F dr = F NdS. VEKTORIANALYYSI Luento Stokesin lause

Transkriptio

1 91 VEKTORIANALYYI Luento tokesin lause A 16.5 tokesin lause on kuin Gaussin lause, mutta yhtä dimensiota alempana: se liittää toisiinsa kentän derivaatasta pinnan yli otetun integraalin ja pinnan reunakäyrää pitkin otetun kentän viivaintegraalin. tokesin lause: Olkoon N pinnan positiivinen normaali, pinnan positiivisesti suunnistettu reunakäyrä ja F vektorikenttä (riittävästi derivoituva). illoin F dr = F Nd. Todistus: Johdetaan tulos ensin tapauksessa, jossa alueen rajakäyrä on tasokäyrä, ja yleistetään sitten. Pinta itse ei ole välttämättä tasopinta. Oletetaan, että alueen reunakäyrä on säännöllinen y-suunnassa. Käyrän yläosan (ks. kuva) yhtälö olkoon y = φ ( x) ja alaosan yhtälö y = φ ( x). 1 Jaetaan alue dx :n levyisiin kaistoihin ja nämä edelleen pinta-alkioihin d = dxdy. Käyrällä oleva viiva-alkio dr on

2 9 komponenttimuodossa dr = dx i+ dy. j Käyräintegraali on silloin dr F = dx i F + dy j F. Lasketaan ensin ensimmäinen termi: α β dx i F = dx i F( x, φ ( x)) + dx i F ( x, φ ( x)) β yläkäyrä α alakäyrä β = dx i F( x, φ) F( x, φ1) α φ α β φ F F = dx i dy = dxdy i β y= φ αφ = d i F. Jälkimmäinen termi voidaan laskea samaan tapaan, mutta koska reunakäyrä on suunnistettu määrätyllä tavalla, tilanne ei ole xy-symmetrinen. Yläkäyrää x= ψ ( y) pitkin integroitaessa muuttuja (y) nyt kasvaa, kun se edellä pieneni. Tämän seurauksena lopputuloksen miinusmerkki vaihtuu nyt plusmerkiksi:

3 93 δ γ dx j F = dy j F( ψ ( y), y) + dy j F( ψ ( y), y) γ yläkäyrä δ alakäyrä δ =+ dy j F( ψ( y), y) F( ψ1( y), y) γ ψ ψ δ δ F F =+ dy j dx =+ dxdy j x x γ y= ψ ψ γ d =+ j F. x aamme siis yhteensä F dr d i = + j F. x tokesin teoreema seuraa tästä (tässä yksinkertaisessa tapauksessa), kun toteamme että aamme nimittäin k k i j k = + + x z i j k j i = =. x x z

4 94 F dr = d i + j F y x = d( k ) F ( kd = ) F = d = d ( F), jossa pinta-alkiovektorin d suunta (= k ) määräytyy reunakäyrän suunnistuksesta. Yleistetään nyt tarkastelu. Oletetaan, että on mielivaltainen sulkeutuva käyrä ei siis välttämättä tasokäyrä ja sen jostakin käyrästä pinnasta rajaama osa. Jaetaan pinta alkioihin, jotka ovat niin pieniä, että niitä voi pitää tasopintoina (rajaarvomielessä). Lasketaan F :n viivaintegraali kunkin pienen alueen reunaa pitkin. Kahden vierekkäisen alkioalueen yhteisellä rajakäyrällä integraalit ovat yhtä suuret, mutta ne ovat vastakkaismerkkiset, koska kiertosuunnat ovat vastakkaiset. Jos siis lasketaan yhteen kaikkien pikkualueiden reunojen yli otetut viivaintegraali, jäljelle jää vain koko alueen reunakäyrän yli otettu viivaintegraali (ks. kuva). iis F dr + F dr +... = F dr. c c 1 ovelletaan kuhunkin alkioon edellä saatua tulosta (i = 1,, ) c i F dr = d ( F ), s i

5 95 joten c F dr + F dr +... c = d ( F) + d ( F) s 1 s Pienten alueiden yli otettujen pintaintegraalien summa on tietenkin sama k F dr = F dr + F dr +... c c 1 = d ( F) + d ( F) +... s = d ( F). 1 Huomaa, että sama reunakäyrä voi rajoittaa monia eri pintoja. Kaikilla näiden pintojen yli otetuilla integraaleilla d ( F ) on tokesin teoreeman mukaan sama arvo, F dr. s Esimerkki: Olkoon F = zi+ xj + yk ja pinta on yksikköpallon x + y + z = 1 yläpuolikas ( z 0). Alueen reunakäyrä on xy-tasossa oleva yksikköympyrä. Osoitetaan, että tokesin teoreema pätee, laskemalla pintaintegraali että käyräintegraali erikseen. Ensin pintaintegraali. uunnistetaan pinta niin, että yksikkönormaali on paikkavektorin suuntainen yksikkövektori (paikkavektori on kohtisuorassa pallon pintaa vastaan)

6 96 r xi+ yj + zk r = = = xi+ yj + zk. r x + y + z = 1 pallon pinnalla Koska i j k F = = i+ j+ k, x y z z x y saamme d ( F) = d r ( F) = d( xi+ yj + zk) ( i+ j + k) = d( x + y + z). Huomataan, että intergoimisalue on symmetrinen origon suhteen ja integrandin osa x + y on pariton funktio, joten integraalista vain z-osa voi antaa nollasta poikkeavan tuloksen. Lasketaan se pallokoordinaatteja käyttäen (huom. r = 1): π/ π d z = dθsin θ dφ(1 cos θ) θ= 0 φ= 0 = z π / π / 1 π dθ θ θ π θ θ = 0 0 = sin cos = sin = π.

7 97 itten käyräintegraali. Reunakäyrä on xy-tasossa, joten käyrällä dr = dx i+ dy. j Niinpä F dr = ( zi+ xj + yk )( dx i+ dy j ) = ( z dx + xdy) = xdy = = dy( + 1 y ) + dy( 1 y ) dy 1 y 1 = π. π = = Huomaa, että pinnan suunnistus vastaa sitä, että reunakäyrää kierretään xy-tasossa vastapäivään. Tämä on huomioitu yllä y- integrointien integroimissuunnissa. Tulos on sama kuin integraali d ( F ), joten tokesin teoreema toimii. Huom. Jos haluat varmistaa itsellesi y-integroinnin tuloksen, voit tehdä sen vaikka napakoordinaattien avulla ( r = 1, y = cos θ ) :

8 I = dy 1 y = ( sin θ dθ)sin θ 1 π = dy = 1 y [ ] = = cosθsinθ dθcos θ π = = = π I eli π I =. Greenin teoreema π dθ dθsin θ [ θ] I π π π *** Kun todistimme tokesin teoreemaa, oletimme aluksi, että reunakäyrä on xy-tason tasokäyrä, jolloin saimme (ks. s. 93) F dr d i = + j F. x illoin emme olettaneet pinnasta mitään, se oli jokin kolmiulotteisessa avaruudessa oleva pinta. Oletetaan nyt, että pinta on tasopinta eli käyrän rajoittama alue xy-tasossa. illoin F Fi = x + Fy j ja F dr = Fxdx + Fydy, joten tokesin lause saa muodon y x ( Fxdx + Fydy) = d. Tämä on Greenin teoreema. F x F

9 99 Vektorikentän konservatiivisuus ja pyörteettömyys Tarkastellaan seuraavaa joukkoa vektorikentän F ominaisuuksia. (a) Kenttä F on pyörteetön, jos F = 0. (b) tokesin teoreeman perusteella päättelemme, että pyörteettömän kentän käyräintegraali suljetun käyrän yli on nolla: F dr = d F = 0 (c) Tästä puolestaan seuraa konservatiivisia kenttiä koskeva tuttu tulos, että konservatiivisen kentän käyräintegraali kahden pisteen välillä on sama kaikkia reittejä pitkin. (ks. s. 17) (d) Edelleen pitää paikkansa, että F dr voidaan esittää skalaarifunktion differentiaalina. Jos nimittäin määritellään skalaarifunktio φ ( xyz,, ) seuraavasti, ( xyz,, ) φ ( x, y, z) = F dr, voimme kirjoittaa F dr = dφ, sillä silloin ( xyz,, ) [ ] 0 0 ( xyz,, ) 0 ( xyz,, ) 0 dφ = φ = φ( xyz,, ) φ(0) = φ( xyz,, ) = F dr. (e) Tästä puolestaan seuraa, että F voidaan esittää gradienttina skalaarifunktiosta. Nimittäin

10 100 φ φ φ dφ = dx + dy + dz x z = φ dr. Toisaalta oli F dr = dφ, joten F = φ. Tällaista vektorikenttää sanotaan konservatiiviseksi. Jos kentällä F on ominaisuus (e), sillä on myös ominaisuus (a), sillä konservatiivinen kenttä on välttämättä pyörteetön: i j k F = φ = x z = 0 φ φ φ x y z derivointijärjestyksen vaihdannaisuuden perusteella. Ominaisuudet (a),,(e) seuraavat toinen toisistaan eli jos oletamme vektorikentällä olevan mikä tahansa näistä ominaisuuksista, sillä on ne kaikki. Huom. Ylläolevat tulokset pätevät sillä oletuksella, että alue, jossa tarkastelut suoritetaan, on yhtenäinen. Alue on (yhdesti) yhtenäinen, jos mikä tahansa alueen suljettu käyrä voidaan kutistaa jatkuvin muodonmuutoksin pisteeksi. Esimerkiksi tasoalueen keskellä oleva reikä tekee alueesta epäyhtenäisen: reikää kiertävää suljettua käyrää ei voi kutistaa pisteeksi, koska reikä jää aina käyrän sisälle. amoin on tooruksen eli rinkelin muotinen alue epäyhtenäinen.onton pallon kuori on sen sijaan yhtenäinen.

11 101 Lähteetön kenttä ja vektoripotentiaali Ilman johtoa toteamme seuraavat vektorikentän yhtäpitävät ominaisuudet jossakin alueessa G: (a) Vektorikentän vuo kaikkien redusoituvien (jatkuvalla muutoksella pisteeksi kutistuvien) umpinaisten pintojen häviää: F d = 0. (b) Vektorikentän divergessi häviää kaikkialla G:ssä: F = 0. Tällaisen kentän sanotaan olevan lähteetön. (c) Vektorikentällä on vektoripotentiaali A siten, että F = A.