Aineaaltodynamiikkaa

Transkriptio

1 Aineaaltodynamiikkaa Aineaaltokenttien riippuvuus ajasta aikariippuva Schrödingerin yhtälö Stationääriset ja ei-stationääriset tilat Aaltopaketit Kvanttimekaniikan postulaatit = kuinka hiukkasen fysikaaliset ominaisuudet lasketaan aaltofunktion avulla. Aikariippuva Schrödingerin yhtälö Aineaaltokentän aikariippuvuuden määrää yhtälö Schrödingerin yhtälöä ei voi johtaa mistään klassisen fysiikan teoriasta se on yksi uuden teorian hypoteeseista eli perusoletuksista. Schrödingerin yhtälöä voidaan motivoida analogialla sähkömagneettisen kentän aaltoyhtälöön Ajasta riippumattoman ja aikariippuvan Schrödingerin yhtälön suhdetta voidaan verrata staattisen ja dynamisen kenttäteorian suhteeseen klassisessa sähkömagnetiikassa! 1

2 Schrödingerin yhtälö: älykäs arvaus Klassinen SM-aaltoyhtälö (esimerkiksi sähkökentälle) on muotoa ψ 1 ψ = x c t Planckin fotonihypoteesin mukaan E = ħω = cp ja p = E/ c= h λ. Aineaalloille pätee vastaavasti E = ħω ja p = E/ c = h λ. ikx ( ωt Yhtälön (1) eräs ratkaisu on tasoaalto ψ ) ( xt, ) = Ae. Jos tasoaalto derivoidaan ajan suhteen: ψ iħ = ħωψ = Eψ () t Jos se derivoidaan paikan suhteen ( ω = kc) saadaan ψ iħ = ħkψ = pψ (3) x Sekä () että (3) ovat ominaisarvoyhtälön muotoisia, oikealla puolella on ominaisarvo kertaa ominaisfunktio vasemmalla puolella differentiaalioperaattori kertaa ominaisfunktio. Eop pop = i t = i x Energia/liikemäärä suhde ratkaisee ( op ) ψ ( op ) Fotoneille E = c p E = c p ψ Sijoittamalla Eop = i ja pop = i saadaan t x ψ 1 ψ = eli SM-aaltoyhtälö. x c t p Elektroneille (hiukkasille) pätee E = + Ep ( x, t) ts. energia on liikeja potentiaalienergioiden summa. m Sijoittamalla operaattorit Eop = i ja pop = i t x p op ψ ψ ( Eop ) ψ Ep ( xt, ) ψ i = + = + E p ( xt, ) ψ m t m x Liikemäärän erilainen suhde energiaan on ratkaiseva ero elektronin ja fotonin välillä

3 Yrite Ψ Stationääriset tilat iet ( xt, ) = φ( x) e ; Ψ ( xt, ) = φ( x) Tällöin ajasta riippumaton Sijoittamalla: Ψ ie iet ψ i = i φ( x) e = + E ( ) p x Ψ = t m x iet ψ = e + E p x x m x ( ) φ ( ) Yrite on ajasta riippuvan Schrödingerin yhtälön ratkaisu jos ψ + E ( ) ( ) ( ) p x φ x = Eφ x m x ( ) = φ ( ) n n n Ei-stationääriset tilat Schrödingerin yhtälön yleinen ratkaisu on ie t ħ n Ψ xt, c x e ; Esimerkki: Potentiaalilaatikko 1 iet ħ ( 1 ) ie t ħ (, ) = 1/ ( ) + ( ) Ψ xt φ xe φ xe ħ π 1 = = 1 Energiat: E ; E 4 E ; ma Hetkellä t = 0 aaltopaketti on vasemmalla: Ψ ( x,0) = ( 1/ ) φ1( x) + φ( x) ja hetkellä t = π ħ /( E E ) aaltopaketti on oikella: Ψ π ħ φ φ 1 iπ E /( E E ) 1 1 [ ] 1 1 ( xt, = /( E E )) = e ( x) ( x) Aaltofunktio värähtelee edestakaisin näiden asemien välillä 3

4 Gaussin aaltopaketti Vapaan hiukkasen stationäärinen tila: Ψ ( xt) ie t / ħ j, = ϕ ( xe ) j Aaltopaketti = vapaan hiukkasen ei-stationäärinen tila ikx iet / ħ Ψ ( x, t) = N c( k) e e dk Gaussin aaltopaketissa α α ( k k ) 0 / ck ( ) = e normitustekijä N= 1/ π. π Gaussin paketti paikka-avaruudessa Suorittamalla integrointi yli liikemäärän ( ħ ) ( ħ ) N Ψ ( xt, ) = e e F / 0 / /α ikx k t m x k t m F t F = 1 + i ; t0 = mα / ħ; N = 1/ α π t Aaltopaketin todennäköisyystiheys: 1 ( ) ( ) x k0ħt/ m / β Ψ xt, = e β π ( ) β = α 1+ tt 0 4

5 Gaussin paketin reaaliosa Gaussin paketti on yleisesti kompleksiarvoinen ajan ja paikan funktio ja siksi vaikea visualisoida. ( x) ( k) / Ajanhetkellä t = 0 Re [ Ψ ( x,0) ] = Csin( k0x) e Paketin keskikohta on pisteessä x = 0 Aaltofunktion reaaliosa on normitustekijän C sinifunktion sin( k0x) ja Gaussisen verhokäyrätekijän ( x) ( k) / e tulo. Gaussin paketin ominaisuuksia Aaltopaketin leveys liikemääräavaruudessa on k Todennäköisyystiheyden maksimikohta on pisteessä x= k ħt m 0 / 1/ α Paketin leveys kasvaa β = α 1 + / ( t t ) 0 Kun 1 t >> t0 paketin leveys on x β = α ( t/ t0) = t mα Aaltofunktio säilyttää norminsa ψ ( x, t) dx= 1 5

6 Vaihenopeus ja ryhmänopeus ikx ( ωt Tasoaallon ψ ) ( xt, ) = Ae vakioarvokohta etenee vaihenopeudella : ω vakio vakio kx ωt = vakio x = t + = v pt + k k k Vapaalle hiukkaselle ω ħω E mv / v v p = = = = = k ħk p mv Hiukkasen todellinen nopeus on sen ryhmänopeus : dω dħω de p vg = = = = dk dħk dp m Ryhmänopeudelle pätee myös v =< v>= Ψ ( xt, ) dx Ψ ( xt, ) Ψ ( xtdx, ) (, ) g ħ dψ x t im dx Todennäköisyysvirran tiheys Todennäköisyyden jatkuvuusyhtälö: S j ds = t Ψ r j = t Ψ r Schrödingerin yhtälöstä: V (, t) dv (, t) Ψ Ψ + EpΨ = i Ψ m t (1) Ψ Ψ + Ψ = Ψ m t Ep i Kertomalla ja laskemalla puolittain yhteen m ( ) ( ) Todennäköisyysvirran tiheys Ψ Ψ Ψ Ψ = i Ψ(,) r t t Ketjusäännön avulla: Ψ Ψ Ψ Ψ = i Ψ(,) r t () m t Vertaamalla (1) ja () = j ( ) mi Ψ Ψ Ψ Ψ 6

7 Kvanttimekaniikan postulaatit I Energia eli Hamiltonin operaattori: ˆ Hψ x E x ˆ ψ H = + E ( ) p x m x Hˆ Ψ Ψ x, t = i t n( ) = nψ n( ) ( xt, ) ( ) Kvanttimekaniikan postulaatit II 7

8 Kvanttimekaniikan postulaatit III Kvanttimekaniikan postulaatit IV 8

9 Kvanttimekaniikan postulaatit V Tärkeimmät operaattorit Operaattori Hamiltoni (energia) Liikemäärä paikka Kulmaliikemäärä Kulmaliikemäärän z-komponentti H ˆ ψ + E p m x x, t pˆ i r Lˆ r ( i ) r ˆ Lz i x y y x ( ) 9

10 Hermiittisyys Operaattori Aˆ on hermiittinen jos ( ˆ ) ˆ 1 = 1 Φ AΦ dx AΦ Φ dx mielivaltaisille funktioille Φ ja Φ. 1 Hermiittisen operaattorin ominaisarvot ovat reaalisia ja sen ominaisfunktiot voidaan valita ortogonaalisiksi: ( ) ( ) ˆ i j jos ja i i i φφdx = 0 i j Aφ x = a φ x i = 1,,3.. Ehrenfestin teoreema 1/ Ehrenfestin teoreeman mukaan kvanttimekaaniset fysikaalisten suureiden odotusarvot toteuttavat klassisen mekaniikan liikeyhtälöt! Esimerkki: Newtonin toinen laki Kvanttimekaniikassa : d de p p = dt dx d de ( p ) = ma = F = dt dx p 10

11 Apuneuvo d 1 Johdetaan aputulos: A = AH HA dt i d dψ dψ Merkitään: A = ψ Aψdx A = A A dx dt ψ + ψ dt dt dψ 1 Schrödingerin yhtälöstä: = Hψ dt i d 1 A = ( H ψ) A ψ + ψ A ( H ψ) dx dt i Merkitään: χ = Aψ. A: n hermii ttisyys ( Hψ) χdx = ψ H χdx d 1 1 A = ψ ( HA + AH ) ψ dx = AH HA dt i i ( ) Ehrenfestin teoreema / d 1 Aputuloksen perusteella p = ph Hp dt i Liikemääräoperaattori on vaihdannainen liike-energia operaattorin kanssa: p p = p p ( ) ( ) ( ) p p Ψ p p ph Hp = pe E p = ( x, t) pe E p Ψ ( x, t) dt E p Ψ Ψ E p pe p E pp Ψ = Ψ + E p E p x = Ψ x x x ( p p ) d 1 p Ψ x t pe E p Ψ x t dt dt = (, ) (, ) = i 1 Ep E Ψ ( xt, ) i Ψ ( xtdt, ) i = x x p 11

12 Ψ Ψ + E p ( x) Ψ = i m x t ( xt) = ψ ( ) iet Yhteenveto 1/5 Aikariippuva Scrödingerin yhtälö Stationäärinen tila Ψ, x e ; (Todennäköisyystiheys ei riipu ajasta) iet iet ( x, t) ( x) e = ( x) e = ( x ) ( x) toteuttaa ajasta riippumattoman Schrö Ψ ψ ψ ψ ψ ψ + E p x t x = E x m x (, ) ψ ( ) ψ ( ) dingerinyhtälön EI- stationäärinen tila Ψ (, ) = ψ ( ) xt c x e n n n Yhteenveto /5. ie t (Todennäköisyystiheys riippuu ajasta) n Hiukkasvirran tiheys j( r) = Ψ Ψ ( Ψ ) Ψ mi ψ( x) ψ ( x) jx ( ) = ψ ( x) ψ( x) im x x 3D 1D 1

13 Vaihenopeus ω v p = k Ryhmänopeus v g Yhteenveto 3/5 3 dω Ψ vψ d r = = v = = dk 3 Ψ Ψ d r hiukkasen todellinen nopeus Hamiltonoperaattori eli Hamiltoni 1 ˆ d H = ħ + E ( ) p x m dx Yhteenveto 4/5 Postulaatti I Klassinen fysiikka Kvanttimekaniikka A A i ( r, p) ˆ ( r, ħ ) Postulaatti II Mahdollisia mittaustuloksia ovat ominaisarvot Aˆ φ x = a x i = 1,,.. i ( ) φ ( ) i i Postulaatti III Todennäköisyys sille, että saadaan mittaustulos an 3 3 c = φφd r φφd r n n n n Postulaatti IV (Mittaustulosten keskiarvo) ˆ ˆ 3 A = A = Φ A, i Φd r ave ( r ħ ) 13

14 Yhteenveto 5/5 Postulaatti V (ajasta riippuva Schrödingerin yhtälö) Ψ ih = Hˆ Ψ t Ehrenfestin teoreema d de p p = dt dx 14