Klassisesta mekaniikasta

Transkriptio

1 Klassisesta mekaniikasta Ville Kivioja 29. elokuuta 2018 Tämän lyhyen artikkelin tarkoituksena on ensin muotoilla klassinen mekaniikka mahdollisimman yleisesti ja käyttäen mahdollisimman selkeitä geometrisia käsitteitä. Sen jälkeen jatkamme käsittelemään mekaanisen järjestelmän hallittavuutta. Sisältö 1 Aksiomatisointi Lagrangen funktion avulla 1 2 Faasiavaruus ja Legendren muunnos 3 3 Symplektistä geometriaa yleisesti Kotangenttikimpun symplektinen rakenne Poissonin sulkeet Vektorikentän Hamiltonilainen nosto Symplektinen rakenne mekaniikassa 7 5 Mekaniisen järjestelmän hallinta Abstraktin hallintajärjestelmän määrittely Chownin Rasheskyn lause Hallinnan mahdollisuus Optimaalinen hallinta Merkintöjä ja käsitteitä T p M on moniston M tangenttiavaruus pisteessä p M. Sen duaaliavaruus on T p M. Tensoria W pisteessä p M merkitään W p, ja tämän lineaarikuvauksen argumentit merkitään sulkuihin, esimerkiksi W p (X, Y ). Monistojen välisen kuvauksen F : M N differentiaalia pisteessä p M merkitään df p. Moniston M kaikkien vektorikenttien joukko on Vec(M) ja kaikkien kovektorien joukko Λ 1 M. Moniston M tangenttikimppu T M on joukkona T M = p M {p} T pm. Vastaavasti kotangenttikimppu on joukkona T M = p M {p} T pm. Näiden topologia ja differentioituva rakenne määräytyy epätriviaalilla tavalla alkuperäisen moniston topologiasta. Merkintöjen yksinkertaistamiseksi, milloin sekaannuksen vaaraa ei ole, vastaisuudessa monesti samaistetaan alkio (p, v) T M vektorin v T p M kanssa, ja vastaavasti duaalialkioille. 1 Aksiomatisointi Lagrangen funktion avulla Klassisessa mekaniikassa fysikaalisen systeemin määrittää täysin systeemin konfiguraatioavaruus ja Lagrangen funktio seuraavassa esiteltävän aksiooman mukaisesti. 1

2 Konfiguraatioavaruus on (differentioituva 1 ) monisto Q, jonka ulottuvuus n on systeemin vapausasteiden lukumäärä ja jota lokaalisti parametrisoi systeemin yleistetyt koordinaatit q 1,..., q n. Kukin konfiguraatioavaruuden piste on siis fysikaalisen systeemin asento, otos, jossa kaikki systeemin vapausasteet on kiinnitetty 2. Konfiguraatioavaruus ei sisällä tietoa systeemin liiketilasta, kuten hiukkasten nopeuksista tai pyörimismääristä. Lagrangen funktio on mielivaltainen funktio L: T Q R, missä T Q merkitsee moniston Q tangenttikimppua. Fysikaalinen systeemi on pari (Q, L). Aksiooma Fysikaalisen systeemin (Q, L) aikakehitys tilasta q A Q tilaan q L Q tapahtuu sellaista käyrää ˆσ : [0, 1] Q pitkin, joka toteuttaa seuraavaa: Jos C on kaikkien niiden käyrien σ : [0, 1] Q joukko, joille σ(0) = q A ja σ(1) = q L, niin aktiofunktio S : C R S(σ) = 1 0 L(σ(t), σ(t)) dt saa stationaarisen arvon käyrällä ˆσ. Käyrää ˆσ sanotaan tällöin luonnolliseksi liikkeeksi. Tämän aksiooman seurauksena annetun fysikaalisen systeemin (Q, L) dynamiikka tunnetaan täydellisesti. Todellakin, olkoon fysikaalinen systeemi tilassa q ja olkoon kiinnitetty alkuehtovektori v T q Q, joka sisältää siis informaation systeemin liiketilasta ensimmäisessä kertaluvussa. Aikakehityksen tilasta q lähtien on tapahduttava sellaista käyrää σ pitkin, että kaikille ajanhetkille t 1 vastaava aktiofunktio S t1, jonka lähtöjoukkoina ovat käyrät α, joille α(0) = q ja α(t 1 ) = σ(t 1 ), saa stationaarisen arvon käyrällä σ. Siten yllä olevan aksiooman nojalla käyrän σ tulee toteuttaa lokaaleissa koordinaateissa nk. Euler Lagrange-yhtälöt 3 L q i σ(t), σ(t) d dt ( L ) σ(t), = 0 1 i n (1) q i σ(t) kaikille riittävän pienille t, missä Lagrangen funktio L on identifioitu koordinaattiesityksensä kanssa. Tämä on aina toisen kertaluvun tavallisten differentiaaliyhtä- 1 Otetaan käytäntö, että kaikki monistot ovat differentioituvia ja kaikki funktiot sileitä (eli koordinaattiesityksissään mielivaltaisen monta kertaa differentioituvia) mainitsematta tätä joka kerta. 2 Esimerkiksi jos fysikaalinen systeemi on vierivä kuulaa tasolla, niin systeemin vapausasteiksi voidaan ottaa koordinaatit q 1,..., q 5 siten, että (q 1, q 2) R 2 antavat tason pisteen, jota kuula koskettaa, ja (q 3, q 4, q 5) SO(3) määrittävät kuulan asennon. Tässä hivenen epäkorrekti merkintä (q 3, q 4, q 5) SO(3) tarkoittaa lokaaleja koordinaatteja. Huomaa, että kuulaan on merkittävä vähintään 2 (ei-antipodaalista) pistettä, jotta sen asento voidaan määrittää. 3 Välivaiheet siihen, miten yllä esitetystä aksioomasta täsmälleen ottaen saadaan Euler Lagrange-yhtälöt, on tehty kunnolla esimerkiksi kirjassa Classical Mechanics and Dynamical Systems, Martin Scholtz, s Huomaa, että käyrien avaruutta voidaan pitää vektoriavaruutena jos halutaan ratkaista ongelma vain lokaalisti, sillä silloin käyrät ovat avaruuden R 2n käyriä (tämä samaistus on tietenkin epäkanoninen). Euler Lagrange-yhtälöt ovat joka tapauksessa vain lokaalit. 2

3 löiden järjestelmä 4 käyrälle σ ja siten alkuehdot σ(0) = q ja σ (0) = v määräävät yksikäsitteisen ratkaisun 5. Esimerkki 1.1. Tarkastellaan fysikaalista systeemiä (Q, L), missä Q = R + ja L(x, v) = 1 2 mv2 mgx. Tällainen fysikaalinen systeemi kuvaa m-massaisen kappaleen 1-ulotteista liikettä homogeenisessa gravitaatiokentässä, jonka voimakkuutta kuvaa parametri g 0. Tällöin L q i σ(t), σ(t) = mg riippumatta ajanhetkestä t tai käyrästä σ. Toinen osittaisderivaatta-termi on L q i σ(t), σ(t) = m σ(t) Siispä systeemin liike määräytyy differentiaaliyhtälöstä 0 = L σ(t), d ( L ) σ(t), = mg m σ(t) q i σ(t) dt q i σ(t) kuten onkin fysikaalisesti selvää. σ(t) = g 2 Faasiavaruus ja Legendren muunnos Fysikaalisen systeemin (Q, L) faasiavaruus on Q:n kotangenttikimppu T Q. Lagrangen funktion tyypillinen muoto on L = T U, missä T, U : T Q R ovat funktiota, joista T tulee ei-degeneroituneesta ( 0 2) -tensorikentästä A monistolla Q siten, että T (q, v) = 1 2 A q(v, v) ja U riippuu vain konfiguraatioavaruuden pisteestä U(q, v) = U(q). Ei-degeneroituneisuus tarkoittaa määritelmän mukaan, että kaikille q Q lineaarikuvaus T q Q T q Q, v A q (v, ) on kääntyvä 6. Esimerkiksi jos konfiguraatioavaruus koostuu vapaasta pistehiukkasesta 2-ulotteisessa avaruudessa (massaltaan m) ja 1-ulotteisesta hyrrästä (hitausmomentilla J), niin sen konfiguraatioavaruus on Q = R 2 S 1. Tällöin luonnollisissa koordinaateissa yleinen vektori on muotoa v = (v x, v y, ω) R 3 ja liike-energia on T (q, v) = 1 2 m(v2 x + v 2 y) Jω2 Siispä tensori A pitää määritellä siten, että A q (v, w) = A q ((v x, v y, ω), (w x, w y, µ)) = m(v x w x + v y w y ) + Jωµ 4 Lagrangen funktio riippuu vain käyrästä ja sen derivaatasta, ja samoin on silloin myös sen osittaisderivaattojen laita. Jälkimmäinen termi Euler Lagrangen yhtälöissä tuottaa korkeintaan toisen kertaluvun aikaderivaattoja käyrästä. 5 Tämä ratkaisu on yksikäsitteinen ja olemassa kaikille t, mutta differentiaaliyhtälö sinänsä on mielekäs vain jossakin ympäristössä, ja saatu ratkaisu on siis lopulta vain lokaali. 6 Siispä vektorien ja kovektorien välillä on identifikaatio, vrt. metriseen tensoriin Riemannin geometriassa. 3

4 Jotta voidaan muodostaa systeemin Hamiltonin funktio, on Lagrangen funktion oltava yllä kuvattua muotoa, joten oletetaan tämä vastedes 7. Tässä tapauksessa liike-energiafunktio T määrää vektorien ja kovektorien identifikaation missä v T q Q identifioidaan kovektoriin A q (v, ). Ei-degeneroituneisuuden vuoksi tämä kuvaus T q Q T q Q on kääntyvä kaikille q ja määrää siten kääntyvän kuvauksen τ : T Q T Q. Yleisesti, kun tangenttikimpun ja kotangenttikimpun välillä on kääntyvä kuvaus, voidaan määritellä sitä vastaava Legendren muunnos: kuvausta τ : T Q T Q vastaava Legendren muunnos on muunnos, joka liittää kuhunkin tangenttikimpun funktioon f : T Q R kotangenttikimpun funktion L(f): T Q R L(f)(α) = α(τ 1 (α)) f(τ 1 (α)) Fysikaalisen systeemin Hamiltonin funktio on systeemin Lagrangen funktion Legendren muunnos liike-energiafunktion antaman identifikaatiokuvauksen suhteen. Laskuesimerkki 1. Lasketaan yllä mainitun systeemin Hamiltonin funktio koordinaateissa. Siis (q, p) = α T Q ja τ 1 (α) = (q, v) siten, että α = τ(q, v) = A q (v, ), eli kaikille w T q Q pätee α(w) = A q (v, w). Siten α(τ 1 (α)) = A q (v, v) eli H(q, p) = H(α) = A q (v, v) L(q, v) = m(v 2 x + v 2 y) + Jω 2 L(q, v) = i p i v i L(q, v) sillä systeemin liikemäärämuuttuja on p = (mv x, mv y, Jω). Tämä viimeinen väite ei ehkä ole välitön suoraan edeltä, mutta jos α = p i dq i moniston koordinaateissa {q i } joillekin kertoimille {p i } ja jos v = v x 1 + v y 2 + ω 3, niin kuten haluttiin. m(v 2 x + v 2 y) + Jω 2 = A q (v, v) = α(v) = p 1 v x + p 2 v y + p 3 ω 3 Symplektistä geometriaa yleisesti Pari (M, ω) on symplektinen monisto, jos M on 2n-ulotteinen monisto ja ω on suljettu ja ei-degeneroitunut 2-muoto. Suljettu merkitsee, että dω = 0. Huomaan, että eidegeneroitunesuus antaa jälleen vektorien ja kovektorien välille identifikaation 8. Symplektisellä monistolla (M, ω) voidaan jokaiseen funktioon f : M R luonnollisella tavalla liittää vektorikenttä v f. Tämä v f, nimeltään funktion f symplektinen gradientti on se vektorikenttä, jonka symplektinen muoto liittää kovektorikenttään df. Toisin sanoen, jos määritellään ξ : Vec(M) Λ 1 (M), ξ(v) = ω(v, ), niin ξ on kääntyvä ja v f = ξ 1 (df). Edelleen ω(v f, w) = df(w) kaikille w Vec(M). 7 Fysiikan kirjallisuudesta saa vaikutelman, että Hamiltonin funktion muodostaminen onnistuu ehkä yleisemmässäkin tapauksessa, mutta vain tämän (melko yleisen) erikoistapauksen logiikka on minulle selvä. 8 Myös edellä Legendren muunnosta varten tarvittiin tällainen identifikaatio, mutta identifikaation antoi hyvin erilainen tensorikenttä kuin tässä käsiteltävä symplektinen muoto ω, eikä edellä esiintynyt konfiguraatioavaruus Q ole symplektinen monisto, vaan sen kotangenttikimppu on, kuten tullaan toteamaan. 4

5 Jos (M, ω) ja (N, η) ovat symplektisiä monistoja, niin diffeomorfismi F : M N on symplektomorfismi, jos F η = ω pätee 9. Seurauksena, jos symplektisen moniston (M, ω) 2-ulotteisille aliavaruuksille määritellään pinta-alat asettamalla ala(s) := S ω, niin symplektomorfismit F : (M, ω) (M, ω) säilyttävät tämän pinta-alan käsitteen, siis ala(s) = ala(f (S)). Poimitaan tähän kaksi matemaattista tulosta, joiden fysikaaliset seuraukset mainitaan seuraavassa luvussa: Tulos 3.1. Jos vektorikenttä v on jonkun funktion f : M R symplektinen gradientti, niin vektorikentän v flow on symplektomorfismi 10. Tulos 3.2. Olkoon v f funktion f symplektinen gradientti. Tällöin f on vakio v f :n flow-käyriä pitkin Kotangenttikimpun symplektinen rakenne Olkoon N monisto. Tällöin kotangenttikimpulla T N on luonnollinen rakenne symplektisenä monistona, kuten seuraavassa määritellään. Olkoon π : T N N kanoninen projektiokuvaus (q, p) q. Kun m T x N (muista, että tulkitaan myös m T M), niin määritellään γ m : T m (T N) R γ m := m dπ m Tarkoituksena on määritellä monistolle T N kovektori, eli kuvaus γ Λ 1 (T N). Tällainen syntyy asettamalla γ(m) = γ m. Näin määritelty γ on nimeltään kotangenttikimpun T N symplektinen potentiaali, toiselta nimeltään tautologinen 1-muoto. Edelleen kanoninen symplektinen muoto kotangenttikimpulla T N on ω := dγ. Huomaa, että alkion m T x N ja kuvauksen γ m koordinaattiesitys on sama. Täsmennetään ja perustellaan tämä. Olkoon {x i } moniston koordinaatit ja m = ξ i dx i. Alkiolla w T m (T N) on esitys w = w i i + w i i, missä { i } ovat moniston N koordinaattivektorit ja { i } ovat muita vektoreita, jotka täydentävät kannan. Tämähän toimii, koska lokaalisti kotangenttikimppu on tuloavaruus eli T m (T N) = T m (N R dim(n) ) = T m N R dim(n). Nyt kanoniselle projektiolle pätee dπ m (w) = w i i T π(m) N = T x N Siispä γ m (w) = m(dπ m (w)) = ξ j dx j ( w i i ) = ξ i w i 9 F on kuvauksen F pull-back-operaattori, joka määritellään niin, että (F η)(v, w) = η(df v, df w). Se siis yksinkertaisesti siirtää symplektisen muodon η monistolta N monistolle M käyttäen diffeomorfismia F. Vielä toisin sanoen, diffeomorfismin F myötä M ja N ovat samaistettavissa, joten moniston N symplektistä muotoa voidaan käyttää monistolla M. 10 Yleisesti, vektorikentän X Vec(M) flow on kuvaus Φ: [0, 1] M M siten, että kiinnitetylle p käyrän σ(t) = Φ(t, p) derivaatta yhtyy kaikissa pisteissä vektorikenttään X. 11 Tavallisen gradientin suuntaan funktio kasvaa kaikkein nopeimmin, symplektisen gradientin suuntaan ei lainkaan, joten nämä ovat hyvin eri käsitteet. 5

6 Siispä siinä missä alkion m koordinaattiesitys on m = (ξ 1,..., ξ n ) niin alkion γ m koordinaattiesitys on (ξ 1,..., ξ n, 0,..., 0) eli merkintöjä venyttäen voidaan kirjoittaa m = ξ i dx i γ m = ξ i dx i Erityisesti perustelimme siis Darboux n lauseen, jonka mukaan kotangenttikimpulla T N on minkä tahansa pisteen ympäristössä olemassa lokaalit koordinaatit (q i, p i ) siten, että saadaan kaavat n n γ = p i dq i ja ω = dq i dp i (2) i=1 3.2 Poissonin sulkeet Olkoon a, b: T Q R funktioita, symplektisinä gradientteinaan v a ja v b. Näiden Poissonin sulkeet on funktio T Q R i=1 {a, b} := ω(v a, v b ) v a (b) Tulos 3.3. Avaruus C (T Q) on Lien algebra varustettuna Poissonin sulkeilla ja luonnollisella vektoriavaruusrakenteella. Lisäksi {ab, c} = {a, c}b + a{b, c} 3.3 Vektorikentän Hamiltonilainen nosto Olkoon X Vec(Q) konfiguraatioavaruuten vektorikenttä. Asetetaan h X : T Q R h X (λ) = λ(x(π(λ))) Vektorikentän X Hamiltonilainen nosto on se kotangenttikimpun vektorikenttä h X, joka on funktion h X symplektinen gradientti. Nimitys Hamiltonilainen nosto tulee siitä, että dπ h X = X. Perustellaan tämä koordinaateissa. Olkoon λ = ξ i dx i T Q. Tällöin h X (λ) = h X (x, ξ) = ξ i dx i (X(x)) = ξ i X i (x) Nyt ω( h X, Z) = dh X (Z) kaikille Z Vec(T Q). Koordinaateissa dh X (Z) = h X dx i (Z) + h X d x i (Z) = h X Z i + h X x i x i x i x i = i ( j ξ j x i X i + j ξ j x i )Z i + i ( j Zi ξ j x i X j + j ξ j x i ) Z i Tässähän { x i } ja {ξ i } molemmat edustavat kotangenttikimpun koordinaatteja pohjamoniston ulkopuolisiin ulottuvuuksiin. Huomaa, että koordinaatit on valittu lokaalin tulorakenteen perusteella siten, että kertoimet {ξ i } oikeasti eivät riipu koordinaateista {x i }. Siis dh X (Z) = ij ξ j x i )Z i + i ( j X i + j ξ j x i ) Z i 6

7 Siispä kun i n, niin hx x i KESKEN. Tästä eteenpäin on silti ok. = ω ij a i Tulos 3.4. Jos X, Y Vec(Q), niin [ h X, h Y ] = h [X,Y ] ja {h X, h Y } = h [X,Y ] Sanotaan, että Hamiltonin funktio H : T Q R on säikeittäin lineaarinen jos kaikilla q Q kuvaus H TqQ on lineaarinen. Tulos 3.5. Hamiltonin funktio H on säikeittäin lineaarinen jos ja vain jos jollekin vektorikentälle X Vec(Q) pätee H = h X. 4 Symplektinen rakenne mekaniikassa Olkoon vastedes ω kanoninen symplektinen muoto faasiavaruudessa T Q. Hamiltonin flow on flow Hamiltonin funktiota H : T Q R vastaavalle vektorikentälle v H, t.s. se on Hamiltonin funktion symplektisen gradientin flow. Faktan 3.2 nojalla Hamiltonin funktio on vakio Hamiltonin flow-käyriä pitkin. Tulos 4.1. Hamiltonin flow-käyrien projektiot konfiguraatioavaruuteen Q ovat luonnollisia liikkeitä. Fysikaalisesti sanoen siis jokaiseen faasiavaruuden pisteeseen liittyy Hamiltonin funktion määräämä vektori v H, joka määrää täysin miten systeemin vapausasteet ja vastaavat yleistetyt liikemäärät kehittyvät ajassa 12. Algebrallisesti tämä voidaan tarkistaa huomaamalla (ks. Esimerkki 4.3), että jos lokaaleissa koordinaateissa σ(t) = (q 1 (t),..., q n (t), p 1 (t),..., p n (t)) on Hamiltonin flow-käyrä, niin Hamiltonin yhtälöt 13 ṗ i = H q i ja q i = H p i (3) toteutuvat. Todistus sille, että Hamiltonin yhtälöt ovat ekvivalentit Euler Lagrangenyhtälöihin (1) löytyy mistä tahansa klassisen mekaniikan kirjasta. Näin Fakta 4.1 on perusteltu. 12 Aikakehitys on lokaali siinä mielessä, että systeemi voi äärellisessä ajassa lakata olemasta. Esimerkiksi edellisen esimerkin pallot voivat sijaita äärellisen kokoisella pyödällä, jolloin esimerkiksi olisi q 1, q 2, q 5, q 6 ]0, 1[. Kuitenkin taas siinä mielessä aikakehitys voidaan päätellä globaalisti, että systeemin koko olemassoloaika tunnetaan täysin. 13 Muista Hamiltonin yhtälöiden fysikaaliset roolit: Jos H = p2 + V (q), niin ensimmäinen yhtälöistä antaa Newtonin toisen lain ṗ = V (huomaa miten liikemäärän muutosnopeus riippuu 2m q vain paikkakoordinaatista, ei lainkaan liikemäärästä) ja toinen nopeuden ja liikemäärän yhteyden ẋ = p/m. 7

8 Tulos 4.2. (Seuraus Faktoista 3.1 ja 4.1) Joukon 14 S T Q pinta-ala säilyy luonnollisen liikkeen seurauksena. Esimerkki 4.3. Seuraavassa käydään läpi algebrallinen harjoitus siitä, miten Hamiltonin yhtälöt (3) seuraavat Hamiltonin flow n määritelmästä. Merkitään Hamiltonin flow-käyrän koordinaatteja σ(t) = (q 1 (t),..., q n (t), p 1 (t),..., p n (t)) =: (X 1,..., X 2n ) Aiemmin todetun nojalla Hamiltonin symplektinen gradientti v H toteuttaa dh(z) = ω(v H, Z) kaikille Z Vec(M). Nyt flow-käyrän märitelmän mukaan (v H ) σ(t) = σ(t) jolloin koordinaateissa H Z j = ω ij σ i Z j Z j Siispä H = ω ij σ i (4) Lausekkeen (2) perusteella symplektisen muodon ω koordinaatit ovat matriisimuodossa [ n ] 2n [ω ij ] 2n i,j=1 = [ω( i, j )] 2n i,j=1 = (dq k dp k )( i, j ) k=1 [ n = dq k ( i )dp k ( j ) dq k ( j )dp k ( i ) k=1 i,j=1 ] 2n i,j=1 Tämä on neljästä blokista koostuva matriisi. Sen vasemman yläreunan blokki on [ n ] n [ω ij ] n i,j=1 = dq k ( i )dp k ( j ) dq k ( j )dp k ( i ) = 0 n k=1 sillä dp i ( j ) = 0 jos j n. Vastaavasta syystä [ω ij ] 2n i,j=n+1 = 0 n. Antidiagonaaliset blokit ovat [ n ] (n,2n) [ω ij ] (n,2n) (i,j)=(1,n+1) = dq k ( i )dp k ( j ) dq k ( j )dp k ( i ) k=1 [ n = dq k ( i )dp k ( j ) k=1 ] (n,2n) (i,j)=(1,n+1) i,j=1 (i,j)=(1,n+1) = [dp i ( j )] (n,2n) (i,j)=(1,n+1) = [ δ (i+n,j) ] (n,2n) (i,j)=(1,n+1) = I n 14 Fysikaalisesti S on joukko konfiguraatioavaruuden pisteitä ja vastaavia liikemääriä. 8

9 sekä vastaavasti (tai antisymmetrian nojalla) [ω ij ] (n,2n) (i,j)=(1,n+1) = I n. Kokonaisuudessaan siis [ ] [ω ij ] (n,2n) (i,j)=(1,n+1) = 0n I n I n 0 n Nyt on suoraviivaista tarkistaa, että yhtälöt (3) ja yhtälöt (4) ovat ekvivalentit. Esimerkiksi, kun j n, niin H = 2n i=1 ω ij σ i H q j = n ω (i+n),j ṗ i = i=1 n ( I n ) ij ṗ i = ṗ j i=1 kuten piti. 5 Mekaniisen järjestelmän hallinta Fysikaalisen systeemin liiketila määräytyy Hamiltonin yhtälöistä (3), eli differentiaaliyhtälöjärjestelmästä kotangenttikimpulla muotoa Koordinaateissa tämä on ẋ(t) = f(x(t)) ( q 1,..., q n, ṗ 1,..., ṗ n ) = ( H p 1,..., H p n, H p 1,..., H p n ) Olkoon U R n, Q monisto ja H : U T Q R mielivaltainen funktio. tällöin pari (Q, H) on hallittava mekaaninen järjestelmä. Ideana on, että u: R U on ajasta riippuva hallintafunktio, ja kiinteälle u(t) U saadaan järjestelmälle Hamiltonin funktio H(u(t), ) =: H u(t). Siis järjestelmän Hamiltonin funktiota voidaan tietyissä rajoissa muuttaa halutulla tavalla ajan kuluessa ja näin vaikuttaa järjestelmän liiketilaan. Systeemin liiketila määräytyy nyt differentiaaliyhtälöjärjestelmästä kotangenttikimpulla muotoa missä eli tarkemmin ẋ(t) = f(x(t), u(t)) { f(x, u)i = Hu p i f(x, u) i = Hu q i n kun i n kun i > n { f(x(t), u(t)i = H u(t) p i (x(t)) kun i n f(x(t), u(t) i = H u(t) q i n (x(t)) kun i > n Esimerkki 5.1 (Junan pysäyttäminen). Fysikaalisena järjestelmänä on juna, jonka liiketila määräytyy 1-ulotteisesta paikasta s sekä nopeudesta v. Merkitään junan liiketilaa (s, v) = x = (x 1, x 2 ). Nämä ovat kotangenttikimpun globaalit koordinaatit. 9

10 Tästä fysikaalisesta järjestelmästä tulee hallittava mekaaninen järjestelmä, jos junaan kohdistettava voima on hallittavissamme. Valitaan U = [ 1, 1] R, eli voimme kohdistaa junaan rajoitetun suuruisen voiman haluttuun suuntaan. Newtonin toinen laki F = ma hajoaa siis differentiaaliyhtälöjärjestelmäksi { ẋ 1 (t) = x 2 (t) (5) ẋ 2 (t) = u(t) missä voimafunktio u: R U voidaan valita vapaasti. Lähtöpaikkamme on mielivaltainen (x 1 (0), x 2 (0)) ja tavoitteena on selvittää, onko olemassa hallintafunktio u = u(t) siten että järjestelmän (5) ratkaisu x(t) toteuttaa jollakin ajanhetkellä x(t) = (0, 0). Tämä vastaa junan pysäyttämistä haluttuun paikkaan. Jos tällaisia hallintafunktioita löydetään, voidaanko löytää paras mahdollinen niistä? Näihin kysymyksiin palataan kun olemme esittäneet tarpeeksi matemaattista teoriaa. 5.1 Abstraktin hallintajärjestelmän määrittely Olkoon U R n, M monisto ja f : U M T M kuvaus, jolle π(f(p, u 1 )) T p M kaikilla u 1 U. Tällöin f on hallittava järjestelmä. Mikä tahansa kuvaus u L (R, U) on järjestelmän hallintafunktio. Vastoin tämän tekstin tavallisia oletuksia, hallintafunktion ei tarvitse olla sileä: riittää että se on paloittain jatkuva. Tyypillisesti se on itseasiassa paloittain vakiofunktio. Käyrä σ u : [a, b] M on hallintafunktion u hallitsema käyrä, jos σ(t) = f(σ(t), u(t)) t Hallittavan järjestelmän f saavutettavissa oleva joukko pisteestä p M on A f p := {σ u(t) t 0, u hallintafunktio} Kukin alkio u 1 U määrää vektorikentän f u1 = f(p, u 1 ). Hallittavan järjestelmän f pisteittäinen Lien algebra pisteessä p M on joukko L f (p) := {X p X L f } T p M missä L f := Lie{f u1 u 1 U} Vec(M) 5.2 Chownin Rasheskyn lause Yleisesti, jos M on monisto, p M ja F Vec(M), niin määritellään A F p := {(Φtn X n Φ t 1 X1 )(p) t i > 0, X i F, n N} O F p := {(Φtn X n Φ t 1 X1 )(p) t i R, X i F, n N} Triviaalisti A F p O F p ja jos F = F niin pätee A F p = O F p. Tulos 5.2 (Chown Rashesky). Jos kaikille p M pätee Lie(F) p Op F = M kaikille p. = T p M, niin 10

11 5.3 Hallinnan mahdollisuus Olkoon f hallittava järjestelmä. Valitaan F := {f u1 u 1 U} Vec(M). Tällöin O F p = {(Φ tn f un Φ t 1 fu1 )(p) t i R, u i U, n N} Huomaa, että joukko Op F merkitsee fysikaalisesti niitä liiketiloja (kotangenttikimpun alkioita), jotka on mahdollista saavuttaa käyttäen hallintafunktioita, jotka ovat paloittain vakioita. Huomaa myös, että Φ t X = Φt X, joten edellinen tulkinta vaatii tarkkaan ottaen, että pätee U = U. Chownin Rasheskyn lauseen mukaan tämä joukko on koko monisto M jos Lie(F) p = T p M kaikilla p. Olemme siis saaneet riittävän ehdon, milloin fysikaalinen järjestelmä voidaa ohjata annetusta liiketilasta mihin tahansa muuhun liiketilaan. Tulos 5.3. Olkoon (Q, H) hallittava mekaaninen järjestelmä, jolle U = U. Määritellään alkiolle u 1 U vektorikenttä f u1 Vec(T Q) koordinaateissa asettamalla Jos f u1 (q 1,..., q n, p 1,..., p n ) i = { Hu1 p i Hu 1 q i n kun i n kun i > n Lie({f u1 u 1 U}) x = T x T Q (6) kaikilla x T Q, niin jokaiselle liiketilaparille y 1, y 2 T Q on olemassa äärellisen monesta palasta koostuva paloittain vakio hallintafunktio u ja sen hallitsema käyrä σ u : [0, 1] T Q siten, että σ u (0) = y 1 ja σ u (1) = y 2. Esimerkki 5.4 (Junan voi pysäyttää). Jatketaan esimerkin 5.1 tarkastelua edellisen tuloksen valossa. Meillä on symmetrinen joukko U = [ 1, 1], faasiavaruus on T Q = R 2 ja on annetuu mielivaltainen liiketila y 1 = (x 1, x 2 ) ja tavoiteltava liiketila y 2 = (0, 0). Esimerkissä 5.1 annettiin jo järjestelmää koskevat Hamiltonin yhtälöt (5), joten emme tarvitse Hamiltonin funktion muotoa, vaan meillä on differentiaaliyhtälöjärjestelmä ẋ = f(x(t), u(t)) suoraan muodossa f u1 (x 1, x 2 ) = (x 2, u 1 ) Junan pysäyttämiseen osoittautuu a posteriori riittävän joukkon U = { 1, 0, 1}, joten tarkastellaan tätä. Nyt f 0 (x 1, x 2 ) = x 2 x1 f 1 (x 1, x 2 ) = x 2 x1 + x2 f 1 (x 1, x 2 ) = x 2 x1 x2 joka ei suoraan viritä koko tangenttiavaruutta pisteissä x 2 = 0. Kuitenkin [f 1 f 0, f 0 ] = [ x2, x 2 x1 ] = x1 joten oletus (6) on voimassa ja junan siis voi pysäyttää äärellisen monesta paloittain vakiosta pätkästä koostuvalla hallintafunktiolla u, joka saa arvoja joukossa { 1, 0, 1}. 11

12 5.4 Optimaalinen hallinta... 12

13 Selvitettäviä asioita i) Mitä täsmälleen tarkoittaa, että aktiofunktio saa stationaarisen arvon. Mitä tarkoittaa funktionaaliderivaatta? Jos jotain fiksua, niin edellisen voinee määritellä jälkimmäisen avulla. ii) Onko tensori A yleisemmin Lagrangen funktion Taylor-sarjan 1. kertaluvun termi silloin kun Lagrange ei ole tavallista muotoa L = T U, vaan sisältää esimerkiksi ristitermejä nopeudesta ja paikasta (liikkuva varaus magneettikentässä)? iii) Olisi parempi jos Faktan 4.1 todistaisi geometrisesti, ilman koordinaatteja. Samalla voisi ymmärtää, että siinä on jotain syvällistä että juuri Legendremuunnetun funktion flow-käyrät antaa alkuperäisen aktion ekstremaaleja! iv) Onko jokainen symplektinen monisto fysikaalinen systeemi? Varmaan ei, mutta onko jokainen kotangenttikimppu varustettuna Hamiltonin funktiolla fysikaalinen systeemi? Varmaan ei, koska tuskin mikä tahansa funktio kelpaa Hamiltoniksi, sen pitäisi kuitenkin tulla Legendre muuntamalla Lagrangesta, ja Lagrangen taas on pakko olla esim konveksi ja vaikka mitä... v) Symplektistä kaarevuutta ei kuulemma ole, eli jokainen symplektinen moniston on lokaalisti symplektomorfinen. Entä globaalisti: Onko topologia ainoa rajoite vai onko symplektisellä monistolla jotakin globaalia karakteristikaa? vi) moniston Q koordinaatistot määräävät kotangenttikimpulle luonnolliset koordinaatit (Markun pistemuunnos ) mutta T Q:lle voidaan laittaa myös mielivaltaiset koordinaatit monistona, ja jos nämä koordinaatit eivät riko Hamiltonin yhtälöjen muotoa, niin koordinaattimuunnos on kanoninen muunnos Markun termistöllä, näin ymmärrän. vii) Markku puhui kinemaattisesta metrisestä tensorista, joka ilmeisesti on tuo tensori A. Tähän liittyy sekin, että klassisen mekaniikan voisi muotoilla myös moniston Q Riemannin geometriana täysin, niinkö? Onko symplektisessä muotoilussa jotain etuja? 13