Kitkavoimat. Ol. N massapisteen systeemi ja suoraan nopeuteen verrannollinen kitkavoima: k x v 2. i,x + ky v 2. i,y + kz v 2. vi F = i. r i.
|
|
- Heidi Kokkonen
- 6 vuotta sitten
- Katselukertoja:
Transkriptio
1 Kitkavoimat Ol. N massapisteen systeemi ja suoraan nopeuteen verrannollinen kitkavoima: F (f ) i = k x v i,x ê x k y v i,y ê y k z v i,z ê z Otetaan käyttöön Rayleigh n dissipaatiofunktio N F = 1 2 i=1 ( ) k x vi,x 2 + ky v i,y 2 + kz v i,z 2 F (f ) = i F (f ) i = i vi F = i F v i Yhden hiukkasen tekemä työ kitkaa vastaan on dw i = F (f ) i d r i = F (f ) i v i dt = ( k x v 2 i,x + ky v 2 i,y + kz v 2 i,z Systeemi tekee työtä kitkaa vastaan teholla Ẇ = i Ẇ i = 2F. ) dt Q (f ) j = i F (f ) i r i q j = i F v i r i q j = F q j Liikeyhtälön määräämiseen tarvitaan kaksi skalaarifunktiota L ja F: d L L + F = 0 dt q j q j q j Torstai /20
2 orstai /20 Esimerkki: Painovoimakentässä putoava kappale Tarkastellaan painovoimakentässä g = gê z putoavaa kappaletta, johon vaikuttaa ilmanvastus F (f ) = k v. Nyt skalaarifunktiot ovat F = 1 2 k r 2 L = 1 2 m r 2 mgz Joten antaa liikeyhtälöiksi d L L + F = 0 dt ṙ j r j ṙ j mẍ mÿ m z = kẋ = kẏ = kż mg
3 Tiivistelmä Lagrangen formalismista Systeemiä kuvataan n:llä yleistetyllä koordinaatilla q i, jotka määrittävät pisteen n-ulotteisessa konfiguraatioavaruudessa C. Aikakehitys on käyrä C:ssä ja sen määrittelee Lagrangen funktio L = L({q i }, { q i }, t) s.e. q i :t toteuttavat Lagrangen yhtälöt ( ) d L L = 0 dt q i q i Nämä ovat yleisesti n kpl 2. krtl epälineaarisia differentiaaliyhtälöitä. Huom! Lagrangen funktio ei ole yksikäsitteinen. Voimme tehdä muunnoksen L = αl, α R tai L = L + df dt missä f on mv funktio ja liikeyhtälöt pysyvät samoina (HT) 1. 1 Kvanttimekaniikassa systeemi on kuitenkin muuttunut. Vakio α on tekemisissä Planckin vakion kanssa, kun taas toinen muunnos on salakalavampi ja on luonteeltaan topologinen. Torstai /20
4 Torstai /20 Noetherin teoreema ja symmetriat Palataan hetkeksi säilymislakeihin ja tutkimaan miten ne ilmaantuvat Lagrangen formalismissa. Erityisesti, tarkastellaan jo aiemmalla luennolla mainittua tärkeää Noetherin teoreemaa, joka liittää säilyvät suureet symmetrioihin. Aloitetaan määritelmällä: funktio F ({q i }, { q i }, t) on liikevakio tai säilyvä suure, jos sen kokonaisaikaderivaatta häviää: df dt = n i=1 ( F q j + F ) q j + F q j q j t = 0 Jos L ei riipu eksplisiittisesti ajasta t (eli tl = 0), niin silloin H = j q j L q j L on vakio. Todistus: dh dt = j ( L d q j + q j q j dt ( L ) L q j L ) q j = 0 q j q j q j Kun H = H({q i }, {p i }) niin sitä kutsutaan Hamiltonin funktioksi ja se tyypillisesti identifioidaan systeemin kokonaisenergiaksi. Tästä lisää muutaman kalvon jälkeen.
5 Torstai /20 Oletetaan, että jollekin q j : meillä on liikevakio: Noetherin teoreema ja symmetriat L q j = 0. Silloin q j :tä kutsutaan sykliseksi. Tällöin p j = L q j Todistus: dp ( ) j = d L = L = 0. dt dt q j q j Noetherin teoreema : Tarkastellaan yksiparametrista perhettä kuvauksia: q i (t) Q i (s, t) s R s.e. Q i (0, t) = q i (t). Tämä muunnos on L:n jatkuva symmetria jos s L(Q i (s, t), Q i (s, t), t) = 0 Noetherin teoreeman mukaan jokaista tällaista symmetriaa vastaa säilyvä suure. Todistus: L s = L Q i + L Q i jolloin Q i s Q i s 0 = L = s s=0 i = ( d L dt q i i L Q i + L q i s s=0 i ) Qi + L s s=0 i Q i q i s Q i q i s s=0 = s=0 i ( d L Q i dt q i s ) s=0 ja siis suure i ( L/ q i )( Q i / s), laskettuna pisteessä s = 0, on säilyvä.
6 Torstai /20 Esimerkki: avaruuden homogeenisuus Tarkastellaan N:n massapisteen systeemiä, jolla on Lagrangen funktio: L = 1 2 i m i r 2 i V ( r i r j ) Tällä Lagrangen funktiolla on translaatiosymmetria: r r i + s n, missä n on mv vektori ja s mv reaaliluku eli: L( r i, r i, t) = L( r i + s n, r i, t) Tämä tarkoittaa sitä, että avaruus on homogeeninen ja että systeemin translaatio s n:llä ei muuta liikeyhtälöjä 2. Noetherin teoreemasta voimme laskea tähän translaatioon liittyvän säilyvän suureen: L i r i n = i p i n Koska tämän pitää olla voimassa mv n, päättelemme, että kokonaisliikemäärä i p i on liikevakio. Avaruuden homogeenisuus L:n translaatioinvarianssi Kokonaisliikemäärän säilyminen 2 Nämä translaatiot ovat Galilei ryhmän elementtejä.
7 orstai /20 Esimerkki: avaruuden isotrooppisuus Avaruuden isotropia tarkoittaa sitä, että Lagrangen funktiolla kuvailtu suljettu systeemi on invariantti kierroissa vektorin ˆn ympäri. Eli kaikkia vektoreita r i r i kierretään yhtä paljon. Riittää tarkastella infinitesimaalisia (α pieni) rotaatioita: r i r i + δ r i = r i + αˆn r i Tällöin L( r i, r i ) = L( r i + αˆn r i, r i + αˆn r i ) tuottaa säilyvän suureen L i r (ˆn r i ) = ˆn ( r i p i ) = ˆn L i i Tämä on kokonaisliikemäärämomentin ˆn-suuntainen komponentti. Koska ˆn on mv voidaan taas tiivistetysti todeta: Avaruuden isotrooppisuus L:n kiertoinvarianssi Kokonaisliikemäärämomentin säilyminen
8 Torstai /20 Esimerkki: ajan homogeenisuus Ajan homogeenisuus tarkoittaa sitä, että L on invariantti muunnoksissa t t + s tai toisin sanoen tl = 0. Huomasimme edellä, että tästä seuraa H = i q i ( L/ q i ) L on säilyvä suure. Systeemeissä, joita me tarkastelemme H on yksinkertaisesti kokonaisenergia. Ajan homogeenisuus L:n aikatranslaatioinvarianssi Kokonaisenergian säilyminen Lopuksi pari huomiota: Kaikki luonnon säilymislait liittyvät johonkin symmetriaan Noetherin teoreeman nojalla. Tämä pitää sisällään myös sähkövarausten sekä baryoniluvun säilymisen. Luonnossa on myös diskreettejä symmetrioita, jotka eivät riipu jatkuvasta parametrista. Monet teoriat ovat esimerkiksi peili-invariantteja (pariteetti), joissa r i r i. Nämä eivät tuota säilymislakeja klassisessa fysiikassa (mutta kylläkin kvanttifysiikassa).
9 orstai /20 Hamiltonin periaate Fermat ( ) optiikan peruslaista: Valo kulkee pisteiden r 0 ja r välisen matkan tietä, jolle integraali r ds r saa miniminsä. 0 λ de Maupertuis ( ): Kaikkien mahdollisten liikkeiden joukosta luonto valitsee sen, joka toteutuu pienimmällä vaikutuksella S : r t t S m v d r = r 0 m v vdt = 2 t 0 Tdt t 0 Konservatiiviselle systeemille E = T + U on säilyvä suure ja: S = t (T + E U) dt = E (t t 0 ) + t 0 t Ldt t 0 Hamilton: Kaikkien pisteiden {q 1 } ja {q 2 } välisten mahdollisten ratojen joukosta valikoituu se, jolle (Hamiltonin) vaikutusintegraali I = t2 saa ääriarvon, joko minimin tai maksimin. t 1 L({q i }, { q i }, t)dt Hamiltonin periaatetta kutsutaan joskus nimellä pienimmän vaikutuksen periaatteeksi, mutta tarkempi termi olisi stationaarisen vaikutuksen periaate.
10 Torstai /20 Feynmanin tokaisu When I was in high school, my physics teacher called me down one day after class and said, You look bored, I want to tell you something interesting. Then he told me something I have always found fascinating. Every time the subject comes up I work on it. Richard Feynman Feynmanin opettaja kertoi hänelle pienimmän vaikutuksen periaatteesta, joka on yksi syvällisimmästä fysiikan tuloksista.
11 Torstai /20 Variaatiolaskentaa Merkitään y = dy dx ja olkoon f (y, y, x) määritelty radalla y(x). Tehtävänä on etsiä sellainen rata y(x), jolle J = x2 f (y, y, x)dx saa ääriarvon (eli J on stationaarinen), kun y poikkeaa infinitesimaalisesti oikeasta ratkaisusta. Otetaan käyttöön variaatioparametri α ja olkoon funktio η(x) mielivaltainen, mutta joka häviää päätepisteissä η( ) = η(x 2 ) = 0. Kirjoitetaan y: y(x, α) = y(x, 0) + αη(x) jolloin J = J(α): J(α) = x2 Stationaariselle ratkaisulle y(x) = y(x, 0): f (y(x, α), y (x, α), x)dx dj = 0 dα α=0
12 orstai /20 Muista Variaatiolaskentaa x2 J(α) = f (y(x, α), y (x, α), x)dx, y(x, α) = y(x, 0) + αη(x) Lasketaan siis derivaatta eksplisiittisesti dj x2 { f dα = y y α + f y } y dx α x2 { f y = y α + f 2 } y y dx x α x2 { f = y η + f } dη y dx dx = f y η(x) x x2 { 2 f + y η d dx }{{} 0 ( ) } f y η dx Haluttiin stationaarinen ratkaisu J (0) = 0, kun y(x) = y(x, 0), joka tuotti yhtälön x2 { f y d ( )} f dx y η(x)dx, missä y = y(x)
13 Torstai /20 Variaatiolaskentaa Saatiin x2 { f y η d ( ) } f dx y η dx = 0 Tämä yhtälö on yleistä muotoa x2 M(x)η(x)dx = 0, missä η(x) mv Variaatiolaskennan peruslemma sanoo silloin, että M(x) = 0, joka tuottaa Eulerin ( ) yhtälön: f y d ( ) f dx y = 0 ( ) Vertaa Lagrangen yhtälöön sijoittamalla f = L, y = q, x = t: L q d L = 0. Tätä dt q kutsutaankin monesti Eulerin-Lagrangen yhtälöksi.
14 Torstai /20 Esimerkki: Lyhin tie kahden pisteen välillä Määrätään mikä on lyhin tie kahden pisteen (, y 1 ) ja (x 2, y2) välillä. Viivaelementti: Jolloin J = (x2,y 2 ) (,y 1 ) Sijoitetaan nämä Eulerin yhtälöön: ds = dx 2 + dy 2 = 1 + y 2 dx x2 ds = 1 + y 2 dx, missä siis f = 1 + y 2 0 = d dx c = f y f y = d y d + y 2 y y c = a 1 + y 2 1 c 2 y = ax + b mikä on tietenkin suoran yhtälö.
15 orstai /20 Esimerkki: Brachistocrone-ongelma Jean Bernoulli (1696): Millaista rataa pitkin kappale liukuu kitkatta pisteestä A pisteeseen B lyhyimmässä ajassa? NJ (2014): Mikä on nopein vesiliukumäki? Minimoitava aika: T = B A Energia säilyy: ds. Valitaan B = (1, 1). v mgy = 1 2 mv 2 v = 2gy T = 1 2g x y (x) 2 dx y
16 Torstai /20 Esimerkki: Brachistocrone-ongelma T = 1 2g x y (x) 2 dx y Valitaan g = 1. Testataan eri mahdollisuuksia: 2 Suora y(x) = x : T = x dx = 2 2 2, 8284 Ympyrän kaari y = 1 (x 1) 2 : T = 1 dx 0 (2x x 3 ) 3/4 2, 6221 Paraabeli y = x : T = 1 1 dx 1+4x 2 0 2, 5872 x 3/4 Varioimalla: ( ) d f dt y f y = 0, missä siis f = 1+y (x) 2 y löydetään ratkaisu (HT): x = ay y 2 + a arccos(1 2y/a), 2 a integroimisvakio Parametrimuodossa (HT): { x = 1 a (θ sin θ) 2 y = 1 a (1 cos θ) 2 sykloidi
17 Torstai /20 Esimerkki: Brachistocrone-ongelma Sykloidi on sellainen yksikäsitteinen käyrä γ, jolla on parametrimuotoinen esitys kuten ed. kalvolla. Voit ajatella, että sen generoi pyörän venttiili renkaan pyöriessä. Voimme nyt laskea mitä saimme, ensin ratkaistaan numeerisesti loppukulma: y x = 1 = 1 cos θ 2 θ 2 sin θ 2 θ 2 2, 4120 ratkaistaan vakio a = 2/(1 cos θ 2 ) 1, 146, lasketaan differentiaalit ja sijoitetaan Kuten pitikin, pienin aika! T = { dy dx θ2 0 = 1 a sin θdθ 2 = 1 a(1 cos θ)dθ 2 adθ = a θ2 2, 5819
18 Torstai /20 Esimerkki: pyörähdyskappaleen pinta-ala Oletetaan, että pisteet (, y 1, 0) ja (x 2, y 2, 0) yhdistää käyrä (x, y)-tasossa. Kysymys: millainen käyrän on oltava, jotta sen muodostaman pyörähdyskappaleen pinta-ala saa minimiarvon? Käyräelementti ds = 1 + y 2 dx tuotta pyörähtäessään y-akselin ympäri nauhan, jonka pinta-ala on da = 2πxds = 2πx 1 + y 2 dx Kokonaispinta-ala: A = 2π x2 x 1 + y 2 dx
19 Torstai /20 Esimerkki: pyörähdyskappaleen pinta-ala Sijoitetaan f = x 1 + y 2 Eulerin yhtälöön: 0 = d dx a = f y f y = d xy d + y 2 xy 1 + y 2 a2 = y 2 (x 2 a 2 ) dy dx = a x 2 a 2 y = a dx x 2 a = a arcosh x 2 a + b x = a cosh y b a ketjukäyrä
20 Lagrangen yhtälöiden johtaminen Hamiltonin periaatteesta t2 I = L({q(t)}, { q(t)}, t)dt t 1 Varioidaan rataa hieman, s.e. δq j (t 1 ) = δq j (t 2 ) = 0 ja { q j (t) = q j (t) + δq j (t) q j (t) = q j (t) + δ q j (t) Lasketaan sitten variaatio δi = I I t2 δi = t 1 t2 = t 1 j = j t2 L({q(t) + δq(t)}, { q(t) + δ q(t)}, t) [ L q j δq j ( L δq j + L ) δ q j dt q j q j ] t2 t 1 j t2 t 1 ( L q j d dt L q j t 1 L({q(t)}, { q(t)}, t) ) δq j dt Ensimmäinen termi häviää sillä δq j (t 1 ) = δq j (t 2 ) = 0. Etsitään I :n ääriarvoa, eli δi = 0. Koska δq j mv, niin saadaan d L L = 0 j dt q j q j Torstai /20
Kertausta: Vapausasteet
Maanantai 8.9.2014 1/19 Kertausta: Vapausasteet Liikkeen kuvailu: massapisteen koordinaatit (x, y, z) ja nopeudet (v x, v y, v z ). Vapaasti liikkuvalla massapisteellä on kolme vapausastetta. N:llä vapaasti
LisätiedotKertausta: Hamiltonin periaate
Maanantai 15.9.2014 1/19 Kertausta: Hamiltonin periaate Hamilton: Kaikkien pisteiden {q 1 } ja {q 2 } välisten mahdollisten ratojen joukosta valikoituu se, jolle (Hamiltonin) vaikutusintegraali I = t2
LisätiedotHamiltonin formalismia
Perjantai 3.10.2014 1/20 Hamiltonin formalismia Olemme valmiit siirtymään seuraavalle tasolle klassisen mekaniikan formalismissa, jonka aloitti Hamilton n. 1830. Emme käytä tätä formalismia minkään vaikeamman
LisätiedotKlassisen mekaniikan historiasta
Torstai 4.9.2014 1/18 Klassisen mekaniikan historiasta Nikolaus Kopernikus (puolalainen pappi 1473-1543): aurinkokeskeinen maailmankuva Johannes Kepler (saksalainen tähtitieteilijä 1571-1630): planeettojen
LisätiedotSymmetriat ja säilymislait
Symmetriat ja säilymislait Onni Veteläinen 2437668 LuK-tutkielma Fysiikan laitos Oulun yliopisto Kevät 2017 Sisältö Johdanto 1 1 Symmetriat ja säilymislait klassisessa mekaniikassa 2 1.1 Liikemäärän säilyminen......................
LisätiedotHamiltonin-Jacobin teoriaa
Perjantai 10.10.2014 1/21 Hamiltonin-Jacobin teoriaa Tällä viimeisellä luennolla käsittelemme vielä uuden näkökulman klassiseen mekaniikkaan, joka kulkee nimellä Hamiltonin-Jacobin teoria. Aloitetaan Hamiltonin
Lisätiedotx n e x dx = n( e x ) nx n 1 ( e x ) = x n e x + ni n 1 x 4 e x dx = x 4 e x +4( x 3 e x +3( x 2 e x +2( xe x e x ))) = e x
Osittaisintegrointia käyttäen osoita integraalille I n x n e x dx oikeaksi reduktiokaava I n x n e x + ni n ja laske sen avulla mitä on I 4 kun x. x n e x dx n( e x ) nx n ( e x ) x n e x + ni n x 4 e
LisätiedotEi-inertiaaliset koordinaatistot
orstai 25.9.2014 1/17 Ei-inertiaaliset koordinaatistot Tarkastellaan seuraavaa koordinaatistomuunnosta: {x} = (x 1, x 2, x 3 ) {y} = (y 1, y 2, y 3 ) joille valitaan kantavektorit: {x} : (î, ĵ, ˆk) {y}
LisätiedotDiplomi-insinööri- ja arkkitehtikoulutuksen yhteisvalinta 2017 Insinöörivalinnan matematiikan koe , Ratkaisut (Sarja A)
Diplomi-insinööri- ja arkkitehtikoulutuksen yhteisvalinta 017 Insinöörivalinnan matematiikan koe 30..017, Ratkaisut (Sarja A) 1. a) Lukujen 9, 0, 3 ja x keskiarvo on. Määritä x. (1 p.) b) Mitkä reaaliluvut
LisätiedotMS-A0305 Differentiaali- ja integraalilaskenta 3 Luento 8: Divergenssi ja roottori. Gaussin divergenssilause.
MS-A0305 Differentiaali- ja integraalilaskenta 3 Luento 8: Divergenssi ja roottori. Gaussin divergenssilause. Antti Rasila Aalto-yliopisto Syksy 2015 Antti Rasila (Aalto-yliopisto) MS-A0305 Syksy 2015
LisätiedotJOHDATUS VARIAATIOLASKENTAAN
JOHDATUS VARIAATIOLASKENTAAN Henna Maria Ojala Matematiikan pro gradu Jyväskylän yliopisto Matematiikan ja tilastotieteen laitos Kesä 205 Tiivistelmä: H. Ojala, Johdatus variaatiolaskentaan, matematiikan
LisätiedotMS-C1340 Lineaarialgebra ja differentiaaliyhtälöt
MS-C1340 Lineaarialgebra ja differentiaaliyhtälöt Differentiaaliyhtälöt, osa 1 Riikka Kangaslampi Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Aalto-yliopisto 2015 1 / 20 R. Kangaslampi Matriisihajotelmista
Lisätiedotl 1 2l + 1, c) 100 l=0
MATEMATIIKAN PERUSKURSSI I Harjoitustehtäviä syksy 5. Millä reaaliluvun arvoilla a) 9 =, b) 5 + 5 +, e) 5?. Kirjoita Σ-merkkiä käyttäen summat 4, a) + + 5 + + 99, b) 5 + 4 65 + + n 5 n, c)
LisätiedotKvanttifysiikan perusteet 2017
Kvanttifysiikan perusteet 207 Harjoitus 2: ratkaisut Tehtävä Osoita hyödyntäen Maxwellin yhtälöitä, että tyhjiössä magneettikenttä ja sähkökenttä toteuttavat aaltoyhtälön, missä aallon nopeus on v = c.
LisätiedotUseita oskillaattoreita yleinen tarkastelu
Useita oskillaattoreita yleinen tarkastelu Useita riippumattomia vapausasteita q i, i =,..., n ja potentiaali vastaavasti U(q, q 2,..., q n). Tasapainoasema {q 0, q0 2,..., q0 n} q 0 Käytetään merkintää
Lisätiedot2. Viikko. CDH: luvut (s ). Matematiikka on fysiikan kieli ja differentiaaliyhtälöt sen yleisin murre.
2. Viikko Keskeiset asiat ja tavoitteet: 1. Peruskäsitteet: kertaluku, lineaarisuus, homogeenisuus. 2. Separoituvan diff. yhtälön ratkaisu, 3. Lineaarisen 1. kl yhtälön ratkaisu, CDH: luvut 19.1.-19.4.
LisätiedotAnalyyttinen mekaniikka
Maanantai 1.9.2014 1/17 Analyyttinen mekaniikka Luennoitsija: Niko Jokela Syyslukukausi 2014 4h/vko luentoja+2h/vko harjoituksia Maanantai 1.9.2014 2/17 Yleistä Luennot ma & to klo 10-12 (E204) sekä viikoilla
LisätiedotMATEMATIIKAN PERUSKURSSI I Harjoitustehtäviä syksy Millä reaaliluvun x arvoilla. 3 4 x 2,
MATEMATIIKAN PERUSKURSSI I Harjoitustehtäviä syksy 6. Millä reaaliluvun arvoilla a) 9 =, b) + + + 4, e) 5?. Kirjoita Σ-merkkiä käyttäen summat 4, a) + 4 + 6 + +, b) 8 + 4 6 + + n n, c) + + +
LisätiedotF dr = F NdS. VEKTORIANALYYSI Luento Stokesin lause
91 VEKTORIANALYYI Luento 13 9. tokesin lause A 16.5 tokesin lause on kuin Gaussin lause, mutta yhtä dimensiota alempana: se liittää toisiinsa kentän derivaatasta pinnan yli otetun integraalin ja pinnan
LisätiedotMS-A0204 Differentiaali- ja integraalilaskenta 2 (ELEC2) Luento 9: Muuttujanvaihto taso- ja avaruusintegraaleissa
MS-A24 Differentiaali- ja integraalilaskenta 2 (ELEC2) Luento 9: Muuttujanvaihto taso- ja avaruusintegraaleissa Antti Rasila Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Aalto-yliopisto Kevät 216 Antti Rasila
Lisätiedotl 1 2l + 1, c) 100 l=0 AB 3AC ja AB AC sekä vektoreiden AB ja
MATEMATIIKAN PERUSKURSSI I Harjoitustehtäviä syksy 7. Millä reaaliluvun arvoilla a) 9 =, b) + 5 + +, e) 5?. Kirjoita Σ-merkkiä käyttäen summat 4, a) + + 5 + + 99, b) 5 + 4 65 + + n 5 n, c) +
Lisätiedoty = 3x2 y 2 + sin(2x). x = ex y + e y2 y = ex y + 2xye y2
Matematiikan ja tilastotieteen osasto/hy Differentiaaliyhtälöt I Laskuharjoitus 2 mallit Kevät 219 Tehtävä 1. Laske osittaisderivaatat f x = f/x ja f y = f/, kun f = f(x, y) on funktio a) x 2 y 3 + y sin(2x),
LisätiedotVärähdysliikkeet. q + f (q, q, t) = 0. q + f (q, q) = F (t) missä nopeusriippuvuus kuvaa vaimenemista ja F (t) on ulkoinen pakkovoima.
Torstai 18.9.2014 1/17 Värähdysliikkeet Värähdysliikkeet ovat tyypillisiä fysiikassa: Häiriö oskillaatio Jaksollinen liike oskillaatio Yleisesti värähdysliikettä voidaan kuvata yhtälöllä q + f (q, q, t)
LisätiedotDifferentiaali- ja integraalilaskenta 3 Mallit laskuharjoitukseen 3 /
MS-A3x Differentiaali- ja integraalilaskenta 3, IV/6 Differentiaali- ja integraalilaskenta 3 Mallit laskuharjoitukseen 3 / 9..-.3. Avaruusintegraalit ja muuttujanvaihdot Tehtävä 3: Laske sopivalla muunnoksella
LisätiedotInsinöörimatematiikka D
Insinöörimatematiikka D M. Hirvensalo mikhirve@utu.fi V. Junnila viljun@utu.fi Matematiikan ja tilastotieteen laitos Turun yliopisto 2015 M. Hirvensalo mikhirve@utu.fi V. Junnila viljun@utu.fi Luentokalvot
LisätiedotBM20A0900, Matematiikka KoTiB3
BM20A0900, Matematiikka KoTiB3 Luennot: Matti Alatalo Oppikirja: Kreyszig, E.: Advanced Engineering Mathematics, 8th Edition, John Wiley & Sons, 1999, luvut 1 4. 1 Sisältö Ensimmäisen kertaluvun differentiaaliyhtälöt
Lisätiedota) Mikä on integraalifunktio ja miten derivaatta liittyy siihen? Anna esimerkki. 8 3 + 4 2 0 = 16 3 = 3 1 3.
Integraalilaskenta. a) Mikä on integraalifunktio ja miten derivaatta liittyy siihen? Anna esimerkki. b) Mitä määrätty integraali tietyllä välillä x tarkoittaa? Vihje: * Integraali * Määrätyn integraalin
LisätiedotInsinöörimatematiikka D
Insinöörimatematiikka D M. Hirvensalo mikhirve@utu.fi V. Junnila viljun@utu.fi A. Lepistö alepisto@utu.fi Matematiikan ja tilastotieteen laitos Turun yliopisto 2016 M. Hirvensalo V. Junnila A. Lepistö
LisätiedotLuento 9: Potentiaalienergia
Luento 9: Potentiaalienergia Potentiaalienergia Konservatiiviset voimat Voima potentiaalienergiasta gradientti Laskettuja esimerkkejä Luennon sisältö Potentiaalienergia Konservatiiviset voimat Voima potentiaalienergiasta
Lisätiedoty (0) = 0 y h (x) = C 1 e 2x +C 2 e x e10x e 3 e8x dx + e x 1 3 e9x dx = e 2x 1 3 e8x 1 8 = 1 24 e10x 1 27 e10x = e 10x e10x
BM0A5830 Differentiaaliyhtälöiden peruskurssi Harjoitus 4, Kevät 017 Päivityksiä: 1. Ratkaise differentiaaliyhtälöt 3y + 4y = 0 ja 3y + 4y = e x.. Ratkaise DY (a) 3y 9y + 6y = e 10x (b) Mikä on edellisen
Lisätiedot6 Variaatiolaskennan perusteet
6 Variaatiolaskennan perusteet Sivut ss. 22 26 pääosin lähteen [Kirk, Ch. 4, ss. 107 127] pohjalta Variaatiolaskenta keskittyy lokaaliin analyysiin eli funktion lokaalin minimin vastineisiin funktionaaleilla.
Lisätiedotx (t) = 2t ja y (t) = 3t 2 x (t) + + y (t) Lasketaan pari käyrän arvoa ja hahmotellaan kuvaaja: A 2 A 1
BM2A582 Integraalilaskenta ja sovellukset Harjoitus 6, Kevät 26 Kaikissa tehtävissä tärkeintä ja riittävää on saada oikea lauseke aikaiseksi. Useissa tehtävissä integraalit eivät tosin ole niin vaikeita
LisätiedotLUKU 3. Ulkoinen derivaatta. dx i 1. dx i 2. ω i1,i 2,...,i k
LUKU 3 Ulkoinen derivaatta Olkoot A R n alue k n ja ω jatkuvasti derivoituva k-muoto alueessa A Muoto ω voidaan esittää summana ω = ω i1 i 2 i k dx i 1 dx i 2 1 i 1
LisätiedotANALYYTTINEN MEKANIIKKA
ANALYYTTINEN MEKANIIKKA 763310A Erkki Thuneberg Fysiikan laitos Oulun yliopisto 2016 Järjestelyjä Kurssin verkkosivu on https://noppa.oulu.fi/noppa/kurssi/763310a Verkkosivulta löytyy luentomateriaali
LisätiedotMS-A0305 Differentiaali- ja integraalilaskenta 3 Luento 9: Greenin lause
MS-A0305 Differentiaali- ja integraalilaskenta 3 Luento 9: Greenin lause Antti Rasila Aalto-yliopisto Syksy 2015 Antti Rasila (Aalto-yliopisto) MS-A0305 Syksy 2015 1 / 19 Esimerkki Olkoon F : R 3 R 3 vakiofunktio
LisätiedotLuento 10: Työ, energia ja teho. Johdanto Työ ja kineettinen energia Teho
Luento 10: Työ, energia ja teho Johdanto Työ ja kineettinen energia Teho 1 / 23 Luennon sisältö Johdanto Työ ja kineettinen energia Teho 2 / 23 Johdanto Energia suure, joka voidaan muuttaa muodosta toiseen,
Lisätiedot13. Taylorin polynomi; funktioiden approksimoinnista. Muodosta viidennen asteen Taylorin polynomi kehityskeskuksena origo funktiolle
13. Taylorin polynomi; funktioiden approksimoinnista 13.1. Taylorin polynomi 552. Muodosta funktion f (x) = x 4 + 3x 3 + x 2 + 2x + 8 kaikki Taylorin polynomit T k (x, 2), k = 0,1,2,... (jolloin siis potenssien
LisätiedotHarjoitus Tarkastellaan luentojen Esimerkin mukaista työttömyysmallinnusta. Merkitään. p(t) = hintaindeksi, π(t) = odotettu inflaatio,
Differentiaaliyhtälöt, Kesä 06 Harjoitus 3 Kaikissa tehtävissä, joissa pitää tarkastella kriittisten pisteiden stabiliteettia, jos kyseessä on satulapiste, ilmoita myös satulauraratkaisun (tai kriittisessä
LisätiedotVanhoja koetehtäviä. Analyyttinen geometria 2016
Vanhoja koetehtäviä Analyyttinen geometria 016 1. Määritä luvun a arvo, kun piste (,3) on käyrällä a(3x + a) = (y - 1). Suora L kulkee pisteen (5,1) kautta ja on kohtisuorassa suoraa 6x + 7y - 19 = 0 vastaan.
LisätiedotDifferentiaali- ja integraalilaskenta 1 Ratkaisut 5. viikolle /
MS-A8 Differentiaali- ja integraalilaskenta, V/7 Differentiaali- ja integraalilaskenta Ratkaisut 5. viikolle / 9..5. Integroimismenetelmät Tehtävä : Laske osittaisintegroinnin avulla a) π x sin(x) dx,
LisätiedotMS-A0205/MS-A0206 Differentiaali- ja integraalilaskenta 2 Luento 10: Napa-, sylinteri- ja pallokoordinaatistot. Pintaintegraali.
MS-A25/MS-A26 Differentiaali- ja integraalilaskenta 2 Luento 1: Napa-, sylinteri- ja pallokoordinaatistot. Pintaintegraali. Jarmo Malinen Matematiikan ja systeemianalyysin laitos 1 Aalto-yliopisto Kevät
Lisätiedot13. Ratkaisu. Kirjoitetaan tehtävän DY hieman eri muodossa: = 1 + y x + ( y ) 2 (y )
MATEMATIIKAN JA TILASTOTIETEEN LAITOS Differentiaaliyhtälöt, kesä 00 Tehtävät 3-8 / Ratkaisuehdotuksia (RT).6.00 3. Ratkaisu. Kirjoitetaan tehtävän DY hieman eri muodossa: y = + y + y = + y + ( y ) (y
Lisätiedot3.6 Feynman s formulation of quantum mechanics
3.6 Feynman s formulation of quantum mechanics Course MAT-66000: Quantum mechanics and the particles of nature Ilkka Kylänpää Tampere University of Technology 14.10.2010 Sisältö Johdattelua Klassinen action
LisätiedotLuento 9: Yhtälörajoitukset optimoinnissa
Luento 9: Yhtälörajoitukset optimoinnissa Lagrangen kerroin Oletetaan aluksi, että f, g : R R. Merkitään (x 1, x ) := (x, y) ja johdetaan Lagrangen kerroin λ tehtävälle min f(x, y) s.t. g(x, y) = 0 Olkoon
LisätiedotVektoriarvoiset funktiot Vektoriarvoisen funktion jatkuvuus ja derivoituvuus
8. Vektoriarvoiset funktiot 8.1. Vektoriarvoisen funktion jatkuvuus ja derivoituvuus 320. Olkoon u reaalimuuttujan vektoriarvoinen funktio R R n ja lim t a u(t) = b. Todista: lim t a u(t) = b. 321. Olkoon
LisätiedotLuento 8: Epälineaarinen optimointi
Luento 8: Epälineaarinen optimointi Vektoriavaruus R n R n on kaikkien n-jonojen x := (x,..., x n ) joukko. Siis R n := Määritellään nollavektori 0 = (0,..., 0). Reaalisten m n-matriisien joukkoa merkitään
LisätiedotRatkaisu: Tutkitaan derivoituvuutta Cauchy-Riemannin yhtälöillä: f(x, y) = u(x, y) + iv(x, y) = 2x + ixy 2. 2 = 2xy xy = 1
1. Selvitä missä tason pisteissä annetut funktiot ovat derivoituvia/analyyttisiä. Määrää funktion derivaatta niissä pisteissä, joissa se on olemassa. (a) (x, y) 2x + ixy 2 (b) (x, y) cos x cosh y i sin
Lisätiedot4. Käyrän lokaaleja ominaisuuksia
23 VEKTORIANALYYSI Luento 3 4 Käyrän lokaaleja ominaisuuksia Käyrän tangentti Tarkastellaan parametrisoitua käyrää r( t ) Parametrilla t ei tarvitse olla mitään fysikaalista merkitystä, mutta seuraavassa
LisätiedotViikon aiheet. Funktion lineaarinen approksimointi
Viikon aiheet Funktion ääriarvot Funktion lineaarinen approksimointi Vektorit, merkintätavat, pituus, yksikkövektori, skalaarilla kertominen, kanta ja kannan vaihto Funktion ääriarvot 6 Väliarvolause Implisiittinen
Lisätiedotd Todista: dx xn = nx n 1 kaikilla x R, n N Derivaatta Derivaatta ja differentiaali
6. Derivaatta 6.. Derivaatta ja differentiaali 72. Olkoon f () = 4. Etsi derivaatan määritelmän avulla f ( 3). f ( 3) = 08. 73. Muodosta funktion f () = derivaatta suoraan määritelmän mukaan, so. tarkastelemalla
LisätiedotEnsimmäisen ja toisen kertaluvun differentiaaliyhtälöistä
1 MAT-1345 LAAJA MATEMATIIKKA 5 Tampereen teknillinen yliopisto Risto Silvennoinen Kevät 9 Ensimmäisen ja toisen kertaluvun differentiaaliyhtälöistä Yksi tavallisimmista luonnontieteissä ja tekniikassa
Lisätiedot1 Sisätulo- ja normiavaruudet
1 Sisätulo- ja normiavaruudet 1.1 Sisätuloavaruus Määritelmä 1. Olkoon V reaalinen vektoriavaruus. Kuvaus : V V R on reaalinen sisätulo eli pistetulo, jos (a) v w = w v (symmetrisyys); (b) v + u w = v
LisätiedotInsinöörimatematiikka D
Insinöörimatematiikka D M. Hirvensalo mikhirve@utu.fi V. Junnila viljun@utu.fi Matematiikan ja tilastotieteen laitos Turun yliopisto 2015 M. Hirvensalo mikhirve@utu.fi V. Junnila viljun@utu.fi Luentokalvot
Lisätiedot= ( F dx F dy F dz).
17 VEKTORIANALYYSI Luento 2 3.4 Vektorikentän käyräintegraali Voiman tekemä työ on matka (d) kertaa voiman (F) projektio liikkeen suunnassa, yksinkertaisimmillaan W Fd. Jos liike tapahtuu käyrää pitkin
LisätiedotFUNKTIONAALIANALYYSIN PERUSKURSSI 1. 0. Johdanto
FUNKTIONAALIANALYYSIN PERUSKURSSI 1. Johdanto Funktionaalianalyysissa tutkitaan muun muassa ääretönulotteisten vektoriavaruuksien, ja erityisesti täydellisten normiavaruuksien eli Banach avaruuksien ominaisuuksia.
Lisätiedot, on säännöllinen 2-ulotteinen pinta. Määrää T x0 pisteessä x 0 = (0, 1, 1).
HY / Matematiikan ja tilastotieteen laitos Vektorianalyysi II, syksy 017 Harjoitus 4 Ratkaisuehdotukset 4.1. Osoita, että tasa-arvojoukko S F (0), F : R 3 R, F (x) = 3x 1 x 3 + e x + x e x 3, on säännöllinen
Lisätiedot1 Rajoittamaton optimointi
Taloustieteen matemaattiset menetelmät 7 materiaali 5 Rajoittamaton optimointi Yhden muuttujan tapaus f R! R Muistutetaan mieleen maksimin määritelmä. Funktiolla f on maksimi pisteessä x jos kaikille y
LisätiedotFr ( ) Fxyz (,, ), täytyy integroida:
15 VEKTORIANALYYSI Luento Vektorikentän käyräintegraali Voiman tekemä työ on matka (d) kertaa voiman (F) projektio liikkeen suunnassa, yksinkertaisimmillaan W Fd. Jos liike tapahtuu käyrää pitkin ja voima
Lisätiedot802320A LINEAARIALGEBRA OSA II
802320A LINEAARIALGEBRA OSA II Tapani Matala-aho MATEMATIIKKA/LUTK/OULUN YLIOPISTO SYKSY 2016 LINEAARIALGEBRA 1 / 64 Sisätuloavaruus Määritelmä 1 Olkoon V reaalinen vektoriavaruus. Kuvaus on reaalinen
LisätiedotNumeeriset menetelmät TIEA381. Luento 12. Kirsi Valjus. Jyväskylän yliopisto. Luento 12 () Numeeriset menetelmät / 33
Numeeriset menetelmät TIEA381 Luento 12 Kirsi Valjus Jyväskylän yliopisto Luento 12 () Numeeriset menetelmät 25.4.2013 1 / 33 Luennon 2 sisältö Tavallisten differentiaaliyhtälöiden numeriikasta Rungen
LisätiedotDifferentiaali- ja integraalilaskenta 2 TFM Laskuharjoitus 2L
Differentiaali- ja integraalilaskenta 2 TFM Laskuharjoitus 2L Tehtävät 1-3 ovat kotitehtäviä, jotka on tarkoitus laskea ennen loppuviikon harjoitusta. Tehtävät 4-6 palautetaan kirjallisena A4-paperilla
LisätiedotEsimerkki 1 Ratkaise differentiaaliyhtälö
Esimerkki 1 Ratkaise differentiaaliyhtälö x 2 y xy =1/x. 1 / K. Tuominen kimmo.i.tuominen@helsinki.fi MApu II 1/20 20 Esimerkki 2 Ratkaise differentiaaliyhtälö x(ln y)y y ln x =0. 2 / K. Tuominen kimmo.i.tuominen@helsinki.fi
LisätiedotMS-A010{3,4} (ELEC*) Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Luento 10: Ensimmäisen kertaluvun differentiaaliyhtälö
MS-A010{3,4} (ELEC*) Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Luento 10: Ensimmäisen kertaluvun differentiaaliyhtälö Pekka Alestalo, Jarmo Malinen Aalto-yliopisto, Matematiikan ja systeemianalyysin laitos
LisätiedotMatematiikka B3 - Avoin yliopisto
2. heinäkuuta 2009 Opetusjärjestelyt Luennot 9:15-11:30 Harjoitukset 12:30-15:00 Tentti Lisäharjoitustehtävä Kurssin sisältö (1/2) 1. asteen Differentiaali yhtälöt (1.DY) Separoituva Ratkaisukaava Bernoyulli
LisätiedotKompleksiluvun logaritmi: Jos nyt z = re iθ = re iθ e in2π, missä n Z, niin saadaan. ja siihen vaikuttava
Kompleksiluvun logaritmi: ln z = w z = e w Jos nyt z = re iθ = re iθ e inπ, missä n Z, niin saadaan w = ln z = ln r + iθ + inπ, n Z Logaritmi on siis äärettömän moniarvoinen funktio. Helposti nähdään että
LisätiedotLuento 10: Työ, energia ja teho
Luento 10: Työ, energia ja teho Johdanto Työ ja kineettinen energia Teho Ajankohtaista Konseptitesti 1 Kysymys Ajat pyörällä ylös jyrkkää mäkeä. Huipulle vie kaksi polkua, toinen kaksi kertaa pidempi kuin
LisätiedotJYVÄSKYLÄN YLIOPISTO. Integraalilaskenta 2 Harjoitus Olkoon A := {(x, y) R 2 0 x π, sin x y 2 sin x}. Laske käyräintegraali
JYVÄSKYLÄN YLIOPISTO MTEMTIIKN J TILSTOTIETEEN LITOS Integraalilaskenta Harjoitus 4 5.4.4. Olkoon := {(x, y) R x π, sin x y sin x}. Laske käyräintegraali + (y dx + x dy) a) suoraan; ja b) Greenin lauseen
LisätiedotLuento 8: Epälineaarinen optimointi
Luento 8: Epälineaarinen optimointi Vektoriavaruus R n R n on kaikkien n-jonojen x := (x,..., x n ) joukko. Siis R n := Määritellään nollavektori = (,..., ). Reaalisten m n-matriisien joukkoa merkitään
LisätiedotMS-A0305 Differentiaali- ja integraalilaskenta 3 Luento 10: Stokesin lause
MS-A0305 Differentiaali- ja integraalilaskenta 3 Luento 10: Stokesin lause Antti Rasila Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Aalto-yliopisto Syksy 2016 Antti Rasila (Aalto-yliopisto) MS-A0305 Syksy
LisätiedotMatemaattinen Analyysi
Vaasan yliopisto, kevät 01 / ORMS1010 Matemaattinen Analyysi. harjoitus, viikko 1 R1 ke 1 16 D11 (..) R to 10 1 D11 (..) 1. Määritä funktion y(x) MacLaurinin sarjan kertoimet, kun y(0) = ja y (x) = (x
LisätiedotKahden suoran leikkauspiste ja välinen kulma (suoraparvia)
Kahden suoran leikkauspiste ja välinen kulma (suoraparvia) Piste x 0, y 0 on suoralla, jos sen koordinaatit toteuttavat suoran yhtälön. Esimerkki Olkoon suora 2x + y + 8 = 0 y = 2x 8. Piste 5,2 ei ole
Lisätiedota) on lokaali käänteisfunktio, b) ei ole. Piirrä näiden pisteiden ympäristöön asetetun neliöruudukon kuva. VASTAUS:
6. Käänteiskuvaukset ja implisiittifunktiot 6.1. Käänteisfunktion olemassaolo 165. Määritä jokin piste, jonka ympäristössä funktiolla f : R 2 R 2, f (x,y) = (ysinx, x + y + 1) a) on lokaali käänteisfunktio,
LisätiedotMat Matematiikan peruskurssi K2
Mat-.3 Matematiikan peruskurssi K Heikkinen/Tikanmäki Kolmas välikoe 6.5. Kokeessa saa käyttää ylioppilaskirjoituksiin hyväksyttyä laskinta. Sivun kääntöpuolelta löytyy integrointikaavoja.. Olkoon F(x,
Lisätiedotläheisyydessä. Piirrä funktio f ja nämä approksimaatiot samaan kuvaan. Näyttääkö järkeenkäyvältä?
BM20A5840 - Usean muuttujan funktiot ja sarjat Harjoitus 1, Kevät 2017 1. Tunnemme vektorit a = [ 1 2 3 ] ja b = [ 2 1 2 ]. Laske (i) kummankin vektorin pituus (eli itseisarvo, eli normi); (ii) vektorien
Lisätiedotx + 1 πx + 2y = 6 2y = 6 x 1 2 πx y = x 1 4 πx Ikkunan pinta-ala on suorakulmion ja puoliympyrän pinta-alojen summa, eli
BM0A5810 - Differentiaalilaskenta ja sovellukset Harjoitus, Syksy 015 1. a) Funktio f ) = 1) vaihtaa merkkinsä pisteissä = 1, = 0 ja = 1. Lisäksi se on pariton funktio joten voimme laskea vain pinta-alan
LisätiedotMS-A0305 Differentiaali- ja integraalilaskenta 3 Luento 3: Vektorikentät
MS-A0305 Differentiaali- ja integraalilaskenta 3 Luento 3: Vektorikentät Antti Rasila Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Aalto-yliopisto Syksy 2016 Antti Rasila (Aalto-yliopisto) MS-A0305 Syksy 2016
Lisätiedot5.9 Voiman momentti (moment of force, torque)
5.9 Voiman momentti (moment of force, torque) Voiman momentti määritellään ristitulona M = r F missä r on voiman F vaikutuspisteen paikkavektori tarkasteltavan pisteen suhteen Usean voiman tapauksessa
LisätiedotAvaruuden kolme sellaista pistettä, jotka eivät sijaitse samalla suoralla, määräävät
11 Taso Avaruuden kolme sellaista pistettä, jotka eivät sijaitse samalla suoralla, määräävät tason. Olkoot nämä pisteet P, B ja C. Merkitään vaikkapa P B r ja PC s. Tällöin voidaan sanoa, että vektorit
LisätiedotKlassisia variaatio-ongelmia. Joni Kunelius. Matematiikan pro gradu
Klassisia variaatio-ongelmia Joni Kunelius Matematiikan pro gradu Jyväskylän yliopisto Matematiikan ja tilastotieteen laitos Kevät 17 Tiivistelmä: Joni Kunelius, Klassisia variaatio-ongelmia (engl. Classical
LisätiedotKlassisen mekaniikan muotoilu symplektisen geometrian avulla
Klassisen mekaniikan muotoilu symplektisen geometrian avulla Ville Kivioja 21. kesäkuuta 2017 Tämän lyhyen artikkelin tarkoituksena on muotoilla klassinen mekaniikka mahdollisimman yleisesti ja käyttäen
LisätiedotInsinöörimatematiikka D, laskuharjoituksien esimerkkiratkaisut
Insinöörimatematiikka D, 406 6 laskuharjoituksien esimerkkiratkaisut Ratkaistaan differentiaaliyhtälö y = y () Tässä = d dy eli kyseessä on lineaarinen kertaluvun differentiaaliyhtälö: Yhtälön () homogenisoidulle
LisätiedotMS-A0207 Differentiaali- ja integraalilaskenta 2 (Chem) Tentti ja välikokeiden uusinta
MS-A0207 Differentiaali- ja integraalilaskenta 2 (Chem) Tentti ja välikokeiden uusinta 8..206 Gripenberg, Nieminen, Ojanen, Tiilikainen, Weckman Kirjoita jokaiseen koepaperiin nimesi, opiskelijanumerosi
Lisätiedot(a) Potentiaali ja virtafunktiot saadaan suoraan summaamalla lähteen ja pyörteen funktiot. Potentiaalifunktioksi
Tehtävä 1 Tornadon virtauskenttää voidaan approksimoida kaksiulotteisen nielun ja pyörteen summana Oleta, että nielun voimakkuus on m < ja pyörteen voimakkuus on > (a Määritä tornadon potentiaali- ja virtafunktiot
Lisätiedotr > y x z x = z y + y x z y + y x = r y x + y x = r
HY / Matematiikan ja tilastotieteen laitos Vektorianalyysi I, syksy 018 Harjoitus Ratkaisuehdotukset Tehtävä 1. Osoita, että avoin kuula on avoin joukko ja suljettu kuula on suljettu joukko. Ratkaisu.
LisätiedotSatunnaismuuttujien muunnokset ja niiden jakaumat
Ilkka Mellin Todennäköisyyslaskenta Osa 2: Satunnaismuuttujat ja todennäköisyysjakaumat Satunnaismuuttujien muunnokset ja niiden jakaumat TKK (c) Ilkka Mellin (2007) 1 Satunnaismuuttujien muunnokset ja
LisätiedotMS-A010{3,4,5} (ELEC*, ENG*) Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Luento 10: Ensimmäisen kertaluvun differentiaaliyhtälö
MS-A010{3,4,5} (ELEC*, ENG*) Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Luento 10: Ensimmäisen kertaluvun differentiaaliyhtälö Pekka Alestalo, Jarmo Malinen Aalto-yliopisto, Matematiikan ja systeemianalyysin
LisätiedotAikariippuva Schrödingerin yhtälö
Aineaaltodynamiikka Aineaaltokenttien riippuvuus ajasta aikariippuva Schrödingerin yhtälö Stationääriset ja ei-stationääriset tilat Aaltopaketit Kvanttimekaniikan postulaatit Aikariippuva Schrödingerin
LisätiedotMatematiikan tukikurssi
Matematiikan tukikurssi Kurssikerta 2 Lisää osamurtoja Tutkitaan jälleen rationaalifunktion P(x)/Q(x) integrointia. Aiemmin käsittelimme tapauksen, jossa nimittäjä voidaan esittää muodossa Q(x) = a(x x
Lisätiedotdl = F k dl. dw = F dl = F cos. Kun voima vaikuttaa kaarevalla polulla P 1 P 2, polku voidaan jakaa infinitesimaalisen pieniin siirtymiin dl
Kun voima vaikuttaa kaarevalla polulla P 2, polku voidaan jakaa infinitesimaalisen pieniin siirtymiin dl Kukin siirtymä dl voidaan approksimoida suoraviivaiseksi, jolloin vastaava työn elementti voidaan
LisätiedotDifferentiaali- ja integraalilaskenta 3 Harjoitus 4/ Syksy 2017
MS-A35 Differentiaali- ja integraalilaskenta 3 Differentiaali- ja integraalilaskenta 3 Harjoitus 4/ Syksy 217 Alkuviikon harjoituksissa ratkaistaan kolme tehtävää assistentin avustuksella (läsnäololaskarit).
LisätiedotIV. TASAINEN SUPPENEMINEN. f(x) = lim. jokaista ε > 0 ja x A kohti n ε,x N s.e. n n
IV. TASAINEN SUPPENEMINEN IV.. Funktiojonon tasainen suppeneminen Olkoon A R joukko ja f n : A R funktio, n =, 2, 3,..., jolloin jokaisella x A muodostuu lukujono f x, f 2 x,.... Jos tämä jono suppenee
LisätiedotRATKAISUT a + b 2c = a + b 2 ab = ( a ) 2 2 ab + ( b ) 2 = ( a b ) 2 > 0, koska a b oletuksen perusteella. Väite on todistettu.
RATKAISUT 198 197 198. Olkoon suorakulmion erisuuntaisten sivujen pituudet a ja b sekä neliön sivun pituus c. Tehtävä on mielekäs vain, jos suorakulmio ei ole neliö, joten oletetaan, että a b. Suorakulmion
LisätiedotNormaaliryhmä. Toisen kertaluvun normaaliryhmä on yleistä muotoa
Normaaliryhmä Toisen kertaluvun normaaliryhmä on yleistä muotoa x = u(t,x,y), y t I, = v(t,x,y), Funktiot u = u(t,x,y), t I ja v = v(t,x,y), t I ovat tunnettuja Toisen kertaluvun normaaliryhmän ratkaisu
Lisätiedot9. Lineaaristen differentiaaliyhtälöiden ratkaisuavaruuksista
29 9 Lineaaristen differentiaaliyhtälöiden ratkaisuavaruuksista Tarkastelemme kertalukua n olevia lineaarisia differentiaaliyhtälöitä y ( x) + a ( x) y ( x) + + a ( x) y( x) + a ( x) y= b( x) ( n) ( n
LisätiedotMS-A010{3,4,5} (ELEC*, ENG*) Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Luento 11: Lineaarinen differentiaaliyhtälö
MS-A010{3,4,5} (ELEC*, ENG*) Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Luento 11: Lineaarinen differentiaaliyhtälö Pekka Alestalo, Jarmo Malinen Aalto-yliopisto, Matematiikan ja systeemianalyysin laitos
LisätiedotKaikkia alla olevia kohtia ei käsitellä luennoilla kokonaan, koska osa on ennestään lukiosta tuttua.
6 Alkeisfunktiot Kaikkia alla olevia kohtia ei käsitellä luennoilla kokonaan, koska osa on ennestään lukiosta tuttua. 6. Funktion määrittely Funktio f : A B on sääntö, joka liittää jokaiseen joukon A alkioon
LisätiedotKohdeyleisö: toisen vuoden teekkari
Julkinen opetusnäyte Yliopisto-opettajan tehtävä, matematiikka Klo 8:55-9:15 TkT Simo Ali-Löytty Aihe: Lineaarisen yhtälöryhmän pienimmän neliösumman ratkaisu Kohdeyleisö: toisen vuoden teekkari 1 y y
LisätiedotPolkuintegraali yleistyy helposti paloitain C 1 -poluille. Määritelmä Olkoot γ : [a, b] R m paloittain C 1 -polku välin [a, b] jaon
Polkuintegraali yleistyy helposti paloitain C 1 -poluille. Määritelmä 4.1.3. Olkoot : [a, b] R m paloittain C 1 -polku välin [a, b] jaon P = {a = t 1 < < t k = b} ja joukko D R m sellainen, että ([a, b])
Lisätiedot