J 2 = J 2 x + J 2 y + J 2 z.

Transkriptio

1 FYSA5 Kvanttimekaniikka I, Osa B.. tentti: 4 tehtävää, 4 tuntia. Tarkastellaan pyörimismääräoperaattoria J, jonka komponentit toteuttavat kommutaatiorelaatiot [J x, J y ] = i hj z, [J y, J z ] = i hj x, [J z, J x ] = i hj y. a) p.) Pyörimismäärän neliö on J = J x + J y + J z. Osoita, että jokainen J:n komponentti kommutoi J :n kanssa. b) p.) Määritellään operaattorit J ± = J x ± ij y. Osoita, että ja [J z, J ± ] = ± hj ±, [J, J ± ] = J + J = J J z + hj z, J J + = J J z hj z. c) p.) a)-kohdan tuloksen perusteella J :lla ja yhdellä J:n komponentilla olkoon tämä komponentti J z on yhteiset ominaistilat. Merkitään ominaistiloja jm ja oletetaan, että niille pätee J jm = jj + ) h jm, J z jm = m h jm. Osoita, että J + nostaa ja J laskee J z :n ominaisarvoa h:n verran. Osoita myös, että J + ja J eivät muuta J :n ominaisarvoa. Toisin sanoen osoita, että J z J ± jm = m ± ) hj ± jm, J J ± jm = jj + ) h J ± jm.. a) p.) Pallosymmetrisessä potentiaalissa V r) liikkuvan hiukkasen aaltofunktio toteuttaa Schrödingerin yhtälön h r ψ ) nlm + m r r r mr L ψ nlm + V r)ψ nlm = Eψ nlm, missä L on vain kulmista riippuva operaattori. Johda tästä sijoitusten ψ nlm r) = R nl r)y lm θ, φ) ja R nl r) = u nl r)/r kautta radiaaliselle aaltofunktiolle u nl r) yhtälö h d u nl r) h ) ll + ) + + V r) u m dr mr nl r) = Eu nl r). ) Muista, että palloharmoniset funktiot Y lm θ, φ) ovat operaattorin L ominaisfunktioita ominaisarvolla h ll + ). b) p.) Oletetaan, että V r) kun r, ja että pienillä r:n arvoilla V r) kasvaa äärettömäksi hitaammin kuin /r. Ratkaise yhtälöstä ) funktion u nl r) asymptoottinen muoto suurilla ja pienillä r:n arvoilla.

2 . Tarkastellaan spin- hiukkasen hiukkanen ) ja spin-/ hiukkasen hiukkanen ) muodostamaa systeemiä. a) p.) Kirjoita kaikki kytketyn kannan tilat kytkemättömien tilojen avulla. Clebsch Gordan -kertoimet saa katsoa taulukosta.) b) p.) Olkoon systeemin Hamiltonin operaattori H = E h S S, missä E on vakio, ja S ja S ovat hiukkasten ja spinoperaattorit. Mitä tuloksia on mahdollista saada, jos systeemin energia mitataan? c) p.) Oletetaan, että kummankin hiukkasen spin on mitattu z-akselin suunnassa, ja saatu tulos + h hiukkaselle ja + h/ hiukkaselle. Jos systeemin energia mitataan välittömästi tämän mittauksen jälkeen, mitkä ovat eri energian arvoihin liittyvät todennäköisyydet? 4. Tarkastellaan Hamiltonin operaattoria H = H + H missä E H = E ) H = ia ia ), ja häiriö a E E. Ominaisenergioita E ja E vastaavat häiritsemättömän järjestelmän ominaistilat ) ) ) = ) =. a) p.) Oletataan E E, eli järjestelmällä on kaksi degeneroitumatonta ominaisenergiaa. Laske häiriöteoriaa käyttäen ensimmäisen ja toisen kertaluvun korjaukset energioihin E ja E. b) p.) Olkoon sitten E = E. Laske häiriöteoreettiset ensimmäisen kertaluvun energiakorjaukset tässä tapauksessa. c) p.) Ratkaise Hamiltonin operaattorin H = H + H ominaisarvot eksaktisti ja vertaa edellisissä kohdissa laskemiisi tuloksiin. Kehitelmästä + x + x / +... saattaa olla apua vertailussa.

3 Hyötytietoa: e ix = cos x + i sin x e iπ + = sin x = e ix e ix) i cos x = e ix + e ix) sinx) = sin x cos x cosx) = cos x sin x cos x) = x sin + cos x) = x cos d n fx ) fx) = x x n! dx n ) n e x x n = n! n= n= dx x n e cx = n! π dx e cx = c n+ c dx x e cx = π dx x 4 e cx = π c 4 c 5 dx δx x )fx) = fx ) fk) = π dx δx x ) = dx e ikx fx) fx) = π dx e ikx fk) i h d ψt) = H ψt) dt Ut) = e iht/ h A = A A A B [A, B] x p h E t h d A = ī A dt h [A, H] + t H = P m + V x) [X, P ] = i h ψx) = x ψ X = x P = i h d dx ψx, t) i h t d H = h m dx + V x) = h ψx, t) + V x)ψx, t) m x h d ψx) + V x)ψx) = Eψx) m dx c = m/s h =.55 4 Js q e =.6 9 C ɛ = C Nm µ = 4π 7 N A m e = 9.9 kg

4 Ut) = e iht/ h T a) = e i P a/ h iθ n J/ h R n θ) = e [J x, J y ] = i hj z [J y, J z ] = i hj x [J z, J x ] = i hj y J = J x + J y + J z J ± = J x ± ij y [J z, J ] = [J z, J ± ] = ± hj ± [J +, J ] = hj z J jm = h jj + ) jm S = h σ σ x = J z jm = m h jm J ± jm = h jj + ) mm ± ) j, m ± ) ) i σ y = σ i x = ) σ i σ j σ j σ i = i k ɛ ijk σ k σ i σ j + σ j σ i = δ ij E ) n = m q H = µ B j j, jm = ψ ) m V ψ ) n E n ) E m ) µ = γ S = g q m S g e m,m j m, j m jm j m j m E ) n = ψ ) n V ψ ) n ψ n ) = ψ m ) V ψ ) m q E n ) E m ) Spin- hiukkasen spinoperaattorin komponentit: S x = h, S y = h i i i, i Harmoninen oskillaattori: Vetyatomi: a = mω h X + H = P m + mω X = hωa a + ) i hmω P a = mω h X n ψ ) m S z = h. i hmω P a n = n n a n = n + n + H n = hωn + ) n a = h me = 5.9 m E = me4 h =.6 ev ψ r) = ψ r) = πa e r/a r ) e r/a πa a ψ r, θ) = r e r/a cos θ πa a ψ ± r, θ, φ) = r e r/a sin θe ±iφ πa a

5 4. Clebsch-Gordan coefficients - 4. CLEBSCH-GORDAN COEFFICIENTS, SPHERICAL HARMONICS, AND d FUNCTIONS Note: A square-root sign is to be understood over every coefficient, e.g., for 8/5 read 8/5. Notation: m / / m + Y = 4π cos θ 5/ / m +/ +/ +5/ 5/ / m Coefficients +/ +/. +/ / / / + +/ Y = / +/ / / sin θeiφ + / /5 4/5 5/ /.. / / 8π + +/ 4/5 /5 +/ +/ 5 Y = 4π cos θ ) + / /5 /5 5/ / +/ /5 /5 / / / / +/ / / / /5 /5 5/ / + +/ +/ +/ 5 Y = +/ /5 /5 / / sin θ cos θeiφ 8π + / / / / / / 4/5 /5 5/ Y = / / + / / +/ / / +/ /5 4/5 5/ 5 4 π sin θe iφ +/ +/ + + / / / / / +/ / / / +/ / /4 /4 +/ +/ /4 /4 / 5/ + / +/ / / / +5/ 5/ / / + +/ +/ / +/ / / + / / +/ /5 /5 5/ / / / / /4 /4 + + / / / + /5 /5 +/ +/ +/ / +/ /4 /4 + /5 / /5 +/ / /5 / / / + 8/5 /6 / +/ /5 /5 / 5/ / / + + /5 / / / + / 8/5 /6 / / / /5 / / +/ / 8/5 /6 + / / /5 /5 / /5 /5 / 5/ / + / / + /5 / / / + / /5 / / / + /6 / / /5 / / / /5 /5 5/ / / 8/5 /6 / / /5 /5 5/ + /6 / / + /5 / /5 / Yl m = ) m Yl m / / / / / / / / j j m m j j JM 4π d l = ) J j j j m, = j m m j j JM l + Ym l e imφ d j m,m = )m m d j m,m = d j / / m, m + d, =cosθ d/ /,/ =cosθ d, = + cos θ +/ +/ + + / 7/ +/ +/ / / d / /, / = sin θ d, = sin θ +7/ 7/ 5/ +/ +/ / / / +5/ +5/ +/ / /5 / / + +/ /7 4/7 7/ 5/ / +/ +/ /5 /5 d, = cos θ + +/ 4/7 /7 +/ +/ +/ / +/ /5 / / + / /7 6/5 /5 +/ / / /4 9/ /4 + +/ 4/7 /5 /5 7/ 5/ / / 4 +/ / 9/ /4 / /4 +/ /7 8/5 /5 +/ +/ +/ +/ +4 4 / +/ 9/ /4 / / / /5 6/5 /5 /5 / +/ / /4 9/ /4 + / /5 5/4 / + + / / / / / 8/5 7/ 5/ +/ 4/5 7/7 / / / +/ / /5 / / /5 /5 /5 / / / /5 /5 /5 / / / / +/ /5 / / + /4 / /7 + / 4/5 7/7 /5 / + + 4/7 /7 4 / / / / / 8/5 /5 /5 /5 + /4 / / / / / / +/ /5 5/4 / 7/ 5/ / + /4 / /7 /5 +/ /5 6/5 /5 /5 / / / / / + /7 /5 /4 / / /7 8/5 /5 + /7 /5 /4 / 4 / 4/7 /5 /5 7/ 5/ + /4 / /7 /5 +/ /7 6/5 /5 5/ 5/ + /7 / /7 /5 /5 / 4/7 /7 7/ + 8/5 /5 /4 / /5 / /7 4/7 7/ 8/5 /7 /5 d / /,/ = + cos θ cos θ + 8/5 /5 /4 / /5 4 / + /7 / /7 /5 /5 + /4 / /7 /5 d / /,/ = + cos θ sin θ + cos θ ) d, = /7 /5 /4 / /7 /5 /4 / 4 + /4 / /7 /5 d / /, / = cos θ cos θ d + cos θ /4 / /7, = sin θ 4/7 /7 4 d / cos θ = sin θ 6 d /, /, = 4 sin θ d, = + cos θ /4 / /7 cos θ ) / / 4 d / /,/ = cosθ cos θ / / 4 d cos θ, = sin θ d, = sin θ cos θ d / /, / = cosθ+ sin θ cos θ ) d, = d, = cos θ cos θ +) d, = cos θ ) Figure 4.: The sign convention is that of Wigner Group Theory, Academic Press, New York, 959), also used by Condon and Shortley The Theory of Atomic Spectra, Cambridge Univ. Press, New York, 95), Rose Elementary Theory of Angular Momentum, Wiley, New York, 957), and Cohen Tables of the Clebsch-Gordan Coefficients, North American Rockwell Science Center, Thousand Oaks, Calif., 974). The coefficients here have been calculated using computer programs written independently by Cohen and at LBNL. J M J M......