Aikariippuva Schrödingerin yhtälö

Transkriptio

1 Aineaaltodynamiikka Aineaaltokenttien riippuvuus ajasta aikariippuva Schrödingerin yhtälö Stationääriset ja ei-stationääriset tilat Aaltopaketit Kvanttimekaniikan postulaatit

2 Aikariippuva Schrödingerin yhtälö Aineaaltokentän aikariippuvuuden määrää yhtälö Schrödingerin yhtälöä ei voi johtaa mistään klassisen fysiikan teoriasta se on yksi uuden teorian hypoteeseista eli perusoletuksista. Schrödingerin yhtälöä voidaan motivoida analogialla sähkömagneettisen kentän aaltoyhtälöön

3 Stationääriset tilat Yrite 2 2 iet h ( xt, ) = ( x) e ; ( xt, ) = ( x) Ψ φ Ψ φ ajasta riippumaton Sijoittamalla: 2 2 Ψ ie iet h h ψ ih = ih φ( x) e = + E 2 p ( x) Ψ = t h 2m x 2 2 iet h h ψ = e + E 2 2 p x x m x Yrite on ajasta riippuvan yhtälön ratkaisu jos 2 2 h ψ + E 2 p ( x) φ( x) = Eφ( x) 2m x ( ) φ ( )

4 Ψ ( ) = φ ( ) n xt, c x e ; n n n Ei-stationääriset tilat Schrödingerin yhtälön yleinen ratkaisu on Esimerkki: ie t Potentiaalilaatikko ( ) 1 ie2t h 1 2 ie t h (, ) = 1/ 2 ( ) + ( ) Ψ xt φ x e φ x e 2 2 h π Energiat: E1 = ; E2 = 4 E1; 2ma Hetkellä t = 0 aaltopaketti on vasemmalla: Ψ ( x,0) = ( 1/ 2) φ1( x) + φ2( x) ja hetkellä t = π h /( E E ) aaltopaketti on oikella: Ψ ( xt, = πh /( E E )) = e φ ( x) φ ( x) h 1 2 iπ E /( E E ) [ ] Aaltofunktio värähtelee edestakaisin näiden asemien välillä

5 Gaussin aaltopaketti Vapaan hiukkasen stationäärinen tila: Ψ ( xt) ie t / h j, = ϕ ( xe ) j Aaltopaketti = vapaan hiukkasen ei-stationäärinen tila ikx iet / h Ψ ( xt, ) = N ck ( ) e e dk Gaussin aaltopaketissa α α 2 ( k k ) 2 0 /2 ck ( ) = e normitustekijä N= 1/ 2 π. π

6 Gaussin paketti paikka-avaruudessa Suorittamalla integrointi yli liikemäärän ( h ) ( h ) N Ψ ( xt, ) = e e F / / /2α ikx k t m x k t m F t 2 F = 1 + i ; t0 = mα / h; N = 1/ α π t Aaltopaketin todennäköisyystiheys: Ψ ( xt, ) 1 ( ) 2 2 x k ht m β 2 / / = β e π ( ) 2 β = α 1+ tt 0 0

7 Gaussin paketin ominaisuuksia Aaltopaketin leveys liikemääräavaruudessa on p 1/ α 2 Todennäköisyystiheyden maksimikohta on pisteessä x= k ht m 0 / Paketin leveys kasvaa β = α 1 + / ( t t ) Kun t >> t0 paketin leveys on x β = αh( t/ t0) = t mα Aaltofunktio säilyttää norminsa ψ ( xt, ) dx= 1 2

8 p Vaihenopeus ja ryhmänopeus ikx ( ωt Tasoaallon ψ ) ( xt, ) = Ae vakioarvokohta etenee vaihenopeudella : ω vakio vakio kx ωt = vakio x = t + = v pt + k k k Vapaalle hiukkaselle v ω hω E mv /2 v = = = = = k hk p mv 2 2 Hiukkasen todellinen nopeus on sen ryhmänopeus : dω dhω de p vg = = = = dk dhk dp m Ryhmänopeudelle pätee myös * h dψ ( x, t) * vg =< v>= Ψ ( xt, ) dx Ψ ( xt, ) Ψ ( xtdx, ) im dx

9 Todennäköisyysvirta Todennäköisyyden jatkuvuusyhtälö: j ds = Ψ r j = r t t S V 2 2 (, t) dv Ψ (, t) (1) Schrödingerin yhtälöstä: 2 2 * h 2 Ψ Ψ + EpΨ = ih Ψ 2m t 2 h 2 * * * Ψ Ψ + EpΨ = ih Ψ 2m t Kertomalla ja laskemalla puolittain yhteen h 2m Ψ Ψ Ψ Ψ = ih Ψ (,) r t t ( * 2 2 *) Vertaamalla (1) ja (2) j = 2 (2) h * ( ) * 2mi Ψ Ψ Ψ Ψ

10 Kvanttimekaniikan postulaatit I

11 Kvanttimekaniikan postulaatit II

12 Kvanttimekaniikan postulaatit III

13 Kvanttimekaniikan postulaatit IV

14 Kvanttimekaniikan postulaatit V

15 Tärkeimmät operaattorit Operaattori Hamiltoni (energia) Liikemäärä paikka Kulmaliikemäärä Kulmaliikemäärän z-komponentti 2 2 H ˆ h ψ + E 2 2 p m x x, t pˆ ih r r Lˆ r ih ( ) ˆ Lz ih x y y x ( )

16 * ˆ 1 2 = 1 2 Hermiittisyys Operaattori Aˆ on hermiittinen jos ( ˆ ) * Φ AΦ dx AΦ Φ dx mielivaltaisille funktioille Φ ja Φ. 1 2 Hermiittisen operaattorin ominaisarvot ovat reaalisia ja sen ominaisfunktiot voidaan valita ortogonaalisiksi: * ˆ i j jos ja i i i φφdx = 0 i j Aφ x = a φ x i = 1,2,3.. ( ) ( )

17 Ehrenfestin teoreema 1/2 Ehrenfestin teoreeman mukaan kvanttimekaaniset fysikaalisten suureiden odotusarvot toteuttavat klassisen mekaniikan liikeyhtälöt! Esimerkki: Newtonin toinen laki Kvanttimekaniikassa : d de p p = dt dx d ( p ) = ma = F = dt de dx p

18 Apuneuvo d 1 Johdetaan aputulos: A = AH HA dt ih * * d dψ * dψ Merkitään: A = ψ Aψdx A = Aψ + ψ A dx dt dt dt dψ 1 Schrödingerin yhtälöstä: = Hψ dt ih d 1 * A * = ( H ψ) A ψ + ψ A ( H ψ) dx dt ih * * Merkitään: χ = Aψ. A: n hermii ttisyys ( Hψ) χdx = ψ Hχdx d 1 * 1 A = ψ ( HA + AH ) ψ dx = AH HA dt ih ih

19 ( ) Ehrenfestin teoreema 2/2 d 1 Aputuloksen perusteella p = ph Hp dt ih Liikemääräoperaattori on vaihdannainen liike-energia operaattorin kanssa: ( 2) ( 2) p p = p p ( ) * p p Ψ p p ph Hp = pe E p = ( x, t) pe E p Ψ ( x, t) dt E p Ψ Ψ E p pe p E pp Ψ = Ψ + E p E p x = Ψ x x x 1 = = ih 1 * Ep E Ψ ( xt, ) i Ψ ( xtdt, ) i h = h x x d p * Ψ ( x, t )( pe ) p E p p Ψ ( x, t ) dt dt p

20 2 2 h Ψ + E 2 p ( x) Ψ = ih 2m x ( xt) = ψ ( ) iet Yhteenveto 1/5 Aikariippuva Scrödingerin yhtälö Stationäärinen tila Ψ t Ψ, x e ; (Todennäköisyystiheys ei riipu ajasta) 2 2 * iet iet ( x, t) h ( x) e h = ( x) e = ( x ) ( x) toteuttaa ajasta riippumattoman Schrö Ψ ψ ψ ψ ψ 2 2 h ψ + E 2 2 p x t x = E x m x h (, ) ψ ( ) ψ ( ) dingerinyhtälön

21 EI- stationäärinen tila Ψ (, ) = ψ ( ) xt c x e n n n Yhteenveto 2/5. ie t (Todennäköisyystiheys riippuu ajasta) n h Hiukkasvirran tiheys h * * j( r) = Ψ Ψ ( Ψ ) Ψ 2mi * h * ψ( x) ψ ( x) jx ( ) = ψ ( x) ψ( x) 2im x x 3D 1D

22 Vaihenopeus ω v p = k Vaihenopeus v g Yhteenveto 3/5 * 3 dω Ψ vψd r = = v = = dk * 3 ΨΨd r hiukkasen todellinen nopeus Hamiltonoperaattori eli Hamiltoni 2 1 ˆ 2 d H = h E 2 + p ( x) 2m dx

23 Yhteenveto 4/5 Postulaatti I Klassinen fysiikka Kvanttimekaniikka A A i ( r, p) ˆ ( r, h ) Postulaatti II Mahdollisia mittaustuloksia ovat ominaisarvot Aˆ φ x = a x i = 1, 2,.. i ( ) φ ( ) i i Postulaatti III Todennäköisyys sille, että saadaan * 3 * 3 n = φφ n φφ n n c d r d r a n Postulaatti IV (Mittaustulosten keskiarvo) ˆ * ˆ 3 A = A = Φ A, i Φd r ave ( r h )

24 Yhteenveto 5/5 Postulaatti V (ajasta riippuva Schrödingerin yhtälö) Ψ ih = Hˆ Ψ t Ehrenfestin teoreema d de p p = dt dx