Analyyttinen mekaniikka

Transkriptio

1 Maanantai /17 Analyyttinen mekaniikka Luennoitsija: Niko Jokela Syyslukukausi h/vko luentoja+2h/vko harjoituksia

2 Maanantai /17 Yleistä Luennot ma & to klo (E204) sekä viikoilla 40 & 41 lisäksi pe (E204). Viimeinen luento pe Luennoitsija: Niko Jokela, (A324) Kurssin kotisivut: Harjoitukset to (D112), pe (D116), pe (E206) Assistentit: Timo Kärkkäinen C311) ja Viljami Leino C304) Harjoitukset jaellaan vain kurssin kotisivulla noin viikkoa ennen palautusaikaa (maanantaisin klo 16) Muistakaa ilmoittautua kurssille WebOodissa!

3 Maanantai /17 Kurssista Esitiedot Peruskurssin mekaniikka MAPU I ja II Oppimateriaalia luentoprujut (löytyvät kurssin kotisivuilta) kurssikirja (Koskinen-Vainio: Klassinen mekaniikka, Limes) muut kirjat kirjastossa tukevat opiskelua Laskuharjoitukset tärkeä osa oppimista n. 20% arvosanasta Loppukoe

4 aanantai /17 Sisällysluettelo Newtonin mekaniikka lyhyesti Lagrangen mekaniikkaa Kytketyt värähtelijät Jäykän kappaleen liike Kanoninen formalismi Kaaosteoriaa (jos aika antaa myöten)

5 Maanantai /17 Aika ja avaruus klassisessa mekaniikassa Avaruus on 3-ulotteinen, Euklidinen ja absoluuttinen Aika on homogeneeninen ja absoluuttinen Oletukset ovat voimassa, kun v c : epärelativistinen pieniä massoja : ei tarvita yleistä suhteellisteoriaa Inertiaalikoordinaatisto: vapaa hiukkanen liikkuu vakionopeudella 1 Ei-inertiaalisia järjestelmiä: pyörivä maapallo (Coriolis-voima, ilman liikkeet), kiihtyvä/kääntyvä ajoneuvo 1 Esim. 3 Kelvinin mikroaaltotausta on keskimäärin isotrooppinen

6 aanantai /17 Newtonin lait I Kappale pysyy levossa tai tasaisessa liikkeessä, ellei siihen kohdistu mitään ulkoisia voimia (Galileo Galilei): F = 0 v = vakio II Kappaleen liikemäärän muutos on yhtä suuri kuin siihen vaikuttava kokonaisvoima: d p dt = F ( p = m v) jos m on vakio, niin F = m a III Kahden kappaleen toisiinsa kohdistamat voimat ovat yhtäsuuria mutta vastakkaissuuntaisia: F 12 = F 21

7 Maanantai /17 Liikeyhtälön muodostaminen Newtonin mekaniikassa Jotta kappaleen liike voidaan laskea Newtonin II laista, kaikki siihen vaikuttavat voimat pitää tuntea. Esim. piirretään vapaakappalekuva, johon merkitään kaikki kappaleeseen vaikuttavat voimat: kappaleesen vaikuttavat voimat (painovoima, sähkömagnetismi) erilaiset sidosvoimat (jännitykset, kitka, tukivoimat) Monien systeemien sidosvoimien käsittely voi olla hankalaa Newtonilaisittain. Sidosvoimien suuruus voi mm. riippua kappaleen liiketilasta. Tämän kurssin yksi päätavoitteista on oppia Lagrangen mekaniikkaa, joka tarjoaa systemaattisen tavan käsitellä kitkattomia sidoksia.

8 Maanantai /17 Liikemäärän säilyminen Otetaan N kpl massapisteitä m i, i = 1, 2,..., N paikoissa r i, jotka vaikuttavat toisiinsa voimilla F ij. Mahdollisia ulkoisia voimia merkitään F ulk i. Newton II & ṁ i = 0: p i = m i ri = F ulk i + j i F ij Määritellään kokonaismassa M = i m i sekä massakeskipiste i R = m i r i M Tällöin saadaan kokonaisliikemäärän säilymislaki: M R = m i ri = i i F ulk i + F ij i,j;i j }{{ } =0; N III P M R = i F ulk i

9 Maanantai /17 Työ viivaintegraalina Kiihdyttäessään kappaletta, voima tekee työtä W. Voiman työ määritellään viivaintegraalina: r(t) W F d r r 0 (t 0 ) Kun massapiste liikkuu pisteestä r 0 pisteeseen r, saadaan 2 : [ 1 2 m t W = d r t F t 0 dt dt = d t 0 ( ) ] d r 2 = 1 dt 2 m ( v 2 v0 2 ) T T0 Mikäli r r F d r on tiestä riippumaton, on F konservatiivinen: 0 ( 0 = F d r = ) F d S F = 0 F = U S S Konservatiiviselle voimalle pätee: r W = F d r = U( r) + U( r0 ) U + U 0 r 0 Eli saimme aikaan mekaanisen kokonaisenergian säilymislain: T + U = T 0 + U 0 = E = vakio 2 Oletus: sisäinen tila ei saa muuttua, esim. pyörimistila, massa.

10 Esimerkki: liike yksiulotteisessa potentiaalissa Kuva : Potentiaali U(x). Massapisteen liike rajoittuu alueeseen, jossa U(x) E. Suoraan integroimalla: E = vakio = 1 ( ) dx 2 2 m + U(x) dt = dt x(t) t t 0 = x=x 0 dx 2 (E U(x)) m dx 2 (E U(x)) m Tästä yhtälöstä voidaan siis ainakin periaatteessa ratkaista massapisteen rata eksplisiittisesti ajan funktiona x = x(t), kun tiedetään potentiaali ja ollaan määrätty alkuehto x = x 0. Käytännössä joudutaan turvautumaan numeriikkaan. Maanantai /17

11 Tärkeä vastaesimerkki ehdolle ( r i r j ) Fij on hitujen vuorovaikutukset elektrodynamiikassa, jolloin täytyy huomioida lisäksi sähkömagneettisen kentän liikemäärä sekä liikemäärämomentti. Maanantai /17 Liikemäärämomentti ja sen säilyminen Voiman momentti määritellään tutulla tavalla N = r F. Vastaavasti määritellään liikemäärämomentti (impulssimomentti): L = r p, l L Otetaan taas N hitua ja lasketaan kokonaisliikemäärämomentin aikaderivaatta: L = d N r i p i = r i p i = r i F ulk i + F ij dt i=1 i i j i Newtonin III lain nojalla: r i F ij = 1 r i F ij + r j F ji = i,j;i j i,j;i j i,j;i j ( ) ri r j Fij = 0 i,j;i j voimille, joille ( r i r j ) Fij. Tästä seuraa kokonaisliikemäärämomentin säilymislaki: L = i r i F ulk i = N ulk

12 aanantai /17 Keskeisvoimat Keskeisvoimat voidaan yleisesti esittää muodossa F ( r) = f ( r)ê r Huomaa, että voiman suuruus voi olla muotoa f ( r), jolloin se voi olla eri suuruinen eri suuntiin. Jos voiman suuruus riippuu vain etäisyydestä r r, on keskeisvoima selvästi konservatiivinen ja siis esitettävissä potentiaalin avulla. Tärkeä erikoistapaus on f (r) r 2, joka kuvaa painovoiman lisäksi Coulombin vuorovaikutusta. Tarkastellaan seuraavaksi esimerkkinä planeetan kiertämisestä Auringon ympäri, joka on siis kahden kappaleen ongelma ja redusoitavissa keskeisliikkeeksi. Kaksi pistemäistä kappaletta m 1, m 2 paikoissa r 1 ja r 2, jolloin massakeskipisteen (CM) paikka on R = m 1 r 1 + m 2 r 2 m 1 + m 2

13 aanantai /17 Keskeisvoimat: kahden kappaleen ongelma Liikeyhtälöt: m 1 r1 = F 12 m 2 r2 = F 21 = F 12 joista seuraa, että CM:n nopeus on vakio: R = m 1 r 1 + m 2 r2 m 1 + m 2 = 0 CM:een voidaan siis kiinnittää inertiaalikoordinaatisto. Määritetään vektori r = r 2 r 1, jolloin kuvasta: r 1 = R m 2 r, r 2 = R + m 1 r m 1 + m 2 m 1 + m 2 Jolloin vähentämällä liikeyhtälöt toisistaan saadaan tulos: m r = F 21, m = m 1m 2 m 1 + m 2 redusoitu massa

14 aanantai /17 Liike keskeisvoimakentässä Keskitymme jatkossa keskeisvoimiin, jotka ovat muotoa F ( r) = f (r)ê r. Nämä voimat osoittavat aina kohti (tai poispäin) origoa. Lasketaan voiman momentti N = r p = r F = f (r) r ê r = 0 josta suoraan seuraa, että liikemäärämomentti on liikevakio L = d dt ( r p) = r p + r p = 0 Koska sekä r L että r L, liike tapahtuu tasossa. Liike keskeisvoimakentässä on aina tasoliikettä. Johdetaan seuraavaksi pintalause. Olkoon da pinta-ala, jonka vektori r pyyhkäisee ajassa dt, samalla kiertyen θ verran, tällöin da = 1 2 r d r = 1 2 sin θrdr da dt = 1 2 r r = 1 2m l Eli r pyyhkäisee saman pinta-alan samassa ajassa kaikissa keskeisliikkeen vaiheissa. Tämä on Keplerin toinen laki.

15 Maanantai /17 Radan integrointi energiayhtälöstä Palataan takaisin tutkimaan kuinka rata voidaan ratkaista energiayhtälöstä. Keskeisvoimakentässä kokonaisenergia säilyy: E = T + U = 1 2 mṙ 2 l 2 + 2mr }{{ 2 +U(r) = vakio } keskipakopotentiaali Yksiulotteisen liikkeen tilanteessa t t 0 = m/2 x x 0 dx ((E U(x))) 1/2. Yleistys: x r ja U(x) Ũ(r) = U(r) + l2 2mr 2 m r t t 0 = 2 r 0 dr E U(r) efektiivinen potentiaali : l2 2mr 2

16 aanantai /17 Ratojen luokittelu Painovoima ja sähköstaattinen voima ovat samaa muotoa: f (r) = k r 2, k > 0 Potentiaali seuraa tästä integroimalla: U(r) = k r Ũ(r) = k r + l2 2mr 2 Kuva : Efektiivinen potentiaali Ũ(r) on todellisen keskeispotentiaalin (musta) k/r ja keskipakopotentiaalin (punainen) l 2 /(2mr 2 ) summa (sininen). Derivaatta r:n suhteen antaa voiman, jonka alaisena hitu liikkuu. Liike mahdollista vain, kun E > Ũ(r). Jos E > 0, niin kyseessä on avoin rata (hyperbeli, E = 0 paraabeli). Tapauksessa Ũmin < E < 0 on liike rajoittunutta (ellipsi), ja rajatapauksena saadaan ympyrärata, kun E = Ũ min.

17 Maanantai /17 Säilymislaeista Edellä huomasimme, että tiettyjen ehtojen täyttyessä, löysimme säilyviä suureita: liikemäärä, liikemäärämomentti ja energia. Tähän liittyy itseasiassa kaunis teoreema, joka on Emmy Noetherin (saksalainen matemaatikko ) käsialaa. Teoreema liittää säilyvät suureet ajan ja avaruuden symmetrioihin. Liikemäärän säilyminen seuraa avaruuden translaatioinvarianssista. Liikemäärämomentin säilyminen seuraa avaruuden rotaatiosymmetriasta. Energian säilyminen seuraa ajan translaatioinvarianssista.