MS-A0305 Differentiaali- ja integraalilaskenta 3 Luento 3: Vektorikentät

Transkriptio

1 MS-A0305 Differentiaali- ja integraalilaskenta 3 Luento 3: Vektorikentät Antti Rasila Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Aalto-yliopisto Syksy 2016 Antti Rasila (Aalto-yliopisto) MS-A0305 Syksy / 24

2 Vektorikentät 1/3 Funktiota F: D R n R n, missä n 2 kutsutaan vektorikentäksi. Tässä rajoitutaan tapauksiin n = 2 tai n = 3. Vektorikentässä jokaiseen määrittelyjoukon (alueen) D pisteeseen (x, y) tai (x, y, z) liittyy vektori, joka on kaksiulotteisessa tapauksessa muotoa F(x, y) = F 1 (x, y)i + F 2 (x, y)j ja kolmiulotteisessa tapauksessa F(x, y, z) = F 1 (x, y, z)i + F 2 (x, y, z)j + F 3 (x, y, z)k. Tässä esiintyvät funktiot F 1, F 2 ja F 3 ovat vektorikentän F komponenttifunktiota, eivät osittaisderivaattoja. Antti Rasila (Aalto-yliopisto) MS-A0305 Syksy / 24

3 Vektorikentät 2/3 Kaksiulotteista tapausta voi ajatella myös kolmiulotteisen erikoistapauksena, jossa F 3 (x, y, z) = 0 ja F 1, F 2 eivät riipu z-koordinaatista. Vektorikenttien yhteydessä reaaliarvoista funktiota f : D R n R, missä n = 2, 3, nimitetään skalaarikentäksi. Monet vektorikenttiä koskevat tulokset ovat voimassa vain, jos vektorikenttä on sileä. Vektorikenttää kutsutaan sileäksi, jos sen kaikkien komponenttifunktioiden osittaisderivaatat ovat jatkuvia. Antti Rasila (Aalto-yliopisto) MS-A0305 Syksy / 24

4 Vektorikentät 3/3 Käytännössä sileyttä ei välttämättä edellytetä kaikissa pisteissä vaan riittää, että funktio on sileä pientä joukkoa ( vuorenhuippua ) lukuun ottamatta, esimerkiksi paloittain. Tämän idean täsmällinen muotoileminen vaatisi nk. Sobolev-avaruuksien teoriaa, jota ei käsitellä peruskursseilla. Antti Rasila (Aalto-yliopisto) MS-A0305 Syksy / 24

5 Paikkavektori Avaruuden (tai tason) pisteeseen (x, y, z) liittyvää vektoria kutsutaan paikkavektoriksi. r = xi + yj + zk Paikkavektorin avulla vektorikenttä F voidaan kirjoittaa muodossa F(r) = F 1 (r)i + F 2 (r)j + F 3 (r)k. Matematiikassa usein samastetaan piste P = (x, y, z) kyseisen pisteen paikkavektoriin. Esimerkiksi edellinen voidaan kirjoittaa myös F(r) = ( F 1 (r), F 2 (r), F 3 (r) ). Antti Rasila (Aalto-yliopisto) MS-A0305 Syksy / 24

6 Esimerkki Pisteessä r 0 sijaitsevan pistemäisen massan m aiheuttama gravitaatiovoimakenttä on muotoa missä k > 0 on vakio. F(r) = km(r r 0) r r 0 3 = km (x x 0)i + (y y 0 )j + (z z 0 )k ( (x x0 ) 2 + (y y 0 ) 2 + (z z 0 ) 2) 3/2, Antti Rasila (Aalto-yliopisto) MS-A0305 Syksy / 24

7 Esimerkki Pisteesä r 0 olevan sähkövarauksen q aiheuttama sähkökenttä on muotoa E(r) = cq(r r 0) r r 0 3 missä c > 0 on vakio. (x x 0 )i + (y y 0 )j + (z z 0 )k = cq ( (x x0 ) 2 + (y y 0 ) 2 + (z z 0 ) 2) 3/2, Antti Rasila (Aalto-yliopisto) MS-A0305 Syksy / 24

8 Lisää esimerkkejä Pyörimisliikettä z-akselin ympäri vakiokulmanopeudella ω = ωk kuvaa nopeuskenttä, joka on muotoa v(r) = ω r, eli v(x, y, z) = ω( yi + xj). Skalaarikentän f : R 3 R gradientti f (x, y, z) määrää vektorikentän f (x, y, z) = f (x, y, z)i + x y f (x, y, z)j + f (x, y, z)k. z Antti Rasila (Aalto-yliopisto) MS-A0305 Syksy / 24

9 Kenttäviivat Vektorikentän kenttäviivat ovat käyriä, jotka jokaisessa pisteessä kulkevat vektorikentän suuntaisesti. Niitä voi ajatella reitteinä, joita pitkin pienet hiukkaset kulkisivat vektorikenttää vastaavassa nopeuskentässä. Antti Rasila (Aalto-yliopisto) MS-A0305 Syksy / 24

10 Kenttäviivojen määrittäminen 1/2 Merkitään kenttäviivaa r(t). Koska kenttäviiva kulkee jokaisessa pisteessä vektorikentän suuntaisesti, sen täytyy toteuttaa yhtälö d dt r(t) = λ(t)f( r(t) ), missä t on käyräparametri ja λ(t) on tuntematon reaalifunktio. Tämä voidaan edelleen kirjoittaa muodossa dx dt = λ(t)f 1 (x, y, z), dy dt = λ(t)f 2 (x, y, z), dz dt = λ(t)f 3 (x, y, z). Antti Rasila (Aalto-yliopisto) MS-A0305 Syksy / 24

11 Kenttäviivojen määrittäminen 2/2 Edellisestä puolestaan saadaan yhtälöt λ(t) dt = Erityisesti siis pätee dx F 1 (x, y, z) = dx F 1 (x, y, z) = dy F 2 (x, y, z) = dy F 2 (x, y, z) = dz F 3 (x, y, z). dz F 3 (x, y, z). Näistä yhtälöistä voidaan integroimalla johtaa kenttäviivoille lausekkeet. Antti Rasila (Aalto-yliopisto) MS-A0305 Syksy / 24

12 Esimerkki 1/2 Lasketaan pistemäisen massan aiheuttaman gravitaatiovoimakentän F(x, y, z) = km (x x 0)i + (y y 0 )j + (z z 0 )k ( (x x0 ) 2 + (y y 0 ) 2 + (z z 0 ) ) 3/2 kenttäviivat. Koska nimittäjä on yhteinen kaikille komponenteille, kenttäviivayhtälöksi saadaan dx x x 0 = Tästä integroimalla saadaan dy y y 0 = dz z z 0. ln x x 0 + ln C 1 = ln y y 0 + ln C 2 = ln z z 0 + ln C 3 eli ln ( C 1 x x 0 ) = ln ( C 2 y y 0 ) = ln ( C 3 z z 0 ) Antti Rasila (Aalto-yliopisto) MS-A0305 Syksy / 24

13 Esimerkki 2/2 Edelleen saadaan C 1 (x x 0 ) = C 2 (y y 0 ) = C 3 (z z 0 ) Merkitsemällä C 1 (x x 0 ) = t saadaan suoran parametrimuotoiset yhtälöt x(t) = 1 C 1 t + x 0 = D 1 t + x 0, y(t) = 1 C 2 t + y 0 = D 2 t + y 0, z(t) = 1 C 3 t + z 0 = D 3 t + z 0. Kenttäviivoja siis ovat kaikki pisteen r 0 = (x 0, y 0, z 0 ) kautta kulkevat suorat. Antti Rasila (Aalto-yliopisto) MS-A0305 Syksy / 24

14 Esimerkki Ratkaistaan vektorikentän F = xzi + 2x 2 zj + x 2 k kenttäviivat. Kenttäviivayhtälö on dx xz = dy 2x 2 z = dz x 2 Siten dy = 2x dx ja dy = 2z dz. Integroimalla saadaan y = x 2 + C 1 ja y = z 2 + C 2. Kenttäviivat siis ovat ylläolevaa muotoa olevien parabolisten pintojen leikkauskäyriä. Antti Rasila (Aalto-yliopisto) MS-A0305 Syksy / 24

15 Vektorikentät napakoordinaateissa 1/3 y r e θ e r θ x Tason vektorikenttä voidaan kirjoittaa myös napakoordinaateissa käyttäen kantavektoreita e r = cos θi + sin θj ja e θ = sin θi + cos θj. Näistä e r on säteen r suuntainen ja e θ sitä vastaan kohtisuora. Antti Rasila (Aalto-yliopisto) MS-A0305 Syksy / 24

16 Vektorikentät napakoordinaateissa 2/3 Vektorikenttä voidaan esittää kyseisessä kannassa napakoordinaattien avulla F(r, θ) = F r (r, θ)e r + F θ (r, θ)e θ. Toisin kuin karteesisessa tapauksessa, kantavektorien derivaatat eivät ole kaikki nollia: mutta r e r = ( ) cos θi + sin θj = 0, r θ e r = ( ) cos θi + sin θj θ = sin θi + cos θj = e θ. Antti Rasila (Aalto-yliopisto) MS-A0305 Syksy / 24

17 Vektorikentät napakoordinaateissa 3/3 Vastaavasti mutta r e θ = ( ) sin θi + cos θj = 0, r θ e θ = ( ) sin θi + cos θj θ = cos θi sin θj = e r. Kenttäviivayhtälölle voidaan johtaa esitys dr F r (r, θ) = r dθ F θ (r, θ). Antti Rasila (Aalto-yliopisto) MS-A0305 Syksy / 24

18 Esimerkki Ratkaistaan vektorikentän F(r, θ) = e r + e θ kenttäviivat. Kenttäviivat ovat yhtälön dr = r dθ ratkaisut, jotka saadaan integroimalla yhtälö dr r = dθ, eli ln r = θ + C. Ratkaisuiksi saadaan siis käyrät r = e θ+c Antti Rasila (Aalto-yliopisto) MS-A0305 Syksy / 24

19 Konservatiiviset vektorikentät Vektorikenttää F: D R n R n, missä n = 2, 3 sanotaan konservatiiviseksi, jos se voidaan ilmaista jonkin skalaarikentän φ: R n R gradienttina: F(x, y, z) = φ(x, y, z). Tällöin kenttää φ kutsutaan skalaaripotentiaaliksi. Huomaa, että yhtälön F = φ tulee olla voimassa jokaisessa alueen D pisteessä. Antti Rasila (Aalto-yliopisto) MS-A0305 Syksy / 24

20 Esimerkki Pistemäisen massan aiheuttama gravitaatiovoimakenttä on konservatiivinen. Pätee nimittäin, että F = km(r r 0) r r 0 3 F = φ, kun φ = km r r 0. Tämä voidaan todeta esimerkiksi laskemalla funktion φ osittaisderivaatat karteesisessa muodossa. Antti Rasila (Aalto-yliopisto) MS-A0305 Syksy / 24

21 Pyörteettömyysehto 1/2 Olkoon F: D R 3 R 3 sileä vektorikenttä, ts. komponenttifunktioiden osittaisderivaatat ovat olemassa ja jatkuvia. Konservatiivisen vektorikentän tapauksessa tämä tarkoittaa, että 2 φ x y = ( ) φ = x y x F 2, Edelleen pätee 2 φ y x = y ( ) φ = x y F 1, jne. 2 φ x y = 2 φ y x, joten x F 2 = y F 1, jne. Antti Rasila (Aalto-yliopisto) MS-A0305 Syksy / 24

22 Pyörteettömyysehto 2/2 Saadaan välttämätön (ei riittävä) ehto vektorikentän konservatiivisuudelle: y F 1 = x F 2, z F 1 = x F 3, z F 2 = y F 3. Kaksiulotteisessa tapauksessa ehto on y F 1 = x F 2. Myöhemmin ehto voidaan kirjoittaa vektorikentän roottorin avulla muotoon curl F = F = 0. Kyseinen ehto ei ole riittävä ilman lisäoletuksia. Riittävä ehto saadaan, jos alueessa D ei ole reikiä. Antti Rasila (Aalto-yliopisto) MS-A0305 Syksy / 24

23 Esimerkki Osoitetaan, että vektorikenttä ei ole konservatiivinen. v = ωk r = ω( yi + xj) Laskemalla osittaisderivaatat saadaan y v 1 = ω ω = x v 2. Siten kyseinen vektorikenttä ei voi olla konservatiivinen. Antti Rasila (Aalto-yliopisto) MS-A0305 Syksy / 24

24 Tasapotentiaalikäyrät/-pinnat Oletetaan, että F: D R n R n, n = 2, 3 on konservatiivinen vektorikenttä, johon liittyy skalaaripotentiaali φ. Tällöin potentiaaliin φ liittyvät tasapotentiaalipinnat (tason tapauksessa käyrät) määräytyvät yhtälöstä φ = vakio. Koska konservatiivinen kenttä on muotoa F = φ, tasapotentiaalipinnat ovat aina kohtisuorassa kenttäviivoja vastaan. Vrt. esimerkiksi korkeuskäyrät kartan tapauksessa. Antti Rasila (Aalto-yliopisto) MS-A0305 Syksy / 24