Matematiikan tukikurssi

Transkriptio

1 Matematiikan tukikurssi Kertausluento 2. välikokeeseen Toisessa välikokeessa on syytä osata ainakin seuraavat asiat:. Potenssisarjojen suppenemissäde, suppenemisväli ja suppenemisjoukko. 2. Derivaatan laskeminen määritelmän avulla. 3. Tangenttisuoran ja normaalisuoran yhtälöt. 4. Dierentiaalikehitelmien muodostaminen. 5. Derivoimissäännöt: potenssifunktion derivaatta, tulon derivoimissääntö, osamäärän derivoimissääntö sekä vaikeampina sääntöinä ketjusääntö ja käänteisfunktion derivoimissääntö. Logaritminen derivointi. 6. Taylorin sarjat. Sarjakehitelmät. 7. Väliarvolause. 8. Derivoinnin sovelluksia: funktion nollakohtien määrän löytäminen, suurimman ja pienimmän arvon löytäminen. 9. Newtonin menetelmä. 0. Logaritmit ja eksponentiaalifunktiot.. Trigonometriset funktiot. Alla tehtäviä näistä osaan liittyen.

2 Potenssisarjojen suppenemissäde Harjoitus. Etsi geometrisen sarjan suppenemissäde. Suppeneeko kyseinen sarja suppenemissäteen päätepisteissä? Tässä a n =, joten n a n a n+ x n =. Täten suppenemissäde on, eli kyseinen sarja suppenee ainakin kun x (, ). On vielä tarkistettava erikseen välin päätepisteet. Kun x =, saadaan sarja n = , joka selvästi hajaantuu. Samoin, kun x =, sarja ( ) n = ei lähesty mitään tiettyä lukua, joten se hajaantuu. Täten suppenemisväli on avoin väli (, ). Tämä varmistaa aikaisemmin kurssilla mainitun seikan geometrisista sarjoista: ne suppenevat, jos suhdeluku q <. Harjoitus 2. Etsi sarjan suppenemissäde. Suppeneeko kyseinen sarja suppenemissäteen päätepisteissä? n= Koska a n = /n, on a n n a n+ /n n /(n + ) n + n n =, Ne voivat supeta myös arvoilla q = ±. Nämä arvot pitää tarkistaa erikseen. x n n 2

3 joten sarja suppenee, kun x (, ). Jälleen on tarkistettava välin päätepisteet erikseen. Kun x =, syntyy harmoninen sarja n, joka hajaantuu. Kun x =, syntyy suppeneva sarja ( ) n n. Täten suppenemisväli on [, ) eli puoliavoin väli miinus yhdestä yhteen. Esimerkin tarkoitus oli osoittaa, että suppenemissäteen päätepisteissä sarja voi joko supeta tai hajaantua vieläpä siten, että se hajaantuu toisessa päätepisteessä ja suppenee toisessa. Harjoitus 3. Etsi geometrisen sarjan suppenemissäde. (x 0) n Tämä on 0-keskeinen potenssisarja. Tehdään sijoitus (y=x- 0), jolloin saadaan origokeskeinen sarja Tämä on täsmälleen sama kuin harjoituksen sarja. Se siis suppenee, kun <y < y n <x 0 < 9 <x < Täten sarjan suppenemisväli on [9, ). Harjoitus 4. Etsi potenssisarjan n 3 (x ) n 3

4 suppenemissäde. Suppenemissäde on a n n a n+ n 3 n (n + ) 3 n 3 n n 3 + 3n 2 + 3n + =. Täten sarjan suppenemissäde, kun < x < 0 < x < 2. Harjoitus 5. Etsi potenssisarjan suppenemissäde. (3x + 7) n n= Suppenemissäde on a n n a n+ /n 2 n /(n + ) 2 (n + ) 2 =. n Täten sarjan suppenemissäde, kun < 3x + 7 < 8/3 < x < 2. Harjoitus 6. Etsi potenssisarjan suppenemissäde. n= n 2 n 2 n! n n xn 4

5 Suppenemissäde on a n n a n+ n!/n n n (n + )!/(n + ) n+ (n + ) n+ n n n (n + ) (n + ) n n n n ( ) n n + n n = e. Täten sarjan suppenemissäde, kun e < x < e. 2 Derivointia ja sen sovelluksia Kokeessa on syytä osata derivoimissäännöt hyvin, sillä niitä tarvitaan useissa tehtävissä. Erityisesti osamääräsääntö ja yhdistetyn funktion derivoimissääntö on hyvä opetella huolella. Harjoitus 7. Derivoi funktio f(x) = 3x erotusosamäärän avulla. Derivaatta on erotusosamäärän raja-arvo eli f (x 0 ) x x0 f(x) f(x 0 ) x x 0 3x 3x 0 x x0 x x 0 3(x x 0 ) x x0 x x 0 3 x x0 = 3. Harjoitus 8. Derivoi funktio f(x) = x erotusosamäärän avulla. Laske pisteeseen x = piirretyn tangentin yhtälö. Laske x 0+ f (x). 5

6 f f(x) f(x 0 ) (x 0 ) x x0 x x 0 x x0 x x0 x x 0 ( x x0 )( x + x 0 ) x x0 (x x 0 )( x + x 0 ) x x 0 x x0 (x x 0 )( x + x 0 ) x x0 ( x + x 0 ) = 2 x 0 Tangenttisuoran yhtälö on y y 0 = f (x 0 )(x x 0 ) Tangenttisuoraan pitää nyt sijoittaa arvot x 0 =, y 0 = ja f () = /2. Täten pisteeseen x = piirretyn tangentin yhtälö on y = /2(x ) y = x/2 + /2 Kun x 0+, f (x) = /(2 x) (huomaa että x 0 f (x) ei ole olemassa, koska neliöjuuri ei ole määritelty negatiivisille luvuille.) Harjoitus 9. Derivoi x 2 e x. Harjoitus 0. Derivoi x 0 ln x 0 d dx x2 e x = 2xe x + x 2 e x d dx (x0 ln x 0 ) = 0x 9 ln x x x0 = 0x 9 ln x 0 + 0x 9 Harjoitus. Derivoi e x3 x 2 6

7 Harjoitus 2. Derivoi d e x3 dx x 2 = 3x2 e x3 x 2 2xe x3 x 4 e x3 f(x) d e x3 dx f(x) = 3x2 e x3 f(x) f (x)e x3 (f(x)) 2 Harjoitus 3. Derivoi cos x 4 4x d cos x 4 dx 4x = 4x3 ( sin x 4 )4x 4 cos x 4 6x 2 = 4x2 sin x 4 cos x 4 4 Harjoitus 4. Derivoi x x3 Derivoidaan logaritmisesti: ln x x3 = x 3 ln x. Tämän derivaatta saadaan tulosäännön avulla: d dx x3 ln x = 3x 2 ln x + x 2. Täten logaritmisella derivoinnilla saadaan Harjoitus 5. Derivoi x 3 + d (ln xx3) = x x3 (3x 2 ln x + x 2 ). dx d x3 + = dx 3x 2 2 x 3 + 7

8 Harjoitus 6. Derivoi cos(sin x). d cos(sin x) = sin(sin x) cos x ketjusäännön nojalla. dx Harjoitus 7. Derivoi ln(x 2 + ). d dx ln(x2 + ) = 2x x 2 +. Harjoitus 8. Oletetaan että f ja sen käänteisfunktio f ovat derivoituvia. Tiedetään, että f(0) = ja f (0) = 2. Laske (f ) (). Käänteisfunktion derivoimissäännön mukaan (f )(x) = Valitaan x =. Nyt laskettavana on (f )() = f (f (x)). f (f ()). Koska f(0) =, f () = 0. Sijoittamalla tämä ja tehtävänannossa annettu f (0) = 2 saadaan (f )() = f (f ()) = f (0) = 2. Harjoitus 9. Etsi kaava f (n) :lle kun f(x) = e ax. Tee sama funktiolle g(x) = x. Selvästi f (x) = ae ax ja f (x) = a 2 e ax. Tästä on helppo muodostaa väite: f (n) = a n e ax. Todistus on helppo muodostaa induktiolla: väite pätee arvolla n = ja väitteen pätemisestä arvolla n voi päätellä väitteen pätevän arvolla n + : f (n) = a n e ax f (n+) = a n+ e ax. 8

9 Harjoitus 20. Arvioi lukua 50 dierentiaaliapproksimaatiolla. Dierentiaaliapproksimaation kaava on f(x 0 + h) f(x 0 ) + hf (x 0 ). Tässä ideana on valita jokin piste x 0, ja edetä tästä pisteestä h:n pituinen matka oikealle tai vasemmalle. Nyt funktion arvo pisteessä x 0 + h on kutakuinkin sama kuin funktion arvo pisteessä x 0 plus funktion muutosnopeus pisteessä x 0 (eli funktion derivaatta tässä pisteessä) kertaa kuljettu matka, h. Kun meillä on luku 50, on luonnollista valita funktioksi f(x) = x. Haluttu arvo, jota approksimoidaan, on 50 eli x 0 + h = 50. Nyt saamme vapaasti valita x 0 :n siten, että approksimaatio olisi mahdollisimman helppo tehdä. Luonnollista on valita x 0 = 49, jolloin f(x 0 ) = 7 ja f (x 0 ) = /2 49 = /4, joten f(x 0 + h) f(x 0 ) + hf (x 0 ). f(50) 7 + /4. Harjoitus 2. Etsi f (x), kun d (f(3x)) =. dx Ketjusäännön mukaan d dx f(3x) = 3f (3x) =. Tästä saadaan f (3x) = /3. Toisin sanottuna funktion derivaatta on vakio: /3. Täten f (x) = /3. Harjoitus 22. Etsi funktion f(x) = sin x maksimi ja minimi välillä [0, 2π]. Kyseinen maksimi on pisteessä π/2 ja minimi pisteessä 3π/2. Derivoi funktio ja laita derivaatta nollaksi. Varmista derivaatan nollakohtien laatu (minimi/maksimi) joko derivoimalla funktio toiseen kertaan ja tarkistamalla funktion etumerkki tai merkkikaavion avulla. Koska kyseessä on suljettu väli, funktion maksimi ja/tai minimi tällä välillä voi olla myös välin päätepisteissä, joten tarkista myös funktion arvo näissä pisteissä. Harjoitus 23. Oletetaan, että f(0) = 0 ja 0 f (x). Millä välillä f() on? Entä f(0)? Väliarvolauseen mukaan välillä (0, ) on olemassa ξ siten että f() f(0) = f (ξ)( 0). 9

10 Koska funktion derivaatta on välillä yhdestä nollaan, edellisen lausekkeen oikea puoli on myös tällä välillä. Täten myös edellisen lausekkeen vasen puoli on välillä yhdestä nollaan. Eli 0 f() f(0) f(0) f() + f(0). Koska f(0) = 0, f() on välillä yhdestä nollaan. f(0) ratkaistaan vastaavasti. Harjoitus 24. Todista väliarvolauseen avulla, että cos b cos a b a Väliarvolause kertoo, että kaikilla derivoituvilla funktioilla f(b) f(a) = f (ξ)(b a) jollakin luvulla ξ (a, b). Kyseessä oleva funktio on f(x) = cos x. Täten f(b) = cos b ja f(a) = cos a. Funktion derivaatta f (x) = sin x. Täten f (ξ) = sin ξ. Täten funktion f(x) = cos x kohdalla väliarvolause kertoo, että cos b cos a = ( sin ξ)(b a) jollakin ξ (a, b). Koska sin x, sin x. Täten funktion cos x derivaatta on välillä yhdestä miinus yhteen. Eli sin ξ cos b cos a b a (b a) cos b cos a (b a) cos b cos a b a. Harjoitus 25. Olkoon f(x) = x 5 + x + 0. Laske (f ) (0). Käänteisfunktion derivoimissäännön mukaan (f )(x) = f (f (x)). Lasketaan ensin funktion derivaatta: f (x) = 5x 4 +. Katsotaan vielä kerran mitä meidän pitää laskea. Käänteisfunktio derivaatta on laskettava pisteessä x = 0 eli meidän on laskettava (f )(0) = f (f (0)). 0

11 Tiedossa on funktion f derivaatta. Nyt tämä derivaatta pitäisi laskea pisteessä f (0). Mutta mikä tämä piste on? Tämän voi ratkaista seuraavasti: f (0) = y 0 = f(y). Funktion lausekkeesta nähdään, että kyseinen funktio saa arvon 0 kun x = 0. Täten f(0) = 0 f (0) = 0. Täten laskemme funktion derivaatan pisteessä nolla: Harjoitus 26. Laske (f )(0) = f (f (0)) = f (0) = = e ψ ψ 0 sin ψ. Kyseinen raja-arvo on muotoa 0, joten voimme käyttää L'Hospitalin 0 sääntöä: e ψ ψ 0 sin ψ e ψ ψ 0 cos ψ = Harjoitus 27. Määritä funktion f(x) = x 3 + 2x 2 kuperuussuunnat ja käännepisteet. Funktion kuperuussuunnat (eli sen konkaavius/konveksisuus) määrittyvät sen toisen derivaatan etumerkin perusteella. Koska f (x) = 3x 2 + 4x, f (x) = 6x + 4. Funktio on konkaavi kun f > 0 ja konveksi kun f < 0. Käännepiste on piste jossa f = 0. Täten funktio on konkaavi, kun ja konveksi kun 6x + 4 > 0 x > 4/6 = 2/3 6x + < 0 x < 2/3. Käännepiste ratkaisee yhtälön 6x + 4 = 0. Täten käännepiste on x = 2/3. Harjoitus 28. Laske f 9 (0) ja f 0 (0), kun f(x) = /( x 3 ).

12 Kirjoitetaan tämä funktio sarjakehitelmänä. Tämä on sallittua, silloin kun x : f(x) = /( x 3 ) = + x 3 + x 6 + x 9 + x 2 +. Kun tämän derivoi yhdeksän kertaa, niin kaikki potenssit, jotka ovat alle 9 häviävät. Toisaalta koska tämä derivaatta arvioidaan pisteessä x = 0, niin kaikki termit, joiden potenssi on yli yhdeksän häviävät myös. Sen sijaan termin x 9 yhdeksäs derivaatta jää. Se on 9!, joten f 9 (0) = 9!. Sen sijaan f 0 (0) = 0, koska funktiossa ei esiinny termiä x 0. 2