Mekaniikka 0.0. Tietoja kurssista 1/122

Transkriptio

1 Mekaniikka 0.0. Tietoja kurssista 1/122 Päivitetty luentomateriaali ja uusimmat tehtävät suoraan Kopasta: Muu materiaali (malliratkaisuja yms) Kopassa salasanan takana. Mekaniikka Fysa210 (5 op) Kevät 2017, Fysiikan laitos, Jyväskylän yliopisto Luennot c Juha Merikoski ma-ke (8 viikkoa) Laskuharjoitukset/ohjaukset/ym Mikko Kuha, max 24 p Harjoitustehtävien palautus Aulan laatikkoon tiistaina klo 12 mennessä 1. tentti Perjantaina , max 36 p 2. tentti Perjantaina Yleiset tenttipäivät Perjantaisin, katso laitoksen www Laboratoriotyöt Arvosteltava työ ja lapputyö, max 12 p Kurssin suoritus Teoriaosasta (harjoitukset ja tentti) vähintään 30 pistettä sekä laboratoriotöistä vähintään 6 pistettä. Oletetut esitiedot F1-F3 sekä kurssit M1-M5 (eli kirja Adams&Essex) Kurssikirja Marion&Thornton (josta lainattu 4 kuvaa): Classical Mechanics of Particles and Systems Muuta kirjallisuutta Goldstein: Classical Mechanics Landau&Lifshitz: Mechanics Taulukkokirjat Alan Jeffrey tai Schaum s tai...

2 Mekaniikka 0.1. Kurssin tavoitteet 2/ Kurssin tavoitteet Kurssi sisältää seuraavia asioita: 1,7 Newtonin mekaniikan kertausta ja tukevoittamista (kirja 2,9) 2 Vaimennettu ja pakotettu värähtely (kirja 3) 3,4 Hamiltonin periaate ja Lagrangen liikeyhtälöt (kirja 6,7) 5,6 Gravitaatio ja liike keskeisvoimakentässä (kirja 5,8) 8 Epäinertiaaliset (pyörivät) koordinaatistot (kirja 10) 9 Jäykän kappaleen pyöriminen/dynamiikka (kirja 11) 10 Kytketyt värähtelyt ja normaalimoodit (kirja 12) Kurssin yksi keskeinen tavoite on oppia perusteet klassisen mekaniikan Hamiltonin periaatteeseen pohjautuvasta formuloinnista ja pystyä soveltamaan sitä ongelmiin, joissa se on hyvä lähestymistapa. Kurssi on ensimmäinen varsinainen fysiikan aineopintokurssi ja tahti on ripeähkö. Epäselviksi mahdollisesti jääneet tai muuten vaikeat asiat kannattaa siten selvittää aina saman tien. Tämä esitys perustuu Marionin&Thorntonin kirjaan, josta tietyt luvut ovat vakiintuneet kurssin sisällöksi. Mikä tahansa kirjan painos soveltuu kurssin seuraamiseen, tehtäviä tulee 4-5. painoksista, osa prujun kuvistakin on siitä. Kirja on mukava lukea: siinä on paljon hyvää tekstiä yhtälöiden ympärillä.

3 Mekaniikka 1.1. Newtonin lait 3/ Newtonin mekaniikkaa sovellettuna yhden hiukkasen dynamiikkaan 1.1. Newtonin lait Tavallisimmin Newtonin lait esitetään oleellisesti seuraavassa muodossa: (N1) Kappale pysyy levossa tai tasaisessa liikkeessä, ellei siihen vaikuta mikään voima. (N2) Kappale, johon vaikuttaa voima, liikkuu siten, että sen liikemäärän muutos ajan yksikköä kohti on yhtäsuuri kuin kyseinen voima. (N3) Kahden (vuorovaikuttavan) kappaleen toisiinsa kohdistamat voimat ovat yhtäsuuret ja vastakkaissuuntaiset. Keskeisiä käsitteitä ovat aika t, paikka r, nopeus v, kiihtyvyys a, voima F ja massa m. N1:n mukaisessa tilanteessa olevaa kappaletta kutsutaan vapaaksi kappaleeksi. N1 kertoo voimasta jotain kvalitatiivista. N2:ssa voima tulee määritellyksi kvantitatiivisesti, jos liikemäärän p määritelmässä p = mv (1.1) voimme olettaa massan määritellyksi, jolloin N2 voidaan kirjoittaa muotoon F = dp dt = d (mv). (1.2) dt

4 Mekaniikka 1.1. Newtonin lait 4/122 Massan m ollessa vakio saa N2 tutuimman muotonsa F = ma m v m r ṗ. (1.3) Yllä otimme käyttöön lyhennysmerkinnän, jossa piste suureen päällä tarkoittaa (kokonais)derivointia ajan suhteen ja kaksi pistettä kahdesti derivointia ajan suhteen: nopeus v = ṙ ja kiihtyvyys a = v = r. N1 ja N2 ovat siis lähinnä määritelmiä tai postulaatteja. Sanomme, että N2 postuloi voiman käsitteen. N3 taas on laki, joka pätee silloin kun voimat ovat keskeisvoimia 1 eli kun niiden suunta on pitkin kappalten välistä suoraa viivaa ja kun ne eivät riipu kappalten nopeuksista. N3 voidaan keskeisvoimien tapauksessa laajentaa siten, että massa (massojen keskinäiset suhteet) tulee määritellyksi: (N3 ) Jos kaksi kappaletta, joiden massat ovat m 1 ja m 2, muodostaa eristetyn järjestelmän, niin niiden kiihtyvyydet a 1 ja a 2 ovat kaikilla ajan hetkillä vastakkaissuuntaiset ja niille pätee m 1 a 1 = m 2 a 2. Näin tulee määritellyksi hidas massa. Myöhemmin määritellään painava massa. Hidas massa ja painava massa ovat ekvivalenssiperiaatteen mukaan samat. Kirjoittamalla (N3 ) muodossa dp 1/dt = dp 2/dt saadaan d(p 1 + p 2)/dt = 0 eli kokonaisliikemäärän säilyminen kahden kappaleen tapauksessa. 1 Muunlaisia voimia esiintyy elektrodynamiikassa ja suhteellisuusteoriassa.

5 Mekaniikka 1.2. Inertiaalikoordinaatistot 5/ Inertiaalikoordinaatistot Inertiaalikoordinaatistoksi kutsumme sellaista koordinaatistoa, jossa Newtonin lait pätevät. Erityisesti: Jos kappale, johon ei vaikuta mikään voima, aina liikkuu tasaisella nopeudella (tai pysyy levossa) jossain koordinaatistossa havainnoiden, niin kyseinen koordinaatisto on inertiaalikoordinaatisto. Jos Newtonin lait pätevät jossain koordinaatistossa, niin ne pätevät missä tahansa muussa koordinaatistossa, joka on kyseisen koordinaatiston suhteen tasaisessa liikkeessä. Galilei-muunnoksessa r r + Vt, missä V on vakio(vektori), kiihtyvyys r r + 0 = r, joten yhtälö F = m r eli muutu. Kuvatessamme kappaleen liikettä oletamme avaruuden geometrian euklidiseksi. Vaadimme myös, että inertiaalikoordinaatistossa kappaleen liikeyhtälö ei riipu koordinaattisysteemin origon tai suunnan valinnasta ja että vapaan kappaleen nopeus ei riipu ajasta. Avaruuden homogeenisuudesta ja isotrooppisuudesta sekä ajan homogeenisuudesta johdamme myöhemmin klassisen mekaniikan säilymislait (teemme tämän kuitenkin ensin lähtien Newtonin laeista). Suhteellisuusteoriassa absoluuttinen nopeus tai levossaolo eivät ole hyvin määriteltyjä käsitteitä. Newtonin lakien (joissakin) käytännön sovelluksissa koordinaatistoja verrataan ns. kiintotähtien määräämään koordinaatistoon, joka valitaan absoluuttiseksi (approksimatiiviseksi) inertiaalikoordinaatistoksi. Esim 1.1 Pyörivä koordinaatisto ei ole inertiaalikoordinaatisto.

6 Mekaniikka 1.3. Hiukkasen liikeyhtälö 6/ Hiukkasen liikeyhtälö Olettaen massa vakioksi yhden pistemäisen hiukkasen liikeyhtälö F = m r (1.4) on toisen kertaluvun differentiaaliyhtälö, josta hiukkasen liike ajan funktiona, r = r(t), voidaan (periaatteessa) ratkaista, jos funktio F tunnetaan. Yleisessä tapauksessa F = F(r, v, t). Toisen asteen yhtälölle tarvitaan kaksi alkuehtoa, esimerkiksi r(0) = r 0 ja ṙ(0) = v 0, jotka kiinnittävät kaksi integrointivakiota. Tämä liikeyhtälö pätee myös äärelliselle kappaleelle, jonka asento liikkeen aikana ei ole oleellinen. Peruskurssilla lienee käyty läpi seuraavat esimerkit: Esim 1.2 Kappale kitkattomalla kaltevalla tasolla: painovoima ja tukivoima. Esim 1.3 Kappale kitkaisella kaltevalla tasolla: lepokitka, kitkakerroin µ s. Esim 1.4 Kappale kitkaisella kaltevalla tasolla: liikekitka, kitkakerroin µ k. Esim 1.5 Kappale väliaineessa: vastusvoima F d = mkv n v, missä n = 1, 2. v Kun liike ei ole suoraviivaista (esim. heittoliike ilmassa), liikeyhtälölle ei aina löydy siistiä äärellisellä määrällä alkeisfunktioita esitettävissä olevaa ratkaisua ja on turvauduttava approksimaatioihin tai numeriikkaan.

7 Mekaniikka 1.4. Säilymislait yhdelle hiukkaselle 7/ Säilymislait yhdelle hiukkaselle Seuraavaksi johdamme säilymislait yhdelle pistemäiselle hiukkaselle, 2 jonka massa on m, lähtien Newtonin laeista. 3 Klassisen mekaniikan kolme suurta säilymislakia ovat liikemäärän säilyminen, pyörimismäärän säilyminen ja energian säilyminen. Yhtälöstä (1.2), jos hiukkaseen ei vaikuta mikään voima, saamme ṗ = 0 eli liikemäärän säilymislain: (I) Ellei hiukkaseen vaikuta mikään voima, sen liikemäärä p säilyy, Liikemäärä on vektorisuure, joten säilymislaki pätee sen komponenteille. Yleisemmin: Jos s on vakiovektori ja F s = 0, niin josta integroimalla ajan suhteen ṗ s = F s = 0, (1.5) p s = VAKIO. (1.6) Sanallisesti ilmaisten: Liikemäärän komponentti eli p s/ s sellaiseen suuntaan ê s = s/ s, johon voiman komponentti on nolla, on vakio. 2 Emme vielä mene äärellisen kappaleen pyörimiseen. 3 Myöhemmin yleiselle hiukkassysteemille yleisemmistä lähtökohdista.

8 Mekaniikka 1.4. Säilymislait yhdelle hiukkaselle 8/122 Hiukkasen pyörimismäärä L origon suhteen (huom: L riippuu origon valinnasta) L = r p, (1.7) missä r on hiukkasen paikkavektori origosta mitaten. Voiman momentti N on N = r F, (1.8) missä r on origosta voiman vaikutuspisteeseen mitattu paikkavektori. Pyörimismäärän aikaderivaatta on L = d (r p) = ṙ p + r ṗ, dt mihin sijoittaen ṙ p = mṙ ṙ = 0 saamme L = r ṗ = N. (1.9) Viimeinen yhtäsuuruus seuraa siitä, että N2:a käyttäen N = r F = r ṗ. Täten (1.9):n perusteella L on vakio(vektori), kun hiukkaseen ei vaikuta mikään momentti eli kun N = 0. Pyörimismäärän säilymislaki on siis: (II) Hiukkasen, johon ei kohdistu momentti, pyörimismäärä L säilyy. Huom Pyörimismäärää koskevissa tarkasteluissa/lausumissa on muistettava, että pyörimismäärää ja momenttia tarkastellaan aina jonkin tietyn pisteen suhteen, yllä origon, monihiukkassysteemille massakeskipisteen suhteen. Huom Vasta liikkeen kuvailussa tarvitsemme kulmanopeuden ω käsitettä.

9 Mekaniikka 1.4. Säilymislait yhdelle hiukkaselle 9/122 Voiman F hiukkaseen tekemä työ hiukkasen siirtyessä tilasta 1 tilaan 2, missä hiukkasen hetkellisen tilan määräävät sijainti r = r(t) ja nopeus v = v(t), on W 12 = 2 Jos F on hiukkaseen vaikuttava kokonaisvoima, niin F dr = m dv dt dr dt d 1 F dr. (1.10) dt = m dv dt v dt = m 2 dt (v v) dt = m d 2 dt (v 2 ) dt = d( 1 mv 2 ), 2 mikä on eksakti differentiaali. Siten voiman hiukkaseen tekemä työ on W 12 = 2 1 d( 1 2 mv 2 ) = / 2 1 ( 1 2 mv 2 ) = 1 2 m(v 2 2 v 2 1 ) T 2 T 1, (1.11) missä T = 1 2 mv 2 on hiukkasen liike-energia eli kineettinen energia. 4 Jos kokonaisvoima F on sellainen, että integraali (1.10) ei riipu hiukkasen reitistä vaan ainoastaan hiukkasen sijainnista alku- ja lopputiloissa 1 ja 2, voimme liittää siihen potentiaalienergian U siten, että 2 1 F dr = U 1 U 2. (1.12) 4 Pistemäisellä hiukkasella ei ole pyörimiseen liittyvää liike-energiaa.

10 Mekaniikka 1.4. Säilymislait yhdelle hiukkaselle 10/122 Yhtälö (1.12) toteutuu, jos sillä tällöin 2 1 F dr = 2 1 F = U, (1.13) ( U) dr = 2 1 du = U 1 U 2. Tavallisimmin tällä kurssilla 5 on U = U(r), mutta voi olla myös U = U(r, t). Jos potentiaalienergia ei riipu ajasta eli U = U(r) ja (1.12) pätee kaikille siirtymille 1 2, niin sanomme että voimakenttä F on konservatiivinen. Määritelmän (1.13) perusteella funktioon U voidaan lisätä mikä tahansa vakio, sillä (U + VAKIO) = U. Potentiaalienergian absoluuttisella arvolla ei täten ole merkitystä, ainoastaan potentiaalienergiaeroilla on. Hiukkasen nopeus riippuu valitusta inertiaalikoordinaatistosta, joten myöskään liike-energialle ei voida määrittää absoluuttista arvoa. Hiukkasen kokonaisenergia E on määritelmän mukaan E = T + U. (1.14) Energiallakaan ei ole absoluuttista arvoa, oleellisia ovat muutokset/säilyminen. 5 Nopeudesta riippuvat potentiaalit kuuluvat elektrodynamiikan kurssille.

11 Mekaniikka 1.4. Säilymislait yhdelle hiukkaselle 11/122 Lasketaan sitten kokonaisenergian E aikaderivaatta: Ensinnäkin, sivulta 9 on F dr = d( 1 2 mv 2 ) = dt, joten dt dt = F dr dt = F ṙ Toiseksi, jos on U = U(r, t) = U(x 1, x 2, x 3, t), niin du dt = i Yhdistämällä nämä saamme U dx i x i dt + U U = ( U) ṙ + t t. de dt = dt dt + du U = (F + U) ṙ + dt t = U t, missä viimeisessä välivaiheessa vaadimme, että F = U. Täten, jos F on konservatiivinen, niin U/ t = 0, joten saamme energian säilymislain: (III) Konservatiivisessa voimakentässä hiukkasen kokonaisenergia E on vakio. Johtamamme säilymislait (I,II,III) siis pätevät, jos (N1) ja (N2) ovat voimassa. Muissakin tilanteissa, esimerkiksi elektrodynamiikassa ja modernissa fysiikassa, (kokemuksemme perusteella) uskomme säilymislakien pätevän, kunhan niissä esiintyvät suureet on oikein formuloitu. Näin säilymislaeista tulee luonnonlakeja, jotka rajoittavat fysikaalisesti mahdollisia teorioita uusille ilmiöille.

12 Mekaniikka 1.5. Yhden hiukkasen energiasta yksiulotteisessa tapauksessa 12/ Yhden hiukkasen energiasta yksiulotteisessa tapauksessa Tarkastellaan seuraavaksi pistemäisen hiukkasen yksiulotteista liikettä, jolloin hiukkasen hetkellisen tilan määräävät koordinaatit (x, v). Olettaen lisäksi voimakenttä konservatiiviseksi hiukkasen kokonaisenergia on E(x, v) = 1 2 mv 2 + U(x) = E = VAKIO, josta voimme ratkaista nopeuden v = dx/dt: dx dt = ± 2[E U(x)]/m. Tulkitsemme tämän differentiaaliyhtälöksi (alkuarvo-ongelmaksi), jonka muodollinen ratkaisu on (separoituva DY kun E on vakio) t t 0 = ± x x 0 dx 2[E U(x)]/m, (1.15) missä alkuhetkellä t 0 hiukkasen paikka on x(t 0) = x 0. Mikäli osaamme laskea integraalin annetulle potentiaalille ja käsitellä oikein etumerkin, tulos t = t(x) voidaan ainakin rajatussa alueessa kääntää ja saamme ratkaisun x = x(t). Esim 1.6 Harmoninen värähtelijä: U(x) = 1 2 kx 2, missä k > 0 on vakio. Esim 1.7 Liike gravitaatiokentässä: U(x) = GMm/x, missä G > 0 on vakio.

13 Mekaniikka 1.5. Yhden hiukkasen energiasta yksiulotteisessa tapauksessa 13/122 Oletetaan sitten U(x) jatkuvaksi ja äärettömän monta kertaa derivoituvaksi funktioksi. Se voidaan kehittää Taylorin sarjaksi valitun pisteen x 0 ympärillä: ( ) du U(x) = U 0 + (x x 0) + 1 ( ) d 2 dx 0 2! (x U x0)2 + 1 ( ) d 3 dx 2 0 3! (x U x0) dx 3 0 Yllä alaindeksi 0 tarkoittaa derivaatan arvioimista pisteessä x 0. ( ) du Tasapainopisteeksi kutsumme pistettä x 0, jossa = 0 F = 0. dx 0 Tasapainopisteen läheisyydessä U(x) U ( ) d 2 2 (x U x0)2 dx 2 Tasapaino on joko stabiili (potentiaalienergian lokaali minimi), ( ) d 2 U > 0, dx 2 tai epästabiili (potentiaalienergian lokaali maksimi), ( ) d 2 U < 0. dx 2 Jos potentiaali on x 0:n ympäristössä vakio, tasapaino on neutraali. ( ) d 2 U Jos jossain pisteessä x 0 on = 0, on tutkittava korkeammanasteisia dx 2 0 derivaattoja. Esimerkki tällaisesta tapauksesta on U(x) = κ(x x 0)

14 Mekaniikka 1.6. Newtonin mekaniikan rajoituksia 14/ Newtonin mekaniikan rajoituksia Kerrataan tässä Modernin fysiikan kurssilta (fysa116) tuttuja Newtonin mekaniikan (Isaac Newton, ) perusoletuksia koskevia havaintoja. Erityisesti Newtonin fysiikan rajoitukset liittyvät käsitteisiin aika, paikka ja liikemäärä. Kahteen jälkimmäiseen liittyen, hiukkasen sijaintia ja liikemäärää ei voida samanaikaisesti mitata mielivaltaisella tarkkuudella, vaan niihin liittyvien epätarkkuuksien tuloa x p Heisenbergin epätarkkuusperiaatteen mukaisesti rajoittaa alhaaltapäin vakio, oleellisesti Planckin vakio. SI-yksiköissä sen arvo on suuruusluokkaa Js, joten makroskooppisten kappaleiden liikkeen havainnointiin ja kuvailuun tämä epätarkkuus ei käytännössä vaikuta. Toisaalta atomaarisessa ja subatomaarisessa fysiikassa on välttämätöntä siirtyä klassisesta mekaniikasta kvanttimekaniikkaan. Aiemmin on jo mainittu, että Newtonin mekaniikan lähtökohtana oleva absoluuttisen ajan käsite ei ole toimiva tilanteissa, joissa pitää käyttää suhteellisuusteoriaa, erityisesti kun hiukkasten nopeudet ovat valon nopeuden suuruusluokkaa. Valon nopeus tyhjiössä antaa ylärajan sille, kuinka nopeasti informaatio tai vuorovaikutus voi edetä. Käytännönläheisempi rajoitus Newtonin mekaniikam käytölle on, että yleisessä tapauksessa useamman kuin kahden keskenään vuorovaikuttavan kappaleen ongelma on ratkaisematon. Suurille hiukkasmäärille tarvitaan approksimaatioita tai tilastollista lähestymistapaa eli statistista fysiikkaa.

15 Mekaniikka 2.1. Hooken laki 15/ Värähtelyt 2.1. Hooken laki Sivulla 13 kehitimme yksiulotteiseen liikkeeseen liittyvän potentiaalienergian Taylorin sarjana. Oletetaan nyt, että potentiaalienergialla on lokaali minimi pisteessä x = 0 ja valitaan U 0 = 0, jolloin minimin lähellä approksimatiivinen potentiaalienergia on U(x) = 1 2 kx 2, k = (d 2 U/dx 2 ) 0. Vastaava voima on (1.13):sta yksiulotteisessa tapauksessa F = du/dx eli F (x) = kx. (2.1) Samanmuotoiseen tulokseen päädymme kehittämällä voima F sarjaksi tasapainopisteen x = 0 ympärillä ja ottamalla mukaan ensimmäinen nollasta eroava termi: ( ) df F (x) = F 0 + x + 1 ( ) dx 0 2 x 2 d 2 F +... dx 2 0 missä vastaavasti k = (df /dx) 0 ja tasapainopisteessä F = F 0 = 0. Muoto (2.1) on niin yleinen ja toimiva approksimaatio monissa tilanteissa, että kutsumme sitä nimellä Hooken laki.

16 Mekaniikka 2.2. Harmoninen värähtelijä 1D:ssa 16/ Harmoninen värähtelijä 1D:ssa Newtonin toinen laki 1D:ssa, F = mẍ, tuottaa voiman (2.1) vaikuttaessa m-massaiselle hiukkaselle liikeyhtälön kx = mẍ. Kirjoitamme sen ensin mukavampaan muotoon ẍ + ω 2 0x = 0, ω 2 0 = k/m. (2.2) Tämän täydellinen ratkaisu voidaan (M3 tai kurssikirjan liite) esittää kummassa tahansa seuraavista muodoista: x(t) = A sin(ω 0t δ) (2.3) x(t) = A cos(ω 0t δ) (2.4) Käytämme muotoa (2.3). Alkuehdot määräävät amplitudin A ja vaiheen δ. Värähtelijän liike-energia T = 1 2 mẋ 2 on T (t) = 1 2 ka2 cos 2 (ω 0t δ), (2.5) missä käytimme tietoa mω 2 0 = k. Värähtelijän potentiaalienergia U = 1 2 kx 2 on U(t) = 1 2 ka2 sin 2 (ω 0t δ). (2.6)

17 Mekaniikka 2.2. Harmoninen värähtelijä 1D:ssa 17/122 Kokonaisenergiaksi (joka säilyy) saamme summaamalla tulokset (2.5,2.6) E = T (t) + U(t) = 1 2 ka2 = VAKIO. (2.7) Tässä kannattaa huomata, että kokonaisenergia on verrannollinen amplitudin A neliöön. Tämä pätee monenlaisille (lineaarisille) värähtelijöille, aaltoliikkeellekin. Värähtelyn jakson τ 0 saamme muistamalla, että ω 0τ 0 = 2π, joten ω 2 0 = k/m ja taajuus ν 0 ja kulmataajuus ω 0 ovat τ 0 = 2π m/k (2.8) ν 0 = k/m/2π ω 0 = 2πν 0 = k/m. (2.9) Esim 2.8 Venyvälle ja kokoonpuristuvalle jouselle F = kx pätee hyvin. Esim 2.9 Tasoheilurin liikeyhtälöksi todetaan myöhemmin θ + ω 2 0 sin θ = 0, josta olettamalla heilahdukset pieniksi eli heilahduskulma θ pieneksi sinin sarjakehitelmä sin θ = θ 1 6 θ antaa approksimatiiviseksi liikeyhtälöksi harmonisen värähtelijän liikeyhtälön θ + ω 2 0θ = 0, missä ω 0 = g/l. Esim 2.10 Havaitsemme myöhemmin, että toisiinsa kytkettyjen värähtelijöiden kytketyt liikeyhtälöt voidaan pienten värähtelyjen tapauksessa koordinaattimuunnoksella palauttaa toisistaan riippumattomiksi harmonisiksi värähtelijöiksi. Harmonista approksimaatiota käytetään myös kiinteän aineen kidevärähtelyille.

18 Mekaniikka 2.3. Faasiavaruus 1D liikkeelle 18/ Faasiavaruus 1D liikkeelle Tämä luku käy johdatukseksi ideaan, jolle on monessa yhteydessä käyttöä. Edelleen on kyse 1D liikkeestä. Hiukkasen tilan kullakin ajan hetkellä määrää kaksi lukua, paikka ja nopeus (tavallisemmin liikemäärä p) eli lukupari (x, v). Koordinaattien x ja v sanomme muodostavan faasiavaruuden. Yksiulotteiselle yhden hiukkasen liikkeelle faasiavaruuden dimensio on kaksi. Tästä esimerkkinä 1D harmoniselle värähtelijälle 2.2:sta x(t) = A sin(ω 0t δ) v(t) = Aω 0 cos(ω 0t δ). Neliöimällä nämä saamme x 2 A + v 2 2 A 2 ω0 2 = 1, joka voidaan käyttämällä tietoja E = 1 2 ka2 ja ω 2 0 = k/m kirjoittaa muodossa x 2 2E/k + v 2 2E/m = 1. Täten 1D harmonisen värähtelijän faasiavaruusrata ovat ellipsi, jonka pääakselien pituuksia (x, v)-tasossa skaalaa kerroin E ja jonka pääakselien pituuksien suhteen antaa k/m.

19 Mekaniikka 2.3. Faasiavaruus 1D liikkeelle 19/122 Käytämme sitten (vaihtoehtoisesti) M3:lla (ehkä) esitettyä kikkaa: Toisen kertaluvun DY d 2 x dt 2 + ω2 0x = 0 voidaan ekvivalentisti esittää kahtena ensimmäisen kertaluvun DY:nä: dx/dt = v dv/dt = ω 2 0x. Jakamalla jälkimmäinen DY puolittain ensimmäisellä saamme dv/dx = ω 2 0x/v, mikä on (x, v)-tason ellipsin differentiaaliyhtälö! Päädyimme näin elliptiseen faasiavaruusrataan toista tietä, ratkaisematta alkuperäistä liikeyhtälöä. 1D harmonisen värähtelijän faasiavaruusratoja on kuvassa alla kiinteillä k ja m. Uloimmat radat vastaavat suurempia energian E arvoja. Alkuehdot x(0) = x 0 ja v(0) = v 0 asetetaan valitsemalla tason piste (x 0, v 0) liikkeen alkutilaksi. v(t) x(t)

20 Mekaniikka 2.4. Vaimennettu harmoninen värähtelijä 20/ Vaimennettu harmoninen värähtelijä Oletamme nyt, että värähtelijään vaikuttaa sen nopeuteen verrannollinen vastusvoima F d = bv. Värähtelijän liikeyhtälöön (2.2) tulee tästä lisätermi: Kirjoitamme sen muotoon mẍ + bẋ + kx = 0. ẍ + 2βẋ + ω 2 0x = 0, (2.10) missä vaimennusparametri β = b/2m. Taajuusparametri ω 2 0 = k/m on vastaavan vaimentamattoman (tapauksen β = 0) värähtelijän taajuus. Yhtälö (2.10) on toisen kertaluvun homogeeninen vakiokertoiminen DY, joka ratkeaa yritteellä x = e rt. Yritteen sijoittaminen tuottaa karakteristisen yhtälön r 2 + 2βr + ω0 2 = 0, jonka juuret ovat r 1,2 = β ± β 2 ω0 2. Liikeyhtälön (2.10) ratkaisu, kun β 2 ω0, 2 on siten (kurssi M3) x(t) = e βt[ ) ( )] A 1 exp ( β 2 ω 20 t + A 2 exp β 2 ω 20 t, (2.11) Tästä päädytään erityyppisiin ratkaisuihin riippuen siitä onko kerroin β 2 ω 2 0 imaginaarinen vai reaalinen. Kertoimet A 1 ja A 2 kiinnittyvät alkuehdoista.

21 Mekaniikka 2.4. Vaimennettu harmoninen värähtelijä 21/122 (a) Alivaimennettu värähtely: ω 2 0 > β 2 Merkitsemällä ω 2 1 ω 2 0 β 2 ratkaisusta (2.11) tulee x(t) = e βt [A 1e iω 1t + A 2e iω 1t ], ω 1 R, A 1,2 C. Muistaen, että e iφ = cos φ + i sin φ, ja käyttämällä trigonometrisia kaavoja x(t) = Ae βt cos(ω 1t δ), (2.12) missä kaksi alkuehtojen kautta määräytyvää reaalista vakiota ovat A ja δ. Tämä ratkaisu on amplitudiltaan eksponentiaalisesti vaimeneva värähtelijä, jossa hetkellistä amplitudia rajoittavat verhokäyrät x en(t) = ±Ae βt. Kuvassa alla verhokäyrät on merkitty katkoviivoilla. Vastusvoimasta johtuva energian dissipaatio de/dt < 0 ei ole monotoninen ajan funktio. Liikesuunnan kääntyessä on v = 0 de/dt = 0. Nopeuden lokaalissa maksimissa lähellä tasapainoasemaa on de/dt suurimmillaan. x t t de/dt

22 Mekaniikka 2.4. Vaimennettu harmoninen värähtelijä 22/122 (b) Ylivaimennettu värähtely: ω 2 0 < β 2 Merkitsemällä ω 2 2 β 2 ω 2 0 ratkaisusta (2.11) tulee x(t) = e βt [A 1e ω 2t + A 2e ω 2t ]. (2.13) Tässä ratkaisussa ei ole oskilloivaa osaa, sillä ω 2 R. Myös A 1,2 R. Riippuen nopeuden alkuehdosta v(0) = v 0 saadaan kolme tasapainotilaa eri tavoin lähestyvää aikariippuvuutta: x x x t t t v v 0 >0 v v 0 <0 v v 0 <0 t t t

23 Mekaniikka 2.4. Vaimennettu harmoninen värähtelijä 23/122 (c) Kriittisesti vaimennettu värähtely: ω 2 0 = β 2 Tämä on DY:n kannalta erikoistapaus, jonka ratkaisu M3:lta on 6 x(t) = (A + Bt)e βt, A, B R. (2.14) missä ylimääräinen aikariippuvuus tekijässä Bt antaa sellaisen (oikean) ratkaisun, joka on kahden lineaarisesti riippumattoman ratkaisun summa. Tässä tapauksessa vaimennus juuri ja juuri riittää estämään värähtelyn. Huomattavaa on, että kriittisesti vaimennetussa tapauksessa tasapainotilaa (x, v) = (0, 0) lähestytään nopeammin kuin ali- tai ylivaimennetuissa. Kuvassa alla kvalitatiivisesti yli- ja alivaimennettu sekä kriittinen tapaus. Kussakin tapauksessa alkuehtona on x(0) = 1 ja v(0) = 0. x ali kr yli t 6 Tähän muotoon päätyy (2.11):stakin, kun 0 < β 2 ω 2 0 t 1.

24 Mekaniikka 2.5. Pakotettu harmoninen värähtelijä: sinimuotoinen ajava voima 24/ Pakotettu harmoninen värähtelijä: sinimuotoinen ajava voima Olkoon seuraavassa ulkoinen ajava voima sinimuotoinen eli F = kx bẋ + F 0 cos ωt, missä ω on ajavan voiman taajuus. Merkitsemällä A = F 0/m ja muuten aiemmin merkinnöin pakotetun värähtelijän liikeyhtälö on ẍ + 2βẋ + ω 2 0x = A cos ωt (2.15) eli toisen kertaluvun vakiokertoiminen epähomogeeninen DY. Tämän ratkaisu on vastaavan homogeenisen yhtälön (2.10) ratkaisun x c ja täydellisen yhtälön (2.15) erityisratkaisun x p summa. Siis x(t) = x c(t) + x p(t). (2.16) Homogeenisen yhtälön ratkaisu on edellisestä luvusta (2.11) eli x c(t) = e βt[ A 1 exp( β 2 ω 2 0 t) + A2 exp( β 2 ω 2 0 t) ]. (2.17) Täydellisen yhtälön erityisratkaisun antaa yrite x p(t) = D cos(ωt δ). (2.18) Tämän yritteen sijoittaminen (2.15):iin tuottaa D:lle ja δ:lle lausekkeet / D = A (ω0 2 ω2 ) 2 + 4ω 2 β 2 tan δ = 2ωβ/(ω0 2 ω 2 ).

25 Mekaniikka 2.5. Pakotettu harmoninen värähtelijä: sinimuotoinen ajava voima 25/122 Pitkän ajan rajalla termi x c(t) vaimenee ja jäljelle jää vain x(t) x p(t). Alkuehto [x c(t)] siis vähitellen unohtuu ajavan voiman ottaessa hallinnan. Etsimme sitten ω:n arvon, jolla x p(t):n kerroin D maksimoituu: dd = 0. dω ω=ωr Tästä saatavaa arvoa ω R kutsumme amplitudin resonanssitaajuudeksi: ω R = ω 2 0 2β2. (2.19) Resonanssi eli D:n lokaali maksimi on mahdollinen vain kun ω 2 0 > 2β 2. Resonanssitaajuus ω R pienenee vaimennuskertoimen β kasvaessa. Resonanssia on tapana kuvata myös hyvyystekijällä eli Q-tekijällä Q = ω R /2β, Q:n kasvaessa kasvaessa vaimennus heikkenee, D:n resonanssipiikki terävöityy ja sen huipun kohta siirtyy kohti ω 0:aa. Kuvassa alla Q = 0, 1, 2, 4, 6, 8,. D δ ω o ω ω o ω

26 Mekaniikka 2.5. Pakotettu harmoninen värähtelijä: sinimuotoinen ajava voima 26/122 Laskemme vielä liike-energian odotusarvon yli jakson, kun x(t) x p(t). Hetkellisesti ẋ(t) ẋ p(t) = Dω sin(ωt δ), josta liike-energia on Tämän keskiarvo yli jakson on T = ω 2π T (t) = 1 2 md2 ω 2 sin 2 (ωt δ). 2π/ω md2 ω 2 sin 2 (ωt δ)dt. Funktion sin 2 x kerkiarvoarvo yli jakson on π, joten D auki kirjoittaen T = ma2 4 ω 2 (ω 2 0 ω2 ) 2 + 4ω 2 β 2. (2.20) Tämän funktion maksimikohta ω E saadaan derivoimalla: d T = 0 ω E = ω 0. (2.21) dω ω=ωe Amplitudiresonanssi oli taajuudella ω R = ω 2 0 2β2, mikä on samalla keskimääräisen potentiaalienergian resonanssitaajuus, koska potentiaalienergia on verrannollinen amplitudin neliöön. Ero ω E > ω R on mahdollinen, koska systeemin saamaa energiaa dissipoidaan jatkuvasti vastusvoiman kautta ja järjestelmä ei siten ole konservatiivinen.

27 Mekaniikka 2.6. Pakotettu värähtelijä yleisemmällä ajavalla voimalla 27/ Pakotettu värähtelijä yleisemmällä ajavalla voimalla Kurssikirjassa esitellään yleinen ratkaisumenetelmä, 7 joka sallii mielivaltaisen pakkovoiman F (t). Etsimällä ongelmaa vastaava Greenin funktio G(t, t ) x(t) = t F (t )G(t, t )dt. (2.22) Funktio G sisältää informaation homogeenisen yhtälön rakenteesta sekä alkuehdoista. Jos oletetaan värähtelijän olevan levossa tasapainossa ennen kuin voima F alkaa vaikuttaa, on kirjassa johdettu Greenin funktioksi { G(t, t e β(t t ) sin[ω 1(t t )]/mω 1, kun t t ) = 0, kun t < t, missä ω 2 1 ω 2 0 β 2 kuten alivaimennetun värähtelijän tapauksessa aiemmin. Tätä voi soveltaa erilaisiin tilanteisiin. Yksinkertaisin on F (t ) = Aδ(t t 0), missä pakkovoima on hetkellä t = t 0 vaikuttava lyhyt impulssi, jota tässä kuvataan Diracin δ-funktiolla. Tällöin yhtälön ratkaisu on x(t) = AG(t, t 0). Tässä itse asiassa onkin Greenin menetelmän juoni: Greenin funktio kuvaa vastetta hetkelliseen impulssiin. Pidempikestoinen voima F (t) käsitellään summaamalla (2.22):ssa peräkkäisten hetkellisten impulssien vaikutus. 7 Merkitty :lla aiheita, jotka käydään läpi vain maininnan tasolla.

28 Mekaniikka 2.7. Ajettu epälineaarinen värähtelijä 28/ Ajettu epälineaarinen värähtelijä Tarkastellaan vielä esimerkinomaisesti pakotettua 1D värähtelijää, jonka liikeyhtälössä ensimmäisen asteen termin kerroin on negatiivinen ja johon on lisätty epälineaarinen kolmannen asteen termi: ẍ(t) + 2βẋ(t) x(t) + [x(t)] 3 = A cos ωt. Paikasta riippuvan voiman potentiaalienergia on nyt U(x) = 1 2 x x 4. Tällä on stabiilit tasapainopisteet x = ±1 ja epästabiili tasapainopiste x = 0. Kirjoitetaan tämä toisen asteen DY kahden ensimmäisen asteen DY:n avulla: dx dt = v dv dt = 2βv + x x 3 A cos ωt. Seuraavan sivun (x, v)-faasiavaruuskaavioissa ja x(t)-kuvissa on esitetty tämän yhtälöparin ratkaisuja muutamalla A:n arvolla, kun β = 0, 125 ja ω = 1, 2. 8 Tulosta kuvataan sanoilla kaaos, alkuarvoherkkyys, aperiodisuus,... Välillä 0, 4 < A < 0, 6 (noin) liike on kaoottista ja ennustaminen ei ole mahdollista. Pienemmillä ja suuremmillakin A:n arvoilla saadaan (miksi?) luonteeltaan periodisia oskillaatioita. Huom Lähtökohtana oli kuitenkin täysin deterministinen yhtälö. 8 Arvot teoksesta Jordan&Smith: Nonlinear ordinary differential equations.

29 Mekaniikka 2.7. Ajettu epälineaarinen värähtelijä 29/122 v(t) A = x(t) x(t) t v(t) A = x(t) x(t) t v(t) A = x(t) x(t) t Kussakin tapauksessa alkutila on merkitty tähdellä. Nyt vasemmalla olevat faasiavaruusradat (x(t), v(t)) selvästikin antavat enemmän informaatiota liikkeen luonteesta kuin oikealla olevat ratkaisufunktiot x = x(t).

30 Mekaniikka 2.8. Tasoheiluri 30/ Tasoheiluri Jäykällä varrella varustetun tasoheilurin liikeyhtälö on θ + ω0 2 sin θ = 0, ω0 2 = g/l. Tämä DY on selvästi epälineaarinen 9 eikä sille ole äärellisen monen alkeisfunktion avulla kirjoitettavissa olevaa eksaktia ratkaisua. Ensimmäinen askel on etsiä approksimatiivinen ratkaisu linearisoimalla: Pienillä heilahduskulman θ arvoilla sin θ θ + o(θ 3 ), joten linearisoitu liikeyhtälö on θ + ω 2 0θ = 0. Tämä on yksiulotteisen harmonisen värähtelijän yhtälön muotoa, joten 2.2:n tulokset pätevät. Heilurin jakson ajalle saamme tästä approksimaation τ 0 = 2π l/g. Eteenpäin: Periaatteessa tarkempaa ratkaisua voisi hakea tarkentamalla approksimaatiota lineaarisen ratkaisun ympärillä. Edetään kuitenkin toisin: Jos θ 0 on kulma, josta heiluri lasketaan levosta liikkeelle, niin E(θ 0) = 2mgl sin 2 (θ 0/2) U(θ) = 2mgl sin 2 (θ/2) T ( θ) = 1 2 ml2 θ2. Käyttämällä tietoa E = T + U näistä seuraa välittömästi θ = dθ/dt = 2 g/l sin 2 (θ 0/2) sin 2 (θ/2). 9 Ulkoisella voimalla ajettu heiluri on kaoottinen systeemi myös.

31 Mekaniikka 2.8. Tasoheiluri 31/122 Tämän integroimme ajan suhteen neljäsosajakson yli [huom: kuten (1.15)]: l θ0 dθ τ = 2 g 0 sin 2 (θ 0/2) sin 2 (θ/2) Tämä on ensimmäisen lajin elliptinen integraali, joka ei integroidu siististi. Merkiten k = sin(θ 0/2) ja tehden muuttujanvaihto z = sin(θ/2)/ sin(θ 0/2) l 1 [ 1/2dz. τ = 4 (1 z 2 )(1 k 2 z )] 2 g 0 Käytämme sarjakehitelmää (1 k 2 z 2 ) 1/2 = k 2 z k4 z ja integroimme termeittäin l [ τ = 2π g 4 k2 + 9 ] 64 k Tämän palautamme θ 0:n avulla ilmaistuksi: k = sin(θ 0/2) l [ τ = 2π g 16 θ ] 3072 θ Huom θ 0 π k 1 τ. Tämän fysikaalinen tulkinta? Huom Tämä myös on dimensionalyysin mukainen tulos: Dimensiottomat ryhmät ovat τ 2 g/l ja θ 0, joten F (τ 2 g/l, θ 0) = 0 τ = l/g f (θ 0).

32 Mekaniikka 2.9. Harmoninen värähtelijä 2D:ssa 32/ Harmoninen värähtelijä 2D:ssa Olkoon nyt värähtelevän hiukkasen paikka r = (x, y) ja vaikuttava voima Liikeyhtälöt koordinaattiakseleiden suuntaan ovat täten F = kr. (2.23) ẍ + ω 2 0x = 0 ÿ + ω 2 0y = 0, (2.24) missä ω 2 0 = k/m. Yhtälöiden yleinen ratkaisu r(t) = (x(t), y(t)) on x(t) = A cos(ω 0t α) y(t) = B cos(ω 0t β). (2.25) Liike on siis yksinkertaisen harmonisen värähtelijän liikettä kummassakin spatiaalisessa suunnassa. Hiukkasen liikerata xy-tasossa on kiinnostavampi. Ensinnäkin on ilmeistä, että rata riippuu erotuksesta δ = α β eli x- ja y-suuntaisen liikkeen välisestä vaihe-erosta. Kirjoitetetaanpa siksi y(t) uudelleen: y(t) = B cos(ω 0t α + δ) = B cos(ω 0t α) cos(δ) B sin(ω 0t α) sin(δ). Huomataan sitten, että cos(ω 0t α) = x/a, jolloin ylläoleva saa muodon Ay Bx cos δ = ±B A 2 x 2 sin δ, jonka neliöinti puolittain ja uudelleenjärjestely paljastavat neliömuodon (LAG) B 2 x 2 2ABxy cos δ + A 2 y 2 = A 2 B 2 sin 2 δ.

33 Mekaniikka 2.9. Harmoninen värähtelijä 2D:ssa 33/122 Lineaarialgebra Riippuen vakioista A, B, δ tämän yhtälön mukaiset 2D värähtelijän ratakäyrät (x(t), y(t)) ovat xy-tasossa ympyröitä tai ellipsejä. Esimerkiksi tapauksessa A = B ja δ = ±π/2 saadaan ympyrä x 2 + y 2 = A 2. Jos A B ja δ = ±π/2, tuloksena on ellipsi x 2 /A 2 + y 2 /B 2 = 1. Kun A = B, muut δ:n valinnat tuottavat xy-tasossa vinossa olevia ellipsejä, ääritapauksena suora viiva vaihe-eron ollessa δ = π, 2π. Ensimmäisessä kuvassa kiertosuunta on myötäpäivään, entäpä muissa? δ=90 o δ=120 o δ=150 o δ=180 o δ=240 o δ=270 o δ=300 o δ=360 o

34 Mekaniikka 2.9. Harmoninen värähtelijä 2D:ssa 34/122 Vielä yleisempi 2D värähtelijä on sellainen, jolle (ω x, ω y ) = ( k x/m, k y /m) F = (k xx, k y y) x(t) = A cos(ω xt α) y(t) = B cos(ω y t β). Nyt ratakäyrät ovat monimutkaisempia kuvioita, jotka tunnetaan Lissajousin käyrinä. Nämä käyrät ovat sulkeutuvia eli liike itseään toistavaa, jos ω x/ω y on rationaaliluku. Jos taasen ω x/ω y on irrationaaliluku, hiukkasen liikerata vähitellen täyttää xy-tason suorakaiteen [ A, A ] [ B, B ]. Voidaan nimittäin osoittaa, että tällöin ratakäyrä riittävän pitkän ajan kuluessa käy mielivaltaisen lähellä mitä tahansa kyseisen suorakaiteen pistettä. Kuvassa alla on ratakäyriä (x(t), y(t)) joillakin parametrisaatioilla (kaikissa A=B). Tämä on esimerkki tilanteesta, jossa pienikin muutos ongelman parametreissa, tässä ω x ja ω y, voi tuottaa hyvin suuren kvalitatiivisen muutoksen ratakäyrissä. ω y =2ω x δ=0 ω y =2ω x δ=60 o ω y =2ω x δ=90 o ω y =2 1/2 ω x δ=120 o Huom 2D värähtelijän faasiavaruus on 4D, sen koordinaatteina (x, y, v x, v y ). Faasiavaruusratojen tutkimiseen käytetään tällöin faasiavaruuden kaksiulotteisia aliavaruuksia eli tasoja (niiden täyttymistä ajan kuluessa).

35 Mekaniikka 3.1. Ongelmanasettelu 35/ Hieman variaatiolaskentaa 3.1. Ongelmanasettelu Ääriarvoperiaatteet ovat monella fysiikan alalla keskeisiä. Tunnetuin lienee Fermat n periaate optiikassa. Statistisessa fysiikassa järjestelmän tasapainotila on sellainen joka (annetuilla ehdoilla) maksimoi suljetun systeemin entropian tai (avoimille systeemeille) minimoi vapaan energian. Kvanttimekaanisen monihiukkasjärjestelmän minimienergiaa voi hakea variaatiomenetelmällä. Tarkastelemme nyt yksinkertaista variaatiolaskennan ongelmaa: Etsittävänä on funktio y = y(x), joka annetulla f = f (y(x), y (x); x) minimoi integraalin x2 J = f (y(x), y (x); x)dx. (3.1) x 1 Tehtävän ratkaisu on sellainen funktio y = y(x), että mikä tahansa sitä lähellä oleva funktio tuottaa integraalille (3.1) suuuremman arvon. Parametrisoimme sitten näitä optimaalista ratkaisua y = y(x) lähellä olevia funktioita ỹ(α, x) yhdellä parametrilla α siten, että J minimoituu, kun α = 0. Kirjoitamme ỹ(α, x) = y(x) + αη(x) η(x) = ỹ(α, x)/ α, (3.2) missä η(x) on jokin mv. jatkuvasti derivoituva funktio, jolle η(x 1) = 0 = η(x 2). Tällöin minimoitavasta integraalista J tulee parametrin α funktio: J(α) = x2 x 1 f (ỹ(α, x), ỹ (α, x); x)dx. (3.3)

36 Mekaniikka 3.2. Eulerin yhtälö 36/ Eulerin yhtälö Ääriarvoehto (3.3):lle on δj = 0, tarkoittaen yllä olevin määritelmin: J = 0. (3.4) α α=0 Integrointirajat ovat kiinteät, joten derivointi voidaan viedä integraalin sisään: J { x2 } x2 [ = f (ỹ, ỹ f ỹ ; x)dx = α α=0 α α=0 ỹ α + f ỹ ] dx. ỹ α α=0 x 1 Nyt (3.2):sta ỹ(α, x)/ α = η(x) ja ỹ (α, x)/ α = dη(x)/dx, joten J x2 [ f f dη ] = η(x) + dx. α α=0 y y dx Jälkimmäinen termi hoituu osittaisintegroinnilla: x2 x 1 f y dη dx dx = / x 2 x 1 x 1 f y η(x) x 1 x2 x 1 d ( f ) η(x)dx. dx y Sijoitustermi on nolla, koska η(x 1) = 0 = η(x 2). Täten J x2 [ f = α α=0 y d f ] η(x)dx, (3.5) dx y x 1 kun α-riippuvuus oli funktioissa ỹ = ỹ(α, x) ja ỹ = dỹ(α, x)/dx.

37 Mekaniikka 3.2. Eulerin yhtälö 37/122 Ääriarvopisteessä derivaatta (3.5) häviää kaikilla η(x), kun α = 0. Koska η(x) on mielivaltainen funktio, jolle η(x 1) = 0 = η(x 2), täytyy hakasulkeissa olevan lausekkeen olla nolla, kun α = 0.!!! Täten ratkaisufunktio y = y(x) toteuttaa Eulerin yhtälön Reunahuom Funktion f derivointi antaa d f dx y = f y. (3.6) df dx = f dy y dx + f dy y dx + f x = y f y + y f y + f x d ( y f ) + y [ f dx y y d f ] + f dx y x Nyt hakasuluissa oleva lauseke on (3.6):n perusteella nolla, joten saamme Eulerin yhtälön toisen muodon f x = d ( f y f ). dx y Tämä on käytännöllinen muoto silloin, kun f = f (y, y ) eli kun f ei riipu suoraan x:stä, koska ensimmäinen termi on nolla. Jäljelle jäävän termin voimme tällöin integroida suoraan, tuloksena f y f / y = VAKIO, kun f / x = 0.

38 Mekaniikka 3.3. Eulerin yhtälö useamman muuttujan tapauksessa 38/ Eulerin yhtälö useamman muuttujan tapauksessa Mekaniikassa tulee usein vastaan ongelmia, joissa minimoitavan integraalin sisällä oleva funktio f riippuu useammasta muuttujasta: f = f (y 1(x), y 1(x), y 2(x), y 2(x),..., y n(x), y n(x); x) Kirjoittamalla nyt kaikilla i = 1, 2,..., n ỹ i (α, x) = y i (x) + αη i (x), päädymme yleistämällä aiemman laskun (3.5):a vastaavaan yhtälöön J x2 [ f = d f ] η α α=0 y i dx y i i (x)dx. (3.7) x 1 i Koska variaatiot η i (x) ovat toisistaan riippumattomia, tulee jokaisen suluissa olevan lausekkeen erikseen hävitä, joten saamme Eulerin yhtälöt kullekin funktiolle y i = y i (x): d f = f, i = 1, 2,..., n. (3.8) dx y i y i Huom Nyt esimerkiksi derivointi y 1:n suhteen voi noukkia yhtälöön i = 1 mukaan funktion y 2 eli yhtälöt (3.8) voivat kytkeytyä toisiinsa. Tällaisessa tapauksessa pyritään tekemään koordinaattimuunnos y i q i siten, että Eulerin yhtälöt muuttujille q i eivät kytkeydy toisiinsa (katso esim. 4,9,10).

39 Mekaniikka 3.4. Sidosehtojen käsittely 39/ Sidosehtojen käsittely Tarkastellaanpa kahden muuttujan, y 1(x) y(x) ja y 2(x) z(x), tapausta jossa f = f (y i, y i, ; x) f (y, y, z, z ; x). Tällöin n = 2 ja (3.7):sta tulee J x2 ([ f = α α=0 y d f ] ỹ [ f dx y α + z d f ] z ) dx. (3.9) dx z α x 1 Olkoon nyt muuttujien y = y(x) ja z = z(x) välillä sidosehto muotoa g(y, z; x) = 0. (3.10) Tällöin (3.9):ssa hakasuluissa olevia lausekkeita ei voida puhua toisistaan riippumatta nolliksi, koska variaatiot η(x) = ỹ/ α ja ζ(x) = z/ α eivät ole toisistaan riippumattomat. Koska dg = 0 ja dx/dα = 0, on oltava joten g y J = α α=0 = g ζ(x) η(x) + ζ(x) = 0 z η(x) = g/ y g/ z, x2 x 1 x2 x 1 {[ f y d dx {[ f y d dx f ] [ f η(x) + y f ] y [ f z d dx z d dx f ] g/ y z g/ z f ] } ζ(x) dx z } η(x)dx.

40 Mekaniikka 3.4. Sidosehtojen käsittely 40/122 Viimeisessä muodossa on enää yksi variaatio η(x), joten aaltosuluissa olevan lausekkeen on oltava nolla. Pienellä uudelleenjärjestelyllä tästä seuraa [ f y d f ]( g dx y y ) 1 = [ f z d f ]( g dx z z ) 1. Kumpikin puoli on x:n funktio, jota merkitsemme λ(x):llä, tuloksena d f dx y = f g + λ(x) (3.11) y y d f dx z = f g + λ(x) z z. (3.12) Nyt tuntemattomia funktioita on kolme: y(x), z(x) ja λ(x). Ne määräytyvät kolmesta yhtälöstä: (3.10), (3.11) ja (3.12). Funktio λ(x) on määräämätön Lagrangen kertoja. (katso kurssi M2) Tarkastelu ja tulos yllä yleistyy useammalle muuttujalle ja useammalle sidosehdolle. Yleisessä tapauksessa on ratkaistava kytketyt yhtälöt d f = f + dx y i y i j λ j (x) g j y i, g j (y 1,..., y n; x) = 0, (3.13) missä on yhtälö kullekin y i (i = 1,..., n) ja m sidosehtoa (j = 1,..., m). Sidosehdot g j (y i ; x) = 0 voidaan ilmaista myös differentiaaliyhtälöin: g j dy i = 0. (3.14) y i i

41 Mekaniikka 4.1. Hamiltonin periaate 41/ Lagrangen ja Hamiltonin dynamiikka 4.1. Hamiltonin periaate Newtonin mekaniikan, erityisesti voiman käsitteen, yksi etu on että voimat ovat yksinkertaisesti komponenteittain summattavissa kokonaisvoimaksi. Monissa käytännön tilanteissa hiukkasten/kappalten liike on kuitenkin sidosehtojen rajoittamaa ja sidosehtoihin liittyvien tukivoimien käsittely hankalaa. Tämä on käytännön motivaatio etsiä toisenlaista klassisen mekaniikan formulointia. Newtonin laeissa postuloitiin voiman käsite. Klassisen mekaniikan perusteet voidaan kuitenkin kehittää toisista lähtökohdista. Klassisen ja vielä enemmän modernin fysiikan keskeinen käsite on energia, jonka kautta myös hiukkasten vuorovaikutukset voidaan määritellä. Vaihtoehtoinen lähtökohta on Hamiltonin periaate: Kaikista tavoista, joilla dynaaminen systeemi voisi tietyn ajan kuluessa siirtyä tilasta toiseen, valikoituu se, joka minimoi liike-energian ja potentiaalienergian erotuksen aikaintegraalin. Hamiltonin periaate johtaa variaatio-ongelmaan δ t2 t 1 (T U)dt = 0, (4.1) missä δ on lyhennysmerkintä ehdolle (3.4). Ehto (4.1) ei sinänsä vaadi minimiä, vaan maksimikin kelpaisi, mutta tavallisesti mekaniikassa päädytään minimiin.

42 Mekaniikka 4.1. Hamiltonin periaate 42/122 Yhdelle hiukkaselle, joka liikkuu konservatiivisessa voimakentässä, on T = T (ẋ i ) U = U(x i ), missä käytämme lyhennysmerkintää: hiukkasen liikkeelle 3D:ssa T (ẋ i ) T (ẋ 1(t), ẋ 2(t), ẋ 3(t)) U(x i ) U(x 1(t), x 2(t), x 3(t)). Määritellään sitten Lagrangen funktio L = L(x i, ẋ i ) näiden erotuksena L = T U, (4.2) missä x i = x i (t) ja ẋ i = ẋ i (t), jolloin Hamiltonin periaate saa muodon δ t2 t 1 L(x i, ẋ i )dt = 0. (4.3) Tämän variaatio-ongelman ratkaisu toteuttaa Eulerin yhtälöt (3.8), joita tässä yhteydessä kutsutaan Eulerin-Lagrangen yhtälöiksi (ELY) hiukkasen koordinaateille: d L dt ẋ i = L x i, i = 1, 2, 3. (4.4) Huom Jälkivisaasti voidaan todeta, että ELY:n tulee johtaa ja ne johtavat samaan dynamiikkaan kuin Newtonin toinen laki. Huom : Merkinnät muuttuneet: 3 4 y i (x) x i (t) ja x t.

43 Mekaniikka 4.1. Hamiltonin periaate 43/122 Esim 4.11 Lagrangen yhtälöiden käyttöä valaisee tuttu sovellusesimerkki: Harmoniselle värähtelijälle 1D:ssa T = 1 2 mẋ 2 U = 1 2 kx 2 L(x, ẋ) = 1 2 mẋ kx 2 L x = kx L ẋ = mẋ d L dt ẋ = mẍ Sijoittamalla nämä (4.4):ään, joka 1D:ssä on vain yksi yhtälö, saamme mẍ = kx, mikä on sama kuin Newtonin toisen lain antama liikeyhtälö (2.2). Yllä kannattaa huomata, että emme todellakaan käyttäneet voiman käsitettä. Lagrangen liikeyhtälöiden yksi keskeinen etu on vapaus muuttujien valinnassa: Esim 4.12 Tasoheilurille, jonka varren pituus on l, Lagrangen funktio on L(θ, θ) = 1 2 ml2 θ 2 mgl(1 cos θ), josta L L = mgl sin θ θ θ = d L ml2 θ dt θ = ml2 θ, minkä sijoittaminen (4.4):ään antaa 2.9:stä tutun likeyhtälön θ = g sin θ. l

44 Mekaniikka 4.2. Yleistetyt koordinaatit 44/ Yleistetyt koordinaatit Tarkastelemme seuraavassa n keskenään vuorovaikuttavan pistemäisen hiukkasen muodostamaa systeemiä, joista jotkut hiukkaset voivat olla vuorovaikutuksin kytketyt toisiinsa tai liikkumattomiin kappaleisiin. Hiukkasten paikkoja kuvaamaan tarvitaan 3n suuretta eli koordinaattia. Jos systeemissä on sidosehtoja, jotka kytkevät joitakin koordinaatteja toisiinsa tai ympäristöön [vrt. (3.10)], niin kaikki koordinaatit eivät ole toisistaan riippumattomia. Jos systeemissämme on m sidosehtoa, on vain 3n m riippumatonta koordinaattia. Sanomme tällöin, että systeemillä on s = 3n m vapausastetta. Hiukkasten paikkoja kuvaavien s = 3n m koordinaattien ei tarvitse olla suorakulmaisia koordinaatteja. Mitkä tahansa s lukua, jotka täydellisesti määräävät hiukkasten paikat, käyvät. Ne voivat olla esim. käyräviivaisia koordinaatteja, kuten pallokoordinaatteja. Kutsumme tällaisia valittuja koordinaatteja yleistetyiksi koordinaateiksi. Teoreettisessa kontekstissa niitä on tapana merkitä: q 1, q 2,.... Yleistettyjen koordinaattien lisäksi voimme tarpeen mukaan määritellä niihin liittyvät yleistetyt nopeudet eli aikaderivaatat q 1, q 2,... Joissain tilanteissa voi olla mielekästä käyttää useampaa kuin s koordinaattia ja ottaa sidosehdot huomioon käyttämällä määräämättömiä Lagrangen kertojia.

45 Mekaniikka 4.2. Yleistetyt koordinaatit 45/122 Jos indeksoimme hiukkasia α:lla ja niiden karteesisia koordinaatteja i:llä, muunnosyhtälöt karteesisten ja yleistettyjen koordinaattien välillä ovat x α,i = x α,i (q 1, q 2,..., q s, t), missä α = 1, 2,..., n ja i = 1, 2, 3. Huomaa, että yleisessä tapauksessa muunnokset voivat riippua eksplisiittisesti ajasta. Lyhyemmin kirjoittaen x α,i = x α,i (q j, t), (4.5) missä j = 1, 2,..., s indeksoi yleistettyjä koordinaatteja. Muunnokset nopeuksien ja yleistettyjen nopeuksien välillä voivat sisältää myös riippuvuutta q i :sta: Vastaavat käänteiset muunnokset ovat ẋ α,i = ẋ α,i (q j, q j, t). (4.6) q j = q j (x α,i, t) (4.7) q j = q j (x α,i, ẋ α,i, t). (4.8) Kiinnitämme vielä merkintätavan mahdollisille sidosehdoille: missä k = 1, 2,..., m. f k (x α,i, t) = 0, (4.9)

46 Mekaniikka 4.3. Eulerin-Lagrangen yhtälöt yleistetyissä koordinaateissa 46/ Eulerin-Lagrangen yhtälöt yleistetyissä koordinaateissa Hamiltonin periaatteen mukaan dynaamisen systeemin (toteutuva) aikakehitys jollain aikavälillä minimoi Lagrangen funktion aikaintegraalin. Lagrangen funktio on systeemin liike- ja potentiaalienergian erotus. Ratkaisevan tärkeä tässä vaiheessa on havainto, että energia ei ole vektorivaan skalaarisuure. Siten se on invariantti koordinaatistomuunnoksissa. Tämä mahdollistaa sujuvan siirtymisen yleistettyihin koordinaatteihin. On myös muunnoksia, jotka muuttavat Lagrangen funktiota, mutta eivät lopulta vaikuta liikeyhtälöihin. Esimerkki tällaisesta on muunnos tyyppiä L L + df /dt, missä funktiolla f = f (q i, t) on jatkuvat toisen kertaluvun osittaisderivaatat. Yleistettyjä koordinaatteja käyttäen Lagrangen funktio on L(q j, q j, t) = T (q j, q j, t) U(q j, t) (4.10) ja Hamiltonin periaate t2 δ L(q j, q j, t)dt = 0. (4.11) t 1 Tästä seuraavat Eulerin-Lagrangen yhtälöt (ELY) d L dt q j = L q j, j = 1, 2,..., s. (4.12)

47 Mekaniikka 4.3. Eulerin-Lagrangen yhtälöt yleistetyissä koordinaateissa 47/122 Lagrangen yhtälöiden (4.12) käyttämiseksi vaadimme seuraavat ehdot: 1. Systeemiin vaikuttavat voimat ovat sidosehtoihin liittyviä voimia lukuunottamatta saatavissa potentiaalista tai potentiaaleista. 2. Sidosehtojen on oltava muodoltaan sellaisia, että ne kytkevät toisiinsa hiukkasten koordinaatteja (eivät nopeuksia). Sidosehdot ovat siis muotoa f k (x α,i, t) = 0. (4.13) Tarkastelemme systeemejä, joissa vaikuttavat voimat ovat konservatiivisia, jolloin ne saadaan potentiaalifunktioista. Tällöin ehto 1 toteutuu. Edelleen, rajoitumme tilanteeseen, jossa ehto 2 toteutuu. Yhtälön (4.13) mukaisia sidosehtoja kutsutaan holonomisiksi. Huom Hamiltonin periaate ja siis Lagrangen mekaniikka voidaan yleistää siten, ettei ehtoja 1-2 vaadita (kirja: Herbert Goldstein... jatkokurssi...). Esimerkkejä, jotka joko helpottuvat tai eivät Lagrangen mekaniikkaa käyttäen: Esim 4.13 Yleistetyt koordinaatit liikkeelle puolipallon pinnalla. Esim 4.14 Koordinaattimuunnokset tasoheilurille. Esim 4.15 Heittoliike ilman vastusvoimaa. Esim 4.16 Liike kartion pinnalla gravitaation vaikuttaessa. Esim 4.17 Tasoheiluri kiihtyvässä junanvaunussa.

48 Mekaniikka 4.4. Eulerin-Lagrangen yhtälöt sidosehdoin 48/ Eulerin-Lagrangen yhtälöt sidosehdoin (a) Nopeuksia sisältävät sidosehdot Yleinen nopeuksista riippuva sidosehto on muotoa f (x α,i, ẋ α,i, t) = 0. (4.14) Tietyissä tapauksissa tällainen ehto palautuu holonomiseksi. Esimerkiksi ehto A i ẋ i + B = 0, i = 1, 2, 3 (4.15) tapauksessa, jossa i A i = f / x i B = f / t f = f (x i, t), (4.16) voidaan kirjoittaa muodossa f x i x i t + f t = 0 df = 0. (4.17) dt i Tämä on suoraan integroitavissa, tuloksena holonominen ehto f (x i, t) VAKIO = 0. (4.18) Yleisemmin: f k (q j, q j, t):lle ehdot, jotka ovat saatettavissa muotoon f k dq j + f k df dt = 0 = 0, (4.19) q j t dt j ovat ekvivalentteja muodon (4.13) kanssa ja siis lopulta holonomisia.

49 Mekaniikka 4.4. Eulerin-Lagrangen yhtälöt sidosehdoin 49/122 (b) Tavanomaiset holonomiset sidosehdot Luvun 3.4 perusteella sidosehdot, jotka ovat ilmaistavissa muodossa j f k q j dq j = 0, (4.20) missä j = 1, 2,..., s ja k = 1, 2,..., m, ovat suoraan käsiteltävissä määräämättömien Lagrangen kertojien avulla. Tällöin (4.12):n asemasta d L dt q j = L q j + k λ k (t) f k q j. (4.21) Huom Joissakin sovelluksissa, esimerkiksi rakenteiden kestävyyttä mietittäessä, on tarpeen tietää sidosehtoihin liittyvät voimat. Nämä voimat saadaan suoraan λ k (t):sta. Sidosehtoihin liittyvät yleistetyt voimat Q j (jos koordinaatti q j on kulma niin Q j on momentti) määritellään seuraavasti: Q j = k λ k f k q j. (4.22) Esim 4.18 Kaltevaa tasoa alas vierivä kiekko. Esim 4.19 Puolipallon päältä levosta lähtevä hiukkanen: sen irtautumiskohta.

50 Mekaniikka 4.5. Eulerin-Lagrangen ja Newtonin liikeyhtälöiden ekvivalenssi 50/ Eulerin-Lagrangen ja Newtonin liikeyhtälöiden ekvivalenssi Ekvivalenssi karteesisessa koordinaatistossa (Lagrangesta Newtoniin) Yhden hiukkasen tapauksessa, olettaen T = T (ẋ i ) ja U = U(x i ) on T = 0 L x i x i = U x i, U = 0 L ẋ i ẋ i = T ẋ i, joten Lagrangen yhtälö (4.4) saa muodon (ei sidosvoimia tässä tarkastelussa) d T dt ẋ i Tämän oikea puoli on konservatiiviselle kentälle (1.13):sta ja vasen puoli on d T dt ẋ i = d dt ẋ i U x i 3 j=1 = U x i. (4.23) = F i 1 2 mẋ 2 j = d dt mẋ i = ṗ i. Siten Lagrangen yhtälö (4.23) tuottaa Newtonin toisen lain kullekin i = 1, 2, 3: F i = ṗ i F = ṗ.

51 Mekaniikka 4.5. Eulerin-Lagrangen ja Newtonin liikeyhtälöiden ekvivalenssi 51/122 Ekvivalenssi yleistetyissä koordinaateissa (Newtonista Lagrangeen) Otetaan lähtökohdaksi koordinaattien muunnos x i = x i (q j, t) ẋ i = j x i q j q j + x i t = j ẋ i q j q j + x i t. Yleistetyn voiman saamme tarkastelemalla työtä: dw = i F i dx i = i,j F i x i q j dq j. Koordinaattiin q j liittyvä yleistetty konservatiivinen kokonaisvoima on Q j = i F i x i q j mikä on Lagrangen yhtälöiden ensimmäinen rakennuspalikka. Lasketaan nyt toinen rakennuspalikka: Koordinaatille q j T = 1 q j q mẋ 2 i 2 = j i i = U q j, (4.24) mẋ i ẋ i q j = i mẋ i x i q j. Tämän aikaderivaatta on ketjusäännön perusteella [huom: x i = x i (q j, t)] d T dt q j = i mẍ i x i q j + i mẋ i [ k 2 x i q k + 2 x ] i. q j q k q j t

52 Mekaniikka 4.5. Eulerin-Lagrangen ja Newtonin liikeyhtälöiden ekvivalenssi 52/122 Ensimmäinen termi oikealla puolella on Q j, koska F i = mẍ i. Toinen termi on yksinkertaisesti T / q j, kun x i = x i (q j, t). Siten d T dt q j = Q j + T q j. (4.25) Voimme nyt koota tuloksen: (4.24) ja (4.25) konservatiivisuus vaatien d T dt q j = T q j U q j. Kun potentiaali U ei riipu yleistetyistä nopeuksista eli kun U = U(q j ), saamamme tulos voidaan ilmaista L:n derivaattojen avulla: d L dt q j = L q j. Olemme näin johtaneet Eulerin-Lagrangen yhtälöt Newtonin mekaniikasta. Huom Johdossa käytimme koordinaattien muunnoskaavaa ja Newtonin toista lakia konservatiivinen voimakenttä olettaen. Huom Historiallisesti ELY (Lagrange, ) liikeyhtälöt johdettiin ennen kuin huomattiin ottaa niiden lähtökohdaksi Hamiltonin ( ) periaate. Huom Verrattuna Newtonin mekaniikkaan Lagrangen mekaniikka perustuu skalaarisuureisiin, mikä mahdollistaa yleistettyjen koordinaattien sujuvan käytön. Filosofisesti on kiinnostavaa, että Lagrangen mekaniikassa ei eritellä syitä (vrt. Newtonin voimat) niistä seuraaviin liiketilan muutoksiin.

53 Mekaniikka 4.6. Säilymislait uudesta näkökulmasta 53/ Säilymislait uudesta näkökulmasta Johdamme seuraavaksi säilymislait symmetrioista ja ELY:istä. Energian säilyminen Olettaen ajan homogeenisuus suljetun systeemin Lagrangen funktio ei voi riippuua eksplisiittisesti ajasta, joten L(q j, q j, t) L(q j, q j ) eli L t = 0 dl dt = j Sijoitetaan tähän Lagrangen yhtälöt L q j dl dt = j d L q j + dt q j j = d dt L q j q j = j L q j L q j q j + j L q j q j. d ( L ) q j = d ( L ) q j. dt q j dt q j j Tästä saamme d ( L ) q j L = 0, dt q j j joten suluissa oleva lauseke on vakio. Lisäksi konservatiivisten voimien tapauksessa L/ q j = T / q j, joten systeemin Hamiltonin funktio H on H j q j T q j (T U) = VAKIO. (4.26)

54 Mekaniikka 4.6. Säilymislait uudesta näkökulmasta 54/122 Pienellä vaivalla on osoitettavissa (harjoitustehtävä) varsin yleisin oletuksin T q j = 2T. (4.27) q j Ehdolla (4.27) saamme (4.26):sta energian säilymisen j H = E = T + U = VAKIO. (4.28) Funktio H on sama kuin systeemin kokonaisenergia E seuraavin edellytyksin: 1. Koordinaattimuunnoksessa (4.5) ei aikariippuvuutta: x α,i / t = Potentiaalienergiassa ei nopeusriippuvuutta: U/ q j = 0. Erityisesti liikkuvassa koordinaattisysteemissä H ei ole sama kuin E ja päättely yllä ei päde. Suljetulle systeemille E säilyy, vaikka H ei olisi vakio. Huom Vaatimuksesta 1 seuraa, että liike-energia on yleistettyjen nopeuksien q j homogeeninen kvadraattinen funktio eli muotoa T = j,k a jk q j q k. Huom Teimme yllä ns. Legendren muunnoksen (LM). Helppo esimerkki LM:sta: Olkoon de = ( e/ s)ds + ( e/ v)dv = t ds + p dv. Tehdään LM ensimmäisen muuttujan suhteen: e(s, v) f (t, v) siten, että f = e ts, missä t = e/ s. Siten df = de t ds s dt = s dt + p dv tosiaan f = f (t, v).

55 Mekaniikka 4.6. Säilymislait uudesta näkökulmasta 55/122 Liikemäärän säilyminen Olettaen avaruuden homogeenisuus suljetun systeemin Lagrangen funktio ei muutu siirrettäessä koko systeemiä tyhjässä avaruudessa. Tutkitaan tällaista siirtoa r α r α + δr, jossa systeemin kaikkia hiukkasia α = 1,..., n siirretään samaan suuntaan saman verran δr. Käytämme karteesisia koordinaatteja eli yhdelle hiukkaselle L = L(x i, ẋ i ). Seuraava tarkastelu yleistyy suoraan n hiukkaselle summaamalla kaikki lausekkeet hiukkasten yli, joten yksinkertaisuuden vuoksi tarkastelemme yhden hiukkasen tapausta. Merkitsemme δr = i δx iê i, jolloin δl = i ( L x i δx i + L ẋ i δẋ i ) = i L x i δx i, missä otimme huomioon, että δx on kiinteä, joten δẋ i = d(δx i )/dt = 0. Avaruuden homogeenisuus δl = 0 δx, joten ELY:stä seuraa L x i = 0 d L = 0 dt ẋ i L ẋ i missä käytimme Lagrangen liikeyhtälöitä (4.4). Toisaalta = T = ẋ i ẋ i joten L ẋ i j 1 2 mẋ 2 j = mẋ i = p i, = VAKIO, p i = VAKIO p = VAKIO. (4.29)

56 Mekaniikka 4.6. Säilymislait uudesta näkökulmasta 56/122 Pyörimismäärän säilyminen Olettaen avaruuden isotrooppisuus suljetun systeemin Lagrangen funktio ei muutu käännettäessä systeemiä tyhjässä avaruudessa. Tutkitaan tällaista kääntöä r α r α + δθ r α. Voimme nytkin tarkastella vain yhtä hiukkasta: δr = δθ r δṙ = δθ ṙ. Käytetään karteesisia koordinaatteja, jolloin L = L(x i, ẋ i ), ja Nyt δl = i ( L x i δx i + L ẋ i δẋ i ) p i = L ṗ i = L, ẋ i x i missä jälkimmäinen on Lagrangen liikeyhtälö (4.4). Täten δl = 0 δl = i (ṗ i δx i + p i δẋ i ) = 0 ṗ δr + p δṙ = 0. Kirjoitetaan tämä kääntökulman δθ avulla: ṗ (δθ r) + p (δθ ṙ) = 0 δθ (r ṗ + ṙ p) = 0.

57 Mekaniikka 4.6. Säilymislait uudesta näkökulmasta 57/122 Viimeinen sulkulauseke on yksinkertaisesti tulon derivaatta, joten δθ d (r p) = 0. dt Koska δθ oli mielivaltaisesti valittu, on oltava Säilymislait koottuna d (r p) = 0 L = VAKIO. (4.30) dt Säilymislait seuraavat inertiaalikoordinaatiston symmetrioista ja niihin liittyvistä Lagrangen funktion ominaisuuksista: Symmetria Lagrangen funktio Säilyvä suure Aika homogeeninen Ei explisiittinen ajan funktio Kokonaisenergia Avaruus homogeeninen Translaatioinvariantti Liikemäärä Avaruus isotrooppinen Rotaatioinvariantti Pyörimismäärä Säilymislakien yhteys symmetria- ja invarianssiominaisuuksiin on hyvin yleinen tulos eikä ole rajoitettu klassiseen mekaniikkaan se kantaa modernin fysiikan kenttäteorioihin ja alkeishiukkasfysiikkaan saakka. Matematiikan puolella tämä yhteys tunnetaan (Emmy) Noetherin ( ) teoreemana. Suljetulle systeemille johtamistamme säilymislaeista seuraa, että suljetulla systeemillä on seitsemän liikevakiota (p ja L hiukkasten suhteen additiivisia): energia (1) sekä liikemäärän ja pyörimismäärän komponentit (3+3).

58 Mekaniikka 4.7. Hamiltonin dynamiikka 58/ Hamiltonin dynamiikka Käytämme seuraavassa yleistettyjä koordinaatteja q j ja niihin liittyviä yleistettyjä liikemääriä p j : p j = L q j ṗ j = L q j, ( ) missä jälkimmäinen seuraa Lagrangen liikeyhtälöstä. Huom: Yleistetyille liikemäärille käytetään samaa merkintää p j kuin tavallisille liikemäärille. Teemme sitten Legendren muunnoksen L(q k, q k, t) H(q k, p k, t) H(q k, p k, t) = j p j q j L(q k, q k, t). (4.31) Näin tehden Hamiltonin funktion H luonnolliset muuttujat ovat (q k, p k, t). Lausumalla H:n differentiaali H:n derivaatojen ja toisaalta L:n derivaattojen avulla toteammekin, että (huom: kaksi termiä kumoutuu) dh = k ( q k dp k ṗ k dq k ) L t dt dh dt = H t = L t. Yhdistämällä tämän ( ):een saamme Hamiltonin liikeyhtälöt 2 q k = H p k ṗ k = H q k. (4.32)

59 Mekaniikka 4.7. Hamiltonin dynamiikka 59/122 Hamiltonin liikeyhtälöiden kauniin symmetrian ansiosta niitä kutsutaan myös kanonisiksi liikeyhtälöiksi. H säilyy, jos H/ t = 0 eli jos H = H(q k, p k ). Hamiltonin yhtälöitä (kukin 1. kertalukua) on 2s kpl, missä kuten aiemmin, on s = 3n m. Lagrangen yhtälöitä (kukin 2. kertalukua) taasen oli s kpl. Tavanomainen trikki differentiaaliyhtälöiden kertaluvun pudottamiseksi tämä. Hamiltonin formuloinnille on paljon käyttöä monihiukkasfysiikassa, erityisesti statistisessa fysiikassa. Kvanttifysiikassa teorian perustana Hamiltonin funktion korvaa Hamiltonin operaattori, jota vastaava obsevaabeli on energia. Huom Jos olemme kiinnostuneita jonkin suureen A(q k, p k, t) aikakehityksestä ja hiukkasia paljon (stat. fys ), yksi lähtökohta on Hamiltonin liikeyhtälöistä da A = {A, H} + dt t, ( ) missä ns. Poissonin sulkusuure määritellään {g, h} = ( g h g h ). q k p k p k q k k Edellä oleva voidaan kirjoittaa kompaktisti Liouvillen operaattorin avulla da A = ila + dt t. Jos A/ t = 0, tämän (jopa käyttökelpoinen) muodollinen ratkaisu on A(t) = e itl A(0).

60 Mekaniikka 4.7. Hamiltonin dynamiikka 60/122 Huom Kvanttimekaniikassa H korvautuu Hamiltonin operaattorilla H ja Poissonin sulkusuure kommutaattorilla: Jos kiinnostuksen kohteena oleva suure A ei riipu eksplisiittisesti ajasta, saadaan sen odotusarvolle esim. i d A = [A, H]. ( ) dt Tässä ( ) ( ) klassinen mekaniikka lienee lähimmillään kvanttimekaniikkaa. Energia on lopulta klassisen ja modernin fysiikan keskeinen käsite. Ja mitä on energia? Kuuluisissa luennoissaan Richard Feynman vastasi kysymykseen näin: There is a fact, or if you wish, a law governing all natural phenomena that are known to date. There is no known exception to this law it is exact so far as we know. The law is called the conservation of energy. It states that there is a certain quantity, which we call energy, that does not change in the manifold changes that nature undergoes. That is a most abstract idea, because it is a mathematical principle; it says there is a numerical quantity which does not change when something happens. It is not a description of a mechanism, or anything concrete; it is a strange fact that when we calculate some number and when we finish watching nature go through her tricks and calculate the number again, it is the same... we have no knowledge of what energy is... however, there are formulas for calculating some numerical quantity... Mikä sitten on fyysikko? Fyysikko on se, joka tietää tai keksii miten energia tarkasteltavassa tilanteessa mitataan tai lasketaan.

61 Mekaniikka 5.1. Newtonin gravitaatiolaki 61/ Gravitaatio 5.1. Newtonin gravitaatiolaki Newtonin gravitaatiolaki sanoo, että maailmankaikkeuden jokainen massallinen hiukkanen vetää puoleensa jokaista muuta massallista hiukkasta voimalla, joka on kullekin hiukkasparille suoraan verrannollinen hiukkasten massojen tuloon ja kääntäen verrannollinen niiden etäisyyden neliöön. Siis hiukkanen, jonka massa on m, kokee hiukkasen, jonka massa on M ja joka on etäisyydellä r, aiheuttaman voiman F = G mm êr, (5.1) r 2 missä yksikkövektorin ê r suunta on massasta M kohti massaa m ja gravitaatiovakion G arvo on 6, Nm 2 /kg 2. Jatkuvan massajakauman m-massaiseen hiukkaseen kohdistama voima on ρ(r ) F = Gm ê V r 2 r dv, (5.2) missä integroidaan yli tilavuudessa V olevan paikkariippuvan massatiheyden ρ(r ), r on hiukkasen etäisyys pisteestä r ja ê r on yksikkövektori pisteessä r olevasta tilavuuselementistä dv kohti hiukkasta (kuva seuraavalla sivulla).

62 Mekaniikka 5.1. Newtonin gravitaatiolaki 62/122 x 2 r m dv e r r V x 1 x 3 Gravitaatiokenttä g eli massan M tuottama voima kohteena olevan hiukkasen massayksikköä kohti on (5.1):stä g = F m = G M êr (5.3) r 2 tai jatkuvan massajakautuman tuottama voima massayksikköä kohti (5.2):stä g = G V ρ(r ) r 2 ê r dv. (5.4)

63 Mekaniikka 5.2. Gravitaatiopotentiaali 63/ Gravitaatiopotentiaali Gravitaatiokentän etäisyysriippuvuus on muotoa 1/r 2, joten kenttä on pyörteetön ja voidaan kirjoittaa gravitaatiopotentiaalin Φ gradienttina: g = Φ. (5.5) M-massaisen hiukkasen etäisyydellä r aiheuttama potentiaali on siten Φ = G M r (5.6) ja jatkuvan massajakautuman aiheuttama potentiaali Φ = G V ρ(r ) dv. (5.7) r Hiukkasen siirtämiseen tarvittava työ massan yksikköä kohti on dw = g dr = ( Φ) dr = dφ ja m-massaisen hiukkasen gravitaatioon liittyvä potentiaalienergia U = mφ, missä yleensä valitaan kaikista (muista) massoista äärettömän kaukana olevan hiukkasen potentiaalienergia nollaksi.

64 Mekaniikka 5.2. Gravitaatiopotentiaali 64/122 Esim 5.20 Lasketaan M-massaisen pallosymmetrisen massajakauman 0, r > a ρ(r ) = ρ, b < r < a 0, r < b eli pallokuoren tuottama gravitaatiopotentiaali etäisyydellä R sen keskipisteestä: ρ(r ) 2π π a Φ = G dv 1 = Gρ r r r 2 dr sin θ dθ dϕ. Geometriasta V 0 r 2 = r 2 + R 2 2r R cos θ 2r dr = 2r R sin θ dθ sin θ dθ = dr Φ = 2πρG a r2 r dr dr. r r R R r 1 0 b b F

65 Mekaniikka 5.2. Gravitaatiopotentiaali 65/122 Yllä integrointiväli [r 1, r 2] riippuu tarkastelupisteen sijainnista: { [R r, R + r ], R > a [r 1, r 2] = [r R, r + R], R < b. Sijoittamalla nämä päädymme lausekkeisiin 4πρG(a 3 b 3 )/3R, R > a Φ(R) = 2πρG(a 2 b 2 ), R < b 4πρG(R 3 b 3 )/3R 2πρG(a 2 R 2 ), b < R < a. Yllä kolmas lauseke saatiin korvaamalla ensimmäisessä a R ja toisessa b R ja summaamalla tulokset. Tästä voimme tehdä joitakin havaintoja: Symmetrian vuoksi Φ riippuu vain R:stä. R > a Φ on a- ja b-säteisten pallojen potentiaalien erotus. R < b Φ = VAKIO. b < R < a Φ:n määrää R:n sisäpuolella oleva osa pallokuoresta. Potentiaali on jatkuva ja jatkuvasti derivoituva g on äärellinen. g = dφ 4πρG(a 3 b 3 )/3R 2 = GM/R 2, R > a dr = 0, R < b 4πρG(R 3 b 3 )/3R 2, b < R < a.

66 Mekaniikka 5.2. Gravitaatiopotentiaali 66/122 Huom Edellä olevan esimerkkilaskun tulos on tuttu ennestään: Kurssilla F5 laskettiin samanlaisen varausjakautuman tuottama sähkökenttä ja potentiaali. Helpoiten se sujui hyödyntämällä Gaussin lausetta ja tilanteen symmetriaa. Analogisesti sähköisen vuorovaikutuksen tarkastelun kanssa voimme määritellä gravitaatiokentän vuon valitun pinnan läpi. Jos tilavuutta V rajoittaa suljettu pinta S, niin 10 g ˆn da = 4πG ρ dv, S missä ˆn on pinnan lokaalin normaalin suuntainen yksikkövektori (ulospäin) pinta-alaelementin da kohdalla. Massasta tulee näin gravitaatiokentän lähde. Käyttämällä vasempaan puoleen divergenssilausetta (kurssilta M4) saamme g dv = 4πG ρ dv, V joten kaikkialla pätee 11 g = 4πGρ, josta (5.5) tuottaa Poissonin yhtälön 2 Φ = 4πGρ. Huom Alueessa, jossa ρ = 0, pätee Laplacen yhtälö 2 Φ = 0. Näihin yhtälöihin perustuu moni laskennallinen menetelmä. Pistevarauksista ρ j (r j ) = M j δ(r j ) lähtien päädytään Greenin funktioihin (vrt. 2.6). 10 Sähköopin 1/4πε o korvautuu G:llä. 11 Vrt. Maxwellin ensimmäinen yhtälö tyhjiössä: E = ρ q/ε o. V V

67 Mekaniikka 6.1. Redusoitu massa 67/ Liike keskeisvoimakentässä 6.1. Redusoitu massa Tarkastelemme seuraavaksi liikettä, jossa kahden hiukkasen tai kappaleen välillä vaikuttaa keskeisvoima eli niiden keskipisteiden kautta kulkevaa viivaa pitkin suuntautuva voima. Tällaisia voimia tai vuorovaikutuksia on fysiikassa paljon, esimerkiksi sopii kahden hiukkasen tai kahden pallosymmetrisen kappaleen välinen gravitaatiovoima. Olkoot kahden hiukkasen sijainnit r 1 ja r 2 ja niiden massat m 1 ja m 2. Oletetaan dynamiikka kitkattomaksi ja potentiaalienergia vain hiukkasten etäisyydestä riippuvaksi eli U = U(r) = U( r 1 r 2 ). Systeemin Lagrangen funktio on tällöin L = 1 2 m1 ṙ m2 ṙ2 2 U(r). Koordinaattien r 1 ja r 2 asemasta voimme käyttää systeemin massakeskipisteen (mkp) sijaintia R ja hiukkasten välistä etäisyysvektoria r = r 1 r 2. Valitsemme koordinaatiston, jossa R = 0, jolloin m 1r 1 + m 2r 2 = 0 ja m 2 r 1 = r r 2 = m1 r. m 1 + m 2 m 1 + m 2 Määrittelemällä redusoitu massa µ Lagrangen funktio on yksinkertaisesti L = 1 2 µ ṙ 2 U(r), µ = m1m2 m 1 + m 2. (6.1)

68 Mekaniikka 6.2. Säilymislait ja liikevakiot 68/ Säilymislait ja liikevakiot Jatkamme edellisen luvun mallisysteemin parissa: Palautimme kahden hiukkasen ongelman yhden µ-massaisen hiukkasen ongelmaksi. Suljetulle systeemille pyörimismäärä L = r p = VAKIO Sekä r että p pysyvät vektoria L vastaan kohtisuorassa tasossa. Tasossa voimme siirtyä napakoordinaatteihin: r x = r cos θ ja r y = r sin θ, mistä saamme ṙ x = ṙ cos θ r θ sin θ ja ṙ y = ṙ sin θ + r θ cos θ. Siten (6.1) on L = 1 2 µ(ṙ 2 + r 2 θ2 ) U(r). (6.2) Kuva: Pyörimismäärä (vas) sekä siirtyminen mkp-koordinaatteihin (oik). L r 1 r r 1 r=r 1 r 2 mkp R mkp R=0 r p r 2 r 2

69 Mekaniikka 6.2. Säilymislait ja liikevakiot 69/122 Periaatteessa L = L(r, ṙ, θ, θ), mutta nyt 12 L/ θ = 0, joten ELY:stä (4.12) L θ = d L dt θ d L dt θ = 0 µr 2 θ = VAKIO. Olemme näin saaneet ensimmäisen, L:n säilymistä vastaavan liikevakion: l = µr 2 θ = VAKIO. (6.3) Vektori r täten ajan kuluessa pyyhkäisee pinta-alan A, jolle da/dt = 1 2 r 2 dθ/dt = l/2µ = VAKIO. (6.4) Planeettaliikkeeseen sovellettuna tämä tulos tunnetaan Keplerin toisena lakina. Huom Saimme edellä johdettua Keplerin toisen lain olettamatta mitään vuorovaikutuspotentiaalin U(r) muodosta; riitti että kyseessä on keskeisvoima. Liikemäärän säilyminen ei tuota mitään uutta massakeskipistekoordinaatistossa, joten toisen liikevakion saamme energian säilymisestä: E = T + U = VAKIO. Nyt E = 1 2 µ(ṙ 2 + r 2 θ 2 ) + U(r), toisin kirjoittaen E = 1 2 µṙ l2 /µr 2 + U(r) = VAKIO. (6.5) 12 Sanomme, että θ on syklinen koordinaatti, kun L = L(r, ṙ, θ).

70 Mekaniikka 6.3. Liikeyhtälöt 70/ Liikeyhtälöt Haemme seuraavaksi liikeyhtälöiden ratkaisua r = r(t) ja liikerataa θ = θ(r). Edellä käsitellyn parusteella ongelman vakioparametreja ovat µ, l ja E sekä vuorovaikutuspotentiaalia U(r) kuvaavat parametrit. Ratkaisemalla yhtälöstä (6.5) aikaderivaatan ṙ saamme liikeyhtälön dr dt = ± 2 l2 [E U(r)] µ µ 2 r. (6.6) 2 Tämän separoituvan differentiaaliyhtälön ratkaisu on funktio t = t(r), joka periaatteessa voidaan kääntää tuloksena r = r(t). (vrt. sivu 12) Liikerataan θ(r) pääsemme käsiksi kirjoittamalla dθ = θ dr, (6.7) ṙ johon sijoittaen (6.3) ja (6.6) ja integroimalla ±(l/r 2 ) dr θ(r) = 2µ[E U(r) l2 /2µr 2 ]. (6.8) Yhtälö (6.3) kertoo myös, että θ = l/µr 2 ei voi vaihtaa merkkiään eli θ(t) on monotoninen funktio; siis kiertosuunta säilyy.

71 Mekaniikka 6.3. Liikeyhtälöt 71/122 Yksi tärkeä vuorovaikutusluokka ovat konservatiiviset voimat muotoa F (r) r n. (6.9) Fysikaalisesti kiinnostavimpia ovat tapaukset n = 1 (harmoninen oskillaattori) ja n = 2 (gravitaatio ja sähkökenttä). Tutkimme nyt Lagrangen yhtälöä radiaalimuuttujalle: L r = d L dt ṙ. Nyt (6.2):sta ensimmäinen termi on µr θ 2 U/ r ja toinen µ r µ( r r θ 2 ) = F (r) = U/ r. Muuttujanvaihdolla u = 1/r ja käyttämällä tietoa θ = l/µr 2 pienellä vaivalla saamme d 2 u dθ + u = µ F (1/u) (6.10) 2 l 2 u2 tai r:n avulla lausuttuna d 2 dθ 2 1 r + 1 r = µ l 2 r 2 F (r). (6.11) Tämä on kokeellista fyysikkoa kiinnostava yhtälö: Jos rata r = r(θ) on mitattu, voidaan tämän avulla selvittää keskeisvoiman F (r) eäisyysriippuvuus! Esim 6.21 Logaritminen spiraali r = ke aθ.

72 Mekaniikka 6.3. Liikeyhtälöt 72/122 Palaamme vielä liikeyhtälöön (6.6). Kohdissa, joissa juurilauseke on nolla eli E U(r) l2 2µr = 0, 2 on ṙ = 0 eli radiaalimuuttujalla on käännepiste. Käännepisteessä r saavuttaa minimi- tai maksimiarvonsa eli hiukkasten etäisyys on välillä r min r r max. Ajan kuluessa etäisyys r oskilloi r min :n ja r max:n välillä. Ympyräradalla r min = r max eli r = VAKIO. Ympyrärata on mahdollinen millä tahansa attraktiivisella potentiaalilla. Voidaan osoittaa, että sulkeutuva muun kuin ympyrän muotoinen rata on potentiaalilla U r n+1 mahdollinen vain n:n kokonaislukuarvoilla 1 ja 2 sekä joillakin murtolukuarvoilla [vrt. (6.9)]. Tapaus n=1 käsiteltiin 2.3:ssa. Sulkeutuva rata voi vaatia sulkeutuakseen useampia kuin yhden kierroksen. Ehdon radan sulkeutuvuudelle saa integroimalla (6.8):ssa r min :sta r max:iin ja vaatimalla, että tulos on π rationaaliluku.

73 Mekaniikka 6.4. Efektiivinen potentiaali 73/ Efektiivinen potentiaali Yhtälössä (6.6) ja muissa tarkasteluissa esiintyvän tekijän V (r) U(r) + l2 2µr 2 (6.12) voimme tulkita r:n kokemaksi efektiiviseksi potentiaaliksi. Termiä l 2 /2µr 2 kutsutaan toisinaan keskipakoisvoiman 13 F c = l 2 /µr 3 potentiaaliksi. Jos voima on gravitaation kaltainen eli F (r) = k r 2 U(r) = k r, (6.13) missä vakio k > 0, niin efektiivisella potentiaalilla V (r) = k r + l2 2µr 2 (6.14) on minimi, jonka ympärillä muuttuja r värähtelee, kun kokonaisenergia on V min < E < 0. Jos taas E > 0, niin liike on rajoittamatonta siten, että hiukkaset lopulta erkanevat rajatta toisistaan. 13 Näennäisvoima asiaan palataan 8:ssa.

74 Mekaniikka 6.5. Planeettaliike 74/ Planeettaliike Lasketaan nyt (6.8) gravitaatiopotentiaalille U = k/r eli ±(l/r 2 ) dr θ(r) = 2µ[E + k/r l2 /2µr 2 ]. Tässä aivan ilmeisesti kannattaa tehdä muuttujanvaihto u = 1/r. Yleisyyden kärsimättä voimme asettaa r min = r(θ=0), jolloin [ l 2 1 ]/[ ] cos θ = µk r El2 1/2. µk 2 Määritellen etäisyyden skaalausvakio α ja eksentrisyys ε ] α = l2 ε = [1 + 2El2 1/2 µk µk 2 saamme ratayhtälön r = r(θ) helposti ymmärrettävään muotoon Tämä on kartioleikkauksen yhtälö ja radan muoto on (6.15) α/r = 1 + ε cos θ. (6.16) Ympyrä ε = 0 E = V min Ellipsi 0 < ε < 1 V min < E < 0 Paraabeli ε = 1 E = 0 Hyperbeli ε > 1 E > 0

75 Mekaniikka 6.5. Planeettaliike 75/122 Keskitymme planeettaliikkeeseen: (6.16):stä tulee ellipsi, kun 0 < ε < 1. Napakoordinaateissa r = x 2 + y 2 ja cos θ = x/ x 2 + y 2 Täydentämällä x-osa neliöksi saadaan x 2 + y 2 = α 2 2αεx + ε 2 x 2. (1 ε 2 )x 2 + 2αεx + α 2 ε 2 /(1 ε 2 ) + y 2 = α 2 + α 2 ε 2 /(1 ε 2 ) Kun 0 < ε < 1, neliöjuuri tekijästä (1 ε 2 ) on reaalinen ellipsi: [ 1 ε 2 x + αɛ/ 1 ε 2 ] 2 + y 2 = α 2 [1 + (αε/ 1 ε 2 ) 2 ] [x + αε/(1 ε 2 )] 2 y 2 + [α/(1 ε 2 )] 2 [α/ = 1. (6.17) 1 ε 2 ] 2 Jos nyt m 2 m 1, niin (6.1):sta r 1 r = (x, y) ja kappaleen 1 rata on hyvänä approksimaationa ellipsi ja kappale 2 pysyy origossa eli r 2 0, joka on ellipsin toinen polttopiste. Näin on todettu Keplerin ensimmäinen laki. Ellipsin puoliakseleiden pituudet ovat a = α/(1 ε 2 ) = k/2 E b = α/ 1 ε 2 = l/ 2µ E. (6.18) Tässä voi kiinnittää huomiota siihen, että a > b ja että a riippuu vain E:stä, kun taas b riippuu sekä E:stä että l:stä.

76 Mekaniikka 6.5. Planeettaliike 76/122 Johdetaan vielä Keplerin kolmas laki: Integroidaan (6.4) jakson yli τ = 2µA/l = 2πµab/l, missä täydelle ellipsille A = πab. Nyt (6.18):stä b = αa, joten τ 2 = 4π 2 a 3 µ/k, k = Gm 1m 2. Tämä on Keplerin kolmas laki τ 2 a 3, kunhan eri planeetoille hyvänä approksimaationa m 1 + m 2 m 2, missä m 2 on auringon massa, jolloin τ 2 /a 3 4π 2 /Gm 2. (6.19) Nyt voimme koota Keplerin lait suunnilleen niiden alkuperäisessä muodossa: I. Planeettaradat ovat ellipsejä, joiden toisessa polttopisteessä on aurinko. II. Auringosta planeettaan piirretty säde piirtää yhtä pitkissä ajoissa yhtä suuret pinta-alat. III. Eri planeettojen kiertoaikojen neliöt suhtautuvat toisiinsa kuten niiden Auringosta mitattujen keskietäisyyksien kuutiot. Huom Mietipä miten paljon käsityötä on vaatinut löytää Keplerin lait aurinkoa kiertävän planeetan pinnalta kerätystä mittausdatasta. Sen, että planeetojen radat ovat ellipsejä eivätkä ympyröitä, Kepler päätteli (yleisti) ensin Marsin liikkeistä. Taivaanmekaniikka on oma tieteenhaaransa. Esim 6.22 Halleyn komeetta.

77 Mekaniikka 6.6. Planeettaratojen kiertyminen 77/ Planeettaratojen kiertyminen Tarkat mittaukset osoittavat, että planeettojen ratojen isoakselit kiertyvät hitaasti. Merkuriuksen tapauksessa perihelikiertymä on 574 kaarisekuntia vuosisadassa. Suurin osa tästä, 531 kaarisekuntia vuosisadassa, selittyy muiden planeettojen aiheuttamilla häiriöillä. Newtonin mekaniikan puitteissa jää tästä selittämättä 43,11 kaarisekuntia. Kirjassa esitetään lähtien ratayhtälöstä (6.10) ryyditettynä suhteellisuusteoreettisella korjauksella, d 2 u dθ 2 + u = Gm2 M/l 2 + 3GMu 2 /c 2, missä massan m ajatellaan liikkuvan massan M tuottamassa gravitaatiokentässä, lasku jonka tulos perihelikiertymälle yhdellä ratakierroksella on 6πGM ac 2 (1 ε 2 ). Sijoittamalla tähän Merkuriuksen radan parametrit saadaan teoreettiseksi ennusteeksi 43,03 kaarisekuntia vuosisadassa, mikä on mittaustarkkuuden puitteissa yhtäpitävä havaintojen kanssa! Maan tapauksessa mitattu ylimääräinen perihelikiertymä on noin viisi kaarisekuntia vuosisadassa, ylläolevan kaavan ennustaessa noin neljä.

78 Mekaniikka 7.1. Hiukkassysteemin massakeskipiste 78/ Hiukkassysteemien dynamiikkaa 7.1. Hiukkassysteemin massakeskipiste Tarkastellaan hiukkasten α = 1, 2,..., n systeemiä, jossa hiukkasten massat ovat m α ja paikkavektorit r α. Systeemin kokonaismassa M on M = α m α (7.1) ja massakeskipisteen (mkp) paikka R on R = 1 m αr α. (7.2) M Massakeskipisteen paikkavektori on siis hiukkasten paikkavektoreiden massoilla painotettu keskiarvo. Jatkuvalle massajakautumalle (klassinen idealisaatio) tämä yleistyy muotoon R = 1 r dm = 1 r ρ(r) dv, (7.3) M M missä dm on massaelementti ja dv tilavuuselementti. Systeemin massakeskipiste on yksikäsitteisesti määrätty, mutta sen sijainti R riippuu valitusta koordinaatistosta. Esim 7.23 Tasa-aineisen puolipallon massakeskipiste. α

79 Mekaniikka 7.2. Hiukkassysteemin liikemäärä 79/ Hiukkassysteemin liikemäärä Merkitään f αβ :lla hiukkasen β hiukkaseen α kohdistamaa voimaa. Newtonin kolmannen lain mukaan f αβ = f βα. Oletamme lisäksi, että hiukkasten välisten voimien suunta on niiden yhdysjanaa pitkin. 14 Tällä jälkimmäisellä oletuksella kyseessä on N3:n ns. vahva muoto. Merkitään hiukkaseen α muiden hiukkasten kohdistamaa kokonaisvoimaa f α:lla. Lisäksi siihen voi vaikuttaa ulkoisia voimia; merkitään niiden summaa F (e) α :llä. Näillä määrittelyillä hiukkaseen α vaikuttava kokonaisvoima F α on F α = F (e) α β α + f α = F (e) α + f αβ. (7.4) Summan rajaus toisin ilmaisten: f αα = 0. Newtonin toisen lain mukaan β m α r α = F (e) α + f α. (7.5) Olettaen hiukkasten massat vakioiksi ja summaamalla hiukkasten yli saamme M R = d 2 dt 2 mαr α = α F (e) α + α β α f αβ. (7.6) 14 Oletamme täten, että esim. liikkuviin varattuihin hiukkasiin magneettikentästä aiheutuvat voimat q αv α B voidaan jättää huomiota. β

80 Mekaniikka 7.2. Hiukkassysteemin liikemäärä 80/122 Merkitään sitten kaikkien ulkoisten voimien summaa F:lla eli F = α F (e) α (7.7) ja huomataan, että β α f αβ = (f αβ + f βα ) = αβ f αβ ) = 0. α β α<β α<β(f Newtonin toinen laki (7.6) pelkistyy täten muotoon M R = F. Sanallisesti ilmaisten: Systeemin massakeskipiste liikkuu ikäänkuin se olisi yksi hiukkanen, jonka massa on sama kuin systeemin kokonaismassa, ja johon vaikuttava voima on hiukkasiin vaikuttavien ulkoisten voimien summa. Systeemin kokonaisliikemäärä P on kokonaismassan ja mkp:n nopeuden tulo: P = m αṙ α = d m αr α = d (MR) P = MṘ. (7.8) dt dt α Newtonin toinen laki sille kirjoitettuna on α Ṗ = F. (7.9) Jos ulkoisten voimien summa on nolla, niin systeemin kokonaisliikemäärä säilyy.

81 Mekaniikka 7.3. Hiukkassysteemin pyorimismäärä 81/ Hiukkassysteemin pyorimismäärä Hiukkasen α paikkavektori voidaan ilmaista muodossa r α = R + r α, (7.10) missä r α on hiukkasen sijainti suhteessa massakeskipisteeseen. Hiukkasen pyörimismäärä origon suhteen on L α = r α p α. Koko systeemille L = α L α = α (R + r α) m α(ṙ + ṙ α) = α m α[(r Ṙ) + (r α Ṙ) + (R ṙ α) + (r α ṙ α)]. Summattaessa yli α:n kaksi keskimmäistä termiä häviää, sillä α mαr α = 0 ja α mαṙ α = 0, joten L yksinkertaistuu muotoon L = R P + α r α p α. (7.11) Siis: Systeemin kokonaispyörimismäärä origon suhteen on mkp:n pyörimismäärä origon suhteen plus systeemin pyörimismäärä mkp:n suhteen.

82 Mekaniikka 7.3. Hiukkassysteemin pyorimismäärä 82/122 Systeemin pyörimismäärän aikaderivaatta on L = α r α ṗ α = α r α F (e) α + α β α r α f αβ. β Jälkimmäinen termi on nolla, sillä se on N3:a käyttäen (f αβ = f βα ) (r α r β ) f αβ, α<β missä vektori r α r β on samansuuntainen kuin voima f αβ, kunhan voimme (edelleen) olettaa keskeisvoimat. Täten niiden ristitulo on nolla. L = α r α F (e) α = α N (e) α = N (e), (7.12) missä N (e) on kaikkien ulkoisten voimien momenttien summa. Siis: Systeemin kokonaispyörimismäärä pysyy vakiona, jos ulkoisten voimien momenttien summa on nolla. Lisäksi osoitimme, että: Hiukkasten välisten voimien ollessa keskeisvoimia systeemin sisäisten voimien momentit summautuvat nolliksi. Siten eristetyn hiukkassysteemin kokonaispyörimismäärä voi muuttua ainoastaan ulkoisten voimien vaikutuksesta.

83 Mekaniikka 7.4. Hiukkassysteemin energia 83/ Hiukkassysteemin energia Luvun 1.4 kanssa analogisesti tarkastelemme energiaa ja sen säilymistä, nyt useammalle hiukkaselle. Jos F α on hiukkaseen α vaikuttava kokonaisvoima, niin hiukkassysteemiin tehty työ sen siirtyessä konfiguraatiosta 1 konfiguraatioon 2 W 12 = α 2 1 F α dr α = α 2 1 d( 1 2 mαv 2 α) = T 2 T 1, (7.13) missä systeemin kineettinen energia valitussa koordinaatistossa on Nopeuksille (7.10):sta T = α T α = α 1 2 mαv 2 α. ṙ α = Ṙ + ṙ α, (7.14) missä pilkulliset muuttujat viittaavat massakeskipistekoordinaatistoon, joten vα 2 = ṙ α ṙ α = (Ṙ + ṙ α) (Ṙ + ṙ α) = V (ṙ α Ṙ) + v α. Tästä systeemin liike-energia on (ristitermi häviää, sillä nytkin α mṙ α = 0) T = 1 2 MV 2 + α 1 2 mαv 2 α. (7.15) Siis: Systeemin liike-energia on M-massaisen nopeudella V liikkuvan hiukkasen liike-energia plus yksittäisten hiukkasten liike-energiat suhteessa mkp:een.

84 Mekaniikka 7.4. Hiukkassysteemin energia 84/122 Jaetaan kokonaisvoima ulkoisiin (e) ja sisäisiin (i) voimiin, jolloin työ on W 12 = α 2 1 F (e) α dr α + α β α 2 β 1 f αβ dr α W (e) + W (i). Oletetaan sitten, että kaikki voimat saadaan potentiaaleista: F (e) α = αu α f αβ = α Ũ αβ, missä α tarkoittaa gradienttia r α:n suhteen. Tällöin tehdyn työn W 12 ensimmäinen termi on W (e) = α 2 1 ( αu α) dr α = α ja jälkimmäinen termi on N3:a käyttäen (f αβ = f βα ) W (i) = α<β 2 1 (f αβ dr α + f βα dr β ) = α<β (U α,2 U α,1) 2 1 f αβ (dr α dr β ). Vuorovaikutuspotentiaalin Ũαβ = Ũαβ(r α, r β ) = Ũαβ( r α r β ) differentiaali on dũαβ = ( α Ũ αβ ) dr α + ( β Ũ αβ ) dr β = f αβ (dr α dr β ), sillä Ũαβ = Ũβα ja f βα = f αβ.

85 Mekaniikka 7.4. Hiukkassysteemin energia 85/122 Täten sisäisten voimien tekemä työ on W (i) = α<β 2 Systeemin potentiaalienergia on 1 dũαβ = α<β(ũαβ,2 Ũαβ,1). U = α U α + α<β Ũ αβ (7.16) ja tehty työ edellä olevan laskun perusteella W 12 = (U 2 U 1). (7.17) Yhdistämällä tämä tietoon (7.13) saamme T 2 T 1 = (U 2 U 1) T 1 + U 1 = T 2 + U 2 E 1 = E 2 (7.18) eli: Konservatiivisen systeemin kokonaisenergia on vakio. Liikemäärään, pyörimismäärään ja energiaan liittyviä esimerkkejä: Esim 7.24 Toisesta päästä irti päästetyn tasapaksun roikkuvan narun jännitys. Esim 7.25 Kevyellä narulla yhdistettyjen pallojen heittäminen. Esim 7.26 Tasapaksun narun kelautuminen pois pyörivältä sylinteriltä.

86 Mekaniikka 7.5. Kahden hiukkasen elastinen törmäys 86/ Kahden hiukkasen elastinen törmäys Olkoon hiukkasten 1 ja 2 massat m α, nopeudet ennen törmäystä u α laboratoriokoordinaatistossa ja v α massakeskipistekoordinaatistossa sekä vastaavasti törmäyksen jälkeen u α ja v α. Pilkuttomat suureet mitataan lab-koordinaatistossa ja pilkulliset mkp-koordinaatistossa. Jatkossa u 2 = 0 eli hiukkanen 2 on aluksi levossa lab-koordinaatistossa. Olkoon liike-energia alussa T 0 ja T 0, hiukkaselle 1 lopussa T 1 ja T 1 sekä hiukkaselle 2 lopussa T 2 ja T 2. Olkoon mkp:n nopeus laboratoriokoordinaatistossa V. Lisäksi tarvitsemme kulmat ψ = kulma, johon hiukkanen 1 siroaa lab-koorinaatistossa, ζ = kulma, johon hiukkanen 2 siroaa lab-koordinaatistossa ja θ = kulma, johon hiukkaset 1 ja 2 siroavat mkp-koorinaatistossa. Massakeskipisteelle joten olettaen u 2 = 0 V = m 1r 1 + m 2r 2 = MR m1u1 m 1 + m 2 u 2 = V = m1u1 m 1 + m 2 m 1u 1 + m 2u 2 = MV, u 2 = V.

87 Mekaniikka 7.5. Kahden hiukkasen elastinen törmäys 87/122 Liikemäärän ja energian säilymisestä seuraa, että mkp-nopeuksille pätee joten v 2 = u 1 = v 1 u 2 = v 2 u 1 + u 2 = v 1 + u 2 = u 1, m1u1 m 1 + m 2 v 1 = m2u1 m 1 + m 2 V /v 1 = m 1/m 2. Tarkastellaan sitten kulmia: Kun V < v 1, on v 1 sin θ = v 1 sin Ψ v 1 cos θ + V = v 1 cos ψ. Tästä ylläolevia relaatioita käyttäen saamme hiukkasen 1 sirontakulmalle tan ψ = sin θ cos θ + m 1/m 2. Tärkeitä erikoistapauksia sirontakokeiden kannalta ovat: ψ θ, kun m 1 m 2 ja ψ = 1 θ, kun m1 = m2. 2 Vastaavaan tapaan saadaan hiukkasen 2 sirontakulmalle tan ζ = cot 1 2 θ. Samanmassaisille hiukkasille saamme edelleen ψ + ζ = 1 π, kun m1 = m2. 2

88 Mekaniikka 7.5. Kahden hiukkasen elastinen törmäys 88/122 Edelleen hyödyntäen nopeuksien välisiä relaatioita, voidaan liike-energiat mkp-koordinaatistossa lausua energian T 0 = 1 2 m1u2 1 avulla: T 0 T 0 = m 2 T ( 1 = m 1 + m 2 T 0 m 2 m 1 + m 2 ) 2 T 2 T 0 = m 1m 2 (m 1 + m 2) 2. Hieman enemmän työtä teettävät lab-koordinaatiston liike-energiat, tuloksena T 1 T 0 = 1 2m1m2 (m 1 + m 2) 2 (1 cos θ) T 2 T 0 = 4m1m2 cos ζ. (m 1 + m 2) 2 Aina pätee T 1/T 0 + T 2/T 0 = 1. Samanmassaisille hiukkasille saamme: T 1 T 0 = cos 2 ψ ja T2 T 0 = sin 2 ψ, kun m 1 = m 2. Liike-energia on suhteellisen helposti mitattavissa oleva suure, joten näille relaatioille on käyttöä kokeellisessa fysiikassa. Lisäksi voidaan osoittaa esimerkiksi, että tan ψ = sin 2ζ m 1/m 2 cos 2ζ = sin(π θ) m 1/m 2 cos(π θ) sin ζ = m1t 1 m 2T 2 sin ψ. Huom Tällä kurssilla jätämme väliin sironnan vaikutusalan ja siihen liittyvät tulokset sekä epäelastiset törmäykset. Niihin törmätään syventävillä kursseilla.

89 Mekaniikka 8.1. Pyörivä koordinaatisto 89/ Liike epäinertiaalikoordinaatistossa 8.1. Pyörivä koordinaatisto Tähän mennessä olemme tarvinneet inertiaalikoordinaatistoja sekä massakeskipisteen mukana liikkuvaa (mahdollisesti kiihtyvää) koordinaatistoa. Seuraavassa käytetään inertiaalikoordinaatistoa (fix) ja sen suhteen liikkuvaa, erityisesti pyörivää koordinaatistoa (rot). Tässä luvussa pilkulliset kirjaimet tarkoittavat fix-koordinaatiston suureita ja pilkuttomat kirjaimet rot-koordinaatiston suureita. Idea on, että olemme pyörivässä koordinaatistossa (esim. maapallo tai karuselli) eli epäinertiaalikoordinaatistossa ja koetamme selittää havaintojamme käyttäen käyttäen Newtonin lakeja, jotka ovat voimassa vain intertiaalikoorinaatistossa. Hetkellisesti avaruuden jonkin pisteen P koordinaatit ovat r = R + r, missä vektori R on rot-koordinaatiston origon paikka fix-koordinaatistossa. Jos nyt rot-koordinaatisto kääntyy kulman δθ ja piste P siirtyy sen mukana, (dr) fix = dθ r, missä merkinnällä fix kerromme suuretta mitattavan fix-koordinaatistossa.

90 Mekaniikka 8.1. Pyörivä koordinaatisto 90/122 Koska dθ/dt = ω, saamme rot-koordinaatiston mukana pyörivälle pisteelle ( ) dr = ω r. (8.1) dt fix Jos piste P lisäksi liikkuu pyörivässä koordinaatistossa, on oltava ( ) ( ) dr dr = + ω r. (8.2) dt dt Tämä yleistyy mielivaltaiselle vektorisuureelle Q: fix ( ) dq = dt fix rot ( ) dq + ω Q. (8.3) dt rot Täten kulmakiihtyvyys ω on sama molemmissa koordinaatistoissa: ( ) ( ) dω dω = + ω ω = ω. (8.4) dt dt Nopeuksille saamme tästä ( ) ( ) dr dr = dt dt fix fix fix + rot ( ) dr = dt fix ( ) dr + dt fix ( ) dr + ω r. dt rot

91 Mekaniikka 8.1. Pyörivä koordinaatisto 91/122 Kirjoitamme tämän tuloksen lyhyemmin missä otimme käyttöön jatkossa hyödylliset merkinnät v f = nopeus fix-koordinaatistossa v f = V + v r + ω r, (8.5) V = liikkuvan koordinaatiston origon nopeus fix-koordinaatistossa v r = nopeus rot-koordinaatistossa ω = pyörivän koordinaatiston akseleiden kulmanopeus ω r = rot-akseliston pyörimisestä aiheutuva nopeus. Esim 8.27 Olkoon fix- ja rot-koordinaatistoilla sama origo. Tällöin rot-koordinaatiston vektorin r = x 1e 1 + x 2e 2 + x 3e 3 aikaderivaatta fix-koordinaatistossa saadaan seuraavasti: ( ) dr = (ẋ i e i + x i ė i ) = v r + x i ė i. dt fix i i Koska (8.1):sta ė i = ω e i, saamme pyörimisen aiheuttamaksi fix-koordinaatiston suhteen mitatuksi rot-koordinaatiston pisteen nopeudeksi ( ) dr = v r + ω (x i e i ) = v r + ω r. dt fix i

92 Mekaniikka 8.2. Keskipakoisvoima ja Coriolis-voima 92/ Keskipakoisvoima ja Coriolis-voima Newtonin toinen laki F = ma on voimassa vain inertiaalikoordinaatistoissa, ( ) dvf F = ma f = m, (8.6) dt fix missä derivointi tapahtuu fix-koordinaattien suhteen. Derivoidaan sitten (8.5): ( ) ( ) ( ) ( ) dvf dv dvr dr = + + ω r + ω. (8.7) dt fix dt fix dt fix dt fix Oikealla puolella olevista termeistä: ( ) dv R f dt fix ( ) ( ) dvr dvr = + ω v r a r + ω v r (yhtälöstä (8.3)) dt fix dt rot ( ) ( ) dr dr ω = ω + ω (ω r) ω v r + ω (ω r). dt dt fix Näistä ja N2:sta fix-koordinaatistossa saamme rot F = ma f = m R f + ma r + m ω r + mω (ω r) + 2mω v r. (8.8)

93 Mekaniikka 8.2. Keskipakoisvoima ja Coriolis-voima 93/122 Tulos (8.8) antaa voiman fix-koordinaatistossa: F = ma f. Kuitenkin rot-koordinaatiston mukana liikkuva havaitsija havaitsee kiihtyvyyden a r ja voi tulkita sen seuraukseksi efektiivisestä voimasta: F eff = ma r. (8.8) F eff = ma r = F m R f m ω r mω (ω r) 2mω v r. (8.9) Tässä F on hiukkaseen inertiaalikoordinaatistossa vaikuttava kokonaisvoima. Termit m R f m ω r seuraavat liikkuvan koordinaatiston (mahdollisista) kiihtyvyydestä ja kulmakiihtyvyydestä. Kiinnostavia ovat kaksi viimeistä termiä: mω (ω r) on keskipakoisvoima ja 2mω v r on Coriolis-voima. Ne ovat koordinaatiston pyörimisestä johtuvia näennäisvoimia, eivät todellisia voimia. Keskipakoisvoima suntautuu pyörimisakselilta kohtisuoraan ulospäin. Jos ω r, niin sen suuruus on mω 2 r, peruskurssilta tuttu keskihakuisvoiman lauseke. Coriolis-voima ollakseen nollasta poikkeava edellyttää hiukkasen liikkuvan pyörivässä koordinaatistossa. Jos kyseessä on liike maapallon pinnalla, 15 pohjoisella pallonpuoliskolla Coriolis-voima pyrkii kääntämään liikettä oikealle, eteläisellä pallonpuoliskolla vasemmalle. Esim 8.28 Liike karusellissa: keskipakoisvoima ja Coriolis-voima. Esim 8.29 Liike suhteessa maahan: heiluri, tuulet ja kosmiset hiukkaset. 15 Maapallon pyöriminen: Vektori ω osoittaa akselia pitkin pohjoiseen.

94 Mekaniikka 8.2. Keskipakoisvoima ja Coriolis-voima 94/122 Kuvat tällä sivulla: Ristituloaskartelua: Keskipakoisvoiman mω (ω r) suunta on poispäin pyörimisakselista. Coriolis-voiman 2mω v r vaikutus: Kitkaton 2D liike vastapäivään pyörivässä (ω:n suunta katsojaa kohti) karusellissa eri alkuehdoilla nopeudelle v r (0) karusellin mukana pyörivässä koordinaatistossa rastin osoittaessa liikkeen alkukohdan. Rata kääntyy (siis kiihtyy) karusellin mukana pyörivässä koordinaatistossa aina oikealle (kuten pohjoisella pallonpuoliskolla). Kiinteässä koordinaatistossa liike on suoraviivaista. Nopeudet yksiköissä ωr, missä ω ja R ovat karusellin parametrit. Jos v f (0) = 0 kiinteässä koordinaatistossa, mikä on rata karusellin mukana pyörivässä koordinaatistossa? Vastaus: Ympyrä. Tällöin on v r (0) = 1/2. ω r r ω ω (ω r) v(0)=1,5 v(0)=0,8 v(0)=0,45 v(0)=0,328 v(0)=0,47 v(0)=0,283

95 Mekaniikka 9.1. Hitausmomenttitensori 95/ Jäykän kappaleen liike 9.1. Hitausmomenttitensori Tarkastelemme seuraavassa kiinteää kappaletta, joka muodostuu n hiukkasesta, joiden hetkelliset nopeudet fix-koordinaatistossa 16 ovat v α. Kappale pyörii hetkellisellä kulmanopeudella ω jonkin rot-koordinaatiston eli kappaleen koordinaatiston pisteen ympäri ja lisäksi kyseinen piste liikkuu hetkellisellä nopeudella V fix-koordinaatiston suhteen. Yhdelle hiukkaselle yhtälöstä (8.5) on v α = V + v α,r + ω r α Kappale on kiinteä hiukkaset pysyvät rot-koordinaatistossa paikoillaan 17 eli v α,r = 0 v α = V + ω r α. (9.1) Yhden hiukkasen liike-energia on 1 2 mαv 2 α, joten koko kappaleen liike-energia on T = 1 2 n m α(v + ω r α) 2. (9.2) α=1 Yleistetään seuraavaksi F2-kurssilta tuttu tulos, että T on rotaation (rot ω) ja translaation (trans V) liike-energioiden summa tietyllä ehdolla. 16 Kevennämme merkintöjä siten, että jätämme fix- ja f -alaindeksit pois. 17 Kiteen atomit värähtelevät pysyen kidehilassa keskimäärin paikoillaan.

96 Mekaniikka 9.1. Hitausmomenttitensori 96/122 Puretaan (9.2):ssä esiintyvä neliö: T = 1 m 2 αv 2 + m αv ω r α + 1 m 2 α(ω r α) 2. (9.3) α α α Tämä lauseke on riippumaton r α-koordinaatiston origon valinnasta. Ensimmäinen termi on yksinkertaisesti mkp-liikkeen kineettinen energia ( 1 m 2 αv 2 = 1 m 2 α )V 2 1 MV 2. 2 α Valitaan sitten rot-koordinaatiston origoksi kappaleen massakeskipiste ( ), jolloin α mαrα MR = 0, joten (9.3):n keskimmäinen termi häviää: [ ( )] m αv ω r α = V ω m αr α = 0. α Täten ehdolla ( ) on fix-koordinaatistossa mitaten α α T = T trans + T rot (9.4) T trans = 1 2 MV 2 (9.5) T rot = 1 2 n m α(ω r α) 2. (9.6) α=1

97 Mekaniikka 9.1. Hitausmomenttitensori 97/122 Käytetään tietoa (A B) 2 = A 2 B 2 (A B) 2, jolloin (9.6):sta tulee T rot = 1 m 2 α[ω 2 rα 2 (ω r α) 2 ]. α Kirjoitetaan tämä toisin: ω 2 = ωx 2 + ωy 2 + ωz 2 ja ω i = j δ ijω i, joten ( T rot = 1 ω 2 i ω j m α δ ij rα,k 2 r α,i r α,j ), i=x,y,z j=x,y,z α k=x,y,z missä merkitsimme r α = (x α, y α, z α) kappaleen koordinaatistossa. Päädymme näin muotoon T rot = 1 I 2 ij ω i ω j = 1 ωiω, (9.7) 2 i=x,y,z j=x,y,z missä hitausmomenttitensorin {I} alkiot (9 kpl) rot-koordinaatistossa ovat I ij = n α=1 m α ( δ ij k=x,y,z r 2 α,k r α,i r α,j ) i = x, y, z j = x, y, z. (9.8) Huom Käytimme Kroneckerin deltaa: δ ij = 1, kun i = j, ja δ ij = 0, kun i j. Huom Yksinkertaisimmassa erikoistapauksessa (9.7) saa F2:lta tutun muodon T rot = 1 2 I ω2.

98 Mekaniikka 9.1. Hitausmomenttitensori 98/122 Käyttöä varten {I} alkioittain: Merkiten (x α, y α, z α) = (r α,1, r α,2, r α,3) on α mα(y α 2 + zα) 2 α mαxαyα α mαxαzα {I} = α α mαxαyα mα(x α 2 + zα) 2 α mαyαzα α mαxαzα (9.9) α α mαyαzα mα(x α 2 + yα) 2 eli merkiten vielä rα 2 = xα 2 + yα 2 + zα 2 on α mα(r α 2 xα) 2 α mαxαyα α mαxαzα {I} = α α mαxαyα mα(r α 2 yα) 2 α mαyαzα α mαxαzα α α mαyαzα mα(r α 2 zα) 2. (9.10) Näissä matriisiesityksissä kannattaa huomata symmetriat, erityisesti I ij = I ji. (9.11) Käytännön laskujen kannalta tästä seuraa, että {I}:ssa on vain kuusi riippumatonta alkiota. Toinen havainto on, että {I} on additiivinen hiukkasindeksin suhteen. Jatkuvan massajakautuman tapauksessa summat yli α:n yhtälöissä (9.9,9.10) korvautuvat totuttuun tapaan integraaleilla. Merkiten (r x, r y, r z) = (x, y, z) ja dv = dx dy dz, saamme (9.8):sta I ij = V ρ(r) (δ ij k=x,y,z r 2 k r i r j )dv. (9.12)

99 Mekaniikka 9.2. Jäykän kappaleen pyörimismäärä 99/ Jäykän kappaleen pyörimismäärä Tarkastellaan pyörivän jäykän kappaleen pyörimismäärää L jonkin kappaleen koordinaatistossa paikallaan pysyvän pisteen O suhteen: L = α rα pα. Pisteen O valinta riippuu tarkasteltavasta ongelmasta: (a) Jos kappaleen yksi tai useampi piste on kiinnitetty fix-koordinaatistossa, valitaan jokin niistä. (b) Jos mikään kappaleen piste ei ole kiinnitetty fix-koordinaatistossa, valitaan massakeskipiste. Pisteen O suhteen hiukkasen α liikemäärä on p α = m αv α = m αω r α. Käyttämällä vektori-identiteettiä A (B A) = A 2 B A(A B) on L = α m αr α (ω α r α) = α m α[r 2 αω r α(r α ω)]. Samaan tapaan samoin merkinnöin kuin edellisessä luvussa saamme L i = ( ω j m α δ ij rα,k 2 r α,i r α,j ). (9.13) j=x,y,x α k=x,y,z Summa yli α:n on hitausmomenttitensorin alkio I ij, joten L = Iω eli L i = I ij ω j i = x, y, z. (9.14) j=x,y,z

100 Mekaniikka 9.2. Jäykän kappaleen pyörimismäärä 100/122 Huom Havaitsemme (9.14):stä, että pyörimismäärävektori L ei yleisesti ole samansuuntainen kulmanopeusvektorin ω kanssa. Samansuuntaisuus edellyttää tilanteelta jonkinlaisia symmetrioita. Koulusta tutut skalaarirelaatiot L = I ω ja T rot = 1 2 I ω2 pätevätkin vain erikoistapauksissa, kuten tasa-aineisen pallon tai ympyräkiekon pyörimiselle akselinsa ympäri. Huom Pyöriviin koordinaatistoihin ja pyöriviin kappaleisiin liittyvät havainnot ja tulokset yllättävät toisinaan. Tämä johtuu siitä, että ihmisellä ei ole juurikaan arkikokemusta (riittävän nopeasta) pyörimisestä. Liikuntaharrastukset kuten luistelu, voimistelu ja uimahypyt voivat opettaa jotain. Reunahuom Yhtälöt (9.7) ja (9.14) voidaan kirjoittaa tensorin {I} avulla koordinaatistosta riippumattomassa muodossa: T rot = 1 ω L = 1 ω {I} ω L = {I} ω. 2 2 Tästä voimme todeta, että tensori {I} on kuvaus, joka kuvaa kaksi vektoria (tässä ω ja ω) skalaariksi (T rot) ja yhden vektorin (ω) vektoriksi (L). Tensoreita voidaan tarkastella myös niiden koordinaatistomuunnosminaisuuksien kautta. Jätämme tensorinotaation kehittelyn tähän ja laskemme (LAG) valitussa koordinaatistossa tensorin matriisiesitystä [esim. (9.9)] käyttäen. Esim 9.30 Käsipainon hitausmomentti, kulmanopeus ja pyörimismäärä. Esim 9.31 Kuution hitausmomentti, osa 1.

101 Mekaniikka 9.3. Hitausmomentin pääakseliesitys 101/ Hitausmomentin pääakseliesitys Elämä yksinkertaistuu huomattavasti sellaisessa koordinaatistossa, jossa hitausmomenttitensorissa nollasta poikkeavia elementtejä ovat vain diagonaalielementit. Jos I x 0 0 I ij = δ ij I i {I} = 0 I y 0, 0 0 I z niin (9.7) ja (9.14) ovat yksinkertaisesti T rot = 1 I 2 i ωi 2 L i = I i ω i. i=x,y,z Lähdemme nyt hakemaan kappaleen koordinaatistolle sellaisia akseleita, että tämä toteutuu, jolloin kyseisiä akseleita kutsutaan päähitausmomenttiakseleiksi. Erityisesti, jos kappale pyörii yhden päähitausmomenttiakselinsa, jota vastaa hitausmomentti I (skalaari) ympäri, niin voimassa vielä vahvempi ehto L = I ω (9.15) L x = I ω x = I xxω x + I xy ω y + I xzω z L y = I ω y = I yxω x + I yy ω y + I yzω z L z = I ω z = I zxω x + I zy ω y + I zzω z.

102 Mekaniikka 9.3. Hitausmomentin pääakseliesitys 102/122 Tämä voidaan kirjoittaa kurssilta M5 tuttuun, ominaisarvoyhtälön muotoon: (I xx I )ω x + I xy ω y + I xzω z = 0 I yxω x + (I yy I )ω y + I yzω z = 0 (9.16) I zxω x + I zy ω y + (I zz I )ω z = 0. Ymmärtäen tämä lineaariseksi yhtälöryhmäksi vektorin ω komponenteille, muistamme LAG:sta, että epätriviaali ratkaisu on olemassa, jos karakteristinen polynomi häviää eli I xx I I xy I xz P(I ) I yx I yy I I yz = 0. (9.17) I zx I zy I zz I Determinantti laskemalla saadaan karakteristinen yhtälö P(I ) = 0, jonka asteluku tässä yhteydessä on kolme. Yhtälön kukin juuri voidaan erikseen sijoittaa yhtälöryhmään (9.16), jolloin kutakin kolmea juurta I ν vastaten saadaan suhdeluvut ω νx : ω νy : ω νz. Saamme kolme vektoria ω ν, joille ehto (9.15) toteutuu kolme ominaisvektoria koska I ij = I ji. Näin saatavat pääakselien suunnat ovat keskenään ortogonaaliset ja saadaan kiertämällä alkuperäistä akselistoa, jonka suhteen I ij :t olivat määritetyt. Huom Symmetriselle kappaleelle, esim. pallolle päähitausmomenttiakseleiksi käyvät mitkä tahansa kolme keskenään ortogonaalista vektoria. Esim 9.32 Jatkoa aiemmalle: kuution päähitausmomenttiakselit.

103 Mekaniikka 9.4. Hitausmomentit eri koordinaattisysteemeissä 103/ Hitausmomentit eri koordinaattisysteemeissä Huom Tarkastellaan r i -koordinaatiston, jonka origo O on kappaleen massakeskipiste, lisäksi toista, R i -koordinaatistoa, jonka origo on pisteessä Q siten, että niiden kaikille vektoreille r ja R pätee R = r + a R i = r i + a i. jollakin vakiovektorilla a. Koordinaatistojen orientaatiot siis pysyvät samoina. Hitausmomenttitensorin alkioita uusissa koordinaateissa merkitsemme J ij :llä: J ij = n α=1 m α ( δ ij 3 Rα,k 2 R α,i R α,j ). (9.18) Sijoitetaan tähän R i = r i + a i ja kaivetaan esiin I ij :n lauseke (9.8): J ij = ( ) m α δ ij (r α,k + a k ) 2 (r α,i + a i )(r α,j + a j ) α k = ( ) m α δ ij rα,k 2 r α,i r α,j + ( ) m α δ ij ak 2 a i a j α k α k + ( m α 2δ ij r α,k a k r α,i a i r α,j a j ). α k k=1

104 Mekaniikka 9.4. Hitausmomentit eri koordinaattisysteemeissä 104/122 Viemällä viimeisessä termissä α-summauksen sisimmäksi se tulee muotoon ( ( ( 2δ ij m αr α,k )a k m αr α,i )a i m αr α,j )a j. k α Kun piste O on kappaleen massakeskipiste, on α mαr α,k = 0 kaikilla k, joten koko viimeinen termi on nolla. α Ensimmäinen termi on (9.8):ssa määritelty I ij. Toinen termi yksinkertaistuu käyttämällä tietoja α mα = M ja k a2 k = a 2. Uudelleenjärjestelyllä saamme I ij = J ij M(δ ij a 2 a i a j ). (9.19) Tämän tuloksen käyttö: Joskus on helpointa laskea (tai ehkä tiedetään) hitausmomenttitensori muussa kuin massakeskipistekoordinaateissa, tässä erityisesti koordinaateissa, joita on siirretty vakiovektorin a verran. Näin saaduista J ij saadaan mkp-koordinaatteja vastaava I ij kaavalla (9.19). Huom Kurssilla F2 on johdettu tämän erikoistapaus, joka tunnetaan myös Steinerin sääntönä: I zz = J zz M(a 2 x + a 2 y ). Esim 9.33 Jatkoa aiempaan: kuution hitausmomenttitensori siirrettäessä referenssipiste kärkipisteestä massakeskipisteeseen. Esim 9.34 Kuutio vielä kerran: kiertomatriiseja käyttäen. α

105 Mekaniikka 9.5. Eulerin kulmat 105/ Eulerin kulmat Muunnos koordinaatteja kiertämällä voidaan esittää matriisiyhtälönä x = λx. (9.20) Merkitsemme fix-koordinaatteja x i :llä ja kappaleen koordinaatteja x i :llä. Yleisessä tapauksessa tarvitaan kolme kulmaa kaikkien kierroilla toisistaan saatavien koordinaatistojen välisten muunnosten kuvaamiseen. Matriisilla λ on siis kolme parametria, joiksi valitsemme Eulerin kulmat φ, θ ja ψ. 1. Rotaatio kulman φ verran vastapäivään akselin x 3 ympäri: cos φ sin φ 0 x = λ φ x λ φ = sin φ cos φ Rotaatio kulman θ verran vastapäivään akselin x 1 ympäri: x = λ θ x λ θ = 0 cos θ sin θ 0 sin θ cos θ 3. Rotaatio kulman ψ verran vastapäivään akselin x 3 ympäri: cos ψ sin ψ 0 x = λ ψ x λ ψ = sin ψ cos ψ

106 Mekaniikka 9.5. Eulerin kulmat 106/122 Ci.0 C)

107 Mekaniikka 9.5. Eulerin kulmat 107/122 Yhdistämällä nämä kolme kiertoa tavallista matriisituloa käyttäen x = λx = λ ψ λ θ λ φ x = λ ψ λ θ x = λ ψ x (9.21) eli matriisi λ on kolmen matriisin tulo. Haluamme liittää kuhunkin kierroista kulmanopeusvektorit seuraavasti: ω φ = φ ω θ = θ ω ψ = ψ. Komponenttiesitykset saamme laskemalla ω = φ + θ + ψ = φê 3 + θê 1 + ψê 3 : φ = φ (sin θ sin ψ, sin θ cos ψ, cos θ) θ = θ (cos ψ, sin ψ, 0) ψ = ψ (0, 0, 1). Näistä pääsemme kappaleen koordinaatistossa (origo massakeskipisteessä) ilmaistun kulmanopeusvektorin ω komponentteihin seuraavasti: ω 1 = φ 1 + θ 1 + ψ 1 = φ sin θ sin ψ + θ cos ψ (9.22) ω 2 = φ 2 + θ 2 + ψ 2 = φ sin θ cos ψ θ sin ψ (9.23) ω 3 = φ 3 + θ 3 + ψ 3 = φ cos θ + ψ. (9.24) Näille sinänsä tylsille relaatioille tulee käyttöä tuotapikaa. Huom Kierroista kaksi tehtiin kolmosakselin ympäri. Kierrot voitaisiin valita muillakin tavoilla. Yllä tehty kulmien valinta (φ, θψ) ovat tavallisin tapa.

108 Mekaniikka 9.6. Eulerin yhtälöt jäykälle kappaleelle 108/ Eulerin yhtälöt jäykälle kappaleelle (a) Vapaasti pyörivä kappale (Lagrangen mekaniikalla) Jos kappaleeseen ei vaikuta mikään ulkoinen voima, sen Lagrangen funktio sisältää vain liike-energian T = 1 2 i I iωi 2, missä koordinaatiston akseleiksi on valittu päähitausmomenttiakselit. Valitaan yleistetyiksi koordinaateiksi Eulerin kulmat, jolloin Lagrangen yhtälö kulmalle ψ on T ψ d dt T = 0. (9.25) ψ Haluamme päästä käyttämään ( ):a. Kirjoitetaan edelläoleva muotoon T ω i ω i ψ d T ω i = 0. dt ω i ψ i Derivoimalla ( ):a ja T :n lauseketta saamme ω 1/ ψ = φ sin θ cos ψ θ sin ψ = ω 2 ω 2/ ψ = φ sin θ sin ψ θ cos ψ = ω 1 ω 3/ ψ = 0 ω 1/ ψ = 0 T / ω 1 = I 1ω 1 ω 2/ ψ = 0 T / ω 2 = I 2ω 2 ω 3/ ψ = 1 T / ω 3 = I 3ω 3. i

109 Mekaniikka 9.6. Eulerin yhtälöt jäykälle kappaleelle 109/122 Täten (9.25) tuottaa yhtälön (I 1 I 2)ω 1ω 2 I 3 ω 3 = 0. Muidenkin ω:n komponenttien on toteutettava samanmuotoiset yhtälöt, joten permutoimalla indeksejä saamme Eulerin yhtälöt vapaalle pyörimiselle: I 1 ω 1 (I 2 I 3)ω 2ω 3 = 0 I 2 ω 2 (I 3 I 1)ω 3ω 1 = 0 (9.26) I 3 ω 3 (I 1 I 2)ω 1ω 2 = 0. Vaikka kolmas yhtälö onkin Lagrangen yhtälö ψ:lle, kaksi muuta eivät ole muille Eulerin kulmille φ ja θ. Valitsimme ψ:ssä helpoimman tien. (b) Voimakentässä pyörivä kappale (Newtonin mekaniikalla) Jos kappaleeseen vaikuttaa jonkin voiman momentti, saamme yhtälöstä (8.3) (dl/dt) kpl + ω L = N L 3 + ω 1L 2 ω 2L 1 = N 3. Pysyen pääakseliesityksessä L i = I i ω i saamme tästä yhtälöt (kolmannen ja muut kaksi permutoimalla) I 1 ω 1 (I 2 I 3)ω 2ω 3 = N 1 I 2 ω 2 (I 3 I 1)ω 3ω 1 = N 2 (9.27) I 3 ω 3 (I 1 I 2)ω 1ω 2 = N 3. Esim 9.35 Jatkoa aiempaan: käsipainon pyörimisen vaatima momentti.

110 Mekaniikka 9.7. Eulerin yhtälöiden sovelluksia 110/ Eulerin yhtälöiden sovelluksia Seuraavassa esitetään joitakin keskeisiä esimerkkejä Eulerin yhtälöiden soveltamisesta. Laskut käydään tarkemmin läpi luennolla. Esim 9.36 Symmetrisen hyrrän vapaa pyöriminen Olkoon I 1 = I 2 > I 3. Merkiten Ω = ω 3(I 3 I 1)/I 1 Eulerin yhtälöt antavat ω 1 + Ωω 2 = 0 ω 2 Ωω 1 = 0 ω 3 = 0. Derivoimalla toinen yhtälö ja sijoittamalla se ensimmäiseen saamme ω 2 + Ωω 2 = 0 ja samaan tapaan ω 1 + Ωω 1 = 0. Ratkaisu on täten ω 1(t) = A cos Ωt ω 2(t) = A sin Ωt ω 3 = VAKIO. Täten ω = A 2 + ω3 2 = VAKIO eli vektori ω kiertää x3-akselia taajuudella Ω ja x 3-akseli kiertää x 3-akselia (kts. kuvat). Ilmiö on nimeltään prekessio. Liike-energia on vakio, josta T rot = 1 2 ω L = VAKIO. Täten ω:n ja L:n välinen kulma on vakio. Koska L = VAKIO, on L koko ajan x 3-akselin suuntainen.

111 Mekaniikka 9.7. Eulerin yhtälöiden sovelluksia 111/122 Kuvat tällä sivulla: Kulmanopeuden prekessio kappaleen koordinaatistossa x 3-akselin ympäri vapaasti pyörivälle symmetriselle hyrrälle. Kulmanopeuden prekessio kiinteässä koordinaatistossa x 3-akselin ympäri ja kappaleen koordinaatistossa x 3-akselin ympäri. Akselit x 3 ja x 3 sekä ω pysyvät samassa x 3-akselin ympäri pyörivässä tasossa. Kuvan kartiokonstruktiossa kiinteän koordinaatiston kartio on paikallaan kappaleen koordinaatteihin kiinnitetyn kartion rullatessa sen pinnalla. Hyrrän fysikaalisen akselin suunta x 3 prekessoi x 3 akselin ympäri. Jos I 1 = I 2 < I 3, niin hyrrän kartio rullaa kiinteän kartion sisäpinnalla. Zr C (I) cone x3 x2

112 Mekaniikka 9.7. Eulerin yhtälöiden sovelluksia 112/122 Esim 9.37 Tuetun symmetrisen hyrrän pyöriminen Tarkastellaan hyrrää, jonka alempi kärki pysyy paikallaan origossa x = x = 0, gravitaatiopotentiaalissa Mgh, missä x 3 = h on hyrrän painopisteen korkeuskoordinaatti fix- eli x -koordinaatistossa. Edelleen I 1 = I 2. Lagrangen funktio on tällöin L = T U = 1 2 I1( φ 2 sin 2 θ + θ 2 ) I3( φ cos θ + ψ) 2 Mgh cos θ. Liikevakioita ovat (huom: φ ja ψ ovat syksilisiä koordinaatteja) L/ φ L/ ψ E = T + U ω 3 E = E 1 2 I3ω2 3. Nyt E =... = 1 2 I1 θ 2 + V (θ), missä V (θ) on effektiivinen potentiaali, jolla on minimi jollakin θ = θ 0. Jos θ = θ 0 ja hyrrä pyörii nopeasti eli ω 3 on suuri, saadaan prekessiolle kaksi mahdollista taajuutta, kun θ 0 < π/2: φ + = I3ω3 I 1 cos θ 0 φ = Mgh I 3ω 3. Tavallisesti näistä pienempi eli φ havaitaan (katso kurssikirja). Jos sallitaan muut θ:n arvot ja φ ei vaihda merkkiään, prekessio on tasaista. Lisäksi x 3-akselin kulma θ oskilloi jollain välillä θ 1 < θ < θ 2. Tämä ilmiö on nutaatio. Jos φ vaihtaa merkkiään, x 3-akselin liike on mutkikkaampaa.

113 Mekaniikka 9.7. Eulerin yhtälöiden sovelluksia 113/122 Kuva tällä sivulla: Kärkipisteestään kiinnitetyn hyrrän liikkeeseen liittyvät laskuissa käytetyt koordinaatit. Prekessio on kulman φ tasaista kasvamista. Nutaatio on kulman θ oskillaatio. Lisäksi ψ = VAKIO φ cos θ. sapou jo aui Ix