Hamiltonin formalismia

Transkriptio

1 Perjantai /20 Hamiltonin formalismia Olemme valmiit siirtymään seuraavalle tasolle klassisen mekaniikan formalismissa, jonka aloitti Hamilton n Emme käytä tätä formalismia minkään vaikeamman ongelman ratkaisuun, mutta Hamiltonin menetelmä auttaa ymmärtämään syvällisemmin dynamiikan alla piileviä rakenteita. Voidaan ajatella, että Hamiltonin formalismi auttaa ymmärtämään mitä kysymyksiä pitää asetella. (90% fyysikon päivätyöstä kuluu oikean kysymyksen muotoilussa.)

2 Perjantai /20 Hamiltonin formalismia Muista, että Lagrangen formalismissa meillä on funktio L(q i, q i, t), missä q i :t ovat n yleistettyä koordinaattia. LY: ( ) d L L = 0 dt q i Nämä ovat n kpl 2. krtl dif.yhtälöitä, jotka tarvitsevat 2n alkuehtoa, esim. q i (t = 0) = 0, q i (t = 0) = 0. Hamiltonin perusidea oli käsitellä q i :tä ja q i :tä symmetrisessä asemassa. Tarkemmin sanottuna, käytämme n:nää yleistettyä/kanonista impulssia: p i = L q i, i = 1,..., n eli p i = p i (q j, q j, t). (Muista, nämä ovat tavallisia liikemääriä karteesisessa koordinaatistossa, jolloin T = 1 2 m i q i 2.) Lagrangen LY:t: ṗ i = L Ajatuksena on siis eliminoida q i ja asettaa tilalle p i ja kohdella q i :tä ja p i :tä riippumattomina muuttujina.

3 Perjantai /20 Faasiavaruus Aloitetaan matka kuvainnollisesti. Muista, että {q i } määrittelee pisteen n-ulotteisessa konfiguraatioavaruudessa C. Aikakehitys on käyrä C:ssä. Systeemin tila taasen määräytyy, kun tiedämme molemmat joukot {q i } ja {p i }. Tarvitsemme molempien informaatiot tietääksemme mikä on systeemin tila jokaisella ajanhetkellä tulevaisuudessa. Pari {q i, p i } määrittelee pisteen 2n-ulotteisessa faasiavaruudessa. Koska piste faasiavaruudessa riittää määrittämään koko systeemin aikakehityksen, käyrät faasiavaruudessa eivät koskaan leikkaa. Sanomme, että aikakehitys määräytyy virtauksena faasiavaruudessa.

4 Perjantai /20 Esimerkki: heiluri Tarkastellaan heiluria, konfiguraatioavaruus on selvästi ympyrä, S 1, joka voidaan parametrisoida kulmalla θ [ π, π). Faasiavaruus on sylinteri R S 1 (R vastaa kanonista impulssia). Voimme piirtää faasiavaruuden avaamalla sylinterin ja huomaamme, että faasiavaruuden virtauksia on kahden tyyppisiä. Pienillä θ, p θ heiluri oskilloi (libraatio), kun taas suurilla se kiertää ympäriinsä.

5 Legendren muunnos Tarkastellaan mv funktiota f (x, y) s.e. df = f f dx + x y dy Määritellään funktio g(x, y, u) ux f (x, y), jolloin dg = d(ux) df = udx + xdu f f dx x y dy Valitaan u(x, y) = f x dg = xdu f y dy eli voimme ajatella g = g(u, y). Kääntämällä u = u(x, y) x = x(u, y) jolloin saamme g(u, y) = f x f = u x(u, y) f (x(u, y), y) x Tämä on Legendren muunnos: aloitimme funktiosta f (x, y) ja saimme g(u, y) missä u = f / x, menettämättä informaatiota. Voimme aina kaivaa funktion f (x, y) esiin g:stä kaavoilla g/ u y = x(u, y) ja g/ y u = f / y. Tämä varmistaa, että käänteis-legendren muunnos tuottaa alkuperäisen funktion. f = g u u g Perjantai /20

6 Perjantai /20 Legendren muunnos: geometrinen tulkinta Legendren muunnoksen geometrisen tulkinnan pystyy ymmärtämään katsomalla viereistä kuvaa. Kiinnitetään y ja piirretään molemmat käyrät f (x, y) ja g(u). Kullekin kaltevuudelle u, g(u) on maksimaalinen etäisyys näiden kahden käyrän välillä. Tämä on helppo huomata ekstremoimalla etäisyyyden: d f (ux f (x)) = 0 u = dx x Huomaamme myös suoraan, että Legendren muunnoksen voi tehdä vain konvekseille funktioille, joille maksimaalietäisyys on olemassa.

7 Perjantai /20 Hamiltonin liikeyhtälöt Lagrangen funktio L = L(q i, q i, t). Määritellään Hamiltonin funktio Legendren muunnoksena L:stä: n H = H(q i, p i, t) = p i q i L(q i, q i, t) i=1 missä q i on eliminoitu oikealta puolelta käyttämällä ja ratkaisemalla käännös q i = q i (q j, p j, t). Tarkastellaan sitten H:n variaatiota: dh = (dp i q i + p i d q i ) p i = L q i = p i (q j, q j, t) ( L dq i + L q i d q i + L t dt ) = L dq i + q i dp i L t dt toisaalta dh = H dq + H dp i p i + H i t dt (ja muista Lagrange: ṗ i = L/ ), saamme Hamiltonin liikeyhtälöt: ṗ i = H q i = H p i L t = H t

8 1 Todistus: ṗi = H = 0. Perjantai /20 Hamiltonin liikeyhtälöt Lagrangen liikeyhtälöt, vapausasteiden määrä (n kpl) 2.krtl differentiaaliyhtälöitä: d L L = 0 dt q i Hamiltonin liikeyhtälöt, 2n kpl 1.krtl differentiaaliyhtälöitä: ṗ i = H q i = H p i Siirtyminen 1.krtl DY:ihin on yleinen temppu matemaattisessa fysiikassa. Ongelmia ratkoessa tällä ei ole paljon väliä, mutta esim. numeerisia menetelmiä on tarjolla enemmän 1.krtl yhtälöryhmille sekä konseptuaalisesti tämä oli hyvin järkevää. Huom! Jos koordinaatti q i on syklinen H:ssa, niin p i on liikevakio. 1 Jos koordinaatti puuttuu L:stä, niin se puuttuu konstruktion myötä myös H:sta.

9 Perjantai /20 Kerrataan resepti Etsitään L({q}, { q}, t) = T U Määritellään p j = L q j Käännetään yhtälöt q j = q j ({q}, {p}, t). Kirjoitetaan H({q}, {p}, t) = j p j q j L({q}, { q}, t) q j = q j ({q},{p},t) Muodostetaan Hamiltonin liikeyhtälöt ṗ i = H q i = H p i Ratkaistaan p:t ja q:t ajan funktiona.

10 erjantai /20 Liike konservatiivisessa keskeisvoimakentässä L = 1 2 m(ṙ 2 + r 2 ϕ 2 ) U(r) { p r = mṙ p ϕ = mr 2 ϕ { ṙ ϕ = pr m = pϕ mr 2 H(r, ϕ, p r, p ϕ) = p r ṙ + p ϕ ϕ L = p2 r m + p2 ϕ mr 2 m 2 ( p 2 r = p2 r 2m + p2 ϕ 2mr 2 + U(r) ) m 2 + r 2 p2 ϕ m 2 r 4 + U(r) Liikeyhtälöt H = ṗ k q k U ϕ H p k = q k { pr m p2 ϕ mr 3 + U r p ϕ mr 2 = ṙ = ϕ = ṗ r = 0 = ṗ ϕ

11 erjantai /20 Hamiltonin funktion ominaisuuksia Hamiltonin funktion H(q, p, t) = q j p j L (summa!) aikaderivaatta pitkin rataa laskettiin edellä ja saimme: dh dt = H q j + H ṗ j + H q j p j t = ( ṗ j ) q j + q j ṗ j + H t = H t = L t Eli itse H on liikevakio, kun L ei riipu ekplisiittisesti ajasta. Konservatiiviselle systeemille H = T + U = E on systeemin säilyvä kokonaisenergia. Esim.: L = 1 2 m(ẋ2 + ẏ 2 + ż 2 ) U( r) H(q, p, t) = q j p j L = mẋẋ + mẏẏ + mżż 1 2 m(ẋ2 + ẏ 2 + ż 2 ) + U = 1 2 m(ẋ2 + ẏ 2 + ż 2 ) + U = T + U = E

12 H:n ja E:n yhteydestä Liikkuva (nopeus v 0 ) massaton kärry + jousen (jousivakio k) varassa oskilloiva massa m. Massa ohittaa tasapainopisteessään origon hetkellä t = 0. L(x, ẋ, t) = T U = 1 2 mẋ2 1 2 k(x v 0t) 2 mẍ = k(x v 0 t) H on kokonaisenergia, muttei vakio. Ulkoinen voima tekee työtä, jotta kärryn vauhti pysyy vakiona. H(x, p, t) = T +U = p2 2m k(x v 0t) 2 Muuttujan vaihdos x = x v 0 t mẍ = kx (harmoninen oskillaattori) L(x, ẋ ) = 1 2 mẋ 2 +mẋ v mv kx 2 H(x, p ) = (p mv 0 ) 2 2m kx 2 mv H säilyy, muttei ole systeemin kokonaisenergia. H:lla ja H :lla eri suuruus, aikariippuvuus ja funktionaalinen muoto, mutta molemmista saadaan samat liikeyhtälöt! Perjantai /20

13 Perjantai /20 Varatun hitun liike Sähkömagneettisilla kentillä on potentiaaliesitys { E = Φ t A B = A jonka ansiosta Lorentzin voima F = q( E + v B) uppoaa Lagrangen formalismiin: F i = U + d ( ) U, U( r, r i ) = q(φ r A) r i dt ṙ i Näin siis varatun hitun Lagrangen funktio on L = 1 2 m r 2 U( r, r) Jos r i on syklinen (eli Φ ja A ei riipu r i :stä) niin on liikevakio. Hamiltonin funktio p i = L ṙ i = mṙ i + qa i H = ṙ i p i L = 1 2m ( p q A) 2 + qφ

14 Varatun hitun liike {ṙi ṗ i H = ṙ i p i L = 1 2m ( p q A) 2 + qφ = H p i = H r i = p i qa i m = q Φ + q r i m p A q2 A A r i m r i p i = mṙ i + qa i m r i = ṗ i qȧ i = q Φ + q r i m (mṙ j + qa j ) A j q2 r i m A A j j r i q A t qṙ A i j r j = q Φ A ( i Ai +ṙ j A ) j r i t r }{{} j r i = q(e i + ɛ ijk ṙ j B k ) }{{} E i ɛ ijk ( A) k =ɛ ijk B k Eli m r = q( E + r B). Esitykset siis ekvivalentit! Miksi siis Hamilton? systeemin kvantisointi usein koordinaatisto, jossa paljon syklisiä koordinaatteja liikeyhtälöt helppo ratkaista (p i :t liikevakioita) Perjantai /20

15 erjantai /20 Hamiltonin liikeyhtälöt variaatioperiaatteesta H = i p i q i L 1. suorat laskut H/ q j = ṗ j, H/ p j = q j, dh/dt = L/ t 2. variaatioperiaate δ Ldt = 0: kohdellaan δq i ja δp i riippumattomasti! (Huomaa, että tämä on eri kuin Lagrangen formalismissa, jossa δ q i :n variointi seurasi suoraan δq i variaatiosta.) t2 ( ) t2 δ Ldt = δ p i q i H dt t 1 t 1 i t2 = t 1 i t2 = t 1 i ( p i δ q i + δp i q i H δq i H p i δp i ) dt ([ q i H ] [ δp i + ṗ i H ] ) δq i dt + p i [ ] t2 p i δq i i t 1 Hakasulkeista saadaan Hamiltonin yhtälöt (δp i ja δq i mv): q i = H/ p i ja ṗ i = H/, kun vaaditaan δq i (t 1 ) = δq i (t 2 ) = 0. Huomaa, että δp i voivat olla vapaita päätepisteissä t = t 1 ja t = t 2 ; kaikesta huolimatta emme siis kuitenkaan täysin onnistuneet pitämään q i ja p i täysin symmetrisessä asemassa tässä formalismissa. Tietenkin halutessaan voi lisäksi vaatia δp i (t 1 ) = δp i (t 2 ) = 0...

16 Perjantai /20 Poissonin sulut Tarkastellaan seuraavaksi hyvin formaalia, algebrallista klassisen mekaniikan esitystä, joka saa sen näyttämään lähes identtiseltä kvanttimekaniikan kanssa. Aloitetaan määritelmällä. Olkoon f (p, q) ja g(q, p) kaksi mv funktiota faasiavaruudessa. Silloin Poissonin sulut ovat {f, g} = f g p i f p i g (summaus!) Ominaisuuksia {f, g} = {g, f } lineaarisuus: {αf + βg, h} = α{f, h} + β{g, h} kaikilla α, β R Leibnizin sääntö: {fg, h} = f {g, h} + {f, h}g (seuraa suoraan derivoinnin ketjusäännöstä) Jacobin identiteetti: {f, {g, h}} + {g, {h, f }} + {h, {f, g}} = 0 (suora lasku todeta, että kaikki 24 termiä kumoavat toisensa) Toisin sanoen, Poissonin sulut {, } toteuttavat saman algebrallisen rakenteen kuin matriisikommutaattori [, ] ja differentiaalioperaattori d. 2 2 Tällä on kvanttimekaniikassa suora vastaavuus Heisenbergin ja Schrödingerin kuvan kanssa.

17 erjantai /20 Poissonin sulut Vastaavuus kvanttimekaniikkaan on ilmeinen, kun laskemme Poissonin sulut kanonisille koordinaateille itselleen: {q i, q j } = 0 {p i, p j } = 0 {q i, p j } = δ ij Väite, mv funktiolle f ({q i }, {p i }, t) pätee: Todistus: df f = {f, H} + dt t df dt = f ṗ i + f q i + f p i t = f H + f H + f f = {f, H} + p i p i t t

18 Perjantai /20 Poissonin sulut df f = {f, H} + dt t Eräs seuraus tästä on se, että jos löydämme funktion I (p, q), joka toteuttaa: {I, H} = 0 silloin I on liikevakio. Sanomme, että I ja H Poisson-kommutoi. Esimerkkinä oletetaan, että q i on syklinen (eli ei esiinny H:ssa), silloin {p i, H} = 0 Tämä on tapa nähdä yhteys syklisten koordinaattien sekä liikevakioiden välillä Poissonin sulkukielellä. Huom. jos I ja J ovat liikevakioita, niin {{I, J}, H} = {I, {J, H}} + {{I, H}, J} = 0 eli {I, J} on myös liikevakio. Tällöin sanotaan, että liikevakiot muodostavat suljetun algebran Poissonin suluilla.

19 erjantai /20 Esimerkki: liikemäärämomentti Tarkastellaan liikemäärämomenttia L = r p. Komponenttimuodossa: L 1 = r 2 p 3 r 3 p 2, L 2 = r 3 p 1 r 1 p 3, L 3 = r 1 p 2 r 2 p 1 ja lasketaan sitten Poissonin sulku: {L 1, L 2 } = {r 2 p 3 r 3 p 2, r 3 p 1 r 1 p 3 } = {r 2 p 3, r 3 p 1 } + {r 3 p 2, r 1 p 3 } = r 2 p 1 + p 2 r 1 = L 3 Eli jos L 1 ja L 2 ovat liikevakioita, niin silloin myös L 3 on myös liikevakio. Tai toisin sanoen, koko vektori L on liikevakio, jos jotkin kaksi sen komponenttia ovat. Voimme myös helposti todeta, että {L 2, L i } = 0 missä L 2 = i L2 i. Tämä tulee myöskin tutuksi kvanttimekaniikan kurssilla!

20 Perjantai /20 Esimerkki: tasoliike konservatiivisessa potentiaalissa Käytetään napakoordinaatteja: L = 1 2 m(ṙ 2 + r 2 ϕ 2 ) U(r, ϕ) { pr = L = mṙ ṙ p ϕ = L ϕ = mr 2 ϕ { ṙ ϕ = pr m = pϕ mr 2 H(r, ϕ, p r, p ϕ) = p2 r 2m + p2 ϕ + U(r, ϕ) 2mr 2 ṗ ϕ = {p ϕ, H} = 1 { pϕ, pr 2 2m + p2 ϕ r 2} + {p ϕ, U} = U ϕ jos = 0, niin silloin p ϕ on liikevakio. ṗ r = {p r, H} = 1 2m joka on siis radiaalinen Newtonilainen yhtälö. { pr, pr 2 + p2 ϕ r 2} + {p r, U} }{{}}{{} pϕ 2 {pr,r 2 }= pϕ 2 r r 2 U r = p2 ϕ mr 3 U r