KJR-C1001 Statiikka ja dynamiikka. Luento Susanna Hurme

Transkriptio

1 KJR-C1001 Statiikka ja dynamiikka Luento Susanna Hurme

2 Päivän aihe: Translaatioliikkeen kinematiikka: asema, nopeus ja kiihtyvyys (Kirjan luvut , 16.1 ja 16.2) Osaamistavoitteet Ymmärtää nopeuden ja kiihtyvyyden käsitteet sekä osata esittää ne matemaattisesti skalaari- ja vektorimuodossa Osata kuvata matemaattisesti partikkelin ja jäykän kappaleen translaatioliikettä Sisältö Mitä on dynamiikka? Mitä on kinematiikka? Mitä on kinetiikka? Tarkastellaan partikkelin ja jäykän kappaleen translaatioliikettä Partikkelin translaatioliike = jäykän kappaleen translaatioliike Suoraviivainen liike Tasainen ja muuttuva liike *) Käyräviivainen liike *) Tästä tiedostosta löytyy kalvoja, joita ei käyty luennolla, mm. muuttuva suoraviivainen liike.

3 Mitä on dynamiikka? Mekaniikka: Tutkii kappaleiden käyttäytymistä voimien vaikutuksen alaisena. Statiikka: Tutkii kappaleita tasapainossa. Dynamiikka: 1. Kinematiikka liikkeen geometrinen tarkastelu ilman vaikuttavia voimia 2. Kinetiikka tarkastelee voimia, jotka aiheuttavat liikkeen

4 Tasainen suoraviivainen liike (Kirjan luku 12.2) Kinematiikan suureet Asema, s Siirtymä, s s = s s Matka, s T Nopeus, v v avg = s t Kiihtyvyys, a a avg = v t v = lim t 0 ( s/ t) = ds a = lim t 0 ( v/ t) = dv Keskivauhti, (v sp ) avg = s T t

5 Nopeus on aseman muutos aikavälillä v avg = s t s s s s s ds t t t t t

6 Kiihtyvyys on nopeuden muutos aikavälillä a avg = v t v v v v v dv t t t t t

7 Esimerkki Jos v = (4t + 5) m/s, missä t on sekunteina, määritä a kun t = 2 s. Tehtävänä on määrittää kiihtyvyys, kun tunnetaan nopeus. Nopeuden ja kiihtyvyyden suhde: a = dv a = d 4t + 5 = 4 (m s 2) Kiihtyvyys on vakio, joten se on a = 4 m s2, kun t = 2 s.

8 Tasainen suoraviivainen liike Muodostetaan yhteys siirtymän, nopeuden ja kiihtyvyyden välillä. Kinematiikan yhtälöt: v = ds a = dv v = v s, s = s t, v = v(s t ) Yhdistetyn funktion derivoimissäännön avulla saadaan: Dg f x = g f x f (x) a = dv = dv ds ds = dv ds v a ds = v dv

9 Tasainen suoraviivainen liike Jos kiihtyvyys on vakio, a = a c : Nopeus ajan funktiona a c = dv dv = a c v v 0 dv = 0 t a c v = v 0 + a c t Asema ajan funktiona v = ds = v 0 + a c t ds = (v 0 + a c t) Nopeus aseman funktiona s 0 s ds = 0 t (v 0 + a c t) s = s 0 + v 0 t a ct 2 a c ds = v dv v v 0 v dv = s 0 s a c ds v 2 = v a c (s s 0 )

10 Tasainen suoraviivainen liike Kinematiikan perusyhtälöt Nopeus v = ds Kiihtyvyys a = dv Perusyhtälöistä johdettuja hyödyllisiä yhteyksiä, kun kiihtyvyys on vakio, a = a c : Nopeus ajan funktiona v = v 0 + a c t Perusyhtälöistä johdettu kiihtyvyyden, aseman ja nopeuden yhteys a ds = v dv Asema ajan funktiona Nopeus aseman funktiona s = s 0 + v 0 t a ct 2 v 2 = v a c (s s 0 )

11 Esimerkki *) ei käyty luennolla Kiihtyvyys a = 4 m s2. Määritä asema s ajanhetkellä t = 3 s. Alussa nopeus v = 2 m/s ja asema s = 2 m kun t = 0. Alkutilanne t 0 = 0 s v 0 = 2 m/s s 0 = 2 m Lopputilanne t = 3 s s =? Tehtävänä on määrittää asema ajan funktiona. Kiihtyvyys on vakio. Käytetään yhtälöä: s = s 0 + v 0 t a ct 2 s = 2m + 2 m s 3s m s 2 (3s)2 = 2m + 6m + 18m = 26m

12 Esimerkki Partikkeli liikkuu suoraviivaisesti nopeudella v = (4t 3t 2 ) m/s, missä t on sekunteina. Määritä partikkelin asema, kun t = 4 s. Ajanhetkellä t = 0 s asema on s = 0. Tehtävänä on määrittää asema, kun tunnetaan nopeus. Mistä yhtälöstä lähdetään liikkeelle? Nopeus v = ds vai Nopeus aseman funktiona v 2 = v a c (s s 0 )? a = d 4t 3t2 = 4 6t ( m s 2) Kiihtyvyys ei ole vakio joten emme voi käyttää yhtälöä v 2 = v a c (s s 0 ) joka johdettiin olettaen kiihtyvyys vakioksi v = ds 0 4 v = 0 s ds 0 4 (4t 3t 2 ) = s t2 3 3 t3 0 = s s = 32 m = s = 32 m

13 Suoraviivainen muuttuva liike (Kirjan luku 12.3) *)ei käyty luennolla Kappale liikkuu kuvan suoraviivaisesti ja sen paikka ajan funktiona on annettu kuvaajassa. Määritetään kappaleen liikkeen kuvaajat nopeudelle ja kiihtyvyydelle. Kinematiikan yhtälöt: v = ds a = dv Nopeuden kuvaaja v t määritellään derivoimalla asemaa kuvaavat yhtälöt. 0 t 6 s; s = 0.5 t 3 v = ds = 1.5 t2 6 < t 10 s; s = 108 v = 0 Kiihtyvyyden kuvaaja a t saadaan derivoimalla nopeutta kuvaavat yhtälöt. 0 t 6 s; v = t2 a = dv = 3 t 6 < t 10 s; v = 0 a = 0

14 Suoraviivainen muuttuva liike (Kirjan luku 12.3) *)ei käyty luennolla Piirretään nopeuden ja kiihtyvyyden kuvaajat v t ja a t. 54 v (m/s) 0 t 6 s; v = 1.5 t 2 6 < t 10 s; v = t (s) a (m/s 2 ) 0 t 6 s; a = 3 t 18 6 < t 10 s; a = t (s)

15 Suoraviivainen muuttuva liike (Kirjan luku 12.3) *)ei käyty luennolla Kiihtyvyydestä saadaan ratkaistua nopeus ja nopeudesta asema integroimalla Määritetään nopeuden kuvaaja v t sekä nopeuden funktio v(t), kun tiedetään, että v = 0 hetkellä t = 0. a (m/s 2 ) t (s) a = dv 0 t 0 t 2 s; a = 2 = dv v = 2t (m/s) v 2 < t 4 s; 4 m/s dv = 2 t 2 v = 2t + 8 (m/s) a = dv Kun t = 2 s, v = 4 ( m ). Käytetään tätä tulosta s integroimisrajana seuraavaa aikaväliä tarkastellessa. 0 t 0 v v (m/s) 4-2 t 0 t a = 2 v v 0 dv 4 t (s)

16 Suoraviivainen muuttuva liike (Kirjan luku 12.3) *)ei käyty luennolla Yhteenveto Kinematiikan yhtälöt: v = ds a = dv a ds = v dv Tuntemattomat muuttujat ratkaistaan derivoimalla tai integroimalla kinematiikan yhtälöitä. 54 v (m/s) 0 t 6 s; v = 1.5 t 2 6 < t 10 s; v = 0 Kun liike on muuttuvaa, liikettä kuvataan funktioiden sarjalla. Silloin on parasta piirtää liikkeen kuvaajat. 18 a (m/s 2 ) 6 10 t (s) 0 t 6 s; a = 3 t 6 < t 10 s; a = t (s)

17 Yleinen käyräviivainen liike (Kirjan luku 12.4) Kinematiikan yhtälöt kirjoitetaan vektorimuotoon Keskinopeus Hetkellinen nopeus Paikkavektori r osoittaa aseman Siirtymä saadaan vektorien erotuksesta v avg = r t r v = lim t 0 t = dr r = r r Vauhti v = lim t 0 r t = lim t 0 s t = ds

18 Yleinen käyräviivainen liike Keskikiihtyvyys a avg = v t v = v v v v Hetkellinen kiihtyvyys v a = lim t 0 t = dv Toisin kuin nopeus, kiihtyvyys ei ole liikkeen tangentin suuntainen Kiihtyvyys on samansuuntainen nopeuden muutoksen, v, kanssa v

19 Käyräviivainen liike, jako komponentteihin (Kirjan luku 12.5) Määritellään liikkeen reitti, s, (x, y, z) koordinaatistossa. Partikkelin paikkavektori ajanhetkellä t, kun partikkeli on paikassa (x,y,z) r = xi + yj + zk Partikkeli liikkuu, joten sen paikka muuttuu ajan suhteen. Sen koordinaatit ovat siis ajan funktioita, x = x(t), y = y(t), z = z(t). Myös paikkavektori on ajan funktio, r = r(t). Paikkavektorin suuruus. r = x 2 + y 2 + z 2 Paikkavektorin suunta. u r = r/r

20 Käyräviivainen liike, jako komponentteihin (Kirjan luku 12.5) Esimerkki. Laatikko liukuu alas mäkeä, joka määritellään (x,y)- koordinaatistossa yhtälöllä y = 0.05x 2 m. Mikä on laatikon paikkavektori, kun x = 5 m? r r = xi + yj + zk = 5i j m = 5i j m 5 m Paikkavektorin suuruus (eli laatikon etäisyys origosta). r = x 2 + y 2 + z 2 = = (m) Paikkavektorin suunta. u r = r r = 5i j = 0.97i j Tarkistetaan, että yksikkövektorin u r suuruus on yksi. u r = = 1

21 Käyräviivainen liike, jako komponentteihin (Kirjan luku 12.5) Partikkelin nopeus saadaan aseman aikaderivaatasta. v = dr = d (xi) + d (yj) + d (zk) Muistetaan tulon derivoimissääntö: = dx i + dy j + dz k = v x i + v y j + v z k Dfg = fdg + gdf. = xi + yj + zk Lasketaan nyt termin xi aikaderivaatta d xi = dx i + x di = dx i Koordinaatisto ei muutu ajan suhteen, joten kantavektori i ei muutu ajan suhteen. Nopeuden suuruus. Nopeuden suunta. v = v x 2 + v y 2 + v z 2 u v = v/v

22 Käyräviivainen liike, jako komponentteihin (Kirjan luku 12.5) Esimerkki. Laatikko liukuu alas mäkeä, joka määritellään (x,y)- koordinaatistossa yhtälöllä y = 0.05x 2 m. Kun x = 5 m, laatikon nopeuden x-komponentti v x = 3 m/s. Mikä on nopeuden y-komponentti v y? Käytetään ketjusääntöä: 5 m v y = y = dy = dy dx dx eli y = dy dx x = x d dx (0.05x2 ) = (0.1x) x = (0.1x)v x v y = = 1.5 ( m s )

23 Käyräviivainen liike, jako komponentteihin (Kirjan luku 12.5) Partikkelin kiihtyvyys saadaan nopeuden aikaderivaatasta. v = dv = d (v xi) + d (v yj) + d (v zk) = dv x i + dv y j + dv z k = v x i + v y j + v z k a x = v x = x = xi + yj + zk a y = v y = y = a x i + a y j + a z k a z = v z = z Kiihtyvyyden suuruus. Kiihtyvyyden suunta. a = a x 2 + a y 2 + a z 2 u a = a/a

24 Käyräviivainen liike, jako komponentteihin (Kirjan luku 12.5) Esimerkki. Laatikko liukuu alas mäkeä, joka määritellään (x,y)- koordinaatistossa yhtälöllä y = 0.05x 2 m. Kun x = 5 m, laatikon nopeuden x-komponentti on v x = 3 m/s ja kiihtyvyyden x-komponentti a x = 1.5 m/s 2. 5 m Mikä on kiihtyvyyden y-komponentti a y? a y = y = d y Edellä saatiin tulos: y = (0.1x) x = d (0.1x x) tulon derivaatta = x d d 0.1x + 0.1x x = 0.1 x x + 0.1x x = 0.1v x v x + 0.1xa x a y = (5)( 1.5) = 0.15 ( m s 2)

25 Jäykän kappaleen tasoliike (Kirjan luvut 16.1 ja 16.2)

26 Jäykän kappaleen translaatioliike (Kirjan luku 16.2) Jäykän kappaleen pisteiden A ja B asema ilmoitetaan paikkavektoreilla r A ja r B Pisteiden A ja B asema suhteessa toisiinsa on r B/A r B = r A + r B/A Miten r B/A muuttuu jäykän kappaleen liikkeessä? Transalaatioliikkeessä? Rotaatioliikkeessä?

27 Jäykän kappaleen translaatioliike (Kirjan luku 16.2) Jäykän kappaleen pisteiden A ja B asema ilmoitetaan paikkavektoreilla r A ja r B Pisteiden A ja B asema suhteessa toisiinsa on r B/A r B = r A + r B/A Pisteiden A ja B hetkelliset nopeudet saadaan paikkavektorien aikaderivaatoista dr B = dr A + dr B/A v B = v A + dr B/A = 0 Vastaavasti v B = v A a B = a A

28 Yhteenveto Dynamiikka: 1. Kinematiikka liikkeen geometrinen tarkastelu ilman vaikuttavia voimia 2. Kinetiikka tarkastelee voimia, jotka aiheuttavat liikkeen Opimme, miten kuvataan matemaattisesti partikkelin ja jäykän kappaleen translaatioliikettä Nopeus on aseman derivaatta v = dr Kiihtyvyys on nopeuden derivaatta a = dv Opimme, miten liikkeen suureita ratkaistaan Tasaisessa suoraviivaisessa liikkeessä Käyräviivaisessa liikkeessä