Aalto-yliopiston perustieteiden korkeakoulu Matematiikan ja systeemianalyysin laitos

Transkriptio

1 Aalto-yliopiston perustieteiden korkeakoulu Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Malinen/Ojalammi MS-A0203 Differentiaali- ja integraalilaskenta 2, kevät 2016 Laskuharjoitus 4A (Vastaukset) alkuviikolla 4 Aihepiiri: Implisiittiset käyrät ja pinnat, differentiaali Noppa-monisteet, Adams & Essex, Näistä tehtävistä taulutehtävät lasketaan ennen harjoituksia kotona. Laskuharjoituksissa opiskelijat merkkaavat tekemänsä tehtävät listaan, josta assistentti valitsee satunnaisesti kullekin tehtävälle esittäjän ja auttaa muita ratkaisun tulkitsemisessa. Palautettavat tehtävät palautetaan irtopaperilla siistillä käsialalla kirjoitettuna oman ryhmän palautuskaappiin. Taulutehtävät 1. Laske seuraavien funktioiden likiarvot differentiaalia käyttäen annetuissa pisteissä: a) x 2 y 3, (3, 1; 0, 9) Vastaus: Arvioidaan kokonaisdifferentiaalilla: df = f f dx+ dx ts. f f f x+ x = f dr. Piste on lähellä pistettä (3, 1), jonka ympäristössä saadaan f 2xy 3 (3,1) (3.1 3) + 3x 2 y 2 (3,1) (0.9 1) = (6 27) 0.1 = 2.1 b) f (3.1;0.9) f (3,1) + f = 6.9 (vertaa oikea arvo 7.00) 24, (2, 1; 1, 9) x 2 + xy + y2 Vastaus: Pisteen (2, 2) ympäristössä saadaan ( ) ( ) 24 2x + y 1 f =, f (x 2 + xy + y 2 ) 2 2y + x 2,2 = 1 Siispä f = 0, ja f (2,1;1,9) 2 (vertaa oikea arvo 1.998)

2 2. Laske osittaisderivaatta, kun tiedetään, että z2 + xy 3 = xz. Osaatko y sanoa millä ehdolla on tällä yhtälöllä ratkaisu, jolla on edellämainittu derivaatta? (Vihje: implisiittifunktiolause, esim. Kangaslammen moniste s. 53). Vastaus: Tulkitaan z = z(x, y) eli z kahden muun muuttujan funktioksi, jolloin voidaan annettua yhtälöä derivoida implisiittisesti y:n suhteen: (z2 + xy 3 ) = (xz ) 2z y + 3xy2 = x y xz y 2 = xz + 3xy4 xy 2y 2 z. Tulkitaan alkuperäinen yhtälö tasa-arvokäyränä f(x, y, z) = 0, f(x, y, z) = z 2 + xy 3 xz y. Tällöin f on siis jatkuvasti derivoituva. Näin ollen implisiittifunktiolauseen mukaan yhtälö voidaan esittää muodossa z = z(x, y), jos f 0. Tällöin saadaan f = 2z x y 0, joten muoto z = z(x, y) löytyy kun y 0 ja z x 2y. 3. Olkoon f(x, y) = x 3 + 3y 4. Arvioi f(2, 1; 1, 1) tangenttitason avulla, kun tiedetään, että f(2, 1) = 11. Vastaus: Muodostetaan tangenttitaso pisteessä (2, 1, f(2, 1) = 11). Tason kaksi tangenttivektoria ovat t 1 = i + f(x, y) k, t 2 = j + f(x, y) k = 12y 3. Nyt tason vek- Lasketaan osittaisderivaatat: f(x,y) toreiksi saadaan = 3x 2, f(x,y) t 1 = i k = i + 12k, t 2 = j k = j + 12k

3 Nyt tangenttitason normaalivektori on: i j k n = t 1 t 2 = 1 0 = 12i 12j + k Tason yhtälö on muotoa: 12x 12y + z + d = 0. d saadaan ehdosta että piste (2, 1, 11) täytyy olla siellä. Näin saadaan d = 0 = d = 25 (1) Näin ollen tason yhtälö on: 12x 12y + z + 25 = 0 (2) Approksimaatio kohdassa f(2, 1; 1, 1) saadaan ratkaisemalla z tason yhtälöstä kohdassa (2, 1; 1, 1) z = 12 2, , 1 25 = 13.4 (3) eli f(2, 1; 1, 1) = 13.4.

4 Palautettavat tehtävät 1. Pinnat x 2 +y 2 +z 2 +w 2 = 1 ja x+2y+3z+4w = 2 määräävät implisiittisesti funktiot x = x(y, z) ja w = w(y, z). Osoita, että = 2w 4y kun 4x w. 4x w Vastaus: Tulkitaan pintoja funktioiden tasa-arvopintoina F (x, y, z, w) = x 2 + z 2 + w 2 1 = 0 ja G(x, y, z, w) = x + 2y + 3z + 4w 2 = 0. Nämä muodostavat yhtälöryhmän. Implisiittisen derivoinnin avulla saadaan pisteen (x(y, z), y, z, w(y, z)) läheisyydessä ratkaistua (esim. pruju s. 44 löytyvä kaava) = (F,G) (y,w) (F,G) (x,w) Tarvittavat Jacobin determinantit ovat (F, G) (y, w) = 2y 2w 2 4 = 8y 4w (F, G) (x, w) = 2x 2w 1 4 = 8x 2w Erityisesti jälkimmäisestä seuraa ehto kääntyvyydelle 4x w, ja = 2w 4y 4x w. 2. Laske Jacobin determinantti (x,y,z) (ρ,φ,θ), kun x = ρ sin φ cos θ, y = ρ sin φ sin θ, ja z = ρ cos φ Kyseessä on muunnos pallokoordinaateista karteesisiin koordinaatteihin. Mikäli Jacobin determinantti on nollasta poikkeava, pallokoordinaatit ρ, φ, θ voidaan esittää karteesisten koordinaattien x, y, z funktioina. Missä tämä on mahdollista? Huom: Kolmen funktion ja kolmen muuttujan tapauksessa Jacobin matriisi on 3 3 matriisi, jossa kullakin rivillä on yhden funktion kaikki eri 1. kertaluvun osittaisderivaatat: (F, G, H) (x, y, z) = det F G H F G H F G H

5 Vastaus: Tehtävä on suoraviivainen kaavaan sijoitus (kehitys ylimmän rivin suhteen): (x, y, z) (ρ, φ, θ) = sin φ cos θ ρ cos φ cos θ ρ sin φ sin θ sin φ sin θ ρ cos φ sin θ ρ sin φ cos θ cos φ ρ sin φ 0 = sin φ cos θ(ρ 2 sin 2 φ cos θ)+ρ 2 cos 2 φ cos 2 θ sin φ+ρ 2 sin φ sin θ(sin 2 φ sin θ+cos 2 φ sin θ) = ρ 2 sinφ cos 2 θ + ρ 2 sin φ sin 2 θ = ρ 2 sin φ Saadaan, että tämä determinantti on nolla, kun ρ = 0 tai φ = nπ, n Z. Näistä ensimmäinen tapaus on origo, jossa kulmat eivät ole yksikäsitteisesti määrättyjä, joten karteesisten koordinaattien funktiona esittäminen ei onnistu. Toinen tapaus vastaa z-akselia, jolloin kulma θ ei ole yksikäsitteisesti määrätty. 3. Tornin korkeus mitataan kulmamittauksella kahdesta pisteestä A ja B, jotka ovat samassa suunnassa tornista katoen. Mitatut kulmat ovat 50±1, 35±1, ja pisteiden välimatkaksi on mitattu 100±1m. Mikä on tornin korkeuden laskettu arvo ja kuinka suuri voi mittausvirhe olla differentiaalin perusteella arvioiden? Vastaus: Olkoon tornia lähempänä oleva piste A. Merkataan mittauspisteiden etäisyyttä muuttujalla x, mitattuja kulmia α, β (pisteille A ja B) ja tornin etäisyyttä pisteestä A muuttujalla d. Jos vielä merkataan tornin korkeutta muuttujalla h, saadaan yhtälöryhmä { h = d tan α Tästä voidaan laskea sekä osittaisderivaatat h = tan α tan β tan α tan β, h h = (d + x) tan β tan α tan β h = h(x, α, β) = x tan α tan β α = x tan 2 β cos 2 α(tan α tan β), h 2 β = x tan 2 α cos 2 β(tan α tan β) 2

6 Jos approksimoidaan muuttujan h mittausvirhettä eri virheistä yhdistelemällä saatavalla suurimmalla kokonaisdifferentiaalin arvolla dh = hdx + h h dα + dβ, saadaan α β h(100, 50, 35)± h 169, 7653±(1, 2π 360, 2π ) h(100, 50, 35) 170±26m 360 1, 6977 (Sillä pisteessä (100, 50, 35), on laskettu gradientin arvo 876, , 123 Huomaa myös, että kulmat on trigonometrisiin lausekkeisiin sijoitettava radiaaneissa.)