9 Maxwellin yhtälöt. 9.5 Aaltoyhtälö ja kenttien lähteet Aaltoyhtälö tyhjössä Potentiaaliesitys Viivästyneet potentiaalit

Koko: px
Aloita esitys sivulta:

Download "9 Maxwellin yhtälöt. 9.5 Aaltoyhtälö ja kenttien lähteet Aaltoyhtälö tyhjössä Potentiaaliesitys Viivästyneet potentiaalit"

Transkriptio

1 9 Maxwellin yhtälöt 9.5 Aaltoyhtälö ja kenttien lähteet Aaltoyhtälö tyhjössä Potentiaaliesitys Viivästyneet potentiaalit Aaltoyhtälön Greenin funktio 9.6 Mittainvarianssi Typeset by FoilTEX 1

2 9.5.1 Aaltoyhtälö tyhjössä Siirrosvirtatermi ( D t ) sähkömagneettinen aaltoliike. Tarkastellaan tyhjiötä (ρ = 0, J = 0). (Ampèren ja Maxwellin laki) B = ɛ 0 µ 0 ( E) t = ɛ 0 µ 0 2 B t 2 (1) Koska B = 0 saadaan aaltoyhtälö: 2 B ɛ 0 µ 0 2 B t 2 = 0 (2) Typeset by FoilTEX 2

3 Samoin sähkökentälle: (Faradayn laki) ja tyhjiössä E = 0 (valon) nopeudella c = 1/ ɛ 0 µ 0 etenevä aalto 2 E ɛ 0 µ 0 2 E t 2 = 0 (3) Typeset by FoilTEX 3

4 9.5.2 Potentiaaliesitys Tutkitaan Maxwellin yhtälön ratkaisemista. Ol. (1) tunnetaan ρ ja J ja (2) väliaine ɛ 0, µ 0. Käytetään skalaari- ja vektoripotentiaaleja φ ja A. Sijoittamalla tämä Faradayn lakiin (M2 ) B = 0 B = A E + t A = 0 (4) joten ( E + A ) t = 0 (5) Typeset by FoilTEX 4

5 eli E = ϕ A t Huom. Faradayn laki tuonut vektoripotentiaalin aikamuutoksesta johtuvan osuuden sähkökenttään. Saavutuksia: (E, B) kenttien kuusi komponenttia ilmaistu neljän muuttujan (ϕ, A) avulla. Tarvittiin neljä Maxwellin yhtälöiden kahdeksasta skalaarikomponentista jäljellä neljä yhtälöä neljän tuntemattoman ratkaisemiseen. Coulombin ja Ampèren ja Maxwellin lait muuttujilla (ϕ, A): 2 ϕ + 2 A 1 c 2 2 A t 2 ( A) t (6) = ρ/ɛ 0 (7) ( A + 1 ) ϕ c 2 t = µ 0 J (8) Typeset by FoilTEX 5

6 Käteviä ratkaisumenetelmiä sopivalla mitan valinnalla: kentät B ja E ovat potentiaalien derivaattoja potentiaaleihin voidaan lisätä sellaisia tekijöitä, jotka katoavat derivoitaessa. Mittamuunnos A A = A + Ψ (9) ϕ ϕ = ϕ Ψ/ t (10) ei vaikuta kenttiin. Typeset by FoilTEX 6

7 Yksi kelvollinen mitta: Lorenzin mittaehto 1 A + 1 c 2 ϕ t = 0 (11) Tällöin yhtälöt yksinkertaistuvat epähomogeenisiksi aaltoyhtälöiksi ( 2 1c 2 ) 2 t 2 ϕ = ρ/ɛ 0 (12) ( 2 1c 2 ) 2 t 2 A = µ 0 J (13) 1 Kyseessä on todellakin Lorenzin mitta eikä Lorentzin mitta. Lorenz oli tanskalainen ja Lorentz hollantilainen fyysikko. Typeset by FoilTEX 7

8 9.5.3 Viivästyneet potentiaalit Saatiin neljä karteesisissa koordinaateissa toisistaan riippumatonta samanmuotoista skalaariyhtälöä, joten riittää tarkastella yhtälöä ϕ:lle: ( 2 1c 2 2 ) t 2 ϕ = ρ/ɛ 0 (14) Jos staattinen tilanne Poissonin yhtälö: ratkaisu LY yl. PY erikoisratkaisu. ratkaisut sekä jokin Ratkaistaan aaltoyhtälö yhdelle varaukselle, joka on sijoitettu origoon ( 2 1c 2 2 ) t 2 ϕ = 0; r 0 (15) Typeset by FoilTEX 8

9 Pallosymmetria: ϕ = ϕ(r) ja 2 (rϕ) r 2 1 c 2 2 (rϕ) t 2 = 0 (16) tutut ±r-suuntiin etenevät ratkaisut: rϕ = f(r ct) + g(r + ct) (17) f(r ct) etenee poispäin varauksesta ja g(r + ct) kohti varausta. homogeeniselle aaltoyhtälölle pallosymmetrinen ratkaisu Löydetty ϕ = f(r ct) r (18) Tutkitaan varauksen vaikutusta ympäristöönsä: mikä on f? Typeset by FoilTEX 9

10 Verrataan saatua ratkaisua staattisen tilanteen potentiaaliin: ϕ = f(r ct) r ϕ = q 4πɛ 0 r (19) Eli nyt q = q(t). Kirjoitetaan f(r) f(t r/c). Hetkellä t r/c pätee f(t r/c) = q(t r/c) 4πɛ 0 (20) joten ϕ(r, t) = q(t r/c) 4πɛ 0 r (21) Typeset by FoilTEX 10

11 Integroidaan kaikkien varausten yli viivästynyt skalaaripotentiaali ϕ: ϕ(r, t) = 1 4πɛ 0 V ρ(r, t ) r r dv = 1 4πɛ 0 V ρ(r, t r r /c) r r dv (22) missä viivästynyt aika t = t r r /c (23) Huom. viivästynyt skalaaripotentiaali huomioi ajan, joka kuluu kustakin pisteestä tarkastelupisteeseen nopeudella c etenevältä signaalilta. Samoin (ϕ A i ) viivästynyt vektoripotentiaali A(r, t) = µ 0 4π V J(r, t ) r r dv = µ 0 4π V J(r, t r r /c) r r dv (24) Lopuksi sähkö- ja magneettikentät saadaan derivoimalla. Typeset by FoilTEX 11

12 = ongelma on ratkaistu (!): Tunnetut ρ, J integrointi ϕ, A derivointi E = ϕ A t ja B = A Käytännössä derivaattojen laskeminen on kuitenkin työlästä. Typeset by FoilTEX 12

13 [Valmistelua kurssin loppuosuuteen] Suppeammassa suhteellisuusteoriassa nelivektoreita esim. ja niiden avulla aaltoyhtälö: nelipotentiaali: A α = (ϕ/c, A) nelivirta j α : j α = (c ρ, J). ( 2 1c 2 2 ) t 2 A α = j α (25) Huom. Maxwellin yhtälöt ovat Lorentz-kovariantteja 2 eli valmiiksi kelvollisia suhteellisuusteorian pätevyysalueelle. 2 Mitta on Lorenzin, mutta kovarianssi Lorentzin. Typeset by FoilTEX 13

14 9.5.4 Aaltoyhtälön Greenin funktio Ratkaistaan aaltoyhtälö Greenin funktiolla. A:n ja ϕ:n aaltoyhtälöt: 2 ψ 1 2 ψ c 2 = 4πf(r, t) (26) t2 missä f(r, t) = tunnettu lähdetermi. ψ:lle ja f :lle Fourier-muunnos: ψ(r, t) = 1 2π ψ(r, ω)e iωt dω ; f(r, t) = 1 2π f(r, ω)e iωt dω (27) Sijoitetaan aaltoyhtälöön ja merkitään k = ω/c epähomogeeninen Helmholtzin aaltoyhtälö ( 2 + k 2 ) ψ(r, ω) = 4πf(r, ω) (28) Typeset by FoilTEX 14

15 Tarkastellaan rajatilannetta k = 0 Poissonin yhtälö Greenin funktion toteutettava ( 2 + k 2 )G k (r; r ) = 4π δ(r r ) (29) Epähomogeenisen aaltoyhtälön ratkaisu on silloin ψ(r, ω) = G k (r, r, ω)f(r, ω) dv (30) ψ(r, t) = 1 2π ψ(r, ω)e iωt dω (31) + homog. yht. ratkaisuja. Huom. Greenin funktion muoto riippuu ongelman reunaehdoista (vrt. pallo). Tarkastellaan reunatonta avaruutta G k on pallosymmetrinen ja riippuu ainoas- Typeset by FoilTEX 15

16 taan etäisyydestä R = r r pallokoordinaateissa 2 G k = 1 R 2 R Koska R on ainoa muuttuja ( R 2 G ) k R = 1 R 2 R 2(R G k) (32) 1 d 2 RdR 2(R G k) + k 2 G k = 4πδ(r r ) (33) Alueessa R > 0: ratkaisut ovat d 2 dr 2(R G k) + k 2 (R G k ) = 0 (34) R G k = A e ikr + B e ikr (35) Rajalla R 0 on kr 1 ja yhtälö (33) Poissonin yhtälö, jonka ratkaisu Typeset by FoilTEX 16

17 käyttäytyy kuten G k 1/R ehto A + B = 1 ja G k (R) = A G + k (R) + B G k (R) (36) missä G ± k = e±ikr /R s.e. G + k = eikr /R : poispäin etenevä palloaalto, G k = e ikr /R : origoon tuleva palloaalto. A ja B määräytyvät reunaehdoista ajassa. Esim. A G + k lähde on hiljaa t < 0 asti ja käynnistyy ulospäin etenevä ratkaisu on fysikaalisesti mielekäs. Typeset by FoilTEX 17

18 Ajasta riippuva Greenin funktio toteuttaa yhtälön ( 2 1c 2 ) 2 t 2 G ± (r, t; r, t ) = 4πδ(r r )δ(t t ) (37) Koska δ(t t ) = 1 2π dω e iwt e iwt (38) on lähdetermi yhtälössä (29) f(r, ω) = 4πδ(r r )e iωt ja G ± (R, τ) = 1 2π e ±ikr R e iωτ dω (39) Typeset by FoilTEX 18

19 missä τ = t t. Koska k = ω/c saadaan G ± (r, t; r, t ) = 1 r r δ(t [t r r /c]) (40) missä G + on (tuttu) viivästynyt ja G edistynyt Greenin funktio. Lopulta: epähomogeenisen aaltoyhtälön ratkaisu on ψ ± (r, t) = G ± (r, t; r, t )f(r, t ) dv dt (41) + homog. yhtälön ratkaisuja. Typeset by FoilTEX 19

20 9.6 Mittainvarianssi Kenttien potentiaaleja voidaan muuttaa s.e. että kentät itse eivät muuttu: A A = A + Ψ (42) ϕ ϕ = ϕ Ψ/ t (43) Mittafunktio Ψ voidaan valita usealla eri tavalla ja se vaikuttaa ratkaistavan yhtälöryhmän muotoon. 2 A 1 c 2 2 A t 2 2 ( A) ϕ + ( t = ρ/ɛ 0 (44) ) = µ 0 J (45) A + 1 c 2 ϕ t Typeset by FoilTEX 20

21 (1) Lorenzin mitta A + 1 ϕ c 2 t = 0 (46) johtaa epähomogeenisiin aaltoyhtälöihin: ( 2 1c 2 ) 2 t 2 ϕ = ρ/ɛ 0 (47) ( 2 1c 2 ) 2 t 2 A = µ 0 J (48) Tällöin mittafunktion Ψ on toteutettava aaltoyhtälö 2 Ψ 1 c 2 2 Ψ t 2 = A 1 c 2 ϕ t (49) yhtälöiden Lorentz-kovarianssi näkyy eksplisiittisesti Typeset by FoilTEX 21

22 (2) Coulombin mitta: A = 0 (50) Koska saadaan mittafunktiolle ehto A = A + Ψ (51) 2 Ψ = A (52) Coulombin mitassa 2 ϕ = ρ/ɛ 0 (53) joten ϕ(r, t) = 1 4πɛ 0 V ρ(r, t) r r dv (54) Typeset by FoilTEX 22

23 aika ei ole viivästetty Coulombin mitta ei ole Lorentz-kovariantti Mitta on silti kelvollinen Maxwellin yhtälöille, joten E ja B kentät tulee oikein Coulombin mitassa vektoripotentiaalille pätee 2 A 1 c 2 2 A t 2 = 1 c 2 ϕ t µ 0J (55) Sievennetään. Oikean puolen ensimmäinen termi on pyörteetön. Helmholtzin teoreema: F = F l + F t ; F l = 0 ; F t = 0 Typeset by FoilTEX 23

24 Käytetään virran jatkuvuusyhtälöä niin saadaan (kts. s. 25) Coulombin mitta = poikittaismitta = säteilymitta ja 2 A 1 c 2 2 A t 2 = µ 0J t (56) A(r, t) = µ 0 4π Jt (r, t r r /c) r r dv (57) Yksi ominaisuus lisää: Coulombin mitta erottelee annetussa koordinaatistossa sähkökentän staattiseen (s) ja induktiiviseen (i) osaan: E s = ϕ ; E i = A/ t (58) Typeset by FoilTEX 24

25 Katsotaan lopuksi miten pitkittäinen virta J l hävisi yhtälöstä (56). Käyttäen yhtälöitä ( J) = ( J) 2 J ja 2 (1/ r r ) = 4 π δ( r r ) voimme kirjoittaa (kts. esim. Arfken): J l = 1 J 4 π r r dv Tämä tulee jatkuvuusyhtälön ja Coulombin mitan avulla muotoon J l = 1 ρ 4 π / t r r dv = { 1 4 π ρ r r dv }/ t = ɛ 0 ϕ t = ɛ 0 µ 0 ϕ t µ 0J = µ 0 J t Typeset by FoilTEX 25

Luku Siirrosvirta

Luku Siirrosvirta Luku 9 Maxwellin yhtälöt Nyt meillä on koossa elektrodynamiikan peruspilarit sillä tasolla, jolla ne tunnettiin 1860-luvun alussa. Maxwell huomasi yhtälöissä piilevän teoreettisen ongelman: Mitä tapahtuu,

Lisätiedot

Maxwellin yhtälöt. Luku Siirrosvirta

Maxwellin yhtälöt. Luku Siirrosvirta Luku 9 Maxwellin yhtälöt Nyt meillä on koossa elektrodynamiikan peruspilarit sillä tasolla, jolla ne tunnettiin 1860-luvun alussa. Maxwell huomasi yhtälöissä piilevän teoreettisen ongelman: Mitä tapahtuu,

Lisätiedot

Maxwellin yhtälöt. Luku Siirrosvirta

Maxwellin yhtälöt. Luku Siirrosvirta Luku 9 Maxwellin yhtälöt Oppimateriaali RMC luku 16 ja CL luvut 8 9; esitiedot KSII luku 7 ja KSIII luku 5. Nyt meillä on koossa elektrodynamiikan peruspilarit sillä tasolla, jolla ne tunnettiin 1860-luvun

Lisätiedot

2 Staattinen sähkökenttä Sähkövaraus ja Coulombin laki... 9

2 Staattinen sähkökenttä Sähkövaraus ja Coulombin laki... 9 Sisältö 1 Johdanto 3 1.1 Mikä tämä kurssi on....................... 3 1.2 Hieman taustaa.......................... 4 1.3 Elektrodynamiikan perusrakenne................ 5 1.4 Pari sanaa laskennasta......................

Lisätiedot

Kuvan 9.1 mukaisessa ajatuskokeessa varataan kondensaattoria sähkövirralla I. Ampèren lain mukaan S 1. kondensaattorilevyt

Kuvan 9.1 mukaisessa ajatuskokeessa varataan kondensaattoria sähkövirralla I. Ampèren lain mukaan S 1. kondensaattorilevyt Luku 9 Maxwellin yhtälöt Nyt meillä on koossa elektrodynamiikan peruspilarit sillä tasolla, jolla ne tunnettiin 1860-luvun alussa. Maxwell huomasi yhtälöissä piilevän teoreettisen ongelman: Mitä tapahtuu,

Lisätiedot

SMG-5250 Sähkömagneettinen yhteensopivuus (EMC) Jari Kangas Tampereen teknillinen yliopisto Elektroniikan laitos

SMG-5250 Sähkömagneettinen yhteensopivuus (EMC) Jari Kangas Tampereen teknillinen yliopisto Elektroniikan laitos SMG-5250 Sähkömagneettinen yhteensopivuus (EMC) Jari Kangas jari.kangas@tut.fi Tampereen teknillinen yliopisto Elektroniikan laitos Sähkömagnetiikka 2009 1 Sähköstatiikka Coulombin laki ja sähkökentän

Lisätiedot

Elektrodynamiikka, kevät 2002

Elektrodynamiikka, kevät 2002 Elektrodynamiikka, kevät 2002 Painovirheiden ja epätäsmällisyyksien korjauksia sekä muita pieniä lisäyksiä luentomonisteeseen Tähän on korjattu sellaiset painovirheet ja epämääräisyydet, joista voi olla

Lisätiedot

ELEC C4140 Kenttäteoria (syksy 2015)

ELEC C4140 Kenttäteoria (syksy 2015) ELEC C4140 Kenttäteoria (syksy 2015) Henrik Wallén Luentoviiko 4 / versio 30. syyskuuta 2015 Sähköstatiikka (Ulaby, luku 4.1 4.5) Maxwellin yhtälöt statiikassa Coulombin voimalaki Gaussin laki Potentiaali

Lisätiedot

SMG-5250 Sähkömagneettinen yhteensopivuus (EMC) Jari Kangas Tampereen teknillinen yliopisto Elektroniikan laitos

SMG-5250 Sähkömagneettinen yhteensopivuus (EMC) Jari Kangas Tampereen teknillinen yliopisto Elektroniikan laitos SMG-5250 Sähkömagneettinen yhteensopivuus (EMC) Jari Kangas jari.kangas@tut.fi Tampereen teknillinen yliopisto Elektroniikan laitos Sähkömagnetiikka 2009 1 1 Maxwellin & Kirchhoffin laeista Piirimallin

Lisätiedot

Luku 14. z L/2 y L/2. J(r,t)=I(t)δ(x)δ(y)θ(L/2 z)θ(z + L/2) e z (14.1) Kuva 14.1: Yksinkertainen dipoliantenni.

Luku 14. z L/2 y L/2. J(r,t)=I(t)δ(x)δ(y)θ(L/2 z)θ(z + L/2) e z (14.1) Kuva 14.1: Yksinkertainen dipoliantenni. Luku 14 Säteilevät systeemit Edellisessä luvussa käsiteltiin vain yhden varauksellisen hiukkasen säteilykenttiä. Nyt tutustutaan esimerkinomaisesti yksinkertaisiin antenneihin ja varausjoukon aiheuttamaan

Lisätiedot

Varatun hiukkasen liike

Varatun hiukkasen liike Luku 17 Varatun hiukkasen liike SM-kentässä Tarkastellaan tässä luvussa varatun hiukkasen liikettä sähkömagneettisessa kentässä. Asiaa on käsitelty RMC:n luvussa 14 ja CL käsittelee Hamiltonin formalismia

Lisätiedot

Yleistä sähkömagnetismista SÄHKÖMAGNETISMI KÄSITEKARTTANA: Varaus. Coulombin voima Gaussin laki. Dipoli. Sähkökenttä. Poissonin yhtälö.

Yleistä sähkömagnetismista SÄHKÖMAGNETISMI KÄSITEKARTTANA: Varaus. Coulombin voima Gaussin laki. Dipoli. Sähkökenttä. Poissonin yhtälö. Yleistä sähkömagnetismista IÄLTÖ: ähkömagnetismi käsitekarttana ähkömagnetismin kaavakokoelma ähkö- ja magneettikentistä Maxwellin yhtälöistä ÄHKÖMAGNETIMI KÄITEKARTTANA: Kapasitanssi Kondensaattori Varaus

Lisätiedot

Varatun hiukkasen liike

Varatun hiukkasen liike Luku 15 Varatun hiukkasen liike SM-kentässä Tarkastellaan lopuksi varatun hiukkasen liikettä sähkömagneettisessa kentässä. Liikeyhtälö on tullut esiin useaan otteeseen kurssin aikana aiemminkin. Yleisesti

Lisätiedot

1. Tarkastellaan kaksiulotteisessa Hilbert avaruudessa Hamiltonin operaattoria

1. Tarkastellaan kaksiulotteisessa Hilbert avaruudessa Hamiltonin operaattoria Kvanttimekaniikka I, tentti 6.. 015 4 tehtävää, 4 tuntia 1. Tarkastellaan kaksiulotteisessa Hilbert avaruudessa Hamiltonin operaattoria ( { ( ( } E iδ H =, E, δ R, kannassa B = 1 =, =. iδ E 0 1 (a (p.

Lisätiedot

Liikkuvan varauksen kenttä

Liikkuvan varauksen kenttä Luku 13 Liikkuvan varauksen kenttä Tässä luvussa tutustutaan liikkuvan varauksen aiheuttamaan sähkömagneettiseen kenttään. Jokaisen sähködynaamikon on laskettava ainakin kerran elämässään Liénardin ja

Lisätiedot

ELEC C4140 Kenttäteoria (syksy 2015)

ELEC C4140 Kenttäteoria (syksy 2015) ELEC C4140 Kenttäteoria (syksy 2015) Henrik Wallén Luentoviiko 6 / versio 14. lokakuuta 2015 Magnetostatiikka (Ulaby, luku 5) Magneettiset voimat ja vääntömomentit Biot Savartin laki Magnetostaattiset

Lisätiedot

Aaltoputket ja mikroliuska rakenteet

Aaltoputket ja mikroliuska rakenteet Aaltoputket ja mikroliuska rakenteet Luku 3 Suorat aaltojohdot Aaltojohdot voidaan jakaa kahteen pääryhmääm, TEM ja TE/TM sen mukaan millaiset kentät niissä etenevät. TEM-aallot voivat edetä vain sellaisissa

Lisätiedot

Ensimmäisen ja toisen kertaluvun differentiaaliyhtälöistä

Ensimmäisen ja toisen kertaluvun differentiaaliyhtälöistä 1 MAT-1345 LAAJA MATEMATIIKKA 5 Tampereen teknillinen yliopisto Risto Silvennoinen Kevät 9 Ensimmäisen ja toisen kertaluvun differentiaaliyhtälöistä Yksi tavallisimmista luonnontieteissä ja tekniikassa

Lisätiedot

Gaussin lause eli divergenssilause 1

Gaussin lause eli divergenssilause 1 80 VEKTOIANALYYI Luento 1 8. Gaussin lause eli divergenssilause 1 A 16.4 Kurssin jäljellä olevassa osassa käymme läpi joukon fysiikan kannalta tärkeitä vektorikenttien integrointia koskevia tuloksia, nimittäin

Lisätiedot

Magneettikenttä. Liikkuva sähkövaraus saa aikaan ympärilleen sähkökentän lisäksi myös magneettikentän

Magneettikenttä. Liikkuva sähkövaraus saa aikaan ympärilleen sähkökentän lisäksi myös magneettikentän 3. MAGNEETTIKENTTÄ Magneettikenttä Liikkuva sähkövaraus saa aikaan ympärilleen sähkökentän lisäksi myös magneettikentän Havaittuja magneettisia perusilmiöitä: Riippumatta magneetin muodosta, sillä on aina

Lisätiedot

MS-A0305 Differentiaali- ja integraalilaskenta 3 Luento 3: Vektorikentät

MS-A0305 Differentiaali- ja integraalilaskenta 3 Luento 3: Vektorikentät MS-A0305 Differentiaali- ja integraalilaskenta 3 Luento 3: Vektorikentät Antti Rasila Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Aalto-yliopisto Syksy 2016 Antti Rasila (Aalto-yliopisto) MS-A0305 Syksy 2016

Lisätiedot

4. Ensimmäisen ja toisen kertaluvun differentiaaliyhtälöistä

4. Ensimmäisen ja toisen kertaluvun differentiaaliyhtälöistä 1 Laaja matematiikka 5 Kevät 010 4. Ensimmäisen ja toisen kertaluvun differentiaaliyhtälöistä Yksi tavallisimmista luonnontieteissä ja tekniikassa esiintyvistä matemaattisista malleista on differentiaaliyhtälö.

Lisätiedot

13. Ratkaisu. Kirjoitetaan tehtävän DY hieman eri muodossa: = 1 + y x + ( y ) 2 (y )

13. Ratkaisu. Kirjoitetaan tehtävän DY hieman eri muodossa: = 1 + y x + ( y ) 2 (y ) MATEMATIIKAN JA TILASTOTIETEEN LAITOS Differentiaaliyhtälöt, kesä 00 Tehtävät 3-8 / Ratkaisuehdotuksia (RT).6.00 3. Ratkaisu. Kirjoitetaan tehtävän DY hieman eri muodossa: y = + y + y = + y + ( y ) (y

Lisätiedot

Differentiaali- ja integraalilaskenta 3 Laskuharjoitus 7 /

Differentiaali- ja integraalilaskenta 3 Laskuharjoitus 7 / M-A3x Differentiaali- ja integraalilaskenta 3, IV/216 Differentiaali- ja integraalilaskenta 3 Laskuharjoitus 7 / 14.-16.3. Harjoitustehtävät 37-4 lasketaan alkuviikon harjoituksissa. Kotitehtävät 41-43

Lisätiedot

Magneettikenttä ja sähkökenttä

Magneettikenttä ja sähkökenttä Magneettikenttä ja sähkökenttä Gaussin laki sähkökentälle suljettu pinta Ampèren laki suljettu käyrä Coulombin laki Biot-Savartin laki Biot-Savartin laki: Onko virtajohdin entisensä? on aina kuvan tasoon

Lisätiedot

MS-A0305 Differentiaali- ja integraalilaskenta 3 Luento 8: Divergenssi ja roottori. Gaussin divergenssilause.

MS-A0305 Differentiaali- ja integraalilaskenta 3 Luento 8: Divergenssi ja roottori. Gaussin divergenssilause. MS-A0305 Differentiaali- ja integraalilaskenta 3 Luento 8: Divergenssi ja roottori. Gaussin divergenssilause. Antti Rasila Aalto-yliopisto Syksy 2015 Antti Rasila (Aalto-yliopisto) MS-A0305 Syksy 2015

Lisätiedot

763306A JOHDATUS SUHTEELLISUUSTEORIAAN 2 Ratkaisut 2 Kevät 2017

763306A JOHDATUS SUHTEELLISUUSTEORIAAN 2 Ratkaisut 2 Kevät 2017 763306A JOHDATUS SUHTEELLISUUSTEORIAAN 2 Ratkaisut 2 Kevät 207. Nelinopeus ympyräliikkeessä On siis annettu kappaleen paikkaa kuvaava nelivektori X x µ : Nelinopeus U u µ on määritelty kaavalla x µ (ct,

Lisätiedot

Staattinen magneettikenttä

Staattinen magneettikenttä Luku 5 Staattinen magneettikenttä Tässä luvussa tutustutaan liikkuvien sähkövarausten eli sähkövirtojen aiheuttamaan staattiseen magneettikenttään. Jos sähköstatiikka tuli opiskeltua huolellisesti, niin

Lisätiedot

Säteilevät systeemit. Luku 15. z L/2 y L/2

Säteilevät systeemit. Luku 15. z L/2 y L/2 Luku 15 Säteilevät systeemit Edellisessä luvussa käsiteltiin vain yhden varauksellisen hiukkasen säteilykenttiä. Nyt tutustutaan esimerkinomaisesti yksinkertaisiin antenneihin ja varausjoukon aiheuttamaan

Lisätiedot

ELEC C4140 Kenttäteoria (syksy 2015)

ELEC C4140 Kenttäteoria (syksy 2015) ELEC C4140 Kenttäteoria (syksy 2015) Henrik Wallén Luentoviiko 1 / versio 8. syyskuuta 2015 Johdanto (ti) Merkinnät ja yksiköt Kenttä- ja lähdesuureet Maxwellin yhtälöt ja väliaineyhtälöt Aallot ja osoittimet

Lisätiedot

Aalto-yliopiston perustieteiden korkeakoulu Matematiikan ja systeemianalyysin laitos

Aalto-yliopiston perustieteiden korkeakoulu Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Aalto-yliopiston perustieteiden korkeakoulu Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Malinen/Ojalammi MS-A0203 Differentiaali- ja integraalilaskenta 2, kevät 2016 Laskuharjoitus 4A (Vastaukset) alkuviikolla

Lisätiedot

VEKTORIKENTÄN ROTAATIO JA DIVERGENSSI, MAXWELLIN YHTÄLÖT

VEKTORIKENTÄN ROTAATIO JA DIVERGENSSI, MAXWELLIN YHTÄLÖT VEKTORIKENTÄN ROTAATIO JA DIVERGENSSI, MAXWELLIN YHTÄLÖT 1/32 2 VEKTORIKENTÄN ROTAATIO JA DIVERGENSSI, MAXWELLIN YHTÄLÖT Kenttäilmiöt Sähkö- ja magneettikentät Vaikeasti havaittavissa ihmisen aistein!

Lisätiedot

KJR-C1001 Statiikka ja dynamiikka. Luento Susanna Hurme

KJR-C1001 Statiikka ja dynamiikka. Luento Susanna Hurme KJR-C1001 Statiikka ja dynamiikka Luento 22.3.2016 Susanna Hurme Päivän aihe: Rotaatioliikkeen kinematiikka: kulmanopeus ja -kiihtyvyys (Kirjan luvut 12.7, 16.3) Osaamistavoitteet Osata analysoida jäykän

Lisätiedot

Sähkömagneettinen induktio

Sähkömagneettinen induktio Sähkömagneettinen induktio Vuonna 1831 Michael Faraday huomasi jotakin, joka muuttaisi maailmaa: sähkömagneettisen induktion. ( Magneto-electricity ) M. Faraday (1791-1867) M.Faraday: Experimental researches

Lisätiedot

Staattinen magneettikenttä

Staattinen magneettikenttä Luku 5 taattinen magneettikenttä Tässä luvussa tustustutaan tasavirtoihin ja niiden aiheuttamiin magneettikenttiin (RM luvut 7 ja 8, L luku 6; esitiedot KII luvut 5 ja 6). 5.1 ähkövirta Nykyaikana sähkövirta

Lisätiedot

Magneettikentät. Haarto & Karhunen. www.turkuamk.fi

Magneettikentät. Haarto & Karhunen. www.turkuamk.fi Magneettikentät Haarto & Karhunen Magneettikenttä Sähkövaraus aiheuttaa ympärilleen sähkökentän Liikkuva sähkövaraus saa aikaan ympärilleen myös magneettikentän Magneettikenttä aiheuttaa voiman liikkuvaan

Lisätiedot

KJR-C1001 Statiikka ja dynamiikka. Luento Susanna Hurme

KJR-C1001 Statiikka ja dynamiikka. Luento Susanna Hurme KJR-C1001 Statiikka ja dynamiikka Luento 15.3.2016 Susanna Hurme Päivän aihe: Translaatioliikkeen kinematiikka: asema, nopeus ja kiihtyvyys (Kirjan luvut 12.1-12.5, 16.1 ja 16.2) Osaamistavoitteet Ymmärtää

Lisätiedot

5 Differentiaaliyhtälöryhmät

5 Differentiaaliyhtälöryhmät 5 Differentiaaliyhtälöryhmät 5.1 Taustaa ja teoriaa Differentiaaliyhtälöryhmiä tarvitaan useissa sovelluksissa. Toinen motivaatio yhtälöryhmien käytölle: Korkeamman asteen differentiaaliyhtälöt y (n) =

Lisätiedot

10. Toisen kertaluvun lineaariset differentiaaliyhtälöt

10. Toisen kertaluvun lineaariset differentiaaliyhtälöt 37. Toisen kertaluvun lineaariset differentiaalihtälöt Tarkastelemme muotoa () ( x) + a( x) ( x) + a( x) ( x) = b( x) olevia htälöitä, missä kerroinfunktiot ja oikea puoli ovat välillä I jatkuvia. Edellisen

Lisätiedot

Elektrodynamiikka ja suhteellisuusteoria

Elektrodynamiikka ja suhteellisuusteoria Luku 16 Elektrodynamiikka ja suhteellisuusteoria Tämä luku seuraa CL:n lukuja 11 ja 12, joissa asiaa on käsitelty laajemmin sekä osittain RMC:n lukua 22. Esitietoina oletetaan modernin fysiikan alkeista

Lisätiedot

Varatun hiukkasen liike

Varatun hiukkasen liike Luku 15 Varatun hiukkasen liike SM-kentässä Tarkastellaan lopuksi varatun hiukkasen liikettä sähkömagneettisessa kentässä. Tehtävänä on siis ratkaista relativistinen liikeyhtälö dp/dt = q(e + v B), (15.1)

Lisätiedot

Staattinen magneettikenttä

Staattinen magneettikenttä Luku 5 Staattinen magneettikenttä 5.1 Sähkövirta Nykyaikana sähkövirta lienee tutumpi ilmiö kuin sähkövaraus. Todellisuudessa varauksia ja virtoja ei oikeastaan voi käsitellä erikseen. Edellisissä luvuissakin

Lisätiedot

3 Lineaariset yhtälöryhmät ja Gaussin eliminointimenetelmä

3 Lineaariset yhtälöryhmät ja Gaussin eliminointimenetelmä 1 3 Lineaariset yhtälöryhmät ja Gaussin eliminointimenetelmä Lineaarinen m:n yhtälön yhtälöryhmä, jossa on n tuntematonta x 1,, x n on joukko yhtälöitä, jotka ovat muotoa a 11 x 1 + + a 1n x n = b 1 a

Lisätiedot

KJR-C1001 Statiikka ja dynamiikka. Luento Susanna Hurme

KJR-C1001 Statiikka ja dynamiikka. Luento Susanna Hurme KJR-C1001 Statiikka ja dynamiikka Luento 31.3.2016 Susanna Hurme Dynamiikan välikoe 4.4.2016 Ajankohta ma 4.4.2016 klo 16:30 19:30 Salijako Aalto-Sali: A-P (sukunimen alkukirjaimen mukaan) Ilmoittautuminen

Lisätiedot

LUKU 10. Yhdensuuntaissiirto

LUKU 10. Yhdensuuntaissiirto LUKU hdensuuntaissiirto Olkoot (M, N) suunnistettu pinta, p M ja v p R 3 p annettu vektori pisteessä p (vektorin v p ei tarvitse olla pinnan M tangenttivektori). Tällöin vektori (v p N(p)) N(p) on vektorin

Lisätiedot

ELEC C4140 Kenttäteoria (syksy 2016)

ELEC C4140 Kenttäteoria (syksy 2016) ELEC C4140 Kenttäteoria (syksy 2016) Henrik Wallén / versio 15. syyskuuta 2016 Vektorianalyysi (Ulaby, luku 3) Viiva-, pinta- ja tilavuusalkiot Nablaoperaatiot Gaussin ja Stokesin lauseet Nabla on ystävä

Lisätiedot

Luento 3: Käyräviivainen liike

Luento 3: Käyräviivainen liike Luento 3: Käyräviivainen liike Kertausta viime viikolta Käyräviivainen liike Heittoliike Ympyräliike Kulmamuuttujat θ, ω ja α Yhdistetty liike Luennon sisältö Kertausta viime viikolta Käyräviivainen liike

Lisätiedot

Luento 5: Käyräviivainen liike. Käyräviivainen liike Heittoliike Ympyräliike Kulmamuuttujat θ, ω ja α Yhdistetty liike

Luento 5: Käyräviivainen liike. Käyräviivainen liike Heittoliike Ympyräliike Kulmamuuttujat θ, ω ja α Yhdistetty liike Luento 5: Käyräviivainen liike Käyräviivainen liike Heittoliike Ympyräliike Kulmamuuttujat θ, ω ja α Yhdistetty liike 1 / 29 Luennon sisältö Käyräviivainen liike Heittoliike Ympyräliike Kulmamuuttujat

Lisätiedot

VAASAN YLIOPISTO SATE.2010 DYNAAMINEN KENTTÄTEORIA: KAPPALE 1: JOHDANTO KAPPALE 2: AJAN MUKAAN MUUTTUVAT KENTÄT JA MAXWELLIN YHTÄLÖT

VAASAN YLIOPISTO SATE.2010 DYNAAMINEN KENTTÄTEORIA: KAPPALE 1: JOHDANTO KAPPALE 2: AJAN MUKAAN MUUTTUVAT KENTÄT JA MAXWELLIN YHTÄLÖT VAAAN YLIOPITO TEKNILLINEN TIEDEKUNTA ÄHKÖTEKNIIKKA Maarit Vesapuisto ATE.010 DYNAAMINEN KENTTÄTEORIA: KAPPALE 1: JOHDANTO KAPPALE : AJAN MUKAAN MUUTTUVAT KENTÄT JA MAXWELLIN YHTÄLÖT Opetusmoniste (Raaka

Lisätiedot

PHYS-A3131 Sähkömagnetismi (ENG1) (5 op)

PHYS-A3131 Sähkömagnetismi (ENG1) (5 op) PHYS-A3131 Sähkömagnetismi (ENG1) (5 op) Sisältö: Sähköiset vuorovaikutukset Magneettiset vuorovaikutukset Sähkö- ja magneettikenttä Sähkömagneettinen induktio Ajasta riippuvat tasa- ja vaihtovirtapiirit

Lisätiedot

ELEC C4140 Kenttäteoria (syksy 2015)

ELEC C4140 Kenttäteoria (syksy 2015) ELEC C4140 Kenttäteoria (syksy 2015) Henrik Wallén Luentoviiko 12 / versio 1. joulukuuta 2015 Antennit (Ulaby 9.1 9.6, 9.9) Hertzin dipoli Kaukokenttä Säteilykuvio ja suuntaavuus Antennin vahvistus ja

Lisätiedot

Erityinen suhteellisuusteoria (Harris luku 2)

Erityinen suhteellisuusteoria (Harris luku 2) Erityinen suhteellisuusteoria (Harris luku 2) Yliopistonlehtori, TkT Sami Kujala Mikro- ja nanotekniikan laitos Kevät 2016 Ajan ja pituuden suhteellisuus Relativistinen työ ja kokonaisenergia SMG-aaltojen

Lisätiedot

2.2 Gaussin eliminaatio. 2.2 Gaussin eliminaatio. 2.2 Gaussin eliminaatio. 2.2 Gaussin eliminaatio

2.2 Gaussin eliminaatio. 2.2 Gaussin eliminaatio. 2.2 Gaussin eliminaatio. 2.2 Gaussin eliminaatio x = x 2 = 5/2 x 3 = 2 eli Ratkaisu on siis x = (x x 2 x 3 ) = ( 5/2 2) (Tarkista sijoittamalla!) 5/2 2 Tämä piste on alkuperäisten tasojen ainoa leikkauspiste Se on myös piste/vektori jonka matriisi A

Lisätiedot

ELEC C4140 Kenttäteoria (syksy 2016)

ELEC C4140 Kenttäteoria (syksy 2016) ELEC C4140 Kenttäteoria (syksy 2016) Henrik Wallén / versio 13. lokakuuta 2016 Luentoviikko 7 Dynaamiset kentät (Ulaby, luku 6) Maxwellin yhtälöt Faradayn induktiolaki ja Lenzin laki Muuntaja Generaattori

Lisätiedot

Luku Sähköinen polarisoituma

Luku Sähköinen polarisoituma Luku 3 Sähkökenttä väliaineessa Tässä luvussa tutustutaan sähkökenttään väliaineessa (RMC luku 4, CL luku 4; esitiedot KSII luku 2, osa 2.9). Väliaineiden sähköisiin ja magneettisiin ominaisuuksiin tutustutaan

Lisätiedot

Asia on periaatteessa tuttua peruskurssilta, mutta laskennallinen

Asia on periaatteessa tuttua peruskurssilta, mutta laskennallinen Luku 2 taattinen sähkökenttä Tässä luvussa tutustutaan sähkövarausten aiheuttamaan staattiseen sähkökenttään. Asia on periaatteessa tuttua peruskurssilta, mutta laskennallinen käsittely on huomattavasti

Lisätiedot

SMG-5250 Sähkömagneettinen yhteensopivuus (EMC) Jari Kangas Tampereen teknillinen yliopisto Elektroniikan laitos

SMG-5250 Sähkömagneettinen yhteensopivuus (EMC) Jari Kangas Tampereen teknillinen yliopisto Elektroniikan laitos SMG-5250 Sähkömagneettinen yhteensopivuus (EMC) Jari Kangas jari.kangas@tut.fi Tampereen teknillinen yliopisto Elektroniikan laitos Sähkömagnetiikka 2009 1 Sähkömagneettiset aallot Aikaharmoniset kentät

Lisätiedot

Elektrodynamiikka 2010 Luennot Elina Keihänen Magneettinen energia

Elektrodynamiikka 2010 Luennot Elina Keihänen Magneettinen energia Elektrodynamiikka 2010 Luennot 18.3.2010 Elina Keihänen Magneettinen energia Mainos Kesätyöpaikkoja tarjolla Planck-satelliittiprojektissa. Googlaa Planck kesätyöt Pääasiassa kolme vuotta tai kauemmin

Lisätiedot

KJR-C1001 Statiikka ja dynamiikka. Luento Susanna Hurme

KJR-C1001 Statiikka ja dynamiikka. Luento Susanna Hurme KJR-C1001 Statiikka ja dynamiikka Luento 24.2.2016 Susanna Hurme Päivän aihe: Voiman momentin käsite (Kirjan luvut 4.1-4.6) Mikä on voiman momentti? Määritetään momentti skalaari- ja vektorimuodossa Opitaan

Lisätiedot

Maailmankaikkeudessa on tietty määrä positiivisia ja negatiivisia sähkövarauksia.

Maailmankaikkeudessa on tietty määrä positiivisia ja negatiivisia sähkövarauksia. Luku 2 taattinen sähkökenttä Tässä luvussa tutustutaan sähkövarausten aiheuttamaan staattiseen sähkökenttään. Asia on periaatteessa tuttua peruskurssilta, mutta laskennallinen käsittely on huomattavasti

Lisätiedot

Kvanttimekaniikka I tentti : 4 tehtävää, 4 tuntia

Kvanttimekaniikka I tentti : 4 tehtävää, 4 tuntia Kvanttimekaniikka I.. 4 tentti : 4 tehtävää, 4 tuntia. (a (p. Olkoon H systeemin Hamiltonin operaattori, ja A jotakin observaabelia kuvaava operaattori. Johda Ehrenfestin teoreema d A dt = ī [A, H] + A

Lisätiedot

= vakio = λ. V (x) V (0) = V (l) = 0.

= vakio = λ. V (x) V (0) = V (l) = 0. 6. Aatoyhtäö I 6.1. Ratkaisu Fourier-sarjojen avua. Oetetaan, että värähteevän angan muodon hetkeä t = määrää funktio u ja nopeuden funktio u 1. Otetaan tehtäväksi määrätä seuraavan akuarvo- reuna-arvotehtävän

Lisätiedot

SMG-5250 Sähkömagneettinen yhteensopivuus (EMC) Jari Kangas Tampereen teknillinen yliopisto Elektroniikan laitos

SMG-5250 Sähkömagneettinen yhteensopivuus (EMC) Jari Kangas Tampereen teknillinen yliopisto Elektroniikan laitos SMG-5250 Sähkömagneettinen yhteensopivuus (EMC) Jari Kangas jari.kangas@tut.fi Tampereen teknillinen yliopisto Elektroniikan laitos Sähkömagnetiikka 2009 1 Ei-ideaaliset piirikomponentit Tarkastellaan

Lisätiedot

Lyhyt yhteenvetokertaus nodaalimallista SÄTEILYTURVAKESKUS STRÅLSÄKERHETSCENTRALEN RADIATION AND NUCLEAR SAFETY AUTHORITY

Lyhyt yhteenvetokertaus nodaalimallista SÄTEILYTURVAKESKUS STRÅLSÄKERHETSCENTRALEN RADIATION AND NUCLEAR SAFETY AUTHORITY Lyhyt yhteenvetokertaus nodaalimallista SÄTELYTUVAKESKUS STÅLSÄKEHETSCENTALEN ADATON AND NUCLEA SAFETY AUTHOTY Ei enää tarkastella neutronien kulkua, vaan työn alla on simppeli tuntemattoman differentiaaliyhtälöryhmä

Lisätiedot

Tilat ja observaabelit

Tilat ja observaabelit Tilat ja observaabelit Maksimaalinen informaatio systeemistä tietyllä ajanhetkellä sisältyy tilaan ψ (ket). Tila = vektori Hilbertin avaruudessa sisätulo ψ ψ C ψ c 1 ψ 1 + c 2 ψ 2 = c 1 ψ ψ 1 + c 2 ψ ψ

Lisätiedot

Lukujonot Z-muunnos Z-muunnoksen ominaisuuksia Z-käänteismuunnos Differenssiyhtälöt. Z-muunnos. 1. joulukuuta Z-muunnos

Lukujonot Z-muunnos Z-muunnoksen ominaisuuksia Z-käänteismuunnos Differenssiyhtälöt. Z-muunnos. 1. joulukuuta Z-muunnos Lukujonot Z-muunnoksen ominaisuuksia Z-käänteismuunnos Differenssiyhtälöt 1. joulukuuta 2015 Lukujonot Z-muunnoksen ominaisuuksia Z-käänteismuunnos Differenssiyhtälöt Lukujono Lukujono on diskreetti funktio

Lisätiedot

Yhtälöryhmä matriisimuodossa. MS-A0004/A0006 Matriisilaskenta. Tarkastellaan esimerkkinä lineaarista yhtälöparia. 2x1 x 2 = 1 x 1 + x 2 = 5.

Yhtälöryhmä matriisimuodossa. MS-A0004/A0006 Matriisilaskenta. Tarkastellaan esimerkkinä lineaarista yhtälöparia. 2x1 x 2 = 1 x 1 + x 2 = 5. 2. MS-A4/A6 Matriisilaskenta 2. Nuutti Hyvönen, c Riikka Kangaslampi Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Aalto-yliopisto 5.9.25 Tarkastellaan esimerkkinä lineaarista yhtälöparia { 2x x 2 = x + x 2

Lisätiedot

1 Peruskäsitteet. Dierentiaaliyhtälöt

1 Peruskäsitteet. Dierentiaaliyhtälöt Teknillinen korkeakoulu Matematiikka Dierentiaaliyhtälöt Alestalo Tässä monisteessa käydään läpi tavallisiin dierentiaaliyhtälöihin liittyviä peruskäsitteitä ja ratkaisuperiaatteita. Esimerkkejä luennoilla

Lisätiedot

Kaksi pistevarausta vaikuttavat toisiinsa voimilla, joiden suunta on niitä yhdistävän suoran suuntainen ja kääntäen verrannollinen varausten

Kaksi pistevarausta vaikuttavat toisiinsa voimilla, joiden suunta on niitä yhdistävän suoran suuntainen ja kääntäen verrannollinen varausten Luku 2 taattinen sähkökenttä Tässä luvussa tutustutaan sähkövarausten aiheuttamaan staattiseen sähkökenttään RMC luvut 2 ja 3; CL luvut 2 ja 3. Materiaali on periaatteessa tuttua fysiikan peruskurssilta

Lisätiedot

PHYS-A3131 Sähkömagnetismi (ENG1) (5 op)

PHYS-A3131 Sähkömagnetismi (ENG1) (5 op) PHYS-A3131 Sähkömagnetismi (ENG1) (5 op) Sisältö: Sähköiset vuorovaikutukset Magneettiset vuorovaikutukset Sähkö- ja magneettikenttä Sähkömagneettinen induktio Ajasta riippuvat tasa- ja vaihtovirtapiirit

Lisätiedot

Aaltoputket ja resonanssikaviteetit

Aaltoputket ja resonanssikaviteetit Luku 12 Aaltoputket ja resonanssikaviteetit Tässä luvussa tutustutaan ohjattuun aaltoliikkeeseen. Kerrataan ensin ajasta riippuvan sähkömagneettisen kentän käyttäytyminen ideaalijohteessa ja sen pinnalla.

Lisätiedot

Tekijä Pitkä matematiikka

Tekijä Pitkä matematiikka K1 Tekijä Pitkä matematiikka 5 7..017 a) 1 1 + 1 = 4 + 1 = 3 = 3 4 4 4 4 4 4 b) 1 1 1 = 4 6 3 = 5 = 5 3 4 1 1 1 1 1 K a) Koska 3 = 9 < 10, niin 3 10 < 0. 3 10 = (3 10 ) = 10 3 b) Koska π 3,14, niin π

Lisätiedot

Elektrodynamiikka. Hannu Koskinen Helsingin yliopisto, Fysiikan laitos

Elektrodynamiikka. Hannu Koskinen Helsingin yliopisto, Fysiikan laitos Elektrodynamiikka Hannu Koskinen Helsingin yliopisto, Fysiikan laitos i Esipuhe Sähkömagnetismin merkitystä nykyaikaisessa elämässä ei tarvitse suuremmin perustella. James Clerk Maxwellin vuoden 1864

Lisätiedot

Differentiaali- ja integraalilaskenta 2 TFM Laskuharjoitus 2L

Differentiaali- ja integraalilaskenta 2 TFM Laskuharjoitus 2L Differentiaali- ja integraalilaskenta 2 TFM Laskuharjoitus 2L Tehtävät 1-3 ovat kotitehtäviä, jotka on tarkoitus laskea ennen loppuviikon harjoitusta. Tehtävät 4-6 palautetaan kirjallisena A4-paperilla

Lisätiedot

ELEC C4140 Kenttäteoria (syksy 2015)

ELEC C4140 Kenttäteoria (syksy 2015) ELEC C4140 Kenttäteoria (syksy 2015) Henrik Wallén Luentoviiko 9 / versio 9. marraskuuta 2015 Tasoaallot, osa 2 (Ulaby 7.3, 7.5, 7.6) Tasoaallon polarisaatio Virranahtoilmiö Tehotiheys ja Poyntingin vektori

Lisätiedot

E p1 = 1 e 2. e 2. E p2 = 1. Vuorovaikutusenergian kolme ensimmäistä termiä on siis

E p1 = 1 e 2. e 2. E p2 = 1. Vuorovaikutusenergian kolme ensimmäistä termiä on siis 763343A IINTEÄN AINEEN FYSIIA Ratkaisut 3 evät 2017 1. Tehtävä: CsCl muodostuu Cs + - ja Cl -ioneista, jotka asettuvat tilakeskeisen rakenteen vuoropaikoille (kuva). Laske tämän rakenteen Madelungin vakion

Lisätiedot

2m 2 r + V (r) ψ n (r) = ɛ n ψ n (r)

2m 2 r + V (r) ψ n (r) = ɛ n ψ n (r) Kvanttimekaniikka I. 5. 4 tentti : 4 tehtävää, 4 tuntia. (a (p. Tarkastellaan keskeisliikettä potentiaalissa V (r = V (r, missä r = r on keskeisliikkeeseen liittyvä suhteellinen etäisyys. Separoi Schrödingerin

Lisätiedot

Elektrodynamiikka. Hannu Koskinen

Elektrodynamiikka. Hannu Koskinen Elektrodynamiikka Hannu Koskinen Uudistettu luentomoniste 2016 3.1.2016 i Esipuhe Tämä luentomoniste on uusin versio vuosina 2000 2015 Helsingin yliopiston fysiikan laitoksessa käytössä olleesta elektrodynamiikan

Lisätiedot

d L q i = V = mc 2 q i 1 γ = = p i. = V = γm q i + QA i. ṗ i + Q A i + Q da i t + j + V + Q φ

d L q i = V = mc 2 q i 1 γ = = p i. = V = γm q i + QA i. ṗ i + Q A i + Q da i t + j + V + Q φ TTKK/Fyskan latos FYS-1640 Klassnen mekankka syksy 2009 Laskuharjotus 5, 16102009 1 Ertysessä suhteellsuusteorassa Lagrangen funkto vodaan krjottaa muodossa v L = m 2 u t 1! ṙ 2 V (r) Osota, että tämä

Lisätiedot

12. Eristeet Vapaa atomi

12. Eristeet Vapaa atomi 12. Eristeet Eristeiden tyypillisiä piirteitä ovat kovalenttiset sidokset (tai vahvat ionisidokset) ja siitä seuraavat mekaaniset ja sähköiset ominaisuudet. Makroskooppisen ulkoisen sähkökentän E läsnäollessa

Lisätiedot

2.7.4 Numeerinen esimerkki

2.7.4 Numeerinen esimerkki 2.7.4 Numeerinen esimerkki Karttusen kirjan esimerkki 2.3: Laske Jupiterin paikka taivaalla..2. Luennoilla käytetty rataelementtejä a, ǫ, i, Ω, ω, t Ω nousevan solmun pituus = planeetan nousevan solmun

Lisätiedot

2 Keskeisvoimakenttä. 2.1 Newtonin gravitaatiolaki

2 Keskeisvoimakenttä. 2.1 Newtonin gravitaatiolaki 2 Keskeisvoimakenttä 2.1 Newtonin gravitaatiolaki Newton oletti, että kappale, jolla on massa m 1, vaikuttaa etäisyydellä r 12 olevaan toiseen kappaleeseen, jonka massa on m 2, gravitaatiovoimalla, joka

Lisätiedot

Elektrodynamiikka. Hannu Koskinen ja Ari Viljanen

Elektrodynamiikka. Hannu Koskinen ja Ari Viljanen Elektrodynamiikka Hannu Koskinen ja Ari Viljanen Kevät 2004 2 Tämä luentomoniste on päivitetty versio Ari Viljasen keväiden 2002-03 luennoista, jotka puolestaan perustuivat Hannu Koskisen aiempiin luentoihin.

Lisätiedot

a P en.pdf KOKEET;

a P  en.pdf KOKEET; Tässä on vanhoja Sähkömagnetismin kesäkurssin tenttejä ratkaisuineen. Tentaattorina on ollut Hanna Pulkkinen. Huomaa, että tämän kurssin sisältö on hiukan eri kuin Soveltavassa sähkömagnetiikassa, joten

Lisätiedot

SMG KENTTÄ JA LIIKKUVA KOORDINAATISTO

SMG KENTTÄ JA LIIKKUVA KOORDINAATISTO SMG KENTTÄ JA LIIKKUVA KOORDINAATISTO LiikeJla vaiku5aa siihen, miten kentät syntyvät ja miten hiukkaset kokevat kenben väli5ämät vuorovaikutukset ja miltä kentät näy5ävät. Vara5u hiukkanen kokee sähkömagneebsen

Lisätiedot

Sähkömagneettiset aallot

Sähkömagneettiset aallot Luku 10 Sähkömagneettiset aallot Sähkömagneettisten aaltojen spektri on erittäin laaja. Esimerkkejä löytyy hyvin matalista taajuuksista aina gammasäteisiin, joiden taajuudet ovat suuruusluokkaa 10 20 10

Lisätiedot

=p(x) + p(y), joten ehto (N1) on voimassa. Jos lisäksi λ on skalaari, niin

=p(x) + p(y), joten ehto (N1) on voimassa. Jos lisäksi λ on skalaari, niin FUNKTIONAALIANALYYSI, RATKAISUT 1 KEVÄT 211, (AP) 1. Ovatko seuraavat reaaliarvoiset funktiot p : R 3 R normeja? Ovatko ne seminormeja? ( x = (x 1, x 2, x 3 ) R 3 ) a) p(x) := x 2 1 + x 2 2 + x 2 3, b)

Lisätiedot

ELEC C4140 Kenttäteoria (syksy 2016)

ELEC C4140 Kenttäteoria (syksy 2016) ELEC C4140 Kenttäteoria (syksy 2016) Henrik Wallén / versio 21. marraskuuta 2016 Tasoaaltojen heijastus ja läpäisy (Ulaby 8.1 8.5) Kohtisuora heijastus ja läpäisy Tehon heijastus ja läpäisy Snellin laki

Lisätiedot

Johdannaisanalyysi. Contingent Claims Analysis Juha Leino S ysteemianalyysin. Laboratorio

Johdannaisanalyysi. Contingent Claims Analysis Juha Leino S ysteemianalyysin. Laboratorio Johdannaisanalyysi Contingent Claims Analysis Juha Leino 11.10.2000 Optimointiopin seminaari - Syksy 2000 / 1 Oletukset Yritys tuottaa tuotetta, jonka hinta on x x noudattaa geometrista Brownin liikettä

Lisätiedot

Insinöörimatematiikka D

Insinöörimatematiikka D Insinöörimatematiikka D M. Hirvensalo mikhirve@utu.fi V. Junnila viljun@utu.fi Matematiikan ja tilastotieteen laitos Turun yliopisto 2015 M. Hirvensalo mikhirve@utu.fi V. Junnila viljun@utu.fi Luentokalvot

Lisätiedot

Maxwell ja hänen yhtälönsä mitä seurasi?

Maxwell ja hänen yhtälönsä mitä seurasi? Maxwell ja hänen yhtälönsä mitä seurasi? Oleteaan tyhjiö: ei virtoja ei varauksia Muutos magneettikentässä saisi aikaan sähkökentän. Muutos vuorostaan sähkökentässä saisi aikaan magneettikentän....ja niinhän

Lisätiedot

Sähkömagneettiset aallot

Sähkömagneettiset aallot Luku 10 Sähkömagneettiset aallot Sähkömagneettisten aaltojen spektri on erittäin laaja. Esimerkkejä löytyy hyvin matalista taajuuksista aina gammasäteisiin, joiden taajuudet ovat suuruusluokkaa 10 20 10

Lisätiedot

Ei-inertiaaliset koordinaatistot

Ei-inertiaaliset koordinaatistot orstai 25.9.2014 1/17 Ei-inertiaaliset koordinaatistot Tarkastellaan seuraavaa koordinaatistomuunnosta: {x} = (x 1, x 2, x 3 ) {y} = (y 1, y 2, y 3 ) joille valitaan kantavektorit: {x} : (î, ĵ, ˆk) {y}

Lisätiedot

Mekaniikan jatkokurssi Fys102

Mekaniikan jatkokurssi Fys102 Mekaniikan jatkokurssi Fys102 Syksy 2009 Jukka Maalampi LUENTO 12 Aallot kahdessa ja kolmessa ulottuvuudessa Toistaiseksi on tarkasteltu aaltoja, jotka etenevät yhteen suuntaan. Yleisempiä tapauksia ovat

Lisätiedot

XFYS4336 Havaitseva tähtitiede II

XFYS4336 Havaitseva tähtitiede II XFYS4336 Havaitseva tähtitiede II Silja Pohjolainen Kaj Wiik Tuorlan observatorio Kevät 2014 Osa kuvista on lainattu kirjasta Wilson, Rohlfs, Hüttemeister: Tools of Radio astronomy XFYS4336 Havaitseva

Lisätiedot

Aaltoputket ja resonanssikaviteetit

Aaltoputket ja resonanssikaviteetit Luku 12 Aaltoputket ja resonanssikaviteetit Tässä luvussa tutustutaan ohjattuun aaltoliikkeeseen. Kerrataan ensin ajasta riippuvan sähkömagneettisen kentän käyttäytyminen ideaalijohteessa ja sen pinnalla.

Lisätiedot

Dierentiaaliyhtälöistä

Dierentiaaliyhtälöistä Dierentiaaliyhtälöistä Markus Kettunen 4. maaliskuuta 2009 1 SISÄLTÖ 1 Sisältö 1 Dierentiaaliyhtälöistä 2 1.1 Johdanto................................. 2 1.2 Ratkaisun yksikäsitteisyydestä.....................

Lisätiedot

Elektrodynamiikka ja suhteellisuusteoria

Elektrodynamiikka ja suhteellisuusteoria Luku 14 Elektrodynamiikka ja suhteellisuusteoria Tämän luvun esitietoina oletetaan modernin fysiikan alkeista tai muualta tutut perustiedot Lorentzin muunnoksista jne. Koska tensorilaskenta ei ole kaikille

Lisätiedot

Tietoa sähkökentästä tarvitaan useissa fysikaalisissa tilanteissa, esimerkiksi jos halutaan

Tietoa sähkökentästä tarvitaan useissa fysikaalisissa tilanteissa, esimerkiksi jos halutaan 3 Sähköstatiikan laskentamenetelmiä Tietoa sähkökentästä tavitaan useissa fysikaalisissa tilanteissa, esimekiksi jos halutaan tietää missäläpilyönti on todennäköisin suujännitelaitteessa tai mikä on kahden

Lisätiedot

Sähkömagneettiset aallot

Sähkömagneettiset aallot Luku 11 Sähkömagneettiset aallot Tämä luku käsittelee monokromaattisten sähkömagneettisten aaltojen etenemistä erilaisissa homogeenisissa väliaineissa (RMC luku 17; CL käsittelee aaltoliikettä luvussa

Lisätiedot