Liikkuvan varauksen kenttä
|
|
- Raimo Leppänen
- 7 vuotta sitten
- Katselukertoja:
Transkriptio
1 Luku 13 Liikkuvan varauksen kenttä Tässä luvussa tutustutaan liikkuvan varauksen aiheuttamaan kenttään. Jokaisen sähködynaamikon on laskettava ainakin kerran elämässään Liénardin ja Wiechertin potentiaalit ja kentät Liénardin ja Wiechertin potentiaalit Tarkastellaan yksittäistä varauksellista hiukkasta, jonka rata on r = r (t). Varaus- ja virrantiheys ovat tällöin ρ(r, t) = δ(r r (t)) (13.1) J(r, t) = ṙ (t)δ(r r (t)) (13.2) Käyttökelpoisten potentiaalien laskeminen ei ole aivan helppo tehtävä. Hahmotellaan tässä ratkaisumenetelmä Greenin funktioita käyttäen (yksityiskohdat HT). Tehtävänä on ratkaista epähomogeeniset aaltoyhtälöt ( 2 1 ) 2 c 2 t 2 ϕ = ρ/ɛ 0 (13.3) ( 2 1 ) 2 c 2 t 2 A = µ 0 J (13.4) Kuten luvussa 9 todettiin, näiden ratkaisut ovat Greenin funktion avulla lausuttuina ψ ± (r, t) = G ± (r, t; r, t )f(r, t ) dv dt (13.5) missä ψ ± (r, t) ovat viivästyneet (+) ja edistyneet ( ) skalaaripotentiaalit tai vektoripotentiaalin karteesiset komponentit ja f(r, t ) vastaa lähdetermejä 155
2 156 LUKU 13. LIIKKUVAN VARAUKSEN KENTTÄ (ρ/ɛ 0, µ 0 J). Nyt riittää käyttää viivästyneen potentiaalin Greenin funktiota G(r, t; r, t ) = 1 δ(t (t r r /c)) 4π r r (13.6) Tekijä 4π on otettu Greenin funktion määritelmään, kun se luvussa 9 oli G:n aaltoyhtälössä. Ensin integroidaan paikkaintegraalit lähdetermien δ-funktioiden avulla. Sen jälkeen aikaintegraalia laskettaessa käytetään hyväksi tulosta f(x)δ(g(x))dx = i f(x i ) g (x i ) (13.7) missä g(x i ) = 0. Lopputuloksena saadaan Liénardin ja Wiechertin potentiaalit: ϕ(r, t) = [ ] 1 = [ ] 1 (13.8) (1 n β)r R R β A(r, t) = [ c β (1 n β)r ] = [ ] β c R R β (13.9) missä R = r r, n = R/R ja β = v/c. Alaindeksi viittaa lausekkeen laskemiseen viivästyneellä ajalla t, joka on ratkaistava ehdosta Havaitsija siis mittaa kentän pisteessä r hetkellä t. t + r r (t ) /c = t (13.10) Kaikkein eleganteinta (?), joskaan ei sen helpompaa, on tehdä ylläoleva lasku relativistisessa formalismissa, missä ϕ ja A ovat nelipotentiaalin A α komponentit ja A α (x) = G(x x )J α (x ) d 4 x (13.11) (ks. Jackson tai CL luku 13.3) Kenttien laskeminen Kun potentiaalit tunnetaan, kentät saadaan derivoimalla, mikä vaatii kärsivällisyyttä. Hankaluuden aiheuttaa viivästyneen ajan implisiittisesti määrittelevä yhtälö Aluksi kannattaa selvittää itselleen koordinaatisto (kuva 13.1). Sähkökenttä saadaan lausekkeesta E = ϕ A t = [ ] (R β R) (R β R) 2 [ ] β (13.12) c t R β R
3 13.2. KENTTIEN LASKEMINEN 157 r (t ) r (t) R(t ) = r r (t ) r (t ) r Kuva 13.1: Varauksellisen hiukkasen liiketila hetkellä t määrää kentän myöhempänä hetkenä t. Kenttä etenee pisteestä r (t ) havaintopisteeseen r ajassa R(t )/c, jolloin hiukkanen on ehtinyt radallaan pisteeseen r (t). Hakasulku viittaa lausekkeen laskemiseen viivästetyllä ajalla (jätetään sulut pois välivaiheissa). Aloitetaan R(t ):n derivoinnista: koska t riippuu paikkavektorista r, niin R(t ) = c t. Derivoidaan lauseketta puolittain, jolloin esimerkiksi gradientin x-komponentti on t x = x x cβ (r r )( t / x) c r r (13.13) Tässä on käytetty derivoinnin ketjusääntöä / x = ( t / x)( / t ). Nyt voidaan ratkaista t x = (x x ) (13.14) c(r β R) joten ja t R = c(r β R) R = R R β R Tarvitaan myös (β R). Lasketaan taas x-komponentti: Täten (13.15) (13.16) ( (β R)) x = β x + t x ( β R β ṙ ) (13.17) (β R) = β+( β R β ṙ ) t = (R β R)β + (β2 β R/c)R R β R (13.18)
4 158 LUKU 13. LIIKKUVAN VARAUKSEN KENTTÄ Kokoamalla tulokset saadaan skalaaripotentiaalin gradientiksi ϕ = [ R (R β R)β (β 2 β ] R/c)R (R β R) 3 (13.19) Vektoripotentiaalia varten täytyy laskea R/ t = c(1 t / t). Nyt josta ratkaistaan Vastaavalla tavalla saadaan t t = 1 + β R t R t t t = R R β R (13.20) (13.21) R t = t R t t = crβ R β R (13.22) Vektoripotentiaalin lausekkeessa esiintyvä aikaderivaatta on siis [ ] [ β R(R β R) β + (R β R + cβ R crβ 2 ] )β = t R β R (R β R) 3 (13.23) Sähkökentäksi saadaan lopulta E(r, t) = [ (1 β 2 )(R Rβ) + R ((R Rβ) β)/c ] (R β R) 3 Magneettikenttä on (HT) B(r, t) = 1 c (13.24) [ ] R E(r, t) (13.25) R Välittömästi todetaan, että staattisen varauksen (β = 0) sähkökenttä on Coulombin kenttä. Silloin sähkökenttä on yhdensuuntainen vektorin R kanssa, joten staattinen varaus ei odotetusti aiheuta magneettikenttää. Vakionopeudella liikkuvan varauksen kenttä on selvästi tekemisissä Lorentzin muunnoksen kanssa. Säteilykentäksi kutsutaan kiihtyvyyteen β verrannollista termiä, joka pienenee kaukana varauksesta kuten 1/R eli kertalukua hitaammin kuin Coulombin kenttä. Tästä seuraa erityisesti se, että säteilykentän Poyntingin vuo ei mene nollaan äätömyydessäkään. Tarkastellaan näitä tilanteita seuraavassa yksityiskohtaisemmin.
5 13.2. KENTTIEN LASKEMINEN 159 y (x,y,z) z r (t ) = r (t-r/c) = (vt,0,0) R = r r (t ) x Kuva 13.2: Vakionopeudella liikkuvan varauksellisen hiukkasen kentän laskeminen Vakionopeudella liikkuvan varauksen kenttä Tarkastellaan x-akselia pitkin vakionopeudella v liikkuvan varauksen kenttää (kuva 13.2). Kenttä pisteessä (x, y, z) lasketaan hetkellä t, jolloin varaus on ehtinyt pisteeseen (vt, 0, 0) (varaus on ohittanut origon hetkellä t = 0). Koska R = (x vt ) 2 + y 2 + z 2 = c(t t ), niin viivästynyt aika t saadaan lausekkeesta (1 β 2 )t = t βx/c (1/c) (x vt) 2 + (1 β 2 )(y 2 + z 2 ) (13.26) jolloin [R R β] = Skalaaripotentiaali voidaan nyt esittää muodossa (x vt) 2 + (1 β 2 )(y 2 + z 2 ) (13.27) ϕ(x, y, z, t) = γ (13.28) γ 2 (x vt) 2 + y 2 + z 2 missä γ = 1/ 1 β 2. Vektoripotentiaalilla on vain x-komponentti A x (x, y, z, t) = βϕ(x, y, z, t)/c (13.29) Varauksen lepokoordinaatistossa potentiaalilla on tuttu lauseke ϕ(x, y, z, t) = 1 x 2 + y 2 + z 2 (13.30) Liikkuvan varauksen potentiaali saadaan (melkein) koordinaattimuunnoksella, jossa y ja z pysyvät ennallaan ja x:stä tulee γ(x vt). Vielä jää mietittäväksi, mistä tekijä γ ilmestyy kertomaan potentiaalia. Lisäksi täytyy
6 160 LUKU 13. LIIKKUVAN VARAUKSEN KENTTÄ selvittää, mistä vektoripotentiaali saadaan, kun se on nolla lepokoordinaatistossa. Tähän palataan suhteellisuusteoriassa, jossa A:n ja ϕ:n havaitaan yhdessä muodostavan nelivektorin. Kentät saadaan derivoimalla (tällä kertaa helposti): E x (x, y, z, t) = E y (x, y, z, t) = E z (x, y, z, t) = γ(x vt) (γ 2 (x vt) 2 + y 2 + z 2 ) 3/2 (13.31) γy (γ 2 (x vt) 2 + y 2 + z 2 ) 3/2 (13.32) γz (γ 2 (x vt) 2 + y 2 + z 2 ) 3/2 (13.33) B(x, y, z, t) = v E(x, y, z, t) (13.34) c2 Nämä lausekkeet pätevät kaikilla nopeuksilla. Kaukana varauksesta kenttä heikkenee kääntäen verrannollisesti etäisyyden neliöön. Suurellakaan vakionopeudella liikkuva hiukkanen ei siis säteile. Kenttää on mukavinta tarkastella varauksen kulloisenkin paikan suhteen. Kohtisuorassa suunnassa (x vt = 0) sähkökentän voimakkuus on E = Ey 2 + Ez 2 = γ y 2 + z 2 (13.35) Tämä on Coulombin kenttä tekijällä γ suurennettuna (aina γ 1). Varauksen edessä ja takana y = z = 0 ja E = E x = 1 γ 2 (x vt) 2 (13.36) Tämä on puolestaan Coulombin kenttä tekijällä 1/γ 2 pienennettynä. Kenttäviivat saadaan piirtämällä ensin staattisen varauksen kenttäviivat ja sitten liikuttamalla kuviota suurella nopeudella silmien ohi, jolloin havaitaan Lorentz-kontraktio (ei onnistu kotioloissa kovin helposti). Vaihtoehtoisesti puristetaan x-akselia kasaan tekijän γ verran (kuva 13.3). Kannattaa kuitenkin muistaa, että kenttäviivat eivät ole todellisia fysikaalisia olioita. Magneettikentän hahmottaminen jää lukijan mietittäväksi samoin kuin hitaasti liikkuvan varauksen magneettikentän osoittaminen samaksi kuin luvussa Kiihtyvässä liikkeessä olevan varauksen kenttä Tarkastellaan aluksi epärelativistista rajaa (β 1), jolloin 1/R-säteilykentiksi tulee E rad (r, t) = n (n v)/r (13.37) c2
7 13.2. KENTTIEN LASKEMINEN 161 v Kuva 13.3: Vakionopeudella liikkuvan varauksellisen hiukkasen sähkökentän kenttäviivat. Vasemmalla staattinen varaus, oikealla liikkuva varaus. B rad (r, t) = 1 c R R E = missä n = R/R. Näistä saadaan Poyntingin vektoriksi S = 1 µ 0 E rad B rad = v n/r (13.38) c3 2 16π 2 ɛ 0 c 3 R v 2 R 5 R (13.39) Tämä vaimenee etäisyyden funktiona kuten 1/R 2, joten Poyntingin vuo ei 1/R-säteilykentillä mene nollaksi kaukanakaan varauksesta. Säteilyteho avaruuskulmaan dω on dp dω = 2 v 2 16π 2 ɛ 0 c 3 sin2 θ (13.40) missä θ on v:n ja n:n välinen kulma. Laskemalla kulmaintegraalit saadaan Larmorin kaava P = 2 v 2 6πɛ 0 c 3 (13.41) On oleellista ymmärtää, mistä verrannollisuus tekijään ( v) 2 on peräisin. Relativistisille hiukkasille t:n ja t :n välinen ero on tärkeä 1. Aikavälillä t 1 = t 1 + R(t 1 )/c...t 2 = t 2 + R(t 2 )/c säteilty energia on W = t2 t 1 [S n] dt = 1 Tämän kappaleen loppu on yleissivistystä t 2 t 1 S n dt dt dt (13.42)
8 162 LUKU 13. LIIKKUVAN VARAUKSEN KENTTÄ On siis mielekästä määritellä hiukkasen säteilyn intensiteetti S n dt/dt = S n (1 n β) sen omassa ajassa ja omassa paikassa: dp (t ) dω = 2 n ((n β) β) 2 16π 2 ɛ 0 c (1 n β) 5 (13.43) Kun β 1, niin dp/dω:n nimittäjän merkitys kasvaa ja säteilykeila alkaa venyä hiukkasen liikkeen suuntaan. Maksimi-intensiteetti saavutetaan, kun θ max 1/(2γ) ja keilan leveys on 1/γ. Koska laskuissa ei ole tehty oletuksia kiihtyvyyden suunnasta, saadut kaavat kuvaavat sekä jarrutussäteilyä että syklotroni- ja synkrotronisäteilyä. Säteilyn kokonaisteho saadaan integroimalla kulmien yli (siis ei helposti) tai tekemällä Larmorin kaavalle Lorentzin muunnos (jos osataan suhteellisuusteoriaa). Lopputulos on P = 2 6πɛ 0 c γ6 ( β 2 (β β) 2 ) (13.44) Pienillä nopeuksilla tämä palautuu odotetusti epärelativistiseen tulokseen.
Liikkuvan varauksen kenttä
Luku 14 Liikkuvan varauksen kenttä Tässä luvussa tutustutaan liikkuvan varauksen aiheuttamaan kenttään. Asiaa on käsitelty RMC:n luvussa 21 ja CL:n luvussa 13. Jokaisen sähködynaamikon on laskettava ainakin
Liikkuvan varauksen kenttä
Luku 13 Liikkuvan varauksen kenttä Tässä luvussa tutustutaan liikkuvan varauksen aiheuttamaan sähkömagneettiseen kenttään. Jokaisen sähködynaamikon on laskettava ainakin kerran elämässään Liénardin ja
9 Maxwellin yhtälöt. 9.5 Aaltoyhtälö ja kenttien lähteet Aaltoyhtälö tyhjössä Potentiaaliesitys Viivästyneet potentiaalit
9 Maxwellin yhtälöt 9.5 Aaltoyhtälö ja kenttien lähteet 9.5.1 Aaltoyhtälö tyhjössä 9.5.2 Potentiaaliesitys 9.5.3 Viivästyneet potentiaalit 9.5.4 Aaltoyhtälön Greenin funktio 9.6 Mittainvarianssi Typeset
Shrödingerin yhtälön johto
Shrödingerin yhtälön johto Tomi Parviainen 4. maaliskuuta 2018 Sisältö 1 Schrödingerin yhtälön johto tasaisessa liikkeessä olevalle elektronille 1 2 Schrödingerin yhtälöstä aaltoyhtälöön kiihtyvässä liikkeessä
763306A JOHDATUS SUHTEELLISUUSTEORIAAN 2 Ratkaisut 1 Kevät y' P. α φ
76336A JOHDATUS SUHTEELLISUUSTEORIAAN 2 Ratkaisut 1 Kevät 217 1. Koordinaatiston muunnosmatriisi (a) y' P r α φ ' Tarkastellaan, mitä annettu muunnos = cos φ + y sin φ, y = sin φ + y cos φ, (1a) (1b) tekee
Varatun hiukkasen liike
Luku 16 Varatun hiukkasen liike SM-kentässä Tarkastellaan lopuksi varatun hiukkasen liikettä sähkömagneettisessa kentässä. Liikeyhtälö on tullut esiin useaan otteeseen kurssin aikana aiemminkin. Yleisesti
Luku 14. z L/2 y L/2. J(r,t)=I(t)δ(x)δ(y)θ(L/2 z)θ(z + L/2) e z (14.1) Kuva 14.1: Yksinkertainen dipoliantenni.
Luku 14 Säteilevät systeemit Edellisessä luvussa käsiteltiin vain yhden varauksellisen hiukkasen säteilykenttiä. Nyt tutustutaan esimerkinomaisesti yksinkertaisiin antenneihin ja varausjoukon aiheuttamaan
Varatun hiukkasen liike
Luku 15 Varatun hiukkasen liike SM-kentässä Tarkastellaan lopuksi varatun hiukkasen liikettä sähkömagneettisessa kentässä. Liikeyhtälö on tullut esiin useaan otteeseen kurssin aikana aiemminkin. Yleisesti
Varatun hiukkasen liike
Luku 17 Varatun hiukkasen liike SM-kentässä Tarkastellaan tässä luvussa varatun hiukkasen liikettä sähkömagneettisessa kentässä. Asiaa on käsitelty RMC:n luvussa 14 ja CL käsittelee Hamiltonin formalismia
Kvanttifysiikan perusteet 2017
Kvanttifysiikan perusteet 207 Harjoitus 2: ratkaisut Tehtävä Osoita hyödyntäen Maxwellin yhtälöitä, että tyhjiössä magneettikenttä ja sähkökenttä toteuttavat aaltoyhtälön, missä aallon nopeus on v = c.
MS-A0305 Differentiaali- ja integraalilaskenta 3 Luento 3: Vektorikentät
MS-A0305 Differentiaali- ja integraalilaskenta 3 Luento 3: Vektorikentät Antti Rasila Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Aalto-yliopisto Syksy 2016 Antti Rasila (Aalto-yliopisto) MS-A0305 Syksy 2016
Elektrodynamiikka, kevät 2002
Elektrodynamiikka, kevät 2002 Painovirheiden ja epätäsmällisyyksien korjauksia sekä muita pieniä lisäyksiä luentomonisteeseen Tähän on korjattu sellaiset painovirheet ja epämääräisyydet, joista voi olla
2 Staattinen sähkökenttä Sähkövaraus ja Coulombin laki... 9
Sisältö 1 Johdanto 3 1.1 Mikä tämä kurssi on....................... 3 1.2 Hieman taustaa.......................... 4 1.3 Elektrodynamiikan perusrakenne................ 5 1.4 Pari sanaa laskennasta......................
1 Johdanto Mikä tämä kurssi on Hieman taustaa Elektrodynamiikan perusrakenne Kirjallisuutta... 8
Sisältö 1 Johdanto 3 1.1 Mikä tämä kurssi on....................... 3 1.2 Hieman taustaa.......................... 4 1.3 Elektrodynamiikan perusrakenne................ 6 1.4 Kirjallisuutta...........................
MS-A0305 Differentiaali- ja integraalilaskenta 3 Luento 10: Stokesin lause
MS-A0305 Differentiaali- ja integraalilaskenta 3 Luento 10: Stokesin lause Antti Rasila Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Aalto-yliopisto Syksy 2016 Antti Rasila (Aalto-yliopisto) MS-A0305 Syksy
Elektrodynamiikka, kevät 2008
Elektrodynamiikka, kevät 2008 Painovirheiden ja epätäsmällisyyksien korjauksia sekä pieniä lisäyksiä luentomonisteeseen Sivunumerot viittaavat vuoden 2007 luentomonisteeseen. Sivun 18 loppu: Vaikka esimerkissä
763306A JOHDATUS SUHTEELLISUUSTEORIAAN 2 Ratkaisut 2 Kevät 2017
763306A JOHDATUS SUHTEELLISUUSTEORIAAN 2 Ratkaisut 2 Kevät 207. Nelinopeus ympyräliikkeessä On siis annettu kappaleen paikkaa kuvaava nelivektori X x µ : Nelinopeus U u µ on määritelty kaavalla x µ (ct,
Luento 6: Suhteellinen liike ja koordinaatistomuunnoksia
Luento 6: Suhteellinen liike ja koordinaatistomuunnoksia Suhteellinen translaatioliike Suhteellinen pyörimisliike Tyypillisiä koordinaatistomuunnoksia extraa 1 / 31 Luennon sisältö Suhteellinen translaatioliike
Radiokontinuumi. Centaurus A -radiogalaksi. Cassiopeia A -supernovajäänne
Radiokontinuumi Centaurus A -radiogalaksi Cassiopeia A -supernovajäänne Radiosäteilyn lähteet Molekyyleillä ja atomeilla on diskreettejä energiatiloja, joiden väliset siirtymät lähettävät viivasäteilyä,
Tfy Fysiikka IIB Mallivastaukset
Tfy-.14 Fysiikka B Mallivastaukset 14.5.8 Tehtävä 1 a) Lenin laki: Muuttuvassa magneettikentässä olevaan virtasilmukkaan inusoitunut sähkömotorinen voima on sellainen, että siihen liittyvän virran aiheuttama
Luento 4: Suhteellinen liike ja koordinaatistomuunnoksia
Luento 4: Suhteellinen liike ja koordinaatistomuunnoksia Suhteellinen translaatioliike Pyörimisliikkeestä Suhteellinen pyörimisliike Tyypillisiä koordinaatistomuunnoksia Luennon sisältö Suhteellinen translaatioliike
Ei-inertiaaliset koordinaatistot
orstai 25.9.2014 1/17 Ei-inertiaaliset koordinaatistot Tarkastellaan seuraavaa koordinaatistomuunnosta: {x} = (x 1, x 2, x 3 ) {y} = (y 1, y 2, y 3 ) joille valitaan kantavektorit: {x} : (î, ĵ, ˆk) {y}
Differentiaali- ja integraalilaskenta 3 Mallit 2 (alkuviikko) / Syksy 2016
MS-A35 Differentiaali- ja integraalilaskenta 3 Differentiaali- ja integraalilaskenta 3 Mallit 2 (alkuviikko) / Syksy 216 Tuntitehtävä 1: Laske sylinterikoordinaatteja käyttämällä sen kappaleen tilavuus,
KJR-C1001 Statiikka ja dynamiikka. Luento Susanna Hurme
KJR-C1001 Statiikka ja dynamiikka Luento 22.3.2016 Susanna Hurme Päivän aihe: Rotaatioliikkeen kinematiikka: kulmanopeus ja -kiihtyvyys (Kirjan luvut 12.7, 16.3) Osaamistavoitteet Osata analysoida jäykän
MEI Kontinuumimekaniikka
MEI-55300 Kontinuumimekaniikka 1 MEI-55300 Kontinuumimekaniikka 3. harjoitus matemaattiset peruskäsitteet, kinematiikkaa Ratkaisut T 1: Olkoon x 1, x 2, x 3 (tai x, y, z) suorakulmainen karteesinen koordinaatisto
Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Ratkaisut 5. viikolle /
MS-A8 Differentiaali- ja integraalilaskenta, V/7 Differentiaali- ja integraalilaskenta Ratkaisut 5. viikolle / 9..5. Integroimismenetelmät Tehtävä : Laske osittaisintegroinnin avulla a) π x sin(x) dx,
A B = (1, q, q 2 ) (2, 0, 2) = 2 2q q 2 = 0 q 2 = 1 q = ±1 A(±1) = (1, ±1, 1) A(1) A( 1) = (1, 1, 1) (1, 1, 1) = A( 1) A(1) A( 1) = 1
Mapu I Viikko 4 tehtävä malli Millä q:n arvoilla vektori A(q) (, q, q ) on kohtisuora vektorin B (, 0, ) kanssa? Ovatko A:n eri ratkaisut keskenään kohtisuoria? Jos eivät, määrää niiden välinen kulma!
SMG-5250 Sähkömagneettinen yhteensopivuus (EMC) Jari Kangas Tampereen teknillinen yliopisto Elektroniikan laitos
SMG-5250 Sähkömagneettinen yhteensopivuus (EMC) Jari Kangas jari.kangas@tut.fi Tampereen teknillinen yliopisto Elektroniikan laitos Sähkömagnetiikka 2009 1 Sähköstatiikka Coulombin laki ja sähkökentän
Luento 5: Käyräviivainen liike. Käyräviivainen liike Heittoliike Ympyräliike Kulmamuuttujat θ, ω ja α Yhdistetty liike
Luento 5: Käyräviivainen liike Käyräviivainen liike Heittoliike Ympyräliike Kulmamuuttujat θ, ω ja α Yhdistetty liike 1 / 29 Luennon sisältö Käyräviivainen liike Heittoliike Ympyräliike Kulmamuuttujat
F dr = F NdS. VEKTORIANALYYSI Luento Stokesin lause
91 VEKTORIANALYYI Luento 13 9. tokesin lause A 16.5 tokesin lause on kuin Gaussin lause, mutta yhtä dimensiota alempana: se liittää toisiinsa kentän derivaatasta pinnan yli otetun integraalin ja pinnan
Aalto-yliopiston perustieteiden korkeakoulu Matematiikan ja systeemianalyysin laitos
Aalto-yliopiston perustieteiden korkeakoulu Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Malinen/Vesanen MS-A0205/6 Differentiaali- ja integraalilaskenta 2, kevät 2017 Laskuharjoitus 4A (Vastaukset) alkuviikolla
Aalto-yliopiston perustieteiden korkeakoulu Matematiikan ja systeemianalyysin laitos
Aalto-yliopiston perustieteiden korkeakoulu Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Malinen/Ojalammi MS-A0203 Differentiaali- ja integraalilaskenta 2, kevät 2016 Laskuharjoitus 4A (Vastaukset) alkuviikolla
x + 1 πx + 2y = 6 2y = 6 x 1 2 πx y = x 1 4 πx Ikkunan pinta-ala on suorakulmion ja puoliympyrän pinta-alojen summa, eli
BM0A5810 - Differentiaalilaskenta ja sovellukset Harjoitus, Syksy 015 1. a) Funktio f ) = 1) vaihtaa merkkinsä pisteissä = 1, = 0 ja = 1. Lisäksi se on pariton funktio joten voimme laskea vain pinta-alan
Säteilevät systeemit. Luku 15. z L/2 y L/2
Luku 15 Säteilevät systeemit Edellisessä luvussa käsiteltiin vain yhden varauksellisen hiukkasen säteilykenttiä. Nyt tutustutaan esimerkinomaisesti yksinkertaisiin antenneihin ja varausjoukon aiheuttamaan
MATEMATIIKAN KOE, LYHYT OPPIMÄÄRÄ HYVÄN VASTAUKSEN PIIRTEITÄ
MATEMATIIKAN KOE, LYHYT OPPIMÄÄRÄ 24.9.2019 HYVÄN VASTAUKSEN PIIRTEITÄ Alustavat hyvän vastauksen piirteet on suuntaa-antava kuvaus kokeen tehtäviin odotetuista vastauksista ja tarkoitettu ensisijaisesti
H7 Malliratkaisut - Tehtävä 1
H7 Malliratkaisut - Tehtävä Eelis Mielonen 7. lokakuuta 07 a) Palautellaan muistiin Maclaurin sarjan määritelmä (Taylorin sarja origon ympäristössä): f n (0) f(x) = (x) n Nyt jos f(x) = ln( + x) saadaan
x 4 e 2x dx Γ(r) = x r 1 e x dx (1)
HY / Matematiikan ja tilastotieteen laitos Todennäköisyyslaskenta IIA, syksy 217 217 Harjoitus 6 Ratkaisuehdotuksia Tehtäväsarja I 1. Laske numeeriset arvot seuraaville integraaleille: x 4 e 2x dx ja 1
763105P JOHDATUS SUHTEELLISUUSTEORIAAN 1 Ratkaisut 5 Kevät 2016
7635P JOHDATUS SUHTEELLISUUSTEORIAAN Ratkaist 5 Kevät 26. Aberraatio shteellissteoriassa a) Tlkoon valo kten tehtävän kvassa (x, y)-tason x, y > neljänneksestä: x ˆx + y ŷ c cos θ ˆx c sin θ ŷ. () Lorenz
KJR-C1001 Statiikka ja dynamiikka. Luento Susanna Hurme
KJR-C1001 Statiikka ja dynamiikka Luento 15.3.2016 Susanna Hurme Päivän aihe: Translaatioliikkeen kinematiikka: asema, nopeus ja kiihtyvyys (Kirjan luvut 12.1-12.5, 16.1 ja 16.2) Osaamistavoitteet Ymmärtää
ELEC C4140 Kenttäteoria (syksy 2015)
ELEC C4140 Kenttäteoria (syksy 2015) Henrik Wallén Luentoviiko 3 / versio 23. syyskuuta 2015 Vektorianalyysi (Ulaby, luku 3) Koordinaatistot Viiva-, pinta- ja tilavuusalkiot Koordinaattimuunnokset Nablaoperaatiot
Matematiikan tukikurssi
Matematiikan tukikurssi Kurssikerta 12 1 Eksponenttifuntio Palautetaan mieliin, että Neperin luvulle e pätee: e ) n n n ) n n n n n ) n. Tästä määritelmästä seuraa, että eksponenttifunktio e x voidaan
ELEC C4140 Kenttäteoria (syksy 2015)
ELEC C4140 Kenttäteoria (syksy 2015) Henrik Wallén Luentoviiko 4 / versio 30. syyskuuta 2015 Sähköstatiikka (Ulaby, luku 4.1 4.5) Maxwellin yhtälöt statiikassa Coulombin voimalaki Gaussin laki Potentiaali
Potentiaali ja potentiaalienergia
Luku 2 Potentiaali ja potentiaalienergia 2.1 Sähköstaattinen potentiaali ja sähkökenttä Koska paikallaan olevan pistemäisen varauksen aiheuttamalla Coulombin sähkökentällä on vain radiaalikomponentti,
Kuvan 9.1 mukaisessa ajatuskokeessa varataan kondensaattoria sähkövirralla I. Ampèren lain mukaan
Luku 9 Maxwellin yhtälöt Nyt meillä on koossa elektrodynamiikan peruspilarit sillä tasolla, jolla ne tunnettiin 1860-luvun alussa. Maxwell huomasi yhtälöissä piilevän teoreettisen ongelman: Mitä tapahtuu,
763105P JOHDATUS SUHTEELLISUUSTEORIAAN 1 Ratkaisut 5 Kevät 2013
7635P JOHDATUS SUHTEELLISUUSTEORIAAN Ratkaisut 5 Keät 23. Aberraatio suhteellisuusteoriassa Tulkoon alo kuten tehtään kuassa (x, y)-tason x, y > neljänneksestä: u u x ˆx + u y ŷ c cos θ ˆx c sin θ ŷ. ()
ELEC C4140 Kenttäteoria (syksy 2016)
ELEC C4140 Kenttäteoria (syksy 2016) Henrik Wallén / versio 26. syyskuuta 2016 Sähköstatiikka (Ulaby, luku 4.1 4.5) Maxwellin yhtälöt statiikassa Coulombin voimalaki Gaussin laki Potentiaali Dipolin potentiaali
= ( 1) 2 u tt (x, t) = u tt (x, t)
Harjoitukset 6, syksy 017 1. Osoita, ettei ajan suunnalla ole merkitystä aaltoyhtälössä: Jos u on ratkaisu, niin U(x, t) = u(x, t) on myös ratkaisu (toisin kuin lämpöyhtälön tapauksessa). Todistus. Funktion
BM20A5800 Funktiot, lineaarialgebra ja vektorit Harjoitus 4, Syksy 2016
BM20A5800 Funktiot, lineaarialgebra ja vektorit Harjoitus 4, Syksy 2016 1. Hahmottele karkeasti funktion f : R R 2 piirtämällä sen arvoja muutamilla eri muuttujan arvoilla kaksiulotteiseen koordinaatistoon
MATEMATIIKAN PERUSKURSSI I Harjoitustehtäviä syksy Millä reaaliluvun x arvoilla. 3 4 x 2,
MATEMATIIKAN PERUSKURSSI I Harjoitustehtäviä syksy 6. Millä reaaliluvun arvoilla a) 9 =, b) + + + 4, e) 5?. Kirjoita Σ-merkkiä käyttäen summat 4, a) + 4 + 6 + +, b) 8 + 4 6 + + n n, c) + + +
l 1 2l + 1, c) 100 l=0 AB 3AC ja AB AC sekä vektoreiden AB ja
MATEMATIIKAN PERUSKURSSI I Harjoitustehtäviä syksy 7. Millä reaaliluvun arvoilla a) 9 =, b) + 5 + +, e) 5?. Kirjoita Σ-merkkiä käyttäen summat 4, a) + + 5 + + 99, b) 5 + 4 65 + + n 5 n, c) +
Differentiaali- ja integraalilaskenta 3 Ratkaisut viikko 3
MS-A35 Differentiaali- ja integraalilaskenta 3, I/27 Differentiaali- ja integraalilaskenta 3 Ratkaisut viikko 3 Tehtävä : Hahmottele seuraavat vektorikentät ja piirrä niiden kenttäviivat. a) F(x, y) =
l 1 2l + 1, c) 100 l=0
MATEMATIIKAN PERUSKURSSI I Harjoitustehtäviä syksy 5. Millä reaaliluvun arvoilla a) 9 =, b) 5 + 5 +, e) 5?. Kirjoita Σ-merkkiä käyttäen summat 4, a) + + 5 + + 99, b) 5 + 4 65 + + n 5 n, c)
ELEC C4140 Kenttäteoria (syksy 2015)
ELEC C4140 Kenttäteoria (syksy 2015) Henrik Wallén Luentoviiko 12 / versio 1. joulukuuta 2015 Antennit (Ulaby 9.1 9.6, 9.9) Hertzin dipoli Kaukokenttä Säteilykuvio ja suuntaavuus Antennin vahvistus ja
r > y x z x = z y + y x z y + y x = r y x + y x = r
HY / Matematiikan ja tilastotieteen laitos Vektorianalyysi I, syksy 018 Harjoitus Ratkaisuehdotukset Tehtävä 1. Osoita, että avoin kuula on avoin joukko ja suljettu kuula on suljettu joukko. Ratkaisu.
Nopeus, kiihtyvyys ja liikemäärä Vektorit
Nopeus, kiihtyvyys ja liikemäärä Vektorit Luento 2 https://geom.mathstat.helsinki.fi/moodle/course/view.php?id=360 Luennon tavoitteet: Vektorit tutuiksi Koordinaatiston valinta Vauhdin ja nopeuden ero
ELEC C4140 Kenttäteoria (syksy 2016)
ELEC C4140 Kenttäteoria (syksy 2016) Henrik Wallén / versio 15. syyskuuta 2016 Vektorianalyysi (Ulaby, luku 3) Viiva-, pinta- ja tilavuusalkiot Nablaoperaatiot Gaussin ja Stokesin lauseet Nabla on ystävä
Luento 3: Käyräviivainen liike
Luento 3: Käyräviivainen liike Kertausta viime viikolta Käyräviivainen liike Heittoliike Ympyräliike Kulmamuuttujat θ, ω ja α Yhdistetty liike Luennon sisältö Kertausta viime viikolta Käyräviivainen liike
Luku Siirrosvirta
Luku 9 Maxwellin yhtälöt Nyt meillä on koossa elektrodynamiikan peruspilarit sillä tasolla, jolla ne tunnettiin 1860-luvun alussa. Maxwell huomasi yhtälöissä piilevän teoreettisen ongelman: Mitä tapahtuu,
LUKU 10. Yhdensuuntaissiirto
LUKU hdensuuntaissiirto Olkoot (M, N) suunnistettu pinta, p M ja v p R 3 p annettu vektori pisteessä p (vektorin v p ei tarvitse olla pinnan M tangenttivektori). Tällöin vektori (v p N(p)) N(p) on vektorin
(a) Potentiaali ja virtafunktiot saadaan suoraan summaamalla lähteen ja pyörteen funktiot. Potentiaalifunktioksi
Tehtävä 1 Tornadon virtauskenttää voidaan approksimoida kaksiulotteisen nielun ja pyörteen summana Oleta, että nielun voimakkuus on m < ja pyörteen voimakkuus on > (a Määritä tornadon potentiaali- ja virtafunktiot
1 WKB-approksimaatio. Yleisiä ohjeita. S Harjoitus
S-114.1427 Harjoitus 3 29 Yleisiä ohjeita Ratkaise tehtävät MATLABia käyttäen. Kirjoita ratkaisut.m-tiedostoihin. Tee tuloksistasi lyhyt seloste, jossa esität laskemasi arvot sekä piirtämäsi kuvat (sekä
ELEC C4140 Kenttäteoria (syksy 2016)
ELEC C4140 Kenttäteoria (syksy 2016) Henrik Wallén / versio 8. marraskuuta 2016 Tasoaallot, osa 1 (Ulaby 7.1, 7.2, 7.4) Kenttäosoittimet Aikaharmoniset Maxwellin yhtälöt Tasoaaltoratkaisu Tasoaaltoyhtälöt
4. Käyrän lokaaleja ominaisuuksia
23 VEKTORIANALYYSI Luento 3 4 Käyrän lokaaleja ominaisuuksia Käyrän tangentti Tarkastellaan parametrisoitua käyrää r( t ) Parametrilla t ei tarvitse olla mitään fysikaalista merkitystä, mutta seuraavassa
SATE2180 Kenttäteorian perusteet syksy / 5 Laskuharjoitus 5 / Laplacen yhtälö ja Ampèren laki
STE80 Kenttäteorian perusteet syksy 08 / 5 Tehtävä. Karteesisessa koordinaatistossa potentiaalin nollareferenssitaso on y = 4,5 cm. Määritä johteelle (y = 0) potentiaali ja varaustiheys, kun E = 6,67 0
5.9 Voiman momentti (moment of force, torque)
5.9 Voiman momentti (moment of force, torque) Voiman momentti määritellään ristitulona M = r F missä r on voiman F vaikutuspisteen paikkavektori tarkasteltavan pisteen suhteen Usean voiman tapauksessa
Maxwellin yhtälöt. Luku Siirrosvirta
Luku 9 Maxwellin yhtälöt Nyt meillä on koossa elektrodynamiikan peruspilarit sillä tasolla, jolla ne tunnettiin 1860-luvun alussa. Maxwell huomasi yhtälöissä piilevän teoreettisen ongelman: Mitä tapahtuu,
Luento 10: Työ, energia ja teho. Johdanto Työ ja kineettinen energia Teho
Luento 10: Työ, energia ja teho Johdanto Työ ja kineettinen energia Teho 1 / 23 Luennon sisältö Johdanto Työ ja kineettinen energia Teho 2 / 23 Johdanto Energia suure, joka voidaan muuttaa muodosta toiseen,
Viikon aiheet. Funktion lineaarinen approksimointi
Viikon aiheet Funktion ääriarvot Funktion lineaarinen approksimointi Vektorit, merkintätavat, pituus, yksikkövektori, skalaarilla kertominen, kanta ja kannan vaihto Funktion ääriarvot 6 Väliarvolause Implisiittinen
KJR-C1001 Statiikka ja dynamiikka. Luento Susanna Hurme
KJR-C1001 Statiikka ja dynamiikka Luento 29.3.2016 Susanna Hurme Yleisen tasoliikkeen kinematiikka: absoluuttinen ja suhteellinen liike, rajoitettu liike (Kirjan luvut 16.4-16.7) Osaamistavoitteet Ymmärtää,
13. Ratkaisu. Kirjoitetaan tehtävän DY hieman eri muodossa: = 1 + y x + ( y ) 2 (y )
MATEMATIIKAN JA TILASTOTIETEEN LAITOS Differentiaaliyhtälöt, kesä 00 Tehtävät 3-8 / Ratkaisuehdotuksia (RT).6.00 3. Ratkaisu. Kirjoitetaan tehtävän DY hieman eri muodossa: y = + y + y = + y + ( y ) (y
y x1 σ t 1 = c y x 1 σ t 1 = y x 2 σ t 2 y x 2 x 1 y = σ(t 2 t 1 ) x 2 x 1 y t 2 t 1
1. Tarkastellaan funktiota missä σ C ja y (y 1,..., y n ) R n. u : R n R C, u(x, t) e i(y x σt), (a) Miksi funktiota u(x, t) voidaan kutsua tasoaalloksi, jonka aaltorintama on kohtisuorassa vektorin y
Teddy 1. harjoituksen malliratkaisu kevät 2011
Teddy 1. harjoituksen malliratkaisu kevät 2011 1. Dipolimomentti voidaan määritellä pistevarauksille seuraavan vektoriyhtälön avulla: µ = q i r i, (1) i missä q i on i:nnen varauksen suuruus ja r i = (x
Elektrodynamiikka ja suhteellisuusteoria
Luku 16 Elektrodynamiikka ja suhteellisuusteoria Tämä luku seuraa CL:n lukuja 11 ja 12, joissa asiaa on käsitelty laajemmin sekä osittain RMC:n lukua 22. Esitietoina oletetaan modernin fysiikan alkeista
7. Olemassaolo ja yksikäsitteisyys Galois n kunta GF(q) = F q, jossa on q alkiota, määriteltiin jäännösluokkarenkaaksi
7. Olemassaolo ja yksikäsitteisyys Galois n kunta GF(q) = F q, jossa on q alkiota, määriteltiin jäännösluokkarenkaaksi Z p [x]/(m), missä m on polynomirenkaan Z p [x] jaoton polynomi (ks. määritelmä 3.19).
KJR-C1001 Statiikka ja dynamiikka. Luento Susanna Hurme
KJR-C1001 Statiikka ja dynamiikka Luento 16.3.2016 Susanna Hurme Päivän aihe: Translaatioliikkeen kinetiikka (Kirjan luvut 12.6, 13.1-13.3 ja 17.3) Oppimistavoitteet Ymmärtää, miten Newtonin toisen lain
Kuvan 9.1 mukaisessa ajatuskokeessa varataan kondensaattoria sähkövirralla I. Ampèren lain mukaan S 1. kondensaattorilevyt
Luku 9 Maxwellin yhtälöt Nyt meillä on koossa elektrodynamiikan peruspilarit sillä tasolla, jolla ne tunnettiin 1860-luvun alussa. Maxwell huomasi yhtälöissä piilevän teoreettisen ongelman: Mitä tapahtuu,
ELEC C4140 Kenttäteoria (syksy 2015)
ELEC C4140 Kenttäteoria (syksy 2015) Henrik Wallén Luentoviiko 8 / versio 3. marraskuuta 2015 Tasoaallot, osa 1 (Ulaby 7.1, 7.2, 7.4) Kenttäosoittimet Aikaharmoniset Maxwellin yhtälöt Tasoaaltoratkaisu
Varatun hiukkasen liike
Luku 15 Varatun hiukkasen liike SM-kentässä Tarkastellaan lopuksi varatun hiukkasen liikettä sähkömagneettisessa kentässä. Tehtävänä on siis ratkaista relativistinen liikeyhtälö dp/dt = q(e + v B), (15.1)
Yleistä sähkömagnetismista SÄHKÖMAGNETISMI KÄSITEKARTTANA: Varaus. Coulombin voima Gaussin laki. Dipoli. Sähkökenttä. Poissonin yhtälö.
Yleistä sähkömagnetismista IÄLTÖ: ähkömagnetismi käsitekarttana ähkömagnetismin kaavakokoelma ähkö- ja magneettikentistä Maxwellin yhtälöistä ÄHKÖMAGNETIMI KÄITEKARTTANA: Kapasitanssi Kondensaattori Varaus
Luento 2: Liikkeen kuvausta
Luento 2: Liikkeen kuvausta Suoraviivainen liike integrointi Kinematiikkaa yhdessä dimensiossa Luennon sisältö Suoraviivainen liike integrointi Kinematiikkaa yhdessä dimensiossa Liikkeen ratkaisu kiihtyvyydestä
LUKU 3. Ulkoinen derivaatta. dx i 1. dx i 2. ω i1,i 2,...,i k
LUKU 3 Ulkoinen derivaatta Olkoot A R n alue k n ja ω jatkuvasti derivoituva k-muoto alueessa A Muoto ω voidaan esittää summana ω = ω i1 i 2 i k dx i 1 dx i 2 1 i 1
SMG KENTTÄ JA LIIKKUVA KOORDINAATISTO
SMG KENTTÄ JA LIIKKUVA KOORDINAATISTO LiikeJla vaiku5aa siihen, miten kentät syntyvät ja miten hiukkaset kokevat kenben väli5ämät vuorovaikutukset ja miltä kentät näy5ävät. Vara5u hiukkanen kokee sähkömagneebsen
Polkuintegraali yleistyy helposti paloitain C 1 -poluille. Määritelmä Olkoot γ : [a, b] R m paloittain C 1 -polku välin [a, b] jaon
Polkuintegraali yleistyy helposti paloitain C 1 -poluille. Määritelmä 4.1.3. Olkoot : [a, b] R m paloittain C 1 -polku välin [a, b] jaon P = {a = t 1 < < t k = b} ja joukko D R m sellainen, että ([a, b])
Energia, energian säilyminen ja energiaperiaate
E = γmc 2 Energia, energian säilyminen ja energiaperiaate Luennon tavoitteet Lepoenergian, liike-energian, potentiaalienergian käsitteet haltuun Työ ja työn merkki* Systeemivalintojen miettimistä Jousivoiman
Kertausta: Vapausasteet
Maanantai 8.9.2014 1/19 Kertausta: Vapausasteet Liikkeen kuvailu: massapisteen koordinaatit (x, y, z) ja nopeudet (v x, v y, v z ). Vapaasti liikkuvalla massapisteellä on kolme vapausastetta. N:llä vapaasti
Osittaisdifferentiaaliyhtälöt
Osittaisdifferentiaaliyhtälöt Harjoituskokoelmat 4 ja 5, kevät 2011 Palautus Eemeli Blåstenille to 23.6. klo 16.00 mennessä 1. Ratkaise Dirichlet ongelma u(x, y) = 0, x 2 + y 2 < 1, u(x, y) = y + x 2,
Vektoreiden A = (A1, A 2, A 3 ) ja B = (B1, B 2, B 3 ) pistetulo on. Edellisestä seuraa
Viikon aiheet Pistetulo (skalaaritulo Vektorien tulot Pistetulo Ristitulo Skalaari- ja vektorikolmitulo Integraalifunktio, alkeisfunktioiden integrointi, yhdistetyn funktion derivaatan integrointi Vektoreiden
Gaussin lause eli divergenssilause 1
80 VEKTOIANALYYI Luento 1 8. Gaussin lause eli divergenssilause 1 A 16.4 Kurssin jäljellä olevassa osassa käymme läpi joukon fysiikan kannalta tärkeitä vektorikenttien integrointia koskevia tuloksia, nimittäin
Matematiikan tukikurssi
Matematiikan tukikurssi Kurssikerta 6 varuusintegraali iemmin laskimme yksiulotteisia integraaleja b a f (x)dx, jossa integrointialue on x-akselin väli [a, b]. Lisäksi laskimme kaksiulotteisia integraaleja
MS-C1340 Lineaarialgebra ja differentiaaliyhtälöt
MS-C1340 Lineaarialgebra ja differentiaaliyhtälöt Differentiaaliyhtälöt, osa 1 Riikka Kangaslampi Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Aalto-yliopisto 2015 1 / 20 R. Kangaslampi Matriisihajotelmista
763306A Johdatus suhteellisuusteoriaan 2 Kevät 2013 Harjoitus 1
763306A Johdatus suhteellisuusteoriaan 2 Kevät 2013 Harjoitus 1 1. Koordinaatiston muunnosmatriisi a) Osoita että muunnos x = x cos φ + y sin φ y = x sin φ + y cos φ (1) kuvaa x y tason koordinaatiston
Matematiikan tukikurssi
Matematiikan tukikurssi Kurssikerta Eksponenttifuntio Palautetaan mieliin, että Neperin luvulle e pätee: e ) n n n ) n n n n n ) n. Tästä määritelmästä seuraa, että eksponenttifunktio e x voidaan määrittää
Kvanttifysiikan perusteet 2017
Kvanttifysiikan perusteet 7 Harjoitus 3: ratkaisut Tehtävä Tarkastellaan äärettömän syvässä laatikossa (väli [, L) olevaa hiukkasta. Kirjoita energiatiloja E n vastaavat aaltofunktiot muodossa ψ n (x,
RATKAISUT a + b 2c = a + b 2 ab = ( a ) 2 2 ab + ( b ) 2 = ( a b ) 2 > 0, koska a b oletuksen perusteella. Väite on todistettu.
RATKAISUT 198 197 198. Olkoon suorakulmion erisuuntaisten sivujen pituudet a ja b sekä neliön sivun pituus c. Tehtävä on mielekäs vain, jos suorakulmio ei ole neliö, joten oletetaan, että a b. Suorakulmion
1. (a) (2p.) Systeemin infinitesimaalista siirtoa matkan ɛ verran esittää operaattori
FYSA5 Kvanttimekaniikka I, Osa B 7.. tentti: 4 tehtävää, 4 tuntia. a) p.) Systeemin infinitesimaalista siirtoa matkan ɛ verran esittää operaattori T ɛ) = iɛ h P. Osoita tämän avulla, että äärellistä siirtoa
XFYS4336 Havaitseva tähtitiede II
XFYS4336 Havaitseva tähtitiede II Silja Pohjolainen Kaj Wiik Tuorlan observatorio Kevät 2014 Osa kuvista on lainattu kirjasta Wilson, Rohlfs, Hüttemeister: Tools of Radio astronomy XFYS4336 Havaitseva
Kompleksiluvut., 15. kesäkuuta /57
Kompleksiluvut, 15. kesäkuuta 2017 1/57 Miksi kompleksilukuja? Reaaliluvut lukusuoran pisteet: Tiedetään, että 7 1 0 x 2 = 0 x = 0 1 7 x 2 = 1 x = 1 x = 1 x 2 = 7 x = 7 x = 7 x 2 = 1 ei ratkaisua reaalilukujen
Moderni fysiikka. Syyslukukausi 2008 Jukka Maalampi
Moderni fysiikka Syyslukukausi 008 Jukka Maalampi 1 1. Suhteellisuus Galilein suhteellisuuus Fysiikan lakien suhteellisuus Suppea suhteellisuusteoria Samanaikaisuuden suhteellisuus Ajan dilaatio Pituuden
MS-C1350 Osittaisdifferentiaaliyhtälöt Harjoitukset 5, syksy Mallivastaukset
MS-C350 Osittaisdifferentiaaliyhtälöt Haroitukset 5, syksy 207. Oletetaan, että a > 0 a funktio u on yhtälön u a u = 0 ratkaisu. a Osoita, että funktio vx, t = u x, t toteuttaa yhtälön a v = 0. b Osoita,
Differentiaali- ja integraalilaskenta 3 Mallit laskuharjoitukseen 3 /
MS-A3x Differentiaali- ja integraalilaskenta 3, IV/6 Differentiaali- ja integraalilaskenta 3 Mallit laskuharjoitukseen 3 / 9..-.3. Avaruusintegraalit ja muuttujanvaihdot Tehtävä 3: Laske sopivalla muunnoksella