Differentiaali- ja integraalilaskenta 3 Mallit laskuharjoitukseen 3 /

Transkriptio

1 MS-A3x Differentiaali- ja integraalilaskenta 3, IV/6 Differentiaali- ja integraalilaskenta 3 Mallit laskuharjoitukseen 3 / Avaruusintegraalit ja muuttujanvaihdot Tehtävä 3: Laske sopivalla muunnoksella (x + y) (x y) 6 dx dy dz, V kun joukko V R 3 määräytyy ehdoista x + y, x y ja z [, ]. Tehdään muunnos koordinaatteihin (u, v, z) siten, että u(x, y, z) = x + y ja v(x, y, z) = x y, koordinaatti z ei muutu. Tällöin x(u, v) = (u + v) ja y(u, v) = (u v). Jacobin matriisiksi saadaan joten Jacobin determinantti on J = =, det J = =. Uudet rajat ovat u, v, z [, ]. Muunnoksella integraaliksi saadaan siis V (x + y) (x y) 6 dx dy dz = = z= v= u= = ( = 8 7 = 8 3. u v 6 det J du dv dz dz v 6 dv u du ( ) ( ) v z) 7 u 7

2 MS-A3x Differentiaali- ja integraalilaskenta 3, IV/6 Tehtävä : Sylinterin S = {(x, y, z) x + y, z } lämpötila nousee lineaarisesti sekä säteen että korkeuden suhteen muodossa ( ) T (x, y, z) = x + y + z. Laske sylinterin keskilämpötila T. Sylinterin S = {(x, y, z) x + y, z } pohjan pinta-ala on π ja korkeus, joten sen tilavuus V = π. Sylinterikoordinaateissa lämpöjakauma on ja skaalauskerroin r, joten joten keskilämpötila on S T dv = T (r, θ, z) = (r + z), = π = π T = V (r + z)r drdθdz (r + r ) dr 7 = 3π 3, S T dv = 3 3.

3 MS-A3x Differentiaali- ja integraalilaskenta 3, IV/6 Tehtävä : Suoran ympyräkartion korkeus on metriä ja pohjan säde metriä. Sen tiheys on verrannollinen pohjasta mitatun etäisyyden neliöön ja on 3 kg/m 3 huipussa. a) Laske kappaleen massa. b) Esitä kappaleen hitausmomentti keskiakselin suhteen iteroituna integraalina. Tehtävän kartio piirrettynä Mathematicalla, komentona Graphics3D[Cone[{{,,},{,,}},], Axes->True] Olkoon R suora ympyräkartio, jonka pohja on xy-tasossa ja pyörähdysakselina z-akseli, korkeus h = ja pohjan säde r =. Käyrä, jonka pyörähtäessä z-akselin ympäri tämä kartio muodostuu, on z = ( r ), sillä zr-tasossa se on suora, joka leikkaa z-akselin korkeudella ja r-akselin etäisyydellä. Kappale voidaan ajatella jaetuksi pieniin osiin, joiden tilavuus on dv ja massa on ρ(x, y, z)dv. Tässä ρ(x, y, z) on tiheys. Koko kappaleen massa saadaan summaamalla pienet osat eli integroidaan m = ρ(x, y, z) dv. R Tiheys riippuu nyt vain z-koordinaatista ja on muotoa ρ(x, y, z) = kz, missä k on vakio. Kartion huipussa tiheyden täytyy olla 3, joten saadaan yhtälö k() = 3 eli k = 3. Siirrytään lieriökoordinaatteihin ja integroidaan: ( r m = 3z ) ( dv = 3z r dz dr dθ = π r ( r ) 3 R ) dr ( = π 3 r 3r ) ( + 3r r3 dr = π ) 3 = π 78 [kg]. Hitausmomentti voidaan laskea kaavasta R (x + y )ρ(x, y, z) dv. Tässä summataan pienien massahiukkasten hitausmomentteja; (x + y )ρ(x, y, z) dv on hiukkasen massa kerrottuna z-akselista mitatun etäisyyden neliöllä, mikä on määritelmän mukaan hiukkasen hitausmomentti. Iteroidaan em. integraali: ( z)/ (x + y ) 3z dv = r 3z r dr dθ dz R mistä voitaisiin laskea hitausmomentin arvo. 3

4 MS-A3x Differentiaali- ja integraalilaskenta 3, IV/6 Tehtävä 6: Millä parametrin p > arvoilla epäoleellinen avaruusintegraali (x + y + z ) p/ dv suppenee, kun a) D = {(x, y, z) R 3 x + y + z }, b) D = {(x, y, z) R 3 x + y + z }, c) D = R 3? D Lisätieto: Arvolla p = kyseessä on pistevarauksen sähkökentän kokonaisenergia (klassisen sähködynamiikan mukaan ja ilman vakioita). Merkitään D (x + y + z ) p/ dv ja käytetään pallokoordinaatteja. Tällöin integrandi on (r ) p/ = r p ja skaalauskerroin r sin ϕ. Integroidaan ensin yleisesti pallonkuoren D = {(x, y, z) R 3 a x + y + z b} yli: = b a r p r sin ϕ dr dθ dϕ = π π p + (b p+ a p+ ). b a r p dr a) Kun D = {(x, y, z) R 3 x + y + z }, niin π p + lim a,b (b p+ a p+ ) = on äärellinen täsmälleen, kun p + > eli p < 3. b) Kun D = {(x, y, z) R 3 x + y + z }, niin π p + lim a,b (b p+ a p+ ) = on äärellinen ainoastaan, jos p + < eli p > 3. π ( lim p + a a p+ ) π p + ( lim b b p+ ) c) Nyt pitäisi päteä sekä a)- että b)-kohtien ehdot yhtä aikaa, jotta integraalin arvo olisi äärellinen, mikä ei ole mahdollista. π lim p + a,b (b p+ a p+ )

5 MS-A3x Differentiaali- ja integraalilaskenta 3, IV/6 Tehtävän 7 omena (pyörähdyskardioidi) piirrettynä Mathematican komennolla SphericalPlot3D[*(-Cos[phi]),{phi,,Pi},{x,,*Pi}]. Kotitehtävä 7: Pyörähdyskardioidi r = a( cos ϕ) (pallokoordinaateissa, a >, ϕ kulma pos. z-akselista), rajoittaa omenanmuotoisen kappaleen. Laske sen tilavuus V ja massa m, jos tiheys etäisyydellä r origosta on δ(r, ϕ, θ) = r a. Pyörähdyskappaleen olleesa kyseessä on yleensä helpointa laskea sylinterikoordinaateilla, mutta koska kappale ja tiheys on annettu pallokoordinaateissa (ja kaavassa pyörii tuo kulma z-akselista) on parasta laskea pallokordinaateilla. Tilavuuselementin koko on siis r sin φ dr dφ dθ ja V = = φ= = π θ= a( cos φ) r= dθ φ= φ= sin φ r sin φ dθ dr dφ θ= a( cos φ) r= sin φ a3 ( cos φ) 3 3 r dr dφ Vieressä on sopivasti sisäfunktion cos φ derivaatta, joten saadaan π V = πa3 ( cos φ) = πa3 3 3 = 8πa3 3. dφ.

6 MS-A3x Differentiaali- ja integraalilaskenta 3, IV/6 Massaa laskiessa ynnätään yhteen massaelementtejä dm = ρ(r)dv, joten m = = π a θ= = πa3 dθ φ= π φ= a( cos φ) r sin φ r= a r dr dφ sin φ a ( cos φ) ( cos φ) = πa3 dφ = 8πa3. Kotitehtävä 8: Laske pinnan x /3 + y /3 + z /3 =, rajaaman kappaleen tilavuus siirtymällä ensin sellaisiin uusiin koordinaatteihin, joilla esitettynä pinnan yhtälö muistuttaa pallonkuoren yhtälöä karteesisissa koordinaateissa. Tehtävän 8 pinta piirrettynä Mathematican komennolla RegionPlot3D [CubeRoot[xˆ]+CubeRoot[yˆ]+CubeRoot[zˆ]<=, {x,-8,8}, {y,-8,8}, {z,-8,8}]]]. (Kärkipisteen etäisyyden saa selville sijoittamalla pinnan yhtälöön y = z =, jolloin x /3 = eli x = 8.) Tehdään vihjeen mukaisesti muuttujanvaihto u = x /3 v = y /3 w = z /3 x = u 3 y = v 3 z = w 3, jolloin tilavuuselementti muuttuu: dx dy dz = 3u du 3v dv 3w dw = 7u v w du dv dw. 6

7 MS-A3x Differentiaali- ja integraalilaskenta 3, IV/6 Uudeksi integroimisalueeksi tulee siis u + v + w = eli -säteinen pallo B(): V = J dudvdw = 7u v w dudvdw. B() B() Vaihdetaan pallokoordinaatteihin u = r sin φ cos θ v = r sin φ sin θ w = r cos φ, joilloin u = r sin φ cos θ v = r sin φ sin θ w = r cos φ, ja (laskussa (*) kohtien laskuperiaatteet on käyty läpi tarkemmin tehtävän 9 kohdalla ; se malli tuli kirjoitettua ensin.) V = 7 = 7 r= r= φ= θ= r 8 dr φ= r 6 sin φ cos θ cos φ sin θ r sin φ dθ dφ dr sin φ cos φ dφ cos θ sin θ dθ θ= = sin φ( cos φ) cos φ dφ φ= ( ) = ( ) 3 9 ( t ) t dt π ( ) = 3 7 π (t t + t 6 ) dt = π = 3 π. θ= sin (θ) dθ 7

8 MS-A3x Differentiaali- ja integraalilaskenta 3, IV/6 Kotitehtävä 9: Laske ellipsoidin E = {(x, y, z) R 3 x /a + y /b + z /c } massa m sekä hitausmomentti z-akselin ympäri eli J z = (x + y )ρ dv, E kun tiheys ρ on vakio ja a, b ja c ovat positiivisia vakioita. Laske myös hitaussäde eli määritä sellainen R, että J z = mr. Massa voidaan laskea kaavasta m = ρv, koska tiheys ρ on vakio. Tarvitaan siis vain ellipsin tilavuus. Tehdään muuttujanvaihto u = x/a v = y/b w = z/c x = au y = bv z = cw, jolloin alue E vaihtuu integroitaessa -säteisen pallon (u + v + w ) rajoittamaksi alueeksi Ê. Lasketaan vielä, kuinka tilavuuselementti muuttuu: Tilavuus on siis V = ja massalle pätee (x, y, z) (u, v, w) = E dx dy dz = Ê = a b c = abc. abc du dv dw = abc 3 π = 3 πabc m = ρv = πρ abc. 3 Hitausmomentin laskemiseksi tehdään taas sama muuttujanvaihto kuin edelläkin: J z = (x + y )ρ dx dy dz = ρ (a u + b v )abc du dv dw. E Tehdään muunnos pallokoordinaatteihin u = r sin φ cos θ v = r sin φ sin θ w = r cos φ, jolloin J z = ρ abc = ρ abc = ρ abc r= φ= θ= r= r= φ= r dr θ= Ê (a r sin φ cos θ + b r sin φ sin θ) r sin φ dθ dφ dr φ= r sin 3 φ(a cos θ + b sin θ) dθ dφ dr sin 3 φ dφ 8 θ= (a cos θ + b sin θ) dθ.

9 MS-A3x Differentiaali- ja integraalilaskenta 3, IV/6 Ensimmäinen integraali on /. Toinen ratkeaa käyttämällä kaavaa sin φ = cos φ: I = φ= sin 3 φ dφ = φ= ( cos φ) sin φ dφ ja tekemällä sijoitus t = cos φ, jolloin dt = sin φ dφ ja rajat muuttuvat t = : ( ) I = ( t ) dt = t t3 = 3 3. Kolmannenkin integraalin voi vain pätellä. Integroitaessa yli π/:n monikerran pituisen välin I = [, kπ/] yli on I sin θ dθ = I cos θ dθ. Kaavasta = cos θ + sin θ saadaan lisäksi dθ = }{{} =π cos θ dθ + sin θ dθ = sin θ dθ, eli sin θ dθ = cos θ dθ = π. Kolmanneksi integraaliksi saadaan näin ollen I 3 = Yhdistämällä nämä saadaan θ= (a cos θ + b sin θ) dθ = (a + b )π. J z = ρ abc 3 (a + b )π = ρπ abc(a + b ). Hitaussäteen laskemiseksi erotetaan vain massan verran hitausmomentista erilleen: a + b joten R =. J z = πρ abc 3 (a + b ), 9