KJR-C1001 Statiikka ja dynamiikka. Luento Susanna Hurme

Transkriptio

1 KJR-C1001 Statiikka ja dynamiikka Luento Susanna Hurme

2 Rotaatioliikkeen liike-energia, teho ja energiaperiaate (Kirjan luku 18) Osaamistavoitteet Ymmärtää, miten liike-energia määritetään kiinteän akselin ympäri pyörivälle kappaleelle Ymmärtää, miten voimaparin tekemä työ määritellään Osata ratkaista rotaatioliikkeen kinetiikan ongelmia soveltaen Työn ja energian periaatetta Mekaanisen energian säilymisen periaatetta Sisältö Liike-energia Translaatioliikkeelle (kertaus) Rotaatioliikkeelle kiinteän akselin ympäri Voiman tekemä työ Kerrataan määritelmä viime viikolta Määritellään voimaparin tekemä työ Esimerkkitehtäviä

3 Liike-energia (Kirjan luku 18.1) Translaatioliikkeessä jäykän kappaleen massakeskipisteen liikeenergia on Kun kappale pyörii kiinteän akselin ympäri, kappaleella on sekä translaatioliikkeen että rotaatioliikkeen liike-energia T = 1 2 mv G I Gω 2 T = 1 2 mv G 2 v G = r G ω T = 1 2 m(r Gω ) I Gω 2 = 1 2 (mr G 2 + I G )ω 2 T = 1 2 I Oω 2

4 Esimerkki Määritä kappaleen liike-energia. O G r G G Ympyrälevyn hitausmomentti: I G = 1 2 mr2 Rotaatioliike pisteen O ympäri. T = 1 2 I Oω 2 = 1 2 (mr G 2 + I G )ω 2 = = 4800 Yksiköt: kg m2 s 2 = Nm = J Hoikan sauvan hitausmomentti: I G = 1 12 ml2 Rotaatioliike pisteen O ympäri. T = 1 2 (mr G 2 + I G )ω 2 = (1) = 800 J

5 Voiman tekemä työ (Kirjan luvut 14.1 ja 18.2) Voima tekee työtä kappaleeseen, kun kappaleella on siirtymä voiman suuntaan Jos voima ei ole saman suuntainen kuin siirtymä, työtä tekee ainoastaan voiman komponentti, joka on siirtymän suuntainen. Kun voima pysyy vakiona, työ on voiman siirtymän suuntaisen komponentin ja siirtymän tulo U Fc = F c cos θ s s

6 Voiman tekemä työ (Kirjan luvut 14.1 ja 18.2) Kun siirtymä ja voima kirjoitetaan vektorimuodossa, voidaan työ esittää pistetulona. du = F dr Muuttuvan voiman tekemä kokonaistyö saadaan integroimalla U F = F dr = F cos θ ds s

7 Voiman tekemä työ (Kirjan luku 14.1 ja 18.2) Painon tekemä työ Jousivoiman tekemä työ du s = F s ds = ks ds U s = s 1 s 2 Fs ds = s 1 s 2 ks ds = ( 1 2 ks ks 1 2 ) U W = WΔy

8 Voimaparin tekemä työ (Kirjan luku 18.3) Translaatioliikkeessä voimapari ei tee työtä (voimien vastakkaismerkkiset työt kumoavat toisensa) Rotaatioliikkeessä, kun kappale kiertyy kulman dθ verran, kumpikin voimaparin voima liikkuu matkan ds θ = r 2 dθ. Voimaparin tekemä työ on siten du M = F r 2 dθ + F r 2 dθ = Fr dθ = Mdθ Kun kappale kiertyy kulman θ verran, voimaparin tekemä kokonaistyö on U M = θ 2Mdθ θ 1 Jos voimaparin momentti on vakio: U M = M(θ 2 θ 1 )

9 Konservatiiviset voimat ja potentiaalienergia (Kirjan luvut 14.5 ja 18.5) Voima on konservatiivinen jos sen tekemä työ ei riipu reitistä Painovoima ja jousivoima ovat konservatiivisia Kitkavoima on ei-konservatiivinen, koska sen tekemä työ riippuu kappaleen kulkemasta reitistä Mekaniikassa tärkeitä potentiaalienergian muotoja ovat painovoimaan liittyvä potentiaalienergia, V g, ja jousivoimaan liittyvä potentiaalienergia, V e. Potentiaalienergia on energiaa, joka riippuu paikasta, mitattuna kiinteästä vertailutasosta tai pisteestä. Potentiaalienergia kuvaa konservatiivisen voiman tekemää työtä, kun se liikkuu takaisin vertailupisteeseen.

10 Työn ja energian periaate T 1 + ΣU 1 2 = T 2 T on liike-energia V on potentiaalienergia U on voimien tekemä kokonaistyö Energian säilymisen periaate T 1 + V 1 = T 2 + V 2 Sovelletaan työn ja energian periaatetta, kun systeemiin vaikuttaa ei-konservatiivisia voimia. Sovelletaan energian säilymisen periaatetta, kun systeemiin vaikuttaa vain konservatiivisia voimia.

11 Sovelletaan työn ja energian periaatetta. Miksi? Esimerkki Kuvan pyörällä on massakeskipisteensä, O, suhteen hitaussäde k O = 400 mm. Pyörän massa on 80 kg. Määritä kulmanopeus 20 kierroksen jälkeen alkaen levosta. Voisiko tehtävän ratkaista soveltamalla energian säilymisen periaatetta? Miten tehtävä ratkeaisi liikeyhtälöillä? T 1 + ΣU 1 2 = T 2 Alussa systeemi on levossa, joten T 1 = 0. Määritetään voiman P tekemä työ sekä liike-energia lopussa. Voiman P siirtymä 20 kierroksen jälkeen on s = 20 2π)(0.6m = m Voiman P tekemä työ 20 kierroksen aikana on (oletetaan, että voima pysyy vakiona) U = Ps = 50N m = J Pyörän kulmanopeus 20 kierroksen jälkeen saadaan työn ja energian periaatteesta. T 2 = 1 2 I Oω 2 = U ω = 2U I O = Nm rad = kg (0.4 m) 2 s

12 Esimerkki Miten tehtävää lähdetään ratkaisemaan? Piirretään sauvan vapaakappalekuva ja kineettinen kuva auttamaan ratkaisusuunnitelman tekemisessä Kuvan sauva on tuettu nivelellä pisteestä O ja jousella pisteestä A. Sauva päästetään irti asemasta θ = 0. Mikä on sauvan kulmanopeus asemassa θ = 90? Kun θ = 0, jousi on venymättömässä tilassaan. Sauvan massa on 30 kg. n O t O n G t W = N F = ks n m(a G G ) n m(a G ) t t I G α Tehtävässä kysytään kulmanopeutta, kun tunnetaan kulma-asema alussa ja lopussa. ω Tehtävä voidaan ratkaista liikeyhtälöillä, kuten eilen luennolla, mutta koska tehtävässä ei tarvita kiihtyvyyttä, voimme soveltaa myös energiamenetelmiä. Sauvaan vaikuttaa painovoima ja jousivoima, jotka ovat konservatiivisia voimia. Voimme siis soveltaa energian säilymisen periaatetta. Tehtävä ratkeaisi toki myös työn ja energian periaatteella.

13 Esimerkki Kuvan sauva on tuettu nivelellä pisteestä O ja jousella pisteestä A. Sauva päästetään irti asemasta θ = 0. Mikä on sauvan kulmanopeus asemassa θ = 90? Kun θ = 0, jousi on venymättömässä tilassaan. Sauvan massa on 30 kg. Sovelletaan energian säilymisen periaatetta. T 1 + V 1 = T 2 + V 2 Määritellään liike- ja potentiaalienergia alussa ja lopussa. Liike-energia, kun kappale pyörii kiinteän akselin ympäri: T = 1 2 I Oω 2 T 1 = 0 T 2 = 1 2 I Oω 2 = (11.25kg m 2 )ω 2 I O = 1 12 ml2 + md 2 = kg 1.5m 2 + (30kg)( m)2 = 22.5 kg m 2

14 Esimerkki Kuvan sauva on tuettu nivelellä pisteestä O ja jousella pisteestä A. Sauva päästetään irti asemasta θ = 0. Mikä on sauvan kulmanopeus asemassa θ = 90? Kun θ = 0, jousi on venymättömässä tilassaan. Sauvan massa on 30 kg. Potentiaalienergia sisältää sauvan painovoiman ja jousen elastisen potentiaalienergian. Piirretään systeemi alku- ja loppuasennoissa. Määritetään vertailutaso, jonka suhteen painovoiman ja jousen potentiaalienergia määritetään. Valitaan vertailutasoksi sauvan suuntainen akseli, kun kulma-asema θ = 0. 1 G Datum θ = 0 G θ = 90 2 Potentiaalienergia alussa (asemassa 1) on nolla, koska massakeskipiste on vertailutasolla ja jousi on puristumaton V 1 = 0

15 Esimerkki Kuvan sauva on tuettu nivelellä pisteestä O ja jousella pisteestä A. Sauva päästetään irti asemasta θ = 0. Mikä on sauvan kulmanopeus asemassa θ = 90? Kun θ = 0, jousi on venymättömässä tilassaan. Sauvan massa on 30 kg. 1 G Datum θ = 0 y 2 = 0.75 m θ = 90 Potentiaalienergia asemassa 2 on painovoiman ja jousen elastisen potentiaalienergian summa G 2 (1.5 m) 2 +(2 m) 2 = s m V 2 = V g2 + V e2 V g2 = Wy 2 = 30kg 9.81 m s m = J V e2 = 1 2 ks 2 2 = 1 2 (80 N/m) 2m 2 = 160 J

16 Esimerkki Kuvan sauva on tuettu nivelellä pisteestä O ja jousella pisteestä A. Sauva päästetään irti asemasta θ = 0. Mikä on sauvan kulmanopeus asemassa θ = 90? Kun θ = 0, jousi on venymättömässä tilassaan. Sauvan massa on 30 kg. Energian säilymisen periaate. T 1 + V 1 = T 2 + V = 1 2 I Oω ks 2 2 Wy 2 ω = Wy ks I O = = rad s

17 Yhteenveto Tarkastelimme rotaatioliikkeen kinetiikkaa työn ja energian näkökulmasta Määrittelimme kiinteän akselin ympäri pyörivän kappaleen liike-energian Määrittelimme voiman ja voimaparin tekemän työn ottaen huomioon sekä translaatio- että rotaatioliikkeen Sovelsimme työn ja energian periaatetta sekä energian säilymisen periaatetta kinetiikan ongelmien ratkaisemiseen Kinetiikan ongelmat voidaan ratkaista joko liikeyhtälöiden tai energiaperiaatteiden avulla