x voidaan valita läheltä suppenemisvälin päätepistettä. Potenssisarjoille saamme edellisistä tulosista äyttöelpoisen seurausen: Seuraus 4.7. Oloon f :]x 0 R, x 0 + R[ R potenssisarjan a (x x 0 ) määräämä funtio. Tällöin (a) f on jatuva, (b) f on Riemann-integroituva aiilla suljetuilla väleillä [c, d] ]x 0 R, x 0 +R[ ja (4.53) (4.54) Erityisesti d c f = x a ( (d x0 ) + (c x 0 ) +). + x 0 f = a + (x x 0) +. (c) f on jatuvasti derivoituva välillä ]x 0 R, x 0 + R[ ja (4.55) f (x) = a (x x 0 ). (d) Oloon n N. funtio f on n ertaa jatuvasti derivoituva välillä ]x 0 R, x 0 + R[ ja (4.56) f (n) (x 0 ) = n!a n. Todistus. (a) Lause 4.3(a) ja Lause 4.5. (b) Lause 4.3(b) ja Lause 4.5. (c) Lause 4.6 ja 4.4. (d) Harjoitus. Seuraus 4.8. Oloon f :]x 0 R, x 0 + R[ R potenssisarjan a (x x 0 ) määräämä funtio. Tällöin aiilla n N n (4.57) T n,x0 f(x) = a (x x 0 ). Todistus. Lause 4.7 ja Taylorin polynomin määritelmä.

8 38 JOUNI PARKKONEN Jos funtio f :]a, b[ R on n ertaa jatuvasti derivoituva aiilla n N, meritsemme f C (]a, b[). Lauseen 4.7 muaan, jos f :]x 0 R, x 0 + R[ R on potenssisarjan määräämä funtio, niin f C (]x 0 R, x 0 + R[). Yleistämme Taylorin polynomit C -funtioiden tapausessa: Määritelmä 4.9. Oloot f C (]a, b[) ja x 0 ]a, b[. Potenssisarja f () (x 0 ) (4.58) T,x0 f(x) = (x x 0 )! on f:n Taylorin sarja pisteessä x 0. Seuraus Oloon f :]x 0 R, x 0 + R[ R potenssisarjan a (x x 0 ) määräämä funtio. Tällöin (4.59) T,x0 f(x) = a (x x 0 ). Todistus. Lause 4.7(d). Milloin f(x) = T,x0 f(x)? Seuraava Lause muotoilee ysymysen Luujen ja 2 avulla: Lause 4.2. Oloot x, x 0 ]a, b[ ja f C (]a, b[). Jos (4.60) lim R n,x 0 f(x) = 0, niin (4.6) Todistus. Määritelmät. f () (x 0 ) (x x 0 ) = f(x).! Seuraava tulos antaa einoja tarastella Taylorin sarjan suppenemista: Lause Oloot x 0 ]a, b[ ja f C (]a, b[). Jos on r > 0 ja M > 0 siten, että ]x 0 r, x 0 + r[ ]a, b[ ja (4.62) f () (x) M x ]x 0 r, x 0 + r[, niin (4.63) f(x) = f () (x 0 ) (x x 0 ) x ]x 0 r, x 0 + r[.! Todistus. Tarastelemme jäännöstermiä Lagrangen muodon avulla. Pisteiden x ja x 0 välissä on piste ξ siten, että (4.64) R n,x0 f(x) = f (n+) (ξ) (n + )! (x x 0) n+ M n+ (n + )! x x 0 n+ (Mr)n+ (n + )! Väite seuraa Lauseesta 4.2 n 0. Esimeri (a) Esponenttifuntion Taylorin sarja 0:ssa on Esimerin 2.2 muaan x (4.65) T,0 exp(x) =!. Esimerissä 2.7 osoitimme, että sarjan (4.65) osasummien jono suppenee tasaisesti ohti esponenttifuntiota joaisella suljetulla välillä [a, b] R. Siis Taylorin

9 SARJAT JA DIFFERENTIAALIYHTÄLÖT sarja (4.65) suppenee pisteittäin ohti esponenttifuntiota aiilla x R. Saman tulosen saamme myös Lauseesta 4.22, sillä (4.66) exp () (x) = e x e b (e b ) aiilla x [ b, b] (b > 0) ja N. (b) Samalla perustelulla saamme Esimerin 2.2(a) nojalla (4.67) cos(x) = ( ) (2)! x2 x R, sillä osinin aii derivaatat toteuttavat cos () (x) aiilla x R, atso (2.48). (c) Sinifuntion Taylorin sarja 0:ssa saadaan Lauseen 4.7 nojalla integroimalla termeittäin osinin sarjasta: x (4.68) sin(x) = cos(t)dt = ( ) x2 (2)! = ( ) x 2+ x R. (2 + )! (d) Esimerin 4. nojalla (4.69) 0 x = x x ], [. (e) Sijoittamalla aavaan (4.69) x:n paialle x, saamme (4.70) + x = ( x) x ], [. (f) Integroimalla (e)-ohdan sarjan termeittäin saamme (4.7) log( + x) = = x 0 + t dt = x ( ) t dt ( ) x+ + = 0 + x ( ) x ], [. Edellä osoitimme, että potenssisarja suppenee tasaisesti (avoimella) suppenemisvälillään. Siis potenssisarjan määräämä funtio on tällä välillä jatuva, osa potenssifuntiot ovat jatuvia. Seuraava lause osoittaa, että potenssisarjan määräämä funtio on jatuva oo siinä jouossa, jossa potenssisarja suppenee. Lause 4.24 (Abelin raja-arvolause). Oloon R > 0 potenssisarjan (4.72) a (x x 0 ) suppenemissäde. Oloon (4.73) f(x) = a (x x 0 ) (a) Jos a R suppenee, niin x ]x 0 R, x 0 + R[. (4.74) lim f(x) = a R. x x 0 +R

10 40 JOUNI PARKKONEN (b) Jos a ( R) suppenee, niin (4.75) lim f(x) = a ( R). x x 0 R+ Todistus. (a) Voimme olettaa, että x 0 = 0 ja R =. Meritsemme (4.76) f() = a = a. Geometriselle sarjalle pätee (4.77) x = x x ], [. Kun x < pätee siis Lauseen 3.25 nojalla ( ) ( (4.78) x f(x) = ) x a x = c x, un (4.79) c = Tällöin (4.80) a j. j=0 f(x) f() =( x) c x ( x) x f() =( x) (c f())x. Oloon ɛ > 0. Kosa tarastelemme raja-arvoa, un x, voimme olettaa, että 0 < x <. On N N siten, että (4.8) c n f() < ɛ n N, 2 osa c n on sarjan a n. osasumma. Oloon (4.82) M = max { c f() : N }. Jaamme sarjan ahteen osaan: N f(x) f() = ( x) (c f())x + ( x) (c f())x =N N ( x) (c f())x + ( x) (c f())x (4.83) un ( x)nm + ( x) ɛ 2 =N x N ( x)nm + ( x) ɛ 2 x < ɛ 2 + ɛ 2 = ɛ, (4.84) x > ɛ 2NM. x =N

11 SARJAT JA DIFFERENTIAALIYHTÄLÖT Kuva 9. Esimerin 4.26(a) funtion uvaaja 0:n lähellä. Siis (4.85) lim f(x) = f(). x Esimeri (a) Funtio f :], [ R, f(x) = log( + x) on jatuva. Esimerissä 4.23(f) osoitimme, että + x (4.86) log( + x) = ( ) x ], [. Tämä on vuorotteleva harmoninen sarja, un x =. Siis potenssisarja suppenee suppenemisvälin päätepisteessä, joten osamme nyt lasea vuorottelevan harmonisen sarjan summan Lauseen 4.24 avulla: ( ) + (4.87) log(2) =. (b) Arustangentin päähaaran potenssisarja 0:ssa on (Harjoitus) (4.88) arctan(x) = ( ) x2+ x ], [. 2 + Kun x =, tämä on vuorottelevaterminen sarja, joa toteuttaa Leibnitzin testin (Lause 3.20) ehdon. Siis Lauseen 4.24 muaan (4.89) eli π 4 = arctan() = ( ) 2 + = , (4.90) π = arctan() = Esimeri (a) Funtio f : R R, {e x (4.9) f(x) = 2, un x 0 0, un x = 0 on jatuva 0:ssa. Erotusosamäärien tarastelu 0:ssa osoittaa, että f C (R) ja f (n) (0) = 0 aiilla n N (Harjoitus). Siis T,0 f(x) = 0 aiilla x R, eli f:n Taylorin sarja suppenee aiialla, mutta se suppenee ohti f:ää vain pistessä 0. (b) Funtiosarjojen avulla voi muodostaa funtioita, jota ovat jatuvia, mutta jota eivät ole derivoituvia missään: Oloon φ : R R 4-jasollinen funtio siten, että (4.92) φ(x) = x, un x < 2, ja (4.93) φ(4p + x) = φ(x)

12 42 JOUNI PARKKONEN Kuva 0. Esimerin 4.26(b) funtiot φ (punainen), x φ(4x)/4 (vihreä) ja ψ (sininen) Kuva. Esimerin 4.26(c) funtio φ. aiilla p Z. Oloot φ : R R, (4.94) φ (x) = 4 φ(4 x). Funtiosarja (4.95) suppenee tasaisesti, joten se määrää jatuvan funtion ψ : R R (Harjoitus). Kuitenaan tällä funtiolla ei ole derivaattaa missään pisteessä x R (Taagi 903). (c) Oloon φ : R R uten uvassa. Oloot (4.96) f (x) = 2 φ(3 2 2 x) ja (4.97) f 2 (x) = φ 2 φ(3 2 x). Funtio f : [0, ] [0, ] [0, ] R 2, f(x) = (f (x), f 2 (x)) on jatuva surjetio. Siis on olemassa jatuva uvaus, joa uvaa janan neliösi!

13 SARJAT JA DIFFERENTIAALIYHTÄLÖT Kuva 2. Esimerin 4.26(c) uvausen ensimmäinen, toinen ja ymmenes osasumma. Department of Mathematics and Statistics, P.O. Box 35, 4004 University of Jyväsylä, Finland address:

termit on luontevaa kirjoittaa summamuodossa. Tällöin päädymme lukusarjojen teoriaan: a k = s.

termit on luontevaa kirjoittaa summamuodossa. Tällöin päädymme lukusarjojen teoriaan: a k = s. SARJAT JA DIFFERENTIAALIYHTÄLÖT 2003 7 3. Luusarjat Josus luujonon (b ) termit on luontevairjoittaa summamuodossa. Tällöin päädymme luusarjojen teoriaan: Määritelmä 3.. Oloon ( ), R luujono. Symboli (3.)

Lisätiedot

Matematiikan tukikurssi

Matematiikan tukikurssi Matematiian tuiurssi Kurssierta 5 Sarjojen suppeneminen Kiinnostusen ohteena on edelleen sarja a n = a + a 2 + a 3 + a 4 + n= Tämä summa on mahdollisesti äärellisenä olemassa, jolloin sanotaan että sarja

Lisätiedot

Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Ratkaisut 1. viikolle /

Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Ratkaisut 1. viikolle / MS-A8 Differentiaali- ja integraalilasenta, V/27 Differentiaali- ja integraalilasenta Rataisut. viiolle /. 3.4. Luujonot Tehtävä : Mitä ovat luujonon viisi ensimmäistä termiä, un luujono on a) (a n ) n=,

Lisätiedot

III. SARJATEORIAN ALKEITA. III.1. Sarjan suppeneminen. x k = x 1 + x 2 + x ,

III. SARJATEORIAN ALKEITA. III.1. Sarjan suppeneminen. x k = x 1 + x 2 + x , III. SARJATEORIAN ALKEITA Sarja on formaali summa III.. Sarjan suppeneminen = x + x 2 + x 3 +..., missä R aiilla N (merintä ei välttämättä taroita mitään reaaliluua). Luvut x, x 2,... ovat sarjan yhteenlasettavat

Lisätiedot

IV. TASAINEN SUPPENEMINEN. f(x) = lim. jokaista ε > 0 ja x A kohti n ε,x N s.e. n n

IV. TASAINEN SUPPENEMINEN. f(x) = lim. jokaista ε > 0 ja x A kohti n ε,x N s.e. n n IV. TASAINEN SUPPENEMINEN IV.. Funktiojonon tasainen suppeneminen Olkoon A R joukko ja f n : A R funktio, n =, 2, 3,..., jolloin jokaisella x A muodostuu lukujono f x, f 2 x,.... Jos tämä jono suppenee

Lisätiedot

8 Potenssisarjoista. 8.1 Määritelmä. Olkoot a 0, a 1, a 2,... reaalisia vakioita ja c R. Määritelmä 8.1. Muotoa

8 Potenssisarjoista. 8.1 Määritelmä. Olkoot a 0, a 1, a 2,... reaalisia vakioita ja c R. Määritelmä 8.1. Muotoa 8 Potenssisarjoista 8. Määritelmä Olkoot a 0, a, a 2,... reaalisia vakioita ja c R. Määritelmä 8.. Muotoa a 0 + a (x c) + a 2 (x c) 2 + olevaa sarjaa sanotaan c-keskiseksi potenssisarjaksi. Selvästi jokainen

Lisätiedot

2 Taylor-polynomit ja -sarjat

2 Taylor-polynomit ja -sarjat 2 Taylor-polynomit ja -sarjat 2. Taylor-polynomi Taylor-polynomi P n (x; x 0 ) funtion paras n-asteinen polynomiapprosimaatio (derivoinnin annalta) pisteen x 0 lähellä. Maclaurin-polynomi: tapaus x 0 0.

Lisätiedot

Matemaattinen Analyysi

Matemaattinen Analyysi Vaasan yliopisto, evät 05 / ORMS00 Matemaattinen Analyysi 6. harjoitus. Approsimoi toisen asteen polynomilla P(x) = b 0 +b x+b x oheisen tauluon muaisia havaintoja. (Teorian löydät opetusmonisteen sivuilta

Lisätiedot

Tehtävä 3. Määrää seuraavien jonojen raja-arvot 1.

Tehtävä 3. Määrää seuraavien jonojen raja-arvot 1. Jonotehtävät, 0/9/005, sivu / 5 Perustehtävät Tehtävä. Muotoile matemaattiset vastineet seuraavien väitteiden negaatioille (ts. vastaohdat).. Jono (a n ) suppenee ohti luua a.. Jono (a n ) on asvava. 3.

Lisätiedot

M 2 M = sup E M 2 t. E X t = lim. niin martingaalikonvergenssilauseen oletukset ovat voimassa, eli löydämme satunnaismuuttujan M, joka toteuttaa ehdon

M 2 M = sup E M 2 t. E X t = lim. niin martingaalikonvergenssilauseen oletukset ovat voimassa, eli löydämme satunnaismuuttujan M, joka toteuttaa ehdon Matematiian ja tilastotieteen laitos Stoastiset differentiaaliyhtälöt Rataisuehdotelma Harjoituseen 7 1. Näytä, että uvaus M M M 2, un M 2 M = sup E M 2 t 2 t 0 on normi jouossa M 2 = { M : M on martingaali

Lisätiedot

Matematiikan tukikurssi

Matematiikan tukikurssi Matematiikan tukikurssi Kertausluento 2. välikokeeseen Toisessa välikokeessa on syytä osata ainakin seuraavat asiat:. Potenssisarjojen suppenemissäde, suppenemisväli ja suppenemisjoukko. 2. Derivaatan

Lisätiedot

Perustehtäviä. Sarjateorian tehtävät 10. syyskuuta 2005 sivu 1 / 24

Perustehtäviä. Sarjateorian tehtävät 10. syyskuuta 2005 sivu 1 / 24 Sarjateorian tehtävät 0. syysuuta 2005 sivu / 24 Perustehtäviä. Muunna sarja telesooppimuotoon ja osoita, että se suppenee. Lase myös sarjan summa. ( + ) = 2 + 6 + 2 +... 2. Osoita suoraan määritelmään

Lisätiedot

Kompleksianalyysi, viikko 5

Kompleksianalyysi, viikko 5 Kompleksianalyysi, viikko 5 Jukka Kemppainen Mathematics Division Kompleksiset jonot Aloitetaan jonon suppenemisesta. Määr. 1 Kompleksiluvuista z 1,z 2,...,z n,... koostuva jono suppenee kohti raja-arvoa

Lisätiedot

5. Potenssisarjat 5.1. Määritelmä ja suppeneminen 84. 85. 86. 87. 88. 89.

5. Potenssisarjat 5.1. Määritelmä ja suppeneminen 84. 85. 86. 87. 88. 89. 5. Potenssisarjat 5.1. Määritelmä ja suppeneminen 84. Määritä seuraavien potenssisarjojen suppenemisympyrät: a) ( ) z + 3, b) 2 [ z 2 + ( 1) ], c) a) Koo omplesitaso; b) z =, R = 1; c) z = i, R = 4. 85.

Lisätiedot

Sarjat ja differentiaaliyhtälöt, harjoitustehtäviä

Sarjat ja differentiaaliyhtälöt, harjoitustehtäviä Sarjat ja differentiaaliyhtälöt, harjoitustehtäviä. L Hospitalin sääntö on tuttu Analyysi :n kurssilta. Se on näppärä keino laskea tiettyjä raja-arvoja, mutta sen käytössä on oltava kuitenkin varovainen.

Lisätiedot

Matematiikan tukikurssi

Matematiikan tukikurssi Matematiikan tukikurssi Kurssikerta 6 Sarjojen suppeneminen Kiinnostuksen kohteena on edelleen sarja a k = a + a 2 + a 3 + a 4 +... k= Tämä summa on mahdollisesti äärellisenä olemassa, jolloin sanotaan

Lisätiedot

Tenttiin valmentavia harjoituksia

Tenttiin valmentavia harjoituksia Tenttiin valmentavia harjoituksia Alla olevissa harjoituksissa suluissa oleva sivunumero viittaa Juha Partasen kurssimonisteen siihen sivuun, jolta löytyy apua tehtävän ratkaisuun. Funktiot Harjoitus.

Lisätiedot

Sarja. Lukujonosta (a k ) k N voi muodostaa sen osasummien jonon (s n ): s 1 = a 1, s 2 = a 1 + a 2, s 3 = a 1 + a 2 + a 3,...,

Sarja. Lukujonosta (a k ) k N voi muodostaa sen osasummien jonon (s n ): s 1 = a 1, s 2 = a 1 + a 2, s 3 = a 1 + a 2 + a 3,..., Sarja Lukujonosta (a k ) k N voi muodostaa sen osasummien jonon (s n ): Määritelmä 1 s 1 = a 1, s 2 = a 1 + a 2, s 3 = a 1 + a 2 + a 3,..., n s n = a k. Jos osasummien jonolla (s n ) on raja-arvo s R,

Lisätiedot

6. Toisen ja korkeamman kertaluvun lineaariset

6. Toisen ja korkeamman kertaluvun lineaariset SARJAT JA DIFFERENTIAALIYHTÄLÖT 2003 51 6. Toisen ja korkeamman kertaluvun lineaariset differentiaaliyhtälöt Määritelmä 6.1. Olkoon I R avoin väli. Olkoot p i : I R, i = 0, 1, 2,..., n, ja q : I R jatkuvia

Lisätiedot

nyky-ymmärryksemme mukaan hajaantuvaan sarjaan luvun 1 2 kun n > N Huom! Määritelmä on aivan sama C:ssä ja R:ssä. (Kuva vain on erilainen.

nyky-ymmärryksemme mukaan hajaantuvaan sarjaan luvun 1 2 kun n > N Huom! Määritelmä on aivan sama C:ssä ja R:ssä. (Kuva vain on erilainen. Sarjaoppia Käsitellään kompleksi- ja reaalisarjat yhdessä. Reaalilukujen ominaisuuksista (kuten järjestys) riippuvat asiat tulevat lisämausteena mukaan. Kirjallisuutta: 1. [KRE] Kreyszig: Advanced Engineering

Lisätiedot

Tehtävä 2 Todista luennoilla annettu kaava: jos lukujen n ja m alkulukuesitykset. ja m = k=1

Tehtävä 2 Todista luennoilla annettu kaava: jos lukujen n ja m alkulukuesitykset. ja m = k=1 Luuteoria Harjoitus 1 evät 2011 Alesis Kosi 1 Tehtävä 1 Näytä: jos a ja b ovat positiivisia oonaisluuja joille (a, b) = 1 ja a c, seä lisäsi b c, niin silloin ab c. Vastaus Kosa a c, niin jaollisuuden

Lisätiedot

Funktiojonot ja funktiotermiset sarjat Funktiojono ja funktioterminen sarja Pisteittäinen ja tasainen suppeneminen

Funktiojonot ja funktiotermiset sarjat Funktiojono ja funktioterminen sarja Pisteittäinen ja tasainen suppeneminen 4. Funktiojonot ja funktiotermiset sarjat 4.1. Funktiojono ja funktioterminen sarja 60. Tutki, millä muuttujan R arvoilla funktiojono f k suppenee, kun Mikä on rajafunktio? a) f k () = 2k 2k + 1, b) f

Lisätiedot

Sattuman matematiikkaa III

Sattuman matematiikkaa III Sattuman matematiiaa III Kolmogorovin asioomat ja frevenssitulinta Tommi Sottinen Tutija Matematiian ja tilastotieteen laitos, Helsingin yliopisto Laboratoire de Probabilités et Modèles Aléatoires, Université

Lisätiedot

JOHDATUS LUKUTEORIAAN (syksy 2017) HARJOITUS 1, MALLIRATKAISUT

JOHDATUS LUKUTEORIAAN (syksy 2017) HARJOITUS 1, MALLIRATKAISUT JOHDATUS LUKUTEORIAAN (sysy 2017) HARJOITUS 1, MALLIRATKAISUT Tehtävä 1. (i) Etsi luvun 111312 aii teijät. (ii) Oloot a ja b positiivisia oonaisluuja joilla a b ja b a. Osoita, että silloin a = b. Rataisu

Lisätiedot

ANALYYSI 3. Tero Kilpeläinen

ANALYYSI 3. Tero Kilpeläinen ANALYYSI 3 Tero Kilpeläinen Luentomuistiinpanoja syksyltä 2005 14. helmikuuta 2014 Sisältö 1. Esitietoja 2 1.1. Riemann-integraali............................ 2 1.2. Derivaatta.................................

Lisätiedot

MS-A010{3,4} (ELEC*) Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Luento 5: Taylor-polynomi ja sarja

MS-A010{3,4} (ELEC*) Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Luento 5: Taylor-polynomi ja sarja MS-A010{3,4} (ELEC*) Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Luento 5: Taylor-polynomi ja sarja Pekka Alestalo, Jarmo Malinen Aalto-yliopisto, Matematiikan ja systeemianalyysin laitos 26.9.2016 Pekka Alestalo,

Lisätiedot

MS-A010{3,4,5} (ELEC*, ENG*) Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Luento 2: Sarjat

MS-A010{3,4,5} (ELEC*, ENG*) Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Luento 2: Sarjat MS-A010{3,4,5} (ELEC*, ENG*) Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Luento 2: Sarjat Pekka Alestalo, Jarmo Malinen Aalto-yliopisto, Matematiikan ja systeemianalyysin laitos September 13, 2017 Pekka Alestalo,

Lisätiedot

Matematiikan tukikurssi: kurssikerta 12

Matematiikan tukikurssi: kurssikerta 12 Matematiikan tukikurssi: kurssikerta 2 Tenttiin valmentavia harjoituksia Huomio. Tähän tulee lisää ratkaisuja sitä mukaan kun ehin niitä kirjoittaa. Kurssilla käyään läpi tehtävistä niin monta kuin mahollista.

Lisätiedot

Todennäköisyysjakaumat 1/5 Sisältö ESITIEDOT: todennäköisyyslaskenta, määrätty integraali

Todennäköisyysjakaumat 1/5 Sisältö ESITIEDOT: todennäköisyyslaskenta, määrätty integraali Todennäöissjaaumat /5 Sisältö ESITIEDOT: lasenta, määrätt Haemisto KATSO MYÖS: tilastomatematiia P (X = )=p. Nämä ovat 0 ja niiden summa on p =. Pistetodennäöisdet voidaan graafisesti esittää pstsuorien

Lisätiedot

Matematiikan tukikurssi

Matematiikan tukikurssi Matematiikan tukikurssi Kertausta 2. välikokeeseen Toisessa välikokeessa on syytä osata ainakin seuraavat asiat: 1. Potenssisarjojen suppenemissäe, suppenemisväli ja suppenemisjoukko. 2. Derivaatan laskeminen

Lisätiedot

(b) = x cos x 1 ( cos x)dx. = x cos x + cos xdx. = sin x x cos x + C, C R.

(b) = x cos x 1 ( cos x)dx. = x cos x + cos xdx. = sin x x cos x + C, C R. Calculus Kurssikoe..7. Laske (a) x sin x, (b) x x + x. (a) Merkitään u(x) = x ja v (x) = sin x, jolloin u (x) =, v(x) = cos x ja osittaisintegroimalla saadaan x sin x = u(x)v (x) = u(x)v(x) u (x)v(x) =

Lisätiedot

DIFFERENTIAALI- JA INTEGRAALILASKENTA I.1. Ritva Hurri-Syrjänen/Syksy 1999/Luennot 6. FUNKTION JATKUVUUS

DIFFERENTIAALI- JA INTEGRAALILASKENTA I.1. Ritva Hurri-Syrjänen/Syksy 1999/Luennot 6. FUNKTION JATKUVUUS DIFFERENTIAALI- JA INTEGRAALILASKENTA I.1 Ritva Hurri-Syrjänen/Syksy 1999/Luennot 6. FUNKTION JATKUVUUS Huomautus. Analyysin yksi keskeisimmistä käsitteistä on jatkuvuus! Olkoon A R mielivaltainen joukko

Lisätiedot

Analyysi III. Jari Taskinen. 28. syyskuuta Luku 1

Analyysi III. Jari Taskinen. 28. syyskuuta Luku 1 Analyysi III Jari Taskinen 28. syyskuuta 2002 Luku Sisältö Sarjat 2. Lukujonoista........................... 2.2 Rekursiivisesti määritellyt lukujonot.............. 8.3 Sarja ja sen suppenminen....................

Lisätiedot

Vastausehdotukset analyysin sivuainekurssin syksyn välikokeeseen

Vastausehdotukset analyysin sivuainekurssin syksyn välikokeeseen Vastausehdotukset analyysin sivuainekurssin syksyn 015 1. välikokeeseen Heikki Korpela November 1, 015 1. Tehtävä: funktio f : R R toteuttaa ehdot ax, kun x 1 f(x) x + 1, kun x < 1 Tutki, millä vakion

Lisätiedot

VI. TAYLORIN KAAVA JA SARJAT. VI.1. Taylorin polynomi ja Taylorin kaava

VI. TAYLORIN KAAVA JA SARJAT. VI.1. Taylorin polynomi ja Taylorin kaava VI. TAYLORIN KAAVA JA SARJAT VI.. Taylorin polynomi ja Taylorin kaava Olkoon n N ja x, c, c, c 2,..., c n R. Tehtävä: Etsittävä sellainen R-kertoiminen polynomi P, että sen aste deg P n ja P (x ) = c,

Lisätiedot

Matemaattinen Analyysi

Matemaattinen Analyysi Vaasan yliopisto, 009-010 / ORMS1010 Matemaattinen Analyysi 7 harjoitus 1 Määritä seuraavien potenssisarjojen suppenemissäteet a) k k x 5)k b) k=1 k x 5)k = k k 1) k ) 1) Suppenemissäteen R käänteisarvo

Lisätiedot

Matematiikan tukikurssi, kurssikerta 5

Matematiikan tukikurssi, kurssikerta 5 Matematiikan tukikurssi, kurssikerta 5 1 Jonoista Matematiikassa jono (x n ) on yksinkertaisesti järjestetty, päättymätön sarja numeroita Esimerkiksi (1,, 3, 4, 5 ) on jono Jonon i:ttä jäsentä merkitään

Lisätiedot

Sarjojen suppenemisesta

Sarjojen suppenemisesta TAMPEREEN YLIOPISTO Pro gradu -tutkielma Terhi Mattila Sarjojen suppenemisesta Matematiikan ja tilastotieteen laitos Matematiikka Huhtikuu 008 Tampereen yliopisto Matematiikan ja tilastotieteen laitos

Lisätiedot

Sisältö. Sarjat 10. syyskuuta 2005 sivu 1 / 17

Sisältö. Sarjat 10. syyskuuta 2005 sivu 1 / 17 Sarjat 10. syyskuuta 2005 sivu 1 / 17 Sisältö 1 Peruskäsitteistöä 2 1.1 Määritelmiä 2 1.2 Perustuloksia 4 2 Suppenemistestejä positiivitermisille sarjoille 5 3 Itseinen ja ehdollinen suppeneminen 8 4 Alternoivat

Lisätiedot

Kompleksitermiset jonot ja sarjat

Kompleksitermiset jonot ja sarjat Kompleksitermiset jonot ja sarjat Aalto MS-C300, 205, v., Kari Eloranta Tutkitaan kompleksitermisten jonojen ja sarjojen ominaisuuksia. Päätavoite on kompleksifunktioiden sarjakehitelmien ymmärrys. Määritelmä

Lisätiedot

Joulukuun vaativammat valmennustehtävät ratkaisut

Joulukuun vaativammat valmennustehtävät ratkaisut Jouluuun vaativammat valmennustehtävät rataisut. Tapa. Pätee z = x + y, joten z = (x + y = x + y, josta sieventämällä seuraa xy 4x 4y + 4 = 0. Siispä (x (y =. Tästä yhtälöstä saadaan suoraan x =, y = 4

Lisätiedot

Olkoot X ja Y riippumattomia satunnaismuuttujia, joiden odotusarvot, varianssit ja kovarianssi ovat

Olkoot X ja Y riippumattomia satunnaismuuttujia, joiden odotusarvot, varianssit ja kovarianssi ovat Mat-.3 Koesuunnittelu ja tilastolliset mallit. harjoituset Mat-.3 Koesuunnittelu ja tilastolliset mallit. harjoituset / Rataisut Aiheet: Avainsanat: Satunnaismuuttujat ja todennäöisyysjaaumat Kertymäfuntio

Lisätiedot

MS-A0402 Diskreetin matematiikan perusteet Esimerkkejä ym., osa I

MS-A0402 Diskreetin matematiikan perusteet Esimerkkejä ym., osa I MS-A00 Disreetin matematiian perusteet Esimerejä ym., osa I G. Gripenberg Jouo-oppi ja logiia Todistuset logiiassa Indutioperiaate Relaatiot ja funtiot Funtiot Aalto-yliopisto. maalisuuta 0 Kombinatoriia

Lisätiedot

H7 Malliratkaisut - Tehtävä 1

H7 Malliratkaisut - Tehtävä 1 H7 Malliratkaisut - Tehtävä Eelis Mielonen 7. lokakuuta 07 a) Palautellaan muistiin Maclaurin sarjan määritelmä (Taylorin sarja origon ympäristössä): f n (0) f(x) = (x) n Nyt jos f(x) = ln( + x) saadaan

Lisätiedot

ANALYYSI 3 HELI TUOMINEN

ANALYYSI 3 HELI TUOMINEN ANALYYSI 3 HELI TUOMINEN Alkusanat Tässä on muistiinpanot syksyllä 202 luennoimastani kurssista Analyysi 3. Kurssin pohana on Tero Kilpeläisen luentomoniste samannimiselle kurssille. Tässä monisteessa

Lisätiedot

Funktiojonon tasainen suppeneminen

Funktiojonon tasainen suppeneminen TAMPEREEN YLIOPISTO Pro gradu -tutkielma Taina Saari Funktiojonon tasainen suppeneminen Matematiikan ja tilastotieteen laitos Matematiikka Elokuu 2009 Tampereen yliopisto Matematiikan ja tilastotieteen

Lisätiedot

Seuraava topologisluonteinen lause on nk. Bairen lause tai Bairen kategorialause, n=1

Seuraava topologisluonteinen lause on nk. Bairen lause tai Bairen kategorialause, n=1 FUNKTIONAALIANALYYSIN PERUSKURSSI 115 7. Tasaisen rajoituksen periaate Täydellisyydestä puristetaan maksimaalinen hyöty seuraavan Bairen lauseen avulla. Bairen lause on keskeinen todistettaessa kahta funktionaalianalyysin

Lisätiedot

Konvergenssilauseita

Konvergenssilauseita LUKU 4 Konvergenssilauseita Lause 4.1 (Monotonisen konvergenssin lause). Olkoon (f n ) kasvava jono Lebesgueintegroituvia funktioita. Asetetaan f(x) := f n (x). Jos f n

Lisätiedot

a) Mikä on integraalifunktio ja miten derivaatta liittyy siihen? Anna esimerkki. 8 3 + 4 2 0 = 16 3 = 3 1 3.

a) Mikä on integraalifunktio ja miten derivaatta liittyy siihen? Anna esimerkki. 8 3 + 4 2 0 = 16 3 = 3 1 3. Integraalilaskenta. a) Mikä on integraalifunktio ja miten derivaatta liittyy siihen? Anna esimerkki. b) Mitä määrätty integraali tietyllä välillä x tarkoittaa? Vihje: * Integraali * Määrätyn integraalin

Lisätiedot

Matemaattisen analyysin tukikurssi

Matemaattisen analyysin tukikurssi Matemaattisen analyysin tukikurssi 5. Kurssikerta Petrus Mikkola 10.10.2016 Tämän kerran asiat Raja-arvo ja toispuolinen raja-arvo Funktion suurin ja pienin arvo Lukujono Lukujonon suppeneminen Kasvava

Lisätiedot

infoa Viikon aiheet Potenssisarja a n = c n (x x 0 ) n < 1

infoa Viikon aiheet Potenssisarja a n = c n (x x 0 ) n < 1 infoa Viikon aiheet Tentti ensi viikolla ma 23.0. klo 9.00-3.00 Huomaa, alkaa tasalta! D0 (Sukunimet A-) E204 (Sukunimet S-Ö) Mukaan kynä ja kumi. Ei muuta materiaalia. Tentissä kaavakokoelma valmiina.

Lisätiedot

SARJAT JA DIFFERENTIAALIYHTÄLÖT

SARJAT JA DIFFERENTIAALIYHTÄLÖT SARJAT JA DIFFERENTIAALIYHTÄLÖT 2003 43 0.5 0.4 0.3 0.2 0.1 0.7 0.6 0.5 0.4 0.3 0.2 0.1 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 1 0.8 0.6 0.4 0.2 0.2 0.4 0.6 0.8 1 Kuva 12. Esimerkin 4.26(c kuvauksen

Lisätiedot

Luku 4. Derivoituvien funktioiden ominaisuuksia.

Luku 4. Derivoituvien funktioiden ominaisuuksia. 1 MAT-1343 Laaja matematiikka 3 TTY 1 Risto Silvennoinen Luku 4 Derivoituvien funktioiden ominaisuuksia Derivaatan olemassaolosta seuraa funktioille eräitä säännöllisyyksiä Näistä on jo edellisessä luvussa

Lisätiedot

Analyysi 1. Harjoituksia lukuihin 1 3 / Syksy Osoita täsmällisesti perustellen, että joukko A = x 4 ei ole ylhäältä rajoitettu.

Analyysi 1. Harjoituksia lukuihin 1 3 / Syksy Osoita täsmällisesti perustellen, että joukko A = x 4 ei ole ylhäältä rajoitettu. Analyysi Harjoituksia lukuihin 3 / Syksy 204. Osoita täsmällisesti perustellen, että joukko { 2x A = x ]4, [. x 4 ei ole ylhäältä rajoitettu. 2. Anna jokin ylä- ja alaraja joukoille { x( x) A = x ], [,

Lisätiedot

Tasainen suppeneminen ja sen sovellukset

Tasainen suppeneminen ja sen sovellukset Tasainen suppeneminen ja sen sovellukset Tuomas Hentunen Matematiikan pro gradu tutkielma Kesäkuu 2014 Tiivistelmä: Tuomas Hentunen, Tasainen suppeneminen ja sen sovellukset (engl. Uniform convergence

Lisätiedot

KOMPLEKSIANALYYSI I KURSSI SYKSY 2012

KOMPLEKSIANALYYSI I KURSSI SYKSY 2012 KOMPLEKSIANALYYSI I KURSSI SYKSY 2012 RITVA HURRI-SYRJÄNEN 8. Integraalilauseiden sovelluksia 1. Analyyttisen funktion sarjaesitys. (eli jokainen analyyttinen funktio on lokaalisti suppenevan potenssisarjan

Lisätiedot

Johdatus lukuteoriaan Harjoitus 1 syksy 2008 Eemeli Blåsten. Ratkaisuehdotelma

Johdatus lukuteoriaan Harjoitus 1 syksy 2008 Eemeli Blåsten. Ratkaisuehdotelma Johdatus luuteoriaan Harjoitus 1 ss 008 Eemeli Blåsten Rataisuehdotelma Tehtävä 1 Oloot a ja b positiivisia oonaisluuja. Osoita, että on olemassa siäsitteinen luu h ('luujen a ja b pienin hteinen jaettava',

Lisätiedot

13. Taylorin polynomi; funktioiden approksimoinnista. Muodosta viidennen asteen Taylorin polynomi kehityskeskuksena origo funktiolle

13. Taylorin polynomi; funktioiden approksimoinnista. Muodosta viidennen asteen Taylorin polynomi kehityskeskuksena origo funktiolle 13. Taylorin polynomi; funktioiden approksimoinnista 13.1. Taylorin polynomi 552. Muodosta funktion f (x) = x 4 + 3x 3 + x 2 + 2x + 8 kaikki Taylorin polynomit T k (x, 2), k = 0,1,2,... (jolloin siis potenssien

Lisätiedot

Epälineaaristen yhtälöiden ratkaisumenetelmät

Epälineaaristen yhtälöiden ratkaisumenetelmät Epälineaaristen yhtälöiden ratkaisumenetelmät Keijo Ruotsalainen Division of Mathematics Perusoletus Lause 3.1 Olkoon f : [a, b] R jatkuva funktio siten, että f(a)f(b) < 0. Tällöin funktiolla on ainakin

Lisätiedot

MS-A0104 Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 (ELEC2) MS-A0106 Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 (ENG2)

MS-A0104 Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 (ELEC2) MS-A0106 Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 (ENG2) MS-A4 Differentiaali- ja integraalilaskenta (ELEC2) MS-A6 Differentiaali- ja integraalilaskenta (ENG2) Harjoitukset 3L, syksy 27 Tehtävä. a) Määritä luvun π likiarvo käyttämällä Newtonin menetelmää yhtälölle

Lisätiedot

=p(x) + p(y), joten ehto (N1) on voimassa. Jos lisäksi λ on skalaari, niin

=p(x) + p(y), joten ehto (N1) on voimassa. Jos lisäksi λ on skalaari, niin FUNKTIONAALIANALYYSI, RATKAISUT 1 KEVÄT 211, (AP) 1. Ovatko seuraavat reaaliarvoiset funktiot p : R 3 R normeja? Ovatko ne seminormeja? ( x = (x 1, x 2, x 3 ) R 3 ) a) p(x) := x 2 1 + x 2 2 + x 2 3, b)

Lisätiedot

2 b 1 + b 1 x. = b 1 (x 4) (x 2) b 1 (x 2)

2 b 1 + b 1 x. = b 1 (x 4) (x 2) b 1 (x 2) 3. Approsimointi 3.. Padén approsimaatio. Cauchyn approsimaatio: [7, I, 5.8]; Padén approsimaatio: [7, I, 5.9]; [, 9.5-8] Lagrangen interpolaatiopolynomi antaa ysinertaisen rataisun sileän funtion arvojen

Lisätiedot

Luento 2. S Signaalit ja järjestelmät 5 op TKK Tietoliikenne Laboratorio 1. Jean Baptiste Joseph Fourier ( )

Luento 2. S Signaalit ja järjestelmät 5 op TKK Tietoliikenne Laboratorio 1. Jean Baptiste Joseph Fourier ( ) Luento Jasollisten signaalien Fourier-sarjat Viivaspetri S-.7. Signaalit ja järjestelmät 5 op KK ietoliienne Laboratorio Jean Baptiste Joseph Fourier (768-83) Ransalainen matemaatio ja fyysio. Esitti Fourier-sarjat

Lisätiedot

MATEMATIIKAN PERUSKURSSI II kevät 2018 Ratkaisut 1. välikokeen preppaustehtäviin. 1. a) Muodostetaan osasummien jono. S n =

MATEMATIIKAN PERUSKURSSI II kevät 2018 Ratkaisut 1. välikokeen preppaustehtäviin. 1. a) Muodostetaan osasummien jono. S n = MATEMATIIKAN PERUSKURSSI II kevät 208 Ratkaisut. välikokeen preppaustehtäviin. a) Muodostetaan osasummien jono S n = n ( k k) k= josta saadaan = ( 0 ) + ( 2) + ( 2 3) + ( n 2 n ) + ( n n) = n, n =, 2,...,

Lisätiedot

Sekalaiset tehtävät, 11. syyskuuta 2005, sivu 1 / 13. Tehtäviä

Sekalaiset tehtävät, 11. syyskuuta 2005, sivu 1 / 13. Tehtäviä Sekalaiset tehtävät, 11. syyskuuta 005, sivu 1 / 13 Tehtäviä Tehtävä 1. Johda toiseen asteen yhtälön ax + bx + c = 0, a 0 ratkaisukaava. Tehtävä. Määrittele joukon A R pienin yläraja sup A ja suurin alaraja

Lisätiedot

Todista raja-arvon määritelmään perustuen seuraava lause: Jos lukujonolle a n pätee lima n = a ja lima n = b, niin a = b.

Todista raja-arvon määritelmään perustuen seuraava lause: Jos lukujonolle a n pätee lima n = a ja lima n = b, niin a = b. 2 Lukujonot 21 Lukujonon määritelmä 16 Fibonacci n luvut määritellään ehdoilla Osoita: 17 a 1 = a 2 = 1; a n+2 = a n+1 + a n, n N a n = 1 [( 1 + ) n ( 2 1 ) n ] 2 Olkoon a 1 = 3, a 2 = 6, a n+1 = 1 n (na

Lisätiedot

Potenssisarja, suppenemissäde. Potenssisarja ja derivointi. Potenssisarja ja analyyttiset funktiot. Potenssisarja ja integrointi.

Potenssisarja, suppenemissäde. Potenssisarja ja derivointi. Potenssisarja ja analyyttiset funktiot. Potenssisarja ja integrointi. Matematiikan peruskurssi KP3 I OSA 4: Taylorin sarja, residymenetelmä A.Rasila J.v.Pfaler 26. syyskuuta 2007 Kompleksista sarjoista Jono, suppeneminen, summasarja Potenssisarja, suppenemissäde ja analyyttiset

Lisätiedot

Sinin jatkuvuus. Lemma. Seuraus. Seuraus. Kaikilla x, y R, sin x sin y x y. Sini on jatkuva funktio.

Sinin jatkuvuus. Lemma. Seuraus. Seuraus. Kaikilla x, y R, sin x sin y x y. Sini on jatkuva funktio. Sinin jatkuvuus Lemma Kaikilla x, y R, sin x sin y x y. Seuraus Sini on jatkuva funktio. Seuraus Kosini, tangentti ja kotangentti ovat jatkuvia funktioita. Pekka Salmi FUNK 19. syyskuuta 2016 22 / 53 Yhdistetyn

Lisätiedot

Kompleksianalyysi, viikko 6

Kompleksianalyysi, viikko 6 Kompleksianalyysi, viikko 6 Jukka Kemppainen Mathematics Division Funktion erikoispisteet Määr. 1 Jos f on analyyttinen pisteen z 0 aidossa ympäristössä 0 < z z 0 < r jollakin r > 0, niin sanotaan, että

Lisätiedot

7. Tasaisen rajoituksen periaate

7. Tasaisen rajoituksen periaate 18 FUNKTIONAALIANALYYSIN PERUSKURSSI 7. Tasaisen rajoituksen periaate Täydellisyydestä puristetaan maksimaalinen hyöty seuraavan Bairen lauseen avulla. Bairen lause on keskeinen todistettaessa kahta funktionaalianalyysin

Lisätiedot

1 Määrittelyjä ja aputuloksia

1 Määrittelyjä ja aputuloksia 1 Määrittelyjä ja aputuloksia 1.1 Supremum ja infimum Aluksi kerrataan pienimmän ylärajan (supremum) ja suurimman alarajan (infimum) perusominaisuuksia ja esitetään muutamia myöhemmissä todistuksissa tarvittavia

Lisätiedot

Tehtävänanto oli ratkaista seuraavat määrätyt integraalit: b) 0 e x + 1

Tehtävänanto oli ratkaista seuraavat määrätyt integraalit: b) 0 e x + 1 Tehtävä : Tehtävänanto oli ratkaista seuraavat määrätyt integraalit: a) a) x b) e x + Integraali voisi ratketa muuttujanvaihdolla. Integroitava on muotoa (a x ) n joten sopiva muuttujanvaihto voisi olla

Lisätiedot

Taylorin sarja ja Taylorin polynomi

Taylorin sarja ja Taylorin polynomi Taylorin sarja ja 1 Potenssisarja c k (x a) k = f (x) määrittelee x:n funktion. Seuraavaksi toteamme mikä yhteys potenssisarjalla on sen määrittelemän funktion derivaattoihin f (a),f (a),f (a),f (3) (a),...

Lisätiedot

Sarjat ja differentiaaliyhtälöt

Sarjat ja differentiaaliyhtälöt Sarjat ja differentiaaliyhtälöt Johdanto Tämä luentomoniste on tarkoitettu korvaamaan luentomuistiinpanoja Sarjat ja differentiaaliyhtälöt-kurssilla. Tämä ei kuitenkaan ole oppikirja, mikä tarkoittaa sitä,

Lisätiedot

Funktioiden approksimointi ja interpolointi

Funktioiden approksimointi ja interpolointi Funktioiden approksimointi ja interpolointi Keijo Ruotsalainen Division of Mathematics interpolaatio-ongelma 8 Eksponenttifunktion exp(x) interpolointi 3.5 Funktion e^{0.25x} \sin(x) interpolointi 7 3

Lisätiedot

Johdatus todennäköisyyslaskentaan Momenttiemäfunktio ja karakteristinen funktio. TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 1

Johdatus todennäköisyyslaskentaan Momenttiemäfunktio ja karakteristinen funktio. TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 1 Johdatus todennäköisyyslaskentaan Momenttiemäfunktio ja karakteristinen funktio TKK (c) Ilkka Mellin (5) 1 Momenttiemäfunktio ja karakteristinen funktio Momenttiemäfunktio Diskreettien jakaumien momenttiemäfunktioita

Lisätiedot

ANALYYSI 2. Camilla Hollanti. Tampereen yliopisto 2010. x 3. a x 1. x 4 x 11. x 2

ANALYYSI 2. Camilla Hollanti. Tampereen yliopisto 2010. x 3. a x 1. x 4 x 11. x 2 ANALYYSI 2 Camilla Hollanti _ M M a x x 2 x 3 x 4 x b Tampereen yliopisto 200 Sisältö. Preliminäärejä 3 2. Riemann-integraali 5 2.. Pinta-alat ja porrasfunktiot....................... 5 2... Pinta-ala

Lisätiedot

Funktion raja-arvo ja jatkuvuus Reaali- ja kompleksifunktiot

Funktion raja-arvo ja jatkuvuus Reaali- ja kompleksifunktiot 3. Funktion raja-arvo ja jatkuvuus 3.1. Reaali- ja kompleksifunktiot 43. Olkoon f monotoninen ja rajoitettu välillä ]a,b[. Todista, että raja-arvot lim + f (x) ja lim x b f (x) ovat olemassa. Todista myös,

Lisätiedot

MS-C1350 Osittaisdifferentiaaliyhtälöt Harjoitukset 5, syksy Mallivastaukset

MS-C1350 Osittaisdifferentiaaliyhtälöt Harjoitukset 5, syksy Mallivastaukset MS-C350 Osittaisdifferentiaaliyhtälöt Haroitukset 5, syksy 207. Oletetaan, että a > 0 a funktio u on yhtälön u a u = 0 ratkaisu. a Osoita, että funktio vx, t = u x, t toteuttaa yhtälön a v = 0. b Osoita,

Lisätiedot

Derivaattaluvut ja Dini derivaatat

Derivaattaluvut ja Dini derivaatat Derivaattaluvut Dini derivaatat LuK-tutkielma Helmi Glumo 2434483 Matemaattisten tieteiden laitos Oulun yliopisto Syksy 2016 Sisältö Johdanto 2 1 Taustaa 2 2 Määritelmät 4 3 Esimerkkejä lauseita 7 Lähdeluettelo

Lisätiedot

Tämä merkitsee geometrisesti, että funktioiden f

Tämä merkitsee geometrisesti, että funktioiden f 28 2. Futiosarjat Edellä sarjat olivat luusarjoja, joide termit ovat (tässä urssissa) reaaliluuja. Jos termit ovat samasta muuttujasta riippuvia futioita, päädytää futiotermisii sarjoihi. Näide äyttö matematiiassa

Lisätiedot

Analyysi 1. Harjoituksia lukuihin 4 7 / Syksy Tutki funktion f(x) = x 2 + x 2 jatkuvuutta pisteissä x = 0 ja x = 1.

Analyysi 1. Harjoituksia lukuihin 4 7 / Syksy Tutki funktion f(x) = x 2 + x 2 jatkuvuutta pisteissä x = 0 ja x = 1. Analyysi 1 Harjoituksia lukuihin 4 7 / Syksy 014 1. Tutki funktion x + x jatkuvuutta pisteissä x = 0 ja x = 1.. Määritä vakiot a ja b siten, että funktio a x cos x + b x + b sin x, kun x 0, x 4, kun x

Lisätiedot

Funktiot. funktioita f : A R. Yleensä funktion määrittelyjoukko M f = A on jokin väli, muttei aina.

Funktiot. funktioita f : A R. Yleensä funktion määrittelyjoukko M f = A on jokin väli, muttei aina. Funktiot Tässä luvussa käsitellään reaaliakselin osajoukoissa määriteltyjä funktioita f : A R. Yleensä funktion määrittelyjoukko M f = A on jokin väli, muttei aina. Avoin väli: ]a, b[ tai ]a, [ tai ],

Lisätiedot

Matematiikan ja tilastotieteen laitos Reaalianalyysi I Harjoitus Malliratkaisut (Sauli Lindberg)

Matematiikan ja tilastotieteen laitos Reaalianalyysi I Harjoitus Malliratkaisut (Sauli Lindberg) Matematiikan ja tilastotieteen laitos Reaalianalyysi I Harjoitus 4 9.4.-23.4.200 Malliratkaisut (Sauli Lindberg). Näytä, että Lusinin lauseessa voidaan luopua oletuksesta m(a)

Lisätiedot

1 sup- ja inf-esimerkkejä

1 sup- ja inf-esimerkkejä Alla olevat kohdat (erityisesti todistukset) ovat lähinnä oheislukemista reaaliluvuista, mutta joihinkin niistä palataan myöhemmin kurssilla. 1 sup- ja inf-esimerkkejä Kaarenpituus. Olkoon r: [a, b] R

Lisätiedot

MS-A010{3,4} (ELEC*) Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Luento 3: Jatkuvuus

MS-A010{3,4} (ELEC*) Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Luento 3: Jatkuvuus MS-A010{3,4} (ELEC*) Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Luento 3: Jatkuvuus Pekka Alestalo, Jarmo Malinen Aalto-yliopisto, Matematiikan ja systeemianalyysin laitos 19.9.2016 Pekka Alestalo, Jarmo

Lisätiedot

Heilurin differentiaaliyhtälö

Heilurin differentiaaliyhtälö LUKU 4 Heilurin differentiaaliyhtälö 4.. Konservatiiviset systeemit Fysiaalisissa sovellutusissa täreitä ovat ns. onservatiiviset systeemit. Ysiulotteinen onservatiivinen systeemi (tai onservatiivinen

Lisätiedot

Outoja funktioita. 0 < x x 0 < δ ε f(x) a < ε.

Outoja funktioita. 0 < x x 0 < δ ε f(x) a < ε. Outoja funktioita Differentiaalilaskentaa harjoitettiin miltei 200 vuotta ennen kuin sen perustana olevat reaaliluvut sekä funktio ja sen raja-arvo määriteltiin täsmällisesti turvautumatta geometriseen

Lisätiedot

1.4 Funktion jatkuvuus

1.4 Funktion jatkuvuus 1.4 Funktion jatkuvuus Kun arkikielessä puhutaan jonkin asian jatkuvuudesta, mielletään asiassa olevan jonkinlaista yhtäjaksoisuutta, katkeamattomuutta. Tässä ei kuitenkaan käsitellä työasioita eikä ihmissuhteita,

Lisätiedot

Ylioppilastutkintolautakunta S tudentexamensnämnden

Ylioppilastutkintolautakunta S tudentexamensnämnden Ylioppilastutintolautaunta S tudenteamensnämnden MATEMATIIKAN KOE, PITKÄ OPPIMÄÄRÄ 0..0 HYVÄN VASTAUKSEN PIIRTEITÄ Alla oleva vastausten piirteiden ja sisältöjen luonnehdinta ei sido ylioppilastutintolautaunnan

Lisätiedot

Matematiikan approbatur 2B

Matematiikan approbatur 2B Matematiikan approbatur 2B Kurssin sisältö yleisesti. Sarjateoriaa ja monen (kahden ja kolmen) muuttujan differentiaalilaskentaa. Sarjateoriassa esitellään potenssisarjat ja Taylorin kehitelmä sekä niiden

Lisätiedot

LUKU 3. Ulkoinen derivaatta. dx i 1. dx i 2. ω i1,i 2,...,i k

LUKU 3. Ulkoinen derivaatta. dx i 1. dx i 2. ω i1,i 2,...,i k LUKU 3 Ulkoinen derivaatta Olkoot A R n alue k n ja ω jatkuvasti derivoituva k-muoto alueessa A Muoto ω voidaan esittää summana ω = ω i1 i 2 i k dx i 1 dx i 2 1 i 1

Lisätiedot

1 sup- ja inf-esimerkkejä

1 sup- ja inf-esimerkkejä Alla olevat kohdat (erityisesti todistukset) ovat lähinnä oheislukemista reaaliluvuista, mutta joihinkin niistä palataan myöhemmin kurssilla. 1 sup- ja inf-esimerkkejä Nollakohdan olemassaolo. Kaikki tuntevat

Lisätiedot

2. Fourier-sarjoista. Aaltoliikkeen ja lämmöjohtumisen matemaattinen tarkastelu

2. Fourier-sarjoista. Aaltoliikkeen ja lämmöjohtumisen matemaattinen tarkastelu 2. Fourier-sarjoista Fourier-analyysi: Aaltoliikkeen ja lämmöjohtumisen matemaattinen tarkastelu Matemaattisen analyysin täkein työväline "Jokainen funktio" voidaan esittää harmonisten värähtelyjen, so.

Lisätiedot

Matematiikan tukikurssi

Matematiikan tukikurssi Matematiikan tukikurssi Kurssikerta 9 Korkeamman asteen derivaatat Tutkitaan nyt funktiota f, jonka kaikki derivaatat on olemassa. Kuten tunnettua, funktion toista derivaattaa pisteessä x merkitään f (x).

Lisätiedot

e int) dt = 1 ( 2π 1 ) (0 ein0 ein2π

e int) dt = 1 ( 2π 1 ) (0 ein0 ein2π Matematiikan ja tilastotieteen laitos Funktionaalianalyysin peruskurssi Kevät 9) Harjoitus 7 Ratkaisuja Jussi Martin). E Hilbert avaruus L [, π]) ja gt) := t, t [, π]. Määrää funktion g Fourier kertoimet

Lisätiedot

TAMPEREEN YLIOPISTO Pro gradu -tutkielma. Hannu Pajula. Stirlingin luvuista

TAMPEREEN YLIOPISTO Pro gradu -tutkielma. Hannu Pajula. Stirlingin luvuista TAMPEREEN YLIOPISTO Pro gradu -tutielma Hannu Pajula Stirlingin luvuista Informaatiotieteiden ysiö Matematiia Maalisuu 2014 Tampereen yliopisto Informaatiotieteiden ysiö PAJULA, HANNU: Stirlingin luvuista

Lisätiedot

MS-A010X Differentiaali- ja integraalilaskenta 1

MS-A010X Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 MS-A010X Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Pekka Alestalo Aalto-yliopisto 1.9.2016 Pekka Alestalo (Aalto-yliopisto) MS-A010X Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 1.9.2016 1 / 200 Sisältö Nämä

Lisätiedot

8. Avoimen kuvauksen lause

8. Avoimen kuvauksen lause 116 FUNKTIONAALIANALYYSIN PERUSKURSSI 8. Avoimen kuvauksen lause Palautamme aluksi mieleen Topologian kursseilta ehkä tutut perusasiat yleisestä avoimen kuvauksen käsitteestä. Määrittelemme ensin avoimen

Lisätiedot

Ilkka Mellin Todennäköisyyslaskenta. Osa 2: Satunnaismuuttujat ja todennäköisyysjakaumat. Momenttiemäfunktio ja karakteristinen funktio

Ilkka Mellin Todennäköisyyslaskenta. Osa 2: Satunnaismuuttujat ja todennäköisyysjakaumat. Momenttiemäfunktio ja karakteristinen funktio Ilkka Mellin Todennäköisyyslaskenta Osa : Satunnaismuuttujat ja todennäköisyysjakaumat Momenttiemäfunktio ja karakteristinen funktio TKK (c) Ilkka Mellin (7) 1 Momenttiemäfunktio ja karakteristinen funktio

Lisätiedot