Kvanttimekaniikan tulkinta

Transkriptio

1 Kvanttimekaniikan tulkinta Klassisen ja kvanttimekaniikan tilastolliset formuloinnit 1.1 Klassinen mekaniikka Klassisen mekaniikan systeemin tilaa kuvaavat kappaleiden koordinaatit ja liikemäärät (q 1,..., q n, p 1,..., p n ), lyhyesti (q, p). Mahdollisten tilojen avaruutta (phase space) merkitään kirjaimella P. Tarkoituksena on vertailla kvanttimekaanista ja klassista systeemiä. Tätä varten tarkastellaan klassisen mekaniikan systeemiä, jossa informaatio tilasta ei ole tarkkaa. Tarkan tilan sijasta meillä on käytössämme todennäköisyysjakaumat tilan (q, p) arvoille. Määritellään systeemin status ρ (Experimental status, status) siten, että se on todennäköisyysmitta avaruudessa P. Tässä tapauksessa riittää tietää, että ρ : P [0, ) on mitallinen funktio ja ρ(q, p)dqdp = 1, ρ(e) = ρ(q, p)dqdp, E P. P Tämä mitta määrää todennäköisyydet ja odotusarvot observaabelien arvoille. Tähän päästään määräämällä observaabelin A : P R, (q, p) A(q, p) odotusarvoksi A ρ = A(q, p)ρ(q, p)dqdp. P Todennäköisyys, että observaabelin A(q, p) arvo on reaaliakselin välillä saadaan kaavalla P (A ) = ρ(q, p)dqdp, A 1 ( ) missä A 1 ( ) on välin alkukuva avaruudessa P. Tämä saadaan myös odotusarvon määritelmästä korvaamalla observaabeli A(q, p) karakteristisella funktiolla { 1 A(q, p) χ (A) = 0 A(q, p) /, joten odotusarvon määritelmää voidaan pitää formuloinnin perustana. Tämän lisäksi myös todennäköisyysmitta (eli status) määräytyy yksikäsitteisesti odotusarvon määritelmästä. Tästä syystä formuloinnissa voitaisiin myös lähteä kuvauksesta, joka kuvaa observaabelin A sen vastaavalle odotusarvolle A ρ. Jos ρ 1, ρ 2 ovat statuksia ja w 1, w 2 [0, 1] s.e w 1 + w 2 = 1, niin E ρ = w 1 ρ 1 + w 2 ρ 2 1

2 1 KLASSISEN JA KVANTTIMEKANIIKAN TILASTOLLISET FORMULOINNIT 2 on myös status. Tällaista statusta kutsutaan epäpuhtaaksi statukseksi. Vastaavasti statusta, jota ei voida kirjoittaa tässä muodossa, kutsutaan puhtaaksi statukseksi. Puhtaat statukset ovat tiloja, jotka ovat keskittyneet yksittäisiin pisteisiin. Niitä kuvaavat statukset ρ ovat delta-funktiot. Edellisen ominaisuuden vuoksi mahdolliset statukset muodostavat konveksin joukon todennäköisyysmittojen avaruudessa. Puhtaat tilat ovat tämän konveksin joukon ääripisteitä. Klassisen mekaniikan systeemin aikakehityksen määräävät Hamiltonin yhtälöt dq i dt = H p i, dp i dt = H q i. Tästä syystä systeemin status kehittyy yhtälön ρ t = {H, ρ} mukaan, missä kaarisulut ovat Poissonin sulut {A, B} = n i=1 Tämä johtuu derivoinnin ketjusäännöstä ( A B A ) B. q i p i p i q i t ρ(q(t), p(t)) = i dρ(q, p) dq i (t) + dq i dt i dρ(q, p) dp i (t) dp i dt 1.2 Kvanttimekaniikka Tarkastellaan vastaavasti kvanttimekaanista systeemiä, jonka tila-avaruus P koostuu mahdollisista tiloista ψ 1,..., ψ n. Systeemin tilastollinen operaattori (statistical operator) eli tiheysmatriisi on hermiittinen operaattori ρ : P [0, 1] n ρ = p i ψ i ψ i. i=1 Todennäköisyydet observaabelien arvoille saadaan seuraavasti. Theorem 1. Todennäköisyys, että observaabelin A mittaus antaa arvon α, kun systeemin tiheysmatriisi on ρ on p A (α ρ) = Tr(ρP α ), missä P α on projektio operaattorin A ominaisarvoa α vastaavalle ominaisavaruudelle. Observaabelin A odotusarvo on A ρ = Tr(Aρ)

3 1 KLASSISEN JA KVANTTIMEKANIIKAN TILASTOLLISET FORMULOINNIT 3 Erityisesti valitsemalla A = 1 ja P α = ψ ψ saadaan, että Tr(ρ) = 1 ja 0 p A (α ρ) = Tr(ρP α ) = i φ i ρ ψ ψ φ i = ψ ρ ψ. eli ρ on positiivisesti semidefiniitti. Hermiittiset positiivisesti semidefiniitit operaattorit, joiden jälki on 1 muodostavat konveksin joukon. Tämän joukon ääripisteitä sanotaan puhtaiksi tiloiksi ja muita epäpuhtaiksi tiloiksi. Theorem 2. Tilastollisille operaattoreille pätevät seuraavat. 1. Tilannetta, jossa todennäköisyydellä w 1 tilastollinen operaattori on ρ 1 ja todennäköisyydellä w 2 se on ρ 2 kuvaa tilastollinen operaattori w 1 ρ 1 + w 2 ρ Systeemi on puhtaassa tilassa täsmälleen silloin, kun tilastollinen operaattori on muotoa ρ = ψ ψ. Scrödingerin yhtälöstä ja sen hermiittisestä konjugaatista saadaan, että tilastollisen operaattorin aikakäyttäytymistä kuvaa yhtälö i ρ t = i p i {(i d dt ψ i ) ψ i + ψ i ( i d dt ψ i )} = i p i {H ψ i ψ i + ψ i ( ψ i H)} = [H, ρ] missä [, ] on kommutaattori. Tästä saadaan, että ajanhetkellä t tilastollinen operaattori on ρ(t) = e iht/ ρ(0)e iht/. Kvanttimekaaniikan ominaisuudella, jonka mukaan mittaus vaikuttaa systeemin tilaan, ei ole vastinetta klassisen mekaniikan puolella. Klassisessa mekaniikassa voidaan ajatella, että mittaus vaikuttaa tietoomme systeemin tilasta, mutta varsinainen tila ei muutu. Toisaalta kvanttimekaniikassa tilastollinen operaattori muuttuu postulaattien mukaan seuraavasti: Theorem 3. Jos tilastollinen operaattori on ρ juuri ennen observaabelin A mittausta, niin heti mittauksen jälkeen tilastollinen operaattori on ρ = α σ(a) P α ρp α, missä σ(a) on operaattorin A spektri (ominaisarvojen joukko) ja P α on projektio ominaisarvoa α vastaavalle ominaisavaruudelle.

4 1 KLASSISEN JA KVANTTIMEKANIIKAN TILASTOLLISET FORMULOINNIT 4 Todistus. Tarkastellaan ensin tilannetta, jossa systeemi on aluksi puhtaassa tilassa ψ, jolloin tilastollinen operaattori on ρ = ψ ψ. Postulaattien II ja III mukaan mittauksen jälkeen se on ominaistilassa P α ψ todennäköisyydellä ψ P α ψ. Normalisoiduksi tilavektoriksi saadaan ψ α = P α ψ ψ P α ψ josta seuraa, että tilastollinen operaattori heti mittauksen jälkeen saadaan kaavalla ρ = α ψ P α ψ ψ α ψ α = α P α ψ ψ P α Yleisessä tapauksessa tilastollinen operaattori on ρ = i p i ψ i ψ i. Todennäköisyydellä p i on tilastollinen operaattori mittauksen jälkeen ρ i = α P α ψ i ψ i P α, joten koko tilastollinen operaattori on ρ = i p i ρ i = α P α ρp α. Edellisistä tuloksista nähdään, että tilastollinen operaattori määrää mittausten tulosten todennäköisyydet. Se kuitenkaan ei määrää systeemin tilaa. Tarkasteellaan esimerkiksi tapausta, jossa tila-avaruus on n-ulotteinen ja ψ 1,..., ψ n on ortonormaali joukko tiloja. Jos tilat ovat yhtä todennäköisiä, saadaan tilastolliseksi operaattoriksi ρ = 1 ψ i ψ i = 1 n i n 1. Toisaalta sama tilastollinen operaattori saadaan millä tahansa ortonormaalilla joukolla tiloja Yhdistetyt systeemit Tarkastellaan osasysteemejä S ja T tila-avaruudessa S T, missä merkitsee tensorituloa. Tilastollinen operaattori on hermiittinen ja positiivisesti semidefiniitti operaattori tässä avaruudessa. Jos { φ i } on täysi joukko ortonormaaleja tiloja avaruudessa S ja { ψ i } avaruudessa T, saadaan avaruuden operaattorin Ω jälki kaavalla Tr(Ω) = ψ j φ i Ω φ i ψ j, i,j missä φ i ψ j ovat yhdistetyn systeemin tiloja siten, että kiinteällä φ tilat φ ψ edustavat osasysteemin T tiloja ja päinvastoin.

5 2 MITTAAMISEN KVANTTITEORIA 5 Olkoon A systeemin T observaabeli. Tätä vastaa yhdistetyn systeemin observaabeli 1 A avaruudessa S T. Käyttämällä tensoritulon ominaisuuksia, saadaan observaabelin A odotusarvoksi A = Tr[ρ(1 A)] = ψ j φ i ρ(1 A) φ i ψ j = ψ j φ i ρ φ i A ψ j i,j i,j = j ψ j Tr S (ρ)a ψ j = Tr T (Tr S (ρ)a), missä operaattori Tr S avaruudessa S on osittainen jälki, joka määritellään siten, että Tr S (ρ) ψ = i φ i ρ ( φ i ψ ). Tässä φ tulkitaan operaattoriksi φ : χ ψ φ χ ψ. 2 Mittaamisen kvanttiteoria Suurin ero klassisen mekaniikan ja kvanttimekaniikan systeemien välillä on mittauksen vaikutus systeemin tilaan. Myös klassisessa mekaniikassa mittaus välttämättäkin muuttaa systeemin tilaa, koska mittaukseen sisältyy aina vuorovaikutus systeemin ja mittausjärjestelmän välillä. Kvanttimekaniikassa tämä systeemin tilaan vaikuttaminen on kuitenkin erilaista. Kvanttimekaanisen systeemin tilaa kuvaa postulaattien mukaan kaksi lakia. Systeemin, jonka tilaa ei häiritä mittauksilla, tilan aikakehitystä kuvaa täydellisesti Schrödingerin yhtälö. Toisaalta, kun systeemiä mitataan, tulee käyttöön projektiopostulaatti, joka kuvaa systeemin tilan ennustamattomissa olevaa muutosta todennäköisyyksien avulla. Selviä ongelmia tässä ovat ainakin se, miten järjestelmät pitäiis jakaa kvanttimekaanisiin ja klassisen mekaniikan järjestelmiin ja se, miten mittausprosessi pitäisi määritellä erotuksena muista mahdollisista systeemiin kohdistuvista prosesseista? Ensimmäiseen kysymykseen ei auta tavallinen argumentti siitä, että mikroskooppiset järjestelmät noudattaisivat kvanttimekaniikan lakeja ja makroskooppiset klassisen mekaniikan. Koostuisivathan tällöin kaikki klassisen mekaniikan järjestelmät kvanttimekaanisista osista. Tarkastellaan seuraavassa esimerkkinä mittausjärjestelyä. Tämän esimerkin tarkoituksena on osoittaa, että vaikka rajanveto on välttämätön, ei itse rajan paikka ole yhtä oleellinen. Olkoon S kvanttimekaanisen objektin tila-avaruus ja A koelaitteen (apparatus) tilaavaruus. Tarkastellaan näiden kahden systeemin yhteisen tilan kehittymistä avaruudessa S A. Olkoot ψ 1, ψ 2 S kaksi objektin ominaistilaa, jotka tuottavat eri koetulokset. Näiden koetulosten täytyy jättää koelaitteen tilaksi erilliset tilat α 1 ja α 2, vastaavasti. Olkoon koelaite aluksi tilassa α 0. Koetilanteessa objekti ja koelaite vuorovaikuttavat siten, että jos objektin tila oli ennen koetta ψ i, on koelaitteen tila kokeen jälkeen α i. Siis kokeen aikana systeemien yhteinen

6 2 MITTAAMISEN KVANTTITEORIA 6 Hamiltonin operaattori toteuttaa e ihτ/ ( ψ 1 α 0 ) = e iθ 1 ψ 1 α 1 e ihτ/ ( ψ 2 α 0 ) = e iθ 2 ψ 2 α 2, missä τ on kokeen kesto ja θ i ovat mahdollisia vaihe-eroja. Jos ennen koetta objekti on tilassa ψ 0 = c 1 ψ 1 + c 2 ψ 2 niin kokeen jälkeen objektin ja koelaitteen yhteinen tila on e ihτ/ ( ψ 0 α 0 ) = e ihτ/ (c 1 ψ 1 α 0 + c 2 ψ 2 α 0 ) = e iθ 1 c 1 ψ 1 α 1 + e iθ 2 c 2 ψ 2 α 2 Postulaatin II mukaan tämä tarkoittaa sitä, että kokeen tulos on α 1 todennäköisyydellä c 1 2 ja α 2 todennäköisyydellä c 2 2. Projektiopostulaatin mukaan pätee, että jos koetulos on α 1, niin objektin ja koelaitteen yhteinen tila kokeen jälkeen on ψ 1 α 1, joten objektin tila on ψ 1. Tämä esimerkki näyttää, että on sama, käytetäänkö projektiopostulaattia objektin ja koelaitteiston yhdistettyyn systeemiin, vai pelkkään objektiin. Kuitenkin juuri projektiopostulaatin käyttö oli systeemin tilan tulkinnan kannalta välttämätöntä.