Luento 10: Työ, energia ja teho. Johdanto Työ ja kineettinen energia Teho
|
|
- Ada Mikkola
- 7 vuotta sitten
- Katselukertoja:
Transkriptio
1 Luento 10: Työ, energia ja teho Johdanto Työ ja kineettinen energia Teho 1 / 23
2 Luennon sisältö Johdanto Työ ja kineettinen energia Teho 2 / 23
3 Johdanto Energia suure, joka voidaan muuttaa muodosta toiseen, mutta ei voida luoda eikä tuhota Tarkastellaan energian suhdetta suureisiin työ ja teho Suoraviivaisesti liikkuvaan kappaleeseen vaikuttavan, liikkeen suunnan kanssa yhdensuuntainen vakiovoiman tekemä työ on W = Fs Työn yksikkö Joule ([W ] = J, 1 J = 1 N m = 1 kg m 2 s 1 ) Muuttuva voima siirtää kappaletta rataa l pitkin r 1 r 2 W = r 2 r 1 F( r) d l 3 / 23
4 Skalaari- eli pistetulo B ϕ B A = B cos ϕ A Kahden vektorin A ja B välinen skalaari- eli pistetulo A B = A B cos ϕ, missä vektorien välissä kulma ϕ Merkitään B:n projektiota A:lla BA :lla Toisaalta B A = B cos ϕ, jolloin pistetulo voidaan esittää A B = A BA = B AB 4 / 23
5 Vektorin projektio ja pistetulon laskeminen Projektio B:stä A:lle, BA on pistetulon avulla B A = B A ê A, ja B A = B A A = BA ê A xyz-koordinaatisto on suorakulmainen, joten î î = ĵ ĵ = ˆk ˆk = 1 ja î ĵ =... = 0, jolloin pistetulo komponenttimuodossa on ) ( ) A B = (A x î + A y ĵ + A z ˆk B x î + B y ĵ + B z ˆk = A x B x + A y B y + A z B z = A n B n n={x,y,z} 5 / 23
6 Luennon sisältö Johdanto Työ ja kineettinen energia Teho 6 / 23
7 Työ käyräviivaisessa liikkeessä Suoraviivaisesti liikkuvaan kappaleeseen vaikuttavan, liikkeen suunnan kanssa yhdensuuntainen vakiovoiman tekemä työ on W = Fs Oletetaan voimavektori F toistaiseksi vakioksi Voima ja siirtymä s eivät yleisessä tapauksessa samansuuntaiset Työ määriteltävä pistetulon kautta (työ skalaarisuure) W = F s = Fs cos ϕ Jos kappaleeseen vaikuttaa useita voimia, on niiden tekemä työ W = F 1 s + F 2 s +... = i F i s = R s 7 / 23
8 Työ ja nopeuden muutos Kokonaistyö yhteydessä kappaleen nopeuden muutoksiin Kappaleella massa m, liikkuu positiivisen x-akselin suuntaan Voima F vakio, ja samansuuntainen Newtonin 2. lain mukaan F = m a, mutta toisaalta tasaisesti kiihtyvässä liikkeessä v 2 2 v 2 1 = 2a(x 2 x 1 ) = a = v 2 2 v 2 1 2(x 2 x 1 ) a = v 2 2 v 2 1 2s 8 / 23
9 Kineettinen energia Lasketaan työ vastaavassa tilanteessa W = Fs = m a s = m v 2 2 v 2 1 2s s = 1 2 mv mv 2 1, josta nähdään että voiman tekemä työ on kahden termin erotus Määritellään suure kineettinen energia K = E k = E kin = 1 2 mv 2, josta seuraa että voiman tekemä työ on kineettisen energian muutos W = K 2 K 1 = K 9 / 23
10 Kineettisen energian ominaisuuksia Skalaarisuure joka aina positiivinen tai nolla. Jos W tot > 0, K kasvaa Nopeudella v kineettinen energia se työ, joka vaaditaan kiihdyttämään kappale levosta ko. nopeuteen Toisaalta kappale voi tehdä saman työn pysähtyessään nopeudesta v lepotilaan Kertoo nopeuden itseisarvon muutoksesta, ei nopeusvektorin suunnasta Johdettiin Newtonin lakien avulla, joten se pätee vain inertiaalikoordinaatistossa 10 / 23
11 Muuttuva voima Tarkastellaan suoraviivaista liikettä, jossa voiman suuruus ei ole vakio matkalla x 1 x 2 Jaetaan matka s = x 2 x 1 osaväleihin x i Approksimoidaan voimaa kullakin välillä vakiovoimalla Tällöin voiman tekemä työ on noin W = i F i x i Pienennetään välit nollaan, jolloin W = lim x 0 F i x i = i x 2 x 1 F(x)dx.
12 Jousen venymä Esimerkki muuttuvan voiman tekemästä työstä on jousen venytys Hooken lain mukaan jousen venymä x on suoraan verrannollinen venyttävään voimaan F = kx, missä k on jousivakio (spring constant). Kun jousta venytetään siten, että sen toinen pää liikkuu x 1 x 2, tehdään työtä W = x 2 x 1 Fdx = x 2 x 1 kxdx = 1 2 kx kx / 23
13 Muuttuva voima: kineettinen energia Työn ja kineettisen energian välinen yhteys muuttuvan voiman tapauksessa Ilmaistaan kiihtyvyys muodossa a = dv dt = dv dx dx dt jolloin hiukkaseen vaikuttava nettovoima tekee työn W tot = x2 x 1 F net dx = x 2 x 1 madx = x 2 x 1 dv mv dx dx = dv dx v, = v 2 v 1 mvdv = 1 2 mv mv 2 1 = K
14 Käyräviivainen liike Jaetaan reitti differentiaalisiin siirtymiin d l Voiman F tekemä työ matkalla d l on dw = F T dl = F cos ϕdl = F d l, Kokonaistyö välilä [P 1, P 2 ] on W tot = P 2 P 1 F d l Viivaintegraali 14 / 23
15 Mikä ihmeen viivaintegraali? C F d l Integraali jossa integroitavan funktion F arvoa lasketaan jotain käyrää C pitkin Taustaa ja kivoja kuvia Wikipediassa Esiintyy fysiikassa mm. mekaniikassa työn määritelmässä ja sähkömagnetiikassa Maxwellin lakien yhteydessä Vektorikentillä viivaintegraalin arvo on summa käyrän C differentiaalisen suuntavektorin d l ja vektorikentän F pistetulon arvoista käyrän jokaisessa pisteessä
16 Esimerkki Tarkastellaan voimaa F = yî + xĵ, joka vaikuttaa hiukkaseen. Laske voiman tekemä työ, kun hiukkanen siirtyy tasossa pisteestä (0, 0) pisteeseen (2, 2) a) koordinaattiakselien suuntaisesti pisteen (0, 2) kautta ja b) suoraviivaisesti y P 1 C 1 C 2 P 2 x 16 / 23
17 Esimerkin ratkaisu esitetään luennolla 17 / 23
18 Kineettinen energia yleisessä tapauksessa Hiukkaseen vaikuttava (mielivaltainen, mutta tunnettu) nettovoima F tekee työn hiukkasen kulkiessa pisteestä P 1 P 2 W tot = = P 2 P 1 F d l = P 2 P 1 P 2 dv m dt ds = P 1 F T ds = P 2 P 1 = 1 2 mv mv 2 1 = K P 2 P 1 ma T ds ds dv m dt ds ds = v 2 v 1 mvdv = Työn ja kineettisen energian välinen yhteys on edelleen voimassa samassa muodossa!
19 Kineettisen energian ja liikemäärän ero Liikemäärä p = m v ja kineettinen energia K = mv 2 /2 riippuvat molemmat hiukkasen nopeudesta Tarkastellaan hiukkasta, johon kohdistuu vakiovoima F net Voiman impulssi (vektorisuure): J = F net (t 2 t 1 ) = F net t N-II: kun F net on vakio, niin myös d p/dt on vakio, joten J = F net t = d p p t = dt t t = p 2 p 1 19 / 23
20 Kineettisen energian ja liikemäärän ero Liikemäärän muutos riippuu voiman vaikutusajasta Jos hiukkasen lähtee levosta liikkeelle (eli p 1 = 0), niin J = p2 p 1 = p 2 = p 1 + J = J eli liikemäärä on se impulssi, joka tarvitaan hiukkasen kiihdyttämiseksi levosta kyseiseen nopeuteen Kineettinen energia on se työ, joka tarvitaan hiukkasen kiihdyttämiseen levosta kyseiseen nopeuteen Työ riippuu voiman vaikutusmatkasta Impulssi voiman vaikutusajasta 20 / 23
21 Luennon sisältö Johdanto Työ ja kineettinen energia Teho 21 / 23
22 Tehon määritelmä Työ määritelty siirtymän kautta Ei ota kantaa siirtymään käytettyyn aikaan Määritellään tätä varten teho (power) Keskimääräinen teho on tehty työ jaettuna kuluneella ajalla P ave = W t Hetkellinen teho W P = lim t 0 t = dw dt Teho Tehon yksikkö on watti 1 W = 1 J s 1 22 / 23
23 Teho voiman funktiona Kun voima F vaikuttaa kappaleeseen sen siirtyessä lyhyen matkan s, niin keskimääräinen teho tällä matkalla P ave = F T s, t missä F T on radan tangentin suuntainen F :n komponentti Hetkellinen teho F T s P = lim t 0 t s = F T lim t 0 t = F T v = F v = P 23 / 23
Luento 10: Työ, energia ja teho
Luento 10: Työ, energia ja teho Johdanto Työ ja kineettinen energia Teho Ajankohtaista Konseptitesti 1 Kysymys Ajat pyörällä ylös jyrkkää mäkeä. Huipulle vie kaksi polkua, toinen kaksi kertaa pidempi kuin
LisätiedotVoima F tekee työtä W vaikuttaessaan kappaleeseen, joka siirtyy paikasta r 1 paikkaan r 2. Työ on skalaarisuure, EI vektori!
6.1 Työ Voima F tekee työtä W vaikuttaessaan kappaleeseen, joka siirtyy paikasta r 1 paikkaan r 2. Työ on skalaarisuure, EI vektori! Siirtymä s = r 2 r 1 Kun voiman kohteena olevaa kappaletta voidaan kuvata
LisätiedotLuento 11: Potentiaalienergia. Potentiaalienergia Konservatiiviset voimat Voima potentiaalienergiasta gradientti Esimerkkejä ja harjoituksia
Luento 11: Potentiaalienergia Potentiaalienergia Konservatiiviset voimat Voima potentiaalienergiasta gradientti Esimerkkejä ja harjoituksia 1 / 22 Luennon sisältö Potentiaalienergia Konservatiiviset voimat
LisätiedotTyö ja kineettinen energia
Työ ja kineettinen energia Kaikki mekaniikan probleemat voidaan periaatteessa ratkaista Newtonin lakien avulla, liikeyhtälöistä. Työ- ja energiakäsitteiden käyttöönottaminen kuitenkin yksinkertaistaa monia
LisätiedotLuento 9: Potentiaalienergia
Luento 9: Potentiaalienergia Potentiaalienergia Konservatiiviset voimat Voima potentiaalienergiasta gradientti Laskettuja esimerkkejä Luennon sisältö Potentiaalienergia Konservatiiviset voimat Voima potentiaalienergiasta
Lisätiedotdl = F k dl. dw = F dl = F cos. Kun voima vaikuttaa kaarevalla polulla P 1 P 2, polku voidaan jakaa infinitesimaalisen pieniin siirtymiin dl
Kun voima vaikuttaa kaarevalla polulla P 2, polku voidaan jakaa infinitesimaalisen pieniin siirtymiin dl Kukin siirtymä dl voidaan approksimoida suoraviivaiseksi, jolloin vastaava työn elementti voidaan
LisätiedotMonissa fysiikan probleemissa vaikuttavien voimien yksityiskohtia ei tunneta
8 LIIKEMÄÄRÄ, IMPULSSI JA TÖRMÄYKSET Monissa fysiikan probleemissa vaikuttavien voimien yksityiskohtia ei tunneta Tällöin dynamiikan peruslain F = ma käyttäminen ei ole helppoa tai edes mahdollista Newtonin
LisätiedotLuento 5: Käyräviivainen liike. Käyräviivainen liike Heittoliike Ympyräliike Kulmamuuttujat θ, ω ja α Yhdistetty liike
Luento 5: Käyräviivainen liike Käyräviivainen liike Heittoliike Ympyräliike Kulmamuuttujat θ, ω ja α Yhdistetty liike 1 / 29 Luennon sisältö Käyräviivainen liike Heittoliike Ympyräliike Kulmamuuttujat
LisätiedotELEC-A3110 Mekaniikka (5 op)
ELEC-A3110 Mekaniikka (5 op) Yliopistonlehtori, tkt Sami Kujala Mikro- ja nanotekniikan laitos Syksy 2016 1 / 21 Luento 2: Kertausta ja johdantoa Suoraviivainen liike Jumppaa Harjoituksia ja oivalluksia
LisätiedotLuento 9: Potentiaalienergia
Luento 9: Potentiaalienergia Potentiaalienergia Konservatiiviset voimat Voima potentiaalienergiasta gradientti Laskettuja esimerkkejä ELEC-A3110 Mekaniikka (5 op) Sami Kujala Syksy 2015 Mikro- ja nanotekniikan
LisätiedotLuento 11: Potentiaalienergia
Luento 11: Potentiaalienergia Potentiaalienergia Konservatiiviset voimat Voima potentiaalienergiasta gradientti Esimerkkejä ja harjoituksia Ajankohtaista Konseptitesti 1 Kysymys Levossa oleva kappale lähtee
LisätiedotNopeus, kiihtyvyys ja liikemäärä Vektorit
Nopeus, kiihtyvyys ja liikemäärä Vektorit Luento 2 https://geom.mathstat.helsinki.fi/moodle/course/view.php?id=360 Luennon tavoitteet: Vektorit tutuiksi Koordinaatiston valinta Vauhdin ja nopeuden ero
LisätiedotKJR-C1001 Statiikka ja dynamiikka. Luento Susanna Hurme
KJR-C1001 Statiikka ja dynamiikka Luento 15.3.2016 Susanna Hurme Päivän aihe: Translaatioliikkeen kinematiikka: asema, nopeus ja kiihtyvyys (Kirjan luvut 12.1-12.5, 16.1 ja 16.2) Osaamistavoitteet Ymmärtää
LisätiedotLuento 3: Käyräviivainen liike
Luento 3: Käyräviivainen liike Kertausta viime viikolta Käyräviivainen liike Heittoliike Ympyräliike Kulmamuuttujat θ, ω ja α Yhdistetty liike Luennon sisältö Kertausta viime viikolta Käyräviivainen liike
LisätiedotLuento 3: Käyräviivainen liike
Luento 3: Käyräviivainen liike Kertausta viime viikolta Käyräviivainen liike Heittoliike Ympyräliike Kulmamuuttujat,! ja Yhdistetty liike 2015-09-14 13:50:32 1/40 luentokalvot_03_combined.pdf (#36) Luennon
LisätiedotELEC-A3110 Mekaniikka (5 op)
Yliopistonlehtori, tkt Sami Kujala Syksy 2016 Luento 2: Kertausta ja johdantoa Suoraviivainen liike Jumppaa Harjoituksia ja oivalluksia Ajankohtaista Presemokyselyn poimintoja Millä odotuksilla aloitat
LisätiedotLuento 5: Käyräviivainen liike
Luento 5: Käyräviivainen liike Käyräviivainen liike Heittoliike Ympyräliike Kulmamuuttujat,! ja Yhdistetty liike Ajankohtaista Konseptitesti 1 Kysymys Viereisessä kuvassa leppäkerttu istuu karusellissa,
LisätiedotLuku 7 Työ ja energia. Muuttuvan voiman tekemä työ Liike-energia
Luku 7 Työ ja energia Muuttuvan voiman tekemä työ Liike-energia Tavoitteet: Selittää työn käsite Mallittaa voiman tekemä työ Mallittaa liike-energian ja työn keskinäinen riippuvuus Esitiedot Newtonin lait
LisätiedotKJR-C1001 Statiikka ja dynamiikka. Luento Susanna Hurme
KJR-C1001 Statiikka ja dynamiikka Luento 17.3.2016 Susanna Hurme Päivän aihe: Energian, työn ja tehon käsitteet sekä energiaperiaate (Kirjan luku 14) Osaamistavoitteet: Osata tarkastella partikkelin kinetiikkaa
LisätiedotELEC-A3110 Mekaniikka (5 op)
ELEC-A3110 Mekaniikka (5 op) Yliopistonlehtori, tkt Sami Kujala Elektroniikan ja nanotekniikan laitos (ELE) Syksy 2017 Luento 2: Kertausta ja johdantoa Suoraviivainen liike Jumppaa Harjoituksia ja oivalluksia
LisätiedotLuku 8. Mekaanisen energian säilyminen. Konservatiiviset ja eikonservatiiviset. Potentiaalienergia Voima ja potentiaalienergia.
Luku 8 Mekaanisen energian säilyminen Konservatiiviset ja eikonservatiiviset voimat Potentiaalienergia Voima ja potentiaalienergia Mekaanisen energian säilyminen Teho Tavoitteet: Erottaa konservatiivinen
LisätiedotLuento 6: Liikemäärä ja impulssi
Luento 6: Liikemäärä ja impulssi Liikemäärä ja impulssi Liikemäärän säilyminen Massakeskipiste Muuttuva massa Laskettuja esimerkkejä Luennon sisältö Liikemäärä ja impulssi Liikemäärän säilyminen Massakeskipiste
LisätiedotEnergia, energian säilyminen ja energiaperiaate
E = γmc 2 Energia, energian säilyminen ja energiaperiaate Luennon tavoitteet Lepoenergian, liike-energian, potentiaalienergian käsitteet haltuun Työ ja työn merkki* Systeemivalintojen miettimistä Jousivoiman
LisätiedotLuento 5: Käyräviivainen liike
Luento 5: Käyräviivainen liike Käyräviivainen liike Heittoliike Ympyräliike Kulmamuuttujat,! ja Yhdistetty liike Ajankohtaista Konseptitesti 1 http://presemo.aalto.fi/mekaniikka2017 Kysymys Sotalaivasta
LisätiedotKJR-C1001 Statiikka ja dynamiikka. Luento Susanna Hurme
KJR-C1001 Statiikka ja dynamiikka Luento 16.3.2016 Susanna Hurme Päivän aihe: Translaatioliikkeen kinetiikka (Kirjan luvut 12.6, 13.1-13.3 ja 17.3) Oppimistavoitteet Ymmärtää, miten Newtonin toisen lain
LisätiedotLuento 8: Liikemäärä ja impulssi. Liikemäärä ja impulssi Liikemäärän säilyminen Massakeskipiste Muuttuva massa Harjoituksia ja esimerkkejä
Luento 8: Liikemäärä ja impulssi Liikemäärä ja impulssi Liikemäärän säilyminen Massakeskipiste Muuttuva massa Harjoituksia ja esimerkkejä 1 / 46 Luennon sisältö Liikemäärä ja impulssi Liikemäärän säilyminen
LisätiedotW el = W = 1 2 kx2 1
7.2 Elastinen potentiaalienergia Paitsi gravitaatioon, myös materiaalien deformaatioon (muodonmuutoksiin) liittyy systeemin rakenneosasten keskinäisiin paikkoihin liittyvää potentiaalienergiaa Elastinen
LisätiedotSuhteellinen nopeus. Matkustaja P kävelee nopeudella 1.0 m/s pitkin 3.0 m/s nopeudella etenevän junan B käytävää
3.5 Suhteellinen nopeus Matkustaja P kävelee nopeudella 1.0 m/s pitkin 3.0 m/s nopeudella etenevän junan B käytävää P:n nopeus junassa istuvan toisen matkustajan suhteen on v P/B-x = 1.0 m/s Intuitio :
LisätiedotKJR-C1001 Statiikka ja dynamiikka. Luento Susanna Hurme
KJR-C1001 Statiikka ja dynamiikka Luento 23.2.2016 Susanna Hurme Tervetuloa kurssille! Mitä on statiikka? Mitä on dynamiikka? Miksi niitä opiskellaan? Päivän aihe: Voiman käsite ja partikkelin tasapaino
LisätiedotLuento 7: Voima ja Liikemäärä. Superpositio Newtonin lait Tasapainotehtävät Kitkatehtävät Ympyräliike Liikemäärä
Luento 7: Voima ja Liikemäärä Superpositio Newtonin lait Tasapainotehtävät Kitkatehtävät Ympyräliike Liikemäärä 1 / 36 Johdanto Dynamiikka tutkii voimia ja niiden aiheuttamaa liikettä Newtonin liikelait
LisätiedotLuento 6: Suhteellinen liike ja koordinaatistomuunnoksia
Luento 6: Suhteellinen liike ja koordinaatistomuunnoksia Suhteellinen translaatioliike Suhteellinen pyörimisliike Tyypillisiä koordinaatistomuunnoksia extraa 1 / 31 Luennon sisältö Suhteellinen translaatioliike
LisätiedotKJR-C1001 Statiikka ja dynamiikka. Luento Susanna Hurme
KJR-C1001 Statiikka ja dynamiikka Luento 24.3.2016 Susanna Hurme Rotaatioliikkeen liike-energia, teho ja energiaperiaate (Kirjan luku 18) Osaamistavoitteet Ymmärtää, miten liike-energia määritetään kiinteän
LisätiedotLuento 4: Suhteellinen liike ja koordinaatistomuunnoksia
Luento 4: Suhteellinen liike ja koordinaatistomuunnoksia Suhteellinen translaatioliike Pyörimisliikkeestä Suhteellinen pyörimisliike Tyypillisiä koordinaatistomuunnoksia Luennon sisältö Suhteellinen translaatioliike
LisätiedotDerivoimalla kerran saadaan nopeus ja toisen kerran saadaan kiihtyvyys Ña r
Vuka HT 4 Tehtävä. Lyhyenä alustuksena tehtävään johdetaan keskeiskiihtyvyys tasaisessa pyörimisessä. Meillä on ympyräradalla liikkuva kappale joka pyörii vakiokulmanopeudella ω dϕ säteellä r origosta.
LisätiedotLuento 7: Voima ja Liikemäärä
Luento 7: Voima ja Liikemäärä Superpositio Newtonin lait Tasapainotehtävät Kitkatehtävät Ympyräliike Liikemäärä Ajankohtaista Konseptitesti 1 Kysymys Viereisessä kuvaajassa on kuvattu kappaleen nopeutta
LisätiedotLuento 5: Voima ja Liikemäärä
Luento 5: Voima ja Liikemäärä Superpositio Newtonin lait Tasapainotehtävät Kitkatehtävät Ympyräliike Liikemäärä Johdanto Dynamiikka tutkii voimia ja niiden aiheuttamaa liikettä Newtonin liikelait (Newton
Lisätiedot:37:37 1/50 luentokalvot_05_combined.pdf (#38)
'VLTJ,)Ł /Ł 2015-09-21 13:37:37 1/50 luentokalvot_05_combined.pdf (#38) Luento 5: Voima ja Liikemäärä Superpositio Newtonin lait Tasapainotehtävät Kitkatehtävät Ympyräliike Liikemäärä 2015-09-21 13:37:37
LisätiedotViikon aiheet. Funktion lineaarinen approksimointi
Viikon aiheet Funktion ääriarvot Funktion lineaarinen approksimointi Vektorit, merkintätavat, pituus, yksikkövektori, skalaarilla kertominen, kanta ja kannan vaihto Funktion ääriarvot 6 Väliarvolause Implisiittinen
LisätiedotErityinen suhteellisuusteoria (Harris luku 2)
Erityinen suhteellisuusteoria (Harris luku 2) Yliopistonlehtori, TkT Sami Kujala Mikro- ja nanotekniikan laitos Kevät 2016 Ajan ja pituuden suhteellisuus Relativistinen työ ja kokonaisenergia SMG-aaltojen
LisätiedotA B = (1, q, q 2 ) (2, 0, 2) = 2 2q q 2 = 0 q 2 = 1 q = ±1 A(±1) = (1, ±1, 1) A(1) A( 1) = (1, 1, 1) (1, 1, 1) = A( 1) A(1) A( 1) = 1
Mapu I Viikko 4 tehtävä malli Millä q:n arvoilla vektori A(q) (, q, q ) on kohtisuora vektorin B (, 0, ) kanssa? Ovatko A:n eri ratkaisut keskenään kohtisuoria? Jos eivät, määrää niiden välinen kulma!
Lisätiedot4. Käyrän lokaaleja ominaisuuksia
23 VEKTORIANALYYSI Luento 3 4 Käyrän lokaaleja ominaisuuksia Käyrän tangentti Tarkastellaan parametrisoitua käyrää r( t ) Parametrilla t ei tarvitse olla mitään fysikaalista merkitystä, mutta seuraavassa
LisätiedotLuento 8: Liikemäärä ja impulssi
Luento 8: Liikemäärä ja impulssi Liikemäärä ja impulssi Liikemäärän säilyminen Massakeskipiste Muuttuva massa Harjoituksia ja esimerkkejä Ajankohtaista Konseptitesti 1 ÄLÄ KOKEILE TÄTÄ KOTONA! Kysymys
LisätiedotKJR-C1001 Statiikka ja dynamiikka. Luento Susanna Hurme
KJR-C1001 Statiikka ja dynamiikka Luento 22.3.2016 Susanna Hurme Päivän aihe: Rotaatioliikkeen kinematiikka: kulmanopeus ja -kiihtyvyys (Kirjan luvut 12.7, 16.3) Osaamistavoitteet Osata analysoida jäykän
LisätiedotLiikemäärä ja voima 1
Liikemäärä ja voima 1 Tällä luennolla tavoitteena Kinematiikan ongelma ja sen ratkaisu: Miten radan ja nopeuden saa selville, jos kappaleen kiihtyvyys tunnetaan? Analyyttinen ratkaisu Liikemäärän, voiman
Lisätiedot3.1 Lineaarikuvaukset. MS-A0004/A0006 Matriisilaskenta. 3.1 Lineaarikuvaukset. 3.1 Lineaarikuvaukset
31 MS-A0004/A0006 Matriisilaskenta 3 Nuutti Hyvönen, c Riikka Kangaslampi Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Aalto-yliopisto 2292015 Lineaariset yhtälöt ovat vektoreille luonnollisia yhtälöitä, joita
LisätiedotLuento 13: Periodinen liike. Johdanto Harmoninen värähtely Esimerkkejä F t F r
Luento 13: Periodinen liike Johdanto Harmoninen värähtely Esimerkkejä θ F t m g F r 1 / 27 Luennon sisältö Johdanto Harmoninen värähtely Esimerkkejä 2 / 27 Johdanto Tarkastellaan jaksollista liikettä (periodic
LisätiedotMekaniikan jatkokurssi Fys102
Mekaniikan jatkokurssi Fys10 Kevät 010 Jukka Maalampi LUENTO 7 Harmonisen värähdysliikkeen energia Jousen potentiaalienergia on U k( x ) missä k on jousivakio ja Dx on poikkeama tasapainosta. Valitaan
Lisätiedotg-kentät ja voimat Haarto & Karhunen
g-kentät ja voimat Haarto & Karhunen Voima Vuorovaikutusta kahden kappaleen välillä tai kappaleen ja sen ympäristön välillä (Kenttävoimat) Yksikkö: newton, N = kgm/s Vektorisuure Aiheuttaa kappaleelle
LisätiedotPolkuintegraali yleistyy helposti paloitain C 1 -poluille. Määritelmä Olkoot γ : [a, b] R m paloittain C 1 -polku välin [a, b] jaon
Polkuintegraali yleistyy helposti paloitain C 1 -poluille. Määritelmä 4.1.3. Olkoot : [a, b] R m paloittain C 1 -polku välin [a, b] jaon P = {a = t 1 < < t k = b} ja joukko D R m sellainen, että ([a, b])
LisätiedotLuento 7: Pyörimisliikkeen dynamiikkaa
Luento 7: Pyörimisliikkeen dynamiikkaa Johdanto Vääntömomentti Hitausmomentti ja sen määrittäminen Liikemäärämomentti Gyroskooppi Harjoituksia ja laskettuja esimerkkejä 1 / 37 Luennon sisältö Johdanto
LisätiedotLuvun 8 laskuesimerkit
Luvun 8 laskuesimerkit Esimerkki 8.1 Heität pallon, jonka massa on 0.40 kg seinään. Pallo osuu seinään horisontaalisella nopeudella 30 m/s ja kimpoaa takaisin niin ikään horisontaalisesti nopeudella 20
LisätiedotKJR-C1001 Statiikka ja dynamiikka. Luento Susanna Hurme
KJR-C1001 Statiikka ja dynamiikka Luento 24.2.2016 Susanna Hurme Päivän aihe: Voiman momentin käsite (Kirjan luvut 4.1-4.6) Mikä on voiman momentti? Määritetään momentti skalaari- ja vektorimuodossa Opitaan
Lisätiedot5 Kentät ja energia (fields and energy)
5 Kentät ja energia (fields and energy) Mansfield and O Sullivan: Understanding Physics, kappaleen 5 alkuosa 5.1 Newtonin gravitaatiolaki Newton: vetovoima kahden kappaleen välillä on tai tarkemmin F m
LisätiedotMäärätty integraali. Markus Helén. Mäntän lukio
Määrätty integraali Markus Helén Pinta-ala Monikulmio on tasokuvio, jota rajoittaa suljettu, itseään leikkaamaton murtoviiva. Monikulmio voidaan aina jakaa kolmioiksi. Alueen pinta-ala on näiden kolmioiden
LisätiedotVektoreiden A = (A1, A 2, A 3 ) ja B = (B1, B 2, B 3 ) pistetulo on. Edellisestä seuraa
Viikon aiheet Pistetulo (skalaaritulo Vektorien tulot Pistetulo Ristitulo Skalaari- ja vektorikolmitulo Integraalifunktio, alkeisfunktioiden integrointi, yhdistetyn funktion derivaatan integrointi Vektoreiden
LisätiedotVedetään kiekkoa erisuuruisilla voimilla! havaitaan kiekon saaman kiihtyvyyden olevan suoraan verrannollinen käytetyn voiman suuruuteen
4.3 Newtonin II laki Esim. jääkiekko märällä jäällä: pystysuuntaiset voimat kumoavat toisensa: jään kiekkoon kohdistama tukivoima n on yhtäsuuri, mutta vastakkaismerkkinen kuin kiekon paino w: n = w kitka
LisätiedotKJR-C1001 Statiikka ja dynamiikka. Luento Susanna Hurme
KJR-C1001 Statiikka ja dynamiikka Luento 31.3.2016 Susanna Hurme Dynamiikan välikoe 4.4.2016 Ajankohta ma 4.4.2016 klo 16:30 19:30 Salijako Aalto-Sali: A-P (sukunimen alkukirjaimen mukaan) Ilmoittautuminen
LisätiedotMekaniikkan jatkokurssi
Mekaniikkan jatkokurssi Tapio Hansson 16. joulukuuta 2018 Mekaniikan jatkokurssi Tämä materiaali on suunnattu lukion koulukohtaisen syventävän mekaniikan kurssin materiaaliksi. Kurssilla kerrataan lukion
LisätiedotMS-A0305 Differentiaali- ja integraalilaskenta 3 Luento 8: Divergenssi ja roottori. Gaussin divergenssilause.
MS-A0305 Differentiaali- ja integraalilaskenta 3 Luento 8: Divergenssi ja roottori. Gaussin divergenssilause. Antti Rasila Aalto-yliopisto Syksy 2015 Antti Rasila (Aalto-yliopisto) MS-A0305 Syksy 2015
LisätiedotVektorit. Kertausta 12.3.2013 Seppo Lustig (Lähde: avoinoppikirja.fi)
Vektorit Kertausta 12.3.2013 Seppo Lustig (Lähde: avoinoppikirja.fi) Sisällys Vektorit Nimeäminen Vektorien kertolasku Vektorien yhteenlasku Suuntasopimus Esimerkki: laivan nopeus Vektorit Vektoreilla
Lisätiedotkertausta Esimerkki I
tavoitteet kertausta osaat määrittää jäykän kappaleen hitausmomentin laskennallisesti ymmärrät kuinka vierimisessä eteneminen ja pyöriminen kytekytyvät osaat soveltaa energiaperiaatetta vierimisongelmiin
LisätiedotVEKTORIT paikkavektori OA
paikkavektori OA Piste A = (2, -1) Paikkavektori OA = 2i j 3D: kuvan piirtäminen hankalaa Piste A = (2, -3, 4) Paikkavektori OA = 2i 3j + 4k Piste A = (a 1, a 2, a 3 ) Paikkavektori OA = a 1 i + a 2 j
Lisätiedot4 Kaksi- ja kolmiulotteinen liike
Mansfield and O Sullivan: Understandin physics, painos 1999, kpl 4. Näitä löytyy myös Youn and Freedman: University physics -teoksen luvuissa 4, osin myös luvuissa 3 ja 5. 4 Kaksi- ja kolmiulotteinen liike
LisätiedotELEC-A3110 Mekaniikka (5 op)
Yliopistonlehtori, tkt Sami Kujala Syksy 2015 Luento 1: Avausluento Kurssin suorituksesta Matematiikan kertaus Johdantoa Suoraviivainen liike Luennon sisältö Kurssin suorituksesta Matematiikan kertaus
LisätiedotKerrataan harmoninen värähtelijä Noste, nesteen ja kaasun aiheuttamat voimat Noste ja harmoninen värähtelijä (laskaria varten)
Noste Ympyräliike I Luennon tavoitteet Kerrataan harmoninen värähtelijä Noste, nesteen ja kaasun aiheuttamat voimat Noste ja harmoninen värähtelijä (laskaria varten) Aloitetaan ympyräliikettä Keskeisvoiman
LisätiedotLuento 2: Liikkeen kuvausta
Luento 2: Liikkeen kuvausta Suoraviivainen liike integrointi Kinematiikkaa yhdessä dimensiossa Luennon sisältö Suoraviivainen liike integrointi Kinematiikkaa yhdessä dimensiossa Liikkeen ratkaisu kiihtyvyydestä
LisätiedotLuento 6: Suhteellinen liike ja koordinaatistomuunnoksia
Luento 6: Suhteellinen liike ja koordinaatistomuunnoksia Suhteellinen translaatioliike Suhteellinen pyörimisliike Tyypillisiä koordinaatistomuunnoksia extraa Ajankohtaista FuksiProffaBuffa Järjestetään
LisätiedotMS-A0202 Differentiaali- ja integraalilaskenta 2 (SCI) Luento 10: Moninkertaisten integraalien sovelluksia
MS-A22 ifferentiaali- ja integraalilaskenta 2 (SCI) Luento 1: Moninkertaisten integraalien sovelluksia Antti Rasila Aalto-yliopisto Syksy 215 Antti Rasila (Aalto-yliopisto) MS-A22 Syksy 215 1 / 2 Moninkertaisten
Lisätiedoton radan suuntaiseen komponentti eli tangenttikomponentti ja on radan kaarevuuskeskipisteeseen osoittavaan komponentti. (ks. kuva 1).
H E I L U R I T 1) Matemaattinen heiluri = painottoman langan päässä heilahteleva massapiste (ks. kuva1) kuva 1. - heilurin pituus l - tasapainoasema O - ääriasemat A ja B - heilahduskulma - heilahdusaika
LisätiedotTarkastellaan tilannetta, jossa kappale B on levossa ennen törmäystä: v B1x = 0:
8.4 Elastiset törmäykset Liike-energia ja liikemäärä säilyvät elastisissa törmäyksissä Vain konservatiiviset voimat vaikuttavat 1D-tilanteessa kappaleiden A ja B törmäykselle: 1 2 m Av 2 A1x + 1 2 m Bv
LisätiedotMS-A0202 Differentiaali- ja integraalilaskenta 2 (SCI) Luento 10: Moninkertaisten integraalien sovelluksia
MS-A22 ifferentiaali- ja integraalilaskenta 2 (SCI) Luento 1: Moninkertaisten integraalien sovelluksia Antti Rasila Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Aalto-yliopisto Syksy 217 Antti Rasila (Aalto-yliopisto)
Lisätiedot763306A JOHDATUS SUHTEELLISUUSTEORIAAN 2 Ratkaisut 2 Kevät 2017
763306A JOHDATUS SUHTEELLISUUSTEORIAAN 2 Ratkaisut 2 Kevät 207. Nelinopeus ympyräliikkeessä On siis annettu kappaleen paikkaa kuvaava nelivektori X x µ : Nelinopeus U u µ on määritelty kaavalla x µ (ct,
LisätiedotELEC C4140 Kenttäteoria (syksy 2016)
ELEC C4140 Kenttäteoria (syksy 2016) Henrik Wallén / versio 15. syyskuuta 2016 Johdanto (Ulaby 1.2 1.3) Merkinnät ja yksiköt Kenttä- ja lähdesuureet Maxwellin yhtälöt ja väliaineyhtälöt Vektorit ja koordinaatistot
LisätiedotFysiikan perusteet. Työ, energia ja energian säilyminen. Antti Haarto 20.09.2011. www.turkuamk.fi
Fysiikan perusteet Työ, energia ja energian säilyminen Antti Haarto 0.09.0 Voiman tekemä työ Voiman F tekemä työ W määritellään kuljetun matkan s ja matkan suuntaisen voiman komponentin tulona. Yksikkö:
LisätiedotELEC-A3110 Mekaniikka (5 op)
Yliopistonlehtori, tkt Sami Kujala Syksy 2016 Luento 1: Avausluento Kurssin suorituksesta Johdantoa Matematiikan kertaus Suoraviivainen liike Ajankohtaista Luennon sisältö Kurssin suorituksesta Johdantoa
LisätiedotDYNAMIIKKA II, LUENTO 5 (SYKSY 2015) Arttu Polojärvi
DYNAMIIKKA II, LUENTO 5 (SYKSY 2015) Arttu Polojärvi LUENNON SISÄLTÖ Kertausta edelliseltä luennolta: Suhteellisen liikkeen nopeuden ja kiihtyvyyden yhtälöt. Jäykän kappaleen partikkelin liike. Jäykän
LisätiedotLuennoitsija: Jukka Maalampi Luennot: , ma 9-10 ja ke Luentoja ei ole viikoilla 15 (pääsiäisviikko).
1 VEKTORIANALYYSI FYSA114 (3 op), kevät 2017 Luennoitsija: Jukka Maalampi Luennot: 63 35, ma 9-10 ja ke 12-14 Luentoja ei ole viikoilla 15 (pääsiäisviikko) Harjoitusassistentit: Petri Kuusela ja Tapani
LisätiedotGaussin lause eli divergenssilause 1
80 VEKTOIANALYYI Luento 1 8. Gaussin lause eli divergenssilause 1 A 16.4 Kurssin jäljellä olevassa osassa käymme läpi joukon fysiikan kannalta tärkeitä vektorikenttien integrointia koskevia tuloksia, nimittäin
LisätiedotTEHTÄVIEN RATKAISUT. b) 105-kiloisella puolustajalla on yhtä suuri liikemäärä, jos nopeus on kgm 712 p m 105 kg
TEHTÄVIEN RATKAISUT 15-1. a) Hyökkääjän liikemäärä on p = mv = 89 kg 8,0 m/s = 71 kgm/s. b) 105-kiloisella puolustajalla on yhtä suuri liikemäärä, jos nopeus on kgm 71 p v = = s 6,8 m/s. m 105 kg 15-.
LisätiedotLuento 11: Periodinen liike
Luento 11: Periodinen liike Johdanto Harmoninen värähtely Esimerkkejä Laskettuja esimerkkejä ~F t m~g ~F r Konseptitesti 1 Tehtävänanto Kuvassa on jouseen kytketyn massan sijainti ajan funktiona. Kuvaile
LisätiedotMS-A0202 Differentiaali- ja integraalilaskenta 2 (SCI) Luento 1: Parametrisoidut käyrät ja kaarenpituus
MS-A0202 Differentiaali- ja integraalilaskenta 2 (SCI) Luento 1: Parametrisoidut käyrät ja kaarenpituus Antti Rasila Aalto-yliopisto Syksy 2015 Antti Rasila (Aalto-yliopisto) MS-A0202 Syksy 2015 1 / 18
LisätiedotLuento 4: Suhteellinen liike ja koordinaatistomuunnoksia
Luento 4: Suhteellinen liike ja koordinaatistomuunnoksia Suhteellinen translaatioliike Pyörimisliikkeestä Suhteellinen pyörimisliike Tyypillisiä koordinaatistomuunnoksia extraa Konseptitesti 1 Kysymys
LisätiedotMS-A0204 Differentiaali- ja integraalilaskenta 2 (ELEC2) Luento 9: Muuttujanvaihto taso- ja avaruusintegraaleissa
MS-A24 Differentiaali- ja integraalilaskenta 2 (ELEC2) Luento 9: Muuttujanvaihto taso- ja avaruusintegraaleissa Antti Rasila Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Aalto-yliopisto Kevät 216 Antti Rasila
LisätiedotFysiikan perusteet. Liikkeet. Antti Haarto 22.05.2012. www.turkuamk.fi
Fysiikan perusteet Liikkeet Antti Haarto.5.1 Suureita Aika: tunnus t, yksikkö: sekunti s Paikka: tunnus x, y, r, ; yksikkö: metri m Paikka on ektorisuure Suoraiiaisessa liikkeessä kappaleen paikka (asema)
LisätiedotLiikkeet. Haarto & Karhunen. www.turkuamk.fi
Liikkeet Haarto & Karhunen Suureita Aika: tunnus t, yksikkö: sekunti = s Paikka: tunnus x, y, r, ; yksikkö: metri = m Paikka on ektorisuure Suoraiiaisessa liikkeessä kappaleen paikka (asema) oidaan ilmoittaa
LisätiedotMS-A0305 Differentiaali- ja integraalilaskenta 3 Luento 9: Greenin lause
MS-A0305 Differentiaali- ja integraalilaskenta 3 Luento 9: Greenin lause Antti Rasila Aalto-yliopisto Syksy 2015 Antti Rasila (Aalto-yliopisto) MS-A0305 Syksy 2015 1 / 19 Esimerkki Olkoon F : R 3 R 3 vakiofunktio
LisätiedotLineaarialgebra MATH.1040 / voima
Lineaarialgebra MATH.1040 / voima 1 Seuraavaksi määrittelemme kaksi vektoreille määriteltyä tuloa; pistetulo ja. Määritelmät ja erilaiset tulojen ominaisuudet saattavat tuntua, sekavalta kokonaisuudelta.
LisätiedotFr ( ) Fxyz (,, ), täytyy integroida:
15 VEKTORIANALYYSI Luento Vektorikentän käyräintegraali Voiman tekemä työ on matka (d) kertaa voiman (F) projektio liikkeen suunnassa, yksinkertaisimmillaan W Fd. Jos liike tapahtuu käyrää pitkin ja voima
LisätiedotKERTAUSTEHTÄVIÄ KURSSIIN 766323A-01 Mekaniikka, osa 1
KERTAUSTEHTÄVIÄ KURSSIIN 766323A-01 Mekaniikka, osa 1 Tässä materiaalissa on ensin helpompia laskuja, joiden avulla voi kerrata perusasioita, ja sen jälkeen muutamia vaikeampia laskuja. Laskujen jälkeen
LisätiedotELEC C4140 Kenttäteoria (syksy 2015)
ELEC C4140 Kenttäteoria (syksy 2015) Henrik Wallén Luentoviiko 3 / versio 23. syyskuuta 2015 Vektorianalyysi (Ulaby, luku 3) Koordinaatistot Viiva-, pinta- ja tilavuusalkiot Koordinaattimuunnokset Nablaoperaatiot
LisätiedotBM30A0240, Fysiikka L osa 4
BM30A0240, Fysiikka L osa 4 Luennot: Heikki Pitkänen 1 Oppikirja: Young & Freedman: University Physics Luku 14 - Periodic motion Luku 15 - Mechanical waves Luku 16 - Sound and hearing Muuta - Diffraktio,
LisätiedotHARJOITUS 4 1. (E 5.29):
HARJOITUS 4 1. (E 5.29): Työkalulaatikko, jonka massa on 45,0 kg, on levossa vaakasuoralla lattialla. Kohdistat laatikkoon asteittain kasvavan vaakasuoran työntövoiman ja havaitset, että laatikko alkaa
LisätiedotLuento 7: Pyörimisliikkeen dynamiikkaa
Luento 7: Pyörimisliikkeen dynamiikkaa Johdanto Vääntömomentti Hitausmomentti ja sen määrittäminen Liikemäärämomentti Gyroskooppi Laskettuja esimerkkejä Luennon sisältö Johdanto Vääntömomentti Hitausmomentti
LisätiedotDifferentiaali- ja integraalilaskenta 3 Mallit laskuharjoitukseen 3 /
MS-A3x Differentiaali- ja integraalilaskenta 3, IV/6 Differentiaali- ja integraalilaskenta 3 Mallit laskuharjoitukseen 3 / 9..-.3. Avaruusintegraalit ja muuttujanvaihdot Tehtävä 3: Laske sopivalla muunnoksella
LisätiedotMS-A0305 Differentiaali- ja integraalilaskenta 3 Luento 3: Vektorikentät
MS-A0305 Differentiaali- ja integraalilaskenta 3 Luento 3: Vektorikentät Antti Rasila Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Aalto-yliopisto Syksy 2016 Antti Rasila (Aalto-yliopisto) MS-A0305 Syksy 2016
LisätiedotLuento 9: Pyörimisliikkeen dynamiikkaa
Luento 9: Pyörimisliikkeen dynamiikkaa Johdanto Vääntömomentti Hitausmomentti ja sen määrittäminen Liikemäärämomentti Gyroskooppi Harjoituksia ja laskettuja esimerkkejä ELEC-A3110 Mekaniikka (5 op) Sami
LisätiedotF dr = F NdS. VEKTORIANALYYSI Luento Stokesin lause
91 VEKTORIANALYYI Luento 13 9. tokesin lause A 16.5 tokesin lause on kuin Gaussin lause, mutta yhtä dimensiota alempana: se liittää toisiinsa kentän derivaatasta pinnan yli otetun integraalin ja pinnan
LisätiedotMS-A0305 Differentiaali- ja integraalilaskenta 3 Luento 4: Taso- ja avaruuskäyrät
MS-A0305 Differentiaali- ja integraalilaskenta 3 Luento 4: Taso- ja avaruuskäyrät Antti Rasila Aalto-yliopisto Syksy 2015 Antti Rasila (Aalto-yliopisto) MS-A0305 Syksy 2015 1 / 24 Motivaatio Tässä tutustutaan
LisätiedotFysiikan perusteet. Voimat ja kiihtyvyys. Antti Haarto
Fysiikan perusteet Voimat ja kiihtyvyys Antti Haarto.05.01 Voima Vuorovaikutusta kahden kappaleen välillä tai kappaleen ja sen ympäristön välillä (Kenttävoimat) Yksikkö: newton, N = kgm/s Vektorisuure
LisätiedotMagneettikenttä. Liikkuva sähkövaraus saa aikaan ympärilleen sähkökentän lisäksi myös magneettikentän
3. MAGNEETTIKENTTÄ Magneettikenttä Liikkuva sähkövaraus saa aikaan ympärilleen sähkökentän lisäksi myös magneettikentän Havaittuja magneettisia perusilmiöitä: Riippumatta magneetin muodosta, sillä on aina
Lisätiedot