BM30A0240, Fysiikka L osa 4

Transkriptio

1 BM30A0240, Fysiikka L osa 4 Luennot: Heikki Pitkänen 1 Oppikirja: Young & Freedman: University Physics Luku 14 - Periodic motion Luku 15 - Mechanical waves Luku 16 - Sound and hearing Muuta - Diffraktio, interferenssi, perusoptiikkaa

2 Kurssin sisältö Harmoninen värähtelijä 2 Periodinen aalto, matemaattinen malli Seisova aalto Ääni (Doppler, interferenssi, huojunta) Optiikkaa (diffraktio, reflektio, refraktio)

3 1 Harmoninen värähtelijä 1.1 Vaimentamaton harmoninen värähtelijä (Simple harmonic oscillator) 3 Harmoninen värähtelijä on systeemi, mikä poikkeutettuna tasapainoasemastaan kokee voiman joka pyrkii palauttamaan systeemin tasapainoasemaansa. Tämä voima on suoraan verrannollinen poikkeutukseen: F = kx Esimerkkeinä harmonisesta värähtelijästä voisi mainita klassisen jousi-massa -systeemin, ja sähköisen analogisen oskillaattorin, joka koostuu kelasta ja kondensaattorista.

4 Reaalimaailmassa kaikissa harmonisissa värähtelijöissä on myös jokin tekijä joka pyrkii vaimentamaan värähtelijää, ts. vähentämään sen energiaa (resistanssi, kitka). Tarkastellaan ensin systeemiä joissa vaimentavaa tekijää ei ole (vaimennettua värähtelijää tarkastellaan hieman myöhemmin). 4 Tarkastellaan esimerkkinä systeemiä, jossa on kappale (massa m) kitkattomalla alustalla, ja kappale on kiinnitetty (massattomalla) jousella (jousivakio k) seinään. Nyt jos kappaleen paikkaa poikkeutetaan tasapainoasemastaan, vaikuttaa kappaleeseen jousen voima missä k on jousen jousivakio. F = kx,

5 Kappaleen liikeyhtälö on nyt siis F = ma = kx. 5 Kiihtyvyys on määritelty paikan toisena derivaattana (nopeus on paikan muutos, kiihtyvyys on nopeuden muutos), ts. a = d2 x dt, 2 saadaan liikeyhtälö muotoon m d2 x dt 2 + kx = 0 Tämän differentiaaliyhtälön ratkaisee x(t) = A cos (ωt + φ), (1) missä k ω = 2πf = m = 2π T. φ on vaihekulma, joka kertoo missä pisteessä kappale oli ajanhetkellä t = 0. φ:n arvo määräytyy systeemin alkuehdoista.

6 T on jaksonaika (period), eli se aika mikä värähtelijältä menee yhden kokonaisen jakson liikkumiseen. Vastaavasti värähtelijän ominaistaajuus f = 1 T. Jaksonajalle ja taajuudelle saadaan siis 6 f = 1 T = ω 2π = 1 k 2π m T = 1 f = 2π ω = 2π m k A on amplitudi, eli värähtelijän maksimipoikkeama. Katsomalla yhtälöä (1) huomataan että värähtelijän taajuus ei riipu amplitudista. φ on väräjtelijän vaihekulma (phase angle). Se kertoo meille missä vaiheessa värähtelijä oli ajanhetkellä t = 0.

7 7

8 Edestakaisin liikuvan (värähtelevän) kappaleen tapauksessa kulmanopeudella ω ei ole välittömästi itsestäänselvää tulkintaa, kuten olisi pyörivän kappaleen tapauksessa. Merkintä on kuitenkin järkeenkäypä; tutkitaan seuraavaa esimerkkiä idean valottamiseksi. Tietynmittaisen kepin (vektorin r) päässä on piste Q. Vektori r pyörii origon ympäri kulmanopeudella ω. 8 Kullakin ajanhetkellä vektori r muodostaa kulman θ = ωt positiivisen x-akselin kanssa. Kun tarkastellaan pisteen Q projektiota x-akselille tai y-akselille, nähdään että kumpikin projektio tekee edestakaista harmonista liikettä. Pisteen Q projektio x-akselille on x(t) = r cos (ωt) = A cos (ωt). (2) Vektorin r pituus on siis systeemin värähtelyn amplitudi, r = A.

9 Kun harmonisen värähtelijän paikka ajan funktiona tiedetään (yhtälö (1)), niin armonisen värähtelijän nopeus ja kiihtyvyys saadaan tästä yhtälöstä ajan suhteen derivoimalla. v(t) = ẋ(t) = dx dt = ωa sin (ωt + φ) 9 a(t) = ẍ(t) = dv dt = d2 x dt 2 = ω2 A cos (ωt + φ) = ω 2 x(t) Harmonisen värähtelijän energia vaihtelee kineettisen energian ja potentiaalienergian välillä. Kun kappale on tasapainoaseman kohdalla, potentiaalienergia on nolla, ja kineettinen energia on suurimmillaan. Vastaavasti kun kappale on poikkeutettu niin kauaksi kuin se menee (ts. x = A, niin kappale on levossa (ei kineettistä energiaa), ja potentiaalienergia on suurimmillaan.

10 Systeemin kineettinen energia K ajanhetkellä t on K(t) = 1 2 mv2 = 1 2 mω2 A 2 sin 2 (ωt ϕ) = 1 2 ka2 sin 2 (ωt ϕ). Vastaavasti potentiaalienergia U(t) = 1 2 kx2 = 1 2 ka2 cos 2 (ωt ϕ). 0 Systeemin kokonaisenergia voidaan laskea vaikka määrittelemällä mikä on systeemin potentiaalienergia suurimmillaan (kun x = A): E = K + U = 1 2 ka2. Muistetaan vielä että systeemin kokonaisenergia säilyy (vaimentamattoman värähtelyn tapauksessa) kaikilla ajanhetkillä, eli E = 1 2 kx mv2 = 1 2 ka2.

11 1

12 Klassinen esimerkki vaimentamattomasta harmonisesta värähtelijästä on matemaattinen heiluri (Simple pendulum). 2 Heilurin muodostaa massaton, L:n mittainen jäykkä keppi, joka on ylhäältä nivelletty, ja sen päähän on ripustettu kappale jonka massa on m. Nivelen kitkaa tai ilmanvastusta ei tarvitse ottaa huomioon, eli systeemin värähtely ei vaimene. Kun systeemi poikkeutetaan tasapainoasemastaan, on palauttava voima F = mg sin(θ). Jos poikkeama θ on pieni, sin(θ) θ = x L, jolloin palauttava voima on F = mgθ = mg L x

13 3 Liikeyhtälö saadaan siis muotoon F = ma = mg L x Kun tätä verrataan edellä käytyyn harmonisen värähtelijän liikeyhtälöön, huomataan yhteys k = mg L jolloin värähtelijän kulmataajuudeksi saadaan Heilahdusaika on siis ω = k m = g L. T = 2π ω = 2π L g.

14 1.2 Vaimennettu värähtelijä (Damped oscillator) 4 Reaalimaailman systeemeissä on aina mukana voima/ilmiö joka vaimentaa värähtelijää. Edellisen esimerkin tapauksessa se voisi olla vaikka kitka kappaleen ja pinnan välillä. Tapauksessa missä kappale on kiinnitetty jousella kattoon, vaimentava voima voisi olla väliaineen kitka (ilmanvastus). Sähköisen oskillaattorin tapauksessa vaimentava voima olisi resistanssi. Edellä kappaleen liikeyhtäköksi saatiin F = ma = kx. Kun yhtälöön lisätään vaimentava voima (joka on miltei aina verrannollinen kappaleen nopeuteen) F = bv, saadan liikeyhtälöksi F = ma = kx bv.

15 Kun tiedetään että nopeus on paikan ensimmäinen derivaatta ja kiihtyvyys toinen, saadaan yhtälö muotoon m d2 x dt 2 + bdx dt + kx = 0 5 Kyseistä differentiaaliyhtälöä ei käydä kuitenkaan ratkaisemaan tässä. Riittää mainita että jos vaimentava voima on pieni, niin silloin kappaleen paikka ajan funktiona saadaa yhtälöstä x = Ae (b/2m)t cos(ω t + φ), missä ω = k m b2 4m 2.

16 Värähdysliikkeen amplitudi siis pienenee eksponentiaalisesti ajan suhteen A = A 0 e δt, missä δ = b 2m. Värähtely vaimenee sitä nopeammin, mitä suurempi δ on. 6 Vastaavasti vaimennuksen aikavakio τ = 1 δ. τ on se aika, joka värähtelyltä kuluu vaimentua 1 e -osaan alkuperäisestä. Ensi sivun kuva: Vaimenevan värähtelijän paikka ajan funktiona (yhtenäinen viiva), ja amplitudi (katkoviiva). Vaimenevaa amplitudia voidaan ajatella värähdysliikkeen kuvaajan verhokäyränä. Punaisella ja sinisellä on merkitty eri systeemit, toinen suuremmalla ja toinen pienemmällä vaimennuksella.

17 7

18 Monissa tapauksissa värähtelevää systeemiä on syöttämässä voima joka ei ole ajan suhteen vakio, vaan jaksollisen funktion mukaan varioiva. Tälläisessä tapauksessa värähtelijän taajuudeksi muodostuu syöttävän, ajan suhteen varioivan voiman taajuus, eikä systeemin ominaisvärähtelytaajuus. 8 Tälläistä systeemiä kutsutaan pakotetuksi värähtelijäksi (driven oscillator). Mitä lähempänä syöttävän voiman taajuus ja systeemin ominaisvärähtelytaajuus ovat toisiaan, sitä suuremmaksi muodostuu systeemin amplitudi. Tätä ilmiötä kutsutan resonanssiksi (resonance). Hyvänä esimerkkinä keinu jolle annetaan vauhtia. Toisena esimerkkinä voisi mainita vanhan auton josta kuuluu räminää eri puolilta riippuen moottorin kierrosluvusta.