KJR-C1001 Statiikka ja dynamiikka. Luento Susanna Hurme

Transkriptio

1 KJR-C1001 Statiikka ja dynamiikka Luento Susanna Hurme

2 Päivän aihe: Translaatioliikkeen kinetiikka (Kirjan luvut 12.6, ja 17.3) Oppimistavoitteet Ymmärtää, miten Newtonin toisen lain avulla saadaan yhteys voiman ja kiihtyvän liikkeen välille Osata soveltaa liikeyhtälöä mekaniikan ongelmien ratkaisemiseen Sisältö Kinetiikka tutkii muutoksia kappaleen liikkeessä sekä muutoksia aiheuttavia voimia Esitellään liikeyhtälö ja sovelletaan sitä partikkelin ja jäykän kappaleen translaatioliikkeen ratkaisemiseen Partikkelin translaatioliike = jäykän kappaleen translaatioliike

3 Mitä on dynamiikka? Mekaniikka: Tutkii kappaleiden käyttäytymistä voimien vaikutuksen alaisena. Statiikka: Tutkii kappaleita tasapainossa. Dynamiikka: 1. Kinematiikka liikkeen geometrinen tarkastelu ilman vaikuttavia voimia 2. Kinetiikka tarkastelee voimia, jotka aiheuttavat liikkeen

4 Kinetiikan sovelluksia Laskuvarjohyppääjä luottaa ilmanvastuksen putoamista vastustavaan voimaan. Kinetiikan avulla voimme määrittää hyppääjän nopeuden ja kiihtyvyyden. Rahtihissin kaapeliin kohdistuva voima voidaan määrittää, kun hissin kiihtyvyys tunnetaan.

5 Newtonin liikelait Ensimmäinen laki: Levossa tai suoraviivaisessa liikkeessä oleva partikkeli pysyy samassa tilassa, jos siihen vaikuttavien voimien resultantti on nolla. Toinen laki: Jos resultanttivoima ei ole nolla, partikkelilla on kiihtyvyys, a, joka on samansuuntainen kuin voimaresultantti ja suuruudeltaan siihen suoraan verrannollinen. Kolmas laki: Partikkelit vaikuttavat toisiinsa voimilla, jotka ovat yhtä suuret, vastakkaissuuntaiset ja samalla vaikutussuoralla.

6 Gravitaatio ja painon määritelmä (Kirjan luku 13.1) Newtonin gravitaatiolaki määrittää kahden partikkelin välisen vetovoiman F = G m 1m 2 r 2 missä F on kahden partikkelin välinen vetovoima, G on universaali gravitaatiovakio, m 1 ja m 2 ovat kahden partikkelin massat ja r niiden välinen etäisyys. Kun toinen partikkeleista on maapallo, ainoastaan maan ja kappaleen välisellä gravitaatiolla on merkitystä. Olkoon kappaleen massa m 1 = m ja maan massa m 2 = M e. Määritellään putoamiskiihtyvyys g = GM e /r 2, jolloin maan ja kappaleen välinen vetovoima on W = mg W on kappaleen paino. Putoamiskiihtyvyys on g = 9.81 m/s 2

7 Liikeyhtälö (Kirjan luku 13.2) Newtonin toinen laki F = ma on nimeltään liikeyhtälö Kun kappaleeseen vaikuttaa useampi voima, määritetään resultanttivoima kaikkien voimien summana. Silloin liikeyhtälö on ΣF = ma Sen avulla yhdistetään kappaleeseen vaikuttavat voimat ja kappaleen kiihtyvyys

8 Liikeyhtälö; jako komponentteihin (Kirjan luku 13.4) Kun tarkastellaan liikettä (x,y,z)- koordinaatistossa, voidaan jakaa kappaleeseen vaikuttavat voimat ja sen kiihtyvyys i, j ja k komponentteihin ΣF = ma; ΣF x i + ΣF y j + ΣF z k = m(a x i + a y j + a z k) ΣF x = ma x ΣF y = ma y ΣF z = ma z

9 Tehtävien ratkaisemisesta 1. Tehtävän ratkaisu alkaa aina koordinaatiston määrittelyllä ja vapaakappalekuvan piirtämisellä. 2. Vapaakappalekuvan avulla voidaan ratkaista resultanttivoima tai sen komponentit. Piirretään myös kineettinen kuva, josta ilmenee kappaleen kiihtyvyys ma -vektorina. 3. Ratkaistaan kiihtyvyys liikeyhtälön avulla. Eilen opimme ratkaisemaan kinematiikan tehtäviä, joissa esiintyvät asema, nopeus ja kiihtyvyys. 4. Ratkaistaan nopeus tai asema kiihtyvyydestä kinematiikan yhtälöiden avulla.

10 Esimerkki 500 N N Kuvan voimat vaikuttavat 10 kg painoiseen laatikkoon. Määritä laatikon nopeus ajanhetkellä t = 2 s, kun nopeus v = 0 hetkellä t = 0. y Piirretään vapaakappalekuva. Piirretään kineettinen kuva. Lasketaan voimaresultantti x -suunnassa. 500 N W = 98.1 N 300 N x = 10a + ΣF x = 500N 4 5 Ratkaistaan kiihtyvyys liikeyhtälöstä. 300N = 100N + ΣF x = ma x N a x = 100N 10kg = 10 m s 2 Miten nopeus ratkaistaan, kun tunnetaan kiihtyvyys?

11 Suoraviivaisen translaatioliikkeen yhtälöt Jos kiihtyvyys on vakio, a = a c : Nopeus v = ds dt Nopeus ajan funktiona v = v 0 + a c t Kiihtyvyys a = dv dt Nopeuden, kiihtyvyyden ja aseman yhteys a ds = v dv Asema ajan funktiona Nopeus aseman funktiona s = s 0 + v 0 t a ct 2 v 2 = v a c (s s 0 )

12 Esimerkki 500 N y 300 N Kuvan voimat vaikuttavat 10 kg painoiseen laatikkoon. Määritä laatikon nopeus ajanhetkellä t = 2 s, kun nopeus v = 0 hetkellä t = 0. Kiihtyvyys on vakio, joten voidaan soveltaa kaavaa: 500 N W = 98.1 N Nopeus ajan funktiona v = v 0 + a c t 300 N x = 10a v = m s 2 2 s = 20 m s N

13 Kitka Jousivoima F f = μ k N F s = ks s = l l 0

14 Esimerkki Moottori kelaa kaapelia vakiokiihtyvyydellä siten, että 20 kg painoinen laatikko liikkuu etäisyyden s = 6 m ajassa 3 s, alkaen levosta. Määritä kaapelissa vallitseva jännitysvoima. Kitkakerroin laatikon ja alustan välillä on μ k = 0.3. y N = x N A T F f ma G Määritetään koordinaatisto ja piirretään vapaakappalekuva ja kineettinen kuva. Ratkaistaan voima N A tasapainoehdosta + ΣF y = N A N cos 30 = 0 N A = cos 30 N Ratkaistaan kitkavoima F f F f = 0.3N A Tehtävässä kiihtyvyys on vakio. Se voidaan ratkaista annettujen lähtötietojen avulla kinematiikan yhtälöstä: s = s 0 + v 0 t a ct 2 (a G ) x = 2(6m)/(3s) 2 = m/s 2 6m = 0 + 0(3s) (a G) x (3s) 2 Ratkaistaan resultanttivoiman x-komponentti (kiihtyvyys on x-akselin suuntainen) ja ratkaistaan kaapelin jännitysvoima liikeyhtälön avulla. + ΣF x = m(a G ) x = cos 30 N = N T N N sin 30 = 20kg(1.3333m/s 2 ) T = 176 N

15 Partikkelijoukon liikeyhtälö (Kirjan luku 13.3) Kun liikeyhtälöä sovelletaan useiden partikkelien muodostamaan joukkoon, se on muotoa ΣF = ma g Partikkelijoukon ulkoisten voimien summa on yhtä suuri kuin koko joukon massa kertaa joukon massakeskipisteen kiihtyvyys. Partikkelien väliset voimat ovat systeemin sisäisiä voimia, jotka kumoavat toisensa. Tarkempi perustelu löytyy kirjasta. Koska liikeyhtälö on voimassa partikkelijoukolle, se on voimassa kappaleelle

16 Jäykän kappaleen liikeyhtälö (Kirjan luku 17.3) Tarkastellaan suoraviivaista translaatioliikettä tasossa Kaikilla kappaleen partikkeleilla on sama kiihtyvyys. Liikeyhtälöt kirjoitetaan kappaleen massakeskipisteelle. ΣF x = m(a G ) x ΣF y = m(a G ) y ΣM G = 0 Viimeinen yhtälö tarkoittaa, että kappale ei pyöri. Silloin voimien momenttien summa massakeskipisteen ympäri on nolla. Resultanttimomentti on joskus hyödyllistä laskea muun pisteen kuin massakeskipisteen ympäri (esim. piste A). Silloin pitää huomioida, että ΣM A = Σ(M k ) A = ma G d momenttiresultantti on yhtä suuri kuin voimien aiheuttama kineettinen momentti.

17 Esimerkki Piirretään vapaakappalekuva y a G Kärryn ja kuorman kokonaismassa on 100 kg. Määritä kärryn kiihtyvyys ja pyöräparin tukireaktiot pisteissä A ja B. Jätä pyörien massa huomiotta. x N B W N A Kärryn kiihtyvyys + ΣF x = m(a G ) x 100N 4 5 = m(a G) x (a G ) x = 80N 100kg = 0.8 m s 2

18 Esimerkki Liikeyhtälöt: + ΣM G = 0 (Kärry ei pyöri) Vapaakappalekuva 100N m 100N m N B 0.4m + N A 0.6m = 0 y a G + ΣF y = m a G y = 0 (Kärryllä ei ole kiihtyvyyttä y-akselin suuntaan) x 100N N B + N A 981N = 0 N B = 430.4N = 430N N A = 610.6N = 611N N B W N A

19 Yhteenveto Tänään opimme ratkaisemaan ongelmia, joihin liittyy voimia ja kiihtyvyys Dynamiikka: 1. Kinematiikka liikkeen geometrinen tarkastelu ilman vaikuttavia voimia 2. Kinetiikka tarkastelee voimia, jotka aiheuttavat liikkeen Esiteltiin liikeyhtälö F = ma Liikeyhtälön avulla laskettiin voimia ja kiihtyvyyksiä Partikkelille suoraviivaisessa translaatioliikkeessä Jäykälle kappaleelle suoraviivaisessa translaatioliikkeessä