= ( 1) 2 u tt (x, t) = u tt (x, t)

Transkriptio

1 Harjoitukset 6, syksy Osoita, ettei ajan suunnalla ole merkitystä aaltoyhtälössä: Jos u on ratkaisu, niin U(x, t) = u(x, t) on myös ratkaisu (toisin kuin lämpöyhtälön tapauksessa). Todistus. Funktion u (standardimuotoinen) aaltoyhtälö on muotoa (x, t) u(x, t) = 0, t (x, t) Rn (, ). Derivoinnin ketjusäännön perusteella funktion U aikaderivaatalle pätee U (x, t) = t t u(x, t) = t (( 1)u t(x, t)) = ( 1) u tt (x, t) = u tt (x, t) Vastaavasti paikkaderivaatoille saadaan Näin ollen U x (x, t) = u xjx j (x, t), j = 1,..., n. j U t (x, t) U(x, t) = u tt(x, t) u(x, t) = 0, eli myös U on aaltoyhtälön ratkaisu.. Miten yleinen aaltoyhtälö t c u = 0, missä c 0 on reaalinen vakio, saadaan standardimuotoon u = 0? t Miltä d Alembertin kaava näyttää yleiselle yhtälölle yksiulotteisessa tilanteessa? Oletetaan, että aaltoyhtälö t (x, t) c u(x, t) = 0 pätee. Merkitään U(x, t) = u(cx, t), jolloin paikkaderivaatoille saadaan ketjusäännöllä U x (x, t) = j x u(cx, t) = ( cuxj (cx, t) ) j x j = c u xjx j (cx, t), j = 1,..., n. 1

2 Harjoitukset 6, syksy 017 Aikaderivaatalle puolestaan saadaan Näin ollen U t (x, t) = u tt(cx, t). U t (x, t) U(x, t) = u tt(cx, t) c u(cx, t) = 0, eli U toteuttaa standardimuotoisen aaltoyhtälön. Yleinen aaltoyhtälö saadaan tässä siis standardoitua skaalaamalla paikkamuuttujaa. Skaalauksen voisi tietysti tehdä vaihtoehtoisesti aikamuuttujalle muodossa U(x, t) = u(x, t/c). d Alembertin kaava standardimuotoiselle aaltoyhtälölle on yksiulotteisessa tilanteessa G(x + t) + G(x t) U(x, t) = + 1 x+t H(y) dy, x t jossa G on U:n alkupoikkeama ja H on U:n alkunopeus. Olkoot g ja h vastaavasti u:n alkupoikkeama sekä alkunopeus, jolloin ja H(x) = U t Siten funktiolle u saadaan u(x, t) = U(x/c, t) = G(x) = U(x, 0) = u(cx, 0) = g(cx) = = u (x, 0) = (cx, 0) = h(cx). t G(x/c + t) + G(x/c t) g(x + ct) + g(x ct) g(x + ct) + g(x ct) c + 1 x/c+t x/c t x/c+t x/c t x+ct x ct H(y) dy h(cy) dy h(z) dz, jossa tehtiin muuttujanvaihto z = cy. Näin ollen yleisen yhtälön d Alembertin kaava on g(x + ct) + g(x ct) u(x, t) = + 1 x+ct h(y) dy. c x ct 3. Oletetaan, että F, G C (R). (i) Näytä, että on yksiulotteisen aaltoyhtälön ratkaisu. u(x, t) = F (x + t) + G(x t) (ii) Osoita, että kaikki d Alembertin kaavan antamat ratkaisut u C (R (0, )) alkuarvoilla g C(R) ja h C(R) ovat tätä muotoa joillekin sopiville funktioille F ja G.

3 Harjoitukset 6, syksy 017 (i) Todistus. Ketjusäännöllä saadaan ja x (x, t) = F (x + t) + G (x t) t (x, t) = F (x + t) + ( 1) G (x t) = F (x + t) + G (x t). Näin ollen t (x, t) u (x, t) = 0, x joten u on yksiulotteisen aaltoyhtälön ratkaisu. (ii) Todistus. Jokainen d Alembertin kaavan antama ratkaisu on muotoa u(x, t) = g(x + t) + g(x t) + 1 x+t x t h(y) dy, missä g C (R) ja h C 1 (R). Koska h on C 1 -funktio, integraalifunktio H(x) := x 0 h(y) dy on C -funktio. d Alembertin kaavaa muokkaamalla saadaan g(x + t) + g(x t) H(x + t) H(x t) u(x, t) = + g(x + t) + H(x + t) g(x t) H(x t) = + = F (x + t) + G(x t), jossa siis F = (g + H)/ ja G = (g H)/ ovat C -funktioita koska sekä g että H ovat C -funktioita. 4. Osoita, että kolmiulotteisen radiaalisen aaltoyhtälön ratkaisulle u(r, t) pätee ja päättele ratkaisun yleinen muoto u tt 1 r r (r u r ) = 0, (ru) tt = (ru) rr u(r, t) = 1 (F (r + t) + G(r t)). r 3

4 Harjoitukset 6, syksy 017 Todistus. Derivoinnin tulosäännön avulla lasketaan (ru) rr = r (u + ru r ) = u r + u r + ru rr = u r + ru rr = 1 r (ru r + r u rr ) = 1 r r(r u r ) = r 1 r r(r u r ) = ru tt = (ru) tt. Toiseksi viimeinen yhtälö seuraa tiedosta että u on radiaalisen aaltoyhtälön ratkaisu. Lasketun perusteella funktio ru toteuttaa yksiulotteisen aaltoyhtälön joukossa [0, ] (0, ). Halutaan käyttää edellisen tehtävän esityskaavaa yksiulotteisen aaltoyhtälön ratkaisulle. Tämä ei suoraan onnistu koska ru ei ole aluksi määritelty kun r < 0. Peilataan funktio ru origon suhteen kuten luentomonisteessa. Näin määritelty funktio on C ja aaltoyhtälön ratkaisu koko joukossa R (0, ) koska (ru) rr (0, t) = (ru) tt (0, t) = 0. Näin ollen ru:n pariton laajennus joukkoon R (0, ), ja erityisesti ru itse voidaan esittää muodossa ru(r, t) = F (r + t) + G(r t), josta saadaan u(r, t) = 1 (F (r + t) + G(r t)). r 5. Ratkaise edellisen tehtävän avulla alkuarvo-ongelma (x, t) u(x, t) = 0, t (x, t) R3 (0, ), u(x, 0) = 1/(1 + x ), x R 3, u t (x, 0) = 0, x R3. Etsitään yhtälölle radiaalista ratkaisua edellisen tehtävän avulla. Funktion ru alkupoikkeama on g(r) = r/(1+r ) ja alkunopeus h(r) = r 0 = 0. Tehtävän 3 (ii) perusteella on tässä tilanteessa H = 0 ja F = G = g/, joten tehtävän 4 perusteella ratkaisu saadaan muodossa u(r, t) = 1 r (F (r + t) + G(r t)) = 1 (g(r + t) + g(r t)) r = 1 ( ) r + t r 1 + (r + t) + r t 1 + (r t). 4

5 Harjoitukset 6, syksy 017 Sieventämällä saadaan u(r, t) = 1 ( (r + t) + (r + t)(r t) + (r t) + (r t)(r + t) ) r (1 + (r + t) )(1 + (r t) = 1 ( ) r + (r + t + r t)(r + t)(r t) r (1 + r + t + rt)(1 + r + t rt) = 1 + r t (1 + r + t ) 4r t. Kirjoitetaan ratkaisu vielä x:n avulla muodossa u(x, t) = 1 + x t (1 + x + t ) 4 x t, (x, t) R3 [0, ). 6. Oletetaan, että F C (R) ja määritellään u : R n (0, ) R, u(x, t) = F (ω x ct), missä ω B(0, 1) ja c 0 on reaalinen vakio. Piste tarkoittaa tavallista euklidista sisätuloa. Näytä, että u on yhtälön t c u = 0 ratkaisu joukossa R n (0, ). Miksi näitä ratkaisuja voidaan kutsua tasoaalloiksi? Todistus. Lähdetäänpä taas derivoimaan. Huomioiden ω x = ω 1 x ω n x n saadaan ketjusäännöllä kaikilla j = 1,..., n josta edelleen x j u (x, t) = (ω x ct) F (ω x ct) = ω j F (ω x ct), x j x j (x, t) = ω j F (ω x ct) = ω j (ω x ct) F (ω x ct) x j x j = ω j F (ω x ct). Muuttujan t suhteen puolestaan saadaan u t (x, t) = t (ω x ct) F (ω x ct) = cf (ω x ct), 5

6 Harjoitukset 6, syksy 017 josta edelleen t (x, t) = c t F (ω x ct) = c t (ω x ct) F (ω x ct) = c F (ω x ct). Laskemalla yhteen saadaan kaikilla (x, t) R n (0, ) t (x, t) c u(x, t) = c F (ω x ct) c n ωj F (ω x ct) j=1 = c (1 ω )F (ω x ct) = 0, sillä ω = 1 kun ω B(0, 1). Siispä u on yhtälön ratkaisu joukossa R n (0, ). t c u = 0 Yllä olevan muodon ratkaisuja u kutsutaan tasoaalloiksi, sillä ne etenevät n 1- ulotteisena (hyper)tasona R n :ssä. Tämän näkee huomaamalla, että funktion u(x, t) arvo on kullakin hetkellä t sama (ainakin) niissä pisteissä x, joissa ω x ct on jokin vakio, eli vektoria ω vastaan kohtisuorassa olevilla tasoilla. Tällainen tasoaalto etenee vektorin ω suuntaan nopeudella c. 6