73035 Insinöörimatematiikka 2

Transkriptio

1 7335 Insinöörimtemtii Kesä 5 Tmpereen tenillinen yliopisto Risto Silvennoinen. Luusrjt. Funtiosrjt 8 3. Relifuntioiden määräämätön integrli 5 4. Relifuntioiden määrätty integrli 6 5. Integrointi n-ulotteisess vruudess 7 6. Mtriisilsennn perusteit Alivruudet. Lineriset yhtälöryhmät 7 8. Ortogonliprojetiot Ominisrvot. Digonlisointi 55. Neliömuodot. Definiittisyys 68. Vetorifuntion derivtt. Ketjusääntö 7. Hessen mtriisi. Äärirvoteori Ensimmäisen j toisen ertluvun differentiliyhtälöistä Vioertoiminen linerinen normliryhmä Differentiliyhtälösysteemien ldullist teori 6

2 . Luusrjt Kos srjt ovt summien jonoj, ertmme ensin jonojen teori. Jonot Jono on mtemtiin iein perustvimpi äsitteitä j sen vull ohdtn äärettömyys ensimmäistä ert. Luulueit muodostettess luonnollisten luujen jouo N={,, 3,...} on lähtöohtn, j sen lioiden luumäärä on ilmeisen ymmärrettävästi ääretön. Joist jouo, joss on yhtä mont liot uin luonnollisiss luvuiss, snotn numeroituvsi. Kii jouot eivät uitenn ole numeroituvi, uten reliluujen jouo R esimerinä osoitt. Tällisi jouoj snotn ylinumeroituvisi. Jono (sequence) on tässä yhteydessä in päättymätön, ääretön jono. Sm termiä äytetään suomenielessä myös äärellisestä jonost (esim. hviln jono), englnnisi queue, mutt siyhteydestä yleensä ilmenee, ump troitetn. Seurvss ertmme j täydennämme reliluujonojen teori, jot urssiss Lj mtemtii jo oli esillä. Jono oostuu luvuist x, x,,x n,..., joss joist indesiä n vst ysi jonon luu. Mtemttisesti jtellen yseessä on siis funtio luonnollisilt luvuilt reliluujen jouoon: Reliluujono on funtio N R. Jos siis joist luonnollist luu n ohti setetn vstmn reliluu x n, syntyy luujono eli lyhyesti (x n ). x, x,..., x n,...

3 Tässä mielessä jonoss on siis in ääretön määrä termejä x n (joisell n:llä ysi). Toislt jonoll ei trvitse oll ääretöntä määrää rvoj x n, esimerisi viojonoll x n = c, n=,, on vin ysi rvo, c. Siis jono (x n ) j sen rvojouo {x n : n N} ovt eri sioit. Jonoj äytetään usein iterointimenetelmissä, joiss jotin ongelm rtistn toistuvsti niin, että tulosen on yhä trentuv pprosimoivien rtisujen jono. Tällöin ihnnetpusess jonon rvot lähestyvät hettu ongelmn rtisu, un n eli iterointien luumäärää sv. Tämä jttelu perustuu jonon rj-rvon äsitteeseen. Rj-rvo on rvo, jot yleensä ei trn svutet, vn sitä lähestytään yhä lähemmäsi j lähemmäsi n:n svess rjttomn suuresi. Trvittv "läheisyyden" äsite voidn muotoill täsmälliseen suun seurvsti: Oloon x R j ε >. Avoint väliä ( x - ε, x +ε) utsutn luvun x ympäristösi ti ε- ympäristösi, j meritään U(x;ε). Luujono ( x n ) suppenee j sen rj-rvo on = x, jos joist x:n ympäristöä U(x;ε) vst luu n ε N siten, että x n U(x;ε), un n > n ε. Luujono ( x n ) siis suppenee, jos joist positiiviluu ε ohti on olemss luu n ε N siten, että x n - x < ε, un n > n ε. Tällöin meritään lim x n = x ti ysinertisesti x n x. All on uvttu si tpust luujonost ( n ), jo suppenee ohti rjrvo L. V-seli on indesiseli, joss indesi n ulee,, 3,... j pystyselill ovt vstvt jonon rvot n.

4 3 Kun jono suppenee ohti rj-rvo x, niin jonon termit ovt hlutun lähellä (ε-tolernssill mitten) rj-rvo, unhn indesi n on riittävän suuri (n>n ε ). Jos termit hlutn lähemmäsi (ε-luu pienennetään), riittää mennä jonoss trvittvn mont termiä eteenpäin eli svtt indesiä n. Oheisess uvss jonon ( n ) rj-rvo on L, j termien rvot ovt y- selill. Puniset pisteet ovt pisteitä (n, n ). Jos luujono ei suppene, se hjntuu. Hjntuminen voi oll meno ohti ääretöntä (meritään myös x n ti x n -) ti sitten termit voivt "pouoill" hden ti usemmn rvon välillä ti äyttäytyä vielä epäsäännöllisemmin.

5 4 Esim. Jono n =r n suppenee täsmälleen silloin, un -<r. Teht. Osoit, että viojono ( x n), missä x n = c = vio iill rvoill n N, suppenee.

6 5 Teht. Osoit (määritelmän perusteell), että lim ( /n) =. Teht. 3 Osoit (määritelmään nojutuen), että lim 3n + 4 4n + 5 = 3. 4 Suppenevn jonon termit "htutuvt" jonoss pitemmälle mentäessä: Luse. Jos jono ( x n) suppenee, niin joist positiiviluu ε ohti on olemss luu n ε N siten, että n > n ε xn+ p xn < ε p N. Tod.: Jos x=lim x n, niin olmioepäyhtälön perusteell x n+p -x n x n+p -x + x n -x <ε/+ε/=ε, un n riittävän suuri j p N. Miään luujono ei voi supet ht ti usemp rj-rvo ohti: Luse. Luujonon rj-rvo on ysiäsitteinen. Tod.: Jos x j y ovt jonon (x n ) rj-rvoj, niin x-y = x-x n +x n -y x-x n + y-x n, un n.

7 6 Teht. 4 Osoit, että jono,,,,,,,, hjntuu. Teht. 5 Osoit, että jono,,,3,4,5,6,7, hjntuu. Reliluujono ( x n) on rjoitettu, jos on olemss vio M siten, että x M n N. n Luse 3. Suppenev luujono on rjoitettu. Tod.: Jos x=lim x n, niin x n x n -x + x <+ x =:M, un n>n.

8 7 Epäyhtälöt "säilyvät rjll": Luse 4. Oloon xn M n N j lim x n = x. Silloin x M. Tod.: Oloon ε>. Silloin on olemss sellinen n ε, että x n -x <ε, un n> n ε. Siis x = x-x n +x n x-x n +x n <ε+x n ε+m. Kos tämä pätee mielivltiselle ε>, on x M. Rj-rvojen lsennss voidn äyttää seurvi yhteenlsun, ertolsun, violl ertomisen j jolsun sääntöjä: Luse 5. Oloot ( x n) j ( y n) suppenevi reliluujonoj, joiden rj-rvot ovt vstvsti x j y. Silloin ) lim ( xn+ yn) = x + y = lim x n +lim y n b) lim ( x y ) n n = x y = lim x n lim y n c) lim ( cx n) = c x = c lim x n c R x d) lim n y n = x y = lim x lim y n n, edellyttäen että yn n N j että y. Tod.: ) Oloon ε>. Silloin on olemss n j n siten, että x n -x <ε/ j y n -y <ε/, un n>n j n>n. Siis (x n +y n )-(x+y) = (x n -x)+(y n -y) x n -x + y n -y < ε/+ε/=ε, un n>mx{n, n }.

9 8 Muut ohdt menevät vstvsti (s. Insinöörimtemtii ). Erittäin hyödyllinen rj-rvojen lsennss on myös oheinen "uristusperite": Jos jonot ( n ) j (c n ) suppenevt ohti sm rj-rvo L j on voimss epäyhtälö n b n c n, niin myös jono (b n ) suppene ohti rj-rvo L. Esim. lim ( /n) = lim (/n) = =. Esim. 3 lim 3n + 4 4n + 5 = 3+ 4/ n lim 4 + 5/ n = lim(3+ 4/ n) lim(4 + 5/ n) = 3 4 Esim. 4 lim n + 7n n n + n = lim 3 / n+ 7/ n + 3/ n 5 / n+ / n / n 3 =.

10 9 Esim. 5 lim ( n + n + ) = ( n + n + )( n + + n + ) lim n + + n + =lim n + + n + =. Käytännön lsent tehdään in lopult rtionliluvuill. Näin sdn uitenin miä hyvänsä reliluu esitettyä mielivltisen trsti pprosimoitun: Luse 6. Oloon x R. Silloin on olemss rtionliluujono, jo suppenee ohti pistettä x. Tod.: Otetn in väliltä (x-/n, x+/n) join rtionliluu x n. Se on mhdollist, os joisell voimell välillä on in (jop ääretön määrä) rtionliluu(j). (Tämä vtii omn todistusens, joss joudutn äyttämään reliluujen perusominisuusi. Trvitn sitä, että joisell epätyhjällä reliluujouoll on supremum, j Arhimedeen lusett, jon mun joiselle reliluvulle löytyy sitä suurempi oonisluu. Käsitellään urssill Mtemttinen nlyysi.)

11 Jos jonost poimitn eteenpäin mentäessä vin os termeistä, mutt uitenin äärettömän mont, sdn osjono. Tällöin siis indeseistä poimitn svvss järjestysessä os, tsepäin ei s mennä. Esim. 6 Jonoll (,,,,,,,, ) on esimerisi osjonot (,,,,, ) j (,,,,, ). Mitä muit osjonoj sillä on? Esim.7 Jono (,,4,3,5,6, ) ei ole jonon (,,3,4,5,6, ) osjono, os lioiden järjestys ei ole sm. Luse 7. Oloon (x n ) jono, jo suppenee ohti reliluu x. Silloin joinen jonon (x n ) osjono suppenee myös ohti luu x. Tod.: Oloon ( x n ) osjono j ε>. On siis olemss n siten, että x n -x < ε, un n>n. On olemss siten,että un >, niin n >n. Silloin >. xn x <ε, un Esim. 8 Esimeri 5:n osjonoill (,,,,, ) j (,,,,, ) on eri rj-rvot: j, joten jono (,,,,,,,, ) on hjntuv.

12 Reliluujono ( x n) on svv ( vstvsti, idosti svv ), jos xn x n + (vstvsti xn < x n + ) n N. Reliluujono ( x n) on vähenevä ( vstvsti, idosti vähenevä), jos xn x n (vstvsti + xn > x n ) + n N. Reliluujono ( x n) on monotoninen, jos se on svv ti vähenevä. Jos svv jono on ylhäältä rjoitettu, se ei voi rt äärettömyyteen, j ylärj ennen sen rvot väisin putuvt yhteen, os edestinen osillointi estyy monotonisuuden ti. Vstv pätee lhlt rjoitetulle vähenevälle jonolle. Luse 8. Rjoitettu monotoninen reliluujono suppenee. Tod.: Hrj.teht. Edellä riittää svvn jonon tpusess selvittää jono ylhäältä rjoitetusi, os svv jono on utomttisesti lhlt rjoitettu. Vstv pätee vähenevälle jonolle.

13 Usein voidn luujonon suppenemistrstelu muunt vstvn relifuntion rj-rvon tutimisesi: Luse 9. Jono ( n ) suppenee ohti rj-rvo L, jos lim f ( x) = L, x missä f(n) = n. Tämä mhdollist esimerisi L Hospitlin säännön äytön myös luujonojen rj-rvoj lsettess.

14 3 Srjt Srj on "summ, joss on äärettömän mont yhteenlsettv". Täsmällisempi määritelmä on seurv: Trstelln luujono ( n ), n=,...,. Liitetään siihen toinen luujono (S n ), n=,..., seurvsti: S =, S = +,..., S n = n. Srj muodostuu silloin näistä hdest jonost. Srjn n:s termi on n j srjn n:s ossumm on S n. Srj meritään ti. = Tällöin siis n:s ossumm on S n n =. = Srjn suppeneminen määritellään ossummien jonon suppenemisen vull: Srj suppenee j sen summ on S, jos ossummien jono (S = n ) suppenee j lim S n = S. Silloin meritään n = S. = (Siis merintä = voi troitt ht si, srj sinänsä j toislt suppenevn srjn tpusess srjn summ. Yhteydestä ilmenee, ump troitetn.)

15 4 Jos srj ei suppene, se hjntuu. Erityisesti jos lim S n = ti n lim S n =, niin snotn, että srj hjntuu ohti (plus ti miinus) n ääretöntä. Tällöin voidn myös meritä = ti = =. = Esim. 9 Geometrinen srj = 3 = q q q q n n q Sn = + q+ q + q =, un q. q S n = n, un q=. Siis geometrinen srj suppenee täsmälleen silloin, un q <. Silloin q =. q = Srjn suppenemiselle on välttämätöntä, että yleinen termi lähestyy noll: Luse Jos srj suppenee, niin lim =. = Tod.: = S S S S =.

16 5 Käänteinen tulos ei päde. Eli siitä, että yleinen termi lähestyy noll ei välttämättä seur, että srj suppenisi. Tämän näyttää seurv vstesimeri: Esim. ; = = S = > = =. Mutt tulost voidn äyttää hjntumistestinä: Jos, niin srj = hjntuu. Kos srjn suppeneminen on määritelty ossummien jonon rj-rvon, eivät lupään termit viut linn srjn suppenemiseen (summn rvoon ylläin). Toisin snoen, srjn voidn liittää, viht toisisi ti siitä poist äärellisen mont termiä ilmn, että srjn suppeneminen muuttuu hjntumisesi ti hjntuminen suppenemisesi. Erityisesti jos = suppenee, niin myös niin srjn n:s jäännöstermi on R n = = n+ = n+ täsmälleen silloin, un jäännöstermit ovt äärellisiä j lim R =. n n suppenee. Jos = =S, =S-S n. Srj on suppenev

17 6 Luse Jos suppenevn srjn termit yhdistetään ryhmisi (järjestystä muuttmtt) j jo ryhmässä termit lsetn yhteen, niin stu srj suppenee j sillä on sm summ uin luperäisellä srjll. Tod.: = S ( + + ) + ( + + ) + ( + + ) = S + ( S S ) + ( S S ) + 3 Tämän srjn n:s ossumm sn = S n S, un n, os se on luperäisen srjn ossummien osjono. Tulos ei päde ääntäen. Jos srjst sdn termejä ryhmittelemällä suppenev srj, niin siitä ei välttämättä seur, että luperäinen srj suppenisi. Esimerinä srj , jo ei suppene, vi (-)+(-)+(-)+... suppenee. Seurvt luseet ovt välittömiä seurusi luujonojen vstvist tulosist: Luse Jos srjt j = b = ovt vstvsti A j B, niin summsrj ovt suppenevi j niiden summt ( + b) on suppenev j = = ( + b ) =A+B. Jos c R, niin srj ( c ) on suppenev j = = ( c ) =ca.

18 7 Luse 3 Jos srj summsrj ( + b) hjntuu. = suppenee j srj = b = hjntuu, niin Todettoon vielä, että hden hjntuvn srjn summ voi oll suppenev ti hjntuv. Positiivitermiset srjt Srj snotn positiivitermisesi, jos,. Silloin = ossummien jono on monotonisesti svv: Sn Sn+, n, joten se suppenee täsmälleen silloin, un se on ylhäältä rjoitettu: Luse 4 Positiiviterminen srj suppenee, jos j vin jos on olemss M> siten, että ossummien jonolle pätee S M, n. n Jos ossummien jono ei ole ylhäältä rjoitettu, niin Sn, un n. Positiiviterminen srj siis joo suppenee ohti äärellistä summ S ti hjntuu ohti ääretöntä.

19 8 Seurvss esitetään positiivitermisten srjojen suppenemistestejä. Srjt = j b = ovt luseiss 5- siis positiivitermisiä. Luse 5 (Vertilutesti: mjornttiperite) Jos eräästä indesistä len on voimss b = suppenee,niin myös = suppenee. b, j Luse 6 (Vertilutesti: minornttiperite) Jos eräästä indesistä len on voimss b, j niin myös = hjntuu. b = hjntuu, Luse 7 (Vertilutestin limesmuoto) Jos rj-rvo lim = m on olemss j m,, niin srjt = b b joo molemmt suppenevt ti molemmt hjntuvt. j =

20 9 Luse 8 (Juuritesti) Jos eräästä indesistä len on voimss < r, missä r on vio, < r <, niin suppenee. = Jos eräästä indesistä len on voimss, niin srj hjntuu. = Luse 9 (Juuritestin limesmuoto) Jos lim Jos lim = r>, niin = r on olemss j r <, niin hjntuu. = = suppenee. Luse (Suhdetesti) Jos eräästä indesistä len on voimss < q, missä q on vio, < q <, niin suppenee. = Jos eräästä indesistä len on voimss, niin srj hjntuu. + + = Luse (Suhdetestin limesmuoto) Jos lim = q on olemss j q <, niin + Jos lim = q >, niin hjntuu. + = = suppenee.

21 Luse (Integrlitesti) Jos on olemss sellinen välillä [,) jtuv positiivinen vähenevä funtio f, että = f( ), =,,, niin suppenee täsmälleen = silloin un f ( xdx ) suppenee. (Luseet todistetn hiemn tuonnempn.) Esim. Srj (p-srj) = p suppenee, jos p > j hjntuu, jos p. Tämä nähdään integrlitestillä, os silloin, un p >. x p dx suppenee täsmälleen Tämä p-srj on ysi täreimpiä vertilusrjoj. Tpusess p= yseessä on hjntuv srj, niin snottu hrmoninen srj. Kun = p >, p-srj snotn myös ylihrmonisesi srjsi. Esim. Tutitn, suppeneeo srj. 3 = Kos suurill :n rvoill srjn termit ovt liimin = 3 3/ j 3/>, näyttää ilmeiseltä, että srj olisi suppenev. Tämä voidn osoitt trsti vertilutestillä. = < = = / ½ + ½ ½.

22 Srj suppenee, os se on vio ert suppenev p-srj, p=3/<. 3/ = Siis mjornttiperitteen mun tutittv srj on suppenev. Smn tuloseen päästään myös limesmuotoisell vertilutestillä: 3 3/ lim = lim = lim =. 3 3/ 3 (Vertilusrj esittiin lustvss trsteluss, un tutittiin termin luseett suurill.) Tehtäviä Tuti, suppeneeo srj =, un = 6) + 7) e 8) 4 ln (=,3,...) (3 ) 9) 3/ ) + ln ) 3 )! 3) /3 e 4) (ln ) (=,3,...) 5) 3 +.

23 Luseiden 5- todistuset: Kos lupään termit eivät viut srjn suppenemiseen, voimme luseiss 5, 6, 8, j 9 olett, että =. = n n n = = Jos b = B<j b, niin S = b B<. Siis Luse 5 on todistettu. Niin on myös luse 6, os se on loogisesti evivlentti luseen 5 nss. Jos lim = m,, niin eräästä indesistä len m/ m. b b Siis m/ b mb, un. Tästä seur luseen 7 tulos mjorntti- j minornttiperitteen nojll. Jos r, missä violle r pätee r <, niin r,. Siis suppenev geometrinen srj on mjornttin, joten = suppenee. Jos ts, niin,, jolloin lim j srj hjntuu. Tästä seur luse 8. Jos +, missä q on vio, q <,niin q q( q ) q. + Siis srjll on suppenevn mjornttisrjn vio ert geometrinen srj, joten srj = suppenee. Luse on näin todistettu. Luseet 9 j seurvt luseist 8 j, os niiden oletuset ovt silloin voimss eräästä indesistä len.

24 3 Jäljellä on vielä luse. Jos = f( ), j f :[, ) R on jtuv positiivinen vähenevä funtio, niin + f ( + ) f( x) dx f( ),. (Ks. oheinen uvio, suorulmioiden nt on in, joten l on oreus eli funtion rvo.) Yhteen lsemll sdn Tästä nähdään, että n+ n n = = f( x) dx, n. n lim f ( xdx ) on äärellinen ti ääretön sen mun, n ono srj suppenev vi hjntuv. =

25 4 Positiivisten srjojen lopusi minittoon, että positiivitermisessä srjss s termien järjestystä muutt ilmn, että tämä viutt srjn suppenemiseen ti summn. (Hnl todist, sivuutetn.) Vuorottelevt srjt Srj, jon termit ovt vuorotellen positiivisi ti negtiivisi, snotn vuorottelevsi eli lternoivsi. Jtoss oletmme, että ensimmäinen termi on in positiivinen (tähän päästään trvittess ertomll srj (-):llä). Merinvihtelu ilmistn (-):n potenssein: prillinen potenssi nt ertoimesi + j priton -. Vuorottelevn srjn yleinen muoto on siis: () ( ) = , = missä >,. Luse 3 (Leibnizin luse) Jos vuorottelevn srjn () termien itseisrvot muodostvt monotonisesti vähenevän ohti noll lähestyvän jonon: & lim =, 3 niin srj suppenee. Lisäsi jos jono on idosti monotoninen j srj tistn termin ( ) n n jäleen, niin jäännöstermi R n on smnmerinen uin ensimmäinen poisjätetty termi (eli meri on ( ) n ) j itseisrvoltn sitä pienempi: Rn < n +. (Todistus urssill Mtemttinen nlyysi.)

26 5 Itseinen suppeneminen Srj = on itseisesti suppenev (bsoluuttisesti suppenev), jos termien itseisrvoist muodostettu srj suppenee. = Luse 4 Itseisesti suppenev srj on suppenev. (Todistus urssill Mtemttinen nlyysi.) Joinen suppenev srj ei uitenn ole itseisesti suppenev, uten srj ( ) esimerinä osoitt. = Jos srj suppenee, mutt ei itseisesti, niin srj snotn ehdollisesti suppenevsi. Voidn osoitt, että itseisesti suppenevss srjss sdn termien järjestystä muutt j silti srj pysyy itseisesti suppenevn j summ smn. Sen sijn ehdollisesti suppenevn srjn termien järjestystä muutettess suppenemisominisuudet j summ voivt muuttu. Ehdollisesti suppenevn srjn termit voidn järjestää jop niin, että uuden srjn summ on miä hyvänsä hluttu rvo, ti myös niin, että uusi srj hjntuu.

27 6 Srjojen tulo Khden srjn ertosäännöllä: j = b tulo määritellään Cuchyn = ( )( b ) = = = c, missä c = b + b + + b. = Osoittutuu, että riittävää tulosrjn suppenemiselle on, että molemmt tulon teijänä olevt srjt suppenevt j inin toinen niistä itseisesti: Luse 5 Jos () (b) (c) suppenee itseisesti, = = A j = b = =B, niin silloin srj c = =AB. c suppenee j = (Todistus sivuutetn.) Itseisen suppenemisen vtimusest ei void luopu, uten seurv esimeri osoitt:

28 7 Esim. 3 Srj = ( ) on Leibnizin luseen mun = = + suppenev, mutt itseisrvoist muodostettu srj on p-srj, p=½, eli hjntuu. Srj on siis ehdollisesti suppenev. Jos se errotn itsensä nss, sdn ( )( ) = = = ( + ) + ( + + ) ( ) Yleinen termi tuloss on siis c n n n = ( ). ( n + )( + ) = Arvioimll resti ( n + )( + ) = (( n + ) + ( n ))(( n + ) ( n )) = ( n + ) ( n ) ( n + ) sdn c n n ( n + ) =, n+ n+ = joten cn, un n. Siis tulosrj hjntuu. Tehtäviä Tuti vuorottelevn srjn ( ) itseistä suppenemist, un = = suppenemist j 6) 5 4 7)! 3 8) + 3 ( + ) 9) 4 ( + ).

29 8. Funtiosrjt Edellä srjt olivt luusrjoj, joiden termit ovt (tässä urssiss) reliluuj. Jos termit ovt smst muuttujst riippuvi funtioit, päädytään funtiotermisiin srjoihin. Näiden äyttö mtemtiiss on hyvin lj, esimerisi erilisten funtioiden rvot lsetn yleensä srjehitelmien vull. Trvitsemme ensin vstvien jonojen eli funtiojonojen perustiedot. Funtiojonot Trstelln välillä I määriteltyjä funtioit f, =,,3,. Funtiojono ( f) = jos suppenee välillä I pisteittäin ohti rjfuntiot f, lim f ( x) = f( x), x I. Pisteittäinen suppeneminen on siitä huono suppenemismuoto, että se ei välttämättä siirrä jonon funtioiden hyviä ominisuusi (uten jtuvuus) rjfuntioon. Voimmpi j tässä mielessä prempi suppeneminen on tsinen suppeneminen. Funtiojono ( f) = suppenee välillä I tsisesti ohti rjfuntiot f, jos j vin jos joist luu ε > ohti on olemss sellinen indesi ε, että un, niin ε f ( x) f ( x) < ε, x I. Tämä meritsee geometrisesti, että funtioiden f uvjt sijitsevt indesistä ε len funtioiden f ε j f + ε uvjien välissä oo välillä I.

30 9 Tsisen suppenemisen määritelmässä on oleellist, että ε ei riipu x:stä. Määritelmä voidn ilmist myös muodoss: Funtiojono ( f) = j vin jos suppenee välillä I tsisesti ohti rjfuntiot f, jos lim sup f( x) f( x) =. x I Esim. ( ) + f x = x, I = [,]. f ( ), x x x I Siis jono ( f ) suppenee välillä I (inin) pisteittäin ohti rjfuntiot f, f ( x) = x. + Suppeneminen on myös tsist, os mx x x =, un x I. Esim. f( x) = x, I=(-,) Pisteittäinen rjfuntio on. Suppeneminen ei ole tsist, os sup f ( x) =. x I Luse (Rjfuntion jtuvuus) Jos f on välillä I jtuv iill j f f tsisesti välillä I, niin myös rjfuntio f on jtuv välillä I.

31 3 Tod.: Oloon y välin I join piste j ε >. Jos ε on tsisen suppenemisen määritelmässä minittu indesi positiiviluvulle ε /3, niin silloin ε, x I : f ( x) f( y) = f( x) f ( x) + f ( x) f ( y) + f ( y) f( y) f ( x) f ( x) + f ( x) f ( y) + f ( y) f( y) < ε /3 + f( x) f( y) + ε /3. Kiinteällä, ε, on jtuvuuden perusteell olemss δ > siten, että f( x) f( y) < ε /3, un x y < δ j x I. Näin sdn f( x) f( y) < ε /3 + ε/3 + ε/3= ε, un x y < δ j x I. Siis f on jtuv pisteessä y. Seurv tulos mhdollist rj-rvon j integroinnin järjestysen vihtmisen: Luse välillä I=[,b], niin Jos f on välillä I jtuv iill j f x x x lim f ( tdt ) = lim f( tdt ) = f( tdt ) iill x I. Suppeneminen on tsist välillä I. f tsisesti Tod.: Oloon ε >. Silloin on olemss ε siten, että iille välin I pisteille t pätee indesistä ε len ε f () t f() t < b Silloin x x x x ε f() tdt f() tdt f() t f() t dt dt ε b, un ε, x I.

32 3 Luse 3 Oletetn, että () funtiot f ovt jtuvsti derivoituvi välillä I=[,b], =,,3, (b) derivttjono ( f ) suppenee tsisesti välillä I ohti rjfuntiot g (c) jono ( f ) suppenee inin yhdessä välin I pisteessä c Silloin jono ( f ) suppenee välillä I tsisesti ohti rjfuntiot f j x I : lim f '( x) = g( x) = f '( x). Tod.: Edellisen luseen nojll x x x g( t) dt = lim f '( t) dt = lim f '( t) dt = lim( f ( x) f ( c)) c c c tsisesti I:ssä. Siis f ( x) = lim f ( x) = g( t) dt+ lim f ( c) x c on olemss j suppeneminen on tsist, seä f '( x) = g( x) = lim f ( x).

33 3 Funtiosrjt Funtioist muodostettu srj määritellään smll tvll uin luusrjin, nyt vin termit ovt funtioit. Suppeneminen plutetn ossummfuntioiden jonon suppenemiseen: Funtiosrj = f x = f x + f x + ( ) ( ) ( ) suppenee välillä I pisteittäin ohti summfuntiot f ( x ), jos ossummien jono ( Sn( x )) suppenee pisteittäin ohti funtiot f ( x ). Funtiosrj f ( ) x suppenee tsisesti välillä I ohti funtiot f ( x ), = jos S ( x) f( x) tsisesti välillä I eli jos n lim sup Rn ( x) =, n x I missä R ( x ) on n:s jäännöstermi n R ( x) = f ( x). n = n+ Oheisiss uviss ylempi esittää tsisen suppenemisen tilnnett, joss N:s ossumm on "ε-putess". Alemmss on ts tilnne, joss ossummi tn ( x ) ei sd millään ε-puteen, j suppeneminen ei ole tsist.

34 33 Luse 4 (Srjn summn jtuvuus) Jos srjn f ( ) x termit ovt jtuvi välillä I j srj suppenee = tsisesti välillä I, niin summ f ( x ) on välillä I jtuv funtio. Tod.: Seur funtiojonoj osevst luseest sovellettun ossummien jonoon ( Sn( x )).

35 34 Luse 5 (Srjn integrointi termeittäin) Jos srjn f ( ) ( ) x = f x termit ovt jtuvi välillä I = [ b, ] = j srj suppenee tsisesti välillä I, niin x x x f () t dt= f () t dt= f () t dt = = iill x I j stu srj suppenee tsisesti välillä I. Tod.: x x x f ( tdt ) = lim S( tdt ) = lim S( tdt ) n n n = n n x x n = =. = lim f () tdt= f() tdt Luse 6 (Srjn derivointi termeittäin) Jos srj f ( ) ( ) x = f x suppenee välillä I = [ b, ] j srj = suppenee tsisesti välillä I, niin myös j d f '( x) = f( x) = f'( x) dx = =. = = f '( x) f ( ) x suppenee siellä tsisesti Tod.: x x f '( tdt ) = f '( tdt ) = ( f ( x) f ( )) = = = x f () t = f '() t dt+ f ( ) = = = d f( x) = f'( x) dx = =.

36 35 Seurv tulos on usein ätevä tsisen suppenemisen osoittmisess: Luse 7 (Weierstrssin testi) Jos on olemss luusrj funtiosrjn = = M f ( ) x termien ylärjoj: f ( x) M,, x I,, jon termit ovt välillä I niin srj f ( ) x suppenee tsisesti välillä I. = Tod.: Mjornttiperitteen nojll f ( ) x suppenee itseisesti välillä I = pisteittäin. Kolmioepäyhtälön vull sdn jäännöstermeille f ( x) f ( x) M, x I. = n+ = n+ = n+ Siis lim sup R ( x ) = lim sup f ( x ) =. n n x I n x I = n+ sinx Esim. 3 3, I = = sin x, 3 3 :ssä. 3 suppenee (p-srj, p>), joten 3 = = sinx suppenee tsisesti

37 36 Tehtäviä n e ) Osoit, että funtiosrjn summ määrittelee jtuvn n= + nx funtion joisell reliselin välillä. ) Voidno seurvi srjoj integroid ti derivoid termeittäin välillä [-,] muuttujn x suhteen? 3 e sin( nx) b). n x ) n= ( n+ x ) n= +

38 37 Potenssisrjt Potenssisrj on funtiosrj, joss termit ovt potenssifuntioit. Sen yleinen muoto on () ( x x ) = + ( x x ) + ( x x ) +, = missä,, 3, j x ovt vioit. Luse 8 Jos potenssisrj () suppenee jollin x = x x, niin se suppenee itseisesti iill x, joille x x < x x. Jos potenssisrj hjntuu rvoll x = x, niin se hjntuu iill x, joille x x > x x. Tod.: Jos ( ) x x suppenee, niin sen yleinen termi lähenee noll: = ( x x ), un. Siis erityisesti yleisten termien jono on rjoitettu, joten on olemss sellinen M>, että ( x x ) M, eli x M x,. Silloin x x ( ), x x x x M.

39 38 Jos x x < x x, on srjll ( ) x x siis mjornttisrjn = suppenev geometrinen srj, joten srj ( ) x x suppenee silloin = itseisesti. Jos ( ) x x hjntuu, niin myös ( ) x x hjntuu iill = x, joill x x > x x. Jos nimittäin ( ) x x suppenisi, niin edellisen = nojll myös ( x x ) suppenisi. = = Edellisestä luseest seur, että in on olemss x -esinen ljin väli, joss srj () suppenee. Sillä jos R = sup{ r srj () suppenee rvoll x + r}, niin () suppenee välillä x x < x+ R x = R. Luu R on srjn suppenemissäde j väli ( x Rx, + R) sen suppenemisväli. Näin nähdään seurv tulos: Luse 9 Potenssisrjn ( ) x x suppenemiselle on voimss = ysi seurvist mhdollisuusist: () Srj suppenee vin rvoll x. Silloin suppenemissäde on R =. () Srj suppenee itseisesti välillä x R< x< x+ R, mutt hjntuu, un x x > R. Suppenemissäde on R. (3) Srj suppenee itseisesti iill x. Silloin suppenemissäde on R =.

40 39 Potenssisäteen lsemisesi sdn vt srjn ertoimien vull seurvsti: Luse Potenssisrjn ( ) x x suppenemissäde R sdn voist ) R = lim ti b) R = lim, + = edellyttäen, että yseiset rj-rvot ovt olemss. Tod.: ) Kos x x = x x, sdn juuritestin limesmuoto äyttäen lim x x = lim x x ti > < x x < lim ti x x > lim. Siis srj ( ) x x suppenee, un = x x < lim j hjntuu, un x x > lim, joten suppenemissäde R = lim.

41 4 b) Vstvsti suhdetestin limesmuodon vull. Potenssisrjn suppeneminen on seurvss mielessä tsist: Luse Potenssisrj ( ) x x, jon suppenemissäde on R, = suppenee tsisesti joisell suppenemisväliin sisältyvällä suljetull välillä [ b, ] ( x Rx, + R). Tod.: Oloon r> sellinen, että [, b] [ x r, x + r] [ x R, x + R]. Kun x [ b, ], on siis ( x x) r j srj r suppenee, = os r< R. Weierstrssin testin mun srj ( ) x x suppenee siis tsisesti välillä [ b, ]. = Tsisest suppenemisest seur potenssisrjn summn jtuvuus: Luse Potenssisrjn summ on srjn suppenemisvälillä jtuv funtio. Tod.: Jos x ( x R, x+ R), niin on olemss < r< R siten, että x [ x r, x+ r]. Kos edellisen luseen mun potenssisrj suppenee tsisesti välillä [ x rx, + r] j funtiot ( ) x x ovt jtuvi, on summin jtuv välillä [ x rx, + r] j erityisesti siis pisteessä x.

42 4 Tsisest suppenemisest seur myös, että potenssisrj voidn integroid j derivoid termeittäin. Voidn osoitt (todistus sivuutetn), että näin sduill potenssisrjoill on sm suppenemissäde uin luperäisellä. Luse 3 Potenssisrj ( x x) = S( x), jon suppenemissäde = on R >, voidn ) integroid termeittäin: x ( ) + ( ), un x = = + t x dt= x x x x < R b) derivoid termeittäin: d dx ( ) ( ), un = = x x = x x x x < R. Stujen srjojen suppenemissäde on R. Kos potenssisrjst derivoimll stu funtiosrj on itsein potenssisrj, on potenssisrjll siis iien ertluujen derivtt. Tylorin srjt Jos potenssisrj ( x x) = S( x) derivoidn n ert sdn = ( n) ( n+ )! ( n+ )! S ( x) = n! n + n+ ( x x) + n+ ( x x) +,!! jo on voimss potenssisrjn suppenemisvälillä. Sijoittmll x = x sdn ertoimelle n lusee ( n) S ( x) n =, n=,,,, n!

43 4 missä on äytetty sopimust!=. Tästä seur, että jos funtio f ( x ) voidn esittää jollin välillä x x < R suppenevn srjn, = f ( x) = ( x x ) niin tämä esitys on ysiäsitteinen, sillä ertoimet ovt välttämättä ( ) f ( x) =, =,,,.! Nämä ovt smt uin funtion f Tylorin polynomin ertoimet: Funtion f n. steen Tylorin polynomi ohdss x on polynomi ( n) f '( x) f ''( x) f ( x) Tn ( x; x) = f( x) + ( x x) + ( x x) + +.!! n! Tylorin v ertoo, että jos funtio f on n ert jtuvsti derivoituv välillä ( x hx, + h), niin iill x ( x hx, + h) on voimss esitys f ( x) = T ( x; x ) + R ( x; x ), missä jäännöstermi n n f ( ξ ) Rn ( x; x ) ( x x ) ( n + )! ( n+ ) n+ =, jollin ξ ( x, x) ti ξ ( x, x). Oheisess uvioss on funtioiden x j x e hden limmn steen Tylorin polynomit ohdss j :

44 43 Jos funtioll f on iien ertluujen derivtt pisteen x ympäristössä ( x hx, + h) j lim R ( x) =, niin f:lle on voimss srjehitelmä, funtion f n n Tylorin srj pisteessä x : f ( x ) f x x x x x h x h. ( ) ( ) = ( ), (, + ) =! Tämä esitys on ysiäsitteinen. Toisin snoen, jos funtioll f on pisteen x ympäristössä potenssisrjehitelmä ( x x):npotenssien mun, se on funtion f Tylorin srj. Tylorin srj ohdss x = snotn myös Mclurin'in srjsi: ( ) f () f( x) =.! =

45 44 Seurvss äydään läpi täreimpien funtioiden Tylorin (Mclurin'in) srjoj. Esponenttifuntio e x 3 x x x = + x+ + +! 3! =, x.! = Tod.: Tylorin vn mun 3 n ξ x x x e n+, jollin (, ) ti (,) x e = + x x ξ x ξ x.! 3! n! ( n+ )! x Toislt potenssisrjn suppenemissäde =! ( )! lim + R= = lim = lim( + ) =,! + x joten suppenee iill. Tällöin sen yleinen termi lähestyy =! noll. Silloin Tylorin vn jäännöstermille sdn: ξ x e n+ e n+ Rn ( x;) = x < x, un n tpusess x> ( n+ )! ( n+ )! j ξ e n+ e n+ Rn ( x;) = x < x, un n tpusess x<. ( n+ )! ( n+ )! x Siis srj suppenee iill x j sen summ on e. x Yleinen esponenttifuntio (>) voidn muunt yllä olevsi: x lnx xln = e = e, joten sen Tylorin srjsi sdn x = + ( ln) x+ x + = x, (ln ) (ln )! =! jo myös suppenee iill.

46 45 Binomisrj rr ( ) rr ( ) ( r + ) + x = + rx + x + = x! + =! < x <. r ( ), un Tod.: Tässä tpusess ei nnt menetellä uten esponenttifuntion srj ehitelmän todistusess tehtiin, os nyt Tylorin vn jäännöstermin rvioiminen on hnl. Todetn ensisi, että oiell puolell olevn srjn suppenemissäde R on : lim + R = = lim =. r + Siis potenssisrj suppenee, un < x <. On vielä osoitettv, että sen summ on ( + x) r. Derivoimll funtio f ( x) = ( + x) r sdn f ( x) = r( + x) r. Todetn siis, että funtio on lurvoprobleemn ( + x) f ( x) = rf( x), f() = rtisu. Derivoimll srj termeittäin sdn srjn summlle Sx: ( ) rr ( ) ( r + ) S ( x) = rx! jost = r rr ( ) ( r + ) ( + x) S ( x) = ( + x) x =! rr ( ) ( r + ) rr ( ) ( r + ) = x + x!! = =,

47 46 rr ( ) ( r + ) rr ( ) ( r + ) = + + r x x! = =! r( r ) ( r n) n r( r ) ( r n+ ) = r+ ( n+ ) x + nx ( n+ )! n! n= n= r( r ) ( r n+ )( r n+ n) n = r+ x n= n! rr ( ) ( r n+ ) n = r+ r x = rs( x). n! n= Kos lisäsi S()=, on siis myös S(x) lurvotehtävän rtisu. Differentiliyhtälöiden olemssolo- j ysiäsitteisyysluseen (s. urssin loppuos) nojll on siis Sx ( ) = f( x) = ( + x) r. n Jos r on positiivinen oonisluu: r mm ( )( m ) ( m n+ ) = n! = m, niin iill n> m. Silloin binomisrj on päättyvä, stett m olev polynomi, j v on nimeltään binomiv: m mm ( ) mm ( ) m ( + x) = + mx + x + + x! m! m m n m mm ( ) ( m n+ ) m! = x, missä = =. n= n n n! n!( m n)! Seurvss ovt myös erioistpuset r= ½ j r= ½ : x x x x x = x x x x + x = + +.

48 47 Logritmifuntio 3 x x x ln( + x) = x + = ( ), < x 3 = Tod.: Geometrinen srj t t t t + t = + + < < 3, nt termeittäin integroitun x 3 x x ln( + x) = dt= x +, un < x<. + t 3 Pisteessä x = srj hjntuu, os se on hrmoninen srj errottun (-):llä. Pisteessä x = srj suppenee Leibnizin luseen perusteell. Sen summ on silloin väitteen muinen ln( + ) = ln, sillä: n dt n n n t ln ( ( ) ( ) ) = = t+ t + t + dt + t + t n n 3 ( ) n t = + + n + ( ) dt + t missä jäännöstermi lähestyy noll: n n n t t n ( ) dt dt < t dt =, un n + t + t n+.

49 48 Kun funtion ln( + x) srjehitelmään sijoitetn x:n pille -x, sdn 3 x x ln( x) = x. 3 Vähentämällä srjt toisistn sdn 3 5 ln + x x x = ( x ), < x <. x 3 5 Tämän srjn vull voidn mm. lse minä hyvänsä positiivisen luvun logritmin liirvo. Trigonometriset funtiot x x x sin x= x + = ( ), x 3! 5! ( + )! = x x x cos x = + = ( ), x! 4! ( )! 4 = Tod.: Derivoimll toistuvsti nähdään, että (4) f() =, f () =, f () =, f () =, f () =, jne. Siis Tylorin vn mun 3 5 n x x n x sin( x) = x + + ( ) + Rn, 3! 5! (n )! ± sinξ n+ ± cosξ n+ missä jäännöstermi on muoto x ti x. Siis (n+ )! (n+ )! jäännöstermit lähestyvät noll iill x, un n lähestyy ääretöntä. Kosinin ehitelmä todistetn vstvll tvll.

50 49 Oheisess uvioss on osinin j sinintylorin srjoist lupään ossummi: Tehtäviä 3) Johd srjehitelmät funtioille tn x j rctn x. xcot x 4) Lse srjehitelmiä hyväsiäyttäen rj-rvo lim x. x

51 5 3. Relifuntioiden määräämätön integrli Integrlifuntio Derivoinnin äänteistoimitusen on vstt ysymyseen "Miä on se funtio, jon derivtt on f?" Kos vion derivtt =, hvitn heti, että vstus ei voi oll ysiäsitteinen. Funtion f : S integrlifuntio (määräämätön integrli, primitiivi, ntiderivtt) on funtio F, jon derivtt on f: F ( x) = f( x), jollin välillä I funtion f määrittelyjouoss S. Jos F on funtion f integrlifuntio, niin myös F(x) + C on sitä iill vioill C (integroimisvio). Integrlifuntiolle äytetään yleisesti merintää F( x) = f( x) dx, joss integrlimeri tulee tyylitellystä S-irjimest snst summ. Tämä yhteys selittyy tuonnempn ns. määrätyn integrlin utt. Smoin symbolin dx sisältö trentuu silloin, nyt se voidn tso lähinnä merinnäsi, jo on josus hyödyllinen, esim. sijoittmismenettelyssä.

52 5 Seurvt perussäännöt oletetn tunnetusi luion ursseilt ti muilt iisemmilt opinnoilt. (Ne on helppo myös todist derivoimissääntöjen pohjlt.) Merintä F troitt funtion f integrlifuntiot: F( x) = f( x) dx. f x bg x dx f x dx b g x dx (linerisuus). ( ) + ( ) = ( ) + ( ) f xg xdx F x g x F x g xdx (osittisintegrointi). ( ) ( ) = ( ) ( ) ( ) ( ) f tdt= f( g x) g ( x) dx, t= g( x) (sijoitus) 3. () ( ) ( ) ( ) = ( ( )) f g x g x dx F g x 4. ( ) f x + b dx = F( x + b) 4. ( ) 4b. ( ) ( ) f x dx = ln f x f x ( ) 5. f ( x ) priton ( ) 5b. f ( x ) prillinen ( ) F x prillinen F x priton (jos vio C on vlittu siten, että ( ) F = )

53 5 Aleisfuntioiden integrointivoist edellytetään tunnetuisi seurvt. Ne ovt ii vstvien derivoimissääntöjen "äänteisvoj". (Oielle puolelle in lisättävä integroimisvio C on jätetty voiss meritsemättä.) + x + 6. xdx= ( ) dx 7. ln x = x edx= e 8. x x 9. sin xdx = cosx. cos xdx = sin x dx. cot x sin x = dx. tn x cos x = dx x 3. rctn ( ) + x = dx x x = > 4. rcsin ( ) dx 5. ln x x x + = sinh xdx = cosh x 7. cosh xdx = sinh x

54 53 Vrsinisi integroimisteniioj ei nyyisin symbolisten ohjelmistojen (Mple, Mtlb Symbolic Mthemtics Toolbox, Mthemtic, MthCd, ) stvuuden ti enää hrjoitell rutiinisi sti. Ohjelmistot eivät in uitenn selviä iist tilnteist ilmn pu, joten perustpuset on syytä tunte. Ohess on lueteltu täreimmät perusmenetelmät. Rtionlifuntioiden integrointi Rtionlifuntiot ovt polynomien osmääriä j niillä on yhteysiä moniin tenisiin sovellusiin, mm. siirtofuntioiden j integrlimuunnosten utt. Joinen rtionlifuntio on integroitviss j integrlifuntio esitettävissä leisfuntioiden vull ("suljetuss muodoss"). (Näin ei ole sinlit yleisesti funtioille. On pljon funtioit, joiden integrlej ei void esittää luseein ysinertisimmist funtioist. Tällisi ovt mm. useimmt fysiin "erioisfuntiot", uten Besselin funtiot.) Rtionlifuntio f( x) = Px ( ) Qx ( ) missä P j Q ovt polynomej, voidn j muotoon f( x) = K( x) + R( x) Qx ( ) missä K(x) on polynomi j rtionlifuntion R(x)/Q(x) osoittjn olevn polynomin R(x) ste on lempi uin nimittäjän Q(x). 3 Esim. x 3 x + 9 x+ 5 8 = x + x+, miä nähdään äsin lsien x x+ 3 x x+ 3 esimerisi joulm äyttäen:

55 54 x x+ x 3 3 x 3x + 9x+ 5 3 (x x + 6 x) x + 3x+ 5 ( x + x 3) x + 8 Oletmme jtoss, että näin on trvittess tehty, j siis polynomin R( x ) ste on pienempi uin Qx:n ( ) eli deg R( x) < deg Q( x). R( x) Tällöin on hjotettviss Q:n teijöiden suhteen Qx ( ) osmurtoehitelmäsi. (prtil frctions) Polynomi Q( x ) voidn j relisiin teijöihin, joiden steluu tyyliin m n ( ) = ( ) ( )...( + + ) ( + + )..., ( b, c d, ) Q x C x r x s x x b x cx d < < p q missä rs,, ovt ertluu m, n olevi relisi juuri, j toisen steen teijät jottomi, eli vstvt omplesijuuriprej. Silloin osmurtoehitelmän yleinen muoto on ( ) ( ) ( x r) ( ) R x R R R = + m Q x x r + + m + x r S S S x s ( x s) ( x s) Ax + B A px+ Bp p + x + x+ b x + x+ b n n + + ( ) ( ) Cx + + D Cx q + Dq + + q +, x + cx+ d x + cx+ d ( )

56 55 Esim. A B Cx+ D = + + = + x + ( x + )( x+ ) x ( x+ ) + ( x + )( x ) + B( x + ) + ( Cx + D)( x + ) ( x + ) ( x + ) A = A + C = 3 ( ) x + ( A + B + C + D) x + ( A + C + D) x + ( A + B + D) ( x + ) ( x + ) A + C =, A + B + C + D =, A + C + D =, A + B + D = A = B = C =, D =. x = + x + x + x + x + x + ( )( ) ( ) ( ) ( ) = Osmurtoehitelmässä olevt integrlit voidn lse seurvsti: 8. Adx ( x ) n Aln x, n= = A n, n ( n )( x ) 9. Ct n ( t + ) dt ( ) C ln t +, n= = C n, n ( n )( t + ). D D dt rctn t = ( t + )

57 56. I n = I D n dt lsetn reursiivisesti: ( t + ) Dt n = + I n t n ( + ) n+ n n ( n ). Ax+ B n dx ( b) ( x + x+ b) < plutetn edellisiin täydentämällä nimittäjässä olev toisen steen polynomi neliösi. Irrtionlifuntioiden integrointi Käsittelemme lyhyesti vin eräitä erityistpusi. Jos funtio on rtionlinen lusee R juuriluseeest, yseisen juuriluseeen sijoitus voi joht tuloseen. 3. R x, x b n + n dx, sijoitus t= x + b n, x= dt b cx d n + cx + d ct integrlin rtionlifuntiosi muuttujn t suhteen. muunt dx Neliösi täydentäminen 4. ( ) x + bx + c b b x bx c x c b t= x+ johtvt + + = + + j sijoitus 4 funtioihin rcsin ti logritmi vion etumeristä riippuen vojen 4 j 5 muisesti.

58 57 Sijoittmll sopiv trigonometrinen funtio voidn neliöjuurest päästä eroon: R x x dx x = sint, dx =, x = cost 5. (, ) R x x dx dt x = tnt, dx =, x + = cos t 6. (, + ) Vstvsti mereistä riippuen voidn hyödyntää hyperbolisi funtioit sijoitusin: R x x dx x = cosht, dx = sinhtdt, x = sinht 7. (, ) cos t Esponentti- j logritmifuntiot integroituvt myös josus sopivll sijoitusell ti osittisintegroinnill. x dt dx Sijoitus e = t, x = ln t, dx = t plutt rtionlifuntion integroinnisi. x 8. R ( e ) Rtionlifuntio luseeist sin j cos plutuu sijoitusell rtionlifuntion integroinnisi R x x dx x t t dt tn = t, sin x=, cos x=, dx= + t + t + t 9. ( cos,sin )

59 58 Tehtäviä Lse oheisten funtioiden integrlit:. sin x. e x 3. x/(x +) 4. x/(x 4 +) 5. x cosx 6. ln x 7. rctn x 8. x( x ) 9.. x 3x x x + x x + x x + Rtisuj. sin x dx = sin t t dt (sij. x = t, d( x)=d(x ½ )=½x -½ dx=dt dx=x ½ dt ) = t sint dt (ositt. int. u=t, v'=sint, u'=, v=-cost) = (-tcost + cost dt) = -t cost + sint = - x cos x + sin x + C.. e x dx = / e x dx = / e x + C

60 59 3. x/(x +) dx = ½ x/(x +) dx = ½ ln(x +) + C 4. x/(x 4 +) dx = ½ /(t +) dt (sij. x =t, x dx = dt, x dx = ½dt) =½rctn(t) = ½rctn(x ) + C 5. x cosx dx = xsinx - sinx dx (ositt. int. u=x, v'=cosx, u'=, v=sinx ) =x sinx +cosx + C 6. lnx dx = x lnx - /x x dx (ositt. int. u=lnx, v'=, u'=/x, v=x ) =x lnx - x + C 7. rctnx dx = x rctnx - /+x ) x dx (ositt. int. u=rctnx, v'=, u'=/(+x ), v=x ) =x rctnx -½ln(+x ) + C (Teht. 3) 8. I = /(x(x -))dx = (A/x + B/(x+) + C/(x-))dx /(x(x+)(x-)) = (A/x + B/(x+) + C/(x-) = A(x -) +Bx(x-) + Cx(x+) =(A+B+C)x + (-B+C)x -A A=-, B=C=½ I= (-/x + ½/(x+) + ½/(x-))dx = -ln x +½ln x+ +½ln x- +C 9. I = (x -3x+3)/(x 3 -x +x)dx (x -3x+3)/(x 3 -x +x) = (x -3x+3)/(x(x-) ) = A/x +B/(x-) + C/(x-) x -3x+3 = A(x-) + Bx + Cx(x-) x -3x+3 = (A+C)x + (-A+B-C)x +A A+C=, -A+B-C=-3, A=3 A=3, B=, C=- I= (3/x + /(x-) - /(x-))dx = 3 ln x -/(x-) -ln x- +C

61 6. I = (x+)/(x -x+)dx (nimittäjä joton) = ½ (x-)/(x -x+)dx + 3/ /(x -x+)dx = I + I I = ½ ln(x -x+) I = 3/ /((x-½) +3/4) dx (nimittäjä täydennettiin neliösi) dx = (3/) (4/3) (muunnettiin rctn mielessä) x ½ + 3/ = 3/ /(t +) dt, tehtiin sijoitus t=(x-½)/( 3/), dt=dx/( 3/) = 3 rctn t I=I +I = ½ ln (x x ½ -x+) + 3 rctn( 3/ + C

62 6 4. Relifuntioiden määrätty integrli Vrsinisesti termi "integrli" tulee seurvss esitettävästä määrätystä integrlist, jo on läheistä suu summmiselle. Yhteys derivttn on sitten perustv ltu olev tulos, jot snotnin differentili- j integrlilsennn ("nlyysin") perusluseesi. Tästä eteenpäin troitmme termillä "integrli" in määrättyä integrli, ellei toisin nimenomn snot. Integrlin esiintyminen liittyy usein umultiivisiin ilmiöihin. Esimerisi, jos yhden muuttujn funtio uv nopeutt v j i etenee hetestä t i välin t i, niin v(t i ) t i ertoo ivälillä t i edetyn mtn, liimin tosin, os v voi muuttu välillä t i. Kun jo i-selill tihennetään j mtplset summtn yhteen, tulln uljetun oonismtn liirvoon. Trstelln si geometrisesti. Jos positiivisen jtuvn rjoitetun funtion f(x) uvjn j x-selin välisen lueen pint-l hlutn määrittää välillä [,b], niin voidn äyttää suorulmioit ln pprosimoimiseen. Suorulmion oreudesi vlitn funtion suurin j vstvsti pienin rvo ntn olevll osvälillä. Jos osvälejä lyhennetään eli välin [,b] jo tihennetään, niin ilmeisesti ummtin pprosimtiot trentuvt. Edellisessä tpusess sdn pint-llle A yläpprosimtio S D j vstvsti jälimmäisessä l-pprosimtio s D. Kirjimell D on meritty pprosimtioon liittyvää jo, jo ll olevss uvss on tsvälinen. Jon D määrittelevät sen jopisteet = x< x< x < xn = b. Snomme, että S D j s D ovt funtion f joon D liittyvät ylä- j lsummt välillä [,b]. n Jos funtio on välillä [,b] svv, niin suurin rvo svutetn unin osvälin oiess päätepisteessä j pienin vsemmss oheisen uvion muisesti.

63 6 Viutt ilmeiseltä, että sillä ei ole meritystä, ono jo tsvälinen vi ei. Kos yläsummill (un joj D vihdelln mielivltisesti) on in lrjn miä hyvänsä lsumm, on niitten jouoll infimum eli suurin lrj inf S D D. Vstvsti lsummill on supremum eli pienin ylärj sups D. D Funtiot f snotn välillä I=[,b] integroituvsi (tremmin Riemnnintegroituvsi), jos yläsummien suurin lrj j lsummien pienin ylärj ovt smt: b sup sd = f( x) dx= inf S D D. D Tämä yhteinen rvo on funtion f (Riemnn-)integrli "yli välin [,b]" eli määrätty integrli. Voidn osoitt, että (inin) ii rjoitetut ploittin jtuvt funtiot ovt Riemnn-integroituvi.

64 63 Toinen tp on vlit välin [ b, ] jon D: = x< x< xn < xn = b osväleiltä [x i-, x i ] mielivltinen piste x * i j määrittää suorulmion oreudesi f(x * i ). Silloin l pprosimoi Riemnnin summ n i= f(x i * ) x i missä x i = x i - x i- on i:nnen osvälin pituus. Meritään suurimmn osvälin pituutt eli jon normi D = mx( xi xi ). Snomme, että jo tihenee rjtt, jos D, un i. Silloin siis osvälien määrä sv rjtt j niiden pituudet lähestyvät noll. i Funtion f määrätty integrli (Riemnn-integrli) on silloin b n f ( xdx ) = lim f( x ) x n n D i n = i n i missä rj-rvo troitt mitä hyvänsä Riemnnin summien jono, joss jot rjtt tihenevät. (Täsmälliset todistuset, s. urssit Mtemttinen nlyysi seä Mitt- j integrliteori.)

65 64 y o x x x3 x i f * ( x i ) xi x n b x * x * x * x 3 * x i * x n Määrätylle integrlille voidn joht seurvt perusominisuudet b. f ( xdx ) = f ( xdx). f ( x) dx= b c c 3. ( ) + ( ) = ( ) b b f xdx f xdx f xdx (dditiivisuus) b b b f x g x dx f xdx g xdx (linerisuus) 4. α ( ) + β ( ) = α ( ) + β ( ) b b 5. ( ) ( ) = / ( ) ( ) ( ) ( ) b f xg xdx F x g x F xg xdx (osittisintegrointi)

66 65 b f ( g x ) g ( x) dx= f ( t) dt ( t g( x) ) 6. ( ) gb ( ) ( ) g 7. ( ) ( ) ( ) ( ) b f x g x f xdx g xdx b b b = (Sijoitus) 8. f ( xdx ) f ( xdx ) Mb ( ), M= mx f ( x) b, Voidn osoitt, että välillä [,b] jtuvlle funtiolle f löytyy in piste c voimelt väliltä (,b) siten, että pint-l sdn yhdellä suorulmioll: b f(x)dx = f(c)(b-). Tämä yhtälö pätee myös muille uin ei-negtiivisille funtioille (siis ilmn em. geometrist tulint). (Integrlilsennn välirvoluse.) y y=f(x) f(c) c b x

67 66 Jos määrätyn integrlin ylärj otetn jtuvn funtion f integrliss muuttujsi: x G(x) = f(t)dt, niin stu funtio on differentioituv: x+h G(x+h) - G(x) = x f(t)dt - x+h f(t)dt = x f(t)dt = f(c) h = f(x) h + (f(c) -f(x)) h = f(x) h + ε(h) h missä x<c<x+h j ε(h) = f(c)-f(x), un h. Sdn siis tulos: Jos f on jtuv välillä [,b], niin funtion x G(x) = f(t)dt derivtt välillä (,b) on G '(x) = f(x). Siis erityisesti todetn, että G(x) on funtion f (x) integrlifuntio (primitiivi). Jos F on toinen f:n integrlifuntio, niin se ero G:stä vin vion verrn: F(x) = G(x) + C.

68 67 Kos G() =, on tämä vio C = F(). Siis mille hyvänsä f:n integrlifuntiolle F pätee x F(x) = f(t)dt + F(). Tästä sdn sijoittmll x = b yhteys, joll määrätyt integrlit voidn lse integrlifuntion vull: b f(x)dx = / b F(x) = F(b) -F() (Differentili- j integrlilsennn perusluse)

69 68 Epäoleelliset integrlit Jos integroimisväli ulottuu äärettömyyteen ti funtio on rjoittmton, edellä esitetty määrätyn integrlin määritelmä Riemnnin summn ei sellisenn toimi. Näistäin tpusist uitenin selvitään, un lähestytään tilnteit sopivill rj-rvoill. Yhteisellä nimellä näin syntyviä integrlej utsutn "epäoleellisisi integrleisi" (improper integrls). Integrointi yli äärettömän välin Iden on, että integroidn rjoitetun välin yli j nnetn muuttuvn päätepisteen (ti molempien) lähestyä ääretöntä. Jos näin stu lusee suppenee, yseinen rj-rvo sovitn integrlin rvosi j integrlin snotn suppenevn, muuten integrli hjntuu: b b f(x) dx = lim f(x)dx y y=f(x) S x b b f(x)dx = lim f(x)dx c f(x)dx = f(x)dx + c f(x)dx Viimeisessä tpusess on jouduttu äyttämään pun välipistettä c, jo voi oll miä hyvänsä äärellinen reliluu (usein c = ).

70 69 Huomttoon, että rj-rvo CPV r r r f(x)dx = lim f(x)dx, joss l- j ylärjt menevät "yhti" äärettömyyteen, ei välttämättä nn sm rvo uin sitä edeltävä määritelmä. Näin määriteltyä integrli snotn Cuchyn päärvosi. Jos integrli f(x)dx suppenee, se j Cuchyn päärvo ovt smt. Mutt toisin päin voi äydä niin, että Cuchyn päärvo on olemss, vi yo. integrli ei suppene. Srjteoriss hyödynsimme seurv tulost: Esim. Integrli Tpusess p sdn ntmll b (b>): /x p dx suppenee täsmälleen silloin, un p>: b /x p dx = /(-p) (b -p - ) /(p-), un p> j, un p<. Jos p=, niin (b>) b /x dx = ln b - ln = ln b, un b. y y y = x y = x x x

71 7 Integroitv funtio rjoittmton Jos funtio lähestyy (mhdollisesti toispuoleisen rj-rvon) plus ti miinus ääretöntä välin [,b] jossin pisteessä c, yseinen piste c (singulriteetti) eristetään, j integrlit määritellään ts rj-rvoin. Jos rj-rvo on olemss, integrli suppenee, muuten hjntuu: c = : b b t + s f(x)dx = lim f(x)dx c = b: b s t b f(x)dx = lim f(x)dx <c<b: b c f(x)dx = b f(x)dx + c f(x)dx y y y y=f(x) x = b t b x t b x c b x Esim. Integrli /x p dx suppenee täsmälleen silloin, un p<: Singulriteetti on nyt ilmeisesti ohdss. Jos s>, s +, niin silloin tpusess p on s /x p dx = /(-p) (-s -p ) /(-p), un p<, j, un p>. Jos p=, niin (s>) s /x dx = ln - ln s = -ln s, un s +.

72 7 5. Integrointi n-ulotteisess vruudess Tso-integrli Yleistetään edellä esitetty määrätyn integrlin äsite ensin tsoon, 3 n sitten olmiulotteiseen vruuteen j lopusi yleiseen :ään. Kiiss tpusiss yhteisenä ominisuuten on integrlin liittyminen umultiivisiin ilmiöihin. Esimerisi tsolueen (region) R pinttiheyden ρ(x,y) j pienten pintlioiden i tulojen ρ(x,y) i summist sdn R:n mss. Ajtusen on j integroitv tson jouo pieniin plsiin, uten yhden muuttujn tpusess väli [,b] jettiin osväleihin. Nyt jouot voivt uitenin oll huomttvsti monimutisempi uin yhden muuttujn tpusess. Oheisiss uviss lue R on jettu smnooisiin (miä ei yleisesti ole välttämätöntä) plsiin R sisältäpäin.

73 7 Avruudess snomme väleisi sellisi suorulmioit, jot ovt sivuiltn oordinttiselien suuntisi. Krteesist tulo hyväsi äyttäen suljetun välin muoto on siis I = [,b] [c,d] = {(x,y) x b, c y d}. Vstvsti määritellään voimet välit. Suljetun välin pint-l tsotn selviösi j sovitn, että se on (I) = (b-)(d-c). Avoimen välin pint-l on sm. (Tämä voitisiin todist ll olevn pint-lmitn määritelmän vull.)

74 73 Suljetut välit ovt sisäosiltn erillisiä, jos niiden sisäost eivät lei. (Reunoiss s oll yhteisiä pisteitä.) Oloon R tson rjoitettu jouo. Jouo R voidn pprosimoid sisältäpäin suljettujen sisäosiltn erillisten välien R R äärellisillä yhdisteillä: R R. Vstvsti ulopuolelt: R S. Näillä välien yhdisteillä on äärellisinä summin pint-lt: ( R )=(R )+ (R )+..., ( S )=(S )+ (S )+.... Jouon R sisäl on iien minitun tyyppisten sisäpuolelt pprosimoivien väliyhdisteiden pint-lojen pienin ylärj, j vstvsti ulol ulopuolelt pprosimoivien väliyhdisteiden pintlojen suurin lrj. Jouo R on (Jordn-)mitllinen, jos sisäl j ulol ovt smt. Silloin yhteinen rvo on jouon R l (Jordn-mitt, pint-l, pintmitt,...), meritään (R). Jouo R on nollmittinen, jos sen l on. Jonin ominisuuden snotn olevn voimss melein iill X:ssä, jos se on voimss iill X:ssä, pitsi mhdollisesti nollmittisess X:n osjouoss. Voidn osoitt, että rjoitettu tsojouo R on Jordn-mitllinen täsmälleen silloin, un sen reun on nollmittinen. Siis ei-mitlliset jouot ovt siinä mielessä melo "ptologisi", että niillä on pljon reun: Reunn pint-l on ei-mitllisill jouoill positiivinen.

75 74 Nyt voidn tsointegrli jouon R yli määritellä nlogisesti yhden muuttujn tpusen nss Riemnnin summill. Kun integroimisjouon jo pienempiin osiin tehdään, joisen joon uuluvn osjouon pint-l on määritelty, miäli ost ovt Jordn-mitllisi. Kos Jordn mitllisill jouoill pint-l on sm uin sisäl, voidn jo ilmeisesti orvt pprosimtiivisesti välien yhdisteellä. Funtion f: Riemnnin integrli yli tsojouon R määritellään Riemnnin summien rj-rvon, un jo tihennetään: R f ( xyd, ) = lim f( x, y) D i i i i Jo tässä määritelmässä voidn in sd in siten, että R sijoitetn yhteen väliin I = [,b] [c,d] j jetn ysiulotteiset välit [,b] j [c,d] uin osväleihin. Kun näiden osvälien joj tihennetään, tihenee välin I jo j smll R:n jo. Merintä D troitt jon normi, jo voidn lse osvälien jojen normien D j D vull muodoss D = (D,D ). Pint-l i uv jon yleisen välin R i pint-l j piste (x i,y i ) on väliltä R i vlittu join piste.

76 Voidn todist, että funtio f on Jordn-mitllisess jouoss R Riemnn-integroituv täsmälleen silloin, un se on siellä rjoitettu j melein iill jtuv. (Lebesguen integroituvuusehto Riemnnintegrlille) 75

77 76 Erityisesti siis jos R on suljettu (rjoitettuhn se on jo iisemmn oletusen mun) niin joinen jtuv funtio on omptiss jouoss R rjoitettu j siis Riemnn-integroituv. Jos funtio f(x,y)= jouoss R, niin integrli nt R:n pint-ln (Jordn mitn): R ( ) = d. R Toisin ilmistun: Jouon R rteristisen funtion χ R (x) =, un x R, χ R (x) = muuten, integrli yli oo tson on jouon R pint-l: (R) = χ R d. Kytentä tsointegrlin j tilvuuden välille sdn, un todetn, että hden muuttujn funtion f(x,y) uvjn j xy-tson välisen ppleen tilvuus on {(x,y,z) R 3 (x,y) R, z f(x,y)} f ( xyd, ). R (Vert yhden muuttujn funtion tilnteeseen: Kuvjn j x-selin väliin jäävän lueen pint-l on määrätty integrli.)

78 77 Oheisess uvioss on pint z=f(x,y) j sitä on pprosimoitu ohdss ( x, y ) tson plsell T, jo on ( x, y) -tson suuntinen j jon projetio tälle on R. Pylvään tilvuus on silloin f ( x, y) x y. Tilvuus sdn siis Riemnnin summn. (Jälimmäisessä uvss pylvään mittsuhteit on liioiteltu suuremmisi.)

79 Pylväiden tihentämistä j summmist hvinnollist myös seurv uv: 78

80 Tällinen integrli voidn lse sinertisen integrlin edellyttäen, että pohj R on esitettävissä hden funtion välissä olevn tsolueen, jon voi "mlt" ordinttiselien suuntisin vedoin, uten seurvss uvss: 79

81 8 Integrli voidn esittää iteroitun integrlin, jolloin lsent plutuu hdesi yhden muuttujn perääisesi integroinnisi: b g ( x ) ( ) mer. b g x f ( xyd, ) = ( f( xydydx, ) ) = f( xydydx, ). R g( x) g( x) Sisempi integrli nt yllä olevss uvss näyvän pint-ln A( x ): g( x) A( x) = f( x, y) dy. g( x) Tätä lsettess muuttuj x on siis prmetrin vion rooliss. Jos lueen R muoto sllii, niin integrliss on mhdollist viht integroimisjärjestystä. Kun edellä "mlttiin" R pystysuorin vedoin eli y- selin suuntisesti, niin silloin mltn vsuorin vedoin eli x- selin suuntisesti. Helpoin tilnne on, jos R on suorulmio [,b] [c,d]: b d d b f ( x, y) d = ( f ( x, y) dy) dx = ( f ( x, y) dx) dy. R c c Muuttujn vihto tsointegrliss edellyttää ns. Jcobin determinntin äsitettä, j siihen pltn myöhemmin differentililsennn yhteydessä. Minitn uitenin tärein tpus, eli siirtyminen npoordintistoon x = rcos ϕ, y= rsinϕ : f ( x, y) d = f ( rcos ϕ, rsin ϕ) rdrdϕ. R S Huom luseeeseen ilmntunut teijä r (jo nyt on se minittu Jcobin determinntti). Integroimislue R on tässä muuntunut (, ) r ϕ -tson lueesi S. All olevss uvss on esimeri tilnteest, joss npoordintteihin siirtyminen on järevää: