Klassisen mekaniikan muotoilu symplektisen geometrian avulla
|
|
- Mika Heikkilä
- 6 vuotta sitten
- Katselukertoja:
Transkriptio
1 Klassisen mekaniikan muotoilu symplektisen geometrian avulla Ville Kivioja 21. kesäkuuta 2017 Tämän lyhyen artikkelin tarkoituksena on muotoilla klassinen mekaniikka mahdollisimman yleisesti ja käyttäen mahdollisimman selkeitä geometrisia käsitteitä. Sisältö 1 Aksiomatisointi Lagrangen funktion avulla 1 2 Faasiavaruus ja Legendren muunnos 2 3 Symplektistä geometriaa yleisesti Kotangenttikimpun symplektinen rakenne Symplektinen rakenne mekaniikassa 5 Merkintöjä T p M on moniston M tangenttiavaruus pisteessä p M. Sen duaaliavaruus on T p M. Tensoria W pisteessä p M merkitään W p, ja tämän lineaarikuvauksen argumentit merkitään sulkuihin, esim W p (X, Y ). Monistojen välisen kuvauksen F : M N differentiaalia pisteessä p M merkitään df p. Moniston M kaikkien vektorikenttien joukko on Vec(M) ja kaikkien kovektorien joukko Λ 1 M. 1 Aksiomatisointi Lagrangen funktion avulla Klassisessa mekaniikassa fysikaalisen systeemin määrittää täysin systeemin konfiguraatioavaruus ja Lagrangen funktio seuraavassa esiteltävän aksiooman mukaisesti. Konfiguraatioavaruus on (differentioituva 1 ) monisto Q, jonka ulottuvuus n on systeemin vapausasteiden lukumäärä ja jota lokaalisti parametrisoi systeemin yleistetyt koordinaatit q 1,..., q n. Kukin konfiguraatioavaruuden piste on siis fysikaalisen systeemin asento, otos, jossa kaikki systeemin vapausasteet on kiinnitetty 2. Konfiguraatioavaruus ei sisällä tietoa systeemin liiketilasta, kuten hiukkasten nopeuksista tai 1 Otetaan käytäntö, että kaikki monistot ovat differentioituvia ja kaikki funktiot sileitä (eli koordinaattiesityksissään mielivaltaisen monta kertaa differentioituvia) ilman että sitä erikseen joka kerta mainitaan. 2 Esimerkiksi jos fysikaalinen systeemi on varattu vierivä kuulaa tasossa, niin systeemin vapausasteiksi voidaan ottaa koordinaatit q 1,..., q 5 siten, että (q 1, q 2) R 2 antavat kuulan kosketuspisteen tason kanssa, ja (q 3, q 4, q 5) SO(3) määrittävät kuulan asennon. Tässä hivenen epäkorrekti merkintä (q 3, q 4, q 5) SO(3) tarkoittaa lokaaleja koordinaatteja. Huomaa, että kuulaan on merkittävä vähintään 2 (ei-antipodaalista) pistettä, jotta sen asento voidaan määrittää. 1
2 pyörimismääristä. Lagrangen funktio on mielivaltainen funktio L: T Q R, missä T Q merkitsee moniston Q tangenttikimppua 3. Fysikaalinen systeemi on pari (Q, L). Aksiooma Fysikaalisen systeemin aikakehitys tilasta q A Q tilaan q L Q tapahtuu sellaista käyrää ˆσ : [0, 1] Q pitkin, joka toteuttaa seuraavaa: Jos C on kaikkien niiden käyrien σ : [0, 1] Q joukko, joille σ(0) = q A ja σ(1) = q L, niin aktiofunktio S : C R S(σ) = 1 0 L(σ(t), σ(t)) dt saa stationaarisen arvon käyrällä ˆσ. Käyrää ˆσ sanotaan tällöin luonnolliseksi liikkeeksi. Tämän aksiooman seurauksena annetun fysikaalisen systeemin (Q, L) dynamiikka tunnetaan täydellisesti. Todellakin, olkoon fysikaalinen systeemi tilassa q ja olkoon kiinnitetty alkuehtovektori v T q Q, joka sisältää siis informaation systeemin liiketilasta ensimmäisessä kertaluvussa. Aikakehityksen tilasta q lähtien on tapahduttava sellaista käyrää σ pitkin, että kaikille t vastaava aktiofunktio S t, jonka lähtöjoukkoina ovat käyrät α, joille α(0) = q ja α(t) = σ(t), saa stationaarisen arvon käyrällä σ. Siten yllä olevan aksiooman nojalla käyrän σ tulee toteuttaa lokaaleissa koordinaateissa nk. Euler Lagrange-yhtälöt 4 L σ(t), d ( L ) σ(t), = 0 1 i n (1) q i σ(t) dt q i σ(t) kaikille riittävän pienille t, missä Lagrangen funktio L on identifioitu koordinaattiesityksensä kanssa. Tämä on aina toisen kertaluvun tavallisten differentiaaliyhtälöiden järjestelmä 5 käyrälle σ ja siten alkuehdot σ(0) = q ja σ (0) = v määräävät yksikäsitteisen ratkaisun 6. 2 Faasiavaruus ja Legendren muunnos Fysikaalisen systeemin (Q, L) faasiavaruus on Q:n kotangenttikimppu T Q. Lagrangen funktion tyypillinen muoto on L = T U, missä T, U : T Q R ovat funktiota, joista T tulee ei-degeneroituneesta ( 0 2) -tensorikentästä A siten, että T (q, v) = 1 2 A q(v, v) ja U riippuu vain konfiguraatioavaruuden pisteestä U(q, v) = 3 Muista, että tangenttikimppu on joukkona T Q = q Q {q} TqQ. Sen topologia määräytyy epätriviaalilla tavalla alkuperäisen moniston topologiasta. 4 Välivaiheet siihen, miten yllä esitetystä aksioomasta täsmälleen ottaen saadaan Euler Lagrangen yhtälöt, on tehty kunnolla esimerkiksi kirjassa Classical Mechanics and Dynamical Systems, Martin Scholtz, s Huomaa, että käyrien avaruutta voidaan pitää vektoriavaruutena jos halutaan ratkaista ongelma vain lokaalisti, sillä silloin käyrät ovat avaruuden R 2n käyriä (tämä samaistus on tietenkin epäkanoninen). Euler Lagrange yhtälöt ovat joka tapauksessa vain lokaalit. 5 Lagrangen funktio riippuu vain käyrästä ja sen derivaatasta, ja samoin on silloin myös sen osittaisderivaattojen laita. Jälkimmäinen termi Euler Lagrangen yhtälöissä tuottaa korkeintaan toisen kertaluvun aikaderivaattoja käyrästä. 6 Tämä ratkaisu on yksikäsitteinen ja olemassa kaikille t, mutta differentiaaliyhtälö sinänsä on mielekäs vain jossakin ympäristössä, ja saatu ratkaisu on siis lopulta vain lokaali. 2
3 U(q). Esimerkiksi jos konfiguraatioavaruus koostuu vapaasta pistehiukkasesta 2- ulotteisessa avaruudessa (massaltaan m) ja 1-ulotteisesta hyrrästä (hitausmomentilla J), niin sen knofiguraatioavaruus on Q = R 2 S 1. Tällöin luonnollisissa koordinaateissa yleinen vektori on muotoa v = (v x, v y, ω) R 3 ja liike-energia on T (q, v) = 1 2 m(v2 x + v 2 y) Jω2 Siispä tensori A pitää määritellä siten, että A q (v, w) = A q ((v x, v y, ω), (w x, w y, µ)) = m(v x w x + v y w y ) + Jωµ Jotta voidaan muodostaa systeemin Hamiltonin funktio, on Lagrangen funktion oltava yllä kuvattua muotoa, joten oletetaan tämä vastedes 7. Tässä tapauksessa liike-energiafunktio T määrää vektorien ja kovektorien identifikaation missä v T q Q identifioidaan kovektoriin A q (v, ). Ei-degeneroituneisuuden vuoksi tämä kuvaus T q Q T q Q on kääntyvä kaikille q ja määrää siten kääntyvän kuvauksen τ : T Q T Q. Yleisesti, kun tangenttikimpun ja kotangenttikimpun välillä on kääntyvä kuvaus, voidaan määritellä sitä vastaava Legendren muunnos: kuvausta τ : T Q T Q vastaava Legendren muunnos on muunnos, joka liittää kuhunkin tangenttikimpun funktioon f : T Q R kotangenttikimpun funktion L(f): T Q R L(f)(α) = α(τ 1 (α)) f(τ 1 (α)) Fysikaalisen systeemin Hamiltonin funktio on systeemin Lagrangen funktion Legendren muunnos liike-energiafunktion antaman identifikaatiokuvauksen suhteen. Laskuesimerkki 1. Lasketaan yllä mainitun systeemin Hamiltonin funktio koordinaateissa. Siis (q, p) = α T Q ja τ 1 (α) = (q, v) siten, että α = τ(q, v) = A q (v, ), eli kaikille w T q Q pätee α(w) = A q (v, w). Siten α(τ 1 (α)) = A q (v, v) eli H(q, p) = H(α) = A q (v, v) L(q, v) = m(v 2 x + v 2 y) + Jω 2 L(q, v) = i p i v i L(q, v) sillä systeemin liikemäärämuuttuja on p = (mv x, mv y, Jω). Tämä viimeinen väite ei ehkä ole välitön suoraan edeltä, mutta jos α = p i dq i moniston koordinaateissa ja v = v x 1 + v y 2 + ω 3, niin m(v 2 x + v 2 y) + Jω 2 = A q (v, v) = α(v) = p 1 v x + p 2 v y + p 3 ω Tämäkään nyt ei ollut varsinainen todistus, mutta yhteensopivuus väitteen kanssa on ilmeistä. 7 Fysiikan kirjallisuudesta saa vaikutelman, että Hamiltonin funktion muodostaminen onnistuu ehkä yleisemmässäkin tapauksessa, mutta vain tämän (melko yleisen) erikoistapauksen logiikka on minulle selvä. 3
4 3 Symplektistä geometriaa yleisesti Pari (M, ω) on sympletinen monisto, jos M on 2n-ulotteinen differentioituva monisto ja ω on suljettu ja ei-degeneroitunut 2-muoto. Suljettu merkitsee, että dω = 0. Eidegeneroivuus taas tarkoittaa, että kaikille p M kuvaus T p M T p M, v ω(v, ) on kääntyvä 8. Symplektisellä monistolla (M, ω) voidaan jokaiseen funktioon f : M R luonnollisella tavalla liittää vektorikenttä v f. Tämä v f, nimeltään funktion f symplektinen gradientti on se vektorikenttä, jonka symplektinen muoto liittää kovektorikenttään df. Toisin sanoen, jos määritellään ξ : Vec(M) Λ 1 (M), ξ(v) = ω(v, ), niin ξ on kääntyvä ja v f = ξ 1 (df). Edelleen ω(v f, w) = df(w) kaikille w Vec(M). Jos (M, ω) ja (N, η) ovat symplektisiä monistoja, niin diffeomorfismi F : M N on symplektomorfismi, jos F η = ω pätee 9. Seurauksena, jos symplektisen moniston (M, ω) 2-ulotteisille aliavaruuksille määritellään pinta-alat asettamalla ala(s) := S ω, niin symplektomorfismit F : (M, ω) (M, ω) säilyttävät tämän pinta-alan käsitteen, siis ala(s) = ala(f (S)). Poimitaan tähän kaksi matemaattista faktaa, joiden fysikaaliset seuraukset mainitaan seuraavassa luvussa: Fakta 3.1. Jos vektorikenttä v on jonkun funktion f : M R symplektinen gradientti, niin vektorikentän v flow on symplektomorfismi 10. Fakta 3.2. Olkoon v f funktion f symplektinen gradientti. Tällöin f on vakio v f :n flow-käyriä pitkin Kotangenttikimpun symplektinen rakenne Olkoon N monisto. Tällöin kotangenttikimpulla T N on luonnollinen rakenne symplektisenä monistona: kanoninen symplektinen muoto kotangenttikimpulla T N on ω := dγ, missä γ on symplektinen potentiaali (toiselta nimeltään tautologinen 1- muoto). Symplektinen potentiaali määritellään seuraavasti: Olkoon π : T N N kanoninen projektiokuvaus (q, p) q. Jos m T N, niin määritellään γ m = m dπ. Huomaa, että jos v T m (T N), niin dπ m (v) T π(m) N, joten tämä on järkevää. Darboux n lauseen mukaan kotangenttikimpulla on minkä tahansa pisteen ympäristössä 8 Siispä vektorien ja kovektorien välillä on identifikaatio, vrt. metriseen tensoriin Riemannin geometriassa. Myös edellä Legendren muunnosta varten tarvittiin tällainen identifikaatio, mutta identifikaation antoi hyvin erilainen tensorikenttä kuin tässä käsiteltävä symplektinen muoto ω, eikä edellä esiintynyt konfiguraatioavaruus Q ole symplektinen monisto, vaan sen kotangenttikimppu on, kuten tullaan toteamaan. 9 F on kuvauksen F pull-back-operaattori, joka määritellään niin, että (F η)(v, w) = η(df v, df w). Se siis yksinkertaisesti siirtää symplektisen muodon η monistolta N monistolle M käyttäen diffeomorfismia F. Vielä toisin sanoen, diffeomorfismin F myötä M ja N ovat samaistettavissa, joten moniston N symplektistä muotoa voidaan käyttää monistolla M. 10 Yleisesti, vektorikentän X Vec(M) flow on kuvaus Φ: [0, 1] M M siten, että kiinnitetylle p käyrän σ(t) = Φ(t, p) derivaatta yhtyy kaikissa pisteissä vektorikenttään X. 11 Tavallisen gradientin suuntaan funktio kasvaa kaikkein nopeimmin, symplektisen gradientin suuntaan ei lainkaan, joten nämä ovat hyvin eri käsitteet. 4
5 olemassa lokaalit koordinaatit (q i, p i ) siten, että saadaan kaavat γ = p i dq i ja ω = dq i dp i (2) 4 Symplektinen rakenne mekaniikassa Olkoon vastedes ω kanoninen symplektinen muoto faasiavaruudessa T Q. Hamiltonin flow on flow Hamiltonin funktiota H : T Q R vastaavalle vektorikentälle v H, t.s. se on Hamiltonin funktion symplektisen gradientin flow. Faktan 3.2 nojalla Hamiltonin funktio on vakio Hamiltonin flow-käyriä pitkin. Fakta 4.1. Hamiltonin flow-käyrien projektiot konfiguraatioavaruuteen Q ovat luonnollisia liikkeitä. Todistus. Laskuesimerkissä 2 nähdään, että Hamiltonin flow-käyrät toteuttavat koordinaateissa Hamiltonin yhtälöt (alla). Todistus sille, että Hamiltonin yhtälöt ovat ekvivalentit Euler Lagrangen-yhtälöihin (1) löytyy mistä tahansa klassisen mekaniikan kirjasta. Fysikaalisesti sanoen siis jokaiseen faasiavaruuden pisteeseen liittyy Hamiltonin funktion määräämä vektori v H, joka määrää täysin miten systeemin vapausasteet ja vastaavat yleistetyt liikemäärät kehittyvät ajassa 12. Algebrallisesti tämä voidaan tarkistaa huomaamalla (tämä tehdään lopuksi), että jos lokaaleissa koordinaateissa σ(t) = (q 1 (t),..., q n (t), p 1 (t),..., p n (t)) on Hamiltonin flow-käyrä, niin Hamiltonin yhtälöt 13 toteutuvat. ṗ i = q i ja q i = p i Fakta 4.2. (Seuraus Faktoista 3.1 ja 4.1) Joukon 14 S T Q pinta-ala säilyy luonnollisen liikkeen seurauksena. 12 Aikakehitys on lokaali siinä mielessä, että systeemi voi äärellisessä ajassa lakata olemasta. Esimerkiksi edellisen esimerkin pallot voivat sijaita äärellisen kokoisella pyödällä, jolloin esimerkiksi olisi q 1, q 2, q 5, q 6 ]0, 1[. Kuitenkin taas siinä mielessä aikakehitys voidaan päätellä globaalisti, että systeemin koko olemassoloaika tunnetaan täysin. 13 Muista Hamiltonin yhtälöiden fysikaaliset roolit: Jos H = p2 + V (q), niin ensimmäinen yhtälöistä antaa Newtonin toisen lain ṗ = V (huomaa miten liikemäärän muutosnopeus riippuu 2m q vain paikkakoordinaatista, ei lainkaan liikemäärästä) ja toinen nopeuden ja liikemäärän yhteyden ẋ = p/m. 14 Fysikaalisesti S on joukko konfiguraatioavaruuden pisteitä ja vastaavia liikemääriä. 5
6 Laskuesimerkki 2. Seuraavassa käydään läpi algebrallinen harjoitus siitä, miten Hamiltonin yhtälöt (4) seuraavat Hamiltonin flow n määritelmästä. Merkitään Hamiltonin flow-käyrän koordinaatteja σ(t) = (q 1 (t),..., q n (t), p 1 (t),..., p n (t)) =: (X 1,..., X 2n ) Aiemmin todetun nojalla Hamiltonin symplektinen gradientti v H toteuttaa dh(w) = ω(v H, w) kaikille w Vec(M). Nyt (v H ) σ(t) = σ(t) jolloin koordinaateissa X j w j = ω ij σ i w j w j X j = ω ij σ i (3) Lausekkeen (2) perusteella symplektisen muodon ω koordinaatit ovat ] 2n [ω ij ] 2n i,j=1 = [ω( i, j )] 2n i,j=1 = (dq k dp k )( i, j ) = dq k ( i )dp k ( j ) dq k ( j )dp k ( i ) Tämä on neljästä blokista koostuva matriisi, jonka blokit ovat [ω ij ] n i,j=1 = dq k ( i )dp k ( j ) dq k ( j )dp k ( i ) ja vastaavasti [ω ij ] 2n i,j=n+1 = 0 n. Antidiagonaaliset blokit ovat [ω ij ] (n,2n) (i,j)=(1,n+1) = dq k ( i )dp k ( j ) dq k ( j )dp k ( i ) = dq k ( i )dp k ( j ) ] (n,2n) (i,j)=(1,n+1) i,j=1 ] 2n ] n i,j=1 i,j=1 = 0 n ] (n,2n) (i,j)=(1,n+1) = [dp i ( j )] (n,2n) (i,j)=(1,n+1) = [ δ (i+n,j) ] (n,2n) (i,j)=(1,n+1) = I n sekä vastaavasti (tai antisymmetrian nojalla) [ω ij ] (n,2n) (i,j)=(1,n+1) = I n. Kokonaisuudessaan siis [ ] [ω ij ] (n,2n) (i,j)=(1,n+1) = 0n I n I n 0 n Nyt on suoraviivaista tarkistaa, että yhtälöt (4) ja yhtälöt (3) ovat ekvivalentit. Esimerkiksi, kun j n, niin kuten piti. X j = 2 ω ij σ i q j = ω (i+n),j ṗ i = ( I n ) ij ṗ i = ṗ j 6
7 Selvitettäviä asioita i) Mitä täsmälleen tarkoittaa, että aktiofunktio saa stationaarisen arvon. Mitä tarkoittaa funktionaaliderivaatta? Jos jotain fiksua, niin edellisen voinee määritellä jälkimmäisen avulla. ii) Onko tensori A yleisemmin Lagrangen funktion Taylor-sarjan 1. kertaluvun termi silloin kun Lagrange ei ole tavallista muotoa L = T U, vaan sisältää esimerkiksi ristitermejä nopeudesta ja paikasta (liikkuva varaus magneettikentässä)? iii) Olisi parempi jos Faktan 4.1 todistaisi geometrisesti, ilman koordinaatteja. Samalla voisi ymmärtää, että siinä on jotain syvällistä että juuri Legendremuunnetun funktion flow-käyrät antaa alkuperäisen aktion ekstremaaleja! iv) Onko jokainen symplektinen monisto fysikaalinen systeemi? Varmaan ei, mutta onko jokainen kotangenttikimppu varustettuna Hamiltonin funktiolla fysikaalinen systeemi? Varmaan ei, koska tuskin mikä tahansa funktio kelpaa Hamiltoniksi, sen pitäisi kuitenkin tulla Legendre muuntamalla Lagrangesta, ja Lagrangen taas on pakko olla esim konveksi ja vaikka mitä... v) Symplektistä kaarevuutta ei kuulemma ole, eli jokainen symplektinen moniston on lokaalisti symplektomorfinen. Entä globaalisti: Onko topologia ainoa rajoite vai onko symplektisellä monistolla jotakin globaalia karakteristikaa? vi) moniston Q koordinaatistot määräävät kotangenttikimpulle luonnolliset koordinaatit (Markun pistemuunnos ) mutta T Q:lle voidaan laittaa myös mielivaltaiset koordinaatit monistona, ja jos nämä koordinaatit eivät riko Hamiltonin yhtälöjen muotoa, niin koordinaattimuunnos on kanoninen muunnos Markun termistöllä, näin ymmärrän. vii) Markku puhui kinemaattisesta metrisestä tensorista, joka ilmeisesti on tuo tensori A. Tähän liittyy sekin, että klassisen mekaniikan voisi muotoilla myös moniston Q Riemannin geometriana täysin, niinkö? Onko symplektisessä muotoilussa jotain etuja? 7
Klassisesta mekaniikasta
Klassisesta mekaniikasta Ville Kivioja 29. elokuuta 2018 Tämän lyhyen artikkelin tarkoituksena on ensin muotoilla klassinen mekaniikka mahdollisimman yleisesti ja käyttäen mahdollisimman selkeitä geometrisia
LisätiedotHamiltonin formalismia
Perjantai 3.10.2014 1/20 Hamiltonin formalismia Olemme valmiit siirtymään seuraavalle tasolle klassisen mekaniikan formalismissa, jonka aloitti Hamilton n. 1830. Emme käytä tätä formalismia minkään vaikeamman
LisätiedotKertausta: Vapausasteet
Maanantai 8.9.2014 1/19 Kertausta: Vapausasteet Liikkeen kuvailu: massapisteen koordinaatit (x, y, z) ja nopeudet (v x, v y, v z ). Vapaasti liikkuvalla massapisteellä on kolme vapausastetta. N:llä vapaasti
LisätiedotMATEMATIIKAN JA TILASTOTIETEEN LAITOS
f ( n JYVÄSKYLÄN YLIOPISTO MATEMATIIKAN JA TILASTOTIETEEN LAITOS n Harjoitusten 8 ratkaisut Topologiset vektoriavaruudet 2010 8.1. Olkoon P n = {f : K K p on enintään asteen n 1 polynomi} varustettuna
LisätiedotMääritelmä Olkoon T i L (V i, W i ), 1 i m. Yksikäsitteisen lineaarikuvauksen h L (V 1 V 2 V m, W 1 W 2 W m )
Määritelmä 519 Olkoon T i L V i, W i, 1 i m Yksikäsitteisen lineaarikuvauksen h L V 1 V 2 V m, W 1 W 2 W m h v 1 v 2 v m T 1 v 1 T 2 v 2 T m v m 514 sanotaan olevan kuvausten T 1,, T m indusoima ja sitä
LisätiedotMatriisilaskenta, LH4, 2004, ratkaisut 1. Hae seuraavien R 4 :n aliavaruuksien dimensiot, jotka sisältävät vain
Matriisilaskenta LH4 24 ratkaisut 1 Hae seuraavien R 4 :n aliavaruuksien dimensiot jotka sisältävät vain a) Kaikki muotoa (a b c d) olevat vektorit joilla d a + b b) Kaikki muotoa (a b c d) olevat vektorit
LisätiedotLUKU 10. Yhdensuuntaissiirto
LUKU hdensuuntaissiirto Olkoot (M, N) suunnistettu pinta, p M ja v p R 3 p annettu vektori pisteessä p (vektorin v p ei tarvitse olla pinnan M tangenttivektori). Tällöin vektori (v p N(p)) N(p) on vektorin
LisätiedotVärähdysliikkeet. q + f (q, q, t) = 0. q + f (q, q) = F (t) missä nopeusriippuvuus kuvaa vaimenemista ja F (t) on ulkoinen pakkovoima.
Torstai 18.9.2014 1/17 Värähdysliikkeet Värähdysliikkeet ovat tyypillisiä fysiikassa: Häiriö oskillaatio Jaksollinen liike oskillaatio Yleisesti värähdysliikettä voidaan kuvata yhtälöllä q + f (q, q, t)
LisätiedotNumeeriset menetelmät TIEA381. Luento 12. Kirsi Valjus. Jyväskylän yliopisto. Luento 12 () Numeeriset menetelmät / 33
Numeeriset menetelmät TIEA381 Luento 12 Kirsi Valjus Jyväskylän yliopisto Luento 12 () Numeeriset menetelmät 25.4.2013 1 / 33 Luennon 2 sisältö Tavallisten differentiaaliyhtälöiden numeriikasta Rungen
LisätiedotKlassisen mekaniikan historiasta
Torstai 4.9.2014 1/18 Klassisen mekaniikan historiasta Nikolaus Kopernikus (puolalainen pappi 1473-1543): aurinkokeskeinen maailmankuva Johannes Kepler (saksalainen tähtitieteilijä 1571-1630): planeettojen
LisätiedotOletetaan ensin, että tangenttitaso on olemassa. Nyt pinnalla S on koordinaattiesitys ψ, jolle pätee että kaikilla x V U
HY / Matematiikan ja tilastotieteen laitos Vektorianalyysi II, syksy 018 Harjoitus 4 Ratkaisuehdotukset Tehtävä 1. Olkoon U R avoin joukko ja ϕ = (ϕ 1, ϕ, ϕ 3 ) : U R 3 kaksiulotteisen C 1 -alkeispinnan
Lisätiedoty x1 σ t 1 = c y x 1 σ t 1 = y x 2 σ t 2 y x 2 x 1 y = σ(t 2 t 1 ) x 2 x 1 y t 2 t 1
1. Tarkastellaan funktiota missä σ C ja y (y 1,..., y n ) R n. u : R n R C, u(x, t) e i(y x σt), (a) Miksi funktiota u(x, t) voidaan kutsua tasoaalloksi, jonka aaltorintama on kohtisuorassa vektorin y
Lisätiedot1 Sisätulo- ja normiavaruudet
1 Sisätulo- ja normiavaruudet 1.1 Sisätuloavaruus Määritelmä 1. Olkoon V reaalinen vektoriavaruus. Kuvaus : V V R on reaalinen sisätulo eli pistetulo, jos (a) v w = w v (symmetrisyys); (b) v + u w = v
Lisätiedot8. Avoimen kuvauksen lause
116 FUNKTIONAALIANALYYSIN PERUSKURSSI 8. Avoimen kuvauksen lause Palautamme aluksi mieleen Topologian kursseilta ehkä tutut perusasiat yleisestä avoimen kuvauksen käsitteestä. Määrittelemme ensin avoimen
Lisätiedot802320A LINEAARIALGEBRA OSA II
802320A LINEAARIALGEBRA OSA II Tapani Matala-aho MATEMATIIKKA/LUTK/OULUN YLIOPISTO SYKSY 2016 LINEAARIALGEBRA 1 / 64 Sisätuloavaruus Määritelmä 1 Olkoon V reaalinen vektoriavaruus. Kuvaus on reaalinen
LisätiedotAvaruuden R n aliavaruus
Avaruuden R n aliavaruus 1 / 41 Aliavaruus Esimerkki 1 Kuva: Suora on suljettu yhteenlaskun ja skalaarilla kertomisen suhteen. 2 / 41 Esimerkki 2 Kuva: Suora ei ole suljettu yhteenlaskun ja skalaarilla
LisätiedotLUKU 3. Ulkoinen derivaatta. dx i 1. dx i 2. ω i1,i 2,...,i k
LUKU 3 Ulkoinen derivaatta Olkoot A R n alue k n ja ω jatkuvasti derivoituva k-muoto alueessa A Muoto ω voidaan esittää summana ω = ω i1 i 2 i k dx i 1 dx i 2 1 i 1
LisätiedotUseita oskillaattoreita yleinen tarkastelu
Useita oskillaattoreita yleinen tarkastelu Useita riippumattomia vapausasteita q i, i =,..., n ja potentiaali vastaavasti U(q, q 2,..., q n). Tasapainoasema {q 0, q0 2,..., q0 n} q 0 Käytetään merkintää
LisätiedotDifferentiaalimuodot
LUKU 2 Differentiaalimuodot Olkoot A R n ja p A. Vektori pisteessä p on pari (p; v), missä v R n. Pisteeseen p kiinnitetyn vektorin v p := (p; v) ensimmäinen komponentti p on vektorin v p paikkaosa ja
LisätiedotOsoita, että täsmälleen yksi vektoriavaruuden ehto ei ole voimassa.
LINEAARIALGEBRA Harjoituksia 2016 1. Olkoon V = R 2 varustettuna tavallisella yhteenlaskulla. Määritellään reaaliluvulla kertominen seuraavasti: λ (x 1, x 2 ) = (λx 1, 0) (x 1, x 2 ) R 2 ja λ R. Osoita,
LisätiedotVEKTORIANALYYSIN HARJOITUKSET: VIIKKO 4
VEKTORIANALYYSIN HARJOITUKSET: VIIKKO 4 Jokaisen tehtävän jälkeen on pieni kommentti tehtävään liittyen Nämä eivät sisällä mitään kovin kriittistä tietoa tehtävään liittyen, joten niistä ei tarvitse välittää
Lisätiedot8. Klassinen ideaalikaasu
Statistinen fysiikka, osa B (FYSA242) Tuomas Lappi tuomas.v.v.lappi@jyu.fi Huone: FL240. Ei kiinteitä vastaanottoaikoja. kl 2016 8. Klassinen ideaalikaasu 1 Fysikaalinen tilanne Muistetaan: kokeellisesti
LisätiedotKanta ja dimensio 1 / 23
1 / 23 Kuten ollaan huomattu, saman aliavaruuden voi virittää eri määrä vektoreita. Seuraavaksi määritellään mahdollisimman pieni vektorijoukko, joka virittää aliavaruuden. Jokainen aliavaruuden alkio
LisätiedotDerivaatta: funktion approksimaatio lineaarikuvauksella.
Viikko 5 Tällä viikolla yleistetään R 2 :n ja R 3 :n vektorialgebran peruskäsitteet n-ulotteiseen avaruuteen R n, ja määritellään lineaarikuvaus. Tarkastellaan funktioita, joiden määrittelyjoukko on n-ulotteisen
LisätiedotLineaarikombinaatio, lineaarinen riippuvuus/riippumattomuus
Lineaarikombinaatio, lineaarinen riippuvuus/riippumattomuus 1 / 51 Lineaarikombinaatio Johdattelua seuraavaan asiaan (ei tarkkoja määritelmiä): Millaisen kuvan muodostaa joukko {λv λ R, v R 3 }? Millaisen
Lisätiedot763306A JOHDATUS SUHTEELLISUUSTEORIAAN 2 Ratkaisut 1 Kevät y' P. α φ
76336A JOHDATUS SUHTEELLISUUSTEORIAAN 2 Ratkaisut 1 Kevät 217 1. Koordinaatiston muunnosmatriisi (a) y' P r α φ ' Tarkastellaan, mitä annettu muunnos = cos φ + y sin φ, y = sin φ + y cos φ, (1a) (1b) tekee
LisätiedotMS-C1340 Lineaarialgebra ja differentiaaliyhtälöt
MS-C1340 Lineaarialgebra ja differentiaaliyhtälöt Differentiaaliyhtälöt, osa 1 Riikka Kangaslampi Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Aalto-yliopisto 2015 1 / 20 R. Kangaslampi Matriisihajotelmista
LisätiedotKvanttimekaniikan tulkinta
Kvanttimekaniikan tulkinta 20.1.2011 1 Klassisen ja kvanttimekaniikan tilastolliset formuloinnit 1.1 Klassinen mekaniikka Klassisen mekaniikan systeemin tilaa kuvaavat kappaleiden koordinaatit ja liikemäärät
Lisätiedot, on säännöllinen 2-ulotteinen pinta. Määrää T x0 pisteessä x 0 = (0, 1, 1).
HY / Matematiikan ja tilastotieteen laitos Vektorianalyysi II, syksy 017 Harjoitus 4 Ratkaisuehdotukset 4.1. Osoita, että tasa-arvojoukko S F (0), F : R 3 R, F (x) = 3x 1 x 3 + e x + x e x 3, on säännöllinen
LisätiedotDerivaatat lasketaan komponenteittain, esimerkiksi E 1 E 2
MS-C50 Osittaisdifferentiaaliyhtälöt Harjoitukset syksy 07. Oletetaan että vektorikenttä E E E E : R R on kaksi kertaa jatkuvasti derivoituva E C R. Näytä että E E. Derivaatat lasketaan komponenteittain
LisätiedotKuva 1: Funktion f tasa-arvokäyriä. Ratkaisu. Suurin kasvunopeus on gradientin suuntaan. 6x 0,2
HY / Matematiikan ja tilastotieteen laitos Vektorianalyysi I, syksy 018 Harjoitus Ratkaisuehdotukset Tehtävä 1. Olkoon f : R R f(x 1, x ) = x 1 + x Olkoon C R. Määritä tasa-arvojoukko Sf(C) = {(x 1, x
LisätiedotLuento 8: Epälineaarinen optimointi
Luento 8: Epälineaarinen optimointi Vektoriavaruus R n R n on kaikkien n-jonojen x := (x,..., x n ) joukko. Siis R n := Määritellään nollavektori 0 = (0,..., 0). Reaalisten m n-matriisien joukkoa merkitään
Lisätiedot6 Variaatiolaskennan perusteet
6 Variaatiolaskennan perusteet Sivut ss. 22 26 pääosin lähteen [Kirk, Ch. 4, ss. 107 127] pohjalta Variaatiolaskenta keskittyy lokaaliin analyysiin eli funktion lokaalin minimin vastineisiin funktionaaleilla.
LisätiedotMS-C1340 Lineaarialgebra ja
MS-C1340 Lineaarialgebra ja differentiaaliyhtälöt Matriisinormi, häiriöalttius Riikka Kangaslampi Kevät 2017 Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Aalto-yliopisto Matriisinormi Matriisinormi Matriiseille
LisätiedotSymmetria ja liikevakiot Hamiltonin mekaniikassa
Olli Tuohenmaa Symmetria ja liikevakiot Hamiltonin mekaniikassa diplomityö Tarkastajat: Heikki Orelma, Sirkka-Liisa Eriksson Tarkastajat ja aihe hyväksytty Luonnontieteiden tiedekunnan tiedekuntaneuvoston
LisätiedotMS-A0207 Differentiaali- ja integraalilaskenta 2 Luento 5: Gradientti ja suunnattu derivaatta. Vektoriarvoiset funktiot. Taylor-approksimaatio.
MS-A0207 Differentiaali- ja integraalilaskenta 2 Luento 5: Gradientti ja suunnattu derivaatta. Vektoriarvoiset funktiot. Taylor-approksimaatio. Riikka Korte Matematiikan ja systeemianalyysin laitos 1 Aalto-yliopisto
LisätiedotTehtävä 1. Näytä, että tason avoimessa yksikköpallossa
HY / Matematiikan ja tilastotieteen laitos Vektorianalyysi II, syksy 2018 Harjoitus 2 Ratkaisuehdotukset Tehtävä 1. Näytä, että tason avoimessa yksikköpallossa määritelty kuvaus B(0, 1) := x R 2 : x
LisätiedotNumeeriset menetelmät TIEA381. Luento 6. Kirsi Valjus. Jyväskylän yliopisto. Luento 6 () Numeeriset menetelmät / 33
Numeeriset menetelmät TIEA381 Luento 6 Kirsi Valjus Jyväskylän yliopisto Luento 6 () Numeeriset menetelmät 4.4.2013 1 / 33 Luennon 6 sisältö Interpolointi ja approksimointi Polynomi-interpolaatio: Vandermonden
LisätiedotLUKU 7. Perusmuodot Ensimmäinen perusmuoto. Funktiot E, F ja G ovat tilkun ϕ ensimmäisen perusmuodon kertoimet ja neliömuoto
LUKU 7 Perusmuodot 7 Ensimmäinen perusmuoto Määritelmä 7 Olkoon ϕ: U R 3 tilkku Määritellään funktiot E, F, G: U R asettamalla (7) E := ϕ ϕ, F := ϕ, G := ϕ u u u u Funktiot E, F G ovat tilkun ϕ ensimmäisen
LisätiedotAntti Rasila. Kevät Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Aalto-yliopisto. Antti Rasila (Aalto-yliopisto) MS-A0204 Kevät / 16
MS-A0204 Differentiaali- ja integraalilaskenta 2 (ELEC2) Luento 5: Gradientti ja suunnattu derivaatta. Vektoriarvoiset funktiot. Taylor-approksimaatio. Antti Rasila Matematiikan ja systeemianalyysin laitos
Lisätiedot1 Lineaariavaruus eli Vektoriavaruus
1 Lineaariavaruus eli Vektoriavaruus 1.1 Määritelmä ja esimerkkejä Olkoon K kunta, jonka nolla-alkio on 0 ja ykkösalkio on 1 sekä V epätyhjä joukko. Oletetaan, että joukossa V on määritelty laskutoimitus
Lisätiedot763306A JOHDATUS SUHTEELLISUUSTEORIAAN 2 Ratkaisut 2 Kevät 2017
763306A JOHDATUS SUHTEELLISUUSTEORIAAN 2 Ratkaisut 2 Kevät 207. Nelinopeus ympyräliikkeessä On siis annettu kappaleen paikkaa kuvaava nelivektori X x µ : Nelinopeus U u µ on määritelty kaavalla x µ (ct,
Lisätiedotr > y x z x = z y + y x z y + y x = r y x + y x = r
HY / Matematiikan ja tilastotieteen laitos Vektorianalyysi I, syksy 018 Harjoitus Ratkaisuehdotukset Tehtävä 1. Osoita, että avoin kuula on avoin joukko ja suljettu kuula on suljettu joukko. Ratkaisu.
Lisätiedot802320A LINEAARIALGEBRA OSA I
802320A LINEAARIALGEBRA OSA I Tapani Matala-aho MATEMATIIKKA/LUTK/OULUN YLIOPISTO SYKSY 2016 LINEAARIALGEBRA 1 / 72 Määritelmä ja esimerkkejä Olkoon K kunta, jonka nolla-alkio on 0 ja ykkösalkio on 1 sekä
LisätiedotLuento 8: Epälineaarinen optimointi
Luento 8: Epälineaarinen optimointi Vektoriavaruus R n R n on kaikkien n-jonojen x := (x,..., x n ) joukko. Siis R n := Määritellään nollavektori = (,..., ). Reaalisten m n-matriisien joukkoa merkitään
Lisätiedot802320A LINEAARIALGEBRA OSA III
802320A LINEAARIALGEBRA OSA III Tapani Matala-aho MATEMATIIKKA/LUTK/OULUN YLIOPISTO SYKSY 2016 LINEAARIALGEBRA 1 / 56 Määritelmä Määritelmä 1 Olkoot V ja W lineaariavaruuksia kunnan K yli. Kuvaus L : V
LisätiedotVektorianalyysi II (MAT21020), syksy 2018
Vektorianalyysi II (MAT21020), syksy 2018 Ylimääräisiä harjoitustehtäviä 1. Osoita, että normin neliö f : R n R, f(x) = x 2 on differentioituva pisteessä a R n ja, että sen derivaatalle on voimassa 2.
LisätiedotMS-A0305 Differentiaali- ja integraalilaskenta 3 Luento 8: Divergenssi ja roottori. Gaussin divergenssilause.
MS-A0305 Differentiaali- ja integraalilaskenta 3 Luento 8: Divergenssi ja roottori. Gaussin divergenssilause. Antti Rasila Aalto-yliopisto Syksy 2015 Antti Rasila (Aalto-yliopisto) MS-A0305 Syksy 2015
LisätiedotMS-C1340 Lineaarialgebra ja
MS-C1340 Lineaarialgebra ja differentiaaliyhtälöt Vektoriavaruudet Riikka Kangaslampi kevät 2017 Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Aalto-yliopisto Idea Lineaarisen systeemin ratkaiseminen Olkoon
LisätiedotMatriisilaskenta Laskuharjoitus 5 - Ratkaisut / vko 41
MS-A0004/MS-A0006 Matriisilaskenta, I/06 Matriisilaskenta Laskuharjoitus 5 - Ratkaisut / vko 4 Tehtävä 5 (L): a) Oletetaan, että λ 0 on kääntyvän matriisin A ominaisarvo. Osoita, että /λ on matriisin A
Lisätiedotmin x x2 2 x 1 + x 2 1 = 0 (1) 2x1 1, h = f = 4x 2 2x1 + v = 0 4x 2 + v = 0 min x x3 2 x1 = ± v/3 = ±a x 2 = ± v/3 = ±a, a > 0 0 6x 2
TEKNILLINEN KORKEAKOULU Systeemianalyysin laboratorio Mat-39 Optimointioppi Kimmo Berg 6 harjoitus - ratkaisut min x + x x + x = () x f = 4x, h = x 4x + v = { { x + v = 4x + v = x = v/ x = v/4 () v/ v/4
Lisätiedota) on lokaali käänteisfunktio, b) ei ole. Piirrä näiden pisteiden ympäristöön asetetun neliöruudukon kuva. VASTAUS:
6. Käänteiskuvaukset ja implisiittifunktiot 6.1. Käänteisfunktion olemassaolo 165. Määritä jokin piste, jonka ympäristössä funktiolla f : R 2 R 2, f (x,y) = (ysinx, x + y + 1) a) on lokaali käänteisfunktio,
LisätiedotMS-A010{3,4} (ELEC*) Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Luento 4: Derivaatta
MS-A010{3,4} (ELEC*) Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Luento 4: Derivaatta Pekka Alestalo, Jarmo Malinen Aalto-yliopisto, Matematiikan ja systeemianalyysin laitos 21.9.2016 Pekka Alestalo, Jarmo
LisätiedotRatkaisu: Ensimmäinen suunta. Olkoon f : R n R m jatkuva eli kaikilla ε > 0 on olemassa sellainen δ > 0, että. kun x a < δ. Nyt kaikilla j = 1,...
HY / Matematiikan ja tilastotieteen laitos Vektorianalyysi II, syksy 2017 Harjoitus 1 Ratkaisuehdotukset 11 Osoita, että vektorifunktio f = (f 1,, f m ): R n R m, on jatkuva, jos ja vain jos jokainen komponenttifunktio
LisätiedotMS-A0207 Differentiaali- ja integraalilaskenta 2 (Chem) Yhteenveto, osa I
MS-A0207 Differentiaali- ja integraalilaskenta 2 (Chem) Yhteenveto, osa I G. Gripenberg Aalto-yliopisto 21. tammikuuta 2016 G. Gripenberg (Aalto-yliopisto) MS-A0207 Differentiaali- ja integraalilaskenta
Lisätiedot=p(x) + p(y), joten ehto (N1) on voimassa. Jos lisäksi λ on skalaari, niin
FUNKTIONAALIANALYYSI, RATKAISUT 1 KEVÄT 211, (AP) 1. Ovatko seuraavat reaaliarvoiset funktiot p : R 3 R normeja? Ovatko ne seminormeja? ( x = (x 1, x 2, x 3 ) R 3 ) a) p(x) := x 2 1 + x 2 2 + x 2 3, b)
LisätiedotMS-A0305 Differentiaali- ja integraalilaskenta 3 Luento 3: Vektorikentät
MS-A0305 Differentiaali- ja integraalilaskenta 3 Luento 3: Vektorikentät Antti Rasila Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Aalto-yliopisto Syksy 2016 Antti Rasila (Aalto-yliopisto) MS-A0305 Syksy 2016
LisätiedotVaratun hiukkasen liike
Luku 15 Varatun hiukkasen liike SM-kentässä Tarkastellaan lopuksi varatun hiukkasen liikettä sähkömagneettisessa kentässä. Liikeyhtälö on tullut esiin useaan otteeseen kurssin aikana aiemminkin. Yleisesti
LisätiedotMääritelmä 1. Olkoot V ja W lineaariavaruuksia kunnan K yli. Kuvaus L : V. Termejä: Lineaarikuvaus, Lineaarinen kuvaus.
1 Lineaarikuvaus 1.1 Määritelmä Määritelmä 1. Olkoot V ja W lineaariavaruuksia kunnan K yli. Kuvaus L : V W on lineaarinen, jos (a) L(v + w) = L(v) + L(w); (b) L(λv) = λl(v) aina, kun v, w V ja λ K. Termejä:
LisätiedotMS-A0003/A0005 Matriisilaskenta Malliratkaisut 5 / vko 48
MS-A3/A5 Matriisilaskenta Malliratkaisut 5 / vko 48 Tehtävä (L): a) Onko 4 3 sitä vastaava ominaisarvo? b) Onko λ = 3 matriisin matriisin 2 2 3 2 3 7 9 4 5 2 4 4 ominaisvektori? Jos on, mikä on ominaisarvo?
LisätiedotMS-C1340 Lineaarialgebra ja differentiaaliyhtälöt
MS-C1340 Lineaarialgebra ja differentiaaliyhtälöt Differentiaaliyhtälöt, osa 3 Riikka Kangaslampi Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Aalto-yliopisto 2015 1 / 28 R. Kangaslampi Matriisihajotelmista
LisätiedotMonistot LUKU 4. (P ): on olemassa avoin, pisteen x sisältävä joukko U R n, avoin joukko W
LUKU 4 Monistot Muistettakoon, että avointen joukkojen U, V R n välinen diffeomorfismi h: U V on C 1 -kuvaus, jolle myös käänteiskuvaus h 1 on C 1. Jatkossa oletetaan, että tarkasteltavat kuvaukset ovat
LisätiedotOletetaan, että funktio f on määritelty jollakin välillä ]x 0 δ, x 0 + δ[. Sen derivaatta pisteessä x 0 on
Derivaatta Erilaisia lähestymistapoja: geometrinen (käyrän tangentti sekanttien raja-asentona) fysikaalinen (ajasta riippuvan funktion hetkellinen muutosnopeus) 1 / 19 Derivaatan määritelmä Määritelmä
Lisätiedot1. Osoita, että joukon X osajoukoille A ja B on voimassa toinen ns. de Morganin laki (A B) = A B.
HY / Avoin yliopisto Johdatus yliopistomatematiikkaan, kesä 2015 Harjoitus 3 Ratkaisuehdotuksia Tehtäväsarja I Seuraavissa tehtävissä harjoitellaan muun muassa kahden joukon osoittamista samaksi sekä joukon
LisätiedotLUKU 4. Pinnat. (u 1, u 2 ) ja E ϕ 2 (u 1, u 2 ) := ϕ u 2
LUKU 4 Pinnat 4.. Määritelmiä ja esimerkkejä Määritelmä 4.. Epätyhjä osajoukko M R 3 on sileä (kaksiulotteinen) pinta, jos jokaiselle pisteelle p M on olemassa ympäristö V p R 3, avoin joukko U p R 2 ja
Lisätiedot3.1 Lineaarikuvaukset. MS-A0004/A0006 Matriisilaskenta. 3.1 Lineaarikuvaukset. 3.1 Lineaarikuvaukset
31 MS-A0004/A0006 Matriisilaskenta 3 Nuutti Hyvönen, c Riikka Kangaslampi Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Aalto-yliopisto 2292015 Lineaariset yhtälöt ovat vektoreille luonnollisia yhtälöitä, joita
LisätiedotOrtogonaaliprojektio äärellisulotteiselle aliavaruudelle
Ortogonaaliprojektio äärellisulotteiselle aliavaruudelle Olkoon X sisätuloavaruus ja Y X äärellisulotteinen aliavaruus. Tällöin on olemassa lineaarisesti riippumattomat vektorit y 1, y 2,..., yn, jotka
LisätiedotSelvästi. F (a) F (y) < r x d aina, kun a y < δ. Kolmioepäyhtälön nojalla x F (y) x F (a) + F (a) F (y) < d + r x d = r x
Seuraavaksi tarkastellaan C 1 -sileiden pintojen eräitä ominaisuuksia. Lemma 2.7.1. Olkoon S R m sellainen C 1 -sileä pinta, että S on C 1 -funktion F : R m R eräs tasa-arvojoukko. Tällöin S on avaruuden
LisätiedotNumeeriset menetelmät TIEA381. Luento 8. Kirsi Valjus. Jyväskylän yliopisto. Luento 8 () Numeeriset menetelmät / 35
Numeeriset menetelmät TIEA381 Luento 8 Kirsi Valjus Jyväskylän yliopisto Luento 8 () Numeeriset menetelmät 11.4.2013 1 / 35 Luennon 8 sisältö Interpolointi ja approksimointi Funktion approksimointi Tasainen
LisätiedotMS-A010{3,4,5} (ELEC*, ENG*) Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Luento 10: Ensimmäisen kertaluvun differentiaaliyhtälö
MS-A010{3,4,5} (ELEC*, ENG*) Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Luento 10: Ensimmäisen kertaluvun differentiaaliyhtälö Pekka Alestalo, Jarmo Malinen Aalto-yliopisto, Matematiikan ja systeemianalyysin
LisätiedotPolkuintegraali yleistyy helposti paloitain C 1 -poluille. Määritelmä Olkoot γ : [a, b] R m paloittain C 1 -polku välin [a, b] jaon
Polkuintegraali yleistyy helposti paloitain C 1 -poluille. Määritelmä 4.1.3. Olkoot : [a, b] R m paloittain C 1 -polku välin [a, b] jaon P = {a = t 1 < < t k = b} ja joukko D R m sellainen, että ([a, b])
Lisätiedot3.4 Käänteiskuvauslause ja implisiittifunktiolause
3.4 Käänteiskuvauslause ja implisiittifunktiolause Tässä luvussa käsitellään kahta keskeistä vektorianalyysin lausetta. Esitellään aluksi kyseiset lauseet ja tutustutaan niiden käyttötapoihin. Lause 3.4.1
LisätiedotDYNAMIIKKA II, LUENTO 7 (SYKSY 2015) Arttu Polojärvi
DYNAMIIKKA II, LUENTO 7 (SYKSY 2015) Arttu Polojärvi LUENNON SISÄLTÖ Kertausta edelliseltä luennolta: Liikemäärän ja liikemäärän momentin tase. Hyrräyhtälöt. Liikeyhtälöiden muodostaminen. Lagrangen formalismi:
Lisätiedot6. Toisen ja korkeamman kertaluvun lineaariset
SARJAT JA DIFFERENTIAALIYHTÄLÖT 2003 51 6. Toisen ja korkeamman kertaluvun lineaariset differentiaaliyhtälöt Määritelmä 6.1. Olkoon I R avoin väli. Olkoot p i : I R, i = 0, 1, 2,..., n, ja q : I R jatkuvia
LisätiedotMikäli huomaat virheen tai on kysyttävää liittyen malleihin, lähetä viesti osoitteeseen
Mikäli huomaat virheen tai on kysyttävää liittyen malleihin, lähetä viesti osoitteeseen anton.mallasto@aalto.fi. 1. 2. Muista. Ryhmän G aliryhmä H on normaali aliryhmä, jos ah = Ha kaikilla a G. Toisin
LisätiedotMS-A0102 Differentiaali- ja integraalilaskenta 1
MS-A0102 Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Riikka Korte (Pekka Alestalon kalvojen pohjalta) Aalto-yliopisto 24.10.2016 Sisältö Derivaatta 1.1 Derivaatta Erilaisia lähestymistapoja: I geometrinen
Lisätiedot6. Differentiaaliyhtälösysteemien laadullista teoriaa.
1 MAT-13450 LAAJA MATEMATIIKKA 5 Tampereen teknillinen yliopisto Risto Silvennoinen Kevät 2010 6. Differentiaaliyhtälösysteemien laadullista teoriaa. Olemme keskittyneet tässä kurssissa ensimmäisen kertaluvun
LisätiedotMS-A010{3,4} (ELEC*) Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Luento 10: Ensimmäisen kertaluvun differentiaaliyhtälö
MS-A010{3,4} (ELEC*) Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Luento 10: Ensimmäisen kertaluvun differentiaaliyhtälö Pekka Alestalo, Jarmo Malinen Aalto-yliopisto, Matematiikan ja systeemianalyysin laitos
LisätiedotTopologia Syksy 2010 Harjoitus 4. (1) Keksi funktio f ja suljetut välit A i R 1, i = 1, 2,... siten, että f : R 1 R 1, f Ai on jatkuva jokaisella i N,
Topologia Syksy 2010 Harjoitus 4 (1) Keksi funktio f ja suljetut välit A i R 1, i = 1, 2,... siten, että f : R 1 R 1, f Ai on jatkuva jokaisella i N, i=1 A i = R 1, ja f : R 1 R 1 ei ole jatkuva. Lause
Lisätiedot6 Vektoriavaruus R n. 6.1 Lineaarikombinaatio
6 Vektoriavaruus R n 6.1 Lineaarikombinaatio Määritelmä 19. Vektori x œ R n on vektorien v 1,...,v k œ R n lineaarikombinaatio, jos on olemassa sellaiset 1,..., k œ R, että x = i v i. i=1 Esimerkki 30.
LisätiedotMS-C1340 Lineaarialgebra ja differentiaaliyhtälöt
MS-C1340 Lineaarialgebra ja differentiaaliyhtälöt Vektoriavaruudet Riikka Kangaslampi Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Aalto-yliopisto 2015 1 / 17 R. Kangaslampi Vektoriavaruudet Vektoriavaruus
LisätiedotMatematiikan tukikurssi
Matematiikan tukikurssi Kertausluento 2. välikokeeseen Toisessa välikokeessa on syytä osata ainakin seuraavat asiat:. Potenssisarjojen suppenemissäde, suppenemisväli ja suppenemisjoukko. 2. Derivaatan
LisätiedotTehtävä 4.7 Tarkastellaan hiukkasta, joka on pakotettu liikkumaan toruksen pinnalla.
Tehtävä.7 Tarkastellaan hiukkasta, joka on pakotettu liikkumaan toruksen pinnalla. x = (a + b cos(θ)) cos(ψ) y = (a + b cos(θ)) sin(ψ) = b sin(θ), a > b, θ π, ψ π Figure. Toruksen hajoituskuva Oletetaan,
LisätiedotVaratun hiukkasen liike
Luku 16 Varatun hiukkasen liike SM-kentässä Tarkastellaan lopuksi varatun hiukkasen liikettä sähkömagneettisessa kentässä. Liikeyhtälö on tullut esiin useaan otteeseen kurssin aikana aiemminkin. Yleisesti
LisätiedotLiittomatriisi. Liittomatriisi. Määritelmä 16 Olkoon A 2 M(n, n). Matriisin A liittomatriisi on cof A 2 M(n, n), missä. 1) i+j det A ij.
Liittomatriisi Määritelmä 16 Olkoon A 2 M(n, n). Matriisin A liittomatriisi on cof A 2 M(n, n), missä (cof A) ij =( 1) i+j det A ij kaikilla i, j = 1,...,n. Huomautus 8 Olkoon A 2 M(n, n). Tällöin kaikilla
LisätiedotHarjoitusten 4 ratkaisut Topologiset vektoriavaruudet 2010
f ( n) JYVÄSKYLÄN YLIOPISTO MATEMATIIKAN JA TILASTOTIETEEN LAITOS n Harjoitusten 4 ratkaisut Topologiset vektoriavaruudet 2010 4.1. Viime kerralta. Esimerkki lokaalikonveksin avaruuden osajoukosta, joka
LisätiedotOletetaan sitten, että γ(i) = η(j). Koska γ ja η ovat Jordan-polku, ne ovat jatkuvia injektiivisiä kuvauksia kompaktilta joukolta, ja määrittävät
HY / Matematiikan ja tilastotieteen laitos Vektorianalyysi II, syksy 18 Harjoitus 6 Ratkaisuehdotukset Tehtävä 1. Osoita, että sileille Jordan-poluille on voimassa : I R n ja : J R n (I) = (J) jos ja vain
Lisätiedot3.3 Funktion raja-arvo
3.3 Funktion raja-arvo Olkoot A ja B kompleksitason joukkoja ja f : A B kuvaus. Kuvauksella f on pisteessä z 0 A raja-arvo c, jos jokaista ε > 0 vastaa δ > 0 siten, että 0 < z z 0 < δ ja z A f(z) c < ε.
LisätiedotHarjoitus Tarkastellaan luentojen Esimerkin mukaista työttömyysmallinnusta. Merkitään. p(t) = hintaindeksi, π(t) = odotettu inflaatio,
Differentiaaliyhtälöt, Kesä 06 Harjoitus 3 Kaikissa tehtävissä, joissa pitää tarkastella kriittisten pisteiden stabiliteettia, jos kyseessä on satulapiste, ilmoita myös satulauraratkaisun (tai kriittisessä
LisätiedotKoodausteoria, Kesä 2014
Koodausteoria, Kesä 2014 Topi Törmä Matemaattisten tieteiden laitos 3.5 Reedin-Mullerin koodit Olkoon tässä kappaleessa F = F2 = Z2 ja n = 2 m. Määritellään avaruuteen F n kertolasku koordinaateittain:
Lisätiedot1 Tensoriavaruuksista..
1 Tensoriavaruuksista.. Käydään läpi kirjan (1) sivut 126-133. 19.02.2007 Palautetaaieleen viime kerran tärkeä määritelmä: (kirja, Määr. 5.12). Määritelmä 1.1 Olkoon T vektoriavaruus ja Φ : V 1 V 2 V m
LisätiedotVastaa kaikkiin kysymyksiin (kokeessa ei saa käyttää laskinta)
Helsingin yliopisto, Matematiikan ja tilastotieteen osasto Vektorianalyysi II (MAT22, syksy 28 Kurssitentti, Ma 7228 (RATKAISUEHDOTUKSET Tentaattori: Ville Tengvall (villetengvall@helsinkifi Vastaa kaikkiin
LisätiedotKitkavoimat. Ol. N massapisteen systeemi ja suoraan nopeuteen verrannollinen kitkavoima: k x v 2. i,x + ky v 2. i,y + kz v 2. vi F = i. r i.
Kitkavoimat Ol. N massapisteen systeemi ja suoraan nopeuteen verrannollinen kitkavoima: F (f ) i = k x v i,x ê x k y v i,y ê y k z v i,z ê z Otetaan käyttöön Rayleigh n dissipaatiofunktio N F = 1 2 i=1
LisätiedotYhtälöryhmä matriisimuodossa. MS-A0004/A0006 Matriisilaskenta. Tarkastellaan esimerkkinä lineaarista yhtälöparia. 2x1 x 2 = 1 x 1 + x 2 = 5.
2. MS-A4/A6 Matriisilaskenta 2. Nuutti Hyvönen, c Riikka Kangaslampi Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Aalto-yliopisto 5.9.25 Tarkastellaan esimerkkinä lineaarista yhtälöparia { 2x x 2 = x + x 2
Lisätiedot7. Olemassaolo ja yksikäsitteisyys Galois n kunta GF(q) = F q, jossa on q alkiota, määriteltiin jäännösluokkarenkaaksi
7. Olemassaolo ja yksikäsitteisyys Galois n kunta GF(q) = F q, jossa on q alkiota, määriteltiin jäännösluokkarenkaaksi Z p [x]/(m), missä m on polynomirenkaan Z p [x] jaoton polynomi (ks. määritelmä 3.19).
LisätiedotKKT: log p i v 1 + v 2 x i = 0, i = 1,...,n.
TEKNILLINEN KORKEAKOULU Systeemianalyysin laboratorio Mat-2.139 Optimointioppi Kimmo Berg 7. harjoitus - ratkaisut 1. Oletetaan aluksi, että epäyhtälöt eivät ole aktiivisia p i > 0. Tässä tapauksess KKTehdot
LisätiedotLineaarialgebra ja differentiaaliyhtälöt Laskuharjoitus 1 / vko 44
Lineaarialgebra ja differentiaaliyhtälöt Laskuharjoitus 1 / vko 44 Tehtävät 1-3 lasketaan alkuviikon harjoituksissa, verkkotehtävien dl on lauantaina aamuyöllä. Tehtävät 4 ja 5 lasketaan loppuviikon harjoituksissa.
LisätiedotDynaamisten systeemien teoriaa. Systeemianalyysilaboratorio II
Dynaamisten systeemien teoriaa Systeemianalyysilaboratorio II 15.11.2017 Vakiot, sisäänmenot, ulostulot ja häiriöt Mallin vakiot Systeemiparametrit annettuja vakioita, joita ei muuteta; esim. painovoiman
LisätiedotTaustatietoja ja perusteita
Taustatietoja ja perusteita Vektorit: x R n pystyvektoreita, transpoosi x T Sisätulo: x T y = n i=1 x i y i Normi: x = x T x = ni=1 x 2 i Etäisyys: Kahden R n :n vektorin välinen etäisyys x y 1 Avoin pallo:
LisätiedotMS-A0204 Differentiaali- ja integraalilaskenta 2 (ELEC2) Luento 6: Ääriarvojen luokittelu. Lagrangen kertojat.
MS-A0204 Differentiaali- ja integraalilaskenta 2 (ELEC2) Luento 6: Ääriarvojen luokittelu. Lagrangen kertojat. Antti Rasila Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Aalto-yliopisto Kevät 2016 Antti Rasila
Lisätiedot