Hamiltonin-Jacobin teoriaa
|
|
- Reino Härkönen
- 6 vuotta sitten
- Katselukertoja:
Transkriptio
1 Perjantai /21 Hamiltonin-Jacobin teoriaa Tällä viimeisellä luennolla käsittelemme vielä uuden näkökulman klassiseen mekaniikkaan, joka kulkee nimellä Hamiltonin-Jacobin teoria. Aloitetaan Hamiltonin periaatteesta: T I = L(q i, q i, t)dt 0 joka lasketaan kaikille poluille q(t) kiinteillä reunaehdoilla: q i (0) = q alku i ; q i (T ) = q loppu i Tällöin oikea polku saadaan vaikutusintegraalin ääriarvosta δi = 0. Vaihdetaan nyt perspektiiviä. Tarkastellaan vaikutusintegraalia laskettuna ainoastaan oikealle (klassiselle) polulle qi klassinen (t) ja määritellään S(q alku i, q loppu i, t) I [qi klassinen (t)] Vaikutusintegraali I on funktionaali mille tahansa polulle, S on taasen funktio alku- ja loppukonfiguraatioista qi alku, q loppu i ja ajasta T, joka kuluu päätepisteiden välillä kulkemiseen.
2 Hamiltonin-Jacobin teoriaa Kysytään seuraavaksi, että mitä tapahtuu, jos pidämme qi alku loppupistettä q loppu i : T δi = 0 S q loppu i [ L dt ( )] L d q i dt q }{{ i } =0 = L t=t = p loppu i q i [ ] L T δq i (t) + δq i (t) q i 0 kiinteänä ja varioimme Seuraavaksi halutaan laskea T S. Tarkastellaan klassista polkua, jolla on kiinteä alkukonfiguraatio q alku i. Annetaan polun käydä vähän kauempana eli T T + δt : Toisaalta di /dt = L tai ds dt = S T + ds dt = L(qklassinen i S q loppu i q loppu i (T ), q klassinen i = S T + ploppu i q loppu i (T ), T ) = L(q loppu i, q loppu i, T ) S ( ) T = p loppu i q loppu i L(q loppu i, q loppu i, T ) = H(q loppu i, p loppu i, T ) Voimme lopuksi tiputtaa sanan loppu ja korvata T t. Perjantai /21
3 erjantai /21 Hamiltonin-Jacobin teoriaa Löysimme siis ajasta riippuvan funktion S = S(q i, t), joka toteuttaa: S q i = p i ; S t = H(q i, p i, t) Sijoittamalla ensimmäinen jälkimmäiseen saamme Hamiltonin-Jacobin yhtälön: S t = H(q i, S/ q i, t) Olemme siis osoittaneet, että Hamilton-Jacobi-yhtälön voi konstruoida tarkastelemalla klassisia polkuja, jotka alkavat jostain referenssipisteestä qi alku ja saavuttavat pisteen q i ajassa T. Alkupisteitä qi alku voidaan pitää integraatiovakioina. Mitä käyttöä on sitten H-J-yhtälön ratkaisulle? Meillä on siis ajasta riippuva funktio S(q i, t) konfiguraatioavaruudessa. Hamiltonin LY: n kpl 1.krtl DY q i :iden aikakehitykselle. q i = H p i pi = S/ q i Toisin sanoen, S määrää systeemin aikakehityksen: kun preparoimme systeemin johonkin alkukonfiguraatioon, S:sää voidaan ajatella reaaliarvoisena klassisena aaltofunktiona, joka määrää kuinka systeemi aikakehittyy.
4 Perjantai /21 Hamiltonin-Jacobin teoriaa q i = H p i pi = S/ q i ; S t = H(q i, S/ q i, t) Meidän pitää vielä osoittaa, että aikakehitys, jonka ed. yhtälö määrää toteuttaa jäljellä olevat liikeyhtälöt. Ts. toteutuuko myös toinenkin Hamiltonin liikeyhtälö ṗ i = H/ q i? Suora lasku: ṗ i = d dt ( S q i ) = 2 S q i q j q j + 2 S t q i qi (Ham. Jac.) = 2 S t q i = H q i H p j 2 S q i q j = H 2 S q j q i q i q j Tiivistelmä: olemme harjaantuneet tarkastelemaan systeemin aikakehitystä n kpl 2.krtl DY:illä konfiguraatioavaruudessa (Lagrangen formalismi) ja toisaalta 2n 1.krtl DY:illä faasiavaruudessa (Hamiltonin formalismi). Hamiltonin-Jacobin formalismissa voimme upottaa n integroimisvakioita funktioon S(q i, t) s.e. voimme käsitellä systeemin aikakehitystä 1.krtl DY:illä ( q i = H p i pi = S/ q i ) konfiguraatioavaruudessa.
5 Perjantai /21 H-J konservatiivisessa potentiaalissa H = i p 2 i 2m + U( q) ; p i = S q i ; ts = H H-J:n yhtälö: Konservatiivisuus: H = E E + S t = 0 1 2m ( S)2 + U( q) + S t = 0 S(q, t) = S q(q) Et ; H(q, S q/ q i ) = E Tässä S q on Hamiltonin prinsipaalifunktio, joka siis toteuttaa DY:n: 1 2m ( Sq)2 + U(q) = E Tällä H-J yhtälön erityisratkaisulla on se ominaisuus, että jokaisella konfiguraatioavaruuden polulla, jonka siis S q määrää, on sama energia E. Ennen kuin voimme jatkaa jonkin konkreettisen esimerkin kimppuun, niin meidän pitää olla eksplisiittisempi integroimisvakioiden käsittelyn suhteen; ne on upotettu S:ään.
6 Perjantai /21 H-J, integroimisvakiot Sen sijaan, että yrittäisimme olla turhan yleisiä, niin keskitytään seuraavaksi yhden vapausasteen ongelmaan: H = p2 2m + U(q) Koska H on ajasta riippumaton, energia säilyy. H-J yhtälöllä on tasan 1 integroimisvakio, kutsutaan sitä α:ksi, joka on siis välttämättä jokin funktio energiasta E. Kirjoitetaan siis ekplisiittisesti S = S(q, t; α), missä α = α(e). Tehdään seuraavaksi kanoninen muunnos (q, p) (β, α) s.e. α on uusi kanoninen impulssi. Mikä on tällöin uusi koordinaatti β? Kanonisuusvaatimus: {q, p} (β,α) q p β α q p α β = 1 Laittamalla p i = S/ q (muista myös S = S(q, α), q = q(β, α), p = p(β, α)): {q, p} (β,α) = q ( 2 ) S β α q + 2 S q q 2 q 2 S q α α q 2 β = q β q ( ) S α Muunnos on siis kanoninen, jos β = S α. Funktio S on siis tyypin G 2 generaattori: p = S q ; β = S α
7 Perjantai /21 H-J, tyypin G2 generaattorista p i = S q i ; Q i = S P i Merkitään (muista α i, β i ovat vakioita) { Q i β i S = S(q, P, t) S(q, t; α) n + 1 muuttujan funktio P i α i H(q, S/ q, t) + S/ t = 0 (H-J yhtälö) n + 1 muuttujan 1.krtl ODY S:lle S generoi kanonisen muunnokseen, jossa Q i :t ja P i :t ovat vakioita. Ratkaisuresepti: 1. Ratkaistaan S(q, t; α) H-J:n yhtälöstä 2. Muodostetaan β i = S(q,t,α) (n yhtälöä) α i 3. Ratkaistaan ylläolevista yhtälöistä q(t, α, β) rata ajan ja integroimisvakioiden funktiona. H-J teoriassa ongelman ratkaisu on siis yhtä kuin kanonisen muunnoksen löytyminen.
8 erjantai /21 Esimerkki: HO H = p2 2m kq2 = E Nyt valitaan α = E ja S = S q(q, E) Et, missä 1 2m ( ) 2 Sq + 1 q 2 kq2 = E S q q = mk ( 2E k q2 ) josta S = mk β = S m E = k 2E dq k q2 Et ( ) 2E 1/2 dq k q2 t ( ) m k β + t = k arccos q 2E 2E q = mω0 2 cos ω 0 (t + β) Muunnetun systeemin kanoniset muuttujat: Q = β ja P = E. Molemmat liikevakioita, mutta selvästi eivät q(0) ja p(0)!
9 Esimerkki: keskeisliike Tarkastellaan keskeisliikettä tasossa θ = π/2: ( ) H(r, ϕ, p r, p ϕ) = 1 pr 2 + p2 ϕ 2m r 2 + U(r) Konservatiivisuus S = S q(r, ϕ, α) α 1 t, missä α 1 = E. H-J: 1 2m (( r S q) 2 + ( ϕsq)2 ϕ on syklinen p ϕ =vakio= l α 2 ja ϕs q = α 2 : r 2 ) + U(r) = α 1 S q = S r (r; α) + ϕα 2 1 ( ) ( r S r ) 2 + α2 2 2m r 2 + U(r) = α 1 erjantai /21
10 Perjantai /21 Esimerkki: keskeisliike S r = 2m[α 1 U(r)] α2 2 r r 2 S = dr 2m[α 1 U(r)] α2 2 r 2 + ϕα 2 α 1 t β 1 = S mdr = t α 1 β 2 = S = α 2 2m[α 1 U(r)] α2 2 r 2 α 2 dr r 2 2m[α 1 U(r)] α2 2 r 2 + ϕ Näistä saadaan siis ratkaistua radan yhtälöt r(t, α, β) ja r(ϕ, α, β) (esim. Kepler). Vakioilla β 1, β 2 on selkeä tulkinta (ajan ja vaiheen nollakohtien valinta).
11 Perjantai /21 H-J, kulma-vaikutusmuuttujat Muistetaan harmonisen oskillaattorin yhteydestä, että periodinen liike voidaan jakaa kahteen perustyyppiin: Libraatioon Rotaatioon H-J kanonisina impulsseina integroimisvakiot P i = α i. Merk. α = {α i }. Tarkastellaan vaikutusmuuttujia H-J teoriassa, eli J i = p i dq i i = 1,..., n missä siis J i = J i (α), J = {J i }.
12 Perjantai /21 H-J, kulma-vaikutusmuuttujat Oletetaan, että meillä on konservatiivinen systeemi S = S q(q; α) α 1 t ja että S q on separoituva q-koordinaateissa: S q = i Sq i (q i ; α). H-J: J i = p i = Sq q i = Sq i (q i ; α) q i p i dq i = Määritellään seuraavaksi kulmamuuttujat: Sqi q i dq i = J i (α) α i = α i (J) S q = S q(q, J) w i = Sq J i (vrt. β i = S/ α i ) Vastaa kanonista muunnosta (q, p) (w, J), jonka generoi S q(q, J). Konservatiivisuus H = E = α 1 (J) ja koska muunnos ei riipu ajasta K = H(J), niin kulmamuuttujat ovat syklisiä koordinaatteja.
13 H-J, kulma-vaikutusmuuttujat ẇ i = H J i ν i (J) = vakio w i = ν i (J)t + β i Kysymys: paljonko w i muuttuu, kun q i tekee täyden syklin? δw i = j w i w j δq j jolloin 1 w i = j = j wi dq j = 2 S q dq j = q j q j j J i j p j dq j = J j = 1 J i J j i pj J i dq j Merk. q i :n periodin pituutta τ i : w i = τ i ν i = 1 ν i = τ 1 i. 1 Varoitus! toisella rivillä otettiin Ji -derivaatta ulos integraalista, jonka reitti riippuu J i :stä. Osoittautuu, että muutos reitin sisällään pitämässä pinta-alassa on toista krtl δj i :ssä ja temppu on tällä kertaa vaaraton. Perjantai /21
14 Perjantai /21 Esim. HO:n periodi Liike tiedetään jaksolliseksi: J = pdq = mk = 2E mk k 2E k 2π cos 2 θdθ 0 } {{ } 1 2 2π H = p2 2m kq2 = E q2 dq m = 2πE k sij. q = 2E k sin θ H = E = J k 2π m ν = H J = 1 k 2π m = ω 0 2π Jaksollisen liikkeen periodi saatiin siis määrätyksi liikeyhtälöitä muodostamatta, saati ratkaisematta!
15 Perjantai /21 Esimerkki: Keplerin liike ratatasossa ( ) H = 1 pr 2 + p2 ϕ 2m r 2 k r Vaikutusmuuttujat ovat siis J ϕ = p ϕdϕ = ldϕ = 2πl J r = = E, pϕ = l = vakio (ϕ syklinen) ( p r dr = 2m E + k ) l2 r =... = 2πl + πk r 2 dr 2m = Jϕ + πk E 2m E Näin siis H(J r, J ϕ) = E = 2π2 mk 2 (J r +J ϕ) 2. Molemmilla koordinaateilla on sama taajuus (ratakäyrä on suljettu): ν = H J r = H = 4π2 mk 2 J ϕ (J r + J ϕ) 3 = 1 2E 3 πk m
16 Bonus: matkaeväät kvanttimekaniikkaan Yksi päämotiiveista tarkastella klassisen mekaniikan formaaleja asioita tällä viikolla on tietenkin yrittää lähentyä kvanttimekaniikkaa. Tästä syystä tarkastellaan tätä yhteyttä vähän lähemmin muutaman analogian kautta. Näin kvanttimekaniikka saadaan näyttämään hivenen ymmärrettävämmältä. 2 Klassisessa mekaniikassa systeemin tilaa kuvataan pisteellä (q i, p i ) faasiavaruudessa. Kvanttimekaniikassa tilaa kuvataan kompleksiarvoisella aaltofunktiolla ψ(q) konfiguraatioavaruudessa. Havaittavat suureet (observaabelit) ovat operaattoreita aaltofunktioiden avaruudessa. Paikka- ˆq i ja momenttioperaattoreiden ˆp i standardiesitykset ovat: ˆq i ψ(q) = q i ψ(q) ˆp i ψ(q) = i ψ q i joista seuraa tunnetut Heisenbergin kommutaatiosäännöt: [ˆp i, ˆp j ] = 0 [ˆq i, ˆq j ] = 0 [ˆq i, ˆp j ] = i δ ij missä [A, B] = AB BA. Lienee tutunnäköistä? 2 Tosiaankin vain hivenen, kvanttimaailma on todella mystinen. Mm. Feynman on tokaissut: I think I can safely say that nobody understands quantum mechanics.. erjantai /21
17 Perjantai /21 Bonus: matkaeväät kvanttimekaniikkaan [ˆp i, ˆp j ] = 0 [ˆq i, ˆq j ] = 0 [ˆq i, ˆp j ] = i δ ij Muistanette Poissonin sulut: {q i, q j } = {p i, p j } = 0, {q i, p j } = δ ij Vaikka nämä bilineaariset, antisymmetriset operaattorit [, ] ja {, } operoi täysin eri avaruuksissa, ne toteuttavat saman algebrallisen rakenteen. Heuristisesti: molemmat kommutaatiosäännöt kertovat sen matemaattisen asian, että impulssi p i generoi koordinaattien q i infinitesimaalisen translaation. Klassisessa mekaniikassa opimme tämän viime luennolla, kun tarkastelimme infinitesimaalisia kanonisia muunnoksia. Kvanttimekaniikassa tämä seuraa ed. kalvon ˆq i, ˆp i esityksistä ja Taylorin kehitelmästä. Tie kvanttimekaniikkaan kuvataan Poissonin sulkujen kautta (formuloi Dirac): {, } klassinen i [, ] kvantti kanoninen kvanttisointi Näistä seuraa myös liikeyhtälöt kvanttimekaniikassa: 3 ḟ = {f, H} i ˆf = [ˆf, Ĥ] Klassinen raja 0. 3 Nämä ovat ns. Heisenbergin kuvan liikeyhtälöt, jossa operaattorit riippuvat ajasta eikä siis aaltofunktio.
18 erjantai /21 Bonus: matkaeväät kvanttimekaniikkaan Poissonin suluilla oli siis jotain tekemistä kvanttimekaniikan Heisenbergin kuvan kanssa. Hamiltonin-Jacobin yhtälöllä taasen liittyy Schrödingerin aaltofunktioon. Ensimmäisiä asioita joita kvanttimekaniikan kurssilla opitaan liittyy Schrödingerin yhtälöön yksiulotteisessa tapauksessa. Otetaan siis Hamiltonin operaattori Ĥ = ˆp2 + U(ˆq), joka operoi hitun aaltofunktioon ψ(q): 2m i ψ t 2 2 ψ = Ĥψ = 2m q 2 + U(q)ψ jossa siis käytettiin ed. esitystä paikka- ja impulssioperaattoreille. Kirjoitetaan kompleksiarvoinen aaltofunktio seuraavasti ψ(q, t) = R(q, t)e is(q,t)/ missä R ja S ovat reaaliarvoisia funktioita. Todennäköisyys löytää hitu pisteestä q ajanhetkellä t: P(q, t) = ψ(q, t) 2 = R(q, t) 2. Mutta mikä on vaiheen S tulkinta? Laitetaan aaltofunktion esitys Schrödingerin yhtälöön: [ R i t + ir ] [ S = 2 2 R t 2m q 2 + 2i R S q q R 2 ( ) S 2 + ir q ] 2 S q 2 +UR
19 Bonus: matkaeväät kvanttimekaniikkaan [ R i t + ir ] [ S = 2 2 R t 2m q 2 + 2i R S q q R 2 ( ) S 2 + ir q ] 2 S q 2 + UR Otetaan tästä sitten klassinen raja 0: 4 S t + 1 2m ( ) S 2 + U(q) = O( ) q Tunnistamme tämän Hamiltonin-Jacobin yhtälöksi. Eli klassisella rajalla hitun aaltofunktion vaiheen voidaan ymmärtää olevan klassinen vaikutus sille polulle, jonka hitu oikeasti kulkee. 4 Tarkemmin sanottuna vaadimme 2 S q 2 S q. Tämä tarkoittaa sitä, että ajattelemme hitun de Broglie aallonpituuden olevan paljon pienempi kuin minkään muun skaalan. Perjantai /21
20 Bonus: matkaeväät kvanttimekaniikkaan Tarkastellaan vielä Hamiltonin periaatetta. Kullekin polulle, jonka hitu voisi kulkea voidaan antaa jokin numeroarvo: vaikutusintegraalin arvo. LY vaikutuksen I ääriarvo. Mutta entäs muut polut, onko niille jotain käyttöä? Kvanttimaailmassa kyllä! Ajatellaan, että hitu on todettu pisteessä q alku (t = 0), tällöin tod.näk. P että hitu löydetään pisteessä q loppu (t = T ) voidaan lukea aaltofunktiosta ψ(q loppu, T ). Feynmanin polkuintegraaliesitys aaltofunktiolle: 5 q loppu ψ(q loppu, T ) = N Dq(t)e ii [q(t)]/ (N normitus) q alku Tässä kaavassa ainoa hankaluus on integraali: se on summa kaikista mahdollisista poluista. Nämä polut lasketaan painoilla, jotka seuraavat vaikutuksesta. Hitut siis kulkevat kaikkia mahdollisia reittejä/polkuja, mutta tietyillä vaiheilla. Rajalla 0, kaikkien polkujen, paitsi klassisen (jolle δi = 0), vaiheet rupeavat oskilloimaan holtittomasti ja itseasiassa kumoavat integraalissa toisensa. Tapauksissa, joissa on tärkeä, näiden muiden polkujen huomioiminenkin on tärkeää! Näillä eväillä toivon, että kvanttimekaniikkaa on helpompi lähestyä! 5 Tämä toteuttaa ed. Schrödingerin yhtälön. erjantai /21
21 Perjantai /21 Loppukoe Viisi tehtävää, 2 suoraan laskuharjoituksista, eli kertaa! Ydinasiat: Sidokset, yleistetyt koordinaatit ja vapausasteet, Lagrangen funktion ja liikeyhtälöiden muodostaminen, sidosvoimien määrittäminen Lagrangen kertojamenetelmällä Pienten kytkettyjen värähtelyjen teorian soveltaminen Ei-inertiaaliset koordinaatistot: näennäisvoimat, Lagrangen funktio Jäykän kappaleen liike: Lagrange funktio. Hitaustensori. Eulerin yhtälöt. Eulerin kulmat. Lagrangen hyrrä. Hamiltonin funktion ja liikeyhtälöiden muodostaminen Kanoniset muunnokset ja generaattorit. Muunnoksen toteaminen kanoniseksi. Hamilton-Jacobi. Vaikutus- ja kulmamuuttujat.
Hamiltonin formalismia
Perjantai 3.10.2014 1/20 Hamiltonin formalismia Olemme valmiit siirtymään seuraavalle tasolle klassisen mekaniikan formalismissa, jonka aloitti Hamilton n. 1830. Emme käytä tätä formalismia minkään vaikeamman
LisätiedotKitkavoimat. Ol. N massapisteen systeemi ja suoraan nopeuteen verrannollinen kitkavoima: k x v 2. i,x + ky v 2. i,y + kz v 2. vi F = i. r i.
Kitkavoimat Ol. N massapisteen systeemi ja suoraan nopeuteen verrannollinen kitkavoima: F (f ) i = k x v i,x ê x k y v i,y ê y k z v i,z ê z Otetaan käyttöön Rayleigh n dissipaatiofunktio N F = 1 2 i=1
LisätiedotKertausta: Vapausasteet
Maanantai 8.9.2014 1/19 Kertausta: Vapausasteet Liikkeen kuvailu: massapisteen koordinaatit (x, y, z) ja nopeudet (v x, v y, v z ). Vapaasti liikkuvalla massapisteellä on kolme vapausastetta. N:llä vapaasti
LisätiedotKlassisen mekaniikan historiasta
Torstai 4.9.2014 1/18 Klassisen mekaniikan historiasta Nikolaus Kopernikus (puolalainen pappi 1473-1543): aurinkokeskeinen maailmankuva Johannes Kepler (saksalainen tähtitieteilijä 1571-1630): planeettojen
LisätiedotKertausta: Hamiltonin periaate
Maanantai 15.9.2014 1/19 Kertausta: Hamiltonin periaate Hamilton: Kaikkien pisteiden {q 1 } ja {q 2 } välisten mahdollisten ratojen joukosta valikoituu se, jolle (Hamiltonin) vaikutusintegraali I = t2
LisätiedotCh7 Kvanttimekaniikan alkeita. Tässä luvussa esitellään NMR:n kannalta keskeiset kvanttimekaniikan tulokset.
Ch7 Kvanttimekaniikan alkeita Tässä luvussa esitellään NMR:n kannalta keskeiset kvanttimekaniikan tulokset. Spinnittömät hiukkaset Hiukkasta kuvaa aineaaltokenttä eli aaltofunktio. Aaltofunktio riippuu
Lisätiedot3.6 Feynman s formulation of quantum mechanics
3.6 Feynman s formulation of quantum mechanics Course MAT-66000: Quantum mechanics and the particles of nature Ilkka Kylänpää Tampere University of Technology 14.10.2010 Sisältö Johdattelua Klassinen action
LisätiedotVärähdysliikkeet. q + f (q, q, t) = 0. q + f (q, q) = F (t) missä nopeusriippuvuus kuvaa vaimenemista ja F (t) on ulkoinen pakkovoima.
Torstai 18.9.2014 1/17 Värähdysliikkeet Värähdysliikkeet ovat tyypillisiä fysiikassa: Häiriö oskillaatio Jaksollinen liike oskillaatio Yleisesti värähdysliikettä voidaan kuvata yhtälöllä q + f (q, q, t)
Lisätiedot763306A JOHDATUS SUHTEELLISUUSTEORIAAN 2 Ratkaisut 1 Kevät y' P. α φ
76336A JOHDATUS SUHTEELLISUUSTEORIAAN 2 Ratkaisut 1 Kevät 217 1. Koordinaatiston muunnosmatriisi (a) y' P r α φ ' Tarkastellaan, mitä annettu muunnos = cos φ + y sin φ, y = sin φ + y cos φ, (1a) (1b) tekee
LisätiedotUseita oskillaattoreita yleinen tarkastelu
Useita oskillaattoreita yleinen tarkastelu Useita riippumattomia vapausasteita q i, i =,..., n ja potentiaali vastaavasti U(q, q 2,..., q n). Tasapainoasema {q 0, q0 2,..., q0 n} q 0 Käytetään merkintää
LisätiedotTilat ja observaabelit
Tilat ja observaabelit Maksimaalinen informaatio systeemistä tietyllä ajanhetkellä sisältyy tilaan ψ (ket). Tila = vektori Hilbertin avaruudessa sisätulo ψ ψ C ψ c 1 ψ 1 + c 2 ψ 2 = c 1 ψ ψ 1 + c 2 ψ ψ
LisätiedotAikariippuva Schrödingerin yhtälö
Aineaaltodynamiikka Aineaaltokenttien riippuvuus ajasta aikariippuva Schrödingerin yhtälö Stationääriset ja ei-stationääriset tilat Aaltopaketit Kvanttimekaniikan postulaatit Aikariippuva Schrödingerin
Lisätiedot1. Tarkastellaan kaksiulotteisessa Hilbert avaruudessa Hamiltonin operaattoria
Kvanttimekaniikka I, tentti 6.. 015 4 tehtävää, 4 tuntia 1. Tarkastellaan kaksiulotteisessa Hilbert avaruudessa Hamiltonin operaattoria ( { ( ( } E iδ H =, E, δ R, kannassa B = 1 =, =. iδ E 0 1 (a (p.
LisätiedotKvanttifysiikan perusteet 2017
Kvanttifysiikan perusteet 7 Harjoitus 3: ratkaisut Tehtävä Tarkastellaan äärettömän syvässä laatikossa (väli [, L) olevaa hiukkasta. Kirjoita energiatiloja E n vastaavat aaltofunktiot muodossa ψ n (x,
LisätiedotSymmetriat ja säilymislait
Symmetriat ja säilymislait Onni Veteläinen 2437668 LuK-tutkielma Fysiikan laitos Oulun yliopisto Kevät 2017 Sisältö Johdanto 1 1 Symmetriat ja säilymislait klassisessa mekaniikassa 2 1.1 Liikemäärän säilyminen......................
LisätiedotEi-inertiaaliset koordinaatistot
orstai 25.9.2014 1/17 Ei-inertiaaliset koordinaatistot Tarkastellaan seuraavaa koordinaatistomuunnosta: {x} = (x 1, x 2, x 3 ) {y} = (y 1, y 2, y 3 ) joille valitaan kantavektorit: {x} : (î, ĵ, ˆk) {y}
LisätiedotKvanttifysiikan perusteet, harjoitus 5
Kvanttifysiikan perusteet, harjoitus 5 February 4, 07 Tehtävä Oletetaan energian ominaisfunktiot φ n ortonormitetuiksi, dxφ nφ m = δ nm, jossa δ nm on Kroneckerin delta. Määritetään ensin superpositiotilan
Lisätiedot763306A JOHDATUS SUHTEELLISUUSTEORIAAN 2 Ratkaisut 2 Kevät 2017
763306A JOHDATUS SUHTEELLISUUSTEORIAAN 2 Ratkaisut 2 Kevät 207. Nelinopeus ympyräliikkeessä On siis annettu kappaleen paikkaa kuvaava nelivektori X x µ : Nelinopeus U u µ on määritelty kaavalla x µ (ct,
LisätiedotKJR-C1001 Statiikka ja dynamiikka. Luento Susanna Hurme
KJR-C1001 Statiikka ja dynamiikka Luento 31.3.2016 Susanna Hurme Dynamiikan välikoe 4.4.2016 Ajankohta ma 4.4.2016 klo 16:30 19:30 Salijako Aalto-Sali: A-P (sukunimen alkukirjaimen mukaan) Ilmoittautuminen
LisätiedotKvanttifysiikan perusteet 2017
Kvanttifysiikan perusteet 207 Harjoitus 2: ratkaisut Tehtävä Osoita hyödyntäen Maxwellin yhtälöitä, että tyhjiössä magneettikenttä ja sähkökenttä toteuttavat aaltoyhtälön, missä aallon nopeus on v = c.
LisätiedotTehtävä 4.7 Tarkastellaan hiukkasta, joka on pakotettu liikkumaan toruksen pinnalla.
Tehtävä.7 Tarkastellaan hiukkasta, joka on pakotettu liikkumaan toruksen pinnalla. x = (a + b cos(θ)) cos(ψ) y = (a + b cos(θ)) sin(ψ) = b sin(θ), a > b, θ π, ψ π Figure. Toruksen hajoituskuva Oletetaan,
LisätiedotFYSA2031 Potentiaalikuoppa
FYSA2031 Potentiaalikuoppa Työselostus Laura Laulumaa JYFL YK216 laura.e.laulumaa@student.jyu.fi 16.10-2.11. 2017 Ohjaus Työn ja ohjelman esittely ( 30 min) Harjoitellaan ohjelman käyttöä Harmoninen potentiaali
Lisätiedot2.7.4 Numeerinen esimerkki
2.7.4 Numeerinen esimerkki Karttusen kirjan esimerkki 2.3: Laske Jupiterin paikka taivaalla..2. Luennoilla käytetty rataelementtejä a, ǫ, i, Ω, ω, t Ω nousevan solmun pituus = planeetan nousevan solmun
LisätiedotFourier-analyysi, I/19-20, Mallivastaukset, Laskuharjoitus 7
MS-C14, Fourier-analyysi, I/19- Fourier-analyysi, I/19-, Mallivastaukset, Laskuharjoitus 7 Harjoitustehtävä 7.1. Hetkellä t R olkoon s(t) 1 + cos(4πt) + sin(6πt). Laske tämän 1-periodisen signaalin s Fourier-kertoimet
LisätiedotJ 2 = J 2 x + J 2 y + J 2 z.
FYSA5 Kvanttimekaniikka I, Osa B.. tentti: 4 tehtävää, 4 tuntia. Tarkastellaan pyörimismääräoperaattoria J, jonka komponentit toteuttavat kommutaatiorelaatiot [J x, J y ] = i hj z, [J y, J z ] = i hj x,
LisätiedotFYSA234 Potentiaalikuoppa, selkkarityö
FYSA234 Potentiaalikuoppa, selkkarityö Jari Partanen, Jani Komppula JYFL FL246, S118 japapepa@jyu.fi, jani.komppula@jyu.fi 13. lokakuuta 2014 Ohjaus Työn ja ohjelman esittely (15-30 min) Harjoitellaan
LisätiedotKlassisen mekaniikan muotoilu symplektisen geometrian avulla
Klassisen mekaniikan muotoilu symplektisen geometrian avulla Ville Kivioja 21. kesäkuuta 2017 Tämän lyhyen artikkelin tarkoituksena on muotoilla klassinen mekaniikka mahdollisimman yleisesti ja käyttäen
LisätiedotMS-A0305 Differentiaali- ja integraalilaskenta 3 Luento 3: Vektorikentät
MS-A0305 Differentiaali- ja integraalilaskenta 3 Luento 3: Vektorikentät Antti Rasila Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Aalto-yliopisto Syksy 2016 Antti Rasila (Aalto-yliopisto) MS-A0305 Syksy 2016
LisätiedotAineaaltodynamiikkaa
Aineaaltodynamiikkaa Aineaaltokenttien riippuvuus ajasta aikariippuva Schrödingerin yhtälö Stationääriset ja ei-stationääriset tilat Aaltopaketit Kvanttimekaniikan postulaatit = kuinka hiukkasen fysikaaliset
LisätiedotAnalyyttinen mekaniikka
Maanantai 1.9.2014 1/17 Analyyttinen mekaniikka Luennoitsija: Niko Jokela Syyslukukausi 2014 4h/vko luentoja+2h/vko harjoituksia Maanantai 1.9.2014 2/17 Yleistä Luennot ma & to klo 10-12 (E204) sekä viikoilla
Lisätiedot1. (a) (2p.) Systeemin infinitesimaalista siirtoa matkan ɛ verran esittää operaattori
FYSA5 Kvanttimekaniikka I, Osa B 7.. tentti: 4 tehtävää, 4 tuntia. a) p.) Systeemin infinitesimaalista siirtoa matkan ɛ verran esittää operaattori T ɛ) = iɛ h P. Osoita tämän avulla, että äärellistä siirtoa
LisätiedotFYSA234 Potentiaalikuoppa, selkkarityö
FYSA234 Potentiaalikuoppa, selkkarityö Jari Partanen, Jani Komppula JYFL FL246, S118 japapepa@jyu.fi, jani.komppula@jyu.fi 16. lokakuuta 2013 Ohjaus Työn ja ohjelman esittely (15-30 min) Harjoitellaan
LisätiedotKJR-C1001 Statiikka ja dynamiikka. Luento Susanna Hurme
KJR-C1001 Statiikka ja dynamiikka Luento 24.3.2016 Susanna Hurme Rotaatioliikkeen liike-energia, teho ja energiaperiaate (Kirjan luku 18) Osaamistavoitteet Ymmärtää, miten liike-energia määritetään kiinteän
LisätiedotMS-C1340 Lineaarialgebra ja differentiaaliyhtälöt
MS-C1340 Lineaarialgebra ja differentiaaliyhtälöt Differentiaaliyhtälöt, osa 1 Riikka Kangaslampi Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Aalto-yliopisto 2015 1 / 20 R. Kangaslampi Matriisihajotelmista
LisätiedotVaratun hiukkasen liike
Luku 15 Varatun hiukkasen liike SM-kentässä Tarkastellaan lopuksi varatun hiukkasen liikettä sähkömagneettisessa kentässä. Liikeyhtälö on tullut esiin useaan otteeseen kurssin aikana aiemminkin. Yleisesti
LisätiedotKvanttimekaniikan tulkinta
Kvanttimekaniikan tulkinta 20.1.2011 1 Klassisen ja kvanttimekaniikan tilastolliset formuloinnit 1.1 Klassinen mekaniikka Klassisen mekaniikan systeemin tilaa kuvaavat kappaleiden koordinaatit ja liikemäärät
LisätiedotKvanttidynamiikka Tarkastellaan ensin hieman bra/ket-merkintää ja vertaillaan sitä muihin merkintätapoihin.
Kvanttidynamiikka 30.10.2010 0.1 Bra- ja Ket-merkinnöistä Tarkastellaan ensin hieman bra/ket-merkintää ja vertaillaan sitä muihin merkintätapoihin. Oletetaan, että ket ψ ja bra φ ovat alkioita, jotka liittyvät
Lisätiedoty x1 σ t 1 = c y x 1 σ t 1 = y x 2 σ t 2 y x 2 x 1 y = σ(t 2 t 1 ) x 2 x 1 y t 2 t 1
1. Tarkastellaan funktiota missä σ C ja y (y 1,..., y n ) R n. u : R n R C, u(x, t) e i(y x σt), (a) Miksi funktiota u(x, t) voidaan kutsua tasoaalloksi, jonka aaltorintama on kohtisuorassa vektorin y
LisätiedotLuento 5: Käyräviivainen liike. Käyräviivainen liike Heittoliike Ympyräliike Kulmamuuttujat θ, ω ja α Yhdistetty liike
Luento 5: Käyräviivainen liike Käyräviivainen liike Heittoliike Ympyräliike Kulmamuuttujat θ, ω ja α Yhdistetty liike 1 / 29 Luennon sisältö Käyräviivainen liike Heittoliike Ympyräliike Kulmamuuttujat
LisätiedotVaratun hiukkasen liike
Luku 16 Varatun hiukkasen liike SM-kentässä Tarkastellaan lopuksi varatun hiukkasen liikettä sähkömagneettisessa kentässä. Liikeyhtälö on tullut esiin useaan otteeseen kurssin aikana aiemminkin. Yleisesti
LisätiedotMS-A0305 Differentiaali- ja integraalilaskenta 3 Luento 8: Divergenssi ja roottori. Gaussin divergenssilause.
MS-A0305 Differentiaali- ja integraalilaskenta 3 Luento 8: Divergenssi ja roottori. Gaussin divergenssilause. Antti Rasila Aalto-yliopisto Syksy 2015 Antti Rasila (Aalto-yliopisto) MS-A0305 Syksy 2015
LisätiedotOletetaan sitten, että γ(i) = η(j). Koska γ ja η ovat Jordan-polku, ne ovat jatkuvia injektiivisiä kuvauksia kompaktilta joukolta, ja määrittävät
HY / Matematiikan ja tilastotieteen laitos Vektorianalyysi II, syksy 18 Harjoitus 6 Ratkaisuehdotukset Tehtävä 1. Osoita, että sileille Jordan-poluille on voimassa : I R n ja : J R n (I) = (J) jos ja vain
Lisätiedot8. Klassinen ideaalikaasu
Statistinen fysiikka, osa B (FYSA242) Tuomas Lappi tuomas.v.v.lappi@jyu.fi Huone: FL240. Ei kiinteitä vastaanottoaikoja. kl 2016 8. Klassinen ideaalikaasu 1 Fysikaalinen tilanne Muistetaan: kokeellisesti
Lisätiedot13. Ratkaisu. Kirjoitetaan tehtävän DY hieman eri muodossa: = 1 + y x + ( y ) 2 (y )
MATEMATIIKAN JA TILASTOTIETEEN LAITOS Differentiaaliyhtälöt, kesä 00 Tehtävät 3-8 / Ratkaisuehdotuksia (RT).6.00 3. Ratkaisu. Kirjoitetaan tehtävän DY hieman eri muodossa: y = + y + y = + y + ( y ) (y
LisätiedotKJR-C1001 Statiikka ja dynamiikka. Luento Susanna Hurme
KJR-C1001 Statiikka ja dynamiikka Luento 29.3.2016 Susanna Hurme Yleisen tasoliikkeen kinematiikka: absoluuttinen ja suhteellinen liike, rajoitettu liike (Kirjan luvut 16.4-16.7) Osaamistavoitteet Ymmärtää,
LisätiedotMS-A0204 Differentiaali- ja integraalilaskenta 2 (ELEC2) Luento 9: Muuttujanvaihto taso- ja avaruusintegraaleissa
MS-A24 Differentiaali- ja integraalilaskenta 2 (ELEC2) Luento 9: Muuttujanvaihto taso- ja avaruusintegraaleissa Antti Rasila Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Aalto-yliopisto Kevät 216 Antti Rasila
LisätiedotKJR-C1001 Statiikka ja dynamiikka. Luento Susanna Hurme
KJR-C1001 Statiikka ja dynamiikka Luento 15.3.2016 Susanna Hurme Päivän aihe: Translaatioliikkeen kinematiikka: asema, nopeus ja kiihtyvyys (Kirjan luvut 12.1-12.5, 16.1 ja 16.2) Osaamistavoitteet Ymmärtää
LisätiedotVaratun hiukkasen liike
Luku 17 Varatun hiukkasen liike SM-kentässä Tarkastellaan tässä luvussa varatun hiukkasen liikettä sähkömagneettisessa kentässä. Asiaa on käsitelty RMC:n luvussa 14 ja CL käsittelee Hamiltonin formalismia
LisätiedotPakotettu vaimennettu harmoninen värähtelijä Resonanssi
Pakotettu vaimennettu harmoninen värähtelijä Resonanssi Tällä luennolla tavoitteena Mikä on pakkovoiman aiheuttama vaikutus vaimennettuun harmoniseen värähtelijään? Mikä on resonanssi? Kertaus: energian
LisätiedotF dr = F NdS. VEKTORIANALYYSI Luento Stokesin lause
91 VEKTORIANALYYI Luento 13 9. tokesin lause A 16.5 tokesin lause on kuin Gaussin lause, mutta yhtä dimensiota alempana: se liittää toisiinsa kentän derivaatasta pinnan yli otetun integraalin ja pinnan
LisätiedotKahden suoran leikkauspiste ja välinen kulma (suoraparvia)
Kahden suoran leikkauspiste ja välinen kulma (suoraparvia) Piste x 0, y 0 on suoralla, jos sen koordinaatit toteuttavat suoran yhtälön. Esimerkki Olkoon suora 2x + y + 8 = 0 y = 2x 8. Piste 5,2 ei ole
LisätiedotTehtävä 1. a) sähkövirta = varausta per sekunti, I = dq dt = 1, A = 1, C s protonin varaus on 1, C
Tehtävä a) sähkövirta = varausta per sekunti, I = dq dt =, 5 0 3 =, 5 0 3 C s protonin varaus on, 6 0 9 C Jaetaan koko virta yksittäisille varauksille:, 5 0 3 C s kpl = 9 05, 6 0 9 s b) di = Jd = J2πrdr,
LisätiedotLUKU 3. Ulkoinen derivaatta. dx i 1. dx i 2. ω i1,i 2,...,i k
LUKU 3 Ulkoinen derivaatta Olkoot A R n alue k n ja ω jatkuvasti derivoituva k-muoto alueessa A Muoto ω voidaan esittää summana ω = ω i1 i 2 i k dx i 1 dx i 2 1 i 1
LisätiedotOsa IX. Z muunnos. Johdanto Diskreetit funktiot
Osa IX Z muunnos A.Rasila, J.v.Pfaler () Mat-.33 Matematiikan peruskurssi KP3-i 9. lokakuuta 2007 298 / 322 A.Rasila, J.v.Pfaler () Mat-.33 Matematiikan peruskurssi KP3-i 9. lokakuuta 2007 299 / 322 Johdanto
Lisätiedot6. Yhteenvetoa kurssista
Statistinen fysiikka, osa A (FYSA241) Vesa Apaja vesa.apaja@jyu.fi Huone: YN212. Ei kiinteitä vastaanottoaikoja. kl 2016 6. Yhteenvetoa kurssista 1 Keskeisiä käsitteitä I Energia TD1, siirtyminen lämpönä
LisätiedotLUKU 10. Yhdensuuntaissiirto
LUKU hdensuuntaissiirto Olkoot (M, N) suunnistettu pinta, p M ja v p R 3 p annettu vektori pisteessä p (vektorin v p ei tarvitse olla pinnan M tangenttivektori). Tällöin vektori (v p N(p)) N(p) on vektorin
LisätiedotVapaan hiukkasen Schrödingerin yhtälö (yksiulotteinen)
Vapaan hiukkasen Schrödingerin yhtälö (yksiulotteinen Vapaaseen hiukkaseen ei vaikuta voimia, joten U(x = 0. Vapaan hiukkasen energia on sen liike-energia eli E=p /m. Koska hiukkasella on määrätty energia,
LisätiedotBM30A0240, Fysiikka L osa 4
BM30A0240, Fysiikka L osa 4 Luennot: Heikki Pitkänen 1 Oppikirja: Young & Freedman: University Physics Luku 14 - Periodic motion Luku 15 - Mechanical waves Luku 16 - Sound and hearing Muuta - Diffraktio,
Lisätiedot5.9 Voiman momentti (moment of force, torque)
5.9 Voiman momentti (moment of force, torque) Voiman momentti määritellään ristitulona M = r F missä r on voiman F vaikutuspisteen paikkavektori tarkasteltavan pisteen suhteen Usean voiman tapauksessa
Lisätiedot[xk r k ] T Q[x k r k ] + u T k Ru k. }.
Mat-2.48 Dynaaminen optimointi Mitri Kitti/Ilkka Leppänen Mallivastaukset, kierros 3. Johdetaan lineaarisen aikainvariantin seurantatehtävän yleinen ratkaisu neliöllisellä kustannuksella. Systeemi: x k+
LisätiedotLuento 3: Käyräviivainen liike
Luento 3: Käyräviivainen liike Kertausta viime viikolta Käyräviivainen liike Heittoliike Ympyräliike Kulmamuuttujat θ, ω ja α Yhdistetty liike Luennon sisältö Kertausta viime viikolta Käyräviivainen liike
Lisätiedot9 Maxwellin yhtälöt. 9.5 Aaltoyhtälö ja kenttien lähteet Aaltoyhtälö tyhjössä Potentiaaliesitys Viivästyneet potentiaalit
9 Maxwellin yhtälöt 9.5 Aaltoyhtälö ja kenttien lähteet 9.5.1 Aaltoyhtälö tyhjössä 9.5.2 Potentiaaliesitys 9.5.3 Viivästyneet potentiaalit 9.5.4 Aaltoyhtälön Greenin funktio 9.6 Mittainvarianssi Typeset
Lisätiedot53714 Klassinen mekaniikka syyslukukausi 2010
53714 Klassinen mekaniikka syyslukukausi 2010 Luennot: Luennoitsija: Kurssin kotisivu: ma & to 10-12 (E204) Rami Vainio, Rami.Vainio@helsinki.fi http://theory.physics.helsinki.fi/~klmek/ Harjoitukset:
LisätiedotTILASTOLLISEN KVANTTIMEKANIIKAN PERUSTEITA (AH 5.1-5.3) Mikrotilat (kertausta Kvanttimekaniikan kurssilta)
TILASTOLLISEN KVANTTIMEKANIIKAN PERUSTEITA (AH 5.1-5.3) Mikrotilat (kertausta Kvanttimekaniikan kurssilta) Kvanttimekaniikassa yhden hiukkasen systeemin täydellisen kuvauksen antaa tilavektori, joka on
LisätiedotMat Dynaaminen optimointi, mallivastaukset, kierros Johdetaan välttämättömät ehdot funktionaalin. g(y(t), ẏ(t),...
Mat-2.148 Dynaaminen optimointi, mallivastaukset, kierros 6 1. Johdetaan välttämättömät ehdot funktionaalin J(y) = g(y(t), ẏ(t),..., dr y(t), t) dt dt r ekstremaalille, kun ja t f ovat kiinteitä ja tiedetään
LisätiedotKorrespondenssiperiaate. Tapio Hansson Oulun Yliopisto, Fysiikan laitos Ohjaaja: Mikko Saarela
Korrespondenssiperiaate Tapio Hansson Oulun Yliopisto, Fysiikan laitos Ohjaaja: Mikko Saarela Sisältö 1 Johdanto 2 2 Liikeyhtälöt 2 2.1 Klassisen mekaniikan liikeyhtälöt................ 2 2.2 Poissonin
LisätiedotDYNAMIIKKA II, LUENTO 8 (SYKSY 2015) Arttu Polojärvi
DYNAMIIKKA II, LUENTO 8 (SYKSY 2015) Arttu Polojärvi LUENNON SISÄLTÖ Kertausta edelliseltä luennolta: Määritelmiä: yleistetyt koordinaatit, virtuaaliset siirtymät Liike-energian lausekkeita erilaisille
LisätiedotMatemaattinen Analyysi
Vaasan yliopisto, kevät 01 / ORMS1010 Matemaattinen Analyysi. harjoitus, viikko 1 R1 ke 1 16 D11 (..) R to 10 1 D11 (..) 1. Määritä funktion y(x) MacLaurinin sarjan kertoimet, kun y(0) = ja y (x) = (x
LisätiedotAalto-yliopiston perustieteiden korkeakoulu Matematiikan ja systeemianalyysin laitos
Aalto-yliopiston perustieteiden korkeakoulu Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Malinen/Vesanen MS-A0205/6 Differentiaali- ja integraalilaskenta 2, kevät 2017 Laskuharjoitus 4A (Vastaukset) alkuviikolla
Lisätiedot2m 2 r + V (r) ψ n (r) = ɛ n ψ n (r)
Kvanttimekaniikka I. 5. 4 tentti : 4 tehtävää, 4 tuntia. (a (p. Tarkastellaan keskeisliikettä potentiaalissa V (r = V (r, missä r = r on keskeisliikkeeseen liittyvä suhteellinen etäisyys. Separoi Schrödingerin
LisätiedotAalto-yliopiston perustieteiden korkeakoulu Matematiikan ja systeemianalyysin laitos
Aalto-yliopiston perustieteiden korkeakoulu Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Malinen/Ojalammi MS-A0203 Differentiaali- ja integraalilaskenta 2, kevät 2016 Laskuharjoitus 4A (Vastaukset) alkuviikolla
LisätiedotMatematiikan tukikurssi
Matematiikan tukikurssi Kurssikerta 2 Lisää osamurtoja Tutkitaan jälleen rationaalifunktion P(x)/Q(x) integrointia. Aiemmin käsittelimme tapauksen, jossa nimittäjä voidaan esittää muodossa Q(x) = a(x x
LisätiedotPolkuintegraali yleistyy helposti paloitain C 1 -poluille. Määritelmä Olkoot γ : [a, b] R m paloittain C 1 -polku välin [a, b] jaon
Polkuintegraali yleistyy helposti paloitain C 1 -poluille. Määritelmä 4.1.3. Olkoot : [a, b] R m paloittain C 1 -polku välin [a, b] jaon P = {a = t 1 < < t k = b} ja joukko D R m sellainen, että ([a, b])
LisätiedotMS-A010{3,4} (ELEC*) Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Luento 10: Ensimmäisen kertaluvun differentiaaliyhtälö
MS-A010{3,4} (ELEC*) Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Luento 10: Ensimmäisen kertaluvun differentiaaliyhtälö Pekka Alestalo, Jarmo Malinen Aalto-yliopisto, Matematiikan ja systeemianalyysin laitos
LisätiedotDifferentiaali- ja integraalilaskenta 3 Harjoitus 4/ Syksy 2017
MS-A35 Differentiaali- ja integraalilaskenta 3 Differentiaali- ja integraalilaskenta 3 Harjoitus 4/ Syksy 217 Alkuviikon harjoituksissa ratkaistaan kolme tehtävää assistentin avustuksella (läsnäololaskarit).
Lisätiedotu = 2 u (9.1) x + 2 u
9. Poissonin integraali 9.. Poissonin integraali. Ratkaistaan Diriclet n reuna-arvotehtävä origokeskisessä, R-säteisessä ympyrässä D = {(x, y) R x +y < R }, t.s. kun f : D R on annettu jatkuva funktio,
Lisätiedot5.10. HIUKKANEN POTENTIAALIKUOPASSA
5.10. HIUKKANEN POTENTIAALIKUOPASSA eli miten reunaehdot ja normitus vaikuttavat aaltofunktioihin Yleensä Schrödingerin yhtälön ratkaiseminen matemaattisesti on hyvin työlästä ja edellyttää vahvaa matemaattista
LisätiedotDYNAMIIKKA II, LUENTO 7 (SYKSY 2015) Arttu Polojärvi
DYNAMIIKKA II, LUENTO 7 (SYKSY 2015) Arttu Polojärvi LUENNON SISÄLTÖ Kertausta edelliseltä luennolta: Liikemäärän ja liikemäärän momentin tase. Hyrräyhtälöt. Liikeyhtälöiden muodostaminen. Lagrangen formalismi:
LisätiedotLuento 14: Periodinen liike, osa 2. Vaimennettu värähtely Pakkovärähtely Resonanssi F t F r
Luento 14: Periodinen liike, osa 2 Vaimennettu värähtely Pakkovärähtely Resonanssi θ F µ F t F r m g 1 / 20 Luennon sisältö Vaimennettu värähtely Pakkovärähtely Resonanssi 2 / 20 Vaimennettu värähtely
Lisätiedoty (0) = 0 y h (x) = C 1 e 2x +C 2 e x e10x e 3 e8x dx + e x 1 3 e9x dx = e 2x 1 3 e8x 1 8 = 1 24 e10x 1 27 e10x = e 10x e10x
BM0A5830 Differentiaaliyhtälöiden peruskurssi Harjoitus 4, Kevät 017 Päivityksiä: 1. Ratkaise differentiaaliyhtälöt 3y + 4y = 0 ja 3y + 4y = e x.. Ratkaise DY (a) 3y 9y + 6y = e 10x (b) Mikä on edellisen
LisätiedotPaulin spinorit ja spinorioperaattorit
Paulin spinorit ja spinorioperaattorit Spinoreita on useita erilaisia. Esimerkiksi Paulin, Dirackin ja Weyelin spinorit. Yhteisenä piirteenä eri spinoreilla on se, että kukin liittyy tavallisesti johonkin
LisätiedotMS-A0205/MS-A0206 Differentiaali- ja integraalilaskenta 2 Luento 10: Napa-, sylinteri- ja pallokoordinaatistot. Pintaintegraali.
MS-A25/MS-A26 Differentiaali- ja integraalilaskenta 2 Luento 1: Napa-, sylinteri- ja pallokoordinaatistot. Pintaintegraali. Jarmo Malinen Matematiikan ja systeemianalyysin laitos 1 Aalto-yliopisto Kevät
LisätiedotMS-A0202 Differentiaali- ja integraalilaskenta 2 (SCI) Luento 10: Moninkertaisten integraalien sovelluksia
MS-A22 ifferentiaali- ja integraalilaskenta 2 (SCI) Luento 1: Moninkertaisten integraalien sovelluksia Antti Rasila Aalto-yliopisto Syksy 215 Antti Rasila (Aalto-yliopisto) MS-A22 Syksy 215 1 / 2 Moninkertaisten
LisätiedotKOMPLEKSIANALYYSI I KURSSI SYKSY 2012
KOMPLEKSIANALYYSI I KURSSI SYKSY 212 RITVA HURRI-SYRJÄNEN 6.1. Poluista. 6. Kompleksinen integrointi Olkoon [α, β] suljettu reaaliakselin väli, α < β, ja olkoon A kompleksitason avoin joukko. Polku on
LisätiedotJatko-opintoseminaari Kevyttä johdattelua kvanttimekaniikkaan: Tila-avaruus. Petteri Laakkonen
Jatko-opintoseminaari 21-211 Kevyttä johdattelua kvanttimekaniikkaan: Tila-avaruus Petteri Laakkonen 23.9.21 Tämä teksti on tiivistelmä kirjan [1] luvun 2 tekstistä. Pyrkimyksenä on esittää perustellusti
LisätiedotNumeeriset menetelmät TIEA381. Luento 5. Kirsi Valjus. Jyväskylän yliopisto. Luento 5 () Numeeriset menetelmät / 28
Numeeriset menetelmät TIEA381 Luento 5 Kirsi Valjus Jyväskylän yliopisto Luento 5 () Numeeriset menetelmät 3.4.2013 1 / 28 Luennon 5 sisältö Luku 4: Ominaisarvotehtävistä Potenssiinkorotusmenetelmä QR-menetelmä
Lisätiedot1 Peruskäsitteet. Dierentiaaliyhtälöt
Teknillinen korkeakoulu Matematiikka Dierentiaaliyhtälöt Alestalo Tässä monisteessa käydään läpi tavallisiin dierentiaaliyhtälöihin liittyviä peruskäsitteitä ja ratkaisuperiaatteita. Esimerkkejä luennoilla
LisätiedotKvanttimekaniikka I tentti : 4 tehtävää, 4 tuntia
Kvanttimekaniikka I.. 4 tentti : 4 tehtävää, 4 tuntia. (a (p. Olkoon H systeemin Hamiltonin operaattori, ja A jotakin observaabelia kuvaava operaattori. Johda Ehrenfestin teoreema d A dt = ī [A, H] + A
LisätiedotKorkeammat derivaatat
Korkeammat derivaatat Jo kerran derivoitu funk6o voidaan derivoida uudelleen. d! df(x) $ dx " # dx % & = d2 f(x) = f''(x) = f (2) (x) dx 2 Yleisemmin merkitään: d n f(x) dx n = f (n) (x) Esimerkki: 2-
LisätiedotEsimerkki 1 Ratkaise differentiaaliyhtälö
Esimerkki 1 Ratkaise differentiaaliyhtälö x 2 y xy =1/x. 1 / K. Tuominen kimmo.i.tuominen@helsinki.fi MApu II 1/20 20 Esimerkki 2 Ratkaise differentiaaliyhtälö x(ln y)y y ln x =0. 2 / K. Tuominen kimmo.i.tuominen@helsinki.fi
LisätiedotNumeeriset menetelmät TIEA381. Luento 12. Kirsi Valjus. Jyväskylän yliopisto. Luento 12 () Numeeriset menetelmät / 33
Numeeriset menetelmät TIEA381 Luento 12 Kirsi Valjus Jyväskylän yliopisto Luento 12 () Numeeriset menetelmät 25.4.2013 1 / 33 Luennon 2 sisältö Tavallisten differentiaaliyhtälöiden numeriikasta Rungen
LisätiedotOsittaisdifferentiaaliyhtälöt
Osittaisdifferentiaaliyhtälöt Harjoituskokoelmat 4 ja 5, kevät 2011 Palautus Eemeli Blåstenille to 23.6. klo 16.00 mennessä 1. Ratkaise Dirichlet ongelma u(x, y) = 0, x 2 + y 2 < 1, u(x, y) = y + x 2,
LisätiedotDifferentiaali- ja integraalilaskenta 3 Ratkaisut viikko 3
MS-A35 Differentiaali- ja integraalilaskenta 3, I/27 Differentiaali- ja integraalilaskenta 3 Ratkaisut viikko 3 Tehtävä : Hahmottele seuraavat vektorikentät ja piirrä niiden kenttäviivat. a) F(x, y) =
LisätiedotE p1 = 1 e 2. e 2. E p2 = 1. Vuorovaikutusenergian kolme ensimmäistä termiä on siis
763343A IINTEÄN AINEEN FYSIIA Ratkaisut 3 evät 2017 1. Tehtävä: CsCl muodostuu Cs + - ja Cl -ioneista, jotka asettuvat tilakeskeisen rakenteen vuoropaikoille (kuva). Laske tämän rakenteen Madelungin vakion
LisätiedotInsinöörimatematiikka D
Insinöörimatematiikka D M. Hirvensalo mikhirve@utu.fi V. Junnila viljun@utu.fi Matematiikan ja tilastotieteen laitos Turun yliopisto 2015 M. Hirvensalo mikhirve@utu.fi V. Junnila viljun@utu.fi Luentokalvot
LisätiedotKlassisen fysiikan ja kvanttimekaniikan yhteys
Klassise fysiika ja kvattimekaiika yhteys Scrödigeri yhtälö ei statioäärisistä tiloista muodostuvie aaltopakettie aikakäyttäytymie oudattaa Newtoi lakeja. Newtoi mekaiikka voidaa johtaa Schrödigeri yhtälöstä.
LisätiedotKJR-C1001 Statiikka ja dynamiikka. Luento Susanna Hurme
KJR-C1001 Statiikka ja dynamiikka Luento 22.3.2016 Susanna Hurme Päivän aihe: Rotaatioliikkeen kinematiikka: kulmanopeus ja -kiihtyvyys (Kirjan luvut 12.7, 16.3) Osaamistavoitteet Osata analysoida jäykän
LisätiedotDynaamiset regressiomallit
MS-C2128 Ennustaminen ja Aikasarja-analyysi, Lauri Viitasaari Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Perustieteiden korkeakoulu Aalto-yliopisto Syksy 2016 Tilastolliset aikasarjat voidaan jakaa kahteen
LisätiedotMS-A0202 Differentiaali- ja integraalilaskenta 2 (SCI) Luento 10: Moninkertaisten integraalien sovelluksia
MS-A22 ifferentiaali- ja integraalilaskenta 2 (SCI) Luento 1: Moninkertaisten integraalien sovelluksia Antti Rasila Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Aalto-yliopisto Syksy 217 Antti Rasila (Aalto-yliopisto)
LisätiedotHarjoitus Etsi seuraavien autonomisten yhtälöiden kriittiset pisteet ja tutki niiden stabiliteettia:
Differentiaaliyhtälöt, Kesä 216 Harjoitus 2 1. Etsi seuraavien autonomisten yhtälöiden kriittiset pisteet ja tutki niiden stabiliteettia: (a) y = (2 y) 3, (b) y = (y 1) 2, (c) y = 2y y 2. 2. Etsi seuraavien
Lisätiedot