Vektoriarvoiset funktiot Vektoriarvoisen funktion jatkuvuus ja derivoituvuus

Koko: px

Aloita esitys sivulta:

Download "Vektoriarvoiset funktiot Vektoriarvoisen funktion jatkuvuus ja derivoituvuus"

Aapo Aho
7 vuotta sitten
Katselukertoja:

1 8. Vektoriarvoiset funktiot 8.1. Vektoriarvoisen funktion jatkuvuus ja derivoituvuus 320. Olkoon u reaalimuuttujan vektoriarvoinen funktio R R n ja lim t a u(t) = b. Todista: lim t a u(t) = b Olkoon u reaalimuuttujan vektoriarvoinen funktio R R n ja lim t a u(t) = b, missä b o. Todista: u(t) lim t a u(t) = b b Olkoon u reaalimuuttujan vektoriarvoinen funktio R R n. Osoita, että vaikka funktio u(t) olisikin derivoituva, ei funktio u(t) välttämättä ole. Esimerkiksi u(t) = (1 0) T, jos t on rationaalinen, ja u(t) = (0 1) T, jos t on irrationaalinen Laske u (t), u (t), u (t) ja u (t) arvolla t = 0, kun a) u(t) = (t 3 + 2t)i 3e 2t j + 2sin5t k, b) u(t) = ln(t 2 + 1)i + t 2 + 1j + 2t t k. a) 2i + 6j + 10k, 2 35, 12j, 12; b) 2k, 2, 2i + j, Olkoon u(t) neljästi derivoituva vektorifunktio. Laske ensimmäinen ja toinen derivaatta skalaarikolmitulolle [u(t),u (t),u (t)]. [u(t),u (t),u (t)], 325. [u(t),u (t),u (t)] + [u(t),u (t),u (t)]. Olkoon u(t) derivoituva vektorifunktio ja u(t) o. Osoita: u 0 (t) d dt u0 (t) = u(t) u(t) 2 d dt u(t) Olkoon e(t) kahdesti derivoituva yksikkövektori ja e (t) o kaikilla muuttujan t arvoilla. Osoita, että vektoreiden e(t) ja e (t) välinen kulma ei koskaan ole terävä.

2 327. Olkoot u(t) ja v(t) vektorifunktioita. Osoita, että jos du dt 328. Olkoon u(t) derivoituva vektorifunktio ja a o vakiovektori. Osoita: ( ) d du comp(u,a) = comp dt dt,a, missä comp(u,a) tarkoittaa vektorin u skalaarikomponenttia vektorin a suunnalle dv = w u ja dt = w v, niin d (u v) = w (u v). dt Olkoot a ja b kaksi lineaarisesti riippumatonta vakiovektoria ja olkoon r(t) = a cost + b sint. Osoita, että [r(t),r (t),r (t)] = 0 kaikilla muuttujan t arvoilla. Jos t on aika ja r(t) esittää liikkuvan pisteen paikkavektoria, niin mikä on väitteen geometrinen tulkinta? 330. Osoita, että yhtälö z p sinz = t määrittää funktion z = z(t), kun p on vakio ja p < 1. Näytä, että tämän funktion avulla määritelty vektorifunktio toteuttaa differentiaaliyhtälön r (t) = r(t)/ r(t) 3. r(t) = (cosz(t) p)i + 1 p 2 sinz(t)j 8.2. Taso- ja avaruuskäyrät 331. Tutki, onko piste ( , ) käyrällä ( x = ) t+1 (, y = ) t. t t Miten käyrä käyttäytyy, kun t? 332. Määritä käyränkaaren r(t) = lnt i + (1/t)j, t [1,3], pisteiden suurin ja pienin etäisyys origosta. Piirrä kuvio. ln3 + 19, 1 2 ln Osoita, että kun ympyrä vierii liukumatta suoraa pitkin, sen kehällä oleva piste piirtää sykloidin.

3 334. Määritä avaruuskäyrän r(t) = t 3 i +t 2 j +t k yksikkötangenttivektori pisteessä (8,4,2) (12i + 4j + k) Laske ruuviviivan r(t) = acost i + asint j + bt k tangenttivektori pisteessä, joka vastaa parametriarvoa t 0. Laske tähän pisteeseen asetetun ruuviviivan normaalitason yhtälö muodossa αx + βy + γz = δ. Mikä on tämän tason lyhin etäisyys origosta? asint 0 i + acost 0 j + bk; a(sint 0 )x + a(cost 0 )y + bz = b 2 t 0 ; b 2 t 0 / a 2 + b Määritä neljän desimaalin tarkkuudella ruuviviivan r(t) = cost i + sint j + t 2π k sen pisteen P koordinaatit, joka on lähinnä pistettä (0, 1, 0). Perustele ääriarvon laatu geometrisen havainnon avulla. Pisteeseen P asetetaan ruuviviivan tangentti; määritä tangentin ja xy-tason leikkauspiste Osoita, että r(t) = acosht i + bsinht j (a > 0, b > 0) esittää hyperbelin toista haaraa. Osoita, että käyrä on sileä ja säännöllinen. Millä parametrin t arvolla käyrän tangentti on y-akselin suuntainen? t = Määritä käyrän r(t) = a(cost + t sint) i + a(sint t cost) j normaalin etäisyys origosta. a r = (cost +t sint)i + (sint t cost)j r(t) = cos(5t)i + sin(6t)j, t [0,2π] r(t) = t (1 t) i + t t + 1 j

4 Asymptootit x = 1 4, y = 1 2, y = 1; pystysuora tangentti pisteissä ( 1 2 ( 2 1), 1/ 2), ( 1 2 ( 2 + 1),1/ 2) r(t) = t2 + 1 t 2 1 i + t t j Asymptootit y = ± 1 2 ; vaakasuora tangentti pisteissä ( 2 3,± ), (1,0); pystysuora tangentti pisteessä ( 1,0) r(t) = t 1 t 2 i + t(1 2t2 ) 1 t 2 j Asymptootit x = 0, x + y = ±2; vaakasuora tangentti pisteissä (1.179, 4.200), ( 0.600, 0.337), (0.600,0.337), 1.179,4.200) r(t) = t2 t 2 1 i + t2 + 1 t + 2 j Asymptootit x = 1, x = 4 3, y = 2 3, y = 2; vaakasuora tangentti pisteissä ( 1 4 (2 + 5), 4 2 5), ( 1 4 (2 5), ); pystysuora tangentti pisteessä (0, 1 2 ) Piirrä napakoordinaattikäyrät r = sin nϕ, n = 1, 2, Napakoordinaateissa annettu käyrä r = a(1 + cos ϕ) on kardioidi. Missä pisteissä käyrän tangentti on x- tai y-akselin suuntainen?. x-akselin suuntainen, kun ϕ = π/3 tai = 5π/3, y-akselin suuntainen, kun ϕ = 0, = 2π/3 tai = 4π/ Osoita, että kardioidi r = 1 + cosϕ ja kardioidi r = 1 cosϕ leikkaavat toisensa kohtisuorasti Määritä suorakulmaiset koordinaatit viiden desimaalin tarkkuudella sille kardioidin r = 1 + cos ϕ pisteelle, joka sijaitsee lähinnä pistettä x = y = 1.

5 349. Tutki napakoordinaattikäyrän r = a sin 3ϕ pisteeseen osoittavan paikkavektorin ja tähän pisteeseen asetetun tangenttivektorin välistä kulmaa muuttujan ϕ eri arvoilla.. Kulma = arctan( 1 3 tan3ϕ) Arkhimedeen spiraali määritellään napakoordinaattiyhtälöllä r = aϕ. Tutki käyrän pisteeseen osoittavan paikkavektorin ja tähän pisteeseen asetetun tangenttivektorin välistä kulmaa muuttujan ϕ eri arvoilla.. Kulma = arctan ϕ Logaritminen spiraali määritellään napakoordinaattiyhtälöllä r = ae kϕ. Tutki käyrän pisteeseen osoittavan paikkavektorin ja tähän pisteeseen asetetun tangenttivektorin välistä kulmaa muuttujan ϕ eri arvoilla. sopivilla lukujen a ja k arvoilla. Kulma = arctan(1/k) Piirrä Arkhimedeen spiraali r = ϕ ja logaritminen spiraali r = e ϕ. Määritä suuntaa ϕ = π lähellä olevan käyrien leikkauspisteen napakoordinaatit numeerisesti. Määräytyykö leikkauspiste yksikäsitteisesti em. ehdosta? 353. Piirrä konkoidi r = asin 3 (ϕ/3). Olkoon α käyrän tangenttivektorin ja x-akselin välinen kulma, β käyrän pisteen paikkavektorin ja tähän pisteeseen asetetun tangenttivektorin välinen kulma. Lausu kulmat parametrin ϕ funktioina ja tutki niiden suhdetta toisiinsa Yhtälö x 3 +y 3 axy = 0 esittää käyrää, jota kutsutaan Cartesiuksen lehdeksi. Johda käyrälle parametriesitys, jossa parametrina on käyrän pisteen ja origon määräämän suoran kulmakerroin t; ts. tee yhtälöön sijoitus y = xt. Piirrä käyrä. x = 355. at t 3 + 1, y = at2 t Johda Pascalin simpukan (x 2 + y 2 4x) 2 = 16(x 2 + y 2 ) napakoordinaattiyhtälö ja piirrä käyrä. r = 4(1 + cos ϕ) (kardioidi) Johda Bernoulli n lemniskaatan (x 2 + y 2 ) 2 = 2(x 2 y 2 ) napakoordinaattiyhtälö ja piirrä käyrä. r 2 = 2cos2ϕ.

6 357. Määritä käyrän x 2 y xy = 0 vaakasuorat ja pystysuorat tangentit implisiittisen derivoinnin avulla. Piirrä käyrä. y = 4, x = Todista, että yhtälöpari x = 3 5 t3 + t, y = e t määrittelee kaikilla arvoilla x R jatkuvan funktion y = f (x). Piirrä funktion kuvaaja sekä määritä sen ääriarvot ja käännepisteet Tutki, määritteleekö yhtälöpari x = t sint cost, y = t 2 funktion y = f (x) Laske yhtälöparin x = t sint cost, y = t 2 määrittämän funktion y = f (x) ensimmäinen ja toinen derivaatta parametrin t funktiona Osoita, että yhtälöiden x = 1 + lnt t 2, y = 3 + 2lnt t määrittämä funktio y(x) toteuttaa differentiaaliyhtälön (t > 0) y dy ( ) dy 2 dx = 2x + 1. dx Piirrä funktion y(x) kuvaaja. Millä muuttujan x arvoilla funktio on määritelty? Mitä muuta funktiosta voidaan sanoa? Funktiolla on kaksi haaraa: toinen on määritelty arvoilla x e/2, toinen arvoilla 0 < x e/ Olkoon r 0 = i + 2j + 3k, a = 2(i + j + k), b = 3(i k). Tutki, minkälainen käyrä on r(t) = r 0 + (cost)a + (sint)b, t [0,2π]. Mitä käyriä ovat tämän käyrän ortogonaaliprojektiot koordinaattitasoille? 363. Tutki, millainen avaruuskäyrä on kyseessä, kun r(t) = ln(t + 1)(cost i + sint j) + arctant k, t 0. n projektiot koordinaattitasoille.

7 364. Tutki heittoliikettä: Miten lähtönopeuden muutos vaikuttaa heittoetäisyyteen ja lentoradan maksimikorkeuteen? 365. Osoita, että vinossa heittoliikkeesä heittoetäisyys on suurimmillaan, kun korotuskulma on Liikkuvan partikkelin paikkavektori r = r(t) toteuttaa yhtälön dr dt = a + b r0, missä a ja b ovat vakiovektoreita. Osoita, että r toteuttaa myös yhtälön missä λ on eräs vakio. Määritä λ. λ = a b d dt (r a + r b) = λr0, xy-koordinaatistossa tarkoitetaan rajoitetulla tangentilla (rajoitetulla normaalilla) käyrän pisteen ja x-akselin välisen tangentin (normaalin) osan pituutta ja alitangentilla (alinormaalilla) em. janan x-akselilla olevan projhektion pituutta. Napakoordinaatistossa määritellään muuten samoin, mutta x-akseli korvataan origon kautta kulkevalla paikkavektoria vastaan kohtisuoralla suoralla (joka siis muuttuu pisteen kulkiessa pitkin käyrää). Johda lausekkeet em. käsitteille. xy-koordinaatistossa rajoitettu tangentti y 1 + y 2, alitangentti y, rajoitettu normaali y 1 + y 2, alinormaali yy ; r napakoordinaatistossa vastaavasti r r 2 + r 2 r 2, r, r 2 + r 2, r. y y 8.3. Polynomikäyrät

Samankaltaiset tiedostot

MS-A0202 Differentiaali- ja integraalilaskenta 2 (SCI) Luento 1: Parametrisoidut käyrät ja kaarenpituus

MS-A0202 Differentiaali- ja integraalilaskenta 2 (SCI) Luento 1: Parametrisoidut käyrät ja kaarenpituus Antti Rasila Aalto-yliopisto Syksy 2015 Antti Rasila (Aalto-yliopisto) MS-A0202 Syksy 2015 1 / 18