MS-A0003/A0005 Matriisilaskenta Laskuharjoitus 2 / vko 45

Koko: px

Aloita esitys sivulta:

Download "MS-A0003/A0005 Matriisilaskenta Laskuharjoitus 2 / vko 45"

Pauliina Tamminen
7 vuotta sitten
Katselukertoja:

1 MS-A3/A5 Matriisilaskenta Laskuharjoitus 2 / vko 45 Tehtävä (L): Hahmottele kompleksitasoon ne pisteet, jotka toteuttavat a) z 2i = 2, b) z 2i < 2, c) /z <. Yleisesti: ehto z = R, z C muodostaa kompleksitasoon joukon kaikista niistä pisteistä, joiden itseisarvo on R. Graafisesti tulkittuna tämä joukko muodostaa R-säteisen, origokeskisen ympyrän kompleksitasoon. Jos joukkoa siirretään tasossa (so. z z z ) siirtyy myös ympyrän keskipiste pisteestä z = pisteeseen z z = z = z. Toisin sanoen ehto z z = R kelpuuttaa pisteet z joiden etäisyys pisteestä z on R. (a) z 2i = 2: ympyrä kompleksitasossa, jonka origo on pisteessä z = 2i ja säde on 2. (b) z 2i < 2: kaikki pisteet ympyrän, jonka keskipiste z = 2i ja säde 2, sisällä. (Pisteet joiden etäisyys pisteestä z = 2i on alle 2.) (c) Joukkoon kuuluvat kaikki pisteet z C, z, joiden itseisarvo on suurempi kuin. Kun z = jakolaskua ei ole määritelty. z = < z >, z z z < < z z > Kyseessä on siis koko kompleksitaso yksisäteisen origokeskisen ympyrän ulkopuolella. Ympyrän reuna ei kuulu alueeseen.

2 Tehtävä 2 (L): Sanotaan, että kuvaus f : R n R m on lineaarinen, jos { f(x + y) = f(x) + f(y) ja jokaisella x, y R n ja t R. f(tx) = tf(x) a) Näytä, että g : R 3 R on lineaarinen, kun määritellään g(x) = x v, missä v = (9, 7, 5) R 3. b) Olkoon h : R 3 R lineaarinen. Päättele, että on olemassa w = (w, w 2, w 3 ) R 3, jolle h(x) = x w jokaisella x R 3. (a) Merkitään x = (x, x 2, x 3 ), v = (v, v 2, v 3 ) = (9, 7, 5) ja y = (y, y 2, y 3 ). Tarkastetaan lineaarisuuden ehdot. g(x + y) = (x + y) v = (x + y, x 2 + y 2, x 3 + y 3 ) (v, v 2, v 3 ) = v (x + y ) + v 2 (x 2 + y 2 ) + v 3 (x 3 + y 3 ) = (v x + v 2 x 2 + v 3 x 3 ) + (v y + v 2 y 2 + v 3 y 3 ) = x v + y v = g(x) + g(y) g(tx) = (tx) v = (tx, tx 2, tx 3 ) (v, v 2, v 3 ) = v tx + v 2 tx 2 + v 3 tx 3 = t(x v + x 2 v 2 + x 3 v 3 ) = t(x v) = tg(x) Huomataan, että molemmat lineaarisuuden ehdot täyttyvät, jolloin ollaan näytetty, että g on lineaarinen. (b) Olkoon δ k avaruuden R 3 standardikannan k:s vektori eli δ = (,, ), δ 2 = (,, ), δ 3 = (,, ). Funktion h : R 3 R lineaarisuuden nojalla kaikille x R 3 pätee h(x) = h((x, x 2, x 3 )) = h(x δ + x 2 δ 2 + x 3 δ 3 ) = x h(δ ) + x 2 h(δ 2 ) + x 3 h(δ 3 ) = x w + x 2 w 2 + x 3 w 3 = x w, kun vektori w = (w, w 2, w 3 ) määritellään w k := h(δ k ). 2

3 Tehtävä 3 (P): Olkoon f : R 3 R 2 lineaarinen. Tiedetään, että f(,, ) = (6, 5), f(,, ) = (4, 3) ja f(,, ) = (2, ). Laske f(7, 8, 9). Koska f on lineaarinen, niin f(7, 8, 9) = f(7,, )+f(, 8, )+f(,, 9). Toisaalta lineaarisuuden vuoksi saadaan myös f(7,, ) = 7 f(,, ) = 7 (6, 5) = (42, 35) f(, 8, ) = 8 f(,, ) = 8 (4, 3) = (32, 24) f(,, 9) = 9 f(,, ) = 9 (2, ) = (8, 9) Tällöin f(7, 8, 9) = (42, 35) + (32, 24) + (8, 9) = ( , ) = (92, 68). Tehtävä 4 (P): Etsi kaikki ne luvut z = a + bi C (missä a, b R), joilla missä Im(w) on luvun w C imaginaariosa. Im(z + /z) =, z = a + bi, jolloin z = a bi. Sieventämällä alkuperäistä lauseketta saadaan Im(z + z ) = Im(z + z z z ) a bi = Im(z + (a + bi) (a bi) ) = Im(z + a bi a 2 + b 2 ) = Im(a + bi + = b a a 2 + b 2 bi a 2 + b 2 ) b a 2 + b 2 = b ( a 2 + b 2 ) Viimeinen lauseke saa tulon nollasäännön mukaan arvon, kun b = tai kun a 2 + b 2 =. Yksi ratkaisu on siis b =, jolloin on oltava a, sillä muuten alkuperäisen lausekkeen termi z ei ole määritelty. Toinen yhtälö antaa a 2 + b = 2 = a 2 + b 2 = a 2 + b 2 Tämä on yhtälö origokeskiselle ympyrälle, jonka säde on, missä muuttuja a vastaa z:n reaaliosaa ja b imaginaariosaa. Kaikki lukuparit (a, b), jotka toteuttavat tämän yhtälön, toteuttavat myös yhtälön Im(z + /z) =, missä z = a + bi. 3

4 LOPPUVIIKKO Tehtävä 5 (L): Ratkaise yhtälöryhmä x 2 +x 3 = x +x 2 = x +x 2 +x 3 = käyttämällä Gaussin eliminaatiota tarpeellisin rivinvaihdoin. Mitä saamasi ratkaisu kertoo näistä kolmesta avaruuden tasosta? Yhtälöryhmä voidaan esittää muodossa x x 2 x 3 Eliminoidaan: = V aihdetaan rivit. ja 3. R R 3 R 2 R R 3 R 2 () (2) (3) (4) (5) Viimeisestä muodosta huomataan, että tasot leikkaavat täsmälleen yhdessä pisteessä (x, x 2, x 3 ) = (,, ). Tehtävä 6 (L): Määritä sellaiset a, b, c, d R, että a(x 3 x 2 + x ) + b(x 3 + x 2 + 3x 2) + c(x 2 + 3x + ) + d(x 3 + 2x 2 2) + 7 = kaikilla x R. Käytä Gaussin eliminaatiota. 4

5 Vihje: Polynomi saa arvon nolla kaikilla x R, jos ja vain jos kaikki sen kertoimet ovat nollia. Kirjoitetaan yhtälö muotoon, jossa polynomin kertoimet erottuvat: a(x 3 x 2 + x ) + b(x 3 + x 2 + 3x 2) + c(x 2 + 3x + ) + d(x 3 + 2x 2 2) + 7 = x 3 (a + b + d) + x 2 ( a + b + c + 2d) + x(a + 3b + 3c) a 2b + c 2d + 7 = Polynomi saa arvon kaikilla x R, jos ja vain jos sen kaikki kertoimet ovat. Tarkastellaan summaa termeittän: x 3 : a +b +d = x 2 : a +b +c +2d = x : a +3b +3c = vakiot: a 2b +c 2d +7 = Kirjoittamalla viimeinen termi muodossa a 2b + c 2d = 7, voidaan yhtälö kirjoittaa matriisimuodossa: Eliminoidaan: a b c d = R 2 +R, R 3 R, R 4 +R R 3 R 2, R R 2 R R

6 Takaisinsijoituksilla: R 2 2, R 3 2, R R R 4, R R 4, R 3 +2R 4 R 2 2 R 3 R R 2 Josta voidaan lukea: a = 3, b = 5, c = 4, d = Tehtävä 7 (P): Tarkastellaan oheisen kuvan mukaista lämpötilaruudukkoa, jossa kukin lämpötiloista T, T 2, T 3, T 4 on keskiarvo viereisten ruutujen lämpötiloista. Kirjoita yhtälöryhmä lämpötiloille T k ja ratkaise se käyttämällä Gaussin eliminointimenetelmää T T T 3 T Huom: Vierekkäisillä ruuduilla on yhteinen sivu. Ensimmäinen yhtälö on muotoa T = (42 + T 3 + T )/4 eli 4T T 2 T 3 = 7. Kirjoitetaan kunkin ruudun lämpötilat yhtälöryhmäksi: T = T 3+T 2 4 T 2 = 7+63T +T 4 4 T 3 = 4+7+T 4+T 4 T 4 = T T 2 4 4T T 2 T 3 = 7 T +4T 2 T 4 = 33 T +4T 3 T 4 = 2 T 2 T 3 +4T 4 = 42 6

7 Matriisimuodossa: Järjestetään rivit uudelleen. Järjestys on valittu siten, että laskenta on jokseenkin helppoa Eliminoimalla: Takaisinsijoituksilla: R 3 R, R 4 +4R R 3 4R 2, R 4 +5R 2 R 4 +2R 3 R, R 2, R 3 8, R , jolloin tuloksiksi saadaan: T = 35, T 2 = 49, T 3 = 2, T 4 = 28. Tehtävä 8 (P): Etsi Gaussin eliminaatiomenetelmän avulla virrat I,..., I 5, kun vastukset ovat suuruudeltaan R k = (2k) Ω, kun k =,..., 5 ja E = 5V. Tarvittavat yhtälöt saat Kirchhoffin virta- ja jännitelakien avulla. 7

8 I + R R 3 I 3 I 5 E R 2 R 4 R 5 I 2 I 4 Kirchhoffin lait: K: Virtapiirin risteykseen tulevien ja siitä lähtevien virtojen summa on nolla. K2: Potentiaalin muutos virtapiirin suljetun kierroksen yli on nolla. Kuva : Kuvaan on merkitty käytettyjen yhtälöiden vaatimat risteykset ja kierrokset Virtapiirissä on 5 tuntematonta, joten tarvitaan 5 yhtälöä. I I 2 I 3 = I 3 I 4 I 5 = E I R I 2 R 2 = E I R I 3 R 3 I 4 R 4 = E I R I 3 R 3 I 5 R 5 = Missä I i i ovat tuntemattomia, E = 5V ja R k = 2kΩ k. Yhtälöryhmä voidaan esittää matriisimuodossa: I I 2 I 3 I 4 I 5 =

9 Jaetaan rivit 3, 4 ja 5 kahdella ja vaihdetaan rivien 2 ja 3 paikkoja: 2 5/ /2, 3 5 5/2 jolloin eliminoimalla: R 2 R, R 4 R, R 5 R R 4 3 R 2, R 5 3 R 2 R 4 3 R 3, R 5 3 R 3 R 5 23 R 4 josta takaisinsijoituksilla saadaan: 3 5/ / /2 3 5/2 4 5/ / /2 23 5/ / /2 23 5/ /23 23 R 2 3, R , R / /23, (6) 23 2/59 325/38 235/38 5/53 25/59 2/59 9,

10 eli ratkaisu on: I = , I 2 = , I 3 = 5 53, I 4 = 25 59, I 5 = 2 59, eli I = (325, 235, 9, 5, 4). 38

Samankaltaiset tiedostot

MS-A0003/A0005 Matriisilaskenta Laskuharjoitus 2 / vko 45

MS-A0003/A0005 Matriisilaskenta Laskuharjoitus / vko 5 Tehtävä 1 (L): Hahmottele kompleksitasoon ne pisteet, jotka toteuttavat a) z 3 =, b) z + 3 i < 3, c) 1/z >. Yleisesti: ehto z = R, z C muodostaa kompleksitasoon