Differentiaali- ja integraalilaskenta 2 TFM Laskuharjoitus 2L

Transkriptio

1 Differentiaali- ja integraalilaskenta 2 TFM Laskuharjoitus 2L Tehtävät 1-3 ovat kotitehtäviä, jotka on tarkoitus laskea ennen loppuviikon harjoitusta. Tehtävät 4-6 palautetaan kirjallisena A4-paperilla seuraavaan tiistaihin klo mennessä huonetta Y192 vastapäätä olevaan lokerikkoon. Niittaa kaikki paperit yhteen. Laskutuvassa on nitoja! Aihepiiri: Raja-arvot etc. Noppa-monisteet, Adams & Essex, 8th Edition, Chapter 12 Tehtävä 1: a) Päättele funktion f(x, y) =, (x, y) (0, 0), x + y mahdollinen raja-arvo origossa tutkimalla sen käyttäytymistä suorilla y = kx. b) Osoita (epäyhtälöiden tai napakoordinaattien avulla), että a-kohdassa saatu luku on funktion raja-arvo origossa. a) f(x, kx) = kx 2 x + kx = k x 0, 1 + k kun x 0. Raja-arvo on siis 0, jos raja-arvo on olemassa. b) Käytetään edellisen kohdan tulosta hyödyksi ja tarkastellaan funktion ja mahdollisen raja-arvon (= 0) erotuksen itseisarvoa: x + y 0 = x y x + y = kun y 0. "Suppiloperiaatetta"käyttämällä seuraa, että lim (x,y) 0 x y y 0, x + y x + y = 0. Epäyhtälön muodostamisessa käytettiin hyväksi tietoa, että Toinen vaihtoehto on käyttää napakoordinaatteja: { x = r cos ϕ y = r sin ϕ x x + y 1. (x, y) 0 r

2 f(r cos ϕ, r sin ϕ) = Tässä cos ϕ sin ϕ cos ϕ + sin ϕ jolloin r 2 cos ϕ sin ϕ r cos ϕ + r sin ϕ = cos ϕ sin ϕ cos ϕ + sin ϕ r. cos ϕ sin ϕ 1 cos ϕ + sin ϕ lim f(r cos ϕ, r sin ϕ) = 0. r 0 + Tehtävä 2: Laske seuraavien funktioiden kaikki (ensimmäisen kertaluvun) osittaisderivaatat kohdassa (x, y) = (1, 0): f(x, y) = x 3 y y 3 x, g(x, y) = y sin( 2 ), h(x, y) = x 2y 3x + 4y. f x = 3x 2 y y 3 = 0, f y = x 3 3y 2 x = 1 g x = y 2 cos( 2 ) = 0, g y = sin( 2 ) + 2y 2 x cos( 2 ) = 0 10y h x = (3x + 4y) = 0, h 2 y = 10x (3x + 4y) = Tehtävä 3: Laske tarvittavat osittaisderivaatat ja osoita, että annettu funktio toteuttaa vastaavan osittaisdifferentiaaliyhtälön: a) u(x, y) = 3x 2 3y 2 10, u = 0. u xx = 6, u yy = 6 u = 6 6 = 0. b) u(x, t) = sin(x 3t) + cos(x + 3t), aaltoyhtälö u tt 9u xx = 0. u tt = 9 sin(x 3t) 9 cos(x + 3t), u xx = sin(x 3t) cos(x + 3t) u tt 9u xx = 9 sin(x 3t) 9 cos(x + 3t) + 9 sin(x 3t) + 9 cos(x + 3t) = 0. c) u(x, y) = Re(x+iy) 3 = x 3 3 2, v(x, y) = Im(x+iy) 3 = 3x 2 y y 3, Cauchy-Riemannyhtälöt: u x = v y, u y = v x. u x = 3x 2 3y 2 u y = 6 v x = 6 v y = 3x 2 3y 2 u x = v y u y = v x. 2

3 Tehtävä 4: (Jatkoa tehtävään 1) a) Määrittele f(0, 0) tehtävän 1 b-kohdan perusteella niin, että tuloksena on koko tasossa jatkuva funktio. Osoita erotusosamäärän avulla, että osittaisderivaatta f x (0, 0) on olemassa. Laske siis 1- ulotteinen raja-arvo lim h 0 f(0 + h, 0) f(0, 0). h Tästä seuraa, että f x on määritelty koko tasossa R 2. b) Osoita, että f x on epäjatkuva origossa (0, 0). a) Määritellään f seuraavasti: f(x, y) = Lasketaan sitten erotusosamäärä: f(0 + h, 0) f(0, 0) lim h 0 h {, x + y (x, y) (0, 0) 0, (x, y) = (0, 0). = lim h h +0 h b) Tarkastellaan tapausta x > 0, y > 0 ja (x, y) (0, 0), jolloin voidaan jättää alkuperäisen funktion itseisarvomerkinnät huomioimatta. Tarkastellaan lausekkeen f x = y2 raja-arvoa (x+y) 2 suoralla y = kx: f x (x, kx) = = 0. (kx)2 (x + kx) = (kx) 2 2 x 2 + 2kx 2 + (kx) = k k + k k k + k 0, 2 kun x 0 ja k 0. Funktion on jatkuva jossakin pisteessä, jos ja vain jos sen raja-arvo on ko. pisteessä sama kuin funktion arvo. A-kohdan perusteella funktion f x arvo origossa on 0, tulisi raja-arvon olla myös 0, mikä on ristiriidassa saadun raja-arvon kanssa. Funktio ei siis ole jatkuva origossa. Tehtävä 5: (Kertausta differentiaaliyhtälöistä) Laplace-yhtälön u = 0 radiaalinen eli säteittäinen muoto n-ulotteisessa avaruudessa on Määritä kaikki radiaaliset ratkaisut f(r), kun a) n = 3 b) n = 2. f (r) + n 1 f (r) = 0. r 3

4 a) f (r) + 2 r f (r) = 0 r 2 f (r) + 2rf (r) = 0. Yrite: Sijoitetaan: f(r) = r λ f (r) = λr λ 1, f (r) = λ(λ 1)r λ 2. Saadaan tulos: λ(λ 1)r λ + 2λr λ = 0 r > 0 λ(λ 1 + 2) = 0 λ = 0 tai λ = 1. f(r) = C 1 r 0 + C 2 r 1. Tulos tunnetaan esimerkiksi myös Coulombin elektrostaattisena tai Newtonin gravitaatiopotentiaalina. b) A-kohdassa käytetyllä menetelmällä saadaan tulokseksi kaksoisjuuri λ = 0. Tehdään siis sen sijaan muuttujanvaihto:v(r) = f (r), v (r) = f (r). Ensimmäinen menetelmä: separointi. v (r) + 1 v(r) = 0. r dv v = dr r ln v = ln r + C) = ln(1/r) + C v = e C e ln(1/r) = e C 1 r v(r) = ±e C 1 r = C 2 r f(r) = v(r)dr = C 1 + C 2 ln r. Toinen menetelmä: hyödynnetään differentiaaliyhtälön lineaarisuutta. rv (r) + v(r) = 0 d ( ) rv(r) = 0 dr rv(r) = C 2 v(r) = C 2 r f(r) = v(r)dr = C 1 + C 2 ln r. 4

5 Tehtävä 6: (Kertausta integroinnista. Vrt. Adams & Essex s. 669) Tarkastellaan ylösalaisin käännetyn sykloidin muotoista rautalankaa, jonka parametrisointi on muotoa x = R(u sin u), y = R(cos u 1), 0 u 2π, R > 0 vakio. Lankaan on pujotettu helmi, joka liukuu kitkatta. Täydennä seuraavat välivaiheet, joiden avulla osoitetaan: Jos helmi päästetään liikkeelle kohdasta (x(u 0 ), y(u 0 )), niin siltä kuluu alkukohdasta riippumatta aina saman verran aikaa liukua alimpaan kohtaan (x(π), y(π)) = (π, 2R). Seuraus: Jos helmi pääsee vapaasti heilahtelemaan langassa edestakaisin, niin sen jaksonaika ei riipu "amplitudista". Tämän vuoksi käyrää kutsutaan tautokroniksi ("sama aika"); kts. animaatio sivulta Huom. 1: Wikipediassa on "lähes sata"erilaista ratkaisua, muttei alla olevaa! Huom. 2: Fysikaalisia välivaiheita ei tarvitse liikaa miettiä, mutta huomaa, että käyräparametri u ei ole sama kuin aika t. { x = u sin u Ensinnäkin nopeudelle saadaan: Koska nopeus on paikan aikaderivaatta: y = cos u 1 0 u 2π 1 2 mv2 = mgh = mg(y(u 0 ) y(u)) v = 2g(y(u 0 ) y(u)) = 2g(cos u 0 cos u). v(u) = ds dt dt = ds v(u) = r (u) du v(u) = 2(1 cos u) 2g(cos u0 cos u) du, missä r (u) on paikkavektorin derivaatta eli tangenttivektori. Tästä saadaan ajalle T = 1 π 1 cos u g cos u0 cos u du u 0 1 cos u = 2 sin 2 (u/2) cos u 0 cos u = 2 cos 2 (u 0 /2) 1 (2 cos 2 (u/2) 1) = 2(cos 2 (u 0 /2) cos 2 (u/2)). π 1 cos u π cos u0 cos u du = sin(u/2) cos2 (u 0 /2) cos 2 (u/2) du. u 0 Tehdään tähän muuttujanvaihto: u 0 x = cos(u/2) cos(u 0 /2) dx = 1 sin(u/2) 2 u = u 0 x = 1 u = π x = 0, cos(u 0 /2) du 5

6 jolloin Näin ollen mikä ei riipu lähtöarvosta u 0. Väite seuraa. 1 dx = 2 = 2 arcsin x 1 = 2(π/2 0) = π. 0 1 x 2 0 T = π/ g, 6