Shrödingerin yhtälön johto

Koko: px

Aloita esitys sivulta:

Download "Shrödingerin yhtälön johto"

Eero Jaakkola
6 vuotta sitten
Katselukertoja:

1 Shrödingerin yhtälön johto Tomi Parviainen 4. maaliskuuta 2018 Sisältö 1 Schrödingerin yhtälön johto tasaisessa liikkeessä olevalle elektronille 1 2 Schrödingerin yhtälöstä aaltoyhtälöön kiihtyvässä liikkeessä olevalle elektronille 2 3 Koordinaatiston kierto 3 1 Schrödingerin yhtälön johto tasaisessa liikkeessä olevalle elektronille Tarkastellaan tasaisesti nopeudella v liikkuvaa pistevarausta. Sen magneettikenttä voidaan lausua sähkökentän E ja nopeuden v avulla: B = 1 c 2 v E (1) Toisaalta elektronin liikemäärä voidaan kirjoittaa operaattorina: josta ratkaistaan v ja sijoitetaan se yhtälöön (3): p = mv = i h, (2) h B = i mc 2 E (3) Otatetaan yhtälöstä puolittaan roottori, jolloin saadaan h B = i mc 2 E = i h ( ( E) 2 mc 2 E ), (4) joka voidaan kirjoittaa myös E µ 0 J ɛ 0 µ 0 t = i h mc 2 2 E, (5) koska vakion E = ρ/ɛ gradientti on nolla elektronin liikkuessa tarkastelutilavuuden läpi. Toisaalta virrantiheys yhden elektronin systeemille lähestyy myös 1

2 nollaa, J 0, joten järjestelemällä yhtälö uudestaan saadaan Schrödingerin yhtälö aikakehittyvälle systeemille: i h E t = h2 m 2 E, (6) sillä ɛ 0 µ 0 = 1/c 2. Shrödingerin yhtälä voidaan myös kirjoittaa takaisin vektorimuotoon: i h E t = p2 E. (7) m Vastaavasti magneettikentälle yhtälö muodostetaan soveltamalla Maxwellin yhtälöä E = B t, (8) jolloin saadaan h B B = i mc 2 t. (9) Uudelleen järjestelmällä tulee magneettikentän Schrödingerin yhtälöksi: i h B t = mc2 B. (10) 2 Schrödingerin yhtälöstä aaltoyhtälöön kiihtyvässä liikkeessä olevalle elektronille Derivoidaan vielä yhtälö (3) puolittain ajan suhteen, jolloin tarkastellaan kiihtyvää liikettä. Oletetaan myös, että aika ja paikkaoperaattorit ovat vaihdannaisia, jolloin saadaan: B t = i h mc 2 E (11) t Soveltavamalla tuttua Maxwellin yhtälöä E = B t (12) saadaan B t = i h 2 B mc 2 t 2 (13) Kertomalla puolittain termillä i h, saadaan i h B t = h2 2 B mc 2 t 2 (14) Toisaalta yhtälössä (6) näytettiin operaattorivastaavuus, jota käyttämällä saadaan aaltoyhtälö magneettikentälle: h2 m 2 B = h2 2 B mc 2 t 2, (15) joka uudelleen järjesteltynä on entuudestaan tunnettu 2 B 1 c 2 2 B t 2 = 0 (16) 2

3 Yhtälöt (11) ja (12) toisinpäin yhdistämällä saadaan h E = i mc 2 E t, (17) josta nähdään että h E E = i mc 2 t, (18) Derivoidaan vielä puolittain uudelleen ajan suhteen ja saadaan E t = i h 2 E mc 2 t 2, (19) Kun nyt käytetään yhtälöä (6) saadaan aaltoyhtälä sähkökentälle: joka uudelleen järjesteltynä on entuudestaan tunnettu h 2 m 2 E = h2 2 E mc 2 t 2, (20) 2 E 1 2 E c 2 = 0. (21) t2 Siis tasaisesti etenevän elektronin kiihdyttäminen eli magneettikentän derivointi ajan suhteen tuottaa sähkömagneettisen aallon magneettikentän aaltoyhtälön. Magneettikentän käänteisroottorioperaatio ja derivointi uudestaan ajan suhteen tuottavat sähkömagneettisen aallon sähkökentän aaltoyhtälön. Tämä voidaan tulkita siten, että vetyatomin perustilassa elektroni on sidoksissa sähkömagneettiseen aaltoon. 3 Koordinaatiston kierto Kierretään karteesista kordinaatistoa vakionopeudella origosta. Suurin nopeus, jolla tieto kierrosta voi välittyä origosta poispäin on valonnopeus c. Piste P sijaitsee etäisyydellä r x-akselilla, ja pisteesssä olevan havaitsija mittaa koordinaatiston kiertokulmaa. Hetkellä t kulman mittaustulokseksi saadaan kaaren pituus ctθ ja etäisyys origosta on r 0 = ct. Suureet r 0 ja θ ovat suorakulmaisia polaarikoordinaatteja, joten niille voidaan kirjoittaa pythagoraan yhtälö Yhtälöä sieventämällä kiertokulman neliöksi saadaan (ct) 2 = r (ctθ) 2. (22) θ 2 = 1 r2 (ct) 2. Jos tarkastellaan r:n suuntaista tasaisella nopeudella tapahtuvaa liikettä, kulma on erityisestä suhteellisuusteoriasta tuttu termi θ = 1 v2 c 2. (23) Kun mukaan tarkasteluun otetaan r:n suuntainen kiihtyvä liike, yhtäsuuruus v = r/t ei ole voimassa. Derivoidaan yhtälön (22) molemmat puolet kahdesti 3

4 ajan suhteen (d 2 /dt 2 ). Fysikaalinen tilanne voisi olla esimerkiksi elektronin vapaa putoaminen atomiytimeen. Ensimmäinen derivointi tuottaa 2ct = 2rṙ + 2c 2 θ 2 t ja toisen derivoinnin ja sievennyksen jälkeen saadaan kiertokulmaksi (ṙ ) 2 θ = 1 r r c c 2. (24) Tarkastellaan nyt elektronia, joka putoaa kiihtyvyydellä r = a = F m = 1 4πɛ 0 e 2 mr 2 (25) kohti origoa. F on Coulumbin voima ja m on kappaleen massa. Origoon on sijoitettu positiivinen alkeisvaraus +e. Pistemäinen elektronihiukkanen voidaan kuvata myös aaltona, jolla on aaltoluku nk = p h = mv h, (26) jossa n = 1, 2, 3... on kokonaisluku, h = h/2π on Planckin vakio ja p on elektronin liikemäärä. Tehdään oletus, että kierto origon suhteen θ = kr (27) on yhtenevä elektroniaallon vaiheen kanssa. Yhtälöistä (26) ja (24) muodostetaan lauseke ( mvr ) 2 ( v ) 2 ra = 1 n h c c 2, josta voidaan yhtälön (25) avulla ratkaista elektronin putoamisnopeuden neliö etäisyyden funktiona v 2 (n h) 2 ( (r) = (cmr) 2 + (n h) 2 c 2 1 e 2 ). (28) 4πɛ 0 mr Kun edellinen yhtälö (28) kerrotaan elektronin massalla, saadaan Shrödingerin yhtälö i h Ψ = HΨ, (29) t jossa siis on energiatermi on H n = mv 2 = m(n h) 2 ( (mcr) 2 + (n h) 2 c 2 1 e 2 ). (30) 4πɛ 0 mr Kuvaan 1 on piirretty vetyatomille etäisyydestä riippuva liike-energia. Kuvasta nähdään, että liike-energia menee nollaksi, kun etäisyys origosta on elektronin klassinen säde r e = e 2 /4πɛ 0 mc 2 = 2, m. Yläraja on noin 50 pm:ä, mutta kaikki tätä suuremmatkin etäisyyden arvot ovat sallittuja. Vähennetään nyt muut energiatasot perustasosta: E 0 = 2(H 0 H 1,2,3,... ) (31) E 1 = 2(H 1 H 2,3,4,... ) (32). (33) 4

5 Kuva 1: Elektronin liike-energia etäisyyden funktiona vetyatomissa. Kuva 2: Elektronin liike-energiatilojen erotus. 5

6 Kuva 3: Elektronin liike-energiatilojen erotus, n = 1,2,3,4,5 ja 100. Erotukset ovat piirretty kuvaan (2) vedyn Lymanin ja Balmerin sarjan viidelle ensimmäiselle termille. Havaitaan myös, että yhtälö (33) tuottaa toisen joukon kvantittuneita tiloja, jotka on piirretty kuvaan (3) Tätä voidaan pitää ennusteena, koska vastaavuutta tunnettuun havaintojoukkoon ei ole. Voi myös olla, että ne ovat nk. kiellettyjä siirtymiä. 6

Samankaltaiset tiedostot

Kvanttifysiikan perusteet 2017

Kvanttifysiikan perusteet 2017 Kvanttifysiikan perusteet 207 Harjoitus 2: ratkaisut Tehtävä Osoita hyödyntäen Maxwellin yhtälöitä, että tyhjiössä magneettikenttä ja sähkökenttä toteuttavat aaltoyhtälön, missä aallon nopeus on v = c.