Differentiaali- ja integraalilaskenta 3 Harjoitus 4/ Syksy 2017

Transkriptio

1 MS-A35 Differentiaali- ja integraalilaskenta 3 Differentiaali- ja integraalilaskenta 3 Harjoitus 4/ Syksy 217 Alkuviikon harjoituksissa ratkaistaan kolme tehtävää assistentin avustuksella (läsnäololaskarit). Loppuviikon tehtävät (3 kpl) tulee olla ratkaistu loppuviikon harjoitusten alkuun mennessä. Nämä tehtävät käydään läpi taululla ja tehdyt tehtävät merkitään nimilistaan, josta valitaan opiskelijoita esittämään ratkaisujaan. Loppuviikon harjoitusten loppuaika käytetään palautettavien tehtävien (3 kpl) neuvomiseen. Palautettavat tehtävät palautetaan kirjallisesti seuraavan viikon tiistaina klo 16. mennessä huonetta Y192 vastapäätä olevaan palautuskaappiin. Jokaisella ryhmällä on oma lokero. Lisäksi MyCoursesissa on 2 STACK-tehtävää, joihin vastataan verkossa ma 9.1. klo mennessä. Alkuviikon tehtävät Tehtävä 1 Olkoon F = (x 4 y 2 ) ja olkoon c xy-tason käyrä pisteestä A = ( 1, 1) pisteeseen B = (2, 3) siten, että c koostuu janasta AO ja janasta OB, missä O on origo. Laske c F dr kahdella eri tavalla: a) Parametrisoi c ja laske integraali. b) Käytä vektorikentän potentiaalia. Ratkaisu 1 a) F = (x 4 y 2 ) = 4x 3 y 2 i + 2x 4 yj Olkoon reitti c 1 : A O ja reitti c 2 : O B. Reitin c 1 voi parametrisoida esimerkiksi x(t) = t ja y(t) = t, kun t [-1,]. Tällä reitillä F c1 = 4t 3 t 2 i + 2t 4 tj = 4t 5 i + 2t 5 j. Tehdään samoin reitille c 2. Parametrisointi on x(t) = t ja y(t) = 3 t, kun t [,2]. Tällä 2 reitillä F c2 = 4t 3 ( 3 2 t)2 i + 2t 4 3tj = 2 95 i + 3t 5 j. Parametrisoitu vektori on r(t) = x(t)i + y(t)j, ja ketjusäännöllä saadaan dr = r (t)dt, joten dr 1 = (i + j)dt kun t [-1,] ja dr 2 = (i + 3 j)dt kun t [,2]. 2 Tiedostoa viimeksi muokattu: 21. lokakuuta 217 1/11

2 MS-A35 Differentiaali- ja integraalilaskenta 3 Nyt pystytään laskemaan integraali: F dr = c F 1 dr 1 + c 1 F 2 dr 2 c 2 = = 1 1 (4t 5 i + 2t 5 j) (i + j)dt + (4t 5 + 2t 5 )dt + = t = ( 1) (9t t5 )dt 1 6 t6 b 1 (2 ) = = (9 5 i + 3t 5 j) (i j)dt b) Vektorikentän potentiaali on Φ = x 4 y 2. F dr = Φ(2, 3) Φ( 1, 1) = ( 1) 4 ( 1) 2 = = 143 c Tehtävä 2 Parametrisoi seuraavat pinnat, eli esitä ne muodossa kun (u, v) D R 2 sopivalla D. a) taso 2x + 3y + z = 6, r(u, v) = x(u, v)i + y(u, v)j + z(u, v)k, b) tason 2x + 3y + z = 6 se osa, jossa x, y, z, c) yz-tason etupuolella oleva osa elliptistä paraboloidia x = 5y 2 + 2z 2 1, d) ellipsoidi x2 2 + y2 3 + z2 4 = 1. Ratkaisu 2 a) Ratkaistaan tason yhtälöstä z: z = 6 2x 3y, jolloin tasolle saadaan parametrisaatio r(u, v) = ui + vj + (6 2u 3v)k, (u, v) R 2. b) Parametrisaatio on muuten sama, mutta käytetään annettua ehtoa. Tämän avulla saadaan r(u, v) = ui + vj + (6 2u 3v)k, (u, v) [, 3] [, u]. Tiedostoa viimeksi muokattu: 21. lokakuuta 217 2/11

3 MS-A35 Differentiaali- ja integraalilaskenta 3 c) yz-tason etupuolella x = 5y 2 + 2z 2 1 > x + 1 = y2 + z2 > 1. Käytetään y- ja z-koordinaatteihin ellipsin parametrisaatioa ja muodostetaan tästä x-koordinaatin parametrisointi: r(u, v) = u 2 cos v j + u 5 sin v k + (5 2 u 2 cos 2 v u 2 sin 2 v 1) i = u 2 cos v j + u 5 sin v k + 1(u 2 1) i, (u, v) [1, ) [, 2π) d) ( ) x 2 2 ( ) y2 3 + z2 x y ( z ) 2 4 = = Tästä saadaan yksikköpallon parametrisointia hyödyntämällä parametrisointi r(u, v) = 2 cos u sin v i + 3 sin u sin v j + 2 cos v k, (u, v) [, 2π) [, π]. Tehtävä 3 Laske pintaintegraali P (y + z) ds, missä pinta P on tason 3x + y z = 1 sylinterin x 2 + y 2 = 4 sisäpuolelle jäävä osa. Ratkaisu 3 Ratkaisemalla tason yhtälöstä z voidaan pinnalle kirjoittaa parametrisointi Tälle pinnalle saadaan normaalivektori r(x, y) = xi + yj + (3x + y 1)k. n = r x r y = i j k = 3i j + k. Nyt pintaintegraali voidaan kirjoittaa muodossa (y + z) ds = (3x + 2y 1) n dx dy = 11 S x 2 +y 2 4 Siirtymällä napakoordinaatteihin saadaan 11 2π 2 = 11 = 11 = 11 r(3r cos ϕ + 2r sin ϕ 1) dr dϕ 2π / 2 2π / 2π (r 3 cos ϕ + 23 r3 sin ϕ 12 r2 ) ( 8 cos ϕ + 16 ) 3 sin ϕ 2 ( 8 sin ϕ 16 cos ϕ 2ϕ 3 dϕ ) x 2 +y 2 4 dϕ dϕ = 4π 11. (3x + 2y 1) dx dy. Tiedostoa viimeksi muokattu: 21. lokakuuta 217 3/11

4 MS-A35 Differentiaali- ja integraalilaskenta 3 Loppuviikon tehtävät Tehtävä 4 Laske vektorikentän F(x, y, z) = 3yi + 2xj + 4zk tekemä työ kuljettaessa origosta pisteeseen (1, 1, 1) pitkin a) suoraa, b) käyrää r(t) = ti + t 2 j + t 4 k, t [, 1]. Ratkaisu 4 Vektorikentän F(x, y, z) = 3yi + 2xj + 4zk tekemä työ saadaan kaavasta W = t1 t F(r(t)) dr dt dt. a) Suoran parametrisaation on esimerkiksi r(t) = t(i + j + k), missä t [, 1]. Saadaan joten F(r(t)) dr dt Kentän tekemä työ on dr dt = i + j + k, = (3ti + 2tj + 4tk) (i + j + k) = 3t + 2t + 4t = 9t. W = 1 9t dt = t2 = 9 2. b) Tällä kertaa r(t) = ti + t 2 j + t 4 k, missä t [, 1]. Lasketaan kuten edellä. dr dt = i + 2tj + 4t3 k F(r(t)) dr dt = (3t2 i + 2tj + 4t 4 k) (i + 2tj + 4t 3 k) = 3t 2 + 4t t 7 = 7t t 7. Kentän tekemä työ on W = 1 (7t t 7 ) dt = 1 [ ] 7 3 t3 + 2t 8 = = Tehtävä 5 Määrää käyrän r(t) = a cos 3 t i + b sin 3 t j, t 2π, rajoittaman alueen pinta-ala laskemalla integraali xj dr. C Tiedostoa viimeksi muokattu: 21. lokakuuta 217 4/11

5 MS-A35 Differentiaali- ja integraalilaskenta 3 Ratkaisu 5 Tiedostoa viimeksi muokattu: 21. lokakuuta 217 5/11

6 MS-A35 Differentiaali- ja integraalilaskenta 3 Tiedostoa viimeksi muokattu: 21. lokakuuta 217 6/11

7 MS-A35 Differentiaali- ja integraalilaskenta 3 Tehtävä 6 Toruksella T on parametrisointi r(φ, θ) = (R + r cos θ) cos φ i + (R + r cos θ) sin φ j + r sin θ k, (φ, θ) [, 2π) [, 2π), jossa < r < R. Laske toruksen T pinta-ala pintaintegraalin avulla. Ratkaisu 6 Lasketaan pinnan parametrisaatiosta r(φ, θ) pinnan normaalivektori r φ r θ = n : r φ r θ jolloin pinta-alaksi saadaan Palautettavat tehtävät r = sin φ(r + r cos θ)i + cos φ(r + r cos θ)j + k φ r = r cos φ sin θi r sin φ sin θj + r cos θk θ = r cos θ cos φ(r + r cos θ)i + r cos θ sin φ(r + r cos θ)j + (r sin 2 φ sin θ(r + r cos θ) + r cos 2 φ sin θ(r + r cos θ)) k }{{} =r sin θ(r+r cos θ) n = rr + r 2 cos θ, A = Tehtävä 7 Osoita että kenttä 2π 2π 2π = 2π ( = 2π on konservatiivinen. Laske G dr, missä C rr + r 2 cos θ dφ dθ rr + r 2 cos θdθ 2πrR + r 2 / 2π sin θ ) = 4π 2 rr. F(x, y, z) = (x + y)i + (x z)j + (z y)k G(x, y, z) = xi + (2x z)j + (z y)k ja r(t) = cos t i+sin t j+(2πt t 2 )k, t 2π, hyödyntäen kenttien G ja F samankaltaisuutta. Ratkaisu 7 Tiedostoa viimeksi muokattu: 21. lokakuuta 217 7/11

8 MS-A35 Differentiaali- ja integraalilaskenta 3 Tiedostoa viimeksi muokattu: 21. lokakuuta 217 8/11

9 MS-A35 Differentiaali- ja integraalilaskenta 3 Tehtävä 8 Määrää sykloidin r(t) = a(t sin t)i + a(1 cos t)j, t 2π, ja x-akselin rajoittaman alueen pinta-ala laskemalla viivaintegraali yi dr. C Ratkaisu 8 Perustellaan tehtävänannossa annettu kaava Greenin lauseen avulla hyödyntäen Vektorikenttää F(x, y) = yi + j sekä sykloidin reunakäyrää C = C 1 + C 2, missä C = C 1 = r 1 (t) = a(t sin t)i + a(1 cos t)j, t 2π ja C 2 = r 2 (t) = (2πa at)i + j, t 2π: ( ) F 2 F dr = x F 1 da = ( + 1)dA = A y Toisaalta: C C F dr = F dr 1 + F dr 2 = C 1 C 2 D C D yi dr + dr 2 = C 2 C yi dr = A Tiedostoa viimeksi muokattu: 21. lokakuuta 217 9/11

10 MS-A35 Differentiaali- ja integraalilaskenta 3 Tiedostoa viimeksi muokattu: 21. lokakuuta 217 1/11

11 MS-A35 Differentiaali- ja integraalilaskenta 3 Tehtävä 9 Määritä pinnan P = {(x, y, z) R 3 : x 2, y 1, z = 2xy} massa, kun sen massatiheys on ρ(x, y, z) = 2z (grammaa pinta-alayksikköä kohden). Ratkaisu 9 Pinta voidaan parametrisoida muodossa r(x, y) = xi + yj + 2xyk. Tälle saadaan normaalivektori n = r x r i j k y = 1 2y 2 2y 2x xy = 1 2x 2 xy i 2 xy j + k. Nyt massa voidaan laskea pintaintegraalin avulla. Pinnalla tiheys on σ(x, y) = 2 2xy. m = = 2 = 2 σ(x, y) ds = S / 2 2 xy y 2xy (x + y)2 dx dy = 2 1 ( ) 1 2 x2 + xy dy = 2 1 2x + x + 1 dx dy 2y 2 (x + y) dx dy (2y + 2) = 2 / 1 ( y 2 + 2y ) = 6 Tiedostoa viimeksi muokattu: 21. lokakuuta /11