J 2 = J 2 x + J 2 y + J 2 z.

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Koko: px
Aloita esitys sivulta:

Download "J 2 = J 2 x + J 2 y + J 2 z."

Transkriptio

1 FYSA5 Kvanttimekaniikka I, Osa B.. tentti: 4 tehtävää, 4 tuntia. Tarkastellaan pyörimismääräoperaattoria J, jonka komponentit toteuttavat kommutaatiorelaatiot [J x, J y ] = i hj z, [J y, J z ] = i hj x, [J z, J x ] = i hj y. a) p.) Pyörimismäärän neliö on J = J x + J y + J z. Osoita, että jokainen J:n komponentti kommutoi J :n kanssa. b) p.) Määritellään operaattorit J ± = J x ± ij y. Osoita, että ja [J z, J ± ] = ± hj ±, [J, J ± ] = J + J = J J z + hj z, J J + = J J z hj z. c) p.) a)-kohdan tuloksen perusteella J :lla ja yhdellä J:n komponentilla olkoon tämä komponentti J z on yhteiset ominaistilat. Merkitään ominaistiloja jm ja oletetaan, että niille pätee J jm = jj + ) h jm, J z jm = m h jm. Osoita, että J + nostaa ja J laskee J z :n ominaisarvoa h:n verran. Osoita myös, että J + ja J eivät muuta J :n ominaisarvoa. Toisin sanoen osoita, että J z J ± jm = m ± ) hj ± jm, J J ± jm = jj + ) h J ± jm.. a) p.) Pallosymmetrisessä potentiaalissa V r) liikkuvan hiukkasen aaltofunktio toteuttaa Schrödingerin yhtälön h r ψ ) nlm + m r r r mr L ψ nlm + V r)ψ nlm = Eψ nlm, missä L on vain kulmista riippuva operaattori. Johda tästä sijoitusten ψ nlm r) = R nl r)y lm θ, φ) ja R nl r) = u nl r)/r kautta radiaaliselle aaltofunktiolle u nl r) yhtälö h d u nl r) h ) ll + ) + + V r) u m dr mr nl r) = Eu nl r). ) Muista, että palloharmoniset funktiot Y lm θ, φ) ovat operaattorin L ominaisfunktioita ominaisarvolla h ll + ). b) p.) Oletetaan, että V r) kun r, ja että pienillä r:n arvoilla V r) kasvaa äärettömäksi hitaammin kuin /r. Ratkaise yhtälöstä ) funktion u nl r) asymptoottinen muoto suurilla ja pienillä r:n arvoilla.

2 . Tarkastellaan spin- hiukkasen hiukkanen ) ja spin-/ hiukkasen hiukkanen ) muodostamaa systeemiä. a) p.) Kirjoita kaikki kytketyn kannan tilat kytkemättömien tilojen avulla. Clebsch Gordan -kertoimet saa katsoa taulukosta.) b) p.) Olkoon systeemin Hamiltonin operaattori H = E h S S, missä E on vakio, ja S ja S ovat hiukkasten ja spinoperaattorit. Mitä tuloksia on mahdollista saada, jos systeemin energia mitataan? c) p.) Oletetaan, että kummankin hiukkasen spin on mitattu z-akselin suunnassa, ja saatu tulos + h hiukkaselle ja + h/ hiukkaselle. Jos systeemin energia mitataan välittömästi tämän mittauksen jälkeen, mitkä ovat eri energian arvoihin liittyvät todennäköisyydet? 4. Tarkastellaan Hamiltonin operaattoria H = H + H missä E H = E ) H = ia ia ), ja häiriö a E E. Ominaisenergioita E ja E vastaavat häiritsemättömän järjestelmän ominaistilat ) ) ) = ) =. a) p.) Oletataan E E, eli järjestelmällä on kaksi degeneroitumatonta ominaisenergiaa. Laske häiriöteoriaa käyttäen ensimmäisen ja toisen kertaluvun korjaukset energioihin E ja E. b) p.) Olkoon sitten E = E. Laske häiriöteoreettiset ensimmäisen kertaluvun energiakorjaukset tässä tapauksessa. c) p.) Ratkaise Hamiltonin operaattorin H = H + H ominaisarvot eksaktisti ja vertaa edellisissä kohdissa laskemiisi tuloksiin. Kehitelmästä + x + x / +... saattaa olla apua vertailussa.

3 Hyötytietoa: e ix = cos x + i sin x e iπ + = sin x = e ix e ix) i cos x = e ix + e ix) sinx) = sin x cos x cosx) = cos x sin x cos x) = x sin + cos x) = x cos d n fx ) fx) = x x n! dx n ) n e x x n = n! n= n= dx x n e cx = n! π dx e cx = c n+ c dx x e cx = π dx x 4 e cx = π c 4 c 5 dx δx x )fx) = fx ) fk) = π dx δx x ) = dx e ikx fx) fx) = π dx e ikx fk) i h d ψt) = H ψt) dt Ut) = e iht/ h A = A A A B [A, B] x p h E t h d A = ī A dt h [A, H] + t H = P m + V x) [X, P ] = i h ψx) = x ψ X = x P = i h d dx ψx, t) i h t d H = h m dx + V x) = h ψx, t) + V x)ψx, t) m x h d ψx) + V x)ψx) = Eψx) m dx c = m/s h =.55 4 Js q e =.6 9 C ɛ = C Nm µ = 4π 7 N A m e = 9.9 kg

4 Ut) = e iht/ h T a) = e i P a/ h iθ n J/ h R n θ) = e [J x, J y ] = i hj z [J y, J z ] = i hj x [J z, J x ] = i hj y J = J x + J y + J z J ± = J x ± ij y [J z, J ] = [J z, J ± ] = ± hj ± [J +, J ] = hj z J jm = h jj + ) jm S = h σ σ x = J z jm = m h jm J ± jm = h jj + ) mm ± ) j, m ± ) ) i σ y = σ i x = ) σ i σ j σ j σ i = i k ɛ ijk σ k σ i σ j + σ j σ i = δ ij E ) n = m q H = µ B j j, jm = ψ ) m V ψ ) n E n ) E m ) µ = γ S = g q m S g e m,m j m, j m jm j m j m E ) n = ψ ) n V ψ ) n ψ n ) = ψ m ) V ψ ) m q E n ) E m ) Spin- hiukkasen spinoperaattorin komponentit: S x = h, S y = h i i i, i Harmoninen oskillaattori: Vetyatomi: a = mω h X + H = P m + mω X = hωa a + ) i hmω P a = mω h X n ψ ) m S z = h. i hmω P a n = n n a n = n + n + H n = hωn + ) n a = h me = 5.9 m E = me4 h =.6 ev ψ r) = ψ r) = πa e r/a r ) e r/a πa a ψ r, θ) = r e r/a cos θ πa a ψ ± r, θ, φ) = r e r/a sin θe ±iφ πa a

5 4. Clebsch-Gordan coefficients - 4. CLEBSCH-GORDAN COEFFICIENTS, SPHERICAL HARMONICS, AND d FUNCTIONS Note: A square-root sign is to be understood over every coefficient, e.g., for 8/5 read 8/5. Notation: m / / m + Y = 4π cos θ 5/ / m +/ +/ +5/ 5/ / m Coefficients +/ +/. +/ / / / + +/ Y = / +/ / / sin θeiφ + / /5 4/5 5/ /.. / / 8π + +/ 4/5 /5 +/ +/ 5 Y = 4π cos θ ) + / /5 /5 5/ / +/ /5 /5 / / / / +/ / / / /5 /5 5/ / + +/ +/ +/ 5 Y = +/ /5 /5 / / sin θ cos θeiφ 8π + / / / / / / 4/5 /5 5/ Y = / / + / / +/ / / +/ /5 4/5 5/ 5 4 π sin θe iφ +/ +/ + + / / / / / +/ / / / +/ / /4 /4 +/ +/ /4 /4 / 5/ + / +/ / / / +5/ 5/ / / + +/ +/ / +/ / / + / / +/ /5 /5 5/ / / / / /4 /4 + + / / / + /5 /5 +/ +/ +/ / +/ /4 /4 + /5 / /5 +/ / /5 / / / + 8/5 /6 / +/ /5 /5 / 5/ / / + + /5 / / / + / 8/5 /6 / / / /5 / / +/ / 8/5 /6 + / / /5 /5 / /5 /5 / 5/ / + / / + /5 / / / + / /5 / / / + /6 / / /5 / / / /5 /5 5/ / / 8/5 /6 / / /5 /5 5/ + /6 / / + /5 / /5 / Yl m = ) m Yl m / / / / / / / / j j m m j j JM 4π d l = ) J j j j m, = j m m j j JM l + Ym l e imφ d j m,m = )m m d j m,m = d j / / m, m + d, =cosθ d/ /,/ =cosθ d, = + cos θ +/ +/ + + / 7/ +/ +/ / / d / /, / = sin θ d, = sin θ +7/ 7/ 5/ +/ +/ / / / +5/ +5/ +/ / /5 / / + +/ /7 4/7 7/ 5/ / +/ +/ /5 /5 d, = cos θ + +/ 4/7 /7 +/ +/ +/ / +/ /5 / / + / /7 6/5 /5 +/ / / /4 9/ /4 + +/ 4/7 /5 /5 7/ 5/ / / 4 +/ / 9/ /4 / /4 +/ /7 8/5 /5 +/ +/ +/ +/ +4 4 / +/ 9/ /4 / / / /5 6/5 /5 /5 / +/ / /4 9/ /4 + / /5 5/4 / + + / / / / / 8/5 7/ 5/ +/ 4/5 7/7 / / / +/ / /5 / / /5 /5 /5 / / / /5 /5 /5 / / / / +/ /5 / / + /4 / /7 + / 4/5 7/7 /5 / + + 4/7 /7 4 / / / / / 8/5 /5 /5 /5 + /4 / / / / / / +/ /5 5/4 / 7/ 5/ / + /4 / /7 /5 +/ /5 6/5 /5 /5 / / / / / + /7 /5 /4 / / /7 8/5 /5 + /7 /5 /4 / 4 / 4/7 /5 /5 7/ 5/ + /4 / /7 /5 +/ /7 6/5 /5 5/ 5/ + /7 / /7 /5 /5 / 4/7 /7 7/ + 8/5 /5 /4 / /5 / /7 4/7 7/ 8/5 /7 /5 d / /,/ = + cos θ cos θ + 8/5 /5 /4 / /5 4 / + /7 / /7 /5 /5 + /4 / /7 /5 d / /,/ = + cos θ sin θ + cos θ ) d, = /7 /5 /4 / /7 /5 /4 / 4 + /4 / /7 /5 d / /, / = cos θ cos θ d + cos θ /4 / /7, = sin θ 4/7 /7 4 d / cos θ = sin θ 6 d /, /, = 4 sin θ d, = + cos θ /4 / /7 cos θ ) / / 4 d / /,/ = cosθ cos θ / / 4 d cos θ, = sin θ d, = sin θ cos θ d / /, / = cosθ+ sin θ cos θ ) d, = d, = cos θ cos θ +) d, = cos θ ) Figure 4.: The sign convention is that of Wigner Group Theory, Academic Press, New York, 959), also used by Condon and Shortley The Theory of Atomic Spectra, Cambridge Univ. Press, New York, 95), Rose Elementary Theory of Angular Momentum, Wiley, New York, 957), and Cohen Tables of the Clebsch-Gordan Coefficients, North American Rockwell Science Center, Thousand Oaks, Calif., 974). The coefficients here have been calculated using computer programs written independently by Cohen and at LBNL. J M J M......

1. (a) (2p.) Systeemin infinitesimaalista siirtoa matkan ɛ verran esittää operaattori

1. (a) (2p.) Systeemin infinitesimaalista siirtoa matkan ɛ verran esittää operaattori FYSA5 Kvanttimekaniikka I, Osa B 7.. tentti: 4 tehtävää, 4 tuntia. a) p.) Systeemin infinitesimaalista siirtoa matkan ɛ verran esittää operaattori T ɛ) = iɛ h P. Osoita tämän avulla, että äärellistä siirtoa

Lisätiedot

Kvanttimekaniikka I tentti : 4 tehtävää, 4 tuntia

Kvanttimekaniikka I tentti : 4 tehtävää, 4 tuntia Kvanttimekaniikka I.. 4 tentti : 4 tehtävää, 4 tuntia. (a (p. Olkoon H systeemin Hamiltonin operaattori, ja A jotakin observaabelia kuvaava operaattori. Johda Ehrenfestin teoreema d A dt = ī [A, H] + A

Lisätiedot

2m 2 r + V (r) ψ n (r) = ɛ n ψ n (r)

2m 2 r + V (r) ψ n (r) = ɛ n ψ n (r) Kvanttimekaniikka I. 5. 4 tentti : 4 tehtävää, 4 tuntia. (a (p. Tarkastellaan keskeisliikettä potentiaalissa V (r = V (r, missä r = r on keskeisliikkeeseen liittyvä suhteellinen etäisyys. Separoi Schrödingerin

Lisätiedot

1. Tarkastellaan kaksiulotteisessa Hilbert avaruudessa Hamiltonin operaattoria

1. Tarkastellaan kaksiulotteisessa Hilbert avaruudessa Hamiltonin operaattoria Kvanttimekaniikka I, tentti 6.. 015 4 tehtävää, 4 tuntia 1. Tarkastellaan kaksiulotteisessa Hilbert avaruudessa Hamiltonin operaattoria ( { ( ( } E iδ H =, E, δ R, kannassa B = 1 =, =. iδ E 0 1 (a (p.

Lisätiedot

FYSA235, Kvanttimekaniikka I, osa B, tentti Tentin yhteispistemäärä on 48 pistettä. Kaavakokoelma ja CG-taulukko paperinipun lopussa.

FYSA235, Kvanttimekaniikka I, osa B, tentti Tentin yhteispistemäärä on 48 pistettä. Kaavakokoelma ja CG-taulukko paperinipun lopussa. FYSA5, Kvanttimekaniikka I, osa B, tentti..4 Tentin yhteispistemäärä on 48 pistettä. Kaavakokoelma ja CG-taulukko paperinipun lopussa.. Selitä lyhyesti (a) Larmorin prekessio [ pt] (b) Clebsch-Gordan kertoimet

Lisätiedot

FYSA2031 Potentiaalikuoppa

FYSA2031 Potentiaalikuoppa FYSA2031 Potentiaalikuoppa Työselostus Laura Laulumaa JYFL YK216 laura.e.laulumaa@student.jyu.fi 16.10-2.11. 2017 Ohjaus Työn ja ohjelman esittely ( 30 min) Harjoitellaan ohjelman käyttöä Harmoninen potentiaali

Lisätiedot

FYSA234 Potentiaalikuoppa, selkkarityö

FYSA234 Potentiaalikuoppa, selkkarityö FYSA234 Potentiaalikuoppa, selkkarityö Jari Partanen, Jani Komppula JYFL FL246, S118 japapepa@jyu.fi, jani.komppula@jyu.fi 13. lokakuuta 2014 Ohjaus Työn ja ohjelman esittely (15-30 min) Harjoitellaan

Lisätiedot

FYSA234 Potentiaalikuoppa, selkkarityö

FYSA234 Potentiaalikuoppa, selkkarityö FYSA234 Potentiaalikuoppa, selkkarityö Jari Partanen, Jani Komppula JYFL FL246, S118 japapepa@jyu.fi, jani.komppula@jyu.fi 16. lokakuuta 2013 Ohjaus Työn ja ohjelman esittely (15-30 min) Harjoitellaan

Lisätiedot

Tilat ja observaabelit

Tilat ja observaabelit Tilat ja observaabelit Maksimaalinen informaatio systeemistä tietyllä ajanhetkellä sisältyy tilaan ψ (ket). Tila = vektori Hilbertin avaruudessa sisätulo ψ ψ C ψ c 1 ψ 1 + c 2 ψ 2 = c 1 ψ ψ 1 + c 2 ψ ψ

Lisätiedot

Ch7 Kvanttimekaniikan alkeita. Tässä luvussa esitellään NMR:n kannalta keskeiset kvanttimekaniikan tulokset.

Ch7 Kvanttimekaniikan alkeita. Tässä luvussa esitellään NMR:n kannalta keskeiset kvanttimekaniikan tulokset. Ch7 Kvanttimekaniikan alkeita Tässä luvussa esitellään NMR:n kannalta keskeiset kvanttimekaniikan tulokset. Spinnittömät hiukkaset Hiukkasta kuvaa aineaaltokenttä eli aaltofunktio. Aaltofunktio riippuu

Lisätiedot

S Fysiikka III (EST) Tentti ja välikoeuusinta

S Fysiikka III (EST) Tentti ja välikoeuusinta S-437 Fysiikka III (EST) Tentti ja välikoeuusinta 65007 Välikoeuusinnassa vastataan vain kolmeen tehtävään Kokeesta saatu pistemäärä kerrotaan tekijällä 5/3 Merkitse paperiin uusitko jommankumman välikokeen,

Lisätiedot

(1) (2) Normalisointiehdoksi saadaan nytkin yhtälö (2). Ratkaisemalla (2)+(3) saamme

(1) (2) Normalisointiehdoksi saadaan nytkin yhtälö (2). Ratkaisemalla (2)+(3) saamme S-446 Fysiikka IV (Sf) Tentti 3934 Oletetaan, että φ ja φ ovat ajasta riippumattoman Scrödingerin yhtälön samaan ominaisarvoon E liittyviä ominaisfunktioita Nämä funktiot ovat normitettuja, mutta eivät

Lisätiedot

1 Aaltofunktio, todennäköisyystulkinta ja normitus

1 Aaltofunktio, todennäköisyystulkinta ja normitus KEMA5 syksy 16 Kertausta keskeisistä asioista 1 Aaltofunktio, todennäköisyystulkinta ja normitus Kvanttimekaniikassa tarkasteltavaa systeemiä kuvaa aaltofunktio ψ. Aaltofunktio on puhtaan matemaattinen

Lisätiedot

Korkeammat derivaatat

Korkeammat derivaatat Korkeammat derivaatat Jo kerran derivoitu funk1o voidaan derivoida uudelleen. d df(x) dx dx = d2 f(x) dx 2 = f''(x) = f 2 (x) Yleisemmin merkitään: d n f(x) dx n = f n (x) Esimerkki: 2 atominen molekyyli

Lisätiedot

Kvanttifysiikan perusteet 2017

Kvanttifysiikan perusteet 2017 Kvanttifysiikan perusteet 7 Harjoitus 3: ratkaisut Tehtävä Tarkastellaan äärettömän syvässä laatikossa (väli [, L) olevaa hiukkasta. Kirjoita energiatiloja E n vastaavat aaltofunktiot muodossa ψ n (x,

Lisätiedot

1 WKB-approksimaatio. Yleisiä ohjeita. S Harjoitus

1 WKB-approksimaatio. Yleisiä ohjeita. S Harjoitus S-114.1427 Harjoitus 3 29 Yleisiä ohjeita Ratkaise tehtävät MATLABia käyttäen. Kirjoita ratkaisut.m-tiedostoihin. Tee tuloksistasi lyhyt seloste, jossa esität laskemasi arvot sekä piirtämäsi kuvat (sekä

Lisätiedot

Kvanttifysiikan perusteet 2017

Kvanttifysiikan perusteet 2017 Kvanttifysiikan perusteet 207 Harjoitus 2: ratkaisut Tehtävä Osoita hyödyntäen Maxwellin yhtälöitä, että tyhjiössä magneettikenttä ja sähkökenttä toteuttavat aaltoyhtälön, missä aallon nopeus on v = c.

Lisätiedot

Vapaan hiukkasen Schrödingerin yhtälö (yksiulotteinen)

Vapaan hiukkasen Schrödingerin yhtälö (yksiulotteinen) Vapaan hiukkasen Schrödingerin yhtälö (yksiulotteinen Vapaaseen hiukkaseen ei vaikuta voimia, joten U(x = 0. Vapaan hiukkasen energia on sen liike-energia eli E=p /m. Koska hiukkasella on määrätty energia,

Lisätiedot

Kvanttifysiikan perusteet, harjoitus 5

Kvanttifysiikan perusteet, harjoitus 5 Kvanttifysiikan perusteet, harjoitus 5 February 4, 07 Tehtävä Oletetaan energian ominaisfunktiot φ n ortonormitetuiksi, dxφ nφ m = δ nm, jossa δ nm on Kroneckerin delta. Määritetään ensin superpositiotilan

Lisätiedot

Energian säilymislain perusteella elektronin rekyylienergia on fotnien energioiden erotus: (1)

Energian säilymislain perusteella elektronin rekyylienergia on fotnien energioiden erotus: (1) S-11446 Fysiikka IV (Sf), I Väliko 544 1 Osoita, ttä Comptonin sironnassa lktronin suurin mahdollinn rkyylinrgia voidaan sittää muodossa E Kin hf 1 + mc /hf Enrgian säilymislain prustlla lktronin rkyylinrgia

Lisätiedot

Korkeammat derivaatat

Korkeammat derivaatat Korkeammat derivaatat Jo kerran derivoitu funk6o voidaan derivoida uudelleen. d! df(x) $ dx " # dx % & = d2 f(x) = f''(x) = f (2) (x) dx 2 Yleisemmin merkitään: d n f(x) dx n = f (n) (x) Esimerkki: 2-

Lisätiedot

kolminkertaisesti tehtäviä tavallisiin harjoituksiin verrattuna, voi sen kokonaan tekemällä saada suunnilleen kolmen tavallisen harjoituksen edestä

kolminkertaisesti tehtäviä tavallisiin harjoituksiin verrattuna, voi sen kokonaan tekemällä saada suunnilleen kolmen tavallisen harjoituksen edestä Matematiikkaa kemisteille, kevät 2013 Ylimääräisiä laskuharjoituksia Tällä laskuharjoituksella voi korottaa laskuharjoituspisteitään, mikäli niitä ei ole riittävästi kurssin läpäisemiseen, tai vaihtoehtoisesti

Lisätiedot

Fysikaalinen kemia II kaavakokoelma, osa 1

Fysikaalinen kemia II kaavakokoelma, osa 1 Fysikaalinen kemia II kaavakokoelma, osa 1 Wienin siirtymälaki: T λ max = 0.2898 cm K (1) Stefan Boltzmanin laki: M = σt 4 σ = 5.67 10 8 W m 2 K 4 (2) Planckin jakauma ρ = 8πkT λ 4 ( 1 ) e hc/λkt 1 (3)

Lisätiedot

Korkeammat derivaatat

Korkeammat derivaatat Korkeammat derivaatat Jo kerran derivoitu funk1o voidaan derivoida uudelleen. d dx! " # df(x) dx $ % & = d2 f(x) = f''(x) = f (2) (x) dx 2 Yleisemmin merkitään: d n f(x) dx n = f (n) (x) Esimerkki: 2-

Lisätiedot

Nyt n = 1. Tästä ratkaistaan kuopan leveys L ja saadaan sijoittamalla elektronin massa ja vakiot

Nyt n = 1. Tästä ratkaistaan kuopan leveys L ja saadaan sijoittamalla elektronin massa ja vakiot S-1146 Fysiikka V (ES) Tentti 165005 1 välikokeen alue 1 a) Rubiinilaserin emittoiman valon aallonpituus on 694, nm Olettaen että fotonin emissioon tällä aallonpituudella liittyy äärettömän potentiaalikuopan

Lisätiedot

Aikariippuva Schrödingerin yhtälö

Aikariippuva Schrödingerin yhtälö Aineaaltodynamiikka Aineaaltokenttien riippuvuus ajasta aikariippuva Schrödingerin yhtälö Stationääriset ja ei-stationääriset tilat Aaltopaketit Kvanttimekaniikan postulaatit Aikariippuva Schrödingerin

Lisätiedot

Valon sironta - ilmiöt ja mallinnus. Jouni Mäkitalo Fysiikan seminaari 2014

Valon sironta - ilmiöt ja mallinnus. Jouni Mäkitalo Fysiikan seminaari 2014 Valon sironta - ilmiöt ja mallinnus Jouni Mäkitalo Fysiikan seminaari 2014 Sisältö Johdanto Sironnan sähkömagneettinen mallinnus Analyyttinen sirontateoria Sironta ei-pallomaisista hiukkasista Johdanto

Lisätiedot

FysA230/3 Potentiaalikuoppa Suppea raportti

FysA230/3 Potentiaalikuoppa Suppea raportti Tiia Monto Työ tehty: 8.5.9 tiia.monto@jyu. 475856 FysA3/3 Potentiaalikuoppa Suppea raportti Assistentti: Joni Pasanen Hyväksytty/hylätty: Työ jätetty: Abstract I studied how the Matlab program can calculate

Lisätiedot

Lisävaatimuksia aaltofunktiolle

Lisävaatimuksia aaltofunktiolle Lisävaatimuksia aaltofunktiolle (1) Koska Ψ*Ψ on äärellinen => Ψ on äärellinen. () Koska P = Ψ*Ψdτ => Ψ on yksiselitteinen. (3) Ψ on jatkuva. (4) dψ/dτ on jatkuva. Esimerkki Epäkelpoja aaltofunktioita

Lisätiedot

5.10. HIUKKANEN POTENTIAALIKUOPASSA

5.10. HIUKKANEN POTENTIAALIKUOPASSA 5.10. HIUKKANEN POTENTIAALIKUOPASSA eli miten reunaehdot ja normitus vaikuttavat aaltofunktioihin Yleensä Schrödingerin yhtälön ratkaiseminen matemaattisesti on hyvin työlästä ja edellyttää vahvaa matemaattista

Lisätiedot

Kvanttimekaniikan perusteet

Kvanttimekaniikan perusteet Kvanttimekaniikan perusteet Schrödingerin yhtälö Sironta potentiaaliaskeleesta Elektronitilat potentiaalikuopassa Harmoninen oskillaattori Tilatiheys lisää sirontailmiöistä Aineaaltokenttä ja todennäköisyystiheys

Lisätiedot

Kvanttidynamiikka Tarkastellaan ensin hieman bra/ket-merkintää ja vertaillaan sitä muihin merkintätapoihin.

Kvanttidynamiikka Tarkastellaan ensin hieman bra/ket-merkintää ja vertaillaan sitä muihin merkintätapoihin. Kvanttidynamiikka 30.10.2010 0.1 Bra- ja Ket-merkinnöistä Tarkastellaan ensin hieman bra/ket-merkintää ja vertaillaan sitä muihin merkintätapoihin. Oletetaan, että ket ψ ja bra φ ovat alkioita, jotka liittyvät

Lisätiedot

Potentiaalikuopalla tarkoitetaan tilannetta, jossa potentiaalienergia U(x) on muotoa

Potentiaalikuopalla tarkoitetaan tilannetta, jossa potentiaalienergia U(x) on muotoa Potentiaalikuoppa Luento 9 Potentiaalikuopalla tarkoitetaan tilannetta, jossa potentiaalienergia U(x) on muotoa U( x ) = U U( x ) = 0 0 kun x < 0 tai x > L, kun 0 x L. Kuopan kohdalla hiukkanen on vapaa,

Lisätiedot

Matematiikkaa kemisteille, kevät 2012 Ylimääräinen laskuharjoitus Palautus 7.5. klo (suositellaan kuitenkin tekemään ennen välikoetta 30.4!

Matematiikkaa kemisteille, kevät 2012 Ylimääräinen laskuharjoitus Palautus 7.5. klo (suositellaan kuitenkin tekemään ennen välikoetta 30.4! Matematiikkaa kemisteille, kevät 2012 Ylimääräinen laskuharjoitus Palautus 7.5. klo 16.00 (suositellaan kuitenkin tekemään ennen välikoetta 30.4! Tämä laskuharjoitus ei ole pakollinen, eikä sen pisteitä

Lisätiedot

6. Kompleksiluvut. Kompleksilukuja esiintyy usein polynomiyhtälöiden ratkaisuina. Esim:

6. Kompleksiluvut. Kompleksilukuja esiintyy usein polynomiyhtälöiden ratkaisuina. Esim: 6. Kompleksiluvut Yhtälöllä x = 1 ei ole reaalilukuratkaisua: tarvitaan uusia lukuja. Kompleksiluku on kahden reaaliluvun järjesteby "pari" (x,y): Z = x +iy Missä i on imaginääriyksikkö, jolla on ominaisuus

Lisätiedot

Sidotut tilat. Yliopistonlehtori, TkT Sami Kujala. Kevät Harris luku 5. Mikro- ja nanotekniikan laitos

Sidotut tilat. Yliopistonlehtori, TkT Sami Kujala. Kevät Harris luku 5. Mikro- ja nanotekniikan laitos Sidotut tilat Harris luku 5 Yliopistonlehtori, TkT Sami Kujala Mikro- ja nanotekniikan laitos Kevät 2016 Johdanto Tähän asti tutkittu aineaaltojen ominaisuuksia Seuraavaksi ryhdytään käyttämään aineaaltoja

Lisätiedot

Osallistumislomakkeen viimeinen palautuspäivä on maanantai

Osallistumislomakkeen viimeinen palautuspäivä on maanantai Jakso : Materiaalihiukkasten aaltoluonne. Teoriaa näihin tehtäviin löytyy Beiserin kirjasta kappaleesta 3 ja hyvin myös peruskurssitasoisista kirjoista. Seuraavat videot demonstroivat vaihe- ja ryhmänopeutta:

Lisätiedot

763306A JOHDATUS SUHTEELLISUUSTEORIAAN 2 Ratkaisut 1 Kevät y' P. α φ

763306A JOHDATUS SUHTEELLISUUSTEORIAAN 2 Ratkaisut 1 Kevät y' P. α φ 76336A JOHDATUS SUHTEELLISUUSTEORIAAN 2 Ratkaisut 1 Kevät 217 1. Koordinaatiston muunnosmatriisi (a) y' P r α φ ' Tarkastellaan, mitä annettu muunnos = cos φ + y sin φ, y = sin φ + y cos φ, (1a) (1b) tekee

Lisätiedot

ψ(x) = A cos(kx) + B sin(kx). (2) k = nπ a. (3) E = n 2 π2 2 2ma 2 n2 E 0. (4)

ψ(x) = A cos(kx) + B sin(kx). (2) k = nπ a. (3) E = n 2 π2 2 2ma 2 n2 E 0. (4) 76A KIINTEÄN AINEEN FYSIIKKA Ratkaisut 4 Kevät 214 1. Tehtävä: Yksinkertainen malli kovalenttiselle sidokselle: a) Äärimmäisen yksinkertaistettuna mallina elektronille atomissa voidaan pitää syvää potentiaalikuoppaa

Lisätiedot

MS-C1340 Lineaarialgebra ja differentiaaliyhtälöt

MS-C1340 Lineaarialgebra ja differentiaaliyhtälöt MS-C1340 Lineaarialgebra ja differentiaaliyhtälöt Differentiaaliyhtälöt, osa 1 Riikka Kangaslampi Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Aalto-yliopisto 2015 1 / 20 R. Kangaslampi Matriisihajotelmista

Lisätiedot

Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Ratkaisut 5. viikolle /

Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Ratkaisut 5. viikolle / MS-A8 Differentiaali- ja integraalilaskenta, V/7 Differentiaali- ja integraalilaskenta Ratkaisut 5. viikolle / 9..5. Integroimismenetelmät Tehtävä : Laske osittaisintegroinnin avulla a) π x sin(x) dx,

Lisätiedot

Ch10 Spin-1/2 systeemi. Spin-1/2 kvanttimekaniikkaa

Ch10 Spin-1/2 systeemi. Spin-1/2 kvanttimekaniikkaa Ch1 Spin-1/2 systeemi Spin-1/2 kvanttimekaniikkaa Ominaistilat Vain kaksi tilaa sillä kvanttimekaniikan mukaan m = I, I + 1,..., I 1, I siis yhteensä 2I + 1 kpl I JOS I = 1/ 2 niin 2I + 1 = 2! Spinin kantafunktiot

Lisätiedot

MS-A0003/A0005 Matriisilaskenta Laskuharjoitus 2 / vko 45

MS-A0003/A0005 Matriisilaskenta Laskuharjoitus 2 / vko 45 MS-A0003/A0005 Matriisilaskenta Laskuharjoitus / vko 5 Tehtävä 1 (L): Hahmottele kompleksitasoon ne pisteet, jotka toteuttavat a) z 3 =, b) z + 3 i < 3, c) 1/z >. Yleisesti: ehto z = R, z C muodostaa kompleksitasoon

Lisätiedot

Esimerkki: 2- atominen molekyyli. Korkeammat derivaatat 1/24/13. Jo kerran derivoitu funk6o voidaan derivoida uudelleen. Yleisemmin merkitään:

Esimerkki: 2- atominen molekyyli. Korkeammat derivaatat 1/24/13. Jo kerran derivoitu funk6o voidaan derivoida uudelleen. Yleisemmin merkitään: Korkeammat erivaatat Jo kerran erivoitu funk6o voiaan erivoia uuelleen.! f(x) x " # x % & = 2 f(x) = f''(x) = f (2) (x) x 2 Yleisemmin merkitään: n f(x) = f (n) (x) x n erkki: 2- atominen molekyyli Värähtelevän

Lisätiedot

Demo: Kahden elektronin spintilojen muodostaminen

Demo: Kahden elektronin spintilojen muodostaminen Demo: Kahden elektronin spintilojen muodostaminen Tämän demonstraation tarkoituksena on havainnollistaa kvanttimekaniikan operaattoriformalismin soveltamista kahden elektronin systeemin spintilojen muodostamiseen.

Lisätiedot

x n e x dx = n( e x ) nx n 1 ( e x ) = x n e x + ni n 1 x 4 e x dx = x 4 e x +4( x 3 e x +3( x 2 e x +2( xe x e x ))) = e x

x n e x dx = n( e x ) nx n 1 ( e x ) = x n e x + ni n 1 x 4 e x dx = x 4 e x +4( x 3 e x +3( x 2 e x +2( xe x e x ))) = e x Osittaisintegrointia käyttäen osoita integraalille I n x n e x dx oikeaksi reduktiokaava I n x n e x + ni n ja laske sen avulla mitä on I 4 kun x. x n e x dx n( e x ) nx n ( e x ) x n e x + ni n x 4 e

Lisätiedot

3.6 Feynman s formulation of quantum mechanics

3.6 Feynman s formulation of quantum mechanics 3.6 Feynman s formulation of quantum mechanics Course MAT-66000: Quantum mechanics and the particles of nature Ilkka Kylänpää Tampere University of Technology 14.10.2010 Sisältö Johdattelua Klassinen action

Lisätiedot

Kirjoita jokaiseen koepaperiin nimesi, opiskelijanumerosi ym. tiedot! Laskin (yo-kirjoituksissa hyväksytty) on sallittu apuväline tässä kokeessa!

Kirjoita jokaiseen koepaperiin nimesi, opiskelijanumerosi ym. tiedot! Laskin (yo-kirjoituksissa hyväksytty) on sallittu apuväline tässä kokeessa! Aalto yliopiston teknillinen korkeakoulu Mat-1.1040 L4 Tentti ja välikokeiden uusinta 21.5.2010 Gripenberg, Arponen, Siljander Kirjoita jokaiseen koepaperiin nimesi, opiskelijanumerosi ym. tiedot! Laskin

Lisätiedot

13. Taylorin polynomi; funktioiden approksimoinnista. Muodosta viidennen asteen Taylorin polynomi kehityskeskuksena origo funktiolle

13. Taylorin polynomi; funktioiden approksimoinnista. Muodosta viidennen asteen Taylorin polynomi kehityskeskuksena origo funktiolle 13. Taylorin polynomi; funktioiden approksimoinnista 13.1. Taylorin polynomi 552. Muodosta funktion f (x) = x 4 + 3x 3 + x 2 + 2x + 8 kaikki Taylorin polynomit T k (x, 2), k = 0,1,2,... (jolloin siis potenssien

Lisätiedot

MS-A0305 Differentiaali- ja integraalilaskenta 3 Luento 3: Vektorikentät

MS-A0305 Differentiaali- ja integraalilaskenta 3 Luento 3: Vektorikentät MS-A0305 Differentiaali- ja integraalilaskenta 3 Luento 3: Vektorikentät Antti Rasila Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Aalto-yliopisto Syksy 2016 Antti Rasila (Aalto-yliopisto) MS-A0305 Syksy 2016

Lisätiedot

Kompleksianalyysi, viikko 6

Kompleksianalyysi, viikko 6 Kompleksianalyysi, viikko 6 Jukka Kemppainen Mathematics Division Funktion erikoispisteet Määr. 1 Jos f on analyyttinen pisteen z 0 aidossa ympäristössä 0 < z z 0 < r jollakin r > 0, niin sanotaan, että

Lisätiedot

Ei-inertiaaliset koordinaatistot

Ei-inertiaaliset koordinaatistot orstai 25.9.2014 1/17 Ei-inertiaaliset koordinaatistot Tarkastellaan seuraavaa koordinaatistomuunnosta: {x} = (x 1, x 2, x 3 ) {y} = (y 1, y 2, y 3 ) joille valitaan kantavektorit: {x} : (î, ĵ, ˆk) {y}

Lisätiedot

Kvanttimekaniikka kolmessa ulottuvuudessa Case vetyatomi

Kvanttimekaniikka kolmessa ulottuvuudessa Case vetyatomi Kvanttimekaniikka kolmessa ulottuvuudessa Case vetyatomi Harris luku 7 Yliopistonlehtori, TkT Sami Kujala Mikro- ja nanotekniikan laitos Kevät 2016 Johdanto Yleistetään viidennen luvun sidottujen tilojen

Lisätiedot

Potentiaalikuoppa, työohje

Potentiaalikuoppa, työohje Potentiaalikuoppa, työohje 16. lokakuuta 013 Johdanto Kvanttimekaniikassa potentiaalikuopalla tarkoitetaan järjestelmää, jossa hiukkasen liike on rajoitettu äärelliseen alueeseen. Tästä seuraa ominaisenergian

Lisätiedot

, c) x = 0 tai x = 2. = x 3. 9 = 2 3, = eli kun x = 5 tai x = 1. Näistä

, c) x = 0 tai x = 2. = x 3. 9 = 2 3, = eli kun x = 5 tai x = 1. Näistä Pitkä matematiikka 8.9.0, ratkaisut:. a) ( x + x ) = ( + x + x ) 6x + 6x = + 6x + 6x x = x =. b) Jos x > 0, on x = + x x = + x. Tällä ei ole ratkaisua. Jos x 0, on x = + x x = + x x =. c) x = x ( x) =

Lisätiedot

MS-A0305 Differentiaali- ja integraalilaskenta 3 Luento 8: Divergenssi ja roottori. Gaussin divergenssilause.

MS-A0305 Differentiaali- ja integraalilaskenta 3 Luento 8: Divergenssi ja roottori. Gaussin divergenssilause. MS-A0305 Differentiaali- ja integraalilaskenta 3 Luento 8: Divergenssi ja roottori. Gaussin divergenssilause. Antti Rasila Aalto-yliopisto Syksy 2015 Antti Rasila (Aalto-yliopisto) MS-A0305 Syksy 2015

Lisätiedot

Differentiaali- ja integraalilaskenta 3 Mallit 2 (alkuviikko) / Syksy 2016

Differentiaali- ja integraalilaskenta 3 Mallit 2 (alkuviikko) / Syksy 2016 MS-A35 Differentiaali- ja integraalilaskenta 3 Differentiaali- ja integraalilaskenta 3 Mallit 2 (alkuviikko) / Syksy 216 Tuntitehtävä 1: Laske sylinterikoordinaatteja käyttämällä sen kappaleen tilavuus,

Lisätiedot

Tilavuusintegroin. f(x,y,z)dxdydz. = f(x,y,z)dx dy

Tilavuusintegroin. f(x,y,z)dxdydz. = f(x,y,z)dx dy z 2 y 2 x 2 z y x Tilavuusintegroin. f(x,y,z)dxdydz z 2 y 2 x 2 = f(x,y,z)dx dy dz z y x Tyypillises. kemian sovelluksissa f(x,y,z) on massa.heys, jolloin integraalin arvo on massa alueella jota integroin.rajat

Lisätiedot

dx = d dψ dx ) + eikx (ik du u + 2ike e ikx u i ike ikx u + e udx

dx = d dψ dx ) + eikx (ik du u + 2ike e ikx u i ike ikx u + e udx 763333A KIINTEÄN AINEEN FYSIIKKA Ratkaisut 5 Kevät 2014 1. Tehtävä: Johda luetomateriaali kaavat d 2 u i k du 2 m + Uxu = E k 2 u p = k + u x i d ux. Ratkaisu: Oletetaa, että ψx = e ikx ux, missä ux +

Lisätiedot

MS-C1340 Lineaarialgebra ja differentiaaliyhtälöt

MS-C1340 Lineaarialgebra ja differentiaaliyhtälöt MS-C1340 Lineaarialgebra ja differentiaaliyhtälöt Differentiaaliyhtälöt, osa 3 Riikka Kangaslampi Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Aalto-yliopisto 2015 1 / 28 R. Kangaslampi Matriisihajotelmista

Lisätiedot

Harjoitus Etsi seuraavien autonomisten yhtälöiden kriittiset pisteet ja tutki niiden stabiliteettia:

Harjoitus Etsi seuraavien autonomisten yhtälöiden kriittiset pisteet ja tutki niiden stabiliteettia: Differentiaaliyhtälöt, Kesä 216 Harjoitus 2 1. Etsi seuraavien autonomisten yhtälöiden kriittiset pisteet ja tutki niiden stabiliteettia: (a) y = (2 y) 3, (b) y = (y 1) 2, (c) y = 2y y 2. 2. Etsi seuraavien

Lisätiedot

Jatko-opintoseminaari Kevyttä johdattelua kvanttimekaniikkaan: Tila-avaruus. Petteri Laakkonen

Jatko-opintoseminaari Kevyttä johdattelua kvanttimekaniikkaan: Tila-avaruus. Petteri Laakkonen Jatko-opintoseminaari 21-211 Kevyttä johdattelua kvanttimekaniikkaan: Tila-avaruus Petteri Laakkonen 23.9.21 Tämä teksti on tiivistelmä kirjan [1] luvun 2 tekstistä. Pyrkimyksenä on esittää perustellusti

Lisätiedot

Mat Dynaaminen optimointi, mallivastaukset, kierros Vaimennetun heilurin tilanyhtälöt on esitetty luennolla: θ = g sin θ r θ

Mat Dynaaminen optimointi, mallivastaukset, kierros Vaimennetun heilurin tilanyhtälöt on esitetty luennolla: θ = g sin θ r θ Mat-48 Dynaaminen optimointi, mallivastaukset, kierros Vaimennetun heilurin tilanyhtälöt on esitetty luennolla: θ = g sin θ r θ L ẋ = x ẋ = g L sin x rx Epälineaarisen systeemin tasapainotiloja voidaan

Lisätiedot

KVANTTIMEKANIIKKA II A. Mikko Saarela

KVANTTIMEKANIIKKA II A. Mikko Saarela KVANTTIMEKANIIKKA II 76333A Mikko Saarela kevät 0 i Sisältö Matriisimekaniikkaa 3. Lineaariset vektoriavaruudet..................... 3.. Diracin merkinnät...................... 3.. Ortonormaalit kantajärjestelmät..............

Lisätiedot

Esimerkki 1 Ratkaise differentiaaliyhtälö

Esimerkki 1 Ratkaise differentiaaliyhtälö Esimerkki 1 Ratkaise differentiaaliyhtälö x 2 y xy =1/x. 1 / K. Tuominen kimmo.i.tuominen@helsinki.fi MApu II 1/20 20 Esimerkki 2 Ratkaise differentiaaliyhtälö x(ln y)y y ln x =0. 2 / K. Tuominen kimmo.i.tuominen@helsinki.fi

Lisätiedot

Tehtävä 4.7 Tarkastellaan hiukkasta, joka on pakotettu liikkumaan toruksen pinnalla.

Tehtävä 4.7 Tarkastellaan hiukkasta, joka on pakotettu liikkumaan toruksen pinnalla. Tehtävä.7 Tarkastellaan hiukkasta, joka on pakotettu liikkumaan toruksen pinnalla. x = (a + b cos(θ)) cos(ψ) y = (a + b cos(θ)) sin(ψ) = b sin(θ), a > b, θ π, ψ π Figure. Toruksen hajoituskuva Oletetaan,

Lisätiedot

Aineen ja valon vuorovaikutukset

Aineen ja valon vuorovaikutukset Aineen ja valon vuorovaikutukset Yliopistonlehtori, TkT Sami Kujala Mikro- ja nanotekniikan laitos Kevät 2016 Johdanto Tutkitaan aineen ja valon vuorovaikutuksia Ensiksi tutustutaan häiriöteoriaan, jonka

Lisätiedot

5.9 Voiman momentti (moment of force, torque)

5.9 Voiman momentti (moment of force, torque) 5.9 Voiman momentti (moment of force, torque) Voiman momentti määritellään ristitulona M = r F missä r on voiman F vaikutuspisteen paikkavektori tarkasteltavan pisteen suhteen Usean voiman tapauksessa

Lisätiedot

MEI Kontinuumimekaniikka

MEI Kontinuumimekaniikka MEI-55300 Kontinuumimekaniikka 1 MEI-55300 Kontinuumimekaniikka 3. harjoitus matemaattiset peruskäsitteet, kinematiikkaa Ratkaisut T 1: Olkoon x 1, x 2, x 3 (tai x, y, z) suorakulmainen karteesinen koordinaatisto

Lisätiedot

Mikrotila Makrotila Statistinen paino Ω(n) 3 Ω(3) = 4 2 Ω(2) = 6 4 Ω(4) = 1

Mikrotila Makrotila Statistinen paino Ω(n) 3 Ω(3) = 4 2 Ω(2) = 6 4 Ω(4) = 1 76628A Termofysiikka Harjoitus no. 4, ratkaisut (syyslukukausi 204). (a) Systeemi koostuu neljästä identtisestä spin- -hiukkasesta. Merkitään ylöspäin olevien spinien lukumäärää n:llä. Systeemin mahdolliset

Lisätiedot

Varatun hiukkasen liike

Varatun hiukkasen liike Luku 15 Varatun hiukkasen liike SM-kentässä Tarkastellaan lopuksi varatun hiukkasen liikettä sähkömagneettisessa kentässä. Liikeyhtälö on tullut esiin useaan otteeseen kurssin aikana aiemminkin. Yleisesti

Lisätiedot

MS-A0207 Differentiaali- ja integraalilaskenta 2 (Chem) Tentti ja välikokeiden uusinta

MS-A0207 Differentiaali- ja integraalilaskenta 2 (Chem) Tentti ja välikokeiden uusinta MS-A0207 Differentiaali- ja integraalilaskenta 2 (Chem) Tentti ja välikokeiden uusinta 8..206 Gripenberg, Nieminen, Ojanen, Tiilikainen, Weckman Kirjoita jokaiseen koepaperiin nimesi, opiskelijanumerosi

Lisätiedot

Luku 8: Kvanttimekaniikan soveltaminen eri liiketyyppeihin:

Luku 8: Kvanttimekaniikan soveltaminen eri liiketyyppeihin: Luku 8: Kvanttimekaniikan soveltaminen eri liiketyyppeihin: Translaatioliike (hiukkanen laatikossa) Vibraatio eli värähdysliike Rotaatio eli pyörimisliike 1 Vapaan hiukkasen (V =0) Schrödingerin yhtälön

Lisätiedot

Johdantoa. 0.1 Mustan kappaleen säteily. Musta kappale (black body): Kvanttimekaniikka. Wienin siirtymälaki jakautuman maksimille on

Johdantoa. 0.1 Mustan kappaleen säteily. Musta kappale (black body): Kvanttimekaniikka. Wienin siirtymälaki jakautuman maksimille on MNQT, sl 2015 1 MNQT, sl 2015 2 Johdantoa Kvanttimekaniikka tarvittiin selittämään uusia kokeellisia havaintoja korvaa Newtonin yhtälön Schrödingerin yhtälöllä, joka on tavallaan pienten hiukkasten "liikeyhtälö"

Lisätiedot

Differentiaali- ja integraalilaskenta 3 Mallit laskuharjoitukseen 3 /

Differentiaali- ja integraalilaskenta 3 Mallit laskuharjoitukseen 3 / MS-A3x Differentiaali- ja integraalilaskenta 3, IV/6 Differentiaali- ja integraalilaskenta 3 Mallit laskuharjoitukseen 3 / 9..-.3. Avaruusintegraalit ja muuttujanvaihdot Tehtävä 3: Laske sopivalla muunnoksella

Lisätiedot

6. Toisen ja korkeamman kertaluvun lineaariset

6. Toisen ja korkeamman kertaluvun lineaariset SARJAT JA DIFFERENTIAALIYHTÄLÖT 2003 51 6. Toisen ja korkeamman kertaluvun lineaariset differentiaaliyhtälöt Määritelmä 6.1. Olkoon I R avoin väli. Olkoot p i : I R, i = 0, 1, 2,..., n, ja q : I R jatkuvia

Lisätiedot

MATP153 Approbatur 1B Harjoitus 3, ratkaisut Maanantai

MATP153 Approbatur 1B Harjoitus 3, ratkaisut Maanantai MATP53 Approbatur B Harjoitus 3, ratkaisut Maanantai 6..5. (Teht. 5 ja s. 4.) Olkoot z = + y i ja z = + y i. Osoita, että (a) z + z = z +z, (b) z z = z z, (c) z z = z ja (d) z = z z, kun z. (a) z + z =

Lisätiedot

Potentiaalikuoppa, työohje 12. lokakuuta 2015

Potentiaalikuoppa, työohje 12. lokakuuta 2015 Potentiaalikuoppa, työohje 12. lokakuuta 2015 12. lokakuuta 2015 Johdanto Kvanttimekaniikassa potentiaalikuopalla tarkoitetaan järjestelmää, jossa hiukkasen liike on rajoitettu äärelliseen alueeseen. Tästä

Lisätiedot

Korrespondenssiperiaate. Tapio Hansson Oulun Yliopisto, Fysiikan laitos Ohjaaja: Mikko Saarela

Korrespondenssiperiaate. Tapio Hansson Oulun Yliopisto, Fysiikan laitos Ohjaaja: Mikko Saarela Korrespondenssiperiaate Tapio Hansson Oulun Yliopisto, Fysiikan laitos Ohjaaja: Mikko Saarela Sisältö 1 Johdanto 2 2 Liikeyhtälöt 2 2.1 Klassisen mekaniikan liikeyhtälöt................ 2 2.2 Poissonin

Lisätiedot

MS-C1340 Lineaarialgebra ja

MS-C1340 Lineaarialgebra ja MS-C1340 Lineaarialgebra ja differentiaaliyhtälöt Matriisinormi, häiriöalttius Riikka Kangaslampi Kevät 2017 Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Aalto-yliopisto Matriisinormi Matriisinormi Matriiseille

Lisätiedot

Kvanttimekaniikan tulkinta

Kvanttimekaniikan tulkinta Kvanttimekaniikan tulkinta 20.1.2011 1 Klassisen ja kvanttimekaniikan tilastolliset formuloinnit 1.1 Klassinen mekaniikka Klassisen mekaniikan systeemin tilaa kuvaavat kappaleiden koordinaatit ja liikemäärät

Lisätiedot

780392A/782631S Fysikaalinen kemia II, 5 op / 4 op

780392A/782631S Fysikaalinen kemia II, 5 op / 4 op 78392A/782631S Fysikaalinen kemia II, 5 op / 4 op Luennot: 5.9.-15.11.216 Ma klo 8-1 PR12 Ti klo 12-14 PR12 Risto Laitinen (22.2.-14.3.) Epäorgaanisen kemian tutkimusyksikkö (KE 313) PL 3 914 Oulun yliopisto

Lisätiedot

MS-A0003/A0005 Matriisilaskenta Malliratkaisut 4 / vko 47

MS-A0003/A0005 Matriisilaskenta Malliratkaisut 4 / vko 47 MS-A3/A5 Matriisilaskenta Malliratkaisut 4 / vko 47 Tehtävä 1 (L): Oletetaan, että AB = AC, kun B ja C ovat m n-matriiseja. a) Näytä, että jos A on kääntyvä, niin B = C. b) Seuraako yhtälöstä AB = AC yhtälö

Lisätiedot

Luku 9: Kvanttimekaniikan soveltaminen eri liiketyyppeihin:

Luku 9: Kvanttimekaniikan soveltaminen eri liiketyyppeihin: Luku 9: Kvanttimekaniikan soveltaminen eri liiketyyppeihin: Translaatioliike (hiukkanen laatikossa) Rotaatio eli pyörimisliike Vibraatio eli värähdysliike 1 Vapaan hiukkasen (V =0) Schrödingerin yhtälön

Lisätiedot

Rautaisannos. Simo K. Kivelä 30.8.2011

Rautaisannos. Simo K. Kivelä 30.8.2011 Yhteenlasku Rautaisannos 30.8.011 Yhteenlasku sin x + cos x Yhteenlasku sin x + cos x = 1 sin x + cos x = 1 x R Yhteenlasku sin x + cos x = 1 x C Yhteenlasku Yhteenlasku Yhteenlasku Yhteenlasku Yhteenlasku

Lisätiedot

Kvanttimekaniikka II A/S. Jani Tuorila Fysiikan laitos Oulun yliopisto

Kvanttimekaniikka II A/S. Jani Tuorila Fysiikan laitos Oulun yliopisto Kvanttimekaniikka II 763313A/S Jani Tuorila Fysiikan laitos Oulun yliopisto 17 huhtikuuta 015 Sisältö 1 Tilavektori 1 11 Hilbertin avaruus 3 111 Lineaarinen vektoriavaruus 3 11 Sisätulo 4 1 Hilbertin avaruuden

Lisätiedot

Numeeriset menetelmät TIEA381. Luento 8. Kirsi Valjus. Jyväskylän yliopisto. Luento 8 () Numeeriset menetelmät / 35

Numeeriset menetelmät TIEA381. Luento 8. Kirsi Valjus. Jyväskylän yliopisto. Luento 8 () Numeeriset menetelmät / 35 Numeeriset menetelmät TIEA381 Luento 8 Kirsi Valjus Jyväskylän yliopisto Luento 8 () Numeeriset menetelmät 11.4.2013 1 / 35 Luennon 8 sisältö Interpolointi ja approksimointi Funktion approksimointi Tasainen

Lisätiedot

MS-A0202 Differentiaali- ja integraalilaskenta 2 (SCI) Luento 10: Moninkertaisten integraalien sovelluksia

MS-A0202 Differentiaali- ja integraalilaskenta 2 (SCI) Luento 10: Moninkertaisten integraalien sovelluksia MS-A22 ifferentiaali- ja integraalilaskenta 2 (SCI) Luento 1: Moninkertaisten integraalien sovelluksia Antti Rasila Aalto-yliopisto Syksy 215 Antti Rasila (Aalto-yliopisto) MS-A22 Syksy 215 1 / 2 Moninkertaisten

Lisätiedot

T R Hψ = H(r + R)ψ(r + R) = H(r)ψ(r + R) Kahden peräkkäisen translaation vaikutus ei riipu

T R Hψ = H(r + R)ψ(r + R) = H(r)ψ(r + R) Kahden peräkkäisen translaation vaikutus ei riipu Elektronit periodisessa potentiaalissa Tarkastellaan täydellistä Bravais n hilan kuvaamaa kidettä. Vaikka todelliset kiinteät aineet eivät esiinnykään täydellisinä hiloina, voidaan poikkeamat periodisuudesta

Lisätiedot

Useita oskillaattoreita yleinen tarkastelu

Useita oskillaattoreita yleinen tarkastelu Useita oskillaattoreita yleinen tarkastelu Useita riippumattomia vapausasteita q i, i =,..., n ja potentiaali vastaavasti U(q, q 2,..., q n). Tasapainoasema {q 0, q0 2,..., q0 n} q 0 Käytetään merkintää

Lisätiedot

4. Liikemäärämomentti

4. Liikemäärämomentti 4. Liikemäärämomentti Jatkossa tarkastellaan toisaalta yleisiä (ja tarkkoja) menetelmiä, sellaisia kuin liikemäärämomenttialgebra ja ryhmäteoria, sekä toisaalta approksimointimenetelmiä, sellaisia kuin

Lisätiedot

Mapu 1. Laskuharjoitus 3, Tehtävä 1

Mapu 1. Laskuharjoitus 3, Tehtävä 1 Mapu. Laskuharjoitus 3, Tehtävä Lineaarisessa approksimaatiossa funktion arvoa lähtöpisteen x 0 ympäristössä arvioidaan liikkumalla lähtöpisteeseen sovitetun tangentin kulmakertoimen mukaisesti: f(x 0

Lisätiedot

Perustehtävät. Kompleksitehtävät, 10/9/2005, sivu 1 / 10. Tehtävä 1. Sievennä 1.

Perustehtävät. Kompleksitehtävät, 10/9/2005, sivu 1 / 10. Tehtävä 1. Sievennä 1. Kompleksitehtävät, 10/9/2005, sivu 1 / 10 Perustehtävät Tehtävä 1. Sievennä 1. 2 5i 1+2i 2. ( 2 i 2) 150 Tehtävä 2. Olkoon P mielivaltainen reaalikertoiminen polynomi. Osoita, että jos luku z C toteuttaa

Lisätiedot

y x1 σ t 1 = c y x 1 σ t 1 = y x 2 σ t 2 y x 2 x 1 y = σ(t 2 t 1 ) x 2 x 1 y t 2 t 1

y x1 σ t 1 = c y x 1 σ t 1 = y x 2 σ t 2 y x 2 x 1 y = σ(t 2 t 1 ) x 2 x 1 y t 2 t 1 1. Tarkastellaan funktiota missä σ C ja y (y 1,..., y n ) R n. u : R n R C, u(x, t) e i(y x σt), (a) Miksi funktiota u(x, t) voidaan kutsua tasoaalloksi, jonka aaltorintama on kohtisuorassa vektorin y

Lisätiedot

u = 2 u (9.1) x + 2 u

u = 2 u (9.1) x + 2 u 9. Poissonin integraali 9.. Poissonin integraali. Ratkaistaan Diriclet n reuna-arvotehtävä origokeskisessä, R-säteisessä ympyrässä D = {(x, y) R x +y < R }, t.s. kun f : D R on annettu jatkuva funktio,

Lisätiedot

5 Kentät ja energia (fields and energy)

5 Kentät ja energia (fields and energy) 5 Kentät ja energia (fields and energy) Mansfield and O Sullivan: Understanding Physics, kappaleen 5 alkuosa 5.1 Newtonin gravitaatiolaki Newton: vetovoima kahden kappaleen välillä on tai tarkemmin F m

Lisätiedot

Differentiaali- ja integraalilaskenta 3 Harjoitus 4/ Syksy 2017

Differentiaali- ja integraalilaskenta 3 Harjoitus 4/ Syksy 2017 MS-A35 Differentiaali- ja integraalilaskenta 3 Differentiaali- ja integraalilaskenta 3 Harjoitus 4/ Syksy 217 Alkuviikon harjoituksissa ratkaistaan kolme tehtävää assistentin avustuksella (läsnäololaskarit).

Lisätiedot

MS-A0202 Differentiaali- ja integraalilaskenta 2 (SCI) Luento 10: Moninkertaisten integraalien sovelluksia

MS-A0202 Differentiaali- ja integraalilaskenta 2 (SCI) Luento 10: Moninkertaisten integraalien sovelluksia MS-A22 ifferentiaali- ja integraalilaskenta 2 (SCI) Luento 1: Moninkertaisten integraalien sovelluksia Antti Rasila Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Aalto-yliopisto Syksy 217 Antti Rasila (Aalto-yliopisto)

Lisätiedot

z Im (z +1) 2 = 0. Mitkä muut kompleksitason pisteet toteuttavat tämän yhtälön? ( 1) 0 z ( 1) z ( 1) arg = arg(z 0) arg(z ( 1)), z ( 1) z ( 1)

z Im (z +1) 2 = 0. Mitkä muut kompleksitason pisteet toteuttavat tämän yhtälön? ( 1) 0 z ( 1) z ( 1) arg = arg(z 0) arg(z ( 1)), z ( 1) z ( 1) . Osoita geometrisesti, että jos = ja niin pätee Im +) = 0. Mitkä muut kompleksitason pisteet toteuttavat tämän htälön? Kirjoitetaan +) = 0 ) ), ) 0 jossa, ja 0 vastaavat kolmion pisteitä kompleksitasossa.

Lisätiedot

PHYS-C0210 Kvanttimekaniikka: peruskäsitteitä

PHYS-C0210 Kvanttimekaniikka: peruskäsitteitä PHYS-C0210 Kvanttimekaniikka: peruskäsitteitä J.-P. Martikainen 1 1 Aalto Varoitus! Tämä tiedosto on tarkoitettu lyhyeksi muistutukseksi kurssilla esiintyneistä konsepteista ja keskeisimmistä kaavoista

Lisätiedot