Sarja on "summa, jossa on äärettömän monta yhteenlaskettavaa". Täsmällisempi määritelmä on seuraava: Tarkastellaan lukujonoa ( a n)

Transkriptio

1 MAT-3430 Lj mtemtii 3 TTY 200 Risto Silveoie Luu 7. Luusrjt Seurvss o lyhyt esitys srjteorist. Puuttuvt todistuset äydää suurimmlt osi läpi lueoll j e löytyvät myös Fitzptrici ti Trechi irjst. Srj o "summ, joss o äärettömä mot yhteelsettv". Täsmällisempi määritelmä o seurv: Trstell luujoo ( ), =,...,. Liitetää siihe toie luujoo (S ), =,..., seurvsti: S =, S 2 = + 2,..., S = Srj muodostuu silloi äistä hdest joost. Srj :s termi o j srj :s ossumm o S. Srj meritää ti. Tällöi siis :s ossumm o S =. Srj suppeemie määritellää ossummie joo suppeemise vull: Määritelmä Srj suppeee j se summ o S, jos ossummie joo (S ) suppeee j lim S = S. Silloi meritää = S.

2 2 (Siis meritä voi troitt ht si, srj siäsä j toislt suppeev srj tpusess srj summ. Yhteydestä ilmeee, ump troitet.) Jos srj ei suppee, se hjtuu. Erityisesti jos lim S = ti lim S =, ii sot, että srj hjtuu ohti (plus ti miius) ääretötä. Tällöi void myös meritä = ti =. Esim. Geometrie srj 0 q q q q 2 3 = q S = + q+ q + q =, u q. q S =, u q=. Siis geometrie srj suppeee täsmällee silloi, u q <. Silloi q =. q 0

3 3 Srj suppeemiselle o välttämätötä, että yleie termi lähestyy oll: Luse Jos srj suppeee, ii lim = 0. Tod.: = S S S S = 0. Kääteie tulos ei päde. Eli siitä, että yleie termi lähestyy oll ei välttämättä seur, että srj suppeisi. Tämä äyttää seurv vstesimeri: Esim. 2 S ; = 0 = > = =. Mutt tulost void äyttää hjtumistestiä: Jos 0, ii srj hjtuu. Kos srj suppeemie o määritelty ossummie joo rj-rvo, eivät lupää termit viut li srj suppeemisee (summ rvoo ylläi). Toisi soe, srj void liittää, viht toisisi ti siitä poist äärellise mot termiä ilm, että srj suppeemie muuttuu hjtumisesi ti hjtumie suppeemisesi.

4 4 Erityisesti jos suppeee, ii myös ii srj :s jääöstermi o R = + + täsmällee silloi, u jääöstermit ovt äärellisiä j lim R = 0. suppeee. Jos =S, =S-S. Srj o suppeev Luse 2 Jos suppeev srj termit yhdistetää ryhmisi (järjestystä muuttmtt) j jo ryhmässä termit lset yhtee, ii stu srj suppeee j sillä o sm summ ui luperäisellä srjll. Tod.: = S ( + + ) + ( + + ) + ( + + ) = S + ( S S ) + ( S S ) Tämä srj :s ossumm s = S S, u, os se o luperäise srj ossummie osjoo. Tulos ei päde äätäe. Jos srjst sd termejä ryhmittelemällä suppeev srj, ii siitä ei välttämättä seur, että luperäie srj suppeisi. Esimeriä srj , jo ei suppee, vi (-)+(-)+(-)+... suppeee.

5 5 Seurvt luseet ovt välittömiä seurusi luujooje vstvist tulosist: Luse 3 Jos srjt j b summt ovt vstvsti A j B, ii summsrj suppeev j ( + b ) =A+B. ovt suppeevi j iide ( + b) o Jos c R, ii srj ( c ) o suppeev j ( c ) =ca. Luse 4 summsrj Jos srj suppeee j srj ( + b) hjtuu. b hjtuu, ii Todettoo vielä, että hde hjtuv srj summ voi oll suppeev ti hjtuv.

6 6 Positiivitermiset srjt Srj sot positiivitermisesi, jos 0,. Silloi ossummie joo o mootoisesti svv: S S+,, jote se suppeee täsmällee silloi, u se o ylhäältä rjoitettu: Luse 5 Positiivitermie srj suppeee, jos j vi jos o olemss M>0 site, että ossummie joolle pätee S M,. Jos ossummie joo ei ole ylhäältä rjoitettu, ii S, u. Positiivitermie srj siis joo suppeee ohti äärellistä summ S 0 ti hjtuu ohti ääretötä. Seurvss esitetää positiivitermiste srjoje suppeemistestejä. Srjt j b ovt luseiss 6-3 siis positiivitermisiä.

7 7 Luse 6 (Vertilutesti: mjorttiperite) Jos eräästä idesistä 0 le o voimss b suppeee,ii myös suppeee. b, j Luse 7 (Vertilutesti: miorttiperite) Jos eräästä idesistä 0 le o voimss b, j ii myös hjtuu. b hjtuu, Luse 8 (Vertilutesti limesmuoto) Jos rj-rvo lim b = m o olemss j m 0,, ii srjt b joo molemmt suppeevt ti molemmt hjtuvt. j Jos m=0 j Jos m= j b suppeee, ii myös b hjtuu, ii myös suppeee. hjtuu.

8 8 Luse 9 (Juuritesti) Jos eräästä idesistä 0 le o voimss 0 < r, missä r o vio,0< r <, ii suppeee. Jos eräästä idesistä 0 le o voimss, ii srj hjtuu. Luse 0 (Juuritesti limesmuoto) Jos lim Jos lim = r>, ii = r o olemss j 0 r <, ii hjtuu. suppeee. Luse (Suhdetesti) Jos eräästä idesistä 0 le o voimss 0 < q, missä q o vio,0< q <, ii suppeee. Jos eräästä idesistä 0 le o voimss, ii srj hjtuu. + +

9 9 Luse 2 (Suhdetesti limesmuoto) Jos lim = q o olemss j 0 q <, ii + Jos lim = q >, ii + hjtuu. suppeee. Luse 3 (Itegrlitesti) Jos o olemss sellie välillä [0,) jtuv positiivie väheevä futio f, että = f( ), =,2,, ii suppeee täsmällee silloi u f ( xdx ) suppeee. (Luseet todistet hiem tuoemp.) Esim. 3 Srj (p-srj) p suppeee, jos p > j hjtuu, jos p. Tämä ähdää itegrlitestillä, os p >. x p dx suppeee täsmällee silloi, u

10 0 Tämä p-srj o ysi täreimpiä vertilusrjoj. Tpusess p= yseessä o hjtuv srj, ii sottu hrmoie srj. Ku p >, p-srj sot myös ylihrmoisesi srjsi. Esim. 4 Tutit, suppeeeo srj. 3 = 2 Kos suurill : rvoill srj termit ovt liimi = 3 3/2 j 3/2>, äyttää ilmeiseltä, että srj olisi suppeev. Tämä void osoitt trsti vertilutestillä. = < = 2 = /2 ½ + ½ ½. Srj 2 suppeee, os se o vio ert suppeev p-srj, p=3/2<. 3/2 = 2 Siis mjorttiperittee mu tutittv srj o suppeev. Sm tulosee päästää myös limesmuotoisell vertilutestillä: 3 3/2 lim = lim = lim =. 3 3/2 3 (Vertilusrj esittii lustvss trsteluss, u tutittii termi luseett suurill.) Tehtäviä Tuti, suppeeeo srj, u = ) ) e 3) 4 l (2,3,...) (3 ) 4) 3/2 5) + l 6) 3 7)! 8) 0 2/3

11 e 9) (l ) (2,3,...) 0) Luseide 6-3 todistuset: Kos lupää termit eivät viut srj suppeemisee, voimme luseiss 6, 7, 9, j olett, että 0 =. Jos b = B<j b, ii S = b B<. Siis Luse 6 o todistettu. Nii o myös luse 7, os se o loogisesti evivletti lusee 6 ss. Jos lim = m 0,, ii eräästä idesistä le m/2 2m. b b Siis m/ 2b 2mb, u. Tästä seur lusee 8 tulos mjortti- j miorttiperittee ojll. Jos 0 r, missä violle r pätee 0 r <, ii r,. Siis suppeev geometrie srj o mjortti, jote suppeee. Jos ts, ii,, jolloi lim 0 j srj hjtuu. Tästä seur luse 9.

12 2 Jos 0 +, missä q o vio, 0 q <,ii q q( q ) q. + Siis srjll o suppeev mjorttisrj vio ert geometrie srj, jote srj suppeee. Luse o äi todistettu. Luseet 0 j 2 seurvt luseist 9 j, os iide oletuset ovt silloi voimss eräästä idesistä le. Jäljellä o vielä luse 3. Jos = f( ), j f :[, ) o jtuv positiivie väheevä futio, ii + f ( + ) f( x) dx f( ),. (Ks. oheie uvio, suorulmioide t o i, jote l o oreus eli futio rvo.)

13 3 Yhtee lsemll sd Tästä ähdää, että oo srj + 2 f( x) dx,. lim f ( xdx ) o äärellie ti ääretö se mu, suppeev vi hjtuv. Positiiviste srjoje lopusi miittoo, että positiivitermisessä srjss s termie järjestystä muutt ilm, että tämä viutt srj suppeemisee ti summ. (Hl todist, sivuutet.) Vuorottelevt srjt Srj, jo termit ovt vuorotelle positiivisi ti egtiivisi, sot vuorottelevsi eli lteroivsi. Jtoss oletmme, että esimmäie termi o i positiivie (tähä päästää trvittess ertomll srj (-):llä). Merivihtelu ilmist (-): potessei: prillie potessi t ertoimesi + j prito -. Vuorottelev srj yleie muoto o siis: () ( ) = , missä > 0,.

14 4 Luse 4 (Leibizi luse) Jos vuorottelev srj () termie itseisrvot muodostvt mootoisesti väheevä ohti oll lähestyvä joo: & lim = 0, 2 3 ii srj suppeee. Lisäsi jos joo o idosti mootoie j srj tist termi ( ) jälee, ii jääöstermi R o smmerie ui esimmäie poisjätetty termi (eli meri o ( ) ) j itseisrvolt sitä pieempi: R < +. (Todistus: Fitzptric, s. 236, Trech, Corollry ) Itseie suppeemie Srj o itseisesti suppeev (bsoluuttisesti suppeev), jos termie itseisrvoist muodostettu srj suppeee. Luse 5 Itseisesti suppeev srj o suppeev. (Todistus: Fitzptric s. 237, Trech, Theorem 4.3.9) Joie suppeev srj ei uite ole itseisesti suppeev, ute srj ( ) esimeriä osoitt. Jos srj suppeee, mutt ei itseisesti, ii srj sot ehdollisesti suppeevsi.

15 5 Void osoitt, että itseisesti suppeevss srjss sd termie järjestystä muutt j silti srj pysyy itseisesti suppeev j summ sm. Se sij ehdollisesti suppeev srj termie järjestystä muutettess suppeemisomiisuudet j summ voivt muuttu. Ehdollisesti suppeev srj termit void järjestää jop ii, että uude srj summ o miä hyväsä hluttu rvo, ti myös ii, että uusi srj hjtuu. Srjoje tulo Khde srj ertosääöllä: j b tulo määritellää Cuchy ( )( b ) = c, missä c = b + 2b + + b. Osoittutuu, että riittävää tulosrj suppeemiselle o, että molemmt tulo teijää olevt srjt suppeevt j ii toie iistä itseisesti: Luse 6 Jos () (b) (c) suppeee itseisesti, = A j b =B, ii silloi srj c =AB. (Todistus sivuutet.) c suppeee j

16 6 Itseise suppeemise vtimusest ei void luopu, ute seurv esimeri osoitt: Esim. 5 Srj = ( ) o Leibizi lusee mu suppeev, mutt itseisrvoist muodostettu srj o p-srj, p=½, eli hjtuu. Srj o siis ehdollisesti suppeev. Jos se errot itsesä ss, sd ( )( ) = 0 0 ( + ) + ( + + ) ( ) Yleie termi tuloss o siis c = ( ). ( + )( + ) 0 Arvioimll resti ( + )( + ) = (( 2+ ) + ( 2 ))(( 2+ ) ( 2 )) = ( 2+ ) ( 2 ) ( 2+ ) sd c 2 2( + ) =, jote c 0, u. Siis tulosrj hjtuu. Tehtäviä Tuti vuorottelev srj ( ) itseistä suppeemist, u = suppeemist j ) 5 4 2)! 3 3) ( + ) 4) 4 ( + 2).